Я не знаю, что такое «R&D инженер» и «прикладные математические методы».
Это слишком общие понятия.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

По-моему как ни понимай, ответ от этого не зависит. Вот, скажем, градиентный поиск минимума - прикладной математический метод. А тот, кто градиентный спуск и подобные методы время от времени использует - R&D инженер. Считать ли его "работающим по специальности"?

Вообще Константин Северинов высказал однажды здравую мысль:

В Штатах, например, если мы говорим о биологии, есть масса наукоемких индустрий, где человек получает зарплату повыше той, которая есть в академической науке. Это такая своеобразная компенсация признания твоей академической профнепригодности, но при этом ты можешь применить свои профессиональные знания с пользой для общества и выгодой для себя.

Мне кажется, что и математическое образование должно быть ориентировано на то, что подавляющее большинство обучающихся в науку не пойдёт, а будет "применять свои профессиональные знания с пользой для общества и выгодой для себя" на разного рода производствах. Вы не согласны?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Градиентный спуск — это численный анализ.
Он, видимо, должен входить в обязательную
программу по специальности «численный анализ»,
но не должен входить в обязательную программу
по специальностям «математика»,
«computer science» или «software engineering».

>Мне кажется, что и математическое образование должно быть ориентировано на то, что подавляющее большинство обучающихся в науку не пойдёт, а будет "применять свои профессиональные знания с пользой для общества и выгодой для себя" на разного рода производствах. Вы не согласны?

Это очень сомнительный тезис, и особенно в отношении математики.
Если оставить в программе только то, что может потенциально пригодиться
тем, кто будет «применять свои профессиональные знания с пользой для общества и выгодой для себя»,
то останется материала не больше чем на один год.
Кроме того, это уже будет уровень не университета, а техникума.

В университете на специальности «математика»
программа должна готовить профессионального математика.
Будут ли выпускники работать после этого математиками
— это уже их личное дело.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Как и в случае с методом Монте-Карло, мне сложно представить, как специалист по «computer science» может не уметь работать с градиентным спуском. ПМСМ градиентный спуск входит в minimum minimorum для данной специальности.

Если оставить в программе только то, что может потенциально пригодиться тем, кто будет «применять свои профессиональные знания с пользой для общества и выгодой для себя», то останется материала не больше чем на один год.

Кроме того, это уже будет уровень не университета, а техникума.


Во-первых, я вовсе не предлагаю оставить в программе ТОЛЬКО потенциально практически полезные вещи. Изучение важных для приложений, но бесполезных для чистой математики предметов – это своего рода страховка студентов-матетматиков от безработицы. Собственно «научной» математике тоже нужно учить, более того, именно она и должна быть основой курса.

Потенциально для студента-матетматика после получения диплома есть следующие пути:

1. Наука, опционально – преподавание математики будущим математикам
2. Преподавание математики будущим инженерам, экономистам и т.п.
3. R&D работа, требующая «серьёзной математической базы»
4. Полуквалифицированная работа, простейшее веб-программирование и т.п.

Понятно, что направить ВСЕХ выпускников по первому пути не получится – в таком случае численность математиков росла бы экспоненциально. БОЛЬШИНСТВО выпускников неизбежмо должно выбирать другие пути. Это, как правильно говорит Северинов, совершенно неминуемо, по чисто арифметическим соображениям, безотносительно качества образования.

Если учить «по-Вашему», третий путь для выпускников очень сложен, поскольку целые области математики выпускник должен самостоятельно осваивать с нуля. Второй – тоже затруднён по той же причине, плюс к тому, даже если выпускник формально освоит нужные инженерам разделы, он не будет чувствовать, что именно важно для его студентов. Это, кстати, беда советско-российских учебников. Как сказал мне один знакомый инженер (весьма толковый): «Если в учебнике вижу слова «сигма-алгебра» - закрываю его и больше в руки не беру».

