Вы заведомо лучше меня справитесь с поисками
примера, который это Вам показал бы; надеюсь,
Вас не обидит предположение, что и времени
у Вас побольше.

>Далее, если физики только "из вежливости" интересуются такими >незначительными вещами, как условия однозначной разрешимости >уравнения Шрёдингера

абсолютно. Впрочем, может быть, и есть физический
смысл у различения; надо спросить у Паши Калинина.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Насколько мне известно, обычная практика состоит в том, что искать подтверждающие факты должен автор позитивного (а не негативного) тезиса. Впрочем, как хотите — выданное de facto признание невозможности такие примеры привести меня тоже вполне удовлетворяет :)

Вкратце моё мнение о происшедшем: мы имеем дело с типичным holy war "физики vs. математики", основанным на непонимании маленького простенького момента: физика и математика — две совершенно разные науки, по недосмотру объединённые ВАКом в единую категорию "физико-математических". За счёт чего ряду физиков (обычно с куриным кругозором) кажется, будто математика — это извращённая физика, а ряду математиков (про кругозор см. выше) кажется, будто физика — это куча некорректных математических расчётов.

Так вот есть предложение такой путаницы не устраивать. У физиков свои задачи, у математиков — свои. И не надо делать вид, будто Дирак доказывал теоремы функционального анализа, когда он всего лишь рассуждал о свойствах электронов.

Dixi et salvavi animam meam.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Насколько мне известно, обычная практика состоит в том, что искать >подтверждающие факты должен автор позитивного (а не негативного) >тезиса.

Ох. Гильбертовы пространства имя свое получили
благодаря квантовой механике, именно -- эвристическим
соображениям Дирака о пространствах состояний
квантовомеханической системы. Тогда их и стали
изучать как отдельный об'ект (хотя, как это всегда бывает
в истории науки, он возникал в разных приложениях и
раньше, и непросто сказать, что именно было известно
о них до 1929 года -- потому что эти наблюдения были
весьма разрозненны).

>И не надо делать вид, будто Дирак доказывал теоремы
>функционального анализа, когда он всего лишь рассуждал
>о свойствах электронов.

Что, простите?
Дирак не доказывал никаких теорем, естественно.
Как и не рассуждал о свойствах электронов.
Он ввел пространство состояний, рассмотрел акт
наблюдения/измерения как действие оператора,
рассмотрел базисные состояния как
собственные векторы подходящего оператора
(можно ли это делать, и когда, было плохо известно --
в том числе и Дираку, но он просто делал), истолковал
законы сохранения; ввел также "некоммутирующие
числа" etc. etc.

Никаких фактов из теории обобщенных функций
он тоже не доказывал.

>Вкратце моё мнение о происшедшем: мы имеем дело с типичным holy
>war "физики vs. математики",

Если к куриному кругозору физика или математика
прибавить еще рефлексию о том, что бывает между
ними такое противостояние -- кругозор похвальным
образом расширится, но только на один шаг.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Имя своё гильбертовы пространства получили благодаря работам Гильберта по интегральным уравнениям, кои относятся примерно к 1910-му году. Это даже в любимой Вами Википедии написано (и, судя по литературным ссылкам в Риссе-Наде, Википедия тут не врёт). В связи с этим повторяю: квадратично интегрируемые функции и соответствующая топология рассматривались задолго до квантовой механики (функционал энергии для обычной классической струны помните?); разложения функций по ортогональным системам и свойства таких разложений (неравенство Бесселя, тождество Парсеваля и т.д.) песочились на протяжении всего XIX века. Так что при всём моём уважении к квантовой механике (которая мне, представьте, очень даже нравится) не надо перевирать историю.

Что именно было известно до 1929 года, сказать на самом деле тоже можно: из базовых определений и теорем практически всё. Упомянутые соотношения Бесселя и Парсеваля, теорема Рисса — это XIX век и самое-самое начало XX-го. Теорема Гильберта-Шмидта (то самое разложение по собственным векторам, которое кому-то было плохо известно), вариационные принципы для собственных значений — первое десятилетие XX века (смотрю просто по ссылкам из Рисса-Надя). Да что там — спектральная теорема для ограниченных самосопряжённых операторов в общей постановке (т.е. включая непрерывный спектр!) — это тоже 1912 год! И известно всё это было, повторяю, в связи с задачами не квантовой механики, а самой что ни на есть классической механики сплошной среды (что характерно, дальнейшее введение новых понятий в этой области — например, понятия пространства Понтрягина — тоже было связано с МСС, а не с квантовой механикой). В связи непосредственно с квантовой механикой возникла, вроде, разве что теория неограниченных операторов — но в этом заслуга не Дирака, а фон Ноймана. Кстати, любопытное замечание: дираковскую нотацию применяют только "чистые физики"; ни математики, ни физики с математическими корнями (вроде Боголюбова) так не пишут. Вероятно, именно из-за чрезмерно большого значения оной нотации для математики :))

> Он ввёл пространство состояний, рассмотрел акт наблюдения/измерения как действие оператора

Что это такое — пространство состояний? Оно голубое и по нему летают птицы? Оно непосредственно проявляется в физических экспериментах? Но тогда при чём тут вообще математика?

