Вот, на вскидку: открываю страницу 99 и читаю:

Если пространство X связно, то H_0(X)=Z.

А что не так?

Должна быть линейная связность.

Мне кажется, что это очень мелочная придирка. Для более-менее любых теорем алгебраической топологии нужны какие-то условия на топологические пространства. Для гомологий естественно ограничиваться CW-комплексами (если не вообще симплициальными множествами), скажем (для которых утверждение верно).

И что, в учебниках по алгебраической топологии на все эти дополнительные условия надо забить и делать вид, что все верно в общем случае?!

Процитирую одно из любимых мест этой книги: «Первый способ преодолеть эту трудность состоит в том, чтобы написать этот том; для нас это неприемлемо. Второй способ заключается в замене понятия <…> различными суррогатами (…), которая позволяет достичь относительной строгости за счет геометрической наглядности; это также нам не годится. Наш подход основан на тезисе, что наиболее эффективный способ преодоления трудностей состоит в том, чтобы их игнорировать.» Да, я считаю, что так делать вполне можно.

Проблема в том, что это стандартный учебник и на него ссылаются.

В обсуждаемом случае трудности нет совсем, и преодолевать нечего. Если трудности есть, то необходимо их обозначить и четко давать понять, какое утверждение верно, а какое "морально верно".

Ты считаешь, что выбрасывание слова "линейно" в этом месте служит увеличению "геометрической наглядности" текста?

Игнорирование пространств, для которых линейная и топологическая связность различаются, в целом увеличивает геометрическую наглядность текста, да. Anyway, еще раз: в этом месте лучше было бы действительно добавить слово "линейно"; но и если не добавлять, ничего страшного.

было бы яснее разделять разные вопросы:

- знали ли авторы, что некоторые их утверждения формально неверны?

- была ли бы книга лучше, если бы она была написана в другом стиле, со строгими доказательствами?

- была ли бы книга лучше, если бы утверждения снабжались бы оговорками, какие из них действительно верны, а какие "морально верны"

и др.

- лучше ли такая книга, чем никакой (риторический вопрос)

Ну с тем, что *формулировки* разных утверждений в ФФ могли бы быть улучшены, никто спорить не будет, видимо. Это в большой степени снимает вопрос 3.

А по вопросу 2 я со многими людьми расхожусь, да: думаю, что стала бы хуже, скорее всего.

/* То есть текст слишком сжатый и эскизный читать можно, хоть и тяжело. Но понять текст, в котором суть загромождена техническими деталями -- в духе явного выписывания гомотопий формулами, скажем -- вообще невозможно зачастую. Кажется, что если раньше (в СССР, по крайней мере) была проблема слишком коротких статей, то с распространением интернета все более актуальна проблема слишком длинных текстов. */

Да можно прямо на предисловие к ФФ и сослаться. Там написано (цитирую по памяти, могу немного переврать), что давайте-ка лучше оценивать книгу за то, что в ней есть, а не за то, чего недостаёт. Так что, в некотором смысле, так оно и было задумано.

Не согласна. На мой вкус, это сильно ухудшает наглядность -- когда спотыкаешься на каждом шагу и пытаешься понять, а какие непроизнесённые условия авторы тут имели в виду, и как данная неправильная формулировка могла бы быть исправлена.

Точнее, я бы могла с этим согласиться, если бы в самом начале книги было сказано что-то вроде: "Мы рассматриваем только такие пространства, для которых понятия линейной и топологической связности совпадают". Ну и пример с замыканием графика sin(1/x) тогда уже в книжке использовать нельзя, конечно :-)

мой комментарий выше (лично я предполагаю, что короткие аккуратные ненавязчивые комментарии, оговорки и исправления сделали бы книгу лучше)

Да, я согласна.

"короткие аккуратные ненавязчивые комментарии, оговорки и исправления" Д.В.Аносова к русскому переводу книги Кассона и Блейлера испохабили её до полнейшего непотребства.

Вообще-то это глава про сингулярные гомологии. Никаких ограничений на пространство в тексте там не накладывается (и было бы странно, если бы накладывалось). Так что это именно ошибка, очевидно.

"Естественно ограничиваться CW-комплексами", никак не упоминая об этом, -- это уже выходит
за рамки, тебе не кажется?

