>А это уже прямой подлог. Вы же намеревались доказать принципиальную невозможность описать некий объект — а что принципиального в невозможности описать нечто средствами фиксированного языка? Да язык поменять, и всё. Делов-то.

Все языки, обладающие мощностью машины Тьюринга,
могут эмулировать друг друга. Поэтому от фиксации
языка мы ничего не теряем. Да, придётся включить
интерпретатор фиксированного размера, но его размер
ничтожен по сравнению с количеством материи во вселенной.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Все языки, обладающие мощностью машины Тьюринга,
> могут эмулировать друг друга. Поэтому от фиксации
> языка мы ничего не теряем.

ROFL. Для любого числа можно придумать язык, в котором описание конкретно этого числа будет занимать ровно один байт. И тьюринговская полнота тут совершенно ни при чём.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Для любого числа можно придумать язык, в котором описание конкретно этого числа будет занимать ровно один байт.

Правильно, вы запихаете всю информацию об этом числе
в интерпретатор. А при использовании фиксированной
машины длина этого интерпретатора как раз и вылезет
наружу. Если бы вы были знакомы с понятием колмогоровской
сложности, то уже давно бы поняли, о чём я говорю,
и не приводили бы пустых возражений.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Слушайте, ну где вообще была речь про разрешимость/полуразрешимость языка, посредством которого даётся пресловутое "описание" числа? При чём тут колмогоровская сложность?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Слушайте, ну где вообще была речь про разрешимость/полуразрешимость языка, посредством которого даётся пресловутое "описание" числа?

Какие языки вы допускаете для конструктивной математики?
Впрочем, для рассуждения ниже это не важно.

>При чём тут колмогоровская сложность?

При том, что колмогоровская сложность последовательности
натуральных чисел неограниченно возрастает,
и, начиная с некоторого момента, для любого языка
превосходит заданное число n.
В силу конечности количества материи во вселенной
существует лишь конечное количество языков.
Как следствие, имеем, что существует
некоторое n, такое, что ни одно число большее n
невозможно материально представить (в силу конечности
количества материи) ни в одном из языков,
которые могут существовать в нашей вселенной.

Поэтому, как только вы упоминаете материальное
представление, вы автоматически ограничиваете
область рассмотрения конечной математикой.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Как следствие, имеем, что существует
> некоторое n, такое, что ни одно число большее n
> невозможно материально представить (в силу конечности
> количества материи) ни в одном из языков,
> которые могут существовать в нашей вселенной.

В том числе и в столь превозносимом Вами языке ZFC. Так за что тогда боролись?

> Поэтому, как только вы упоминаете материальное
> представление, вы автоматически ограничиваете
> область рассмотрения конечной математикой.

Что такое "конечная математика" и почему это так страшно?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>В том числе и в столь превозносимом Вами языке ZFC. Так за что тогда боролись?

Совершенно верно.

А я всего лишь утверждаю, что в этом отношении ZF ничем
не отличается от конструктивной математики.
Мы не можем утверждать, что
все объекты конструктивной математики (например,
все натуральные числа) имеют материальное представление
в нашем мире.
Но точно так же мы не можем утверждать этого и для ZF.
Однако некоторые объекты ZF имеют материальное
представление в нашем мире — например,
натуральные числа, ограниченные сверху какой-то
границей. Именно этот факт позволяет обычным
классическим математикам, не подозревающим о
существовании конструктивной математики,
проводить компьютерные вычисления и утверждать,
что они имеют отношение к математике.

>Что такое "конечная математика" и почему это так страшно?

В данном контексте это математика, оперирующая
с теми объектами, которые можно материально
представить в нашем мире. Например, ограниченные
какой-то границей натуральные числа.
Это не страшно, кроме того, что это страшно неудобно.
Например, не любые два натуральных числа
можно сложить, а только такие, у которых сумма
не слишком велика.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> А я всего лишь утверждаю, что в этом отношении ZF ничем
> не отличается от конструктивной математики.
> Мы не можем утверждать, что
> все объекты конструктивной математики (например,
> все натуральные числа) имеют материальное представление
> в нашем мире.

Как я уже говорил, ZF отличается от конструктивной математики тем, что в последней за употребление слова "все" бьют подсвечниками. Нет такого слова в конструктивной математике, понимаете? Слова "любой", "каждый", "всякий" — есть. А слова "все" — нету. Ясна суть дела, или нужны дальнейшие пояснения?

> Однако некоторые объекты ZF имеют материальное
> представление в нашем мире — например,
> натуральные числа, ограниченные сверху какой-то
> границей.

Поправка: это не объекты ZF, а формулы ZF, выражающие суждения о существовании и единственности некоторых "объектов". Я против этих формул ничего не имею, однако давайте всё же называть вещи своими именами.

> Именно этот факт позволяет обычным
> классическим математикам, не подозревающим о
> существовании конструктивной математики,
> проводить компьютерные вычисления и утверждать,
> что они имеют отношение к математике.

Не это позволяет. Позволяет то, что "в первом приближении" известные теоремы ZF (потому что среди неизвестных, напоминаю, могут быть попросту отрицания известных) не противоречат конструктивной математике. Оттого, что эта подлинная причина подавляющему большинству "обычных классических математиков" неизвестна, она не перестаёт существовать.

Кстати, а ведь, помнится, уравнение теплопроводности и цикл Карно были выведены из представления о теплороде. В итоге цикл остался — а вот собственно теплород, увы, тю-тю. Будете настаивать на реабилитации столь полезного физического понятия?

> В данном контексте это математика, оперирующая
> с теми объектами, которые можно материально
> представить в нашем мире. Например, ограниченные
> какой-то границей натуральные числа.

Границу в студию. Такую, которая бы с гарантией (независимо от поправок на добавочные вселенные, расщепление электронов и прочие квантовые вычисления) была абсолютной. А?

> Это не страшно, кроме того, что это страшно неудобно.

Страшно неудобно то, что граница эта будет своя для каждой конкретной машины. Вот ровно поэтому в конструктивной математике (точнее, в её "общей части", не касающейся специально вопросов о требуемых вычислениями ресурсов) и откладывают в сторонку те процессы, для которых наличие этой границы существенно, а затем изучают свойства тех, для которых это наличие ни на чём не сказывается (а потому можно совершенно спокойно считать, что соответствующей границы вообще нет).

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Как я уже говорил, ZF отличается от конструктивной математики тем, что в последней за употребление слова "все" бьют подсвечниками. Нет такого слова в конструктивной математике, понимаете? Слова "любой", "каждый", "всякий" — есть. А слова "все" — нету. Ясна суть дела, или нужны дальнейшие пояснения?

Пожалуйста.
А я всего лишь утверждаю, что в этом отношении ZF ничем
не отличается от конструктивной математики.
Мы не можем утверждать, что
любой объект конструктивной математики (например,
любое натуральное число) имеет материальное представление
в нашем мире.

>Не это позволяет. Позволяет то, что "в первом приближении" известные теоремы ZF (потому что среди неизвестных, напоминаю, могут быть попросту отрицания известных) не противоречат конструктивной математике. Оттого, что эта подлинная причина подавляющему большинству "обычных классических математиков" неизвестна, она не перестаёт существовать.

Это неверно хотя бы по той причине, что обычные математики
могут проводить такие вычисления, которые
конструктивным математикам недоступны.
Например, с помощью той же теоремы Лефшеца
можно посчитать количество неподвижных
точек симпилициального отображения конечного
симпилициального комплекса в себя.

>Кстати, а ведь, помнится, уравнение теплопроводности и цикл Карно были выведены из представления о теплороде. В итоге цикл остался — а вот собственно теплород, увы, тю-тю. Будете настаивать на реабилитации столь полезного физического понятия?

Из вышесказанного следует, что это ложная аналогия.

>Границу в студию. Такую, которая бы с гарантией (независимо от поправок на добавочные вселенные, расщепление электронов и прочие квантовые вычисления) была абсолютной. А?

Очевидный ответ — я не знаю.
Но вы не можете утверждать, что такой границы нет.
(По той же причине вы не можете утверждать,
что в нашей вселенной могут существовать
машины с бесконечным объёмом памяти.)

>Страшно неудобно то, что граница эта будет своя для каждой конкретной машины. Вот ровно поэтому в конструктивной математике (точнее, в её "общей части", не касающейся специально вопросов о требуемых вычислениями ресурсов) и откладывают в сторонку те процессы, для которых наличие этой границы существенно, а затем изучают свойства тех, для которых это наличие ни на чём не сказывается (а потому можно совершенно спокойно считать, что соответствующей границы вообще нет).

