[Recent Entries][Archive][Friends][User Info]
| February 8th, 2010 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 11:26 pm [Link] |
Страх перед нулём и единицей. Наша жизнь полна предрассудков и необоснованных страхов. Однако не все знают, что предрассудки и страхи во множестве присутствуют в математике. Сегодня я расскажу всего лишь про один такой предрассудок — страх перед нулём и единицей. Древнегреческие математики не считали единицу числом, а понятия нуля у них вовсе не существовало. По этой причине утверждения о целых числах содержали в себе несколько аналогичных формулировок для случаев, когда рассматриваемые числа равны или не равны единице, что можно видеть у Эвклида, когда он излагает свой алгоритм нахождения наибольшего общего делителя («Начала», книга 7, предложения 1 и 2) — он вынужден формулировать два предложения вместо одного (предложение 1 излагает случай, когда наибольший общий делитель равен 1, а предложение 2 — когда не равен). За прошедшие две тысячи лет люди освоили понятия нуля и единицы, но страх перед ними остался. Далее я привожу список разнообразных верных утверждений, вызывающих отторжение под влиянием этого страха. У пустого множества есть ровно один эндоморфизм — пустая функция. Вообще, из пустого множество в произвольное есть ровно одна функция — функция с пустой областью определения. (А из произвольного непустого множества в пустое функций нет.) Натуральные числа — это те, которые используются при счёте. Это определение я услышал в пятом классе. Счёт — это вычисление мощностей конечных множеств. Пустое множество конечное, стало быть число 0 — натуральное. Классическое проявление страха перед нулём — нумерация всего и вся с единицы, хотя зачастую более естественно нумерация последовательными натуральными числами, начиная с минимального — нуля, а часто наиболее естественным вариантом является отказ от нумерации. Некоторые Особенно популярно это мнение в среде жёстких аналитиков. (И вообще, жёсткий анализ (в противоположность мягкому) — это один из основных источников мракобесия в математике, как отметил один из моих знакомых.) Обосновывают они его следующим аргументом: функция (x,y) → x^y не является непрерывной в точке (0,0). Однако запись многочленов и рядов в форме ∑_k a_k x^k возможна только и исключительно при условии, что 0^0 = 1. Формула бинома (x+y)^n = ∑_k {n\choose k} x^k y^{n-k} верна для всех n≥0 и произвольных x и y также только при условии, что 0^0 = 1 (иначе надо потребовать, что x≠0, y≠0 и если n=0, то x+y≠0). Количество отображений из n-элементного множества в m-элементное равно m^n — смотри замечание выше про эндоморфизмы пустого множества. Отсюда тоже получаем, что 0^0 = 1. Список можно продолжать до бесконечности. Сумма пустого множества чисел есть 0. Произведение пустого множества чисел есть 1. Упражнение: вычислите значение башни степеней x^{y^{z^…}} для пустого семейства чисел. Нулевое векторное пространство имеет пустой базис и обладает ровно одним эндоморфизмом — нулевым. Определитель эндоморфизма нулевого векторного пространства равен 1, а его матрицей будет пустая матрица (матрица с пустым множеством строк и столбцов). Морфизмы из нулевого или в нулевое векторное пространство будут иметь пустое множество столбцов или строк. Произведение пустого семейства объектов (или предел пустой диаграммы) есть терминальный объект, копроизведение пустого семейства объектов (или копредел пустой диаграммы) есть начальный объект. Тензорное произведение (в моноидальной структуре) пустого семейства объектов есть моноидальная единица. В частности, тензорное произведение пустого семейства векторных пространств есть основное поле. Норму гомоморфизма нормированных пространств f: X→Y часто определяют как sup_{x∈X: x≠0} ‖f(x)‖/‖x‖ или как sup_{x∈X: ‖x‖=1} ‖f(x)‖. Эти определения не работают в случае X=0, а также, если допускаются полунормы, в случае если полунорма нулевая. Правильное определение, работающее во всех случаях, в том числе и для полунорм: ‖f‖=sup_{x∈X: ‖x‖≤1} ‖f(x)‖. Конъюнкция пустого семейства утверждений истинна, дизъюнкция пустого семейства утверждений ложна. Объединение пустого семейства множеств есть пустое множество. Пересечение пустого семейства множеств есть класс всех множеств (или универсум, или другой аналогичный объект — зависит от используемых теоретико-множественных оснований). Например, топология на множестве X — это семейство его подмножеств, замкнутое относительно произвольных объединений и конечных пересечений внутри X. Забывающий функтор из категории пунктированных множеств в категорию морфизмов множеств, интерпретирующий пунктированное множество A как морфизм из одноэлементного множества в A, имеет левый сопряжённый функтор. Значение этого функтора на объекте A→B обозначается B/A и называется фактормножеством множества B по множеству A. (Здесь имеет место очевидная волность