Настроение:	sick
Музыка:	Fields Of The Nephilim - Live At Shepherds Bush Empire London 2008
Entry tags:	hse, math, mccme

Основы комплексной алгебраической геометрии (весенний семестр 2018)
Написал анонс курса, который я читаю весной.
В качестве новаций, предполагается дофига листочков,
а также переход на две лекции в неделю вместо одной.
Все это конечно, жесть, но неизбежно.

Я читал уже аналогичный курс несколько раз, последний
раз в Вышке в 2014,
http://bogomolov-lab.ru/KURSY/CM-2014/
и мне это резко не понравилось,
по ощущениям, оно было целиком бесполезно и мне и студентам.
В этот раз оно будет по крайней мере болезненно
(и мне и студентам, потому что темп, для Вышки и НМУ,
совершенно нереальный). С другой стороны, в Импе
все так и читают, и получается хорошо. Я специально
выкинул половину программы из KURSY/CM-2014/
потому что студенты и тогда были очень слабые,
а сейчас, по отзывам с мест, гораздо слабее.
Может так оно и получится.

Буду очень признателен за комментарии по удобным дням
(сюда или мне в емэйл); покамест я назначил среду
и субботу вечером, но поменяю, если есть альтернативные
предложения. Также, если какие-то ваши знакомые туда
планируют ходить, скиньте им ссылку на сей анонс, потому
что у них тоже могут быть предпочтения по дням недели;
пусть мне их сообщат.

* * *

Миша Вербицкий
Основы комплексной алгебраической геометрии.
Весенний семестр 2018,
первое занятие 24 января.

Алгебраическая геометрия может быть постигнута
двумя независимыми способами. Вы можете вывести
все основные результаты из коммутативной алгебры,
как это делали классики-итальянцы; это подход
элементарный, но неинтуитивный и требующий трудоемких
вычислений. Вместо этого (по предложению Уильяма
Ходжа) можно выводить результаты алгебраической
геометрии из топологии и дифференциальной геометрии:
теории гармонических форм (известной как "теория
Ходжа"), комплексного анализа и алгебраической
топологии. Получается много проще и интиутивнее,
при условии, что студент в состоянии освоить
тяжелую математику, которая служит фундаментом
для теории Ходжа. Другое ограничение теории Ходжа -
большинство аргументов работает только в
характеристике 0, и для желающих работать
в характеристике p приходится придумывать
отдельные методы доказательства ключевых
теорем (точнее, тех из них, которые верны).

В курсе "основы комплексной алгебраической геометрии"
я расскажу теорию Ходжа и ту часть комплексной алгебраической
геометрии, которая из нее выводится; науки, которые
основаны на комплексном анализе и на коммутативной
алгебре, я рассказывать не буду.

Программа.

1. Гильбертовы пространства, компактные операторы,
спектральная теорема для компактных самосопряженных операторов.

2. Символ оператора, эллиптические операторы, фредгольмовы
операторы. Теорема Атьи-Зингера (без доказательства).

3. Анализ Фурье на торе: соболевские нормы,
лемма Реллиха, лемма Соболева.

4. Фредгольмовость для оператора Лапласа.
Диагонализация оператора Лапласа. Эллиптическая
регулярность для уравнения Лапласа.

5. Представимость когомологий де Рама гармоническими формами.
Применения: когомологии компактных групп Ли, комплексных
проективных пространств, грассманианов.

6. Комплексные структуры и разложение Ходжа на дифференциальных формах.

7. Почти комплексные многообразия, комплексные
могообразия, теорема Ньюлендера-Ниренберга, ее доказательство
для вещественно-аналитических многообразий.

8. Эрмитовы метрики, кэлеровы многообразия,
примеры и основные свойства кэлеровых многообразий.
Форма Фубини-Штуди. Кэлеровость проективных пространств
и грассманианов.

9. Параллельность тензора комплексной структуры на
кэлеровом многообразии.

