Войти в систему

Home
    - Создать дневник
    - Написать в дневник
       - Подробный режим

LJ.Rossia.org
    - Новости сайта
    - Общие настройки
    - Sitemap
    - Оплата
    - ljr-fif

Редактировать...
    - Настройки
    - Список друзей
    - Дневник
    - Картинки
    - Пароль
    - Вид дневника

Сообщества

Настроить S2

Помощь
    - Забыли пароль?
    - FAQ
    - Тех. поддержка



Пишет Misha Verbitsky ([info]tiphareth)
@ 2017-12-21 18:35:00


Previous Entry  Add to memories!  Tell a Friend!  Next Entry
Настроение: sick
Музыка:Fields Of The Nephilim - Live At Shepherds Bush Empire London 2008
Entry tags:hse, math, mccme

Основы комплексной алгебраической геометрии (весенний семестр 2018)
Написал анонс курса, который я читаю весной.
В качестве новаций, предполагается дофига листочков,
а также переход на две лекции в неделю вместо одной.
Все это конечно, жесть, но неизбежно.

Я читал уже аналогичный курс несколько раз, последний
раз в Вышке в 2014,
http://bogomolov-lab.ru/KURSY/CM-2014/
и мне это резко не понравилось,
по ощущениям, оно было целиком бесполезно и мне и студентам.
В этот раз оно будет по крайней мере болезненно
(и мне и студентам, потому что темп, для Вышки и НМУ,
совершенно нереальный). С другой стороны, в Импе
все так и читают, и получается хорошо. Я специально
выкинул половину программы из KURSY/CM-2014/
потому что студенты и тогда были очень слабые,
а сейчас, по отзывам с мест, гораздо слабее.
Может так оно и получится.

Буду очень признателен за комментарии по удобным дням
(сюда или мне в емэйл); покамест я назначил среду
и субботу вечером, но поменяю, если есть альтернативные
предложения. Также, если какие-то ваши знакомые туда
планируют ходить, скиньте им ссылку на сей анонс, потому
что у них тоже могут быть предпочтения по дням недели;
пусть мне их сообщат.

* * *

Миша Вербицкий
Основы комплексной алгебраической геометрии.
Весенний семестр 2018,
первое занятие 24 января.

Алгебраическая геометрия может быть постигнута
двумя независимыми способами. Вы можете вывести
все основные результаты из коммутативной алгебры,
как это делали классики-итальянцы; это подход
элементарный, но неинтуитивный и требующий трудоемких
вычислений. Вместо этого (по предложению Уильяма
Ходжа) можно выводить результаты алгебраической
геометрии из топологии и дифференциальной геометрии:
теории гармонических форм (известной как "теория
Ходжа"), комплексного анализа и алгебраической
топологии. Получается много проще и интиутивнее,
при условии, что студент в состоянии освоить
тяжелую математику, которая служит фундаментом
для теории Ходжа. Другое ограничение теории Ходжа -
большинство аргументов работает только в
характеристике 0, и для желающих работать
в характеристике p приходится придумывать
отдельные методы доказательства ключевых
теорем (точнее, тех из них, которые верны).

В курсе "основы комплексной алгебраической геометрии"
я расскажу теорию Ходжа и ту часть комплексной алгебраической
геометрии, которая из нее выводится; науки, которые
основаны на комплексном анализе и на коммутативной
алгебре, я рассказывать не буду.

Программа.

1. Гильбертовы пространства, компактные операторы,
спектральная теорема для компактных самосопряженных операторов.

2. Символ оператора, эллиптические операторы, фредгольмовы
операторы. Теорема Атьи-Зингера (без доказательства).

3. Анализ Фурье на торе: соболевские нормы,
лемма Реллиха, лемма Соболева.

4. Фредгольмовость для оператора Лапласа.
Диагонализация оператора Лапласа. Эллиптическая
регулярность для уравнения Лапласа.

5. Представимость когомологий де Рама гармоническими формами.
Применения: когомологии компактных групп Ли, комплексных
проективных пространств, грассманианов.

6. Комплексные структуры и разложение Ходжа на дифференциальных формах.

7. Почти комплексные многообразия, комплексные
могообразия, теорема Ньюлендера-Ниренберга, ее доказательство
для вещественно-аналитических многообразий.

8. Эрмитовы метрики, кэлеровы многообразия,
примеры и основные свойства кэлеровых многообразий.
Форма Фубини-Штуди. Кэлеровость проективных пространств
и грассманианов.

9. Параллельность тензора комплексной структуры на
кэлеровом многообразии.

10. Алгебра суперсимметрий кэлерова многообразия.
Тождества Кэлера и разложение Ходжа на когомологиях.
Теорема Лефшеца, sl(2)-тройки, разложение Лефшеца
на когомологиях.

11. Потоки и обобщенные функции. Пушфорвард потока.
Интегральные ядра. Ядро Коши.

12. Лемма Пуанкаре-Дольбо-Гротендика. Когомологии
Дольбо. Геометрическая интерпретация разложения Ходжа.
Теорема Хартогса.