Остаётся, увы, четвертый. И вот тут-то и стоит задать Ваш вопрос - а зачем учились? Таким образом математические специальности превращаются в подобие балетных, актёрских и т.п. училищ, где, как говорят, большинство отучившихся остаётся не у дел и занимается впоследствии малоквалифицированной работой.

Если же учить «по-моему», ситуация будет

А) Гуманнее и гармоничнее - оставшееся вне науки большинство не будет сокрушаться о бесцельно потраченных годах.

Б) Экономически оправдано. Если не становиться вслед за Вербицким в позу «все - дерьмо, а я – цветок», стоит признать, что «чистая» математика приносит материальную пользу крайне редко. Кроме криптографических алгоритмов с ходу и не вспомню ничего. Сейчас высказываются, правда, призрачные надежды что на основе струнной теории удастся создать принципиально новые виды энергетики; как человек, далёкий от вопроса, я не могу их оценивать, но в любом случае тут всё очень туманно. Именно ушедшие в производство математики превращают математические заведения из «высокоинтеллектуальной богаделен» в экономически полезные институты.

В) В конечном счёте лучше, как это ни парадоксально, для самой чистой математики, поскольку смутные перспективы трудоустройства после окончания учёбы перестанут отпугивать учащихся от выбора математической специальности.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Как и в случае с методом Монте-Карло, мне сложно представить, как специалист по «computer science» может не уметь работать с градиентным спуском. ПМСМ градиентный спуск входит в minimum minimorum для данной специальности.

Численный анализ и computer science — это разные дисциплины.
Градиентный спуск и метод Монте-Карло входят в минимум
для численного анализа, а не для computer science.

Что, конечно, не запрещает специализирующемуся по computer science
изучить численный анализ.

>В конечном счёте лучше, как это ни парадоксально, для самой чистой математики, поскольку смутные перспективы трудоустройства после окончания учёбы перестанут отпугивать учащихся от выбора математической специальности.

Это очень сомнительный тезис.
Например, финансовые корпорации нанимают выпускников
американских математических аспирантур и не требуют от них никаких
специальных знаний — общей математической культуры хватает,
а всё остальное изучается буквально за несколько дней.

Вообще, за пределами физики математика используется весьма
примитивным образом, и необходимые сведения изучаются за несколько
дней при наличии общей математической культуры.

По этой причине не вижу никакого смысла забивать учебные
планы «прикладными» дисциплинами.

На четвёртый пункт следует учить в техникумах.

Насчёт третьего пункта — очень сомневаюсь, что кому-то для
работы software engineer в R&D приходилось «целые области математики самостоятельно осваивать с нуля».
Хотелось бы конкретных примеров.

Со вторым пунктом действительно всё очень грустно, но не по указанной
причине, а просто потому, что почти все такие преподаватели в настоящий момент
совершенно невежественны в самой математике,
что является следствием крайне низкого уровня её преподавания в университетах.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Со вторым пунктом действительно всё очень грустно, но не по указанной причине, а просто потому, что почти все такие преподаватели в настоящий момент совершенно невежественны в самой математике, что является следствием крайне низкого уровня её преподавания в университетах.

Этот тезис меня изумляет, честно говоря. Наверное экономистам полезна была бы теория игр, но это вроде бы не "чистая" математика... Какие области "чистой" математики стоило бы изучить, на Ваш взгляд, преподавателям математики в инженерных вузах? Единственное, что приходит мне в голову - основы анализа на многообразиях, поскольку дифференциальные формы - объект более естественный, чем мифические "бесконечно малые", однако и тут бабушка надвое сказала.

На мой взгляд проблема прямо противоположная - инженерам нужно "делай раз, делай два", а их вместо этого пичкают различными формализмами и прочей "математической лирикой", по выражению Ландау.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Преподаватель математики должен владеть общей математической культурой.
А то как-то раз я заглянул ради смеха
на «продвинутый» курс по математике в институте,
когда я в нём ещё числился, и услышал буквально следующее:
«пространство — это множество, в котором задано
понятие сходимости».