Я говорю про общую границу для всех вычислительных
машин. Отдельные компьютеры меня не интересуют.
Да, я не могу доказать её существование,
но и вы не можете доказать, что такой границы нет.
Кстати, можете ли вы гарантировать,
что физики не откроют завтра что-нибудь такое,
что позволяет создавать компьютеры с полным
набором операций ZF?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Мы не можем утверждать, что любой объект
> конструктивной математики (например,
> любое натуральное число) имеет материальное представление
> в нашем мире.

Опять начинаете перевирать. Это в ZF "объекты" идеальны и в лучшем случае претендуют на то, чтобы "иметь представление". В конструктивной математике объекты материальны. Поэтому Вы со своим "не можем утверждать" попадаете в довольно смешное положение: видите ли, не любой материальный объект имеет материальное представление в нашем мире! Эдакое масло немасляное.

Иначе говоря, Вы попросту ещё раз продемонстрировали непонимание причин, по которым в конструктивной математике вместо слова "все" употребляется слово "любой" (для Вас это чудачество, и не более). И ещё раз доказали, что теоретико-множественное мышление лечится только гильотиной.

> Например, с помощью той же теоремы Лефшеца
> можно посчитать количество неподвижных
> точек симпилициального отображения конечного
> симпилициального комплекса в себя.

Католическая схоластика тоже позволяет посчитать число ангелов, помещающихся на кончике иглы. В чём, безусловно, заключено её несомненное превосходство над светской физикой, которая этого не умеет. А ну-ка, хором: credo in unum Deum, Patrem omnipotentem...

> Из вышесказанного следует, что это ложная аналогия.

Из вышесказанного следует, что она абсолютно точна.

> Очевидный ответ — я не знаю.
> Но вы не можете утверждать, что такой границы нет.

А не знаете — помолчите. В науке принято говорить только о том, что знаешь.

> (По той же причине вы не можете утверждать,
> что в нашей вселенной могут существовать
> машины с бесконечным объёмом памяти.)

Не могу, разумеется. Однако все известные мне машины имеют конечную память. Поэтому о свойствах гипотетических машин с бесконечной памятью я, в отличие от Вас, помалкиваю. А Вы (вопреки принятым в науке нормам) начинаете пространно рассуждать о том, чего на самом деле не знаете (Вы ведь таких машин тоже никогда не видели, не так ли?).

> Да, я не могу доказать её существование,
> но и вы не можете доказать, что такой границы нет.

Даже интересно: когда Вы с кем-либо полемизируете, Вы всегда не читаете слова оппонента, или персонально для меня сделали исключение?

> Кстати, можете ли вы гарантировать,
> что физики не откроют завтра что-нибудь такое,
> что позволяет создавать компьютеры с полным
> набором операций ZF?

Не могу. Поэтому если такие компьютеры создадут, я их с огромным удовольствием и исследую. Но пока этого не произошло, говорить не о чем: в науке нет слова "завтра", она исходит из того, что уже известно. Этим наука от мифологии и отличается.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Я все-таки прошу Вас вести дискуссию в более благожелательном тоне.

Попробую пояснить Ваши слова. Для Вас, есть разница между "все натуральные числа ..." и "любое натуральное число ...". Второе высказывание подразумевает "любое уже построенное, и тем самым материальное, натуральное число ...", первое, видимо, бессмысленно.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Именно так, все наши суждения (в том числе общие) мы прилагаем только к тем объектам, которые нам уже удалось построить (а что какую-то экзотику построить не удаётся по немощи нашей — это совершенно другой вопрос). Т.е. мы тут упираемся в принципиальную разницу между физическим и теоретико-множественным типами мышления (почему мой оппонент, мыслящий абсолютно теоретико-множественно, меня зачастую вообще не понимает).

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Т.е. мы тут упираемся в принципиальную разницу между физическим и теоретико-множественным типами мышления (почему мой оппонент, мыслящий абсолютно теоретико-множественно, меня зачастую вообще не понимает).


боюсь, не понимает в основном потому, что вы не всегда это явно произностите---и таким образом, привычная интерпритация Ваших слов не то, что Вы имеете в виду...

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Это уже проблема контекста. Когда человек о чём-либо рассуждает с учёным видом знатока — тогда предполагается, что он действительно знает, о чём говорит (а не просто слышал краем уха какие-то обрывки фраз на тему). Тем более, что мой оппонент сам неоднократно предлагал "договориться, что если он о чём-то говорит, то значит, он знает, что это такое". Вопросы, указанные Вами, у человека, знающего контекст, возникнуть просто не могут: это вопросы человека, который полностью "не в теме". Разумеется, быть "в теме" никто не обязан — но тогда, повторяю, надо не экспертные оценки выдавать, а отправляться читать соответствующие учебники (а если неохота — тогда просто помалкивать).

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent)

Разговор опять перешёл в какую-то схоластическую плоскость.

Перейдём к конкретике.
Предлагается подтвердить или опроврегнуть следующие высказывание.

(0) На данный момент наука не располагает никакими
результатами, которые говорят за или против следующей
возможности: наша вселенная устроена так, что в ней
можно построить лишь конечное число конструктивных объектов.
(1) Как следствие, обоснование преимущества
конструктивной математики над классической должно
оставаться верным при принятии гипотезы, указанной
в предыдущем пункте.
Подчёркиваю, что в этом пунтке я не выступаю в поддержку
или против этой гипотезы, я всего лишь говорю, что
поскольку у нас нет никаких научных доводов
против этой гипотезы, её нельзя исключать из рассмотрения.
(2) В предположении гипотезы пункта (0) существует
натуральное число, имеющее материальное представление,
такое, что если к нему добавить единицу,
то получившееся число уже не будет иметь
материального представления.
(3) Итого, в предположении гипотезы пункта (0)
имеем, что утверждение «к любому
конструктивному, уже построенному, числу можно добавить
единицу» неверно (в том смысле, что результат
не имеет материального представления).
(4) В результате, утверждение «данный алгоритм
для любых конструктивных, уже построенных, натуральных
чисел строит их сумму» следует отбросить
как бессодержательное (в смысле пункта (3)).
(5) Мы получили, что последовательное применение
материалистической точки зрении приводит к тому, что
мы вынуждены оставаться в рамках конечной математики,
в которой, например, не любые два числа можно сложить.
(А только такие, у которых сумма не очень велика.)

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Надоело, честно говоря, дискутировать с человеком, который не слушает, что ему говорят, забывает, о чём шёл разговор две минуты назад, и талдычит одно и то же по сто раз, как тетерев на току.

Преимущество конструктивной математики состоит в том, что она, как и любая нормальная естественная наука, начинает с того, что указывает в явном виде на свой объект исследования, и только после этого начинает выяснять, какими же свойствами этот объект обладает. "Классическая" делает ровно обратное: сначала высасыват из пальца аксиоматику, а потом мучительно пытается подобрать под неё модель (а когда это, разумеется, не выходит — помните, как Вы блестяще пролетели с аксиомой бесконечности? — начинает с милой улыбкой изрекать "ну, не шмогла я", как будто ничего особенного и не случилось). Вот этой-то ключевой разницы Вы, похоже, и не понимаете вообще: Вам, привыкшему к "классике", упорно кажется, что конструктивисты тоже начинают с придумывания аксиом (просто других). Нравится Вам продолжать быть уверенным в этой глупости — на здоровье. Переубеждать Вас я не собираюсь.

Всех благ.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Надоело, честно говоря, дискутировать с человеком, который не слушает, что ему говорят, забывает, о чём шёл разговор две минуты назад, и талдычит одно и то же по сто раз, как тетерев на току.

Я так и знал, что вам будет нечего возразить по существу.
Кстати, не потрудитесь ли привести ссылку на два
моих комментария, в которых я говорю одно и тоже?

>помните, как Вы блестяще пролетели с аксиомой бесконечности? — начинает с милой улыбкой изрекать "ну, не шмогла я", как будто ничего особенного и не случилось

Это уже исправлено. Ваш аргумент рассыпался.

Теперь я тоже имею право утверждать, что все
аксиомы ZF взяты из наблюдения за материальным объектом
исследования.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Аксиомы ZF взяты из головы Цермело и немножко из головы Френкеля, т.е. они достаточно произвольны. У меня есть теория труляляшек, гораздо более правильное основание для математики.