Или пространство сие есть всё же математический объект, и его точки суть математические же объекты (квадратично интегрируемые функции, например)? Тогда становится понятно, при чём тут математика — но не менее понятно, что физиков гораздо сильнее волнуют моделируемые этими математическими объектами физические явления, а не эти объекты сами по себе. Прекрасная иллюстрация тут — перенормировочная техника. Берётся экспонента от неограниченного оператора (причём даже неизвестно, нулевые ли у него индексы дефекта — а если ненулевые, то, между нами говоря, экспоненты вообще не существует!), раскладывается формально в степенной ряд (плевать, что никаких оценок точности приближения частичными суммами нет и не предвидится, и даже области определения у разных степеней разные!), затем этот ряд обрубается на каком-то из слагаемых (без анализа, почему надо именно на этом, авось повезёт), после чего произносится пара шаманских заклинаний и выдаётся ответ. Согласующийся с экспериментом. Физик рад-радёшенек: он нашёл способ подсчёта интересующего его параметра. Математик же подбирает с пола челюсть и пытается мучительно понять, что это было (т.к. его волнует отсутствие видимой связи проведённого вычислительного процесса с математическим понятием порождённой оператором полугруппы, а на согласие результата расчёта какого-нибудь лэмбовского сдвига или аномального магнитного момента с экспериментальными данными ему наплевать: в чистой математике никаких лэмбовских сдвигов нет). Так вот Дирак — он физик. Что-то насчитал. С чем-то сверил. Сказал остальным физикам, чтоб продолжали в том же духе. Для физики это замечательно, но для математики — не имеет ни малейшего значения.

Так что есть между физикой и математикой некоторое противостояние, есть. И от того, что кто-то закроет на него глаза, оно не исчезнет.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Имя своё гильбертовы пространства получили благодаря работам >Гильберта по интегральным уравнениям, кои относятся примерно к >1910-му году.

А Евклидовы -- благодаря работам Евклида по геометрии
евклидовых пространств в третьем веке до нашей эры.
И это действительно так.

Только все же идите и почитайте что-нибудь, ладно?

>в чистой математике никаких лэмбовских сдвигов нет

Пожалуйста, идите и почитайте.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Читать "что-нибудь" я не буду, уж простите :(( Я предпочитаю иметь дело с серьёзными источниками.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Чудесно, это уже полдела.
А теперь Вы их почитайте.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Самое-то смешное, что уже читал вроде (и связанные с квантовой механикой, и не связанные). И касательно источников Ваших революционных сведений положительно теряюсь в догадках. Хотя больше всего склоняюсь к версии, что речь идёт о фантазиях по мотивам пары-другой учебников квантовой механики (ну, ведь не читали Вы математической литературы по функциональному анализу — правда ведь?).

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>ну, ведь не читали Вы математической литературы по функциональному
>анализу — правда ведь?

Я учебники только читала: Колмогорова да Фомина, Пугачева
какого-то (Вы, наверное, и не видали такого), заглядывала
в Кириллова со Гвишиани. По технической надобности.
А тут не просто математическая литература нужна -- а
по истории данной науки. Я думала, Вам эти справки
навести проще. Тем более, что квантовая механика,
по-видимому, не входит в круг Ваших интересов.

Почему квантовомеханических сведений здесь достаточно.
Для теории относительности, например, у математиков
уже был готовый аппарат. Эйнштейн его позаимствовал,
и называл, например, пространство Минковского пространством
Минковского. У Дирака не было такой возможности.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Понял, спасибо. Что Фомин с Гвишиани в данном вопросе ничего не решают, это само собой ясно. Некоторые ссылки на первоисточники есть у Рисса и Надя, но их ещё надо сверять (что в этих источниках действительно было, а что потом задним числом приписали), а из гугла, похоже, на сию тему ничего полезного не выжимается. Но разозлили Вы меня своим Дираком прилично, из принципа раскопаю :)

Квантовая механика, кстати, в круг моих интересов входит. Но я не очень понимаю, почему из этого следует, что я должен записывать ей в актив всё подряд, до теоремы Фалеса включительно.