В предисловии к переводу книжки Мошер, Тангора "Когомологические операции..." Постников почти хвалит такой стиль изложения. Книжка, кстати универсально считается очень хорошей.

"Книжка, кстати универсально считается очень хорошей"

Какая книжка -- ФФ? Я ж не говорю, что она плохая. Но если бы в ней ошибок было поменьше, было бы гораздо лучше.

Я бы не возражала, если бы в начале главы или параграфа было сказано что-то вроде: "В этой главе мы будем рассматривать только "хорошие" топ.пространства. Под хорошим пространством понимается то-то и то-то". Но там ничего такого не написано.

Нет, книжка Мошера и Тангоры. Мне ее хвалили люди, очень далекие от ее предмета. Книжка Фукс-Фоменко-Гутенмахер тоже считается очень хорошей. В Америке ее даже иногда используют ее в качестве учебника (есть перевод на английский, сделанный венграми!).

Постников специфически пишет про ситуацию, когда переход к "хорошим" пространствам никак не оговаривается. Книжка есть в сети, почитай его предисловие. Предисловия Постникова читать - одно удовольствие.

Книжка ФФ была бы лучше, если бы, в первую очередь, выкинуть из нее все, что написано Фоменко. Или, проще, начать с ФФГ и довести ее до уровня нормальной книги. Для ротапринтного издания она вполне на уровне.

Надо сказать, что некоторая халтурность писания вообще характерна для советского стиля. Конечно, в цитированной книге Фоменко халтурность зашкаливает, но прокол с тетраэдром - это один из самых мелких ее недостатков. Главный недостаток - полное несоответствие заявленному предмету. Если бы Фоменко назвал книжку "Что я слышал про топологию и другие разделы математики" - это было бы правильным названием.

Мошер-Тангора у нас в библиотеке есть, возьму посмотреть. Спасибо за совет, я как раз про эти операции ничего не знаю.

В ФФГ, наверное, ошибок гораздо меньше, чем в ФФ. И она не претендует на статус учебника, в отличие от ФФ. А когда читаешь учебник, и там на каждом шагу такие вещи...

> Конечно, в цитированной книге Фоменко халтурность зашкаливает, но прокол с тетраэдром - это один из самых мелких ее недостатков. Главный недостаток - полное несоответствие заявленному предмету. Если бы Фоменко назвал книжку "Что я слышал про топологию и другие разделы математики" - это было бы правильным названием.

Ой, а я эту книгу с интересом прочитал. Постфактум понял, что изложение и темы довольно странные для вводного рассказа про топологию. Но всё равно интересно и с картинками :-)

>В Америке ее даже иногда используют ее в качестве учебника (есть >перевод на английский, сделанный венграми!).

Прикольно. А если не секрет, где? В качестве основного учебника?

Просто мне казалось, что в качестве основного учебника почти все используют Алена Хатчера. А Фоменко-Фукса никто не знает. Но это конечно, субъективное ощущение. Статистику я не наводила. Было бы интересно узнать контрпримеры.

Это аспирантские курсы, на которых преподаватель полностью свободен в выборе учебника. Никакой статистики нет, просто я знаю конкретные случаи, когда книжка использовалась в качестве учебника. Называть я их не буду, уж простите.

Фукса-Фоменко никто не знает, потому что она не переведена на английский. Не переведена она, насколько я могу судить, именно из-за неаккуратности. Перевод книги - весьма дорогостоящее мероприятие. Специалистам она не нужна, поэтому переводить ее в качестве исследовательской монографии не имеет смысла - она не является монографией. А в качестве учебника в Америке она не найдет широкого спроса (и, тем самым, затраты на перевод не окупятся), студенты привыкли к аккуратному изложению, и использующий ее (или ФФГ) преподаватель идет на серьезный риск.

Во многих отношения книга ФФГ очень хороша, и ее стоило бы довести до ума и издать по-английски. Но доводить до ума должны авторы - или дать согласие на добавление четвертого автора, который проделает эту работу.

Простите, какие еще яркие примеры "халтурности" книг советского периода? Кроме "Современной геометрии" ничего на ум не приходит.

Не знаю, что Вы считаете "ярким". Например, вторая книжка Арнольда по дифференциальным уравнениям ("Дополнительные главы..." или "Геометрические главы...") написано довольно халтурно - в том смысле, что доказательства неаккуратные (и, вероятно, определения тоже). Это даже отмечалось в рецензии на нее в Bull. AMS, если я правильно помню. Но если Вы уже знаете предмет, то Вы сможете почерпнуть из нее довольно ценные эвристические соображения - за что ее и ценят.

Общее мнение состоит в том, что советские книги ценны эвристичскими рассуждениями, но содержат многовато неаккуратных доказательств.

Речь не идет о стандартных университетских учебниках, типа, скажем, книг Шилова. Они написаны аккуратно.

В Фоменко-Фуксе, кажется, нет обсуждения связности, но там в самом начале есть отсылка к Рохлину-Фуксу, где прямо в предисловии оговорено, что под связностью понимается линейная связность.

Сомнительно, что это вызывало у кого-то проблемы.


Считаю упомянутую "ошибку" мелочной придиркой к хорошей книге.

Выше по треду перечислили несколько более серьезных недоразумений.

мелоч, конечно, но не стоит так писать в учебнике.

Ну... можно ли писать в учебнике по геометрии, что сумма углов треугольника равна 180 градусов? Это же не так для треугольника на сфере!..

Ерунда, в учебнике по геометрии обсуждается классическая планиметрия. Это оговаривается с самого начала.

Тут, на самом деле, через пол страницы написанно более аккуратно:

В общем случае H_0(X) есть свободная абелева группа, порожденная множеством компонент (линейной связности) пространства Х ...

А между этими фразами нарисован пример "плохого" пространства (график sin 1/x), иллюстрирующий утверждение, что ацикличное пространство может не быть стягиваемым. То есть не правда, что все происходит в рамках каких-то дополнительных предположений.

Я согласен, что это, в общем, мелочь. Я на самом деле искал формулировку утверждения об аксиоме вырезания, которая мне когда-то раньше сильно не понравилась, а на это наткнулся случайно.

О, я нашел то место, которое искал. Страница 157, упражнение 44:

Если X - компактное топологическое пространство и A - его замкнутое подмножество, то имеют место естественные (уточните в каком смысле!) изоморфизмы

H_q^open(X-A)=H_q(X,A)


(H^open - это открытые гомологии, мне более привычно название гомологии Бореля-Мура; в ФФ за определение берутся гомологии локально-конечных сингулярных цепей.)

Понятно, что это должно быть верно для "хороших" пар (X,A), например, пар Борсука или клеточных. Однако в общем это верно быть не может, например, потому что иначе относительные гомологии были бы равны приведенным гомологиям фактор-пространства для любой пары (X,A) с компактным X и с замкнутым A. Я не силен в построении контрпримеров, но это, кажется, верно быть не должно.

Особый цинизм в том, что это утверждение дано как упражнение...

поэтому на них никто и ссылаться не будет. Книгу надо воспринимать, по-моему, как антибурбаки - изложены кратко многие идеи, но все формулировки неверны)) Впрочем, тут тоже неясно - я внимательно только первые три главы читал. Что-то дальше плохо пошло.

Всё правильно. Это не ошибки книги, это такие особенности стиля.

Мне кажется, что это по сути то же самое: еще одно утверждение, в котором "топологические пространства" надо читать как "CW-комплексы", да (а "топологическое пространство и замкнутое подмножество" -- как "клеточная пара", соответственно). То есть я согласен, что лучше писать не так, а правильно, но трагедии не вижу.

Ссылаться же на ФФ (в научной статье, you mean?) странно -- ссылаются обычно на тексты с доказательствами, а не на упражнения в учебнике.

Это стандартное утверждение. Для такого утверждения можно вообще не указывать ссылку, просто включить в список литературы учебник, в котором оно упоминается. Лучше, конечно, найти текст с доказательством. Кстати, если сходу знаешь, где это написано, скажи :)

> иначе относительные гомологии были бы равны приведенным гомологиям фактор-пространства для любой пары (X,A) с компактным X и с замкнутым A. Я не силен в построении контрпримеров, но это, кажется, верно быть не должно.

То есть нужно построить пример, когда у X/A и X\cup_A Cone(A) разные гомологии. Было бы поучительно, но я тоже не могу придумать...