Хитрость была в том, что когда определенная группа математиков договорилась заниматься этой теорией, они сговорились отождествить объекты ZF с "множествами" и протолкнуть такой философский подлог в литературу.

Теория ZF - одна из важнейших в основаниях математики, но чтобы понять в чем ее важность нужно начать разбираться в шкале логической силы и шкале силы по-непротиворечивости. Отождествлять ZF-труляляшек с множествами просто неверно.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

добавлю, чтобы не возникло непонимания: они не просто произвольны (типа можно то же самое по-другому сформулировать), а они придуманы конкретным, никак не обоснуемым способом и есть много противопоположных способов, ведущих к противоположным результатам. Классический пример - NF.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>а они придуманы конкретным, никак не обоснуемым способом

Это всё-таки неверно, поскольку придумали их исходя
из анализа практики математических рассуждений.
Не из вакуума же их получили, в самом деле.
Другое дело, что другие люди при том же самом
анализе могут получить другие результаты.

Вот, например, в другой ветке обсуждалось, что общая
аксиома выбора не нужна, а достаточно зависимого выбора.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Исходя из практики математичских рассуждений можно придумать не только ZF, но и много какие другие теории, с самыми разными результатами. Чем плохо NF?

Да с AC история известная. Книжка есть про это старинная:
В.Г.Кановей "Аксиома выбора и аксиома детерминированности". Шедевр.

Я имел в виду, что и арифметические следствия у разных теорий будут разные.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Исходя из практики математичских рассуждений можно придумать не только ZF, но и много какие другие теории, с самыми разными результатами. Чем плохо NF?

Я ровно это и хотел сказать:
>Другое дело, что другие люди при том же самом
>анализе могут получить другие результаты.

>Я имел в виду, что и арифметические следствия у разных теорий будут разные.

Да, конечно, я этого не отрицаю.

(Reply to this) (Parent)

Я получил еще одно сообщение от уважаемого всеми bbixobа, с просьбой ответить здесь, и позащищать
конструктивизм и конструктивистов какими-нибудь умными словами. Отвечаю (хоть я и конструктивист только по понедельникам).

> Предлагается подтвердить или опроврегнуть следующие высказывание.
> (0) На данный момент наука не располагает никакими результатами, которые говорят за или против следующей
> возможности: наша вселенная устроена так, что в ней можно построить лишь конечное число конструктивных объектов.

--- вероятно это так.

> (1) Как следствие, обоснование преимущества конструктивной математики над классической должно
> оставаться верным при принятии гипотезы, указанной в предыдущем пункте.
> Подчёркиваю, что в этом пунтке я не выступаю в поддержку или против этой гипотезы, я всего лишь говорю, что
> поскольку у нас нет никаких научных доводов против этой гипотезы, её нельзя исключать из рассмотрения.

--- что ж пускай: конструктивисты - не информатики и не физибильщики (feasibility-believers), конечность вселенной не влияет на конструктивистский дискурс.

> (2) В предположении гипотезы пункта (0) существует натуральное число, имеющее материальное представление,
> такое, что если к нему добавить единицу, то получившееся число уже не будет иметь материального представления.

--- не в предположении пункта (0) а в предположении, что "вселенная конечна".
Я плохо понимаю, что значит "вселенная конечна" но пускай...

> (3) Итого, в предположении гипотезы пункта (0) имеем, что утверждение «к любому конструктивному, уже построенному, числу можно добавить единицу» неверно (в том смысле,
> что результат не имеет материального представления).

--- пускай... (не должно ни на что влиять).

> (4) В результате, утверждение «данный алгоритм для любых конструктивных, уже построенных, натуральных
> чисел строит их сумму» следует отбросить как бессодержательное (в смысле пункта (3)).

--- почему? Мы же не собираемся вдаваться в догматизм. У конструктивистов натуральные числа - деревянные палочки (например спички), а на объекты вселенной.
Складывать две кучки спичек легче, чем "произвольные наборы объектов, исчерпывающие вселенную".

> (5) Мы получили, что последовательное применение
> материалистической точки зрении приводит к тому, что
> мы вынуждены оставаться в рамках конечной математики,
> в которой, например, не любые два числа можно сложить.
> (А только такие, у которых сумма не очень велика.)

--- нет, такой аргумент никуда не годится.


Преимущество конструктивистов в том, что их минималистические взгляды невозможно "опровергнуть", настолько там всё правильно.
Конструктивные обьекты однозначно признаются всеми математиками, кроме еще более минималистских финитистов и физибильщиков (информатиков).
Классические способы строить основание для математики так и не привели к одной системе оснований математики.

Проблема с ограничением науки конструктивными рассуждениями, в том , что они не могут доказать даже некоторые простые дельта-0 формулы.
Например существование последовательности из N конечных деревьев таких что |T_i|< 5+i и предывущие деревья не вкладываются с сохранение инфимума в последующие,
легко доказывается непредикативнуми методами (выше ATR_0), то есть слегка использует понятие актуальной бесконечности, при этом даже можно с помощью этих же непредикативных методов прикинуть, где сидит это число N. Не такое уж оно и большое. В конструктивной математике вопрос о существовании такой конечной последовательности навсегда останется нерешенным (по теореме Фридмана). Это нужное и важное число. Его даже (по модулю некоторых неконструктивных теорем) можно повычислять.

То же и про формулы с кванторами. Формула может с легкостью опровергнуться в какой-нибудь даже слабенькой классической теории. Неужели честный конструктивист все еще будет пытаться ее конструктивно доказать или конструктивно опровергнуть, когда опровержение уже дано в классической теории? (Я не говорю о ситуациях когда смысл утверждения меняется при переводе на конструктивный язык, как с последовательностью Шпеккера или квадратом Оревкова.)

Конструктивная математика - важная штука, которую каждый логик должен понимать, но есть кое-что и кроме нее. В логике творятся чудеса, многие связанные с конструктивным способом мышления, надо их только узнавать...

(Reply to this) (Parent) (Thread)

я имел в виду максимальное N с этим свойством.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

(spasibo---хотя я просил объяснить позицию конструктивистов, а не в каком-либо смысле защитить)

A порядок N какой --- двойная экспонента или экспонента экспонент или больше ?

И правильно ли я понимаю, что аргументы (0)-(4) говорили, что конструктивизм - нельзя обосновать внутри финитизма ?

У конструктивистов натуральные числа - деревянные палочки (например спички), а на объекты вселенной.
Складывать две кучки спичек легче, чем "произвольные наборы объектов, исчерпывающие вселенную".

Верно ли я понимаю, что точнее так : конструктивист *представляет себе* натуральное число как кучку деревянных палочек, *абстрагируясь* от физической реализуемости этой кучки*) ?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

1) N конечно же гораздо больше, чем башня из миллиарда двоек, где-то на FOM написаны нижние оценки.
Важно не то какое N по величине, а что оно означает и как оно отвечает за структуру (в смысле вложения друг в дружку) конечных деревьев не очень большого размера.

2) нет, аргументы с "конечной вселенной" не имеют отношения к философии финитизма.

3) да, представлят себе деревянные палочки (спички) и "абстрагируется", но не слишком сильно: всегда нужно не сомневаться, что то, что мы делаем с палочками можно сесть и сделать.

4) конструктивисты докомпьютерной эры (1950х-1960х годов) не интересовались вопросами сложности вычислений, поэтому сейчас их дискурс с легкостью критикуют информатики, на основании современных представлений бытующих в головах computer scientistов.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>N конечно же гораздо больше, чем башня из миллиарда двоек,
Вот теперь я знаю, что имеют ввиду логики, когда говорят, что число не очень большое :-)

>да, представлят себе деревянные палочки (спички) и "абстрагируется", но не слишком сильно: всегда нужно не сомневаться, что то, что мы делаем с палочками можно сесть и сделать.

Вы всё опять запутали. Как понимать слова сесть и сделать?
Конкретный пример: http://en.wikipedia.org/wiki/Graham_number
Вот я сейчас сяду и напишу программу для машины Тьюринга,
которая всё в лоб перебирает, пока не найдёт правильный ответ.
Теоретически она может работать вплоть до, скажем,
примерно половины этого числа Грехема.
Такое число мы не сможем записать никогда.
Допустима ли такая программа с точки зрения конструктивизма?
Если да, то как следует понимать ваши слова про сесть и сделать?