13. Голоморфные дифференциальные формы и их свойства.
Бирациональные отображения. Раздутие. Инвариантность голоморфных
дифференциальных форм относительно бирациональных отображений.
Каноническое расслоение и его обратный образ при раздутии.

14. Голоморфные расслоения. Связность Черна, ее существование
и единственность, ее кривизна. Линейные расслоения, экспоненциальная
точная последовательность, первый класс Черна.

15. Алгебра суперсимметрий кэлерова многообразия, ее
действие на дифференциальных формах с коэффициентами в
расслоении. Тождества Кодаиры-Накано. Теорема Кодаиры-Накано
о занулении когомологий.

16. Глобально-порожденные, обильные и очень обильные
расслоения. Проективное вложение. Кэлеровость раздутия.
Применение зануления когомологий к обильности расслоений.
Теорема Кодаиры о проективности кэлеровых многообразий.
Алгебраическая размерность многообразий. Мойшезоновы,
комплексные неалгебраические и некэлеровы многообразия.

17. (*) Абелевы многообразия и комплексные торы. Отображение
Альбанезе и его свойства. Кривая и ее якобиан. Гиперэллиптические
кривые. Комплексные кривые и их плоские развертки.
Явная конструкция голоморфных дифференциалов на
комплексной кривой.

18. (*) Линеаризуемые автоморфизмы. Структурная теорема для
группы комплексных автоморфизмов проективного многообразия.

19. (*) Теорема Калаби-Яу, многообразия Калаби-Яу, классификация
голономий.

Темы, обозначенные (*), будут изучены, если хватит времени.

От студентов потребуется понимание анализа
(ряд Тэйлора, дифференциальные формы, дифференциал де Рама,
лемма Пуанкаре, теорема Стокса, ряды Фурье, многообразия),
комплексного анализа в размерности 1, и дифференциальной геометрии
(векторные расслоения и связности, тензоры, римановы метрики,
связность Леви-Чивита, потоки диффеоморфизмов, группы Ли,
теорема Фробениуса). Также нужно знать, что такое пучки,
резольвенты, когомологии пучков. Основные определения я
дам, но времени на освоение этих наук будет очень мало
(впрочем, если большинство слушателей не знает какой-то
базовой науки, ее придется изучать в подробности).

Курс читается дважды в неделю, в субботу вечером и в среду
вечером, на матфаке ВШЭ. После лекций происходит прием задач.
Первое занятие - 24 января. К курсу выдаются листочки, очень много.
Я настоятельно советую изучать и по возможности сдавать эти листочки:
шансов успешно сдать экзамены, не сдавая листочки, у большинства
студентов не будет.

Впрочем, я не планирую рассказывать ничего,
выходящего за пределы первого тома "Основ алгебраической
геометрии" Гриффитса-Харриса, и слушатель, который
хорошо освоил Гриффитса-Харриса (и умеет решать нетрудные
задачи по нему) легко сдаст и мой курс.

Литература:
Lectures on Kahler geometru, Andrei Moroianu
http://moroianu.perso.math.cnrs.fr/tex/kg.pdf

Complex analytic and differential geometry, J.-P. Demailly
http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~demailly/manuscripts/agbook.pdf

Lectures on Kahler manifolds, W. Ballmann
http://people.mpim-bonn.mpg.de/hwbllmnn/notes.html

C. Voisin, ``Hodge theory''.

D. Huybrechts, ``Complex Geometry - An Introduction''

A. Besse, ``Einstein manifolds''.



(Добавить комментарий)


[info]wieiner_
2017-12-21 23:14 (ссылка)
"картофан"(видел 1000 и 1 раз все-это!), но с прояснениями(проблесками) и, наверное, по-новому. Как говаривал старина Радион, "комплексное еще проще некомплексного" (или как-то так)

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


[info]wieiner_
2017-12-25 10:51 (ссылка)
буду монотеистическую алгебру (начиная от Винберга!) учить, чем это ваше полуязычество, алгеброгеометрическое (параноидально-шизофреническое, маниакальное -- ужасное, но и привлекательное, с другой стороны)!

Покайтесь, язычники в геометрии!!! Геометрия только и делает, что насылает галлюцинации и делирий, а вот алгебра, она дает ощущение Силы Знания и преподносит эстетические чувства востребованности интеллекта.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]wieiner_
2017-12-25 11:01 (ссылка)
я уже встал, на трудный путь исправления. Дойду и до Ленга и до Paolo Aluffi с Grillet!

(Ответить) (Уровень выше)


[info]polytheme
2017-12-22 02:51 (ссылка)
А где можно взять нетрудные (и трудные) задачи по Г.-Х., если не секрет ? Кажется, отсутствие задач там считалось одним из главных недостатков (книжка тем не менее совершенно чудесная, хотя ув. Л.П. сообщал, что из-за пестрящих индексов он её не может).