Теория игр — это приложение функционального анализа,
который преподаватели (и студенты) должны знать,
если они хотят изучать теорию игр (и не ограничиваться
конечномерным случаем).

Дифференциальные формы надо знать хотя бы потому,
что без них мы имеем бессмысленное шаманство
в виде формул Грина, Гаусса, Стокса, и им подобных.

>На мой взгляд проблема прямо противоположная - инженерам нужно "делай раз, делай два", а их вместо этого пичкают различными формализмами и прочей "математической лирикой", по выражению Ландау.

Нет, никакими формализмами в наше время никого не пичкают, ввиду того, что сами преподаватели
никаких формализмов не знают,
и вообще функционально неграмотны.


На мой взгляд система образования по математике
имеет смысл устроить так: есть несколько
программ разной градации сложности.
У них общее начало, и в процессе обучения
студент может выбрать, по какой программе
ему учиться. Переход из одной программы
в другую — свободный.
(1) Есть программа для будущих математиков,
которая включает в себя программу Вербицкого,
а также многие другие вещи, которых у Вербицкого
нет (вроде некоммутативной геометрии и алгебраической топологии).
Закончившие её, как правило, поступают в аспирантуру.
(2) Есть программа для будущих учителей математики
и преподавателей математики в вузах.
Она является существенно урезанной версией
программы выше и для её окончания
необходимо существенно меньше времени.
Закончившие её, как правило, идут работать учителями
математики и преподавать математику в вузы.
Возможно здесь нужны градации — тот, кто хочет
работать в вузе, должен изучить больше, чем
тот, кто хочет работать в школе.
Например, если кто-то хочет преподавать
инженерам, то он, например, должен изучить
ещё численный анализ.
При этом предполагается, что каждый год
преподаватели проходят аттестацию — например,
сдают ещё один экзамен по курсу из программы пункта (1),
который они раньше не изучали.
(3) Программа для будущих инженеров и так далее.
Похожа на программу пункта (2) и включает также
необходимые инженерам вещи вроде численного
анализа.
(4) Ещё есть теоретические физики — им нужно
существенно больше знаний, чем инженерам,
но не так много, как будущим математикам.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Теория игр — это приложение функционального анализа, который преподаватели (и студенты) должны знать, если они хотят изучать теорию игр (и не ограничиваться конечномерным случаем).

Насколько я знаю, в РЭШ теорию игр, в том числе и бесконечномерную, вполне успешно преподают студентам, многие из которых с функциональным анализом незнакомы.

Дифференциальные формы надо знать хотя бы потому, что без них мы имеем бессмысленное шаманство в виде формул Грина, Гаусса, Стокса, и им подобных.

Нет, не бессмысленное. Раз люди с их помощью делают эффективные инженерные разработки, значит смысл есть.

А вот "окупится" ли время, затраченное будущими инженерами на изучение дифференциальных форм вместе с прилагающимися основами коммутативной алгебры и т.д. - большой вопрос.

Нет, никакими формализмами в наше время никого не пичкают, ввиду того, что сами преподаватели никаких формализмов не знают, и вообще функционально неграмотны.

Ну как же не пичкают? Изучают и язык эпсилон-дельта (это, наверное, к месту) и основы теории меры с пресловутыми сигма-алгебрами (а вот это как правило ни к чему).

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Формула Грина, Кельвина-Стокса, Коши и Гаусса-Остроградского забывается через день после экзамена. Тем не менее, если понимать общую теорему Стокса, то все это, а так же многое другое, становится совершенно очевидным.