речи.) В случае A=∅ имеем B/∅=B⊔*, объединение B и одноэлементного множества, тем самым фактормножество иногда может быть больше исходного множества, а факторотображение может не быть сюръективным. Весьма показательна ошибка, которую сделал Hartshorne в своём учебнике алгебраической геометрии в определении предпучка — он определяет предпучок абелевых групп как предпучок абелевых групп в обычном смысле, удовлетворяющий дополнительному условию F(∅)=0. Это вызывает проблемы уже на элементарном уровне (нельзя определить постоянный предпучок обычным образом, непонятно как определить предпучок со значениями в произвольной категории), а куча утверждений про предпучки (например, про универсальные копополнения) становятся просто неверными. На самом деле это условие является следствием аксиом пучка. Действительно, для произвольной категории C предпучок со значениями в C — это контравариантный функтор из противоположной категории открытых множеств данного топологического пространства в C, а пучок — это предпучок, удовлетворяющий свойству спуска: конус спуска произвольного покрытия произвольного открытого множества является предельным конусом. Если взять пустое покрытие пустого множества, получаем, что значение пучка на пустом множестве является терминальным объектом. Желаю всем читателям избавиться от своего страха перед нулём и единицей, если он у них есть, и пользоваться этими понятиями свободно, без дополнительных оговорок. Поводом к написанию записи послужило одно замечание одного математика, в котором он использовал пучки абелевых групп, обладающие свойством F(∅)=0, и весьма обрадовался, когда я объяснил ему, что это свойство является тривиальным следствием определения пучка. Tags: математика, преподавание | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Comments | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
"Пересечение пустого семейства множеств есть класс всех множеств". Класс всех множеств - это какой-то непонятный объект... (Reply to this) (Thread)
>Класс всех множеств - это какой-то непонятный объект... Как это — непонятный? Абсолютно строго определённый объект. (Reply to this) (Parent)
Считать или нет нуль натуральным числом -- вопрос не математический, а идеологический. Ну или политический. NZ P.S. Зайти как пользователь LJ мне не удалось :( (Reply to this) (Thread)
Нельзя ли поподробнее? О каких идеологиях идёт речь? Какая политика затрагивается?
Люди, занимающиеся разными вещами, по-разному подходили к вопросу. Логики, например, 0 учитывали. У немногих людей из другого лагеря А про 0^0, кстати, рассказывал Кнут в статье "Two notes on notation".
>остались даже старые привычки. Старые предрассудки перед нулём. >А про 0^0, кстати, рассказывал Кнут в статье "Two notes on notation". Про это много кто рассказывал.
1. Да. 2. Да, там был просто интересный пример. Скажите, а на http://dodo.pdmi.ras.ru/~topology/
Нет, я купил камеру как раз в конце 2008 года. (Reply to this) (Parent)
Приятно осознавать, что мы во Франции не мракобесы и ретрограды :) А насчет 00=1 я согласен процентов на 90. (Reply to this) (Thread)
А что говорят оставшиеся 10 процентов? (Reply to this) (Parent) > У пустого множества есть ровно один эндоморфизм — пустая функция. > Пустое множество конечное, стало быть число 0 — натуральное. Со вторым я давным-давно согласился, а первое потребовало некоторого осмысления. (Меньше полминуты, но не мгновенно.) > функция (x,y) → x^y не является непрерывной в точке (0,0). Зато x → xx является непрерывной справа. Я ещё в школе решил, что 00 = 1, и это была одна из причин. Не знаю, правда, что такое жёсткий анализ и поэтому не могу сказать, насколько большие симпатии я испытывал к жёсткому анализу. Между прочим, у имеющих опыт программирования никогда не будет проблем с факториалом нуля, пересечением пустого семейства и т. п. Немножко программировать полезно. (Reply to this) (Thread)
>Между прочим, у имеющих опыт программирования никогда не будет проблем с факториалом нуля, пересечением пустого семейства и т. п. Немножко программировать полезно. Абосолютно верно. Я даже хотел это наблюдение вписать в пост, но почему-то забыл. >Зато x → x^x является непрерывной справа. Не уверен, что эта функция достаточно важна, чтобы аргументы был решающим. Впрочем, функции x,y→x^y есть предел по любому направлению в правой открытой полуплоскости, и предел этот равен 1. Анализ бывает жёсткий и мягкий (hard analysis and soft analysis). Мягкий — это топологические векторные пространства, теория меры, операторные алгебры, гармонический анализ на группах, отчасти линейные дифференциальные операторы и так далее. Жёсткий анализ — это нелинейные уравнения в частных производных, теория аппроксимации функций, и тому подобные штучки. Для меня мягкий анализ — это и не анализ вовсе, под анализом я имею ввиду исключительно жёсткий, в котором основная тема — оценки.