>конструктивисты докомпьютерной эры (1950х-1960х годов) не интересовались вопросами сложности вычислений, поэтому сейчас их дискурс с легкостью критикуют информатики, на основании современных представлений бытующих в головах computer scientistов.

Это конечно. Собственно, моя критика является очень слабой
версией этой критики.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

про число Грэма в википедии написана неправда и профанация: это достаточно маленькое число, не входящее даже в первую двадцадку известных коротко определенных больших чисел. В первых строчках стоят разные числа из Ратьеновского Пи-1-2 анализа, следующим эшелоном идут числа из теоремы о минорах графов, третьим эшелоном - разные числа из теорем о частичных вполне-упорядочениях (например в низких слоях третьэго эшелона лежит Крускалово число(5), определение которого я выписал. Четвертый эшелон - разные рамсеевы числа. Где-то в самом низу четвертого эшелона маячит Грэмово число...

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Очень интересно. Впрочем, это не отменяет моего вопроса
про конструктивность вычисления с числом операций порядка числа Грехема.

Было бы очень интересно узнать про эти эшелоны чуть подробнее.
Что это за Пи-1-2 анализ такой, например?
Возможно, имеет смысл написать отдельный (не очень большой) пост про это?

А вот, скажем, если обозначить за t(n) максимальное количество
операций, которое может выполнить машина Тьюринга с n состояниями,
то в каком эшелоне будут сидеть числа t(n)?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

про эшелоны это я так выразился, для поэтичности: каждому "эшелону" соответствует формальная теория в которой известно простое недоказуемое Пи_2 утверждение.

Большие числа получаются из известных недоказуемых Пи_2 утверждений, достаточно вставить вместо переменной из-под универсального квантора первое число, для которого известно, что явление уже действует (в теории рамсея функции разгоняются не сразу, а через несколько шагов).

Про разные теории можно почитать в книжке S.Simpson "Subsystems of second-order arithmetic".

Про недоказуемость - в моей недавней писульке здесь: article

Про t(n) (и про соответствующие большие числа из диофантовыx игр) я пока серьезно не думал, хотя кое-какие банальности про доказуемо-рекурсивные функции сказать мог бы.

(Reply to this) (Parent)

А можно привести пример какого-нибудь утверждения,
верного с точки зрения конструктивной математики,
но неверного с точки зрения информатиков и feasibility-believers?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Непонятно как схватить в точности, что информатики-физибильщики утверждают. Их тоталитарная идеология достаточно жесткая в том смысле, что многие их предметы и исследования объясняются и мотивируются этой идеологией (за этим эту идеологию и держат!), но математически она нечеткая, особенно в пограничных случаях, которые нам интересны, так что мои утверждения могут быть и оспорены некоторыми физибильщиками, особенно теми, кто интересуется математикой.

Например, у физибильщиков нормальные и интересные теоремы, важнейшие комбинаторные теоремы (например Теорема Рамсея) будут встречены пожатием плечей и последующим отторжением (да-да, в этом сообществе принято "отторгать" математические теоремы :))) ) С Теоремой Рамсея "отторжение" будет наверное объясняться присутствующей там башней экспонент, а может еще как-нибудь...

ПризнАют ли конструктивисты теорему Рамсея?
С конструктивистами немножко непонятно про которое крыло конструктивистской философии мы говорим.

Например в большинстве теорем конструктивистского анализа по Маркову и Шанину требуется иметь последовательность (рекурсивно вычислимую) и общерекурсивный регулятор сходимости (т.е. тюрингову машину, которая по епсилону находит дельту) - во всех определениях: вещественное число, сходимость последовательносте вещ. чисел, непрерывность и т п. Но что значит "дана общерекурсивная функция" и как по тюринговой машине определить определяет она общерекурсивную функцию или нет - не сказано.
В принципе все истинно-общерекурсивные машины тюринга сойдут, вне зависимости от доказуемости/недоказуемости их остановки на всех входах. В этом смысле конструктивисты являются радикальными Пи-1 платонистами и сильно отличаются от информатиков-физибильщиков. Если нам "даны" все рекурсивные функции (то есть известно множество 0'),
но не только теорема Рамсея но и много что еще с легкостью принимается.

Простой вопрос: почему экспонента тотальна: ответ будет такой у разных людей

у Сазонова - что экспонента не тотальна
у информатиков-физибильщиков - пожатие плечами и бормотание "а в чем вопрос?"
у конструктивистов - потому что есть тюрингова машина, которая вычисляет экспоненту.

Но доказательство того, что эта машина вычисляет экспоненту не может быть проведено в теории слабее, чем EFA!!!
И тут конструктивисты разделяются на тех, кто признает, что утверждения надо доказывать: пускай без принципа Маркова и без исключенного третьэго, но доказывать! и на тех, кто считает, что конструктивная математика - чисто эмпирическая наука и доказательства могут быть лишь доказательствами Делта_0 и Сигма_1 формул путем проверки подстановкой. Первые конструктивисты с легкостью всё что надо докажут, а вторые - нет.

Вот такой мой ответ: конструктивисты из рекурсивного анализа могут доказать больше, чем информатики-физибильщики, а эмпирические конструктивисты - меньше!

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Вот читаю, и испытываю то многократно описанное в литературе ощущение составленности текста из двух частей: пока трактуются вопросы, в которых я разбираюсь не лучшим образом — там всё складно, красиво и правдоподобно. А вот когда начинаются вещи, где я более-менее в курсе... :-))

> Но что значит "дана общерекурсивная функция"
> и как по тюринговой машине определить
> определяет она общерекурсивную функцию или нет - не сказано.

Это фактически неверно. Марков последние 15 лет жизни убил именно на формулировку конструктивной семантики, более или менее развёрнутое изложение которой (или её отдельных этажей) можно найти в десятке мест. Ну, вот, к примеру:

[1] О логике конструктивной математики// Вестник МГУ. Серия 1: Математика, Механика. — 1970. — Т.25, №2. — С.7-29.
[2] О логике конструктивной математики. М.: Знание, 1972.
[3] Попытка построения логики конструктивной математики// Исследования по теории алгорифмов и математической логике. — 1976. — Т.2 — С.3-31.

Вопросы, связанные с "общерекурсивностью", обсуждаются в §7 брошюры [2] и §2 статьи [3].

> В этом смысле конструктивисты являются радикальными Пи-1 платонистами

До сих пор мне не доводилось слышать, чтобы Маркова называли платонистом (его, самое большее, в "позитивисты" зачисляли). Что-то новенькое. Видимо, наиболее ярким проявлением марковского платонизма следует считать пассаж из [2, §15] про абстракцию актуальной бесконечности и аналогичные по духу издевательства над свободно становящимися последовательностями там же и в комментариях к Гейтингу.

> у конструктивистов - потому что есть тюрингова машина, которая вычисляет экспоненту.

Опять же фактически неверно. Не составляет труда построить машину, конструирующую нечётное совершенное число (тупым перебором). Проблема только, что сама эта машина заранее не скажет, остановится она или же "повиснет". То же самое и с экспонентой.

> Но доказательство того, что эта машина вычисляет экспоненту
> не может быть проведено в теории слабее, чем EFA!!!

Тут уже сама постановка вопроса ничего общего с конструктивной установкой не имеет. Там принято рассуждать не "в теориях", а содержательно.

> пускай без принципа Маркова

С точки зрения самого Маркова, ленинградский принцип — это, вообще-то, теорема ;-) Ссылки дать?

> конструктивная математика - чисто эмпирическая наука

"Эмпирическая наука" — это сухая вода, такого не бывает. Наука устанавливает закономерности, а никакой эксперимент сам по себе никогда не докажет, что 2+2=4: он может лишь проконстатировать, что в такой-то конкретный четверг (через 10 минут 03 секунды после дождя) результат сложения 2+2, проведённый на ЭВМ с такими-то серийными номерами комплектующих, оказался равен 4. Так что по-настоящему последовательный "эмпиризм" вообще должен не теории строить, а просто протоколы экспериментов собирать: вчера насчитали то-то и то-то, год назад — то-то и то-то, а что насчитаем завтра и имеется ли какая-нибудь система в уже насчитанном — неизвестно (и даже думать на эту тему низ-зя, патамушта схоластика!)

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Уважаемый Гастрит,

1) вероятно я плохо разделил в тексте моё описание спектра конструктивистских взглядов и мою критику этих взглядов, поэтому Вы может быть не поняли.

