tiphareth: Лекция 3: подготовительная теорема Вейерштрасса

(Добавить комментарий)

	oort 2017-03-15 17:57 (ссылка)
	>как он ее доказал ну на первый взгляд похоже - какие-то симметрические функции и т.д. https://vk.com/doc242733847_443231546 (Ответить) (Ветвь дискуссии)

polytheme
2017-03-15 18:34 (ссылка)

оно наверняка по-человечески сделано в первом томе АВГ (кстати, это ещё и единственная книжка вводного уровня вроде как, в которой теорема Сарда доказана целиком, а не для простого частного случая, как это обычно делают).

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	beotia 2017-03-15 18:40 (ссылка)
	>АВГ кто это? (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

polytheme
2017-03-15 18:49 (ссылка)

"Особенности дифференцируемых отображений", Арнольд, Варченко, Гуссейн-Заде.
но я посмотрел, нет, конечно, она слишком сложная - упоминается, но отсылается к http://libgen.io/ads.php?md5=38FC9A9014F63A4EBAFC89D0369F9C98 (это сборник под редакцией Арнольда) и книжке самого Мальгранжа http://libgen.io/ads.php?md5=87C4C0B09197C84D162E4EC08BDE870E
(лучше, наверное, чем статья, хотя хз)

(Ответить) (Уровень выше)

	polytheme 2017-03-15 18:59 (ссылка)
	Угу, в книжке Мальгранжа даже можно, кажется, понять, что происходит - оно там целиком все алгебраическое, с идеалами локальных дифференцируемых алгебр ростков, теоремой Крулля в них, такое вот. (Ответить) (Уровень выше)

	polytheme 2017-03-15 23:39 (ссылка)
	ой, прошу прощения, я почему-то счел, что это Мальгранж (по-немецки, ага) а не Вейерштрасс (Ответить) (Уровень выше)

	polytheme 2017-03-15 18:07 (ссылка)
	в 3.17 P(f_i(z)) = z \forall i. (Ответить) (Ветвь дискуссии)

	tiphareth 2017-03-15 19:19 (ссылка)
	спасибо! Да, чего-то меня уже второй раз на этом месте клинит поправил (Ответить) (Уровень выше)

	apkallatu 2017-03-15 23:06 (ссылка)
	стыдный вопрос: а как увидеть, что голоморфные формы замкнуты? (Ответить) (Ветвь дискуссии)

	polytheme 2017-03-15 23:24 (ссылка)
	в смысле, в размерности 1 ?? (Ответить) (Уровень выше)

	tiphareth 2017-03-16 00:40 (ссылка)
	они не замкнуты они \bar\partial-замкнуты и это какбе определение голоморфности (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	negativ 2017-03-16 01:11 (ссылка)
	голоморфные являются, в частности, гармоническими (по кр. мере на компактных келеровых), а гармонические замкнуты. или тут про што другое? (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	apkallatu 2017-03-16 01:17 (ссылка)
	вот! а почему они являются гармоническими? (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

negativ
2017-03-16 03:41 (ссылка)

потому что дэ-бар гармоничность и d-гармоничность
на комп. келеровом это одно и то же -- соотв. лаплаcианы
пропорциональны на константу.

Ну а голоморфная форма
вестимо дэ-бар гармонична -- дэ-бар замкнутость это и есть голоморфность,
а дэ-бар козамкнутость автоматически вытекает из типа формы (p,0).

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

negativ
2017-03-16 03:57 (ссылка)

Хотя, я вот што-то помыслил: все это келеровы тождества
есть вещь, проверяемая в локальных координатах, т.е. компактность тут
вроде не нужна, для сравнения лапласианов.

т.е. должно вроде и для некомпактных келеровых так быть.

а компактность дает именно разложение Ходжа, т.е. говорит, что
голоморфных p-форм как раз хватит для исчерпания H^{p,0}(Х).

