По-моему, Ваш список просто отражает Ваши личные математические интересы. Люди, занимающиеся, скажем, анализом, дифференциальной геометрией или комбинаторикой составят совсем другой список, наверное. Но даже с поправкой на интересы, мне не кажется осмысленным учить комплексную геометрию без основ комплексного анализа. Учить микролокальный анализ без эпсилон-дельта техники можно только, если под микролокальным анализом понимать его алгебраическую версию, а не то, что понимали ее создатели. Мне, однако, кажется разумным, чтобы люди, занимающиеся алгебраическими D-модулями знали хотя бы примерно, что такое псевдо-дифференциальный оператор. Чем Вам так не угодили условно-сходящиеся ряды? На них уходит не так много времени, а идея, что от изменения порядка суммирования меняется сумма, чрезвычайно важна как просто для понимания рядов, так и для многих областей современной математики (перенормировки, зета-регуляризации, ... ) Вообще, примерно 2/3 того, что Вы предлагаете выкинуть я использовал в своих работах. Даже эпсилон-дельта использовал несколько раз, причем отнюдь не в работах по классическому анализу. Вычеты все время использую, например, не столько для конкретных вычислений (хотя примеры тоже считаю), сколько для доказательств теорем. Впрочем, почти все, что Вы предложили включить вместо этого, тоже использую. Так что учить надо и то и другое, вопрос только в каком порядке разумнее это делать.

Аналитическую геометрию я бы, наверное, выкинул. Математическую статистику -- зависит от того, насколько диффернцированно учат студентов. Бисмут использует случайные процессы во вполне main stream математике, но это все же экзотика и без этого почти всегда можно обойтись. Многие вещи надо учить чуть иначе (те же тензоры; формулы Грина, Гаусса и Стокса, конечно, надо учить через общую формулу Стокса. Но потом на языке векторных полей тоже надо переформулировать), многие, наверное, лучше заменить чем-то другим, просто из-за недостатка времени. Курс матфизики обычно слишком подробный для неспециалистов. Но совсем без него, по-моему, нельзя. Курс матфизики обычно слишком подробный для неспециалистов. Но совсем без него, по-моему, нельзя. Но, мне кажется, почти все, что Вы предложили выкинуть, профессиональный математик должен в том или ином виде знать.

(Reply to this) (Thread)

>По-моему, Ваш список просто отражает Ваши личные математические интересы.

Вовсе нет (мой основной интерес — алгебраическая
топология и связанные с ней квантовые теории поля).
Просто я подобрал для того материала, который
присутствует в исходном списке его современную версию.
Кроме того, речь шла не о составлении программы
(что неявно вытекает из формулировки про интересы),
а о том, что будет, если заменить архаичные изложения
современными.
Области вроде алгебраической геометрии и алгебраической
топологии сейчас вообще никак не представлены,
поэтому я их даже и не упомянул.

Впрочем, видимо, любая программа (в этой записи, хочу подчеркнуть, никакой программы нет)
будет отражать чьи-то интересы и не отражать
чьи-то другие интересы.
Нынешняя, кажется, отражает интересы только
жёстких аналитиков.

>Вообще, примерно 2/3 того, что Вы предлагаете выкинуть я использовал в своих работах.

Ну вот, опять везде людям видятся деструктивные аспекты вместо имевшихся ввиду конструктивных.
Я ничего не предлагал выкидывать,
а наоборот, излагать современным образом.
Дьёдонне говорит о том же самом.

Эпсилон-дельта формализм превращается
в определение топологии на метрическом пространстве
(в упражениях при этом доказывается эквивалентность
современных и классических определений),
формулы Грина, Гаусса и Стокса превращаются
в общую формулу Стокса (а частные случаи
можно оставить в упражнениях),
интеграл Римана превращается в интеграл Лебега
и так далее.

>Чем Вам так не угодили условно-сходящиеся ряды?

Тем, что такие вещи должны изучаться в упражнениях,
а не подаваться как нечто исключительно важное,
как это происходит сейчас.

>Но, мне кажется, почти все, что Вы предложили выкинуть, профессиональный математик должен в том или ином виде знать.

Ещё раз, я почти ничего не предлагаю выкинуть,
кроме аналитической геометрии и пары совсем маразматичных вещей
вроде 50 интегралов (и то я об этом пишу только сейчас,
а в исходной записи про это нет ни слова).
Предлагаю только заменить архаичные вещи современными,
как и Дьёдонне.

>Многие вещи надо учить чуть иначе (те же тензоры; формулы Грина, Гаусса и Стокса, конечно, надо учить через общую формулу Стокса. Но потом на языке векторных полей тоже надо переформулировать), многие, наверное, лучше заменить чем-то другим, просто из-за недостатка времени. Курс матфизики обычно слишком подробный для неспециалистов. Но совсем без него, по-моему, нельзя.