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2017-12-22 02:55 (ссылка)
немного есть тут
http://bogomolov-lab.ru/KURSY/CM-2014/
http://ium.mccme.ru/f10/verbickii-speckurs.html
http://ium.mccme.ru/s11/verbickii-speckurs2.html
а так, я буду их делать ан масс в скором времени

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]dolmatt
2017-12-22 10:03 (ссылка)
The requested URL /perso/moroianu/tex/kg.pdf was not found on this server.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]polytheme
2017-12-22 12:57 (ссылка)
видимо, имеются в виду эти лекции - http://moroianu.perso.math.cnrs.fr/tex/kg.pdf
но я ссылку на них у Миши не нашел.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]dolmatt
2017-12-22 14:36 (ссылка)
спасибо большое.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]polytheme
2017-12-22 12:59 (ссылка)
спасибо большое.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]sasha_a
2017-12-22 03:09 (ссылка)
Нетрудная задача: найти первые 10 неверных утверждений в ГХ.
Трудная задача: доказать их.
Далее, по индукции.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]sasha_a
2017-12-22 03:10 (ссылка)
Неверных в смысле с серъезеыми пробелами в доказательстве.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]polytheme
2017-12-22 12:52 (ссылка)
ну зачем же рассказывать, почему анекдот смешной - гораздо лучше было.

ага, это же тоже в предисловии написано - там, насколько я понимаю, серьезные (трудные) пробелы начинаются в районе исчисления Шуберта.

кстати, а есть какие-то вменяемые подходы в обход неравенства эллиптической регулярности ? я слышал, что ядро теплопроводности как-то помогает (видимо, благодаря тому, что уравнение т. за сколь угодно малое время из обобщенного решения делает бесконечно гладкое), но подробностей не знаю. и микролокальный анализ - это обертка уже сверху, после доказательства технических результатов безумными оценками, или как-то делает это все вменяемым ?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]sasha_a
2017-12-22 13:57 (ссылка)
Пробелы начинаются еще в главе 0.
С Шубертом вроде бы все в порядке, но невыносимо архаично (посмотри лекции Васи Горбунова, он все делает разумно).
Уверен, что безумные оценки нынче гораздо менее безумны, но деталей в данный момент не помню и не ведаю.
Я бы вычеркнул ГХ навечно из списка литературы.
[Миша его любит, поскольку не читает, а доказывал все сам.]
Уверен, что изложение Володи Жгуна (должны быть доступны записки его лекций) намного более современное и, главное, более гуманное.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2017-12-22 15:57 (ссылка)
>Я бы вычеркнул ГХ навечно из списка литературы.

У меня его там и нет (я о литературе к курсу)

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]sasha_a
2017-12-22 19:17 (ссылка)
Ага.
Поправьте, пожалуйста, ссылку на
Moroianu A., Lectures on Kähler Geometry
(2007, 183 стр.; легко находится в LibGen, как и большинство других ссылок).
[У polytheme выше ссылка на нечто менее подробное, того же автора.]

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2017-12-22 19:32 (ссылка)
ага, спасибо

(Ответить) (Уровень выше)


[info]v_r
2017-12-23 12:23 (ссылка)
>Я бы вычеркнул ГХ навечно из списка литературы.


обязательно,

есть же книга Вуазен -- первый том, это вообще одна из моих любимых книжек по математике, --- там и весь вышеописанный контент есть, и про пререквизиты все вышеописанные написано по очень хорошей главе.

(Надо сказать, что я читал ее по-русски, а потом листал по-английски и по-французски, и у меня сложилось впечатление, что под переводом Львовского она еще существенно улучшилась)

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]sasha_a
2017-12-23 13:44 (ссылка)
Книжка Клэр замечательная (как и она сама), хоть я всю книжку все еще не прочитал.
Будучи алгебраистом (в далеком прошлом), я бы немного переделал изложение разложения Лефшеца, пояснив, что мы имеем дело с SL_2-модулями.
Это не пустое: в правильной форме все работает для псевдо-кэлеровых классических геометрий (псевдо-риманова метрика вместо римановой).
Такие геометрии часто встречаются и важны в гиперболической геометрии.
(Например, пространство невырожденных подпространств данной сигнатуры в соответствующем грассманиане C-линейного пространства снабженного эрмитовой неопределенной формой.)

(Ответить) (Уровень выше)


[info]bananeen
2017-12-23 18:04 (ссылка)
А я вот как-то её книгой не проникся.

Есть конечно очень удачные главы, но они все в основном про гомологическую алгебру.

Напротив, всё что написано про дифференциальную геометрию, там ужасно - до сих пор помню как 10 главу про трансверсальность Гриффитса читал раза три, без особого успеха. Другое дело, что нигде лучше не нашёл. Какие-то вещи есть в Хойбрехтсе, но там мало. (читал на английском, так что про перевод Львовского не знаю).

(Ответить) (Уровень выше)

Бредятина!!!!
[info]individ
2017-12-22 06:30 (ссылка)
А уравняшки мы конечно решать не будем...
Потому, что тогда весь этот бред и ахинея вплывёт наружу.

(Ответить) (Ветвь дискуссии)

Re: Бредятина!!!!
(Анонимно)
2017-12-22 07:07 (ссылка)
Анус у тебя выплывет наружу, пёс

(Ответить) (Уровень выше)

Re: Бредятина!!!!
(Анонимно)
2017-12-22 10:33 (ссылка)
Look at individ!

