tiphareth: сообщение для связи

(Читать комментарии) - (Добавить комментарий)

(Анонимно)
2011-11-02 19:36 (ссылка)

Как вам пришла в голову такая глупость?

Почти во всех теоремах элементарной линейной алгебры рассматривается категория векторных пространств, а не векторное пространство как категория.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	(Анонимно) 2011-11-02 21:32 (ссылка)
	Да это не мне пришла, вообще-то... >где базовые понятия (алгебры, топологии, ...) сразу излагаются в терминах категорий Вектор -- базовое понятие, нет? (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

oort
2011-11-03 00:51 (ссылка)

>Вектор -- базовое понятие, нет?

нет конечно! так же как и определитель и прочие затычки из 19 века, как какая-нибудь флюксия или флюента.

то есть любое содержательное утверждение линейной алгебры формулирется без аппеляции к векторам.
жорданово разложение, тензорное и прямое произведения, классификация векторных пространств и т.д.

все что касается базиса переводится на это
http://en.wikipedia.org/wiki/Free_object

если очень хочется векторы то
http://en.wikipedia.org/wiki/Functor_of_points

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

(Анонимно)
2011-11-03 01:23 (ссылка)

>жорданово разложение

Ну и как вы сформулируете про жорданово разложение?

Чтобы два раза не ходить -- шо такое в категорном смысле полупростой оператор?

>если очень хочется векторы то

Да-да, абелева групповая схема с действием вещественных чисел на ней или как там оно определяется. Ну и какой в этом смысл применительно к такому элементарному объекту как векторное пространство?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

oort
2011-11-03 09:33 (ссылка)

>Ну и как вы сформулируете про жорданово разложение?

структурная теорема для конечно порожденных модулей над кольцом многочленов с одной переменной над совершенным полем, не? хотя нужно излагать наверно не ж.р. а струтурную теорему для к.п. модулей над к.г.и., как более естественное утверждение, и общее.

>шо такое в категорном смысле полупростой оператор?

вообще от категории Vect_k нужно перейти в категорию С, где объекты - пространства с действующими на них операторами, она изморфна категории конечномерных представлений алгебры k[T]. на ней хорошо определена прямая сумма.
"инвариантное подпространство" элемента А в ней будет парой (I, m), m мономорфизм, такое что любой морфизм из I факторизуется единственным образом через m и морфизм из А.
"полупростой оператор" это соответсенно элемент категории, допускающий разложение в прямую сумму "инвариантных подпространств" (в категории С все).
вроде так.

>Ну и какой в этом смысл применительно к такому элементарному объекту как векторное пространство?

никакого, просто неестественные понятия ("элемент векторного пространства") имеют сложные определения на естественном языке ("категории").

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

(Анонимно)
2011-11-03 23:59 (ссылка)

Поле, наверное, алг. замкнутое. Совершенное -- это где корни любой степени есть? Этого мало, чтобы спектр любого оператора там лежал.

Да, сами утверждения теорем успешно формулируются на языке теории категорий, но элементарные термины вряд ли все могут быть переведены (естественным образом) на этот язык. В красивой формулировке "одномерное инвариантное подпространство" сидит понятие размерности, которое неясно как выглядит в категорном смысле. Можно, конечно, сказать, что одномерное -- это минимальное, т.е. без нетривиальных собственных подпространств и даже обобщить определение размерности, пользуясь подобными ухищрениями, типа длина неуплотняемого ряда подпространств, но ценность подобных обобщений сомнительна. А понятие размерности в то же время -- базовое. Или оно тоже неестественное?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	(Анонимно) 2011-11-04 10:05 (ссылка)
	>понятие размерности, которое неясно как выглядит в категорном смысле Нет ничего яснее dim V=n if V is isomorphic to k^n (by definition) (Ответить) (Уровень выше)

oort
2011-11-04 13:05 (ссылка)

>типа длина неуплотняемого ряда подпространств, но ценность подобных обобщений сомнительна

вы только что дали определние длины модуля (в случае векторных пространств оно совпадает с обычной размерностью) - максимальная длина цепочки несобственно вложенных подмодулей. отличное определение как раз.

> Поле, наверное, алг. замкнутое. Совершенное -- это где корни любой степени есть? Этого мало, чтобы спектр любого оператора там лежал.

совершенное - это когда любая алгебра над полем сепарабельна (то есть для любого расширения поля расширение скаляров алгебры дает полупростую алгебру, то есть это такие "геометрически" полупростые алгебры как-бы). сепарабельные алгебры классифицируются - это произведения конечного числа матричных алгебр над телами, центры которых - конечномерные сепарабельные расширения базового поля. в случае совершенного поля это приводит к тому, что любая алгебра это конечное произведение матричных алгебр над телами с центром - конечным расширением поля.

я не возьмусь сказать сейчас, насколько это утвердение эквивалентно существованию жорданова разложения, но подозреваю что это одно и то же. надо это выяснить, на самом деле. я сам узнал что такое жорданова форма и разложение месяц назад, к стыду своему. теперь пытаяюсь понять, что же это все-таки такое.

а обычная жорданово разложение работает для совершенных полей, надо просто доказать что любое пространство разлагается в прямую сумму _корневых_ подпространств (вектор v корневой, если (A- \lambda v)^n=0, для каких-то \lambda и n. Все корневые вектора, соответсвующие лямбде какой-то образуют корневое подпространство). это более слабое свойство, чем собственное подпространство, и совершенности поля достаточно для существования "корневого спектра" (или как его назвать?)
корневые подпространства инвариантны.

