Войти в систему

Home
    - Создать дневник
    - Написать в дневник
       - Подробный режим

LJ.Rossia.org
    - Новости сайта
    - Общие настройки
    - Sitemap
    - Оплата
    - ljr-fif

Редактировать...
    - Настройки
    - Список друзей
    - Дневник
    - Картинки
    - Пароль
    - Вид дневника

Сообщества

Настроить S2

Помощь
    - Забыли пароль?
    - FAQ
    - Тех. поддержка



Пишет Misha Verbitsky ([info]tiphareth)
@ 2017-03-15 16:54:00


Previous Entry  Add to memories!  Tell a Friend!  Next Entry
Настроение: tired
Музыка:Agitation Free - Last (1976)
Entry tags:hse, math, mccme

Лекция 3: подготовительная теорема Вейерштрасса
Кстати, последняя лекция (в прошлую субботу) и листочки,
забыл тогда выложить, к курсу про комплексный анализ.

Лекция 3: подготовительная теорема Вейерштрасса.
http://verbit.ru/MATH/CM-2017/cm-slides-03.pdf
и листочки про то же самое
http://verbit.ru/MATH/CM-2017/listki-cm-03.pdf

Старое: лекции [ 1 | 2 ]
листочки [ 1 | 2 ]

Буду рад любым комментариям, жалобам,
замечаниям насчет выложенного.

Еще, кстати, интересно про подготовительную
теорему Вейерштрасса: как он ее доказал, и
зачем. Я немного поискал в Гугле и не нашел,
но современное доказательство (по сути
основанное на теории Галуа), мне кажется, слишком
современное. Так что не понимаю, как он ее мог
доказать, дедовскими методами-то.

Аналогичное утверждение для гладких функций
называется "подготовительная теорема Мальгранжа",
интересно, как его Мальгранж доказал, теории
Галуа-то там наверное нет.

Привет



(Добавить комментарий)


[info]oort
2017-03-15 16:57 (ссылка)
>как он ее доказал

ну на первый взгляд похоже - какие-то симметрические функции и т.д.

https://vk.com/doc242733847_443231546

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


[info]polytheme
2017-03-15 17:34 (ссылка)
оно наверняка по-человечески сделано в первом томе АВГ (кстати, это ещё и единственная книжка вводного уровня вроде как, в которой теорема Сарда доказана целиком, а не для простого частного случая, как это обычно делают).

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]beotia
2017-03-15 17:40 (ссылка)
>АВГ

кто это?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]polytheme
2017-03-15 17:49 (ссылка)
"Особенности дифференцируемых отображений", Арнольд, Варченко, Гуссейн-Заде.
но я посмотрел, нет, конечно, она слишком сложная - упоминается, но отсылается к http://libgen.io/ads.php?md5=38FC9A9014F63A4EBAFC89D0369F9C98 (это сборник под редакцией Арнольда) и книжке самого Мальгранжа http://libgen.io/ads.php?md5=87C4C0B09197C84D162E4EC08BDE870E
(лучше, наверное, чем статья, хотя хз)

(Ответить) (Уровень выше)


[info]polytheme
2017-03-15 17:59 (ссылка)
Угу, в книжке Мальгранжа даже можно, кажется, понять, что происходит - оно там целиком все алгебраическое, с идеалами локальных дифференцируемых алгебр ростков, теоремой Крулля в них, такое вот.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]polytheme
2017-03-15 22:39 (ссылка)
ой, прошу прощения, я почему-то счел, что это Мальгранж (по-немецки, ага)
а не Вейерштрасс

(Ответить) (Уровень выше)


[info]polytheme
2017-03-15 17:07 (ссылка)
в 3.17
P(f_i(z)) = z \forall i.

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2017-03-15 18:19 (ссылка)
спасибо! Да, чего-то меня уже второй раз на этом месте клинит
поправил

(Ответить) (Уровень выше)


[info]apkallatu
2017-03-15 22:06 (ссылка)
стыдный вопрос: а как увидеть, что голоморфные формы замкнуты?

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


[info]polytheme
2017-03-15 22:24 (ссылка)
в смысле, в размерности 1 ??

(Ответить) (Уровень выше)


[info]tiphareth
2017-03-15 23:40 (ссылка)
они не замкнуты
они \bar\partial-замкнуты
и это какбе определение голоморфности

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]negativ
2017-03-16 00:11 (ссылка)
голоморфные являются, в частности, гармоническими
(по кр. мере на компактных келеровых), а гармонические
замкнуты.