> Впрочем, функции x,y→x^y есть предел по любому направлению в правой открытой полуплоскости, и предел этот равен 1. Это не так. Точнее, это так, только если под направлением понимать прямолинейный луч. По-моему, в контексте нахождения пределов гораздо более естественным и общим является понимание направления как криволинейного луча, который можно задавать параметрически. В этом случае по разным направлениям будут разные пределы, и они будут пробегать всё множество [0; +¥].
Под направлением я подразумеваю криволинейный луч, у которого касательный вектор в начальной точке лежит в открытой правой полуплоскости. Продел в таком случае равен 1. (Reply to this) (Parent)
дмитрий, я так понимаю, что кроме математики у вас имеется богатый background in computer science? не могли бы вы как-нибудь набросать программу, что следует изучать специалисту CS? было бы очень интересно.
Да, до третьего курса включительно я занимался алгоритмами, и даже написал статью. CS — огромная область, я изучал более-менее исключительно теорию (Theoretical Computer Science), и то далеко не всю. Я знаю немного алгоритмов и имею самые начальные познания в теории сложности, а вот про области вроде формальных моделей, семантик, и всего, что связано с логикой, я почти ничего не знаю. Так что если под CS понимать алгоритмы, то здесь я могу сказать, что есть несколько десятков фундаментальных алгоритмов и несколько десятков фундаментальных техник, плюс вариации на тему. В этом отношении структура этой области очень сильно отличается от структуры, скажем, алгебраической геометрии. Это делает её в каком-то смысле проще, а в каком-то — сложнее для изучения. Просто войти в область, а вот если надо узнать, какие есть алгоритмы для данной задачи, то это уже сложнее. Конкретный список алгоритмов и техник у меня даже где-то был записан, но в нём нет нужды — как я теперь вижу, содержание семи томов Кнута его неплохо описывает, впрочем, надо отметить, что некоторые темы у Кнута принципиально отсутствуют, например, геометрия, и план по ним надо искать в другом месте. предыдущий пост был мой. задам, если не возражаете несколько вопросов :) 1) я хотел бы как раз заниматься theoretical computer science и расцениваю насколько это вообще реально. major у меня в автоматических системах управления, специальность хоть и инженерная, но насколько я могу судить имеет много пересечений с CS - численные методы, автоматы, теория игр, различные оптимизационные алгоритмы, динамическое программирование и т.д. сейчас хочу пойти в магистратуру, а затем на PhD именно в теоретические компьютерные науки. насколько это вообще реально для человека, который имеет образование в другой области? 2) какую математику мне стоило бы выучить? 3) что вообще из книжек стоит почитать за вычетом кнута и кормена?
1) Более чем реально. И вообще, специальность не очень важна в последующих занятиях. У меня специальность — прикладная математика и информатика, а сейчас я занимаюсь алгебраической топологией и некоммутативной геометрией. 2) Если заниматься алгоритмами, то там математика не очень сложная — для большинства задач хватает того, что описано в книге «Конкретная математика» (Кнут, Грехем, Паташник). 3) Ещё надо читать специализированную литературу — алгоритмы и техники из разных областей. Например, для алгоритмов на строках можно почитать (из того, что есть на русском) книгу Гасфилда. Но, конечно, на английском выбор больше. Я давно не слежу за литературой, но могу порекомендовать сделать следующее: идёте на сайт кафедры CS приличного американского университета (Berkeley, MIT etc.) и смотрите, какие учебники используются для аспирантских курсов.
