tiphareth: лекция по алгебраической геометрии

(Читать комментарии) - (Добавить комментарий)

	maxmornev 2011-09-03 03:07 (ссылка)
	Красивое док-во Nullstellensatz! Никогда такого не видел. Это не Ваше собственное изобретение? (Ответить) (Ветвь дискуссии)

	tiphareth 2011-09-03 08:12 (ссылка)
	Нет, это мне рассказали позавчера Городенцев и Финкельберг они сослались на какого-то японца (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

mahalex
2011-09-03 14:25 (ссылка)

Ходят слухи, что основная идея этого доказательства принадлежит Амицуру, который вовсе даже не японец, а израильтянин. См. В. Доценко, Об одном доказательстве теоремы Гильберта о нулях. — Математическое Просвещение, 2002, сер. 3, вып. 6, с. 116-118

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	tiphareth 2011-09-03 17:26 (ссылка)
	я не расслышал, наверное (Ответить) (Уровень выше)

	(Анонимно) 2011-09-03 08:47 (ссылка)
	Ага, я тоже никогда не видел доказательства (и формулировку) Nulstellensatz, в котором ни слова про то, что аннулятор бьёт из аффинных множеств в радикалы соответствующих идеалов. (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

maxmornev
2011-09-03 22:26 (ссылка)

Зря вы так: это стандартная
терминология. Утверждение из лекций Миши
(точнее, очевидное следствие из него)
обычно называют weak nullstellensatz.
Как вывести из него ваше утверждение
(strong nullstellensatz), рассказывают в
любом учебнике комм. алгебры, называется
"трюк Рабиновича".

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

(Анонимно)
2011-09-04 01:08 (ссылка)

в приципе да, в книжке Шафаревича именно в такой форме идёт теорема о нулях. То ли у Миши это в виде упражнения будет, то ли он позже собирается рассказать. мне почему-то именно в такой форме запомнилось.

(Ответить) (Уровень выше)

dmitri83
2011-09-08 22:10 (ссылка)

по-моему, главный факт, которому учит нульштелленсац, это то, что поле вычетов k' ~~замкнутой точки схемы конечного типа~~ максимального идеала конечно порождённой алгебры над полем k есть алгебраическое расширение k. то, что максимальный идеал определяет точку в афинном пространстве над полем вычетов --- факт тавтологический, прослеживается по определениям. нетривиально то, что поле вычетов алгебраично над полем определия.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

maxmornev
2011-09-08 23:24 (ссылка)

Безусловно. У Зарисского есть хорошая
древняя статья про это, в духе "по
модулю леммы Зарисского nullstellensatz
становится упражнением", странички на
четыре.

Вообще, л. Зарисского --- удивительно
красивый и простой факт. Странно, что ее
не открыли еще в XIX веке.

(Ответить) (Уровень выше)

(Анонимно)
2011-09-09 18:36 (ссылка)

>главный факт, которому учит нульштелленсац, это то, что поле вычетов k' максимального идеала конечно порождённой алгебры над полем k есть алгебраическое расширение k.

А это без Nulstellensatz разве не очевидно?

>есть алгебраическое расширение k

ничего не понял. вроде как, поле k предполагается алгебраически замкнутым, то есть никаких нетривиальных алгебраических расширений нет.

(Ответить) (Уровень выше)

(Анонимно)
2011-09-09 19:07 (ссылка)

нет, не очевидно, наверное.

то есть, в случае произвольного поля k(не а.з.)
важно, уметь показывать, что максимальный идеал соответствует точке, координаты которой и являются присоединяемыми элементами, алгебраическими над данным полем k. Это как раз делается в нульштеллензатц.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

maxmornev
2011-09-09 23:03 (ссылка)

Конечно, не очевидно. Вообще, содержание
nullstellensatz исчерпывается вашим
утверждением (т.н. лемма Зарисского) и
трюком Рабиновича.

Если интересно, взгляните на этот ответ
на MO. Лемма Зарисского там обозначается
corollary 9.1.2.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

(Анонимно)
2011-09-10 00:23 (ссылка)

Почитал, спасибо.

Тот же автор на МО пишет (там же)

>None of these proofs uses Noether normalization.

Ага-ага. Как раз в книжке Ленга в доказательстве 9.1.1 используется расширение гомоморфизма с кольца A на кольцо B целых над A (Lang, глава VII, proposition 7.3.1, см. обсуждение перед ним) и в этом 7.3.1 стоит ссылка на proposition 7.1.10. Которое, по-моему, и есть то, что называется леммой Нётер о нормализации.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

(Анонимно)
2011-09-10 01:05 (ссылка)

Как говорится, "обратно наврал". 7.1.1 это не лемма Нётер на самом деле, а теорема Коэна-Зайденберга о подъёме. Что-то как-то всё поперепуталось, да.

То есть, автор прав, наверное.

Хотя -- у Ленга в доказательстве 9.1.1 используется представление кон. расширения поля k как конечного алг. расширения
некоторого (конечного) чисто трансцендентного расширения поля k. Это очень похоже на содержание леммы Нётер о нормализации (которая формулируется в более общем случае).

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

maxmornev
2011-09-10 19:51 (ссылка)

> Хотя -- у Ленга в доказательстве 9.1.1
> используется представление кон.
> расширения поля k как конечного алг.
> расширения некоторого (конечного)
> чисто трансцендентного расширения поля
> k. Это очень похоже на содержание
> леммы Нётер о нормализации (которая
> формулируется в более общем случае).

Нет, фишка леммы Нетер в том, чтобы
подобрать такой базис трансцендентности,
над которым кольцо будет целым. В док-ве
9.1.1 Ленг использует произвольный базис
трансцендентности t_1,...,t_r, и для
того, чтобы получить целое расширение,
добавляет к базису эл-ты
\frac{1}{a_i(t)}, обратные к старшим
коэффициентам минимальных многочленов
эл-тов x_i.

(Ответить) (Уровень выше)

maxmornev
2011-09-10 02:24 (ссылка)

> Которое, по-моему, и есть то, что
> называется леммой Нётер о
> нормализации.

Нет, лемма Нетер, это утверждение о том,
что всякое аффинное многообразие
допускает конечное отображение на
аффинное пространство той же
размерности. А утв. 7.1.10 говорит всего
лишь о том, что при конечном отображении
(=целом расширении колец рег. ф-й) у
всякой точки (=простого идеала) базы
есть прообраз.

Нормализация Нетер у Ленга --- это
теорема 8.2.1.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	kaledin 2011-09-12 17:21 (ссылка)
	>лемма Нетер Нетера, кстати. (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	maxmornev 2011-09-12 18:43 (ссылка)
	Вот черт его знает. Википедия утверждает, что лемму опубликовала Эмми Нетер в 1926-м [1]. А ее отец к тому времени уже умер. (Ответить) (Уровень выше)

(Читать комментарии) -