(опять же аргумент в пользу того, почему не всегда полезно думать об векторах, спектрах и тд, можно упустить обобщение нужное).
хотя понятно что возможны разные обобщения. "категорный" подход элиминирует из рассуждений понятие линейной зависимости и тд (явно по крайней мере), а теория моделей наоборот например предлагает широкое обобщение самого понятия "зависимости" (линейной, алгебраической и тд), в том числе и нестандартные, которые раньше не знали, и пляшет от этого.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

oort
2011-11-04 13:11 (ссылка)

>а обычная жорданово разложение работает для совершенных полей

там я дальше чушь полную написал, конечно, к тому же про нормальную форму, а не разложение. R совершенно, а нормальной формы может не быть. разложение говорят все таки есть, но я не знаю как это доказать.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

dmitri83
2011-11-04 19:22 (ссылка)

всё нормально, как раз разложение (в сумму полупростого и нильпотентного) есть над совершенным.

а нормальная форма (матрица) есть только над алгебраически замкнутым

на самом деле "координатные манипуляции" тут заметены под ковёр, в определение совершенности. потому как чтобы доказать, что какое-то поле (скажем конечное, или характеристики 0) - совершенно, надо будет брать в руки алгебру и разваливать её в прямую сумму матричных какими-то чисто конкретными методами.

но это не страшно. главное, применение гауссовых преобразований огорожено и помечено знаком "не влезай, убьёт"

(Ответить) (Уровень выше)

	dmitri83 2011-11-04 19:29 (ссылка)
	..и алсо, по-моему категории этому всему перпендикулярны просто безкоординатная алгебра (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

oort
2011-11-04 21:00 (ссылка)

плупростой объект, тензорное произведенеие прямое произведение - это "категорные" понятия? вроде во всех определениях использовалось только это.

я кстати не понимаю что имеют ввиду под тру "категорным" изложением линейной алгебры.
ведь нельзя сказать, что категория векторных пространств над полем это категория векторных пространств над полем. нужно же ее задать аксиоматически, как единственную абелевую категорию, с тензорным произведением, нулевыми объектами, суммой, обратными пределами и тд (как кстати однозначно задать? я не знаю, как категории векторных пространств выделяются в моноидальных категориях), причем нельзя обогатить (enrich) множества морфизмов структурой векторного пространства, потому что замкнутый круг как бы, там должна быть еще какая-то структура отражающая базовое поле как-то и тд.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

dmitri83
2011-11-04 22:08 (ссылка)

не знаю, а что, "категорные"? как назовёшь

мне казалось под "тру" категорным изложением понимается такое, в котором элементы _вообще_ не упоминаются, а только стрелки. что конечно всегда можно сделать, только зачем. вернее, хочется сказать: а что, кто-то пытался? и у него получилось?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

oort
2011-11-04 23:07 (ссылка)

категорные это я думаю когда мы делаем высказывание и в нем фигурируют только объекты и морфизмы, и вещи, определенные через это. ну когда на множествах морфизмов есть структура абелевой группы то наверно тоже, хотя труъ-адептъ скажет что нужно говорить что категория обогощена надкатегорией абелевых групп.

вобще в определении категории объекты излишни, так что их упоминание это фигура речи (можно сказать что это класс стрелок, некоторые из которых можно складывать, со всеми аксиомами, а объекты понимать как тождественные стрелки. ну еще добавить что для двух тождественных стрелок подкласс стрелок складывающихся справа с первой и слева со второй - множество (чтобы Mor(A,B) были множествами))

но вообще да, религию делать из этого не надо. это просто алгебраическая структура, типа обобщение группы, техническая и нефундаментальная в перспективе вещь, хехе.
жив же гармонический анализ без категорий, и даже если все там переформулировать в них, то ничего передоказать особенно не получится, вроде как.
кстати похоже что-то подобное имеем с полугруппами в тдс, то есть она определяется, но реально никак не используется (именно полугруппа как алг. структура), а используются методы анализа там, теории меры и тд.
или топология зарисского - ну топология и топология, но топологические ее свойства никак не используются, насколько знаю, нужны совсем другие методы.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	dmitri83 2011-11-04 23:51 (ссылка)
	я как-то тиэйил у чувака - специалиста по полугруппам, хихи. более того, по истории теории полугрупп (имеются статьи по теме)! (Ответить) (Уровень выше)

	(Анонимно) 2011-11-04 23:27 (ссылка)
	Я попытаюсь. И у меня получится. (Ответить) (Уровень выше)

oort
2011-11-03 12:40 (ссылка)

ну то есть конечнопорожденный модуль над k[T] это векторное пространство над k с действующим на нем линейным оператором. оператор полупростой если модуль полупростой.
категория Vect_k вкладывается в k[T]-Mod (V отправляется i в V с тождественным дейтсвием)
эндоморфизм f в Vect_k полупростой если i(f) полупростой.

в категории Vect_k в множествах морфизмов мы можем складыдвать.

жорданово разложение говорит что любой эндоморфизм в категории Vect_C представляется как сумма коммутирующих полупростого эндоморфизма и нильпотентного.

(нильпотентный эндоморфизма - такой что f^n=0, где 0 - нулевой морфизм, который в Vect_k всегда существует)

(Ответить) (Уровень выше)

	(Анонимно) 2011-11-03 18:53 (ссылка)
	Иди считай интегралы символьно, Маня. (Ответить) (Уровень выше)

(Читать комментарии) -