Кроме того, инженера, не владеющего математикой, очень сложно научить чему-то новому. В этом вся проблема. Я полистал, например, семестровый Стэнфордский курс «Fourier transform & its applications» для градюэйтов. 80% материала казались мне чем-то совершенно очевидным, а остальные 20% осваиваются за неделю. При этом я не знаю гармонического анализа и продвинутого функана, и все что мне понадобилось — элементарное понимание линейной алгебры в объеме книжки Лэнга по алгебре. Тем не менее, инженеров не знающих математики приходится учить этому по полгода.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

все что мне понадобилось — элементарное понимание линейной алгебры в объеме книжки Лэнга по алгебре

Подозреваю, что также Вам понадобились математические способности и общая математическая культура. Сколько времени нужно работать над среднестатистическим будущим инженером для её выработки - неизвестно.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Сомневаюсь, что у меня есть какие-то особенные математические способности. На выработку элементарной культуры мне лично понадобилось около года. Это при учете, что учился я по книжкам и если бы кто-то помогал, то дела шли бы быстрее.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

А как Вы вырабатывали элементарную культуру?
По каким книжкам учились?
Как учились?
Какие можете дать советы в этом деле?

(Reply to this) (Parent)

Формула Грина, Кельвина-Стокса, Коши и Гаусса-Остроградского забывается через день после экзамена.

Формулы всегда можно подсмотреть в справочнике. Главное - чтобы запомнилось какие задачи с их помощью можно решить.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Тогда не понимаю зачем им вообще нужны формулы. Достаточно запомнить комманду в матлабе (многие так и делают).

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Матлаб - не панацея. Иногда расчёт нужен внутри кода на некотором языке, например. Да и вбивать данные в Матлаб не всегда хочется.

(Reply to this) (Parent)

Доходит до смешного, кстати. Например, я бы свидетелем того, как инженерам объясняли принцип работы CRC-кодов, доказывая корректность вычислениями в двоичной системе счисления. Так же рекомендовалось запомнить, что длина CRC равна длине генератора - 1.

Человеку, знающему математику, достаточно сказать, что полиномы от одной переменной над полем образуют Эвклидову область. А генератор это полином над Z/2. Все. После этого человек на всю жизнь запомнит как устроен checksum в протоколах и не будет судорожно вспоминать сколько бит выделять под CRC-хвост в сегменте.

Экономия времени, по-моему, очевидна. Да, в начале будет, медленнее идти, но разница между подходами такая же как между O(n) и O(e^n).

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Так дело в том, что никаких "О больших" для большинства инженеров нет.

Им нужно выучить конечное и зачастую небольшое число конкретных математических методов.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Это вроде как уровень техникума.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Поймите простую вещь: КРОМЕ МАТЕМАТИКИ ИНЖЕНЕРАМ НУЖНО УЧИТЬ МАССУ ДРУГИХ ПРЕДМЕТОВ. Математика во всех видах зачастую далеко не самый главный для них предмет.

Историки (в том числе хорошие) могут вообще не знать "высшей математики" - так что же, исторические факультеты находятся на уровне ПТУ?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Я согласен, что не всем инженерам нужна математика. Например программистам она действительно не нужна. Но я так понял, что мы все-таки говорим о math heavy специальностях --- управленцы, сигнальщики, механики. В этом случае, если взять какой-нибудь профильный предмет, например, «обработка сигналов», то окажется, что как минимум половина курса состоит из неэффективного пересказа тривиальных математических концептов.

Я не предлагаю учить математике в ущерб всему остальному. Мой тезис заключается в том, что если придется тратить меньше времени на неэффективные пересказы, то больше времени останется именно для инженерии.

(Reply to this) (Parent)

К тому же, экономия времени колоссальная. Да, она проявится курсу к третьему только, зато за оставшиеся пару лет можно будет инженеру рассказать во много раз больше чем он получает сейчас (см пример с преобразованием Фурье).

(Reply to this) (Parent)

>Насколько я знаю, в РЭШ теорию игр, в том числе и бесконечномерную, вполне успешно преподают студентам, многие из которых с функциональным анализом незнакомы.