(Ответить) (Уровень выше)

Re: Бредятина!!!!
(Анонимно)
2017-12-23 04:25 (ссылка)
Какой практический толк вот я не въеду. Математика должна решать какуюлибо задачу, более или менее полезную или на худой конец интересную.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

Re: Бредятина!!!!
(Анонимно)
2017-12-23 05:17 (ссылка)
тебе никто ничего не должен, говно ты тупое

(Ответить) (Уровень выше)

Re: Бредятина!!!!
[info]individ
2017-12-23 06:21 (ссылка)
От слова решать - у них начинается истерика, крики и припадки...
Они не могут понять простую вещь, что математика точная наука. Расчёт и решение - есть эксперимент который подтверждает - правильно ли ты решил задачу и верны ли твои гипотезы...
У них же - любой бред придуманный правильным доцентом имеет право на существование.
Любая ахинея - если ты между своими друганами посчитаешь строгой - принимается истинной и верной.
Но ничего. Пифагора с его формулами люди будут помнить и через тыщу лет, а Эксхил с его болтавнёй забыт уже давно...
Так же и тут. Такая же участь постигнет и эту философскую бредятину...

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

Re: Бредятина!!!!
[info]rex_weblen
2017-12-23 15:13 (ссылка)
Расчет и поедание говна - есть эксперимент который подтверждает - правильно ли ты ел говно и есть ли у тебя рот...

(Ответить) (Уровень выше)


[info]plastic
2017-12-22 07:14 (ссылка)
>тяжелую математику
Раз, раз, это hard math!
Ходж, Фурье, Коши, Лаплас!

(Ответить)


[info]rampant_mouse
2017-12-22 23:43 (ссылка)
Много пререквизитов к курсу можно найти у Уорнера "Гладкие многообразия и группы Ли".

(Ответить)

вонючие путинские люди-какашки
(Анонимно)
2017-12-23 04:23 (ссылка)
Миш, давно ты не делал обзор либеритарианского пропутинского бреда. Вот например тута steemit.com. С ума сойти. Во всех популярных топиках засели путинские комментаторы и топят за разоружение, за Асада, за Путина, за Саддама и про злюю америку. Пипец! И еще бабла там им отсыпают.

Либертарианщина совсем спятила. КГбэшный совок Путин что у них нынче в почете! Головой поехали!

Как заразу изводить?

(Ответить)


[info]azrt
2017-12-23 07:00 (ссылка)
> Вы можете вывести
все основные результаты из коммутативной алгебры,
как это делали классики-итальянцы; это подход
элементарный, но неинтуитивный и требующий трудоемких
вычислений.

А про что тут речь? Итальянцы, насколько я понимаю, так не делали. И в каком смысле этот подход элементарный? Чтобы доказать основную теорему Зарисского в полной общности нужно примерно всё EGA. Буквально. Но даже в нётеровом случае доказательство требует больших усилий.

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2017-12-23 07:37 (ссылка)
>А про что тут речь?

про любой классический учебник алгебраической геометрии,
хоть того же Харриса взять. Или Городенцева. Или Шафаревича.

>нужно примерно всё EGA. Буквально

я не уверен, что есть хоть один результат из EGA, который
был бы неизвестен итальянцам. Проблема в том, что половина
их результатов была просто неверна, а другая половина была
с неверным доказательством. Но это не из-за того, что их
методы неприменимы, а из-за того, что они уродские.
Шафаревич в своем учебнике других методов тащемта
и не использует, и успешно доходит до конца.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2017-12-23 07:38 (ссылка)
> есть хоть один результат из EGA, который
> был бы неизвестен итальянцам

уточняю: из числа результатов, которые можно сформулировать
без когомологий, пучков и схемного языка

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]azrt
2017-12-23 09:08 (ссылка)
>я не уверен, что есть хоть один результат из EGA, который
был бы неизвестен итальянцам
Думаю ответ зависит от определения слов "результат" и "известен". Например, понятие плоскости они точно не знали. Без неё нельзя определить схемы Гильберта.

> успешно доходит до конца
До какого конца? Всё зависит от цели, основы геометрии над алгебраически-замкнутым полем можно построить без больших трудностей. Но уже здесь начинаются проблемы: например, нужно доказать, что локальное нётерово регулярное кольцо всегда UFD. Глубоко нетривиальный факт. И в любом случае при таком подходе большие ограничения, никаких инфинитезимальных методов так развить нельзя, сводить локальные вопросы к пополненному локальному кольцу тоже нельзя. Если работать со схемами, то другие проблемы. Там нужно, например, доказывать, что регулярность замкнутых точек влечёт регулярность всех. Тоже нетривиально. Если разрешать морфизмы в неприведённые схемы, то нужны нетривиальные результаты про плоские морфизмы. Хотя бы local flatness criterion, и т.д.

В комплексной ситуации, наверное, все проблемы можно решить совершенно другими методами. Я не хотел спорить о методах. Кому там в каком объёме необходимы какие методы я тоже обсуждать не могу, так как не знаю. Я только хотел сказать, что в "подходе через коммутативную алгебру" достаточно нетривиальных утверждений.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2017-12-23 13:35 (ссылка)
>нужно доказать, что локальное нётерово регулярное кольцо всегда UFD

Шафаревич оставляет его в качестве упражнения.
Я провел примерно месяц (лет в 17) пытаясь его решить, и так его книжку
и бросил (с диким отвращением), и с тех пор не открывал. Но факт
тем не менее элементарный, и много проще, чем какое-нибудь
неравенство Соболева, см. Атью-Макдональда. Проще, но при том
менее интуитивно понятно.

