Войти в систему

Home
    - Создать дневник
    - Написать в дневник
       - Подробный режим

LJ.Rossia.org
    - Новости сайта
    - Общие настройки
    - Sitemap
    - Оплата
    - ljr-fif

Редактировать...
    - Настройки
    - Список друзей
    - Дневник
    - Картинки
    - Пароль
    - Вид дневника

Сообщества

Настроить S2

Помощь
    - Забыли пароль?
    - FAQ
    - Тех. поддержка



Пишет Misha Verbitsky ([info]tiphareth)
@ 2018-06-07 17:43:00
Previous Entry  Add to memories!  Tell a Friend!  Next Entry
Настроение: sick
Музыка:Delerium - SPIRITUAL ARCHIVES
Entry tags:math

двойственно по Пуанкаре пересечению многообразий
Написал образцово короткое доказательство
двойственности Пуанкаре:
http://verbit.ru/IMPA/TOP-2018/cohomology-09.pdf
как-то не ожидал даже. По этому случаю, образовался
лишний час, который следует забить доказательством
того, что произведение в когомологиях (де Рама)
двойственно по Пуанкаре трансверсальному
пересечению многообразий.

А какой самый простой способ сие увидеть, без
махания руками и по возможности элементарно?
Я чего-то ничего толкового сходу придумать не могу.

Привет


(Читать комментарии) - (Добавить комментарий)


[info]ab7a
2018-06-11 04:23 (ссылка)
> См. например учебник
> Massey, Algebraic Topology: An Introduction.
> Springer GTM 56.

Перечитал специально. Там натурально всё подробно проделано для кубов вместо симплексов. Можно посмотреть, чтобы убедиться, что никаких улучшений это не даёт.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-11 05:09 (ссылка)
есть одно очень существенное улучшение
(Масси, видимо, про него не знал): доказательство
формулы Кюннета делается в одну строчку

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]ab7a
2018-06-11 05:42 (ссылка)
Знал конечно. Оно там всё сделано целиком и подробно.
Наверное, я запутался в книжках, это GTM 127.

С кубами явная формула для изоморфизма комплексов
C (X × Y) = C (X) ⊗ C (Y)
действительно много проще.

(Для симплексов будут шаффл-произведения, но вообще они не нужны:
сами Эйленберг и Зильбер для доказательства использовали
теорему об ациклических моделях.)

В других же местах от кубов не станет проще, а даже сложнее.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-11 12:28 (ссылка)
>В других же местах от кубов не станет проще, а даже сложнее.

так надо сразу же доказать, что через кубы и через симплексы
получаются одни и те же сингулярные когомологии, это 20 минут

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]ab7a
2018-06-11 17:27 (ссылка)
В этом месте поди будет точно такая же проблема.

Придумать отображение между комплексами несложно. Проверять, что оно
(квази)изоморфизм --- опять полезут злоебучие индексы и знаки,
и ничего понятно не будет.

Эйленберг и Маклейн используют ациклические модели, чтобы всего
этого избежать:
http://www.jstor.org/stable/2372628

Там всё довольно просто, но такое нет смысла "сразу же доказывать",
потому что хоть и просто, но не тривиально, а профита с кубов
практически ноль.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-11 17:31 (ссылка)
>Эйленберг и Маклейн используют ациклические модели, чтобы всего этого избежать

Но чтобы применить такое к кубам, если я не сошел с ума, надо сначала определить категорию кубов. А у нее ни одного внятного определения нет, все случайные и ад хок.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]ab7a
2018-06-11 20:54 (ссылка)
Речь про древнюю "теорему об ациклических моделях". Там в конечном
счете берутся функторы F_*, G_* из категории топологических
пространств в цепные комплексы, и если они удовлетворяют некоторому
свойству относительно стягиваемых пространств, то можно по индукции
продолжать цепные отображения F_i (X) --> G_i (X) на старшие
размерности, и все эти продолжения гомотопные.

Это примерно как продолжение морфизма на резольвенты.

Для функтора сингулярных симплексов и функтора сингулярных кубов
просто руками проверяется, что они удовлетворяют условиям теоремы.

На этом уровне это просто такой способ не писать комбинаторные
формулы с индексами сразу во всех размерностях, а ограничиваться
нулевой и первой.

Кстати, Масси делает ровно то же самое, чтобы доказать изоморфизм
C (X × Y) = C (X) ⊗ C (Y) в кубическом случае. Т.е. отображение
конечно записывается формулой, которая чуть-чуть проще
шаффл-произведения, но нужно еще доказать, что оно изоморфизм.

(Кому вдруг интересно, это GTM 127, Chapter XI, Section 4,5.)