Кстати, а как у Вас это так получилось? В смысле, сам учусь по программе прикладная математика и информатика, оно ж весьма далеко от нужд чистой математики. Скажем, та же алгебраическая топология отсутствует в программе в принципе, вместе с гомологической алгеброй и более-менее продвинутой коммутативной; дифференциальной топологии мало или нет вообще; функановые основы некоммутативной геометрии (как я это понимаю), то есть C*-алгебры и связанные с ними радости обычно тоже в курс не входят. То есть мне лично любопытно было бы почитать про Ваш путь от весьма CS-ной по умолчанию специальности к чистой математике, расскажите (отдельным постом - так вообще прелесть и дико любопытно), пожалуйста.
Ничего из перечисленного в программе моего института, конечно, не было, и я изучал это самостоятельно. После третьего курса я в соавторстве с Юрой Лифшицем придумал новый алгоритм и опубликовал статью про него. Тогда же я понял, что алгоритмы принадлежат второй культуре в смысле Gowers'а, а меня гораздо сильнее привлекает первая культура, как я, например, мог видеть из курса А. Смирнова по алгебраической геометрии, на который я начал ходить той же осенью. По этой причине я прекратил заниматься CS и стал активно изучать математику, через года подал документы в аспирантуры нескольких университетов, и ещё через год уехал в Бёркли, где и учусь до сих пор. (Reply to this) (Parent)
Автоматические системы управления - это очень скучная и посторонняя вещь, почему бы сразу не пойти на MSc по CS? Всё очень реально, просто не понятно, зачем дополнительно терять время.
Что касается 0^0, то тут всё ясно. С одной стороны: (+x)^0=1 (здесь и далее x>0) (-x)^0=1 С другой: 0^(+x)=0 0^(-x)=бесконечность Итого: с одной точки зрения, выходит однозначно 1, с другой - "что-то среднее (геометрическое) между 0 и бесконечностью", не так уверенно, но тоже: чем не 1? (Reply to this) (Thread)
Вообще говоря, x^y определяется как exp(x * ln(y)). Надо смотреть на риманову поверхность этой функции двух аргументов; x-координата произвольная, y-координата ненулевая, сама поверхность выглядит как плоскость по x-координате и универсальное накрытие выколотой плоскости по у-координате. К точке x=y=0 можно подходить самыми разными способами и получать разные ответы. В данном случае ответ диктуется не аналитическими соображениями, а алгебраически-комбинаторными. (Reply to this) (Parent)
>> Обосновывают они его следующим аргументом [..] то x+y≠0). Как-то странно аргументировать с одной стороны фактом, а с другой стороны удобством записи. Несколько неравноценные доводы получаются. Хотя, конечно, граничные случаи в большинстве своем так и сводятся не к вопросу "как есть", а "как удобно".
Книжка, в которой я познакомился с определением пучка, О Форстер "Римановы поверхности", делает ровно так, как ты сказал :) (Reply to this) (Thread)
То есть делает правильно или неправильно?
Правильно. (Reply to this) (Parent)
По-моему, про 0^0 лучший аргумент у Бурбаки: это количество отображений пустого множества в себя. И вообще, натуральные степени натуральных чисел лучше всего определять по-бурбакистски. Почему нас должно волновать отсутствие непрерывного продолжения фундаментальной функции на плоскость? М. Денисов (http://mihail-denisov.livejournal.com/) (Reply to this) (Thread)
Это, всё-таки, комбинаторика, она не так важна, как алгебра. Более важное применение нулевой степени — в многочленах и рядах. (Reply to this) (Parent)
С другой стороны, кочующее из книжки в книжку утверждение, что подмножество является подгруппой если и только содержит вместе с каждой парой элементов и их отношение, допускает пустое множество как подгруппу. Пополнение категории групп пустой группой лишит единичную группу статуса начального объекта, что по очевидным причинам нежелательно. В данном случае, оговорки о специальном статусе нуля вполне уместны. Решение упражнения о башне степеней зависит от того "с какой стороны" элементы добавляются в башню (т.к. операция не коммутативна). Если следовать естественному порядку выбранных вами переменных x,y,z, то новые элементы добавляются сверху, и пустая башня \Lambda должна обладать свойством \Lambda^x = x для всех x (невозможно). Если же башня растёт вниз, то нужно x^\Lambda = x (\Lambda = 1). (Reply to this) (Thread)
>В данном случае, оговорки о специальном статусе нуля вполне уместны. Такое определение подгруппы, конечно, неверно. Но я не считаю это оговоркой или специальным статусом, точно так же как я не считаю оговоркой упоминание нуля в определении группы и модуля. Башня, конечно, может расти только в одном направлении в силу расстановки скобок.