или тут про што другое?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]apkallatu
2017-03-16 00:17 (ссылка)
вот!

а почему они являются гармоническими?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]negativ
2017-03-16 02:41 (ссылка)
потому что дэ-бар гармоничность и d-гармоничность
на комп. келеровом это одно и то же -- соотв. лаплаcианы
пропорциональны на константу.

Ну а голоморфная форма
вестимо дэ-бар гармонична -- дэ-бар замкнутость это и есть голоморфность,
а дэ-бар козамкнутость автоматически вытекает из типа формы (p,0).

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]negativ
2017-03-16 02:57 (ссылка)
Хотя, я вот што-то помыслил: все это келеровы тождества
есть вещь, проверяемая в локальных координатах, т.е. компактность тут
вроде не нужна, для сравнения лапласианов.

т.е. должно вроде и для некомпактных келеровых так быть.

а компактность дает именно разложение Ходжа, т.е. говорит, что
голоморфных p-форм как раз хватит для исчерпания H^{p,0}(Х).

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]polytheme
2017-03-16 04:09 (ссылка)
угу, только на некомпактном кэлеровом C^2 есть незамкнутая форма z_1*dz_2

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]negativ
2017-03-16 04:29 (ссылка)
а, действительно, замкнутость гармоничных
использует компактность, там интеграл от
скалярного квадрата дифф-ала формы возникает.

т.е. компактность нужна именно в этом месте.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]apkallatu
2017-03-16 00:14 (ссылка)
так, пардон, я плохо спрашиваю.

вопрос навеян таким: пусть \omega голоморфная форма объёма. я встречал утверждение, что \int_X \omega \wedge \bar\omega это всё равно что intersection pairing \omega и \bar\omega, прям в топологическом смысле. для того, чтобы это утверждение имело смысл, нужно рассмотреть \omega как представить класса когомологий де Рама (и \bar\omega тоже), то есть \omega должно быть замкнуто в том смысле, что d\omega=0.

многообразие X правда проективное в этом контексте. то есть наверное это может следовать из кэлеровости как-то.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2017-03-16 00:33 (ссылка)
это следует из кэлеровости: на компактном
кэлеровом многообразии любая точная
голоморфная форма равна нулю, поэтому голоморфные формы замкнуты

чтубы увидетъ, что любая точная
голоморфная форма равна нулю, умножим ее на сопряженную и на кэлерову
форму в правильной степени, получим положительную форму объема, которая
не может быть точна

на некэлеровом это неверно, есть много контрпримеров

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2017-03-16 00:56 (ссылка)
Вопрос про форму объема, однако. Которая \bar\partial-замкнута по голоморфности, и \partial-замкнута из соображений размерности. Кэлеровость ни при чем (как и компактность).

(Ответить) (Уровень выше)


[info]polytheme
2017-03-16 04:31 (ссылка)
правильно говорят и Миша и Дима, но там у Миши
есть внутри (как мне кажется)
не вполне очевидное вычисление, состоящее в том,
что \omega \wedge \bar\omega \wedge (1,1)^n
действительно положительна, если \omega
не равна 0 (не знаю, есть ли оно не в координатах,
но в координатах оно простое и на 123 странице
Гриффитса-Харриса изложено, например).

вообще чтение нулевой главы (за вычетом доказательства
разложения Ходжа, которое может быть трудозатратным) -
действие, как говорили знающие люди (Б.Л.Фейгин,
В.А.Исковских), чрезвычайно душеполезное (да и
вся книжка, по-моему, очень,
но это лично мое мнение); правда, тогда еще не
было книжки Вуазен и Шнепс (когда они это говорили),
и плюс Г. и Х. совершенно не морозит окунаться по уши
в координаты (по причине чего великий Леня П. её
не может, по чистосердечному признанию) - они оба
гениальные геометры и гениальные педагоги, но
порой бешенство индексов зашкаливает.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2017-03-16 13:42 (ссылка)
> не было книжки Вуазен и Шнепс
Какая книжка?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]polytheme
2017-03-16 18:16 (ссылка)
ну ешкин кот, Миша же вешал список
http://gen.lib.rus.ec/book/index.php?md5=520C0D5A68F55BC20F35251E1BB9D390

(Ответить) (Уровень выше)