>Я только хотел сказать, что в "подходе через
>коммутативную алгебру" достаточно нетривиальных утверждений.

Но они все более-менее решаются путем прорешивания Атьи-Макдональда

>Без неё нельзя определить схемы Гильберта.

Схем Гильберта у итальянцев не было, они определяли их ad hoc
и доказывали все в каждом отдельном случае

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]azrt
2017-12-23 15:09 (ссылка)
> Но факт тем не менее элементарный, и много проще, чем какое-нибудь
неравенство Соболева, см. Атью-Макдональда. Проще, но при том
менее интуитивно понятно.

Там нет этого, они обсуждают размерность только в последней главе. И ничего такого нет ни в тексте, ни в упражнениях.
А какой аргумент ты имеешь в виду, кстати? Интересно, если он работает для произвольного кольца. Над алгебраически замкнутым полем, я согласен, что можно аргумент упростить, да и вроде оно как раз интуитивное в этом случае. Идея в том, чтобы свести всё к случаю полного регулярного кольца и, доказать что оно изоморфно k[[x_1,...,x_n]]. Есть красивое доказательство Гайтцгори в общем случае (https://justinsmath.wordpress.com/tag/regular-local-rings/). То что написано в этом месте у Матсумуры совершенно ужасно.

>Но они все более-менее решаются путем прорешивания Атьи-Макдональда
Это не вполне так, в смысле очень зависит от целей. В Атье-Макдональде многого нет, что используется на практике. Там нет ничего про плоские морфизмы и нет ничего содержательного про полные кольца. Я не знаю "простого" способа доказательства структурной теоремы Коэна или local flatness criterion. Оба доказательства можно понять, но я бы их не назвал тривиальными. Но уже в Атье-Макдональде есть вещи, которые самому сложно придумать. Типа теоремы Крулля об иделах или размерности. Опять же над полем можно придумать, как всегда, проще аргумент. Но в стандартной литературе этих аргументов вроде нет.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]sasha_a
2017-12-23 15:47 (ссылка)
Теоремы Крулля (как и примарное разложение) изложены в АМ ужасно плохо (хотя и слегка концептуально). Есть гораздо более прозрачное и короткое, происходящее, по слухам, от Мамфорда.

зависит от целей
Правильная цель --- понимание математической "реальности".
Поэтому интуитивная понятность крайне желательна.
А она у разных математиков вероятно разная.
[Ваш с Мишей спор напоминает мне "русский бунт".]

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2017-12-23 16:46 (ссылка)
>изложены в АМ ужасно плохо

а не надо их читать, надо задачи там решать

а главу про примарное разложение из АМ вообще открывать не надо,
она нигде не используется и там все тривиально (не в книжке у них,
но если правильно рассказывать, можно в одну лекцию)

(Ответить) (Уровень выше)


[info]tiphareth
2017-12-23 17:03 (ссылка)
>Теоремы Крулля

очень простой аргумент такой: доказываем теорему о поднятии
и спуске, потом замечаем, что любое многообразие конечно и разветвленно
накрывает регулярное (лемма Нетер), и доказываем для регулярных,
где все просто (можно определить размерность как размерность
в гладких точках). В АМ этого нет и там какой-то бред действительно

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]sasha_a
2017-12-23 17:44 (ссылка)
Для "классического" случая (конечного типа на полем) это работает.
Для общего нетерового случая (чтобы формально покрыть утверждения из АМ) тоже есть несколько более сложное (слышал от Димы Орлова, а также от Кати Америк), но все же более прозрачное, чем в АМ.
Общий нетеров случай --- это вещь в себе: раз можем определить размерность, хотим теоремы Крулля.
(Общность должна быть не максимальная, а разумная; да и вообще, нетеровость вредна, если говорить о схемах.)

(Ответить) (Уровень выше)


[info]tiphareth
2017-12-23 16:59 (ссылка)
>А какой аргумент ты имеешь в виду, кстати?

Надо доказать что (локальное) кольцо UFD <=> его пополнение UFD
(аргумент более-менее в одну строчку), а пополнения регулярных
колец, содержащих поле вычетов - кольца степенных рядов

>Интересно, если он работает для произвольного кольца.

не работает, потому что нужно, чтобы поле вычетов туда вкладывалось.
В характеристике 0 ок, а в характеристике p нужно что-то унылое
делать (забыл, что)

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]azrt
2017-12-24 01:48 (ссылка)
> очень простой аргумент такой: доказываем теорему о поднятии
и спуске, потом замечаем, что любое многообразие конечно и разветвленно
накрывает регулярное (лемма Нетер), и доказываем для регулярных,
где все просто (можно определить размерность как размерность
в гладких точках). В АМ этого нет и там какой-то бред действительно

> Опять же над полем можно придумать, как всегда, проще аргумент. Но в стандартной литературе этих аргументов вроде нет.