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	polytheme 2017-03-16 05:09 (ссылка)
	угу, только на некомпактном кэлеровом C^2 есть незамкнутая форма z_1*dz_2 (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	negativ 2017-03-16 05:29 (ссылка)
	а, действительно, замкнутость гармоничных использует компактность, там интеграл от скалярного квадрата дифф-ала формы возникает. т.е. компактность нужна именно в этом месте. (Ответить) (Уровень выше)

apkallatu
2017-03-16 01:14 (ссылка)

так, пардон, я плохо спрашиваю.

вопрос навеян таким: пусть \omega голоморфная форма объёма. я встречал утверждение, что \int_X \omega \wedge \bar\omega это всё равно что intersection pairing \omega и \bar\omega, прям в топологическом смысле. для того, чтобы это утверждение имело смысл, нужно рассмотреть \omega как представить класса когомологий де Рама (и \bar\omega тоже), то есть \omega должно быть замкнуто в том смысле, что d\omega=0.

многообразие X правда проективное в этом контексте. то есть наверное это может следовать из кэлеровости как-то.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

tiphareth
2017-03-16 01:33 (ссылка)

это следует из кэлеровости: на компактном
кэлеровом многообразии любая точная
голоморфная форма равна нулю, поэтому голоморфные формы замкнуты

чтубы увидетъ, что любая точная
голоморфная форма равна нулю, умножим ее на сопряженную и на кэлерову
форму в правильной степени, получим положительную форму объема, которая
не может быть точна

на некэлеровом это неверно, есть много контрпримеров

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	kaledin 2017-03-16 01:56 (ссылка)
	Вопрос про форму объема, однако. Которая \bar\partial-замкнута по голоморфности, и \partial-замкнута из соображений размерности. Кэлеровость ни при чем (как и компактность). (Ответить) (Уровень выше)

polytheme
2017-03-16 05:31 (ссылка)

правильно говорят и Миша и Дима, но там у Миши
есть внутри (как мне кажется)
не вполне очевидное вычисление, состоящее в том,
что \omega \wedge \bar\omega \wedge (1,1)^n
действительно положительна, если \omega
не равна 0 (не знаю, есть ли оно не в координатах,
но в координатах оно простое и на 123 странице
Гриффитса-Харриса изложено, например).

вообще чтение нулевой главы (за вычетом доказательства
разложения Ходжа, которое может быть трудозатратным) -
действие, как говорили знающие люди (Б.Л.Фейгин,
В.А.Исковских), чрезвычайно душеполезное (да и
вся книжка, по-моему, очень,
но это лично мое мнение); правда, тогда еще не
было книжки Вуазен и Шнепс (когда они это говорили),
и плюс Г. и Х. совершенно не морозит окунаться по уши
в координаты (по причине чего великий Леня П. её
не может, по чистосердечному признанию) - они оба
гениальные геометры и гениальные педагоги, но
порой бешенство индексов зашкаливает.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	(Анонимно) 2017-03-16 14:42 (ссылка)
	> не было книжки Вуазен и Шнепс Какая книжка? (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	polytheme 2017-03-16 19:16 (ссылка)
	ну ешкин кот, Миша же вешал список http://gen.lib.rus.ec/book/index.php?md5=520C0D5A68F55BC20F35251E1BB9D390 (Ответить) (Уровень выше)

grigori
2017-03-16 18:22 (ссылка)

Это следует, например, из того, что p,0-формы это неприводимое представление SU(n), а звездочка ходжа и умножение на омегу в нужной степени это SU(n)-эквивариантные операторы, поэтому если одно положительное, то другое отличается от него на константу и тоже знакоопределенное.
Другое дело, что в координатах это посчитать сильно проще, чем доказать неприводимость.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

polytheme
2017-03-16 19:15 (ссылка)

ага (только они антилинейны ведь, но это неважно).
но непонятно все равно, почему это отображение ненулевое, кажется.
можно, конечно, совсем тупо взять _одну_ форму dz_1 \wedge ... \wedge dz_p, домножить её на сопряженную, и потом опять домножить на степень \sum dz_i \wedge \bar{dz_i} - но это ничуть, кажется, не легче.

