Нужно доказать, что если взять 4 элемента x,x',y',y в С, такие что xy, xy',x'y \neq 0, то x'y' \neq 0.

Кажется это можно сделать если работать с нейтральными элементами.

Множество \Neu(C) тут это множество объектов получается.

То есть:

1)Eсли e,e' \in Neu(C), то ee' \neq 0 тогда и и только тогда, e = e'

2) Элементы e,e' \in Neu(C), такие что x = exe' определены однозначно для любого x.

3) При произведении xy \neq 0 правый нейтральный берется от y, а левый от x.

Вроде из этих двух утверждений все следует, и даже правило про ассоциативность не нужно. Ассоциативность берется из определения полугруппы.

или нужно

Ассоциативность берётся из определения полугруппы, как вы и сказали. Утверждения (1), (2), (3), которые вы написали, действительно верны.

Это вы что-то заумное говорите. По-моему там просто всё.

УТВЕРЖДЕНИЕ 1. Пусть C --- полугруппа* с нулем, x \in C --- ненулевой элемент, а e, e' \in Neu(C) --- нейтральные элементы, такие что ex, e'x \neq 0. Тогда e = e'.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Понятно, что раз ex, e'x \neq 0, то ex = e'x = x. Тогда e'ex = e'x = x \neq 0. Отсюда следует, что e'e \neq 0, а из этого, в свою очередь, следует, что e = e'e = e'.

По симметрии элемент e \in Neu(C), такой что xe \neq 0, тоже определён однозначно, если существует.

Условие "для любого ненулевого x \in C существуют e', e'' \in \Neu(C), такие что e'xe'' \neq 0" влечет условие "для любого ненулевого x \in C существуют e', e'' \in \Neu(C), такие что e'x \neq 0 и xe'' \neq 0. Обозначим такой e' через t(x), а e'' --- через s(x).

УТВЕРЖДЕНИЕ 2. Пусть C --- категория, а x, y \in C --- пара ненулевых элементов. Тогда условие xy \neq 0 эквивалентно условию t(y) = s(x), причём если xy \neq 0, то s(xy) = s(y) и t(xy) = t(x).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть xy \neq 0. Тогда xy = x s(x) y \neq 0, поэтому s(x) y \neq 0, поэтому s(x) = t(y).
Пусть s(x) = t(y) = e. Тогда x = xe \neq 0, y = ey \neq 0, откуда, по аксиоме категории, следует, что xey \neq 0, а xey = xy.
Равенства s(xy) = s(y) и t(xy) = t(x) совсем очевидны.

В общем-то и всё, так по категории в описанном смысле строится категория в привычном смысле. А по категории в привычном смысле мы строим полугруппу, объявив произведение не компонуемых морфизмов нулём.

>Множество \Neu(C) тут это множество объектов получается.

Да, это тождественные морфизмы, которые можно отождествить с объектами.

Возможно, стоит ещё отметить, что если C --- категория, а e \in \Neu(C), то e = e s(e) = s(e) и e = t(e) e = t(e).

>её множество нейтральных элементов.. как множество

что-то тут не то..

Ахаха. Рефлекторно написал. Ну вы поняли. Есть слово "совокупность", его и предпочитаю использовать в таких ситуациях.

Хм, интересная идея. Однако, оверхед про ноль примерно такой же, как и оверхед частичных операций. Но они более привычны, и названия для структур таких уже есть (полугруппоид).

https://en.wikipedia.org/wiki/Groupoid#Comparing_the_definitions

>Однако, оверхед про ноль примерно такой же, как и оверхед частичных операций. Но они более привычны

На ваш вкус, быть может, и так, а я своё мнение уже выразил во фразе «Это стандартное определение категории через морфизмы, но сформулированное так, что не надо писать занудство типа "(xy)z определено тогда и только тогда..."».

Наличие нуля --- это не структура, а свойство (c), лично мне со своим определением намного приятнее. Только надеюсь, что ничего не напутал, но вроде всё ок.