Звучит крайне сомнительно, но для конкретных
выводов нужны детали, которыми я не располагаю.

>Нет, не бессмысленное. Раз люди с их помощью делают эффективные инженерные разработки, значит смысл есть.

Эффективные инженерные разработки
можно также делать исключительно в координатах,
без векторов. Это не значит, что векторы
бесполезны для инженеров.
Коммутативную алгебру для дифференциальных
форм учить не надо,
дифференциальные формы для своего освоения
требуют не больше времени, чем векторы
(фактически, дифференциальные формы — это
поливекторы, только на двойственном пространстве),
а отдача от них колоссальная — чуть ли не все
уравения физики, вроде уравнений Максвелла,
уравнений гидродинамики и так далее записываются
в дифференциальных формах.

>Ну как же не пичкают? Изучают и язык эпсилон-дельта (это, наверное, к месту) и основы теории меры с пресловутыми сигма-алгебрами (а вот это как правило ни к чему).

Эти формализмы устаревшие и учить им как раз
не надо, и даже вредно.
То, что их ещё изучают, является следствием
невежественности преподавателей,
составителей программ и авторов учебников.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Эффективные инженерные разработки можно также делать исключительно в координатах, без векторов. Это не значит, что векторы бесполезны для инженеров.

Для некоторых инженерных специальностей они действительно могут быть бесполезны.

Коммутативную алгебру для дифференциальных форм учить не надо

Как Вы предлагаете определять векторные поля? Я знаю два пути - координатные шаманства и дифференцирование алгебры гладких функций.

дифференциальные формы для своего освоения требуют не больше времени, чем векторы (фактически, дифференциальные формы — это поливекторы, только на двойственном пространстве)

Только в отличие от векторов, рассматриваемых в "отдельно стоящих" линейных пространствах, дифференциальные формы "торчат" в каждом кокасательном пространстве, да ещё и "гладко меняются". "Гладко меняются" можно описывать в координатах (тогда улучшение по сравнению с существующими курсами матанализа будет небольшим), либо на языке коммутативной алгебры; я других путей не вижу.

И потом, объяснить будущему инженеру понятия касательного и кокасательного расслоения уже непросто, не говоря об их степенях.

(Reply to this) (Parent)

>Ну как же не пичкают? Изучают и язык эпсилон-дельта (это, наверное, к месту) и основы теории меры с пресловутыми сигма-алгебрами (а вот это как правило ни к чему).

Эти формализмы устаревшие и учить им как раз не надо, и даже вредно.

Чем Вы предлагаете заменить язык эпсилон-дельта? Неужели общей топологией?

Как изучая теорию меры (с полноценным математическим обоснованием) обойтись без сигма-алгебр, я вообще не представляю, возможно это следствие дыр в моём образовании.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>>>Неужели общей топологией?

А что такого? Лучше ж во всех отношениях. Я, кстати, даже определения предела в дельта-эпсилон не знаю.

(Reply to this) (Parent)

Есть программа для будущих математиков, которая включает в себя программу Вербицкого

Это не имеет прямого отношения к теме беседы, но даже если принять как данность сомнительный тезис Вербицкого, что ценна только та математика, которая заточена на физику (под которой понимается, кажется, только теория струн), разве обязательно требовать от всех будущих профессиональных математиков, чтобы они освоили программу Вербицкого в полном объёме? Разве полезны будут, например, будущим алгебраическим геометрам, даже если они собираются "обслуживать" струнную теорию, сведения об эргодичности бильярдов? (Вопросы не риторические - мне действительно непонятно.)

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Такие вещи полезны в том смысле, что помогают
устанавливать связи между разными разделами математики.
Если математику не изучать, а изучать изолированные
дисциплины, то математика от этого очень сильно пострадает,
так как самые интересные результаты зачастую
получаются в результате синтеза дисциплин.