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-11 21:26 (ссылка)
>и если они удовлетворяют некоторому свойству относительно стягиваемых пространств

Ну да, но это надо проверять. В принципе, могла бы быть теорема, что если есть "хорошая" подкатегория A категории Top, все объекты ее стягиваемые, и дан "хороший" функтор из A в ацикличные комплексы, то он стандартным образом порождает гомологии. Но для кубов надо как минимум определить эту A, т.е. сказать, какие морфизмы берем. Ответ от этого вроде зависит.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]grigori
2018-06-11 22:57 (ссылка)
вроде как написано в википедии https://en.wikipedia.org/wiki/Acyclic_model
это свойство это то, что сингулярные когомологии куба (топологического) нулевые.
Я правда не понимаю второго условия про то, что F_k has a basis in M_k и читаю его так, что кубический сингулярный комплекс это просто комплекс свободных модулей натянутых на некоторые морфизмы (собственно невырожденные сингулярные кубы), я один раз слышал доказательство, там вроде бы именно это нужно было

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-11 23:32 (ссылка)
Нет, там функтор сразу определен на всех топ. пространствах. Я имел в виду, что иногда его и определять достаточно на чем-то существенно меньшем (например, на \Delta).

(Ответить) (Уровень выше)


[info]ab7a
2018-06-11 21:26 (ссылка)
Т.е. по уму теорема Эйленберга-Зильбера она про симплициальные
множества, но дедовскими методами можно и так.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-11 22:13 (ссылка)
Вменяемый компромисс это перейти к (би)симплициальным множествам, а там теорема становится буквально утверждением о том, что все резольвенты одного и того же -- в категории бисимплициальных абелевых групп -- квазиизоморфны (без явного вида квазиизоморфима). Но с кубами такое не прокатит я думаю.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]kaledin
2018-06-11 14:50 (ссылка)
>доказательство формулы Кюннета делается в одну строчку

Ерунда. Отображение строится в одну строчку (а не в полторы). Что оно квазиизоморфизм пойди докажи еще.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-11 17:08 (ссылка)
>Отображение строится в одну строчку (а не в полторы).
>Что оно квазиизоморфизм пойди докажи еще.

Так стандартный метод же, доказываешь для шаров, потом
Майер-Виеторис. Один слайд занимает.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]kaledin
2018-06-11 14:55 (ссылка)
>Масси, видимо, про него не знал

Знал конечно; просто оно несущественное (если не иметь на этом месте детской травмы).

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-11 17:07 (ссылка)
существенно, я хотел прочесть им Кюннета
для сингулярных когомологий, но тот пиздец, который в Хатчере,
лучше вообще не трогать

а через кубы все делается сразу и очень просто

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-11 17:26 (ссылка)
Через симплексы тоже делается сразу и очень просто. Надо только разложить произведение двух симплексов в сумму симплексов; как именно, я пару дней назад написал. Минут 10 занимает если подробно (и одна картинка на доске). Совместимость с дифференциалом очевидна. Что в Хатчере, мне неведомо, я оттуда читал случайные 2 страницы, и решил больше никогда не читать ничего.

>а через кубы все делается сразу и очень просто

А до того? Уже нормализация у тебя займет полчаса, страшно контринтуитивная вещь. И все свойства типа гомотопической инвариантости доказывать заебешься (из-за нормализации).

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-11 18:51 (ссылка)
>И все свойства типа гомотопической инвариантости доказывать заебешься (из-за нормализации).

А мне и не надо, мне надо только Майера-Виеториса (стандартный аргумент)
и лемму Пуанкаре (тоже стандартный)

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]grigori
2018-06-11 23:00 (ссылка)
лемму пуанкаре про шар? ты только с многообразиями что ли хочешь работать? зачем тогда сингулярные когомологии вообще.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-11 23:05 (ссылка)
для общей интеллигентности

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-11 23:35 (ссылка)
По факту, будет "для воспитания отвращения к предмету".

Что в принципе неудивительно, нельзя же привить любовь к тому, что сам не любишь.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-12 00:02 (ссылка)
да там всего аргументов-то на полстраницы текста
мы здесь раз в 30 больше успели написать

>нельзя же привить любовь к тому, что сам не любишь

да просто игнорирую, потому что не в состоянии уследить за индексами,
когда их слишком много

в принципе, вопрос был такой: в Вышке много лет читали
когомологии второкурсникам в лучшем случае по Хатчеру, никто ничего
не понимал, и тогда топологию из программы просто нахуй выкинули
(по инициативе Бурмана, который ее читал, и убедился, что
прочесть их понятно просто невозможно; по-моему, у него все
доказательства в несколько раз сложнее, чем оптимум)

я поспорил со Львовским, что после оптимизации
доказательств можно рассказать когомологии
младшекурсникам в обьеме "двойственность Пуанкаре,
эквивалентность разных теорий когомологий, формула
Кюннета, форма пересечения, все над полем характеристики 0"
за полсеместра (если дифференциал де Рама уже был) или семестр,
но так, что будет понятно, и этим занимаюсь