Мой текст про доказуемую/недоказуемую вычислимость регуляторов сходимости был моей критикой.

2) Пи-1 платонизм - это вера (ну или "набор образов") в то, что каждая машина тьюринга или когда-то остановится или никогда не остановится. Еще Брауэра часто упрекали в том, что он математический платонист (не просто Пи-1, а вообще!!!), и многих конструктивистов с тех пор тоже. Так что я ничего нового не сказал.

3) Про Марковские взгляды и их эволюцию - тут я действительно подзабыл. Последний раз интересовался конструктивной математикой лет 10-12 назад.
Поясните пожалуйста еще раз, в чем ошибка. Я валю в одну кучу Гудстейновский рекурсивный анализ, реализуемость, книжку Клини и Уэсли, советский конструктивизм и т д.
и классифицирую их в виде спектра. Я точно помню, что в одной части спектра вещественное число было парой из двух машин тюринга (или марковских машин со скобочками): первая вычисляла последовательность рациональных чисел, а вторая - внутреннюю сходимость (в себе). По-моему это у меня в голове осталось из кннижки Кушнера.
Проблема остается: даже "в высшем смысле" вычислимая функция обычно не будет РА-доказуемо рекурсивной.

4) Правильно ли я понял, что вы находитесь в той части спектра конструктивистских философий, в которой лишь Делта_0 формулы и очень очень немногие Сигма_1 арифметические формулы будут объявлены истинными? Остальные формулы будут навсегда "зависшими".

5) Я не понял до конца Ваше отношение к доказательствам: есть замечательные формальные системы арифметики и анализа с хорошо разработанной конструктивной логикой.
В этих системах доказывается всё что нужно с помощью конструктивно приемлимых методов. В чем проблема?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> 2) Пи-1 платонизм - это вера (ну или "набор образов") в то,
> что каждая машина тьюринга или когда-то остановится
> или никогда не остановится.

В рамках конструктивной семантики этот тезис неверен (т.к. равносилен разрешимости проблемы остановки). Если же "или" понимается как квазидизъюнкция (т.е. отрицание конъюнкции отрицаний), то фраза выражает (причём сознательно, и об этом с самого начала предупреждается!) всего лишь формальную выводимость некоторой логико-математической формулы. Каковой вывод в данном случае даже финитен и может быть "положен на стол". С этой точки зрения, таким образом, никакого платонизма в конструктивной математике, вроде бы, не оказывается.

> Еще Брауэра часто упрекали в том, что он математический платонист
> (не просто Пи-1, а вообще!!!), и многих конструктивистов с тех пор тоже.

Это верно. Как раз Марков, в частности, и упрекал. За свободно становящиеся последовательности и бар-индукцию. Какое отношение эти упрёки имеют к конструктивной математике (если, конечно, не принимать всерьёз утверждения Минца и Драгалина, будто бы в "башне" тоже встречаются обобщённые индуктивные определения и бар-индукция), мне не вполне понятно.

> Я точно помню, что в одной части спектра вещественное число
> было парой из двух машин тюринга (или марковских машин со скобочками):
> первая вычисляла последовательность рациональных чисел, а вторая -
> внутреннюю сходимость (в себе). По-моему это у меня в голове осталось
> из кннижки Кушнера.

Истинная правда, Вами описаны хрестоматийные шанинские дуплексы. Проблема в том, что свойство пары машин Тьюринга, нормальных алгорифмов или что-там-ещё-можно-использовать быть именно дуплексом — оно немножко неразрешимое. Проблему Вы сами обозначили: функция должна быть "общерекурсивной", плюс к тому второй алгорифм (также обязанный быть "общерекурсивным"!) должен в некотором смысле быть согласован с первым. Провести тут исчерпывающую "механическую" проверку невозможно, тут надо для каждого конкретного кандидата на роль КВЧ теоретический анализ проводить. И таковой проводится, вопреки Вашим утверждениям, будто бы "не говорится, что означает общерекурсивность".

> Проблема остается: даже "в высшем смысле" вычислимая функция обычно не будет РА-доказуемо рекурсивной.

Так и не должна. Мы проводим содержательное (так сказать, "физическое") рассуждение, которое приводит нас к выводу, что с данной конкретной вычислимой функцией всё обстоит "хорошо". До тех пор, пока какие-нибудь вновь открывшиеся на опыте обстоятельства не укажут нам на опрометчивость такого нашего вывода — мы будем им пользоваться. Возможность же формализации в том или ином исчислении с этой точки зрения совершенно вторична (и конструктивистов в методологическом плане не интересует — хотя сами по себе эти исчисления и могут быть примечательными объектами исследования).

> Правильно ли я понял, что вы находитесь в той части спектра
> конструктивистских философий, в которой лишь Делта_0 формулы
> и очень очень немногие Сигма_1 арифметические формулы
> будут объявлены истинными? Остальные формулы будут
> навсегда "зависшими".

Нет, неправильно (см.выше). В нашей части спектра просто различают статус Сигма_1 и более высоких этажей: первые допускают материальную проверку, а вторые (хотя иногда тоже её допускают), представляют собой теоретические обобщения (тут есть некая, хотя и не вполне точная, аналогия с гильбертовскими "реальными" и "идеальными" суждениями). А эти обобщения не "зависают": они просто отражают конкретный уровень наших знаний и умений и принадлежат в этом смысле конкретной эпохе. С течением временем наши представления об их верности/неверности могут меняться — обычный для естественной науки процесс, как уже неоднократно было сказано :-)

> В этих системах доказывается всё что нужно с помощью конструктивно приемлимых методов. В чем проблема?

Проблема в излишнем фетишизировании этих систем. Нелепо считать, что сущность конструктивной установки может быть сведена к какому-то формальному исчислению. Сами конструктивисты, собственно, этим и не занимаются. Этим занимаются исключительно "классики", пытающиеся перепеть конструктивные (или интуиционистские) теории на привычном для себя языке.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent)

>--- почему? Мы же не собираемся вдаваться в догматизм. У конструктивистов натуральные числа - деревянные палочки (например спички), а на объекты вселенной.

Тогда у вас с Гастритом разный конструктивизм.
Гастрит упорно разглагольствует про то, что его
объекты имеют материальное воплощение, то есть являются
объектами вселенной. Если конструктивный объект —
это воображаемая последовательность спичек, то тогда
я снимаю все свои возражения.

Я всего лишь хочу указать на то, что на полное
соответствие с концепцией материального воплощения
в виде объектов вселенной могу претендовать указанные
вами информатики и feasibility-believers.

Пример с деревьями замечательный. А константа 5 критична?

>Конструктивная математика - важная штука, которую каждый логик должен понимать, но есть кое-что и кроме нее. В логике творятся чудеса, многие связанные с конструктивным способом мышления, надо их только узнавать...

С этим я и не спорю.

Просто Гастрит утверждает, будто бы научная математика
ничем кроме конструктивной математики быть не может, на том
основании, что последняя якобы изучает объекты вселенной.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Нет, тут я согласен с уважаемым Гастритом. Слова о материальном воплощении всего происходящего очень важны в конструктивистском дискурсе. Это резко отличает конструктивизм от надуманных и мало обоснованных предметов. Конструктивизм - это математика, как естественная наука. Ну... с небольшим элементом абстракции (на уровне принятия произвольных машин тьюринга и игнорирования дискурса новоявленных информатиков, откуда-то появившихся...)

Да, информатики и feasibility-belivers может быть и лучше воплощают эту идею, но из-за плохого образования они обычно не могут эти аргументы правильно представить и дискредитируют свои слова некоторыми другими способами. Конструктивисты же обычно благородны, начитаны и безработны, создавая хорошую почву для приятия их аргументов.

Нет, я не знаю с числа 5 начинается крускальщина или может быть с числа 3, 6 или 9, но точно с какого-то маленького.

(Reply to this) (Parent)

Плохо выразил мысль. В Вашем посте "с пунктами", конечно, речь о "программах" была. Однако в качестве противовеса "не могущим описать" число "программам" Вы предлагали описание оного числа средствами ZFC. Вопрос первый и основной: а почему именно ZFC (языка, модели не имеющего, и у которого даже просто с формальной непротиворечивостью ничего не ясно)? Почему не средствами языка формальной арифметики (у которого модель есть), например?

