tiphareth: Лекция 3: подготовительная теорема Вейерштрасса

(Читать комментарии) - (Добавить комментарий)

apkallatu
2017-03-16 01:14 (ссылка)

так, пардон, я плохо спрашиваю.

вопрос навеян таким: пусть \omega голоморфная форма объёма. я встречал утверждение, что \int_X \omega \wedge \bar\omega это всё равно что intersection pairing \omega и \bar\omega, прям в топологическом смысле. для того, чтобы это утверждение имело смысл, нужно рассмотреть \omega как представить класса когомологий де Рама (и \bar\omega тоже), то есть \omega должно быть замкнуто в том смысле, что d\omega=0.

многообразие X правда проективное в этом контексте. то есть наверное это может следовать из кэлеровости как-то.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

tiphareth
2017-03-16 01:33 (ссылка)

это следует из кэлеровости: на компактном
кэлеровом многообразии любая точная
голоморфная форма равна нулю, поэтому голоморфные формы замкнуты

чтубы увидетъ, что любая точная
голоморфная форма равна нулю, умножим ее на сопряженную и на кэлерову
форму в правильной степени, получим положительную форму объема, которая
не может быть точна

на некэлеровом это неверно, есть много контрпримеров

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	kaledin 2017-03-16 01:56 (ссылка)
	Вопрос про форму объема, однако. Которая \bar\partial-замкнута по голоморфности, и \partial-замкнута из соображений размерности. Кэлеровость ни при чем (как и компактность). (Ответить) (Уровень выше)

polytheme
2017-03-16 05:31 (ссылка)

правильно говорят и Миша и Дима, но там у Миши
есть внутри (как мне кажется)
не вполне очевидное вычисление, состоящее в том,
что \omega \wedge \bar\omega \wedge (1,1)^n
действительно положительна, если \omega
не равна 0 (не знаю, есть ли оно не в координатах,
но в координатах оно простое и на 123 странице
Гриффитса-Харриса изложено, например).

вообще чтение нулевой главы (за вычетом доказательства
разложения Ходжа, которое может быть трудозатратным) -
действие, как говорили знающие люди (Б.Л.Фейгин,
В.А.Исковских), чрезвычайно душеполезное (да и
вся книжка, по-моему, очень,
но это лично мое мнение); правда, тогда еще не
было книжки Вуазен и Шнепс (когда они это говорили),
и плюс Г. и Х. совершенно не морозит окунаться по уши
в координаты (по причине чего великий Леня П. её
не может, по чистосердечному признанию) - они оба
гениальные геометры и гениальные педагоги, но
порой бешенство индексов зашкаливает.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	(Анонимно) 2017-03-16 14:42 (ссылка)
	> не было книжки Вуазен и Шнепс Какая книжка? (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	polytheme 2017-03-16 19:16 (ссылка)
	ну ешкин кот, Миша же вешал список http://gen.lib.rus.ec/book/index.php?md5=520C0D5A68F55BC20F35251E1BB9D390 (Ответить) (Уровень выше)

grigori
2017-03-16 18:22 (ссылка)

Это следует, например, из того, что p,0-формы это неприводимое представление SU(n), а звездочка ходжа и умножение на омегу в нужной степени это SU(n)-эквивариантные операторы, поэтому если одно положительное, то другое отличается от него на константу и тоже знакоопределенное.
Другое дело, что в координатах это посчитать сильно проще, чем доказать неприводимость.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

polytheme
2017-03-16 19:15 (ссылка)

ага (только они антилинейны ведь, но это неважно).
но непонятно все равно, почему это отображение ненулевое, кажется.
можно, конечно, совсем тупо взять _одну_ форму dz_1 \wedge ... \wedge dz_p, домножить её на сопряженную, и потом опять домножить на степень \sum dz_i \wedge \bar{dz_i} - но это ничуть, кажется, не легче.

а неприводимость как раз доказать вроде просто - действуя матрицей, меняющей местами координаты (с коэффициентом, чтобы лежала в SU), поубивать все мономы, кроме одного.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	grigori 2017-03-16 19:57 (ссылка)
	можно на хард лефшеца сослаться, но это то же самое, в общем (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	grigori 2017-03-16 20:13 (ссылка)
	хотя не, никуда не надо ссылаться - в омеге в степени n есть \bar dz, а в p,0-форме нет, поэтому они не могут умножиться в ноль; собственно перемножать не обязательно (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

polytheme
2017-03-17 00:27 (ссылка)

не понял. ты умножаешь форму на её сопряжение на степень кэлеровой, в произведении все ненулевые слагаемые будут одинаковые, конечно, но с точностью до порядка, а также будут и нулевые.

короче понятно б.м., это на самом деле утверждение из линейной алгебры, про то, что *-Ходжа получается в эрмитовом случае из сопряжения и домножения на степень (1,1)-косоэрмитовой, ассоциированной с метрикой (в это утверждение спрятано все вычисление). а глобальное утверждение получается из-за того, что и сопряжение, и умножение на замкнутую форму переводит замкнутые в замкнутые, а точные в точные (т.е. действует на когомологиях).

то есть на самом деле получается даже более сильное утверждение, что все (p, 0)-точные формы нулевые (неважно, голоморфные у них коэффициенты, или нет), если я не глючу (а голоморфные замкнуты, потому что их дифференциал имеет тип (p, 0)).

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

grigori
2017-03-17 01:31 (ссылка)

Я не умножаю форму на её сопряженную на степень кэлеровой, я умножаю просто форму (или её сопряженную) на степень кэлеровой; из неприводимости следует что это с точностью до константы звездочка ходжа, а что константа ненулевая, следует из того, что в одной форме есть дз-бар, а в другой нет. Вот что я хотел сказать.

Ты не глючишь, но это равносильное утверждение, а не более сильное.

(Ответить) (Уровень выше)

(Читать комментарии) -