а неприводимость как раз доказать вроде просто - действуя матрицей, меняющей местами координаты (с коэффициентом, чтобы лежала в SU), поубивать все мономы, кроме одного.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	grigori 2017-03-16 19:57 (ссылка)
	можно на хард лефшеца сослаться, но это то же самое, в общем (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	grigori 2017-03-16 20:13 (ссылка)
	хотя не, никуда не надо ссылаться - в омеге в степени n есть \bar dz, а в p,0-форме нет, поэтому они не могут умножиться в ноль; собственно перемножать не обязательно (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

polytheme
2017-03-17 00:27 (ссылка)

не понял. ты умножаешь форму на её сопряжение на степень кэлеровой, в произведении все ненулевые слагаемые будут одинаковые, конечно, но с точностью до порядка, а также будут и нулевые.

короче понятно б.м., это на самом деле утверждение из линейной алгебры, про то, что *-Ходжа получается в эрмитовом случае из сопряжения и домножения на степень (1,1)-косоэрмитовой, ассоциированной с метрикой (в это утверждение спрятано все вычисление). а глобальное утверждение получается из-за того, что и сопряжение, и умножение на замкнутую форму переводит замкнутые в замкнутые, а точные в точные (т.е. действует на когомологиях).

то есть на самом деле получается даже более сильное утверждение, что все (p, 0)-точные формы нулевые (неважно, голоморфные у них коэффициенты, или нет), если я не глючу (а голоморфные замкнуты, потому что их дифференциал имеет тип (p, 0)).

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

grigori
2017-03-17 01:31 (ссылка)

Я не умножаю форму на её сопряженную на степень кэлеровой, я умножаю просто форму (или её сопряженную) на степень кэлеровой; из неприводимости следует что это с точностью до константы звездочка ходжа, а что константа ненулевая, следует из того, что в одной форме есть дз-бар, а в другой нет. Вот что я хотел сказать.

Ты не глючишь, но это равносильное утверждение, а не более сильное.

(Ответить) (Уровень выше)

	bananeen 2017-03-16 17:57 (ссылка)
	Миша, на первом же слайде, "КомплекснАЯ аналитические пространства" (Ответить) (Ветвь дискуссии)

	tiphareth 2017-03-17 00:08 (ссылка)
	спасибо! Поправил (Ответить) (Уровень выше)

	apkallatu 2017-04-05 14:03 (ссылка)
	стр. 16 "Это делается так: мы выписываем полиномы Ньютона от нулей функ- ции" наверное, всё-таки выписываем полиномы Вейерштрасса? (Ответить) (Ветвь дискуссии)

	tiphareth 2017-04-05 14:10 (ссылка)
	не, именно Ньютона они оказываются Вейерштрасса, но это не главное (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	apkallatu 2017-04-05 16:04 (ссылка)
	полиномы ньютона это тоже самое, что и симметрические? я занудствую, но и правда не встречал такую терминологию. (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	tiphareth 2017-04-05 16:25 (ссылка)
	там же есть определение ну или в википедии https://en.wikipedia.org/wiki/Newton_polynomial (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	apkallatu 2017-04-05 20:54 (ссылка)
	прости, я может быть туплю, но как интерполяционный полином ньютона по ссылке связан с соотношениями между симметрическими полиномами у тебя в слайдах? (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	tiphareth 2017-04-05 21:10 (ссылка)
	это я не ту ссылку дал, пардон (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	apkallatu 2017-04-05 21:21 (ссылка)
	там кстати маленькая опечатка в определении симметрических полиномов: e_l вместо e_0 (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	tiphareth 2017-04-05 21:23 (ссылка)
	спасибо! поправил (Ответить) (Уровень выше)

	apkallatu 2017-04-05 16:07 (ссылка)
	всё, тысяча извинений, я запутался просто, как обычно. полиномы ньютона это полиномы из теоремы на стр. 14. (Ответить) (Уровень выше)