И маленькие технические замечания про Ваши пункты, раз уж они составляют для Вас такой пунктик (хотя на самом деле к вопросу и не относящийся). Где гарантия, что метагалактика не связана с другими (неизвестными сегодня) частями материального мира, и лет эдак через тысячу окажется вполне возможным тягать доп.частицы оттуда? А может, эти электроны миры, где пять материков тоже можно дробить на октиллионы частей (посредством столь вожделенного Вами ЦЕРНовского коллайдера, например), из которых затем составлять внутри этого самого отдельно взятого электрона по суперкомпьютеру? А?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>И маленькие технические замечания про Ваши пункты, раз уж они составляют для Вас такой пунктик (хотя на самом деле к вопросу и не относящийся). Где гарантия, что метагалактика не связана с другими (неизвестными сегодня) частями материального мира, и лет эдак через тысячу окажется вполне возможным тягать доп.частицы оттуда? А может, эти электроны миры, где пять материков тоже можно дробить на октиллионы частей (посредством столь вожделенного Вами ЦЕРНовского коллайдера, например), из которых затем составлять внутри этого самого отдельно взятого электрона по суперкомпьютеру? А?

Вы правильно указали, что такой гарантии нет.
Но и обратного утверждать мы тоже не можем.
Мы должны исходить из того, что не знаем этого.
Следовательно, допустимы любые варианты, в том
числе тот, который я указал.

>Вопрос первый и основной: а почему именно ZFC (языка, модели не имеющего,
bbixob@lj говорит, что у ZF есть модель (в том
же смысле, что и у арифметики).

>и у которого даже просто с формальной непротиворечивостью ничего не ясно)?
Непротиворечивость следует из существования модели.

>Почему не средствами языка формальной арифметики (у которого модель есть), например?
Ответ дан выше.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Мы должны исходить из того, что не знаем этого.

А когда мы чего-то не знаем, тогда лучше жевать, чем говорить. Факт в том, что когда мы на границы наших конструктивных возможностей не натыкаемся, то теоретическое допущение о том, что таких границ вообще нет, нисколько не расходится с реальностью. Потому что существенных (с точки зрения данного конкретного расчёта) границ действительно нет вообще.

А ситуация в космологии меня не волнует. Мне не нужна вечная игла для примуса, я не собираюсь жить вечно.

> bbixob@lj говорит, что у ZF есть модель (в том же смысле, что и у арифметики).

1) Где говорит? Я не заметил.

2) Натуральные числа суть конструктивные объекты (т.е. на некоторые из них можно просто ткнуть пальцем, и все основные арифметические операции над этими "некоторыми" реально можно выполнить). Для суждений о натуральных числах, относящихся к первопорядковой арифметике, имеется вполне конкретная семантика (ступенчатая семантика Маркова). Каким образом можно ткнуть пальцем в множества (т.е. основные "объекты" ZF), сразу же не запутавшись в "операциях" с ними, постулированных в ZF (аксиомы бесконечности+аксиомы степени+закона исключённого третьего, полагаю, хватит с головой)? Какова семантика достаточно сложных суждений об этих множествах? Тайна сия велика есть (для меня, по крайней мере). Просветите, если не сложно?

> Непротиворечивость следует из существования модели.

Разумеется, следовала бы. Однако см. выше.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>А когда мы чего-то не знаем, тогда лучше жевать, чем говорить. Факт в том, что когда мы на границы наших конструктивных возможностей не натыкаемся, то теоретическое допущение о том, что таких границ вообще нет, нисколько не расходится с реальностью. Потому что существенных (с точки зрения данного конкретного расчёта) границ действительно нет вообще.

Извините, но это просто неверно. Математики уже давно
хотят посчитать много чего конструктивного, но им это
просто не удаётся. Приведу лишь один пример:
Виноградов доказал гипотезу Гольдбаха начиная с некоторого
(3^14348907) числа. Хочется сказать, что остальное
можно досчитать конструктивно, но нет, граница
столь велика, что мы даже не знаем, будет ли
существовать вселенная, когда компьютеры завершат
свою работу. В принципе, если поискать, то можно
найти такой же пример, но уже не со временем, а с памятью.

>1) Где говорит? Я не заметил.

http://bbixob.livejournal.com/75286.html?thread=644118#t644118

>2) Натуральные числа суть конструктивные объекты (т.е. на некоторые из них можно просто ткнуть пальцем, и все основные арифметические операции над этими "некоторыми" реально можно выполнить). Для суждений о натуральных числах, относящихся к первопорядковой арифметике, имеется вполне конкретная семантика (ступенчатая семантика Маркова). Каким образом можно ткнуть пальцем в множества (т.е. основные "объекты" ZF), сразу же не запутавшись в "операциях" с ними, постулированных в ZF (аксиомы бесконечности+аксиомы степени+закона исключённого третьего, полагаю, хватит с головой)? Какова семантика достаточно сложных суждений об этих множествах? Тайна сия велика есть (для меня, по крайней мере). Просветите, если не сложно?

Пожалуйста. Выделим класс множеств следующим
образом: возьмём пустое множество и будем
применять к нему конечное число раз операции
взятия множества всех подмножеств и операцию выделения.
Такие множества называются, если я не ошибаюсь,
артиналами. Все натуральные числа в конструкции фон Неймана
являются артиналами. Теперь оставим из всех артиналов не слишком
большие. На каждое из получившихся множеств
мы можем ткнуть пальцем и все основные теоретико-множественные
операции (объединение, пересечение, множество
всех подмножеств, выделение) над этими некоторыми можно реально выполнить.

Я уверен, что и семантика здесь тоже есть,
надо только уточнить, что вы имеете ввиду под семантикой.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Извините, но это просто неверно.

Что неверно? Каким образом приведённый Вами пример ситуации, когда мы наталкиваемся на границы наших конструктивных возможностей, может доказывать что-либо применительно к ситуациям, когда мы на такие границы не наталкиваемся?

> http://bbixob.livejournal.com/75286.html?thread=644118#t644118

Угу, спасибо (опять же пропустил соответствующую фразу). Ну, так ведь давно известно, что все ошибки в математических статьях находятся там, где написано «очевидно, что...» :-)

> все основные теоретико-множественные
> операции (объединение, пересечение, множество
> всех подмножеств, выделение) над этими некоторыми
> можно реально выполнить.

Не-е-е, так дёшево Вы не отделаетесь. Речь ведь шла не о множествах вообще (в конструктивной математике множества тоже ведь рассматриваются: как однопараметрические формулы), а именно о ZF. А там у нас, по списочку:

1) Аксиома бесконечности. Гоните-гоните его, родимое.

2) Аксиома степени. Угу, и для бесконечного множества из предыдущего пункта множество всех подмножеств тоже придётся строить.

3) Аксиома объёмности. Соответственно, операцию сравнения множеств в студию.

И так далее. И чтобы во всём этом запутаться, Вам, боюсь, даже не надо будет придумывать экзотические примеры вроде проблемы Гольдбаха.

Под семантикой же я понимаю семантику :-) Т.е. содержательное понимание замкнутых формул (элементарные формулы выражают то-то и то-то; конъюнкции выражают верность обеих связываемых формул; дизъюнкции — возможность указать среди связываемых формул верную; и т.д.).

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Угу, спасибо (опять же пропустил соответствующую фразу). Ну, так ведь давно известно, что все ошибки в математических статьях находятся там, где написано «очевидно, что...» :-)
А мой комментарий
http://bbixob.livejournal.com/75286.html?thread=645142#t645142
вы тоже не увидели?

>Что неверно? Каким образом приведённый Вами пример ситуации, когда мы наталкиваемся на границы наших конструктивных возможностей, может доказывать что-либо применительно к ситуациям, когда мы на такие границы не наталкиваемся?

Честно говоря, я ничего не понял.
Вы можете явно сформулировать ваше утверждение
про границы, на которые мы не наталкиваемся?

>Не-е-е, так дёшево Вы не отделаетесь. Речь ведь шла не о множествах вообще (в конструктивной математике множества тоже ведь рассматриваются: как однопараметрические формулы), а именно о ZF. А там у нас, по списочку:

>1) Аксиома бесконечности. Гоните-гоните его, родимое.

А это — объект, который, согласно современным
представлениям науки, в нашей вселенной
не имеет материального представления.
Помните, я привёл вам пример натурального
числа, которое (и все числа большие его)
не имеет материального представления
(во всяком случае, не может его иметь согласно
современным представлениям науки,
без гарантий на будущее)?
Да, возможно, в будущем физики изобретут
что-то такое, что позволит нам представлять
любые натуральные числа. Но почему бы тогда им не сделать
что-то такое, что позволит нам представлять
любые объекты ZF?