Прошу прощения за задержку, я не получил ответ на почту. Расстановка скобок, вопреки распространённому заблуждению, в данном случае не играет никакой роли: без дополнительных оговорок, никто не мешает рассматривать башню 2^{3^{4^5}} как продолжение башни 2^{3^4}. Речь идёт о распространии некоей бинарной операции (в данном случае возведения в степень) op:R^2->R до операции OP:R^*->R над последовательностями чисел. Значение "пустой башни" определяется как нейтральный элемент для получившегося "редуцированного оператора". Сторона, с которой растёт башня завистит от того, определяется ли OP(p+q) как OP(p)^OP(q) или OP(q)^OP(p) (где p и q последовательности из более чем 1 элеменнта, а "+" --- конкатенация) --- независимо от расстановки скобок.
>Сторона, с которой растёт башня завистит от того, определяется ли OP(p+q) как OP(p)^OP(q) или OP(q)^OP(p) (где p и q последовательности из более чем 1 элеменнта, а "+" --- конкатенация) --- независимо от расстановки скобок. Нет, это уже совсем неверно. Операция возведения в степень не является ассоциативной. По этой причине последовательность p в определении OP(p+q) должна состоять ровно из одного элемента — иначе определение будет просто некорректным. А в силу расстановки скобок в моей формулей корректным вариантом будет только OP([p]+q)=p^OP(q). Поскольку OP([p]) = p, имеем OP([]) = 1.
Да, вы правы, конечно, совершенно нелепая ошибка. (Reply to this) (Parent)
У меня вопрос Если мы возьмем пучки множеств, то почти всегда из определений имеем что сечение над открытым множеством - pt кроме случая, когда множество сечений над чем угодно - пустое этот пучок таки чем-то плох (а я не вижу чем), или таки ничего страшного в том что сечения над пустым таки не pt? (Reply to this) (Thread)
>сечение над открытым множеством - pt Имеется ввиду сечения над пустым множеством? То, что есть ровно одно сечения над пустым множеством у любого пучка вытекает сразу из аксиом пучка. Для предпучков это, конечно, неверно, там сечения могут быть любые. (Reply to this) (Parent) >Некоторые сумасшедшие продолжают утверждать, будто 0^0 не определено. Я согласен с тем, как вы обосновали, почему 0^0. Странно только, что вы пишете об определенности. Все-таки в определении числового поля действительно у ноля нет обратного элемента. Можно доопределить чему равно 0/0 исходя из ваших аргументов, хотя главный на мой взгляд лежит в самом числовом поле, исходя из того, что для всех прочих a a/a=1. Но в самом определении числового поля этого нет. (Reply to this) (Thread)
>Можно доопределить чему равно 0/0 исходя из ваших аргументов Я сомневаюсь, что это можно сделать. Основной мой довод — сохранение интересных тождеств. В данном случае интересным тожеством будет a a^{−1} = 1, и его-то как раз сохранить невозможно.
>Но ведь формально все равно 0^0=0^n/0^n, т.е. это сделано. Нет, ибо 0^n не определено для n<0. В моих примерах x^n используется (и определён) для n≥0.
На странице 138 книги Фефермана нет ничего похожего на определение x^n для n<0. (Где вы там это обнаружили?) А вы обратите внимание на верхнюю строчку. Запись степени это ведь формально число раз умножений элементов на себя. n Феферман определил как целое число, не накладывая ограничение на положительность. Чуть ниже он рассуждает об определении произведении пустой последовательности. Собственно определение он начал на 121 странице, а тут расширил.
Произведение пустой последовательности получается при любых n<m и оно соответствует x^0, а вовсе не x^{n−m+1}, как это будет для n≥m. Иными словами, количество элементов пустой последовательности всегда равно нулю, и не важно при этом, какие вы берете m и n. Степени вида x^n для n<0, даже когда они определены (например, для x>0) в любом случае нельзя определить таким способом. У Фефермане в определении нет таких ограничений для x и для n. То есть правильно я вас понял, что его определение неверно? Все дело в том, что эта книга единственный мне известный и вменяемый источник по числовым системам. Я посмотрел английский вариант там все тоже самое.