10. Алгебра суперсимметрий кэлерова многообразия.
Тождества Кэлера и разложение Ходжа на когомологиях.
Теорема Лефшеца, sl(2)-тройки, разложение Лефшеца
на когомологиях.

11. Потоки и обобщенные функции. Пушфорвард потока.
Интегральные ядра. Ядро Коши.

12. Лемма Пуанкаре-Дольбо-Гротендика. Когомологии
Дольбо. Геометрическая интерпретация разложения Ходжа.
Теорема Хартогса.

13. Голоморфные дифференциальные формы и их свойства.
Бирациональные отображения. Раздутие. Инвариантность голоморфных
дифференциальных форм относительно бирациональных отображений.
Каноническое расслоение и его обратный образ при раздутии.

14. Голоморфные расслоения. Связность Черна, ее существование
и единственность, ее кривизна. Линейные расслоения, экспоненциальная
точная последовательность, первый класс Черна.

15. Алгебра суперсимметрий кэлерова многообразия, ее
действие на дифференциальных формах с коэффициентами в
расслоении. Тождества Кодаиры-Накано. Теорема Кодаиры-Накано
о занулении когомологий.

16. Глобально-порожденные, обильные и очень обильные
расслоения. Проективное вложение. Кэлеровость раздутия.
Применение зануления когомологий к обильности расслоений.
Теорема Кодаиры о проективности кэлеровых многообразий.
Алгебраическая размерность многообразий. Мойшезоновы,
комплексные неалгебраические и некэлеровы многообразия.

17. (*) Абелевы многообразия и комплексные торы. Отображение
Альбанезе и его свойства. Кривая и ее якобиан. Гиперэллиптические
кривые. Комплексные кривые и их плоские развертки.
Явная конструкция голоморфных дифференциалов на
комплексной кривой.

18. (*) Линеаризуемые автоморфизмы. Структурная теорема для
группы комплексных автоморфизмов проективного многообразия.

19. (*) Теорема Калаби-Яу, многообразия Калаби-Яу, классификация
голономий.

Темы, обозначенные (*), будут изучены, если хватит времени.

От студентов потребуется понимание анализа
(ряд Тэйлора, дифференциальные формы, дифференциал де Рама,
лемма Пуанкаре, теорема Стокса, ряды Фурье, многообразия),
комплексного анализа в размерности 1, и дифференциальной геометрии
(векторные расслоения и связности, тензоры, римановы метрики,
связность Леви-Чивита, потоки диффеоморфизмов, группы Ли,
теорема Фробениуса). Также нужно знать, что такое пучки,
резольвенты, когомологии пучков. Основные определения я
дам, но времени на освоение этих наук будет очень мало
(впрочем, если большинство слушателей не знает какой-то
базовой науки, ее придется изучать в подробности).

Курс читается дважды в неделю, в субботу вечером и в среду
вечером, на матфаке ВШЭ. После лекций происходит прием задач.
Первое занятие - 24 января. К курсу выдаются листочки, очень много.
Я настоятельно советую изучать и по возможности сдавать эти листочки:
шансов успешно сдать экзамены, не сдавая листочки, у большинства
студентов не будет.

Впрочем, я не планирую рассказывать ничего,
выходящего за пределы первого тома "Основ алгебраической
геометрии" Гриффитса-Харриса, и слушатель, который
хорошо освоил Гриффитса-Харриса (и умеет решать нетрудные
задачи по нему) легко сдаст и мой курс.

Литература:
Lectures on Kahler geometru, Andrei Moroianu
http://moroianu.perso.math.cnrs.fr/tex/kg.pdf

Complex analytic and differential geometry, J.-P. Demailly
http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~demailly/manuscripts/agbook.pdf

Lectures on Kahler manifolds, W. Ballmann
http://people.mpim-bonn.mpg.de/hwbllmnn/notes.html

C. Voisin, ``Hodge theory''.

D. Huybrechts, ``Complex Geometry - An Introduction''

A. Besse, ``Einstein manifolds''.