>2) Аксиома степени. Угу, и для бесконечного множества из предыдущего пункта множество всех подмножеств тоже придётся строить.

>3) Аксиома объёмности. Соответственно, операцию сравнения множеств в студию.

Для указанного мною класса множеств всё это верно.
Про бесконечное множество я написал выше.

>Под семантикой же я понимаю семантику :-) Т.е. содержательное понимание замкнутых формул (элементарные формулы выражают то-то и то-то; конъюнкции выражают верность обеих связываемых формул; дизъюнкции — возможность указать среди связываемых формул верную; и т.д.).

Я думаю, содержательное понимание
указанного мною класса множеств вам должно
быть очевидно.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Честно говоря, я ничего не понял.

Ну, наконец-то Вы (вроде бы) поняли, что Вы этого не поняли. Не прошло и года.

> Вы можете явно сформулировать ваше утверждение
> про границы, на которые мы не наталкиваемся?

Дана ЭВМ с 256Mb оперативной памяти (включая swap). В оную занесена программа размером 100Kb (включая начальные данные), причём максимальный размер промежуточных результатов (возникающих в ходе работы программы) — 10Mb. После часа работы ЭВМ выдала ответ. Вопрос: изменился ли бы этот ответ, если бы памяти у ЭВМ было не 256Mb, а в 100 раз больше? А в 100000 раз? Не изменился бы. Ибо главное тут — не конкретное количество имеющихся у нас ресурсов, а тот качественный факт, что оных ресурсов достаточно для проведения требующегося нам построения. Вот эту-то достаточность мы и констатируем фразой «не наталкиваемся на границы конструктивных возможностей в пространстве, времени и материале».

Бывают ситуации, когда ресурсов не достаточно? Да разумеется, сколько угодно. Но мы эти ситуации вообще не рассматриваем. Точно так же, как в классической механике мы не рассматриваем движение электрона в атоме. Именно это исключение из рассмотрения "патологических" случаев (которые в действительности всё же могут происходить) и составляет смысл термина «абстракция» (непонимание этого момента Вы тут недавно в торжественной форме продемонстрировали, назвав абстракции заклинаниями).

> А это — объект, который, согласно современным
> представлениям науки, в нашей вселенной
> не имеет материального представления.

Тогда что он забыл в аксиомах? И что это за "модель", которая одну из аксиом (!!!) моделируемой системы не может реализовать вообще? Не после специальных извращений, целенаправленно исчерпывающих наличные ресурсы (как это было бы в арифметике), а сразу же, на самом же первом шаге?

> Для указанного мною класса множеств всё это верно.

Вот только моделью ZF Ваш класс не является: Вы же сами признали, что аксиома бесконечности для него не выполнена. А что это такое трамвай без "вай" — ZF без аксиомы бесконечности? Это что угодно, но не трамвай ZF.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Теперь понятно.

>Но мы эти ситуации вообще не рассматриваем.

Ну вот вы и сами признались в несостоятельности вашей позиции.
Как прикажете понимать простейшее утверждение: любые
два натуральных числа можно сложить? Я уже продемонстрировал,
что если понимать натуральное число как уже построенное
натуральное число, то это утверждение просто неверно.

>Именно это исключение из рассмотрения "патологических" случаев (которые в действительности всё же могут происходить) и составляет смысл термина «абстракция» (непонимание этого момента Вы тут недавно в торжественной форме продемонстрировали, назвав абстракции заклинаниями).

Вы изволите жульничать. Фактически, вы в этой фразе признаёте,
что возможность сложить любые два числа — просто
некая удобная фикция, которая не имеет никакого материального
выражения в конструктивной математике.
Эта проблема разрешается двумя способами: (1) переходом
к конечной математике; (2) отказом от материальности
конструктивной математики.
Что выбираете?

>Тогда что он забыл в аксиомах?
А что, простите, делает в аксиомах утверждение о том,
что любые два натуральных числа можно сложить?
И что это за модель, которая одну из аксиом моделируемой
системы не может реализовать вообще, кроме как в конечном
числе случаев?

>Не после специальных извращений, целенаправленно исчерпывающих наличные ресурсы (как это было бы в арифметике), а сразу же, на самом же первом шаге?

Ваше требование предъявить объект натуральных чисел —
это и есть специальное извращение, целенаправленно исчерпывающее
наличные ресурсы. Впрочем, вру: к артиналам легко
присоединить новый объект, который будет удовлетворять свойствам
натуральных чисел. Более того, мы можем разрешить
использовать объекты, получающиеся в результате использования
k операций теории множеств, где k не очень велико.
И такие объекты будут удовлетворять всем аксиомам ZF,
в пределах допустимости операций.
Так что ваше заключение принципиально неверно.

>а сразу же, на самом же первом шаге?
Не на первом шаге, а на k-ом, где k может быть, скажем, 10.

>Вот только моделью ZF Ваш класс не является: Вы же сами признали, что аксиома бесконечности для него не выполнена. А что это такое трамвай без "вай" — ZF без аксиомы бесконечности? Это что угодно, но не трамвай ZF.

Теперь выполнена.

Итак, имеем следующее: я располагаю возможностью точной
эмуляции ZF, при условии, что мы не выходим за границы вычислительных
возможностей. Более того, всего аксиомы у меня верны
и находят материальное выражение. (В пределах применимости,
конечно.) В том числе и аксиома бесконечности.
Тоже самое верно в вашем случае. То есть моя модель
ничем не уступает вашей.
Мы оба отвлекаемся от границ наших вычислительных возможностей
и отбрасываем границы.
В чём разница?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Ну вот вы и сами признались в несостоятельности вашей позиции.

Угу. Тогда несостоятельна вся классическая механика (поскольку для электронов в атоме она заведомо неприменима). Сообщите-ка об этом инженерам; потом расскажете, куда они Вас пошлют.

В остальном я уже сказал: надоело дискутировать с человеком, не понимающим, о чём вообще идёт речь. Если Вам так будет спокойней, можете считать, что победили меня по всем пунктам.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

действительно, дискуссия, кажется, уже перестала быть информативной для обоих сторон...

впрочем, свою позицию, кажется, *ясно* Вы не изъяснили. Не буду настаивать на этом, впрочем--за дискуссией следил по диагонали.

(Reply to this) (Parent)

>Угу. Тогда несостоятельна вся классическая механика (поскольку для электронов в атоме она заведомо неприменима). Сообщите-ка об этом инженерам; потом расскажете, куда они Вас пошлют.

Видите ли, всё дело в том, что классическая механика
пользуется классической математикой (а вовсе
не конструктивной, как вам хочется считать),
и подход у неё такой же, как у классической математики.

Я не сомневался, что у вас не найдётся возражений
по поводу моей конструкции для теории множеств ZF.

>В остальном я уже сказал: надоело дискутировать с человеком, не понимающим, о чём вообще идёт речь.

Я думаю, что единственный человек, который
удовлетворяет вашим критериям понимания — это
вы сами. Заметим в скобках, что все остальные
участники дискуссии (исключая вас) друг друга прекрасно
понимают. А вы замкнулись на своей узкой теории и не
желаете понимать другие точки зрения (точнее, точку
зрения подавляющего большинства математиков). Вот и всё.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> подход у неё такой же, как у классической математики.

Можете привести ссылку на учебник, монографию или статью по механике, где бы рассматривалось "множество всех материальных точек" (а именно такое понятие первым должно возникнуть в механике при применении подхода "классической" математики)? Из головы-то написать любой бред можно; витая пара терпит.

> Я не сомневался, что у вас не найдётся возражений
> по поводу моей конструкции для теории множеств ZF.

Они были высказаны задолго до предъявления этой конструкции. Повторять их я не буду ввиду заведомой бессмысленности этого дела: Вы всё равно не понимаете, о чём Вам говорят.

> А вы замкнулись на своей узкой теории и не
> желаете понимать другие точки зрения (точнее, точку
> зрения подавляющего большинства математиков). Вот и всё.

Вы прекрасно описали себя (т.к. Вы, действительно, замкнулись на своей точке зрения и понимать, о чём говорит оппонент, даже не пытаетесь). Мне же Ваша точка зрения прекрасно известна и понятна — только я её, по многим причинам, не разделяю. Вот и всё.