Эквивалентность сингулярных когомологий с кубами и с симплексами
прекрасно в этот сценарий вписывается, ибо это очередное применение стандартного
аргумента, которое займет от силы 20 минут, зато у студентов не
будет возникать вопроса "почему именно симплексы", который
всегда возникал у меня

Второкурсники Вышки от второкурсников Импы отличаются
довольно мало, и те и другие знают анализ и больше ничего

Твои предложения делать все комбинаторно
и сразу через симплициальную или бисимплициальную
категорию приведут понятно к чему: целевая аудитория
не знает, что такое функтор, и половина из нее никогда
этого не узнает, и не факт, что способна вообще.
Геометрам категории в основном нафиг
не нужны. С другой стороны, желающие могут потом взять продвинутый
курс и узнать все про симлициальные категории. Моя задача - сделать
по-минимуму, но понятно для ребенка, без индексов, и с доказательствами
максимальной строгости, доступной целевой аудитории.

Рассказывать одного де Рама, по твоему прошлому предложению,
точно не надо: чтобы доказать гомотопическую инвартиантность
де Рама, надо перейти к сингулярным когомологиям, иначе никак,
а гомотопическая инвариантность это базовая вещь вообще

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-12 00:48 (ссылка)
>зато у студентов не будет возникать вопроса "почему именно симплексы", который всегда возникал у меня

Ха-ха. Не только у тебя; там длинный список начиная с Гротендика. И хорошего ответа человечеству неизвестно. "Как показала практика, так проще всего", а на самом деле хрен знает.

>чтобы доказать гомотопическую инвартиантность де Рама, надо перейти к сингулярным когомологиям

Да нет же. Для гомотопической инвариантности достаточно того, что у M и M \times I одинаковые гомологии (I это отрезок). Если ты готов на многообразия с краем, то это просто вот уже у тебя есть; без края надо чуть повозиться (уменьшая отрезок), но тоже не так уж дико сложно.

Что до индексов, то их в симплициальной науке не нужно вообще (как учат умные люди, в первую очередь Дринфельд). Надо просто серьезно воспринимать определение категории \Delta. Тогда n-симплекс -- это конфигурационное пространство n точек на отрезке (откуда и порядок на них), грани и вырождения тоже совершенно прозрачны, и триангуляция произведения совершенно очевидна. Знаки надо выписывать формулой конечно, но она во-первых несложная, а во-вторых тоже геометрически очевидная (из ориентации симплекса).

>и сразу через симплициальную или бисимплициальную категорию

Я тебе такого не предлагал, что я, больной что ли. Я типа про конфигурации точек, по рабоче-крестьянски типа (но на современный манер).

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-12 01:27 (ссылка)
>без края надо чуть повозиться (уменьшая отрезок),
>но тоже не так уж дико сложно.

Даже для некомпактных сложно, ибо не любое векторное поле
продолжается с открытого подмножества на многообразие,
а значит, придется его обрезать, интегрировать,
и следить за фазовыми траекториями, чтобы они не налезали
куда не надо.

в пизду такую жизнь, правда
проще через сингулярные

> Надо просто серьезно воспринимать определение категории \Delta.

Слушай, но простой рабоче-крестьянский второкурсник Вышки
(как и импы) услышит определение категории в первый раз
на этом курсе, и прежде, чем он сможет им полноценно оперировать,
надо будет его полгода категориями жестко дрючить,
а весь курс полгода (или полсеместра, как в Вышке предлагается).

Я обыкновенно даю определение категории на любом своем
курсе, именно в надежде, что оно после этого отлежится,
и в следующий раз будет проще; и на этом, в принципе,
даю (в этот раз не дал, потому что М. Б. читал ту половину,
где следовало бы его дать, но оно там морально присутствует
в виде портретов Эйленберга и Маклейна). Но ожидать, что студент
придет готовый к этому определению, не надо.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-12 01:42 (ссылка)
>> Надо просто серьезно воспринимать определение категории \Delta.
>
>Слушай, но простой рабоче-крестьянский второкурсник Вышки
>(как и импы) услышит определение категории в первый раз
>на этом курсе

Ты вообще читаешь то, на что отвечаешь?

Определение \Delta надо знать лектору. Студенту достаточно (а по-моему, и необходимо) знать вытекающий из него взгляд на симплекс как на конфигурационное пространство точке на отрезке. С этой точки зрения, вся комбинаторика визуально очевидна, а индекса нет ровно ни одного.

Собственно, симплекс отличается от куба только тем, что точки упорядоченные.