Например, крайне важна теория, развиваемая
Джэйкобом Лури является синтезом (а по существу
и слиянием) алгебарической топологии и алгебраической
геометрии.

Я и сам работаю в синтезе алгебраической топологии,
некоммутативной геометрии и квантовой теории поля.

Программа Вербицкого сама по себе недостаточна
(и невелика), поэтому её надо дополнить другими
областями (некоммутативная геометрия,
кстати, тоже весьма релевантна для физики,
а её у Вербицкого совсем нет).

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Было бы здорово, если бы вы произвели компиляцию идей из предыдущих постов и набросали свою программу (с топосами и пучками) и соответствующим списком литературы. Особенно интересен порядок в котором стоит изучать те или иные вещи.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Это весьма нетривиальная задача.
Я думаю, что составить нормальную программу
под силу только группе математиков
разнообразных специализаций.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Жаль. Просто удручает ситуация, когда что-то учишь-учишь, только потому что вовремя никто не подсказал, а потом оказывается, что это безнадежно устаревший хлам.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

В таких случаях полезно задавать вопросы более опытным математикам.
На MathOverflow очень часто попадаются вопросы типа A learning roadmap to…
Не факт, что новый вопрос на эту тему не закроют,
но пытаться стоит.

Ещё в принципе можно открыть сообщество
на тему так, как лучше всего изучать разные разделы
математики и стоит ли их изучать вообще.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Комьюнити наверно нет смысла открывать. Могу ошибаться, но мне кажется, что даже в ljr найдутся лишь единицы со взгядами на программу изучения математики отличными от syllabus'ов стандартных курсов из западных аспирантур.

Вы, кстати, про теорию меры обещали написать и так и не :)

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Про теорию меры я написал, правда несколько фрагментарно:
http://mathoverflow.net/questions/49426/is-there-a-category-structure-one-can-place-on-measure-spaces-so-that-category-th/49542#49542

Начать надо со ссылки [1] и после этого можно читать остальное, в том числе и сам ответ.

(Reply to this) (Parent)

останется материала не больше чем на один год.
Кроме того, это уже будет уровень не университета, а техникума.

Научить численно решать уравнения в частных производных с помощью разностных схем за год нереально. И это отнюдь не уровень техникума, по-моему.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

По-моему, как раз уровень техникума.
Да и выучить разностные схемы за год вполне реально.
В техникуме, кстати, учатся больше одного года.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Да и выучить разностные схемы за год вполне реально.

Отталкиваясь от школьной программы? Это фантастика.

Чтобы выучить разностные схемы и их приложения к уравнениям в частных производных, нужно перед этим выучить а)матан, в том числе функции многих переменных б) дифуры в) линейную алгебру, чтобы понимать, как ведут себя линеаризованные дифуры. Плюс к тому желательно получить представление об обобщённых функциях. Даже на мехмате МГУ (уровень студентов которого хоть не соответствует, наверное, высокому статусу главного университета страны, но всё же гораздо выше любого техникума) численное решение УРЧП изучают уже на 4-м курсе, ЕМНИП.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

В чём вы видите здесь проблему?
Матан — это первый и второй семестр,
дифуры и линейная алгебра — это первый (или второй) семестр.
Разностные схемы — третий семестр.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Проблема тут во всём, пожалуй, кроме линейной алгебры, которую действительно реально выучить за семестр.

Начинать учить дифуры не выучив толком матанализ несколько странно, согласитесь. Кроме дифуров (обыкновенных) отдельным курсом должны быть уравнения в частных производных (уравнения матфизики). К слову сказать, для решения эллиптических уравнений неплохо бы поучить комплексный анализ. Чтобы понимать связь аналогию теплопередачи и диффузии, нужен курс случайных процессов. Матан обязательно должен включать в себя ряды Фурье, значит нужно в какой-то мере учить соответствующий математический формализм со сходимостью и проч.