[info]grigori
2017-03-16 17:22 (ссылка)
Это следует, например, из того, что p,0-формы это неприводимое представление SU(n), а звездочка ходжа и умножение на омегу в нужной степени это SU(n)-эквивариантные операторы, поэтому если одно положительное, то другое отличается от него на константу и тоже знакоопределенное.
Другое дело, что в координатах это посчитать сильно проще, чем доказать неприводимость.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]polytheme
2017-03-16 18:15 (ссылка)
ага (только они антилинейны ведь, но это неважно).
но непонятно все равно, почему это отображение ненулевое, кажется.
можно, конечно, совсем тупо взять _одну_ форму dz_1 \wedge ... \wedge dz_p, домножить её на сопряженную, и потом опять домножить на степень \sum dz_i \wedge \bar{dz_i} - но это ничуть, кажется, не легче.

а неприводимость как раз доказать вроде просто - действуя матрицей, меняющей местами координаты (с коэффициентом, чтобы лежала в SU), поубивать все мономы, кроме одного.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]grigori
2017-03-16 18:57 (ссылка)
можно на хард лефшеца сослаться, но это то же самое, в общем

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]grigori
2017-03-16 19:13 (ссылка)
хотя не, никуда не надо ссылаться - в омеге в степени n есть \bar dz, а в p,0-форме нет, поэтому они не могут умножиться в ноль; собственно перемножать не обязательно

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]polytheme
2017-03-16 23:27 (ссылка)
не понял. ты умножаешь форму на её сопряжение на степень кэлеровой, в произведении все ненулевые слагаемые будут одинаковые, конечно, но с точностью до порядка, а также будут и нулевые.

короче понятно б.м., это на самом деле утверждение из линейной алгебры, про то, что *-Ходжа получается в эрмитовом случае из сопряжения и домножения на степень (1,1)-косоэрмитовой, ассоциированной с метрикой (в это утверждение спрятано все вычисление). а глобальное утверждение получается из-за того, что и сопряжение, и умножение на замкнутую форму переводит замкнутые в замкнутые, а точные в точные (т.е. действует на когомологиях).

то есть на самом деле получается даже более сильное утверждение, что все (p, 0)-точные формы нулевые (неважно, голоморфные у них коэффициенты, или нет), если я не глючу (а голоморфные замкнуты, потому что их дифференциал имеет тип (p, 0)).

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]grigori
2017-03-17 00:31 (ссылка)
Я не умножаю форму на её сопряженную на степень кэлеровой, я умножаю просто форму (или её сопряженную) на степень кэлеровой; из неприводимости следует что это с точностью до константы звездочка ходжа, а что константа ненулевая, следует из того, что в одной форме есть дз-бар, а в другой нет. Вот что я хотел сказать.

Ты не глючишь, но это равносильное утверждение, а не более сильное.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]bananeen
2017-03-16 16:57 (ссылка)
Миша, на первом же слайде, "КомплекснАЯ аналитические пространства"

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2017-03-16 23:08 (ссылка)
спасибо! Поправил

(Ответить) (Уровень выше)


[info]apkallatu
2017-04-05 13:03 (ссылка)
стр. 16

"Это делается так: мы выписываем полиномы Ньютона от нулей функ-
ции"

наверное, всё-таки выписываем полиномы Вейерштрасса?

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2017-04-05 13:10 (ссылка)
не, именно Ньютона
они оказываются Вейерштрасса, но это не главное

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]apkallatu
2017-04-05 15:04 (ссылка)
полиномы ньютона это тоже самое, что и симметрические?
я занудствую, но и правда не встречал такую терминологию.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2017-04-05 15:25 (ссылка)
там же есть определение
ну или в википедии
https://en.wikipedia.org/wiki/Newton_polynomial

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]apkallatu
2017-04-05 19:54 (ссылка)
прости, я может быть туплю, но как интерполяционный полином ньютона по ссылке связан с соотношениями между симметрическими полиномами у тебя в слайдах?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2017-04-05 20:10 (ссылка)
это я не ту ссылку дал, пардон

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]apkallatu
2017-04-05 20:21 (ссылка)
там кстати маленькая опечатка в определении симметрических полиномов: e_l вместо e_0

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2017-04-05 20:23 (ссылка)
спасибо! поправил

(Ответить) (Уровень выше)


[info]apkallatu
2017-04-05 15:07 (ссылка)
всё, тысяча извинений, я запутался просто, как обычно.
полиномы ньютона это полиномы из теоремы на стр. 14.

(Ответить) (Уровень выше)