> У Дирака не было такой возможности.

Повторяю, это проблемы Дирака. Ничего реально нового в _математику_ и даже математическую нотацию он не внёс (кажется, в отличие как раз от Эйнштейна: тензорные индексы, вроде, его работа?). Хотя физик и значительный.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Но разозлили Вы меня своим Дираком прилично, из принципа раскопаю

Помилуй бог, никогда не знаешь, чем разозлишь человека,
а чем нет.

Мне просто показалось бессмысленным пересказывать
отличнейшую книгу: там изложено лучше. Дирак в данном
случае ничего не считал: он пытался понять, как устроен мир.
Это то, чем занимаются и математики (кроме людей, по Вашей
аттестации, с куриным кругозором). 20-е годы -- то счастливое
время, когда физики и математики чрезвычайно бурно
кооперировали; идеи бродили в воздухе и не замечали
междисциплинарных границ. Примерно то же происходило
не так давно с теорией струн.

Вопросы перенормировки, к слову, представляют собой
математическую проблему. Физики действуют некрасиво,
имея целью получить результат, проверяемый на эксперименте --
у них нет сколько-нибудь приличного аппарата, они просто
знают, что "искать надо здесь". (А вот Дирак так не делал.
Но его интуиция шла слишком быстро, не успевая обзавестись
строгими конструкциями.) "Перенормировку", скорее всего,
нельзя математически обосновать: когда получаемые таким
образом факты обретут форму математических об'ектов,
от процедуры перенормировки следа не останется.
Хотя, конечно, черт его знает.

О происхождении тензорных индексов ничего не могу сказать:
по-моему, это вещь неприятная, по крайней мере, приводит
к неприятным методическим последствиям. Появляются
изложения "для инженеров" без упоминания двойственных
пространств -- из простой и внятной вещи делают чрезвычайно
громоздкую, непостижимую конструкцию. Ну или это мне
непонятно, а всем понятно. Наверное, в этом нет беды,
да и формулы короче.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

1. А вот сейчас я, пожалуй, Дирака начну под защиту брать.

> Дирак в данном случае ничего не считал:
> он пытался понять, как устроен мир.

Физики не объясняют, как устроен мир — это делают попы и натурфилософы. Дирак, насколько я могу судить, изучал свойства микрообъектов в обычно встречаемых нами условиях. Задача описания таких свойств — очень и очень почтенная (в отличие от задачи "объяснения устройства мира"). Но есть и другие, не менее почтенные, которыми Дирак не занимался. И в области анатомии беспозвоночных, и в области химии кремнийорганических соединений, и в области математики, и много ещё где.

Вы считаете, что Дирак заслужил, чтобы его ставили на одну доску с попами? Это — обвинение серьёзное. Хотелось бы аргументов.

> Примерно то же происходило
> не так давно с теорией струн.

Микрочастицы, которые теоретически описывал Дирак, наблюдались реально. Струны, насколько я знаю — нет.

Вы считаете, что Дирак заслужил, чтобы его ставили на одну доску с писателями в стиле фэнтези? Это — опять же обвинение серьёзное. Хотелось бы аргументов.

2. Во-первых, нотация "ковариантные снизу, контравариантные сверху" действительно распространена и среди физиков, и среди математиков. В отличие от дираковских бра-векторов, которые математики не используют никогда, а физики — не всегда (у Боголюбова их нет, у Блохинцева — тоже). Во-вторых, мне всё же не очень ясно, как эта нотация может мешать пониманию сути понятий сопряжённого пространства и тензорного произведения у тех, кому такое понимание нужно (коли на то пошло, то довесок "dx" под знаком интеграла уводит от понимания природы интегрирования заведомо сильнее). Впрочем, к первоначальному вопросу всё это не относится.

3. Заглянул сегодня в гильбертовскую монографию 1912 года. Правда, не в первоисточник, а в современный перевод (сделанный с переиздания 1924—года, вроде). Так координатное $l_2$ там введено с самого начала (а прочие сепарабельные гильбертовы ему изоморфны); вполне непрерывные операторы определены; разложения по собственным векторам имеются. Правда, пространства там преимущественно вещественные — но с математической точки зрения это совершенно непринципиально (комплексифицировать можно на раз, результаты при этом не поменяются). Если Дирак всего этого не знал — Гильберту с Риссом сие фиолетово. Гейзенберг, вроде, тоже изначально матричной алгебры не знал — и что с того?