Нет, не правильно. В цитированном вами определении вообще ничего не говорится о степенях. Степени Феферман определяет совсем в другом месте: например, в Определении 4.31 для целых чисел, где чётко сказано, что n≥0, или в Определении 6.4 для рациональных чисел, где опять-таки чётко сказано, что x≠0. Возникает вопрос. Зачем Феферману в определении 4.26 давать n как целое число, если фактически это не так? Почему не написать n неотрицательно? Во-вторых, пустая последовательность с n=0 все равно введена, а большего для обсуждаемого вопроса 0^0 и не надо. В-третьи, все одно это доопределение числового поля исходя из согласования с обычными свойствами произведений.
>Возникает вопрос. Зачем Феферману в определении 4.26 давать n как целое число, если фактически это не так? Почему не написать n неотрицательно? Потому, что пустая последовательность получается при n [Error: Irreparable invalid markup ('<m,>') in entry. Owner must fix manually. Raw contents below.] >Возникает вопрос. Зачем Феферману в определении 4.26 давать n как целое число, если фактически это не так? Почему не написать n неотрицательно? Потому, что пустая последовательность получается при n<m, в частности, максимально возможно значение n будет n=m−1. Поэтому для m=0 имеем, что пустая последовательность получается при n<0, например, при n=−1. >Во-вторых, пустая последовательность с n=0 все равно введена, а большего для обсуждаемого вопроса 0^0 и не надо. Это верно, и даёт значение 0^0=1. Вот только это никак не помогает ввести x^n для n<0, а равно и доопределить 0/0 таким образом не получится. Ну я естественно и не надеялся определить x^n для n<0 само по себе для любого x, в том числе и 0. Интересовал лишь точечный случай для 0/0. Мне казалось, что это возможно. Как вы оцениваете эту книгу (Фефермана)? Есть ли что-то еще хорошее по этой теме, что можно почитать хотя бы на английском? На русский аналог надеяться не приходится.
Материал книги Фефермана содержится в любом учебнике алгебры (Ленг, например, или ван дер Варден, или Бурбаки, или более современные книги). Конструкции вещественных и комплексных чисел и их свойства можно также найти в учебниках общей топологии, которых тоже много — Манкрз, Дугунджи, Бурбаки, и так далее. Не, ну список свойств в виде аксиом это одно, а вот мотивировки и пошаговое построение, да еще на языке алгебраических систем, всей конструкции это все же другое. Вся книга Фефермана сосредоточена на этом, а не перечисление списка свойств в одной из глав. Есть жалкое подобие и скорее всего копипаста от Нечаева. Числовые системы (1975). Естественно при всей похожести в списке литературы есть кто угодно, но не Феферман. В 1989 году вышло на английском втрое издание Фефермана. Я 60% смог слить из гугла-бук, но целиком книгу мне найти так и не удалось.
Как раз мотивировки и пошаговые построения в (хороших) учебниках алгебры присутствуют в полном объёме. Предшественник книги Фефермана — классическая книга Ландау «Основы анализа» (тоже переведена и есть в сети). Во втором издании Феферман пишет: "This is a reprinting with no essential changes of the First Edition of this book." И далее он пишет, что единственный новый материал — приложение III со обновлённым списком книг для дальнейшего чтения. Так что вряд ли имеет смысл мучаться и пытаться выкачивать книгу дальше. (Reply to this) (Parent) Дмитрий. Все же Феферман дал мне еще один повод для сомнения. Нет, вы меня в принципе убедили, что нельзя строить конструкцию, не определив ее части. Но как вы прокомментируете Определение 4.39 ii на странице 147? (ii) 0 делит а тогда и только тогда, когда а=0;
Это не определение, а теорема, и она немедленно следует из определения b|a: b|a равносильно существованию целого q, такого, что a=bq. Следовательно, 0|a равносильно существованию целого q, такого, что a=0q=0, то есть a=0. Однако следует понимать, что верность утверждения «a делит b» не имеет отношения к существованию частного b/a. Да, виноват это теорема. Хотел написать и 4.38 и 4.39, а вышло... Но все же, странно, когда вообще так говорят, что «a делит b». Если делит, значит должно быть частное. Здесь очень специфическое понятие операции деления, не совпадающее с ограничением для делителя в теореме 4.37 на стр. 145 и ее расширением в упражнении 1 на стр. 160.
>Если делит, значит должно быть частное. Вместо «b делит a» можно сказать «a кратно b». В последнем случае паразитных ассоциаций с делением не возникает. Вообще, «b делит a» означает лишь то, что частное, если оно существует, является целым числом. (Reply to this) (Parent) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
![[info]](http://lj.rossia.org/img/userinfo-lj.gif){kind=small}
![[info]](http://lj.rossia.org/img/userinfo.gif){kind=small}