Я ровно это и написал. Написан там "бред", потому что там аргумент для произвольного нётерова кольца, а не алгебры конечного типа над полем (над \C((t)) дословно такой же аргумент не работает).

>Надо доказать что (локальное) кольцо UFD <=> его пополнение UFD
(аргумент более-менее в одну строчку), а пополнения регулярных
колец, содержащих поле вычетов - кольца степенных рядов

Это опять ровно аргумент, который я написал. Он тоже не работает, когда алгебра не над полем. (Ну или требует теоремы Коэна, которая не проще)

>В характеристике 0 ок, а в характеристике p нужно что-то унылое
делать (забыл, что)

В случае совершенного поля можно обойтись леммой гензеля. В случае несовершенного поля, это куда более тонкое утверждение. Например, неверно, что полная регулярная K-алгебра А с полем вычетом k изоморфна k[[x_1,...,x_d]] как K-алгебра в случае, когда k/K несепарабельное расширение полей. Тем не менее верно, что есть изоморфизм колец, и что абстрактно k вкладывается в A.

Конкретный пример: возьмём любое несовершенное поле K и элемент a\in K-K^p, тогда положим A=\hat K[T]_(T^p-a) (пополнение локализации в T^p-a). Эта алгебра, очевидно, полное DVR c полем вычетов K':=K(a^{1/p}). Если бы она была изоморфна рядам K'[[X]] как K-алгебра, тогда бы A\otimes_K K' было бы неприведено (так как содержит K'\otimes_K K'). Но A\otimes_K K' на самом деле вообще DVR (отождествляется с пополнением K'[T] в (T^p-a) и совпадает с пополнением в простом идеале (T-a^{1/p})), в частности, приведено.

Доказательство того, что полная регулярная K-алгебра A изоморфна рядам над k как [b]абстрактное кольцо[/b] использует p-basis. Довольно важный объект, с помощью него можно оценивать p-кручение групп Брауэра аффинных регулярных схем в характеристике p.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]azrt
2017-12-24 02:21 (ссылка)
>над \С((t))
Сорри, имел в виду над \C[[t]

(Ответить) (Уровень выше)


[info]tiphareth
2017-12-24 02:24 (ссылка)
все это, конечно, прекрасно, но зачем на 3-м курсе нужны
"несовершенные поля"? Для первого знакомства с предметом хватит
и характеристики ноль, все остальное дожимается при усердии, но
смертельно скучно в большинстве случаев

(Ответить) (Уровень выше)


[info]kaledin
2017-12-25 06:39 (ссылка)
>А про что тут речь?

Про религиозные убеждения. Лучше не спорить.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]v_r
2017-12-23 12:39 (ссылка)
Прости, что лезу, --

а ты не хочешь немного переставить местами темы и сперва рассказать всю геометрию которую не требует теории Ходжа (пункты 6,7,8, 9, 13 и частично 14, может быть), а потом уже рассказывать теорию Ходжа и следствия из нее? Просто т.Х. это тяжелые технические вещи, от которых многие выпадут -- а так значительная часть слушателей потеряет нить на четвертой лекции а не на первой, а до этого успеет узнать какие-то полезные вещи, имеющие отношение к комплексной геометрии.

В книжке Вуазен так и сделано, насколько я помню.


(Я надеюсь, что, несмотря на старания Нат-зона, среднему студенту матфака до сих пор ближе понятие касательное расслоение, чем понятие эллиптического оператора)

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2017-12-23 13:26 (ссылка)
я так пробовал, получается (со слабыми студентами) очен- плохо
даже если студенты сильные, и им можно расказать
в чем суть теории Ходжа на пальцах. Сейчас студенты
очень слабые, и на самом деле им надо рассказывать анализ
на многообразиях, и теорию Ходжа заодно.

>от которых многие выпадут

правильно, и они смогут скинуть курс в самом начале

>Просто т.Х. это тяжелые технические вещи

у меня есть способ рассказать без технических вещей,
на пальцах и со всеми доказательствами

(Ответить) (Уровень выше)


[info]deevrod
2017-12-24 12:29 (ссылка)
Что значит ближе? Чтобы определить, что такое эллиптический оператор,
тебе нужно знать, что такое касательное расслоение.

Определение эллиптического оператора первого порядка очень простое --
это оператор, который, какое бы ни было данное на гиперповерхности,
допускает решение в её формальной окрестности, притом определённое
однозначно. Для большей степени определение гораздо труднее, конечно,
но все чудеса связаны именно с существованием эллиптических операторов
первого порядка.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2017-12-24 13:58 (ссылка)
>но все чудеса связаны именно с существованием эллиптических операторов
>первого порядка.

по-моему, нет, я вообще не понимаю, как результаты про операторы
первого порядка (тавтологические, там нет ничего, кроме тавтологий)
можно куда-то применить. Ну, не считая того, что связность эллиптична,
и все результаты про связности на более общие эллиптические операторы
первого порядка тривиально обобщаются

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]deevrod
2017-12-24 19:32 (ссылка)
Например, весь комплексный анализ за первый курс следует
из эллиптичности \dbar. Для существования параллельных
спиноров нужная эллиптичность оператора Дирака (или нет?
похоже, у меня каша в голове).