Вот как (примерно) происходит обучение на мехмате МГУ, опуская курсы, не имеющие отношения к численным решениям УРЧП.

1 семестр. Матан (пределы + дифференцирование), "общая алгебра" (примитивный курс с определениями группы и кольца и азами теории чисел).

2 семестр. Матан (ряды + интеграл Римана), линейная алгебра.

3 семестр. Матан (ряды Фурье), дифуры.

4 семестр. Матан (дифференцирования функций многих переменных, метод множителей Лагранжа, формула Стокса, без полноценного анализа на многообразиях - дифференциальные формы проходят по большому счёту мимо), дифуры.

5 семестр. "Действительный анализ" (основы теории меры, интеграл Лебега), комплексный анализ, УРЧП.

6 семестр. Комплексный анализ, УРЧП.

7 семестр. Численные решения дифуров и УРЧП.

Учат ещё функциональным пространствам L и обобщённым функциям, я не помню когда и в рамках какого курса. По хорошему, к слову сказать, надо было бы ещё учить физику, но ей толком не учат. Теорвер и случайные процессы я тоже опустил.

Понятно, что программа далеко не идеальна не только с точки зрения профессиональных математиков, но и с точки зрения прикладников. Её можно подужать на семестр, максимум два. Но! это при условии, что уровень учащихся мехматский, а не техникумовский. Выучить в техникуме всему этому вообще нереально.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Начинать учить дифуры не выучив толком матанализ несколько странно, согласитесь.

Дифуры с линейной алгеброй можно учить во втором
семестре, после семестра матанализа.

>Кроме дифуров (обыкновенных) отдельным курсом должны быть уравнения в частных производных (уравнения матфизики).

Маленькое уточнение: уравнения в частных производных — это не уравнения матфизики, ибо далеко не каждое
уравнение в матфизике является уравнением в частных производных.

>Кроме дифуров (обыкновенных) отдельным курсом должны быть уравнения в частных производных (уравнения матфизики). К слову сказать, для решения эллиптических уравнений неплохо бы поучить комплексный анализ. Чтобы понимать связь аналогию теплопередачи и диффузии, нужен курс случайных процессов.

Всё это (равно как и программа на 7 семестров
ниже) было бы необходимым, если бы предполагалось,
что после этого студенты будут создавать собственные
методы численного решения диффуров,
то есть заниматься научной работой в области численного
анализа. Такие люди тоже нужны, но они составляют
лишь очень малую долю от общего количества.
А так от «прикладников» требуется лишь аккуратно
реализовать один из существующих методов численного
решения диффуров, контролирую при этом
погрешность вычисления.
Для этого хватит простейших основ анализа и линейной алгебры, даже три семестра на подготовку
— это перебор.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Где требуется? Самая распрстранённая ситуация, судя по моему опыту, - приходит задача: есть такая-то и такая-то технологическая ситуация, посчитай-ка нам, как нагреется грунт/расширится труба/осядет взвесь/и т.п.

Прежде чем "аккуратно реализовывать", нужно выписать соответствующее уравнение и придумать общую линию решения, что включает в себя. Тут может оказаться совершенно необходимой и аналогия диффузия-теплообмен, и другая "высокая наука". Подчеркну - не для разработки нового численного метода, а для решения конкретной практической задачи.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Все необходимые уравнения для таких задач уже выписаны.
Инженер просто откроет книгу и найдёт в ней нужное уравнение,
вместе с численным методом его решения.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Все необходимые уравнения для таких задач уже выписаны.
Инженер просто откроет книгу и найдёт в ней нужное уравнение,
вместе с численным методом его решения.

Некто Шрила Прабхурада (сектантский "гуру" из США) говорил, что "каждый знающий десять цифр знает всю математику" (очевидно он не знал о существовании двоичной системы счисления).

Вы хотели конкретики? Их есть у меня.

