| Категории Аристотеля 6: категория количества |
[Jun. 27th, 2020|05:49 pm] |
| [ | Current Mood |
| |  anxious | ] |
| [ | Current Music |
| | Project Pitchfork - Song of the Wind | ] |
Оказывается, я очень недооценивал философию математики Аристотеля. Количеством называются вещи имеющие своим предикатом равенство и неравенство. При таком определении получается, что количеством становятся не только числа и результаты измерений, как я считал ранее, но и слова, речевые конструкции, геометрические фигуры, и почти любые объекты современной математики в самом широком смысле. И действительно, говорить о равенстве субстанции некорректно, ведь даже тривиальное отождествления первичной субстанции с самой собой проблематично, ведь непонятно, считать ли субстанцию тождественной себе в разные моменты времени (представления, то есть свойства субстанции постоянно меняются).А свойства количества по Аристотелю перманентны, поэтому математика это домен свободный от времени, хотя само время и его промежутки по Аристотелю относятся к количеству. Интересно, что это взгляд на сравнение, как фундаментальное свойство математического объекта вполне актуален и сегодня. Таким образом (почти) все обозначения математических объектов относятся к категории количества.
Интересно, что "субстанция" и "категория субстанции", а также все, обладающее категорией, по Аристотелю оказывается в категории количества. Ведь это просто слова. И если принять то, что математика это наука изучающее количество, то таким образом логика Аристотеля сама в значительной степени становится разделом математики. Однако, если принять это определение (математика изучает объекты с возможностью сравнения), то возникает вопрос является ли современная теория категория, где объекты сравниваются только с точностью до изоморфизма, математикой? Тогда тем более математикой не является конструктивная математика, где используются сетоиды (подобия множеств без операции сравнения элементов). Более того, нетривиальность предиката сравнения перечеркивает математический платонизм. Ведь, например, если существуют разные количества равные числу три, то то тогда можно сказать, что существуют разные числа три, видимо, отличающие представлениями в разных первичных субстанциях.
В самом начале главы Аристотель вводит уже набившее оскомину разделение количества на дискретное и непрерывное. Дискретно то, что не имеет границы, постулирует он. Поразительно, но это вполне конкретное определение дискретной топологии в современной общей топологии! Ведь если в топологическом пространстве никакое множество не имеет границы, то замыкание каждого множества совпадает с ним самим, а так как оператор замыкания однозначно определяет топологию, то эта топология пространства дискретна! При чем сам Аристотель называет дискретным количеством не только целые числа, но и устную речь. Письменная, записанная символами, речь таким образом будет количеством и подавно. Поэтому я не удивлюсь, если бука 'A' в аббревиатуре 'ASCII' означает "Аристотель".
Как противоположность дискретного непрерывным для Аристотеля будет называться количество помещенное в нетривиальное топологическое пространство. Конечно, чтобы такое утверждение имело место нам нужно понимать cсовокупность количества по Аристотелю как категорию топологических пространств с отмеченными точками, так как каждое количество либо дискретно, либо непрерывно, а вывод об этом сделать без знания топологии нельзя. Любопытно, как Аристотель определяет точку прямой, то есть действительное число. Он говорит, по сути, что точка это минимальная непустая граница интервала. Тут я вижу много параллелей с конструкцией действительных чисел Дедекинда, только это не конструкция, а определение. И в этом нет проблем, ведь для Аристотеля действительная прямая первична и существует как локаль, если говорить современным языком, а сами числа определяются на основе ее свойств. Существование самой же прямой и ее интервалов не должно вызывать сомнений, так как это нечто доступное из непосредственного физического опыта. Для математического не-платониста Аристотеля в этом не должно было быть ничего неправильного, что, на мой взгляд, роднит его с "физиком" Арнольдом. Тут на мой взгляд Евклид бы с его 'точкой как целым не имеющем частей' с заглотом соснул у Аристотеля. Однако сам Аристотель определяет прямую как границу в двухмерном пространстве, что на мой взгляд, уже не так правильно и изящно. В чем секрет топологичности сознания Аристотеля? Думаю дело не в том, что Аристотель предвидел общую топология или читал учебники Миши или Мункреса. Видимо дело в том, что люди создававшие терминологию общей топологии были знакомы с трудами этого философа еще в школе, и как-бы правильное наложение их теории на его постулаты было для них свидетельством изящества выбранных терминов и аксиом, для человек начинающего изучать математику сегодня, однако, совершенно не очевидного.
Также Аристотель выделяет еще два свойства количеств. свойство относительного порядка не вызывает сложности, и соответствует линейному порядку как мы понимаем его сегодня. Относительным порядком обладают, например, кардинальные числа, время или слова в этом предложении. А вот понятие порядка расположения вызывает определенные трудности, так как у него нет аналога в современной математики. Этим свойством обладают различные геометрические объекты вроде прямой, плоскости, трехмерного тела и т.д., а время и кардинальные числа им не обладают. Видимо, его можно определить так, что любая субстанция, представляющая количество, упорядоченное по расположению, должна также представлять некоторое место, но категорию места мы еще не разбирали. Кажется, что упорядоченность по расположению представляет из себя главный критерий геометричности. И тогда геометрию можно определить как раздел математики, изучающий количества, упорядоченные по расположению. Теперь неудивительно, что я сам так и не смог найти внятное определение геометрии как-таковой, ведь определение Аристотеля, как мне кажется, должно будет отсылать к не-математическому по существу понятию места, а без такого рода отсылок к не-математическому видимо определить Геометрию нельзя. Однако в связи с общей теорией относительности и геометрией пространства-времени конкретно позиция Аристотеля, что время лишено геометрии или места, мне не кажется очень актуальной.
Также для Аристотеля очень важно, что у числа так же как у субстанции нет противоположностей и сравнительных степеней. Он уделяет обсуждению этого вопроса изрядную часть главы. Ну, на мой взгляд тут все ясно и понятно. Все о чем говорилось выше, это первичное число по Аристотелю. Вторичным же количеством будут вещи имеющие количество своим предикатом. Это как-раз и есть всякого рода результаты счета и измерений. То есть, например, слова "рост Васи" относится к категории количества, но не первично.
В общем теперь я уже очень доволен, что взялся читать Категории Аристотеля. Тут я нашел самую адекватных философий математики из всего, что я знал. |
|
|
![[info]](http://lj.rossia.org/img/userinfo.gif){kind=small}