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2017-12-24 19:55 (ссылка)
>эллиптичности \dbar

угу, я про него не подумал, а подумал про контент
мехматского курса PDE, где все операторы первого порядка,
никакого \dbar и дирака нет, а все уравнения решаются
методом характеристик

но что касается \dbar, я не вижу, как из очевидных
фактов для операторов первого порядка выводить то, что
оператор Дирака фробениусов, кажется, без обратимости
лапласа тут обойтись невозможно

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]deevrod
2017-12-24 21:42 (ссылка)
> методом характеристик
А у эллиптических операторов характеристик вовсе нет.

Ну я не говорил ничего про доказательства (я их не знаю).

Кстати, а для операторов большего порядка то определение,
которое я сказал, тоже работает же? Именно, что оператор
порядка не выше k+1 называется эллиптическим, если
для любого начального данного на k-той инфинитезимальной
окрестности гиперповерхности существует единственное
решение на формальной окрестности.

(Ответить) (Уровень выше)


(Анонимно)
2017-12-24 23:17 (ссылка)
Теория Ходжа - это противно, а начинать с неё алгебраическую геометрию над C - противно вдвойне! Мы построили новые, Величественные и Прекрасные числа - комплексные, которые лишены проблем действительных, вроде уравнений, не имеющих решения. И мы стремимся в прекрасный новый мир алгебраической геометрии над компленксными числами, где благодаря алгебраической замкнутости существуют такие прекрасные вещи, как, например, теорема Гильберта о нулях, размерности слоёв и т. д.

А тут нам пихают теорию Ходжа, которая считает, что комплексные числа - это всего лишь надстройка над действительными, где нам приходится рассматривать действительную и комплексную часть дифференциальной формы, вместо того чтобы просто взять определение производной и переписать его для комплексных чисел.

Долой "частную производную \partial/\partial z"! Тем более долой "частную производную \partial/\partial \зoverline z"! Долой вообще \overline z! Да здравствует Единственная Комплексная Производная d/dz! Прощайте навсегда, действительные числа, вы остаётесь позади, как осталась позади мера Жордана в 19 веке!

//Да, с таким подходом не удаётся доказать многое из того, что с теорией ходжа доказать удаётся. Но я бы с гораздо большим удовольствием прослушал курс, который начинается со всего, что можно сделать чисто комплексными методами, с помощью "голоморфных" (долой слово "голоморфные"! Нужно их называть "гладкие над C"!) функций и форм (а лучше вообще чисто полиномиальных - мы алгебраической геометрией занимаемся вообще или дифференциальными уравнениями???), и только потом, когда эти методы упрутся в тупик, заняться теорией Ходжа,

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


[info]wieiner_
2017-12-25 09:32 (ссылка)
выскажись о Хартогсе, Лере и комплексных вычетах

(Ответить) (Уровень выше)


(Анонимно)
2017-12-24 23:32 (ссылка)
Как думаешь, с чем связанно, что студенты очень слабые?

(Ответить)

Ау, математики! Выручите, а?
[info]wgent
2017-12-25 17:02 (ссылка)
Народ, а ведь тут в треде, небось, много математиков? Выручите, а?
Озадачился (чесслово не по работе, а просто так разминая мозги) задачей, частично её решил, а дальше упёрся в недостаток образования.
Задача:
Некто долго и нудно отбирает у буратины яблоки множит число (изначально единицу) на равномерно-случайные двузначные числа: 1*56*34*91*12*...
Найти: Каков будет средний процент нулей в результате такого умножения?
С "хвостом" из нулей, который выстраивается в конце результата, я разобрался сам.
Его длина: 21/sum( log10(x), x=[10..99] ) ~= 0.139618 от длины всего числа. "21" в числителе потому, что нуль добавляется к хвосту при умножении на кратное 5, причём при умножении на кратное 25 добавляются два нуля.
Затык у меня с частью числа, оставшейся после отсечки "хвоста" из нулей.
Собственно вопрос: равномерно ли в этой части распределены цифры от 0 до 9? Мне кажется, что равномерно, но доказать не могу.

(Ответить) (Ветвь дискуссии)

Если отрезать 8 пальцев,
[info]sasha_a
2017-12-25 20:52 (ссылка)
то задача сводится к биномиальному распределению и знанию того, каков процент единичек в двоичной записи степеней 3-ки.

Для решения последней, мне кажется, нет сколько-нибудь научных методов.
(Могу сильно ошибаться, лучше спросить у людей занимающихся динамическими системами этого типа.)

Правильнее, наверное, спрашивать каков предел вероятности единички, когда число сомножителей N стремится к бесконечности.
Мне неясно почему такой предел существует.
Даже если существует, вполне возможно, что он не равен 1/2.
(Поэтому нет особых причин считать, что распределение равномерно, если не отрезать 8 пальцев.)

