Да, в задачах 2.6, 2.7 имеется в виду именно вот эта теорема Ферма и её стандартное доказательство (видно же, что задачи разбиты именно на его стандартные шаги). По крайней мере я другого не видел ни в книжках (смотрел Винберга и Алуффи) ни в сети. Кстати, что это за книги, на которые Вы ссылаетесь?
Смысл, по-видимому, в предположении что студент лекциями не ограничивается а активно роется где только можно и/или читает параллельно какой-то учебник (в этом смысле книжка Винберга великолепна - там и для этой задачи почти всё рассказано в девятой главе (последнего издания) очень прозрачно). Я боюсь даже думать, что в аудитории сидит непренебрежимое количество людей, способных на это самостоятельно только по лекциям без подсказок. Если экзамен расчитан на таких, то я зимой поеду в Москву зря.
У меня 2.6 и 2.7 решены, можно что-то спрашивать.

Как у Вас со второй половиной листочка 3 и производящими функциями (у меня не решена 4.5)? И не знаете ли Вы в каком смысле в первой задаче шестого листочка пересечение подпространств U и W является подпространством их внешней прямой суммы?

Это Вы их придумывали?

Просто там написано "рассчитал". Стало быть, опечатка.
Я не думаю, что это очень страшно. Такие задачи богаче идеями, нежели более простые упражнения и их полезно увидеть и осознать. Тут, к примеру, видно, что переход к другому факториальному кольцу позволяет получить нетривиальную информацию по Z и много другого-прочего. На лекциях времени нет на это, что происходит на семинарах - я не знаю. Но так или иначе умение рыться, находить и встраивать найденное в свою систему знаний - полезный навык.
Вот когда подобная задача появляется на письменном экзамене - это да, печально. Посмотрим, как с этим обстоят дела в НМУ. В моём ВУЗе экзамен почти всегда сдавался на ура любым, кто нормально работал в семестре, но там не писали на сайте про талантливую молодёжь.

Я тоже люблю задачи, которые могу решить сам гораздо больше тех, над которыми кучу времени думаешь, потом находишь где-то идею решения и понимаешь, что не придумал бы никогда. Опять же, мне в своё время давали именно такие, но они в основном бывали очень элементарны, а представить непростую задачу в таком виде, чтобы она всё-таки решалась - требует серьёзного мастерства и времени. Кроме того, уровень слушателей всё-таки разный и не всегда точно представляется лектором.
Смирнов в этом смысле вполне адекватен, по-моему. По крайней мере пока.

За совет с задачами большое спасибо.

Запрос в скайпе послал. Я тоже так подумал, но решил сначала глянуть в лекции, прежде чем решать. Завтра уже досмотрю шестую, будет понятно, надеюсь.
Кстати, по-моему, в задаче опечатка. Там слева написано U+V, при том, что V - объемлющее пространство, то есть U+V это просто V. Должно быть, мне кажется, U + W.

4.5 Вы решали через производящие функции? Листочек вроде называется так, а обязательных задач на них - одна. Либо я туплю и с их использованием задачи решаются красивее и проще...

Послал запрос на второй ник.

Вы построили самый первый изоморфизм в шестом листке? Я что-то запутался. Кстати, я там ниже про тригонометрические многочлены глупости написал. Самое простое - действительно к ним переходить. Там нужно только знать, что никакой многочлен от sin, cos степени меньше 2 не обращается в нуль как функция, а мы это, вроде, знаем из первой части задачи.

Я пробовал (x,x), (x,0) и вот Ваш (x,-x) - никак не могу корректно определить отображение...

Спасибо! Кстати, для пар (x,x) тоже работает, только отображать надо u+w\mapsto (u, -w) + U\cap W.

Упс. То-то удивится кто-то, получив мой запрос.
Я имею в виду доказательство через Гауссовы числа (Дедекинда, кажется). К нему подводит весь листок (что видно, когда уже знаешь решение). Его же излагают в учебниках по алгебре (какие я смотрел). Видимо другие ближе теории чисел и там пишут их (хотя кажется в Niven, Zuckermann, Montgomery тоже Гауссовы числа, но не уверен).

С третьим листочком у меня те же проблемы. Я вообще не уверен, что фактор - тригонометрические многочлены. Идеал, по которому факторизуем - да, поскольку в нём выполнено тождество как для синуса с косинусом. Но те, что в нём не лежат - почему будут тригонометрическими?
В Шафаревича лезть не охота, хоть и стоит на полке. Во первых, он сильно выше уровнем, во вторых, меня отталкивает его Основные понятия алгебры, так многими любимая. Если и алгем у него такой - обидно. Хотя отзыв читал хороший где-то. Ну и, опять же, должно же само решаться - обидно в книжку лезть пока что...

Это, по-моему, совсем не строго, потому что тригонометрические функции - это некоторые степенные ряды. А через окружность в школе они определяются тавтологически, по-моему. Вроде бы нестрого угол определён или что-то в этом роде. Мне кажется, что надо просто отобразить x на косинус, а y - на синус и посмотреть свойства отображения.

Я вдруг осознал очевидный факт - нам вообще не нужно переходить к тригонометрическим многочленам. Для мотивации это хорошо, но уже зная формулы урниверсальной подстановки мы же можем попросту перевести x и y в две соответствующие дроби от какой-то переменной z и дальше просто проверять, что это даёт эпиморфизм на C(z), у которого ядро - идеал (x^2 + y^2 - 1). Тогда всё можно сделать ни разу не сославшись на тригонометрические функции (тем более, что доказывать изоморфность тригонометрических многочленов чему-нибудь, на мой взгляд, не проще).