Категорий на этом уровне вообще не должно быть. Естественное место в первый раз поговорить про категории например историческое, когда определяешь гомоморфизм Гуревича. Т.е. не в этом курсе уж точно.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-12 05:33 (ссылка)
Покажи пример того что ты имеешь в виду: как рассказать
сингулярные когомологии для начинающего,
без индексов и без категорий. Я не видел,
все изложения, которые я видел, были с жуткими
индексами, без внятных мотиваций, и напоминали
определение определителя через разложение
по столбцу. То есть ебануться то чего
хлопотно, некрасиво и неинтуитивно.

Я потому и рассказываю де рамовские когомологии,
что они служат для всех прочих мотивацией.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-12 15:06 (ссылка)
>Покажи пример того что ты имеешь в виду: как рассказать сингулярные когомологии для начинающего, без индексов и без категорий.

Как ты рассказываешь это с индексами и категориями или нет?

Я просто говорю тебе, как внятно написать отображение Кюннета. Где оно в литературе, мне неведомо и неебет (кроме статьи Дринфельда, которую ты все равно не будешь читать, да и незачем).

Не хочешь, не бери.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]tiphareth
2018-06-11 23:07 (ссылка)
но в принципе, там доказательство, которое работает для любого стягиваемого
пространства

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]grigori
2018-06-12 23:38 (ссылка)
а собственно зачем тебе лемма пуанкаре, если для кубических и сингулярных когомологий гомотопическая инвариантность получается забесплатно.
Для кубических даже чуть попроще, потому что не надо триангулировать произведение симплекса на отрезок. Реально это единственное место, где работа с кубами упрощает жизнь - доказательство формулы Кюннета становится, наоборот, сложнее, как раз из-за того, что надо факторизоваться по невырожденным симплексам, так что оно того не стоит.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]kaledin
2018-06-11 17:40 (ссылка)
Т.е. вот тебе один пример пиздеца. Если просто тупо отфакторизовать по вырожденным кубам, ниоткуда не следует, что в факторе не будет кручения. А если оно вдруг есть, то формула Кюннета становится попросту неверна.

На самом деле, кручения нет (наверно, точно не проверял), потому что вырожденные кубы отщепляются в прямое слагаемое. Но в случае симплексов вот это место как раз комбинаторно весьма нетривиально, тут сидит эквивалентность Дольда-Кана (потому что разные вырождения не коммутируют, и пойди еще отщепи). С кубами будет еще хуже.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-11 18:50 (ссылка)
>А если оно вдруг есть, то формула Кюннета становится попросту неверна.

Само собой, но мне оно только тензор Q и нужно.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-11 19:55 (ссылка)
Используй тогда де Рама, и не мучь бедных бразильцев своей версией интеграла данжуа.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-11 20:37 (ссылка)
я так и сделал, есличо
но таки с кубами некоторые вещи проще,
надо просто сразу доказать, что когомологии те же

(Ответить) (Уровень выше)


[info]grigori
2018-06-12 23:41 (ссылка)
в смысле? в пространстве кубов есть базис, состоящий из всех сингулярных кубов, профакторизоваться по вырожденным это просто убрать часть элементов этого базиса.
с сингулярными симплексами то же самое - нам же (на этом уровне) не нужно работать с любыми симплициальными множествами.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-13 01:27 (ссылка)
Ок, ок.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]grigori
2018-06-13 03:48 (ссылка)
а при чём тут дольд-кан, кстати?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-13 04:10 (ссылка)
Ну как? Тебе надо доказать, что, если забыть про крайнюю грань, то у тебя есть каноническое расщепление на вырожденные/невырожденные (а крайняя грань потом дает дифференциал). То очевидное, которое ты привел, наканоническое и вообще зависит от базиса. Нужно другое, построенное из граней и вырождений. Но хотя граней (без крайней) столько же, сколько вырождений, они все друг за друга зацепляются, поэтому доказать, что там действительно есть канонический идемпотент, не то что трудно, но не вполне тривиально. Теорема Дольда-Кана в этом и заключается более-менее.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]grigori
2018-06-13 04:44 (ссылка)
я честно говоря никогда этого толком не понимал.

ты кстати летом в москве?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-13 11:41 (ссылка)
Ну плюс-минус.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]grigori
2018-06-12 23:47 (ссылка)
я думаю не делается.
или у тебя есть этот аргумент в одну строчку?

реально проще всего доказать формулу кюннета с клеточными гомологиями, потому что клеточный комплекс произведения CW-комплексов это _буквально_ тензорное произведение клеточных комплексов

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-12 23:50 (ссылка)
>реально проще всего доказать формулу кюннета с клеточными гомологиями

да, само собой
но мой коллега их не очень рассказал
и мне не хочется ими пользоваться

по крайней мере независимость от клеточного разбиения
в такой версии совсем неочевидна

(Ответить) (Уровень выше)

(Читать комментарии) -