Вероятности единички при N=1,2,3,4,5,6,7,8 примерно таковы
1, 0.88, 0.79, 0.73, 0.56, 0.66, 0,64, 0.31.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

Re: Если отрезать 8 пальцев,
[info]sasha_a
2017-12-25 22:08 (ссылка)
0.31 -> 0.62

(Ответить) (Уровень выше)

Re: Если отрезать 8 пальцев,
[info]tiphareth
2017-12-26 00:05 (ссылка)
ну, например, первая цифра случайного числа распределена
не равновероятностно, а логарифмически, то есть единичек там много больше, чем девяток
https://en.wikipedia.org/wiki/Benford's_law
поскольку нам нужны все цифры, а не первая,
они, видимо, все равно равновероятны, но непонятно,
как это можно доказать

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

Re: Если отрезать 8 пальцев,
[info]wgent
2017-12-26 00:44 (ссылка)
В другом месте мне доказали, что последняя ненулевая цифра произведения - с повышенной вероятностью чётная.
Но раз Вы говорите, что внутренние цифры "видимо, все равно равновероятны, но непонятно, как это можно доказать", то я и подавно тогда эту задачу из головы выбрасываю, мне тогда это точно не решить.
На компе задачку гонял 10000 раз по (случайным образом) от 100 до 10000 перемножений, выглядит так, будто цифры "примерно равновероятны", то есть, сколько перемножений ни бери, процент любой цифры в "нехвостовой" части пляшет вокруг 8.6% (что согласуется с (100%-13.96%)/10цифр), но пляшет с дичайшими флуктуациями вплоть до процента.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

Re: Если отрезать 8 пальцев,
(Анонимно)
2017-12-26 01:51 (ссылка)
накормил тифарета водовкой с картофанчиком

уважаю!

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

Re: Если отрезать 8 пальцев,
[info]wgent
2017-12-26 11:25 (ссылка)
Не очень понял мем про водовку, но на случай, если я заподозрен в провокации - ради провоакции я не стал бы заморачиваться вот так:

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

Re: Если отрезать 8 пальцев,
[info]rex_weblen
2017-12-26 12:20 (ссылка)
Что на осях, если не секрет.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

Re: Если отрезать 8 пальцев,
[info]wgent
2017-12-26 14:21 (ссылка)
Х - процент нулей в числе, включая хвост (зелёной линией показано 22.56%, соответствующее равномерному распределению цифр в нехвостовой части), 22.56%=(100%-13.96%)/10 + 13.96%
Y - количество перемножений исходной единицы на случайные двузначные,
5 цветов = 5 запусков (собраны из 5 скриншотов в Фотошопе).

(Ответить) (Уровень выше)

Re: Если отрезать 8 пальцев,
[info]sasha_a
2017-12-26 02:03 (ссылка)
равновероятны
Похоже, что Вы правы.

Предпочитаю иметь дело с двумя пальцами двоичной системой, а не с десятичной, потому что легче по фольклерным причинам.

Пусть m большое натуральное число, k_m:=[m\log3/\log2] и v_m:=\exp(2i\pi 3^m/2^{k_m}).
Количество нулей в двоичной записи числа 3^m это в точности сколько раз числа v_m^{2^j} оказываются в верхней полуплоскости при 0<j<k_m (т.е., возводим v_m в квадрат, результат снова в квадрат и т.д.). Наверное как-то можно доказать, что такие числа распределены равномерно на окружности. Думаю, что упомянутые выше динамические люди умеют решать подобные задачи. (Тут надо бы посмотреть Катка, но сил на это нет.)

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

Re: Если отрезать 8 пальцев,
[info]tiphareth
2017-12-26 03:38 (ссылка)
распределение знаков в степенях двойки или тройки - вопрос более сложный,
вот некоторые численные результаты
https://books.google.com.br/books?id=FbTpPcMmgSQC&pg=PA117&lpg=PA117&dq=distribution+of+digits+in+powers+of+3&source=bl&ots=Co5tVEpGRs&sig=9nscqLrQ1vR7Cf11aJ8D4ck1-RU&hl=en&sa=X&ved=0ahUKEwiX_ZTkyqbYAhWGhpAKHSBnDg4Q6AEIVjAG

видно, что там ничего похожего на случайное распределение нет,
а налицо скорее логарифмический закон, что для 2, что для 3

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

Re: Если отрезать 8 пальцев,
[info]sasha_a
2017-12-26 05:29 (ссылка)
В указанной ссылке речь идет о первой цифре десятичной записи 3^m.
Она и подчиняется Benford's_law, как положено.

Вопрос темный.
Просмотрел пару десятков статей --- ничего вразумительного.
I give up.

(Ответить) (Уровень выше)

Re: Ау, математики! Выручите, а?
[info]beotia
2017-12-26 07:57 (ссылка)
Тяжелый вопрос, по-моему

потому что с взаимно простыми двузначными
еще можно-худо бедно поаргументировать,
но со степенями двойки и тройки там лажа,
joinings между степенями одного и того же числа,
вот это все.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

Re: Ау, математики! Выручите, а?
[info]sasha_a
2017-12-26 15:14 (ссылка)
Приятный текст.
Но даже в бинарном случае. т.е., для 2(= 10) и 3(= 11), идей похоже не достаточно...

(Ответить) (Уровень выше)