Вот задача из жизни: вода со взвешенными частицами поступает равномерно поступает в бассейн в течении некоторого времени. Потом поступление прекращается, и взвесь начинает оседать. В течении какого времени в верхнем слое содержание частиц станет ниже некоторого порогового уровня? Геометрия бассейна и трубы, через которую наливается вода, известна; частицы в первом приближении можно считать шариками некоторого диаметра с некоторой плотностью. Изменением вязкости воды ввиду изменения температуры и т.п. можно пренебречь.

В какой книге можно "просто найти нужное уравнение вместе с численным методом его решения"? Мне кажется достаточно очевидным, что если в какой-то книге и описано решение чего-то близкого к данной задаче, то а)это большое везение и б)на поиск готового решения в литературе может потребоваться недопустимо большое время.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Эта задача как раз для выпускников университета
с математической программой инженерного типа,
описанной в другом комментарии, а не техникума,
ибо здесь как раз требуется составлять новое уравнение,
анализировать его и так далее.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Ну вот такие задачи и составляют большинство практических; анекдот про "сферического коня в вакууме" не на пустом месте появился.

Выпускник "техникума по разностным схемам" будет на реальном производстве почти бесполезен. Толк от него может быть лишь если он встроен в качестве "подмастерья" в относительно большую команду математиков-прикладников. Причём таких "подмастерий" достаточно одного-двух на большую группу самостоятельных работников.

Т.е. мы по сути возвращаемся к исходному тезису - научить численно решать уравнения в частных производных с помощью разностных схем в техникуме нереально.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Вы говорите не об умении решать уравнения численно, а об умении их составлять и переводить инженерные задачи на язык математики. Для этого надо знать существенно меньше того, что вы перечислили.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Я говорю об умении решать практические задачи. Человек, который каждый раз будет говорить: "Я по пуговицам Я не умею писать уравнения, обратитесь в другой отдел". К тому же выписанные уравнения часто приходится корректировать после численного моделирования.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Я же говорю, что для этого требуется значительно меньше знаний. Чтобы решать практические задачи можно не знать какой-нибудь теоремы о существовании и единственности и жить счастливо.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Блин, прошу прощения, вкралась опечатка (второпях забыл фразу написать, причём ключевую):

Вместо

Человек, который каждый раз будет говорить: "Я по пуговицам Я не умею писать уравнения, обратитесь в другой отдел".

"следует читать"

Человек, который каждый раз будет говорить: "Я по пуговицам Я не умею писать уравнения, обратитесь в другой отдел" вряд ли заинтересует работодателя

А если выражаться менее интеллигентно - на хрен не нужен (на большинстве производств). Так что без теорем существования и единственности можно, конечно, жить счастливо, но не работать математиком-прикладником.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Стоп, мне кажется мы тут друг друга не понимаем. Мой вопрос по сути был: для чего в этом случае нужна продвинутая теория? Умение составлять уравнения важно, умение решать их (вернее знать название численного метода и его основные ограничения) тоже, а теорема о существовании для чего нужна или потоки? :)

(Reply to this) (Parent) (Thread)

умение решать их (вернее знать название численного метода и его основные ограничения)

Это принципиально различные вещи, примерно как знать десять цифр и знать математику.

Без серьёзной подготовки многие практические задачи (я выше приводил пример
http://lj.rossia.org/users/dmitri_pavlov/11810.html?thread=498466#t498466 )
решать невозможно.

(Reply to this) (Parent)

Так не получится, наверно. Из-за того, что эти предметы сложно учить параллельно.

Для того, чтобы учить анализ надо выучить общую топологию и линейную алгебру. Для того, чтобы учить линейную алгебру, надо выучить основы общей алгебры. Получится на пару семестров больше.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

«Матан» (сама концепция такого предмета мне
категорически не нравится) обычно включает
себя общую топологию, а линейная алгебра — необходимые
основы общей алгебры.
К тому же, речь идёт о программе для техникума.

(Reply to this) (Parent)