Всех благ.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Можете привести ссылку на учебник, монографию или статью по механике, где бы рассматривалось "множество всех материальных точек" (а именно такое понятие первым должно возникнуть в механике при применении подхода "классической" математики)? Из головы-то написать любой бред можно; витая пара терпит.

Учебник Арнольда, книга Арнольда и Хесина.

>Они были высказаны задолго до предъявления этой конструкции. Повторять их я не буду ввиду заведомой бессмысленности этого дела: Вы всё равно не понимаете, о чём Вам говорят.

Зачем повторять, можно просто дать ссылку.

>Вы прекрасно описали себя (т.к. Вы, действительно, замкнулись на своей точке зрения и понимать, о чём говорит оппонент, даже не пытаетесь). Мне же Ваша точка зрения прекрасно известна и понятна — только я её, по многим причинам, не разделяю. Вот и всё.

То, что вы говорите, я прекрасно понимаю.
Это только вы считаете, что я чего-то не понимаю, вот и всё.
Ну не хочется вам давать ответов по существу,
вот вы и обвиняете своего оппонента в безграмотности.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Учебник Арнольда, книга Арнольда и Хесина.

Механика по фамилии "Арнольд" я не знаю. Кто это такой, не расскажете?

> Это только вы считаете, что я чего-то не понимаю

Не только я так считаю. Вот Вам столь любимая Вами ссылка.

> Ну не хочется вам давать ответов по существу

Я давал ответы по существу. Однако Вы, вместо того, чтобы так же по существу их разбирать, как ни в чём не бывало, возвращаетесь к исходной точке (по принципу "а ты купи слона", как я уже обрисовывал сложившуюся ситуацию). Такой тип ведения дискуссии обычно бывает в двух случаях:

1) Оппонент — идиот. В данном случае не похоже (насколько я прикинул анамнез, 239+матмех, вроде и публикации есть).

2) Оппонент поставил себе цель во что бы то ни стало "победить" и берёт противника измором, надеясь, что тому в один прекрасный момент надоест.

Во второй ситуации продолжать дискуссию изначально бесполезно: на любой аргумент автоматом последует очередное "это все так говорят, а ты всё же купи слона". Поэтому я уже сказал: хотите считать себя "победителем" — считайте на здоровье.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Механика по фамилии "Арнольд" я не знаю. Кто это такой, не расскажете?

Владимир Игоревич Арнольд — один из крупнейших
механиков нашего времени. Впрочем, я чувствую,
что слово «механик» вы тоже используете
в каком-то необщепринятом смысле.

Механик — это тот, кто занимается механикой.
Механика включает в себя механику небесных тел,
жидкостей, газов и твёрдых тел.
Например, Эйлер, Лагранж, Гамильтон, Коши, Лаплас,
Пуассон, Навье, Стокс, Колмогоров, Арнольд — механики.

>Не только я так считаю. Вот Вам столь любимая Вами ссылка.

Вопросы исторического происхождения теорий мы с вами не обсуждали. Какая разница, откуда взялась та или иная теория?

Кстати, конструктивная математика появилась
из головы соответствующих математиков.

В любом случае, это не имеет к обсуждаемому вопросу
никакого отношения, и я не хочу это обсуждать.

Я всего лишь утверждаю, что если настаивать
на высказанном вами принципе материальности
(мы изучаем реальные объекты вселенной),
то тогда мы необходимым образом приходим к позиции
информатиков и feasibility-believers.
Конструктивная математика по сравнению с этими
областями использует дополнительные абстракции,
которые не имеют материального соответствия.
Я также утверждаю, что в силу последнего факта
конструктивная математика в этом отношении
(отношении к принципу материальности)
оказывается на одном уровне с классической, в частности,
я продемнострировал вам, что в предположении
ограниченности мы умеем моделировать все существенные
аспекты ZF (в том числе все аксиомы, включая
аксиому бесконечности). И в этом нет ничего
принципиально удивительного, ибо согласно
теореме Лёвенгейма—Скулема у теории ZF есть счётная модель. А мы берём из этой счётной модели
конечный кусок. Этот конечный кусок уже можно
материально моделировать.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Колмогоров, Арнольд — механики.

Давно я так не смеялся.

> Вопросы исторического происхождения теорий
> мы с вами не обсуждали.

Ясно. Т.е. Вы не понимаете не только мои тексты. Что ж, приятно чувствовать себя не хуже других :-)

> Конструктивная математика по сравнению с этими
> областями использует дополнительные абстракции,

Всё совсем наоборот: это "информатики" и т.д. используют дополнительные условия на объём ресурсов и т.д. Соответствующие задачи, безусловно, являются интересными и важными (иногда даже более важными, чем общие теоремы, ограничений на ресурсы не предполагающие), однако они этих самых теорем не отменяют; они их дополняют. Точно так же как учёт трения ракеты или самолёта о воздух не отменяет закона всемирного тяготения (а только дополняет его).

> И в этом нет ничего принципиально удивительного,
> ибо согласно теореме Лёвенгейма—Скулема
> у теории ZF есть счётная модель.

Согласно этой теореме, у ZF есть счётная модель только в том случае, если у неё есть хоть какая-то модель. Это раз. Далее, насколько я помню, теорема Лёвенгейма-Скулема совершенно неконструктивна и изначально (просто в силу характера своего доказательства) предполагает существование у теории множеств "хоть какой-то" модели (т.е. в некотором плане представляет собой пример порочного круга). Это два. Так что не надо произносить страшные слова и фамилии, никто всё равно не боится.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Давно я так не смеялся.

Я так и знал, что слово «механик» вы понимаете в особом, никому более не известном смысле.

>Ясно. Т.е. Вы не понимаете не только мои тексты. Что ж, приятно чувствовать себя не хуже других :-)

Вы что, разучились читать? andrey_bovykin@lj
пишет, что ZF взялась из головы Цермело.
Нам-то какая разница, откуда она взялась?
Важно, откуда её можно взять.
Вы в состоянии увидеть разницу между двумя словоформами?

>Всё совсем наоборот: это "информатики" и т.д. используют дополнительные условия на объём ресурсов и т.д. Соответствующие задачи, безусловно, являются интересными и важными (иногда даже более важными, чем общие теоремы, ограничений на ресурсы не предполагающие), однако они этих самых теорем не отменяют; они их дополняют. Точно так же как учёт трения ракеты или самолёта о воздух не отменяет закона всемирного тяготения (а только дополняет его).

Всё сказанное абсолютно верно.
Я лишь говорю, что на соответствие чему-то
реальному могут претендовать информатики и feasibility-believers,
но никак не конструктивисты, пользующиеся дополнительными
абстракциями.

>Согласно этой теореме, у ZF есть счётная модель только в том случае, если у неё есть хоть какая-то модель. Это раз. Далее, насколько я помню, теорема Лёвенгейма-Скулема совершенно неконструктивна и изначально (просто в силу характера своего доказательства) предполагает существование у теории множеств "хоть какой-то" модели (т.е. в некотором плане представляет собой пример порочного круга). Это два. Так что не надо произносить страшные слова и фамилии, никто всё равно не боится.

Пояснение предназначалось для обычных математиков.
Вам его следует отбросить, как несущественное для
содержания — предъявленной мною модели ZF.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Нам-то какая разница, откуда она взялась?
> Важно, откуда её можно взять.

Вот я и говорю, что Вы оцениваете текст побуквенно, а не по его очевидному в констексте диалога смыслу (который Вами теряется).

> Всё сказанное абсолютно верно. Я лишь говорю,
> что на соответствие чему-то реальному
> могут претендовать информатики и feasibility-believers

Замечательно. Приведите пример утверждения конструктивной математики, которое было бы неверным или бессмысленным с точки зрения "информатиков".

> Вам его следует отбросить, как несущественное для
> содержания — предъявленной мною модели ZF.

Да не предъявленной. Вам же Бовыкин уже сказал: нет у ZF модели (она из головы придумана), и то, что кажется моделью Вам, на самом деле является максимум эвристическим соображением, из которого можно вывести и Цермело-Френкеля, и Куайна, и даже Шанина (у которого, напоминаю, свой вариант теории множеств тоже имеется!).

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Замечательно. Приведите пример утверждения конструктивной математики, которое было бы неверным или бессмысленным с точки зрения "информатиков".

Любые два натуральных числа имеют сумму.

>Да не предъявленной. Вам же Бовыкин уже сказал: нет у ZF модели (она из головы придