Настроение:	sick
Музыка:	Didier Bocquet - Eclipse
Entry tags:	hse, math

Решение адского гроба номер 5
Решение адского гроба номер 5 из вчерашней
контрольной (кину сюда, чтоб не забыть).
Что это гроб, было сразу ясно из количества баллов за нее,
но гробы всегда хорошо.

\задача
Пусть $\phi:\; \R\arrow \R^3$ непрерывное, инъективное
отображение. Докажите, что $\R^3\backslash \im \phi$ связно,
или найдите контрпример.

Решение.
Представим $\R$ в виде счетного объединения компактов.
Обозначим за $C$ образ $\phi$ на одном из этих компактов.
Поскольку ограничение $\phi$ на компакт есть гомеоморфизм на образ,
для каждой гиперплоскости $W$ ее пересечение с $C$ -- замкнутое
подмножество $C_W$ в $\R$. Поскольку это пересечение может
иметь ненулевую меру только для счетного числа плоскостей,
$C_W$ для всех $W$, кроме счетного числа - канторовское
множество (вполне несвязное, компактное подмножество в $\R$).

Осталось доказать, что дополнение $\R^2$ к канторовскому
подмножеству (или счетному объединению их) связно.

Обозначим за $U_W$ дополнение $W$ к $C_W$.
Поскольку $U_W$ открыто, линейная связность
совпадает с обычной, и $U_W$ есть объединение
счетного числа открытых компонент связности.
Пусть $U$ -- одна из компонент связности в $U_W$,
а $\6 U$ ее граница, то есть дополнение в замыкании.
Поскольку $\6 U\subset C_W$, осталось доказать,
что оно не канторовское. Можно считать $U$ односвязным,
заклеив все дыры в нем; тогда это диск, и непустое подмножество
в $\6 U$ получается как предел окружностей увеличивающегося
радиуса, то есть это кривая, а значит связное множество.

Привет