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Дорогой Гастрит,

>Физики не объясняют, как устроен мир —
>это делают попы и натурфилософы.

Ньютон, Кеплер, Эйнштейн и не скрывались: они искали
об'яснить замысел божий. Ньютон, впрочем, и стал
духовным лицом, так что тут Вы не ошиблись.

Остальные физики, особенно неверующие, именно надеются
об'яснить, как устроен мир. А зачем еще можно работать?
Кеплер, кстати, был по должности Математикус.

>Дирак, насколько я могу судить

Для того, чтобы судить, нужно ознакомиться.

>нотации

Это не очень интересно. Вклад Дирака -- концептуальный,
а не формальный. (Нотацию физики используют с большим
усердием -- просто Ландау ее не любил из личных
соображений.)

>Так координатное $l_2$ там введено с самого начала

Ну и что?

Следует смотреть развитие теории после 29 года
(когда гильбертовы пространства и назвали гильбертовыми).
Это касается как ее обобщения (собственные функции
оператора "координата" в L2 не лежат, а ограниченные
операторы имеют весьма ограниченное применение),
так и фактов из жизни bona fide гильбертовых пространств.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Ньютон, Кеплер, Эйнштейн и не скрывались: они искали
> об'яснить замысел божий.

Кеплер и Ньютон жили в XVII веке, и основной опус Ньютона содержал в названии именно термин "натуральная философия". Хотите и Дирака спровадить на четверть тысячелетия назад от его эпохи? Так повторяю вопрос: за какие грехи? Он что, тоже книгу Даниила комментировал?

Что же касается Эйнштейна, то пластинка о его религиозности уже несколько подистёрлась; неплохо бы поменять.

> А зачем еще можно работать?

Ради изучения свойств конкретных частей этого мира в конкретных условиях. Претендовать на нечто большее могут только клинические идиоты, уверенные, что всё уже открыто, и принципиально новых объектов исследования с принципиально новыми качествами уже никогда не появится.

> Для того, чтобы судить, нужно ознакомиться.

Дайте точную ссылку, где Дирак утверждает, что он изучает "устройство мира" и т.д. Тогда я сразу соглашусь, что он был крупный физик, но при том полный идиот. А пока таких доказательств не представлено, я буду исходить из того, что он был вменяемым человеком.

> Ландау ее не любил

Странно: именно курс Ландау — это, пожалуй, единственное место, где я эту нотацию видел.

> Ну и что?

А то, что надо иногда различать между новизной принципиальной и только внешней. Впрочем, проведение такого различения требует действительного знакомства с теорией, а сие многим лень :((

> собственные функции оператора "координата"
> в L2 не лежат

Что и неудивительно, т.к. у этого оператора вообще нет никаких собственных функций (спектр является абсолютно непрерывным). И прошу не читать мне мораль про т.н. "обобщённые" собственные функции: вот о них-то математики упоминают действительно разве что из вежливости (теория с их участием получается весьма корявая, неестественная и с довольно слабой общностью). Причём, в скобках будь замечено, с математической точки зрения Дирак и в этой области ничего не сделал (только задачу поставил).

> ограниченные операторы имеют
> весьма ограниченное применение

А Вы сильно удивитесь, если я Вам скажу, что ничего нового по существу в неограниченных операторах нет? Что вся теория неограниченных операторов основана на сведении их к ограниченным? Что в той же книге Гильберта неограниченные операторы в неявном виде уже присутствуют? См. выше про разные сорта новизны.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Кеплер и Ньютон жили в XVII веке

Ну, а Гротендик, к примеру, в XX. Я не стану ссылаться на
устные беседы с лично знакомыми мне людьми. Но вот
размышления Гротендика, в частности, об этом предмете
имеются в изобилии, как на бумаге, так в Сети -- можете
ознакомиться.
http://www.google.com/search?hl=ru&q=%D0%93%D1%80%D0%BE%D1%82%D0%B5%D0%BD%D0%B4%D0%B8%D0%BA+%22%D0%A3%D1%80%D0%BE%D0%B6%D0%B0%D0%B8+%D0%B8+%D0%9F%D0%BE%D1%81%D0%B5%D0%B2%D1%8B%22&btnG=%D0%9F%D0%BE%D0%B8%D1%81%D0%BA+%D0%B2+Google&lr=


Более того, я пришел к выводу, что природа любого труда,
связанного с открытием -- одна и та же; от особенностей
того или иного ремесла, от условий труда, да и от нас,
работников, она не зависит. Все мы, по сути, заняты одним
и тем же: узнаем мир и находим в нем новое.


>Странно: именно курс Ландау — это, пожалуй, единственное место,
>где я эту нотацию видел.

Все книги по квантовой механике, которые у меня стоят на полке,
используют эту нотацию (кроме одной). В "Квантовой механике"
Ландау она появилась только после его смерти.
Издание 63 года не содержит этого обозначения,
а позднейшие содержат.

>Что и неудивительно, т.к. у этого оператора вообще нет никаких >собственных функций (спектр является абсолютно непрерывным). И >прошу не читать мне мораль про т.н. "обобщённые" собственные >функции: вот о них-то математики упоминают действительно разве что >из вежливости (теория с их участием получается весьма корявая, >неестественная и с довольно слабой общностью).

Да, здесь немало работы математикам.

>Причём, в скобках будь замечено, с математической точки зрения
>Дирак и в этой области ничего не сделал (только задачу поставил).

Это я вам уже докладывала выше.
Здесь лежит, по-видимому, источник недоразумения.
Поставить задачу не в пример важнее, чем "доказать".
Хотя там было что придумывать, да.

>А Вы сильно удивитесь, если я Вам скажу, что ничего нового по
>существу в неограниченных операторах нет?

Да.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> а Гротендик, к примеру, в XX

А он что, имеет какое-то отношение к науке? Он же, вроде, филдсовский лауреат?

> Все книги по квантовой механике, которые у меня стоят на полке,
> используют эту нотацию (кроме одной).

Значит, из "Основ квантовой механики" Блохинцева и "Введения в теорию квантованных полей" Боголюбова-Ширкова как минимум одна на Вашей полке не фигурирует.

> Да, здесь немало работы математикам

[пожимая плечами] Да нет, здесь немало приятного чтения физикам. Жаль, что их кроме линейной алгебры ничему и не учат :((

> Поставить задачу не в пример важнее, чем "доказать".

Истинная правда, но при одном условии: если задача поставлена правильно. В области математики Дираку это удалось в двух случаях: с дельта-функцией и с релятивистским уравнением движения электрона. Теория гильбертовых пространств в этот список никаким боком не входит, уж извините.

> Да.

Искренне рад, что сумел сообщить Вам нечто новое :))

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>А он что, имеет какое-то отношение к науке?
>Он же, вроде, филдсовский лауреат?

Да, наверное, Гротендик -- много чего лауреат,
а от каких-то премий, говорят, отказался. Но точно
Вам не скажу.

Если Гротендик не имеет отношения к науке, то и
Дирак, конечно, к гильбертовым пространствам
отношения не имеет.

А имеют отношение к науке отличники, студенты
и (только очень послушные) аспиранты, которые
решают конкретные задачи про "конкретные части
этого мира в конкретных условиях".

Потому что конкретность (частей ли мира, или условий)
достигается только в тексте инструкции или приказа.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Если Гротендик не имеет отношения к науке, то
> и Дирак, конечно, к гильбертовым пространствам
> отношения не имеет.

Дираку всё же проще: от него и помимо гильбертовых пространств много чего останется. А вот насчёт Гротендика, по совести говоря, не знаю ("абстрактная чепуха" — это, может, и хорошо, но, к сожалению, ненадолго). Поэтому мнение Дирака я, во всяком случае, приму к сведению и проанализирую, а на гротендиковское мне изначально на-пле-вать.

Так что там у нас Дирак говорил про постижение мира в целом? Дадите ссылку?

> Потому что конкретность (частей ли мира, или условий)
> достигается только в тексте инструкции или приказа.

Да, именно так всё и есть. Критерий практики уже отменили, теперь живём исключительно в рамках текущих инструкций. Иногда, правда, в датах путаемся (что устарело, что действует, а что ещё не приняли, не всегда ж сразу и поймёшь!), но в целом получается, вроде, неплохо. Кстати, сейчас как раз объявили очередной конкурс по пересмотру генеральной линии: если успеете подсуетиться, то, глядишь, всякие гротендиковские универсумы с топосами в новую версию и запишут (с точки зрения критерия практики этой болтовне никогда ничего не светило, а так, глядишь, и прорвётся). И тогда даже я, как законопослушный пай-мальчик, начну их расхваливать на все лады. Честное пионерское :))

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Извините, я не вполне поняла, о чем Вы.

Что касается ссылки -- я ведь Вам ее указывала несколько
раз? Дирак, "Принципы квантовой механики".

В библиографии Дирака это и есть, очевидно, тот самый
текст, в котором должен быть назван и обозначен предмет
физической науки. Какие-нибудь "Спиноры в гильбертовом
пространстве" пишутся в предположении, что читателю он
известен. Поэтому, если Вы снова забудете название,
достаточно открыть библиографию.

На случай, если Вы помните название, но Вам трудно скачать
электронную версию книги, я приведу цитату из предисловия.

"Согласно классической традиции окружающий нас мир
рассматривался как совокупность наблюдаемых об'ектов
[...]. Это приводило к физике, задачей которой было
делать предположения о механизме и силах,
относящихся к этим наблюдаемым об'ектам, так, чтобы
об'яснить их поведение возможно более простым способом.
Но в настоящее время становится все более очевидным,
что природа действует иначе. Ее основные законы не
управляют непосредственно миром наших наглядных
представлений, но относятся к таким понятиям, о которых
мы не можем составить себе представлений, не впадая
в противоречие. Формулировка этих законов требует
применения математической теории преобразований."

Предметом физики являются законы природы (принципы
устройства окружающего мира).

Ни о каких "микрооб'ектах" или "конкретных вычислений
про конкретные электроны" речи нет (электроны, впрочем,
конкретными не бывают). Наоборот, далее в тексте
будет следовать апелляция к натурфилософии.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Понятно, спасибо. Выполняю свою обещание и признаю, что Дирак был крупным физиком, но при том в методологических вопросах — идиотом :(( ИМХО, разумеется. Мне как-то гораздо ближе скромная позиция Блохинцева, который называет квантовую механику «наукой об атомных явлениях», говорит, что наука эта «изучает статистические ансамбли микрочастиц в их отношении к макроскопическим измерительным аппаратам» и (о ужас!) высказывает предположение, что рано или поздно появятся и "заквантовые" физические теории.

Наверное, это всё оттого, что человек я скучный и не восторженный. Словом, не матшкольнег :((

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Ну, даже если считать, что Вы правильно поняли Блохинцева
(он-то, говоря о "квантовой теории", наверняка имел в виду
что-то конкретное -- а то ведь, к примеру, сверхпроводимость
не отнесешь к "атомным явлениям") -- вклад его в создание
квантовомеханической картины мира несопоставим с
дираковским.

Это физиология, действительно. Кто строит большой дом,
тот мыслит большими масштабами; без этого не построишь.
А сантехника в том же доме за масштабное мышление коллеги
отдадут санитарам: это ненормально для узкой специальности.
Ну и славно, хорошо, если хоть сантехник, а не лопотун
с бумажкою.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Да нет, имелась в виду как раз квантовая механика в целом (под "атомными явлениями" тут просто понимаются явления не конкретно в атомах, а в примерно близких условиях с примерно похожими по свойствам объектами — так что сверхпроводимость входит).

А самыми большими масштабами мыслят те, кто строит не дома, а воздушные замки. Т.к. чтобы построить дом, недостаточно возвышенного состояния души: тут ещё нужны прозаические бетон, цемент, песок и куча рутинных расчётов (хорошо ещё, если без вариации постоянной). Так что архитекторы рискуют попасть в руки санитаров ничуть не менее сантехников.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Т.к. чтобы построить дом, недостаточно возвышенного
>состояния души: тут ещё нужны прозаические бетон, цемент, песок и
>куча рутинных расчётов

Да, это подробно описано у Гротендика (он вообще
любит такую метафору). Но без воздушного замка
никак -- и это довольно рутинная физиология.

(Мало того, многие считают, что воздушные замки
прочнее каменных домов: так по Платону, а на нем
еще дольше, чем на Аристотеле, держалась
парадигма европейской цивилизации.)

>Так что архитекторы рискуют попасть в руки санитаров
>ничуть не менее сантехников.

И обязательно попадут. Всякая индивидуальная история
есть история поражения. Ср. биографию Паули.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> держалась парадигма

Глагол прошедшего времени. Очень верный выбор грамматических средств!

> И обязательно попадут.

И скатертью дорога. Следовать туда же лично мне не хочется. В который раз извините.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Глагол прошедшего времени.

А какого же?

>Следовать туда же лично мне не хочется.

Невозможно: Вам в другое отделение. У шизофреников
бывает аддикция, но не бывает ressentiment -- на этом
месте у них была бы, без следа обиды, mania grandiosa.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> А какого же?

Именно прошедшего, всё верно. Какой же вменяемый человек будет о платонизме в другом говорить?

> Невозможно: Вам в другое отделение.

Просто камень с души свалился :))

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Я, во всяком случае, ни слова не сказала о платонизме!

(Reply to this) (Parent)

>Ничего реально нового в _математику_ ... он не внёс

Оператор Дирака и спиноры.
http://en.wikipedia.org/wiki/Dirac_operator
http://en.wikipedia.org/wiki/Dirac_spinor

На мехмате этим вещам не учат, а между тем
это центральные понятия математики 20-го века,
лежащие в основе теоремы Атьи-Зингера об индексе
и 90% современной дифференциальной геометрии.

Такие дела
Миша

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Ну, и где математические результаты Дирака о спинорах? Если же речь идёт о постановках задач — то я важность некоторых связанных с именем Дирака постановок и сам уже оговорил (и даже конкретно уравнение Дирака в число таковых включил).

Затем: краем уха доводилось слышать, будто спинорные представления SO(3) отдельные несознательные граждане чуть ли не в 1910-е годы рассматривали. Это так, или пардон, я ошибся? Если да, то на счету Дирака остаётся "всего лишь" обоснование важности понятия спинора посредством демонстрации его связи с физикой частиц полуцелого спина. Т.е. опять же не результат, а постановка задачи.

С уважением,
Гастрит

P.S.: Кстати, о мехмате. В обязательных курсах уравнения Дирака действительно нет, но вот в специальных — сколько угодно.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Затем: краем уха доводилось слышать,
>будто спинорные представления SO(3) отдельные
>несознательные граждане чуть ли не в 1910-е годы
>рассматривали. Это так, или пардон, я ошибся?

Spin(3) это SU(2), а ее спинорное представление
есть фундаментальное представление SU(2). Соответственно,
оно было известно в момент изобретения этой группы
Ли, Энгелем и Картаном.

>В обязательных курсах уравнения Дирака
>действительно нет, но вот в специальных сколько угодно.

Само собой: в координатной версии уравнение Дитака
примерно то же самое, что уравнение теплопроводности
(и никому не нужно в той же примерно степени, ибо
теплопроводность есть способ работать с многообразиями,
на которых координат как правило нет; а локальных
решений у него нет).

А в бескоординатной версии они и теплопроводности не знают.

Но что на половине курсов нет ни одного
выпускника, способного (хотя бы) сформулировать теорему об
индексе, это безусловно. А это основной вычислительный
механизм в топологии, дифф. геометрии и физике.

И в наше время ее знали назубок даже теоретико-числовики.

Привет

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> в координатной версии уравнение Дитака
> примерно то же самое, что уравнение теплопроводности

Дык, ва-аще никакой разницы :) Ни по групповым, ни по спектральным свойствам. Обратные задачи — и вовсе один в один :))

> А это основной вычислительный
> механизм в топологии, дифф. геометрии и физике.

Есть такое понятие — «сверхценная идея» называется. «Что нужно лично мне, то необходимо в обязательном порядке всем и каждому». В дифференциальной геометрии? Возможно. Там я не специализируюсь, ничего сказать не могу. В топологии? Как-то уже меньше верится (многообразия и ПДО не очень напоминают чисто топологические понятия). В физике? Простите, а какой — струнной или нормальной общечеловеческой (которую, например, в эксперименте проверить можно)?

Но вот некоторые вещи и я железной рукой вдалбливал бы в головы. Например, адамаровское определение корректно поставленной задачи ;)

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Дык, ва-аще никакой разницы :) Ни по групповым, ни по
>спектральным свойствам. Обратные задачи и вовсе один в один

Донельзя смешное замечание. Посчитайте к примеру
размерность пространства гармонических спиноров
(решений уравнения Дирака) на каком-нибудь простом
пространстве. На группе Ли SU(3) например. Или найдите
минимальное ненулевое собственное значение оператора
Дирака.

А это задачи, центральные и в математике и в физике
(и вам неведомые, увы). Знание асимптотики решений
PDE на \R^n еще никому в подобных вопросах еще не помогло.

>Что нужно лично мне, то необходимо в обязательном порядке
>всем и каждому

Нужно для понимания современной научной литературы.
Сходите на http://arxiv.org к примеру.

Математика это язык, и к этому языку происходящее
на мехмате не имеет отношения с середины 1960-х.

Привет

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> найдите минимальное ненулевое собственное значение
> оператора Дирака.

?!! По моим сведениям, оператор Дирака, он... как бы помягче выразиться... немного неполуограниченный.

> А это задачи, центральные и в математике и в физике

Знаете, Вы мне сейчас очень напоминаете лузинских мастодонтов :)) Те тоже были уверены, что кроме сходимостей тригрядов на множествах разной меры в математике нет ничего заслуживающего внимания (а которые ещё живы, и посейчас в этом уверены).

> Сходите на http://arxiv.org к примеру.

Т.е. Вы хотите сказать, что все тамошние препринты поголовно ссылаются на теорему об индексе? :))

> Математика это язык

Математика — это наука. А язык — это богословие. И оно меня не привлекает совершенно; Вы уж меня за это простите, ладно?

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Т.е. Вы хотите сказать, что все тамошние
> препринты поголовно ссылаются на
> теорему об индексе?

Математиков (людей, цитируемых на
MathSciNet) в мире в общей сложности 40 тысяч, из них
геометров тысяч 5. Думаю, что из этих 5 тысяч
4 знают теорему об индексе, и 2 тысячи ею
пользуются (в совершенно неожиданных контекстах:
в комплексном анализе или алгебраической
геометрии она часто нужна).

В общей сложности в архиве.орг есть
4540 статей, ссылающихся на формулу Атьи-Зингера.

>По моим сведениям, оператор Дирака,
> он... как бы помягче выразиться... немного
> неполуограниченный.

Это эллиптический оператор, а эллиптические
операторы имеют дискретный спектр
http://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_operator

Привет

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> В общей сложности в архиве.орг есть
> 4540 статей, ссылающихся на формулу Атьи-Зингера.

Давайте теперь, что ли, возьмём общее число препринтов и оценим количество не ссылающихся на эту формулу?

> Это эллиптический оператор,
> а эллиптические операторы имеют дискретный спектр

Кому Вы парите мозги, Козюльский? (c) Во-первых, если кто и неэллиптичен, то как раз Дирак (символ у него ни разу не положительно определённый). Что, впрочем, и неудивительно: электроны и позитроны он задаёт куском, в одном флаконе (электронам отвечают положительные энергии, позитронам — отрицательные; оператор получается неполуограниченным). А во-вторых, оператор \(-y''\) на всей оси очень даже эллиптичен — символ \(p^2>0\) — а вот спектр у него чисто непрерывный.

Так что Вы хотели сказать этой Вашей тирадой? Проверить моё владение предметом, что ли?

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Во-первых, если кто и неэллиптичен, то
> как раз Дирак (символ у него ни разу не
> положительно определённый).

Эллиптичность к положительной определенности отношения не имеет.
Эллиптический оператор - оператор, символ которого обратим
вне компактного множества.

Вот учебник
http://www.emis.de/monographs/gilkey/

Привет

(Reply to this) (Parent) (Thread)

В учебники меня тыкать не обязательно: я в матшколах не учился, а потому привычки рассуждать о вещах, в которых вообще не разбираюсь, не имею ;) С Дираком я действительно лажанулся (привык к чётным степеням, а у Дирака она 1, и потому тут "хорошее" поведение главного символа определяется обратимостью матрицы, а не знакоопределённостью квадратичной формы). А вот что касается дискретности спектра, то Вы таки забыли "малость": компактность области. Может, конечно, в струнной физике некомпактных многообразий и не рассматривают (не знаю и знать не особо рвусь), но вот в обычной, неструнной — сколько угодно.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Так я с этого и начал: определить размерность ядра
и минимальное ненулевое собственное значение Дирака
на каком-нибудь простом компактном многообразии.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Во-первых, минимальное по абсолютной величине, я так полагаю? Он ведь таки неполуограничен (с чего, в свою очередь, начал я).

Во-вторых, не вижу тут ни малейшей необходимости ни в Атье, ни в Зингере (вариационных принципов для СЗ выше крыши будет).

В-третьих, я не зря выше упоминал про корректные задачи: задача определения суммарной кратности на некоторой области спектра приближённо заданного оператора (т.е. у которого потенциалы etc. известны лишь с некоторой погрешностью) для приложений едва ли не более интересна, чем задача о точном нахождении спектра точно заданного оператора. И вот те же вариационные методы с такой задачей заведомо справятся, а как насчёт Атьи-Зингера?

В-четвёртых, на любой оператор (и оператор Дирака тоже) можно смотреть с тысячи разных сторон, и прямая спектральная задача — лишь одна из них. Ещё можно исследовать группу симметрий диффура; обратную спектральную задачу и решаемые на её основе нелинейные уравнения; задачу управления решениями и прочая, прочая, прочая. Со всех этих точек зрения уравнение Дирака тоже ничем не будет отличаться от уравнения теплопроводности?

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent)

В том же учебнике можно посмотреть про эллиптичность Дирака,
и про дискретный спектр эллиптических операторов

(Reply to this) (Parent)

Ничего реально нового в _математику_ и даже математическую нотацию он не внёс

Вот, скажем, есть скобка Дирака. Весьма занимательный и нетривиальный математический обьект. Так что все-таки внес.

(Reply to this) (Parent)