Вы предлагается сделать тоже самое, что и я.
Под «матфизикой» обычно имеются ввиду
разбор нескольких уравнений в частных производных.
Они (уравнения) у меня включены в список.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Я понял, что Вы имеете в виду. Я согласен лишь частично. Есть случаи, когда современный более общий подход делает изложение проще (Пример: общая формула Стокса проще, чем классические формула векторного анализа). А есть, когда сложнее и абстрактней. Большинство нормальных людей не может воспринять общую топологию, не поиграв перед этим с эпсилон-дельта доказательствами простых утверждений анализа. То есть, в конце концов, если их долго бить, наверное поймут. Но сил и времени на это уйдет больше, чем, если сначала учить анализ, а потом топологию. Вы не пробовали обучать общей топологии студентов, которые никогда до этого не видели эпсилон-дельта техники? По моему опыту даже обычный анализ поначалу почти у всех идет трудно и медленно. Людям надо медленно привыкать к новым идеям. Кратчайший путь к знаниям не всегда самый быстрый.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Вы не пробовали обучать общей топологии студентов,
>которые никогда до этого не видели эпсилон-дельта техники?

Я пробовал. Даже написал книжку с содержанием курса (задачи, лекции)
http://verbit.ru/MATH/UCHEBNIK/top-book.pdf

Результатом очень доволен, студенты тоже, кажется.

\epsilon-\delta есть мракобесие и обскурантизм
вроде обязательной программы ОПК.

Такие дела
Миша

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Замечательная книга! Она скоро будет в печати?

Замечания:
почему пункты "Введение" нумеруются 2.х?
Вы указываете на 2 тома: геометрия и алгебра что вводит неясность.
почему бы не сделать более жестче привязку листок-лекция?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Замечательная книга! Она скоро будет в печати?

Не ведаю. Издательство молчит, как рыбо, при встрече спрошу, что там.

>почему пункты "Введение" нумеруются 2.х?

Сглючило, спасибо.

>Вы указываете на 2 тома: геометрия и алгебра что вводит неясность.

Да, это нужно править. Второй том как бы есть тоже, но совсем сыро.

>почему бы не сделать более жестче привязку листок-лекция?

Ну, все-таки это два курса, по сути независимые, в лекциях
к тому же решения многих задач прямо излагаются, соответственно,
не должно появляться желания читать их вперемешку

(Reply to this) (Parent)

> Большинство нормальных людей
> не может воспринять общую топологию,
> не поиграв перед этим с эпсилон-дельта доказательствами
> простых утверждений анализа.

Могу совершенно точно сказать,
что эпсилон-дельта-формулировки
гораздо выгоднее вводить через "окрестности".
Народ _гораздо_ лучше понимает.

Далее, тот же самый народ очень хорошо понимает,
что окрестности могут быть и в n-мерном пространстве,
и во всяческих L_2, причём, этот народ -- школьники.

А уж объяснить, что бывают окрестности, которые
бывают очень разные, и не от нормы, и не от метрики,
после этого получается совершенно запросто.
Могу точно сказать, что для этого гениальность
воспринимающих материал совершенно не обяательна.
Вполне достаточно, чтобы преподаватель знал, о чём преподавал.

Кароче говоря, матан 30-х годов безнадёжно устарел ;-)

Что-то, жж тут не воспринимается.
Это был я ->
NIvanych@livejournal.com
Nick@Ivanych.net

(Reply to this) (Parent)

Я кажется понял, что произошло. Фраза про мусор относилась к обязательным гуманитарным предметам. Поправил.

(Reply to this) (Parent)

>Мне, однако, кажется разумным, чтобы люди, занимающиеся
>алгебраическими D-модулями знали хотя бы примерно, что
>такое псевдо-дифференциальный оператор.

Я тут читал курс по теории Ходжа, и обнаружил,
что определения псевдодифференциальных операторов
в книжках более-менее нет. То, что написано -
"запишем такой-то оператор в координатах (15 страниц)
от координат и разбиение единицы это определение
не зависит" (15 страниц). Причем от книжки к книжки
само определение меняется, и они неэквивалентны.

Я стал приставать к разным людям, пытаясь выяснить,
есть ли (а) консенсус и (б) определение меньше, чем
10 страниц. Ни того, ни другого, похоже, нет, то есть
опрошенные специалисты мне не помогли.

Не думаю, что педагогически правильно вообще
упоминать "псевдодифференциальные операторы"
в такой ситуации, даже в курсе по PDE.

Если ты можешь как-то разъяснить эту проблему,
я буду весьма признателен.

>Курс матфизики

"Курс матфизики" ("уравнения математической физики")
это на самом деле курс PDE, причем строго в координатах
и избегая любых фундаментальных теорем и неравенств.
В топку.

Впрочем, всю мехматскую программу туда же,
она по количеству полезного контента с избытком
перекрывается программой "матшкольник".

Такие дела
Миша

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Тридцать страниц на введение псевдо-дифференциальных операторов -- это, по-моему, только в книге Шубина, где все делается в максимальной общности и с максимальным занудством. Обычно на все про все уходит страниц 15 (уже с независимостью от координат и построением параметрикса). См., например, первую главу книги Gilkey, Ivariance Theory, the Heat ...

Совсем без координат, к сожалению не обойдешься. Действительно есть несколько не вполне эквиавлентных версий, но, на сколько я понимаю, за стандарт принято определение Хермандера (оно же в книгах Шубина и Трева). Кондовые аналитики обычно все пишут для пространсва символов зависящего от двух параметров (\rho,\delta). Для всех практических целей достаточно пространсва (1,0), которые только и надо вводить. Я не призываю учить псевдо-дифференциальные операторы в общих курсах. Но прежде, чем учить D-модули, по-моему, надо получить представление о не полиномиальных символах и параметриксах.

Уравнения матфизики, конечно, не надо учить по Тихонову и Самарскому. У нас в этом курсе вводились обобщенные функции, Соболевские пространсва и было много общих теорем. По-моему, все студенты-математики должны увидеть несколько основных примеров PDE (волновое уравнение, уравнение теплопроводности, ...,) и их основные свойства. Должны знать, что такое граничная задача что она не всегда имеет решение и решение не всегда единственно. Должны знать про эллиптические и параболические уравнения и об их отличиях. Должны увидеть 2-3 метода явных решений и узнать, что явные есть не всегда. Должны услышать о спец-функциях. Должны узнать об обобщенных функциях и слабых решениях. Из всего этого может получится отличный семестровый курс. Кстати у Шубина есть очень разумный учебник урматов.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Из всего этого может получится отличный семестровый курс.

Да-да, я как раз такой читаю следующей весной для
второкурсников. Воспроизведу синопсис, для понятности

``Эллиптические операторы и спектральная теория``

0. Расслоения, векторные поля, комплекс де Рама, разбиение
единицы.

1. Дифференциальные операторы.
Символ дифференциального оператора. Оператор Лапласа.

2. Эллиптические операторы. Слабый принцип максимума.
Гармонические функции.

3. Гильбертовы пространства. Теорема Рисса о компактности
единичного шара.

4. Пространства Соболева. Лемма Реллиха и лемма Соболева.

5. Фредгольмовы операторы. Спектральная теорема для
самосопряженных компактных операторов.

6. Спектральное разложение для оператора Лапласа на
окружности.

7. (*) Спектральное разложение для оператора
Лапласа на сфере.

8. (*) Связность, кривизна, формула Вайценбека.

9. (*) Оператор Грина. Спектральное разложение для
оператора Лапласа на римановом многообразии.

От слушателей желательно знакомство с понятием многообразия,
векторного расслоения, разбиениением единицы, комплексом де
Рама, леммой Пуанкаре. Части 7-9 будут в сокращении (в зависимости
от подготовки студентов - если никто не знает, что есть
связность и кривизна, у нас немного шансов рассказать им
формулу Вайценбека и теорию Ходжа, если никто не знает
элементарную теорию представлений, про спектральное
разложение на сфере тоже не получится).

Но внутреннее определение псевдодифференциальных
операторов должно быть, просто не придумали.

Что до приведенной выше программы, если добавить
к ней теорию Ходжа (включая параметрикс), теорему об
индексе, регулярность решений, уравнения Монжа-Ампера
(Погорелов, Яу) и сильный принцип максимума для
операторов второго порядка, обязательная программа
PDE этим должна исчерпываться.

Что занятно - пересечений с тем, что читают на мехмате,
у мною приведенного выше просто нет, даже "фредгольмовых
операторов" там не рассказывают.

Что до граничных условий, то это бред какой-то - есть
задача Лиувилля, есть \bar\partial-проблема Ноймана,
есть решения Бедфорда-Тэйлора, но никаких общих решений
к подобным задачам нет, и осмысленных общих принципов
тоже нет, соответственно, лучше не упоминать вовсе,
иначе можно скатиться к унылому говну вроде трудов
мехматских профессоров.

Ну и естественно,
геометрический анализ включает в себя много гитик,
локальную разрешимость потока Риччи, \lambda-инвариант
Перельмана, оценку собственных значений Лапласа, формулу
следа Сельберга и прочее, что есть в учебнике Яу-Шоэна, но
это надо выделить в отдельный курс.

Такие дела
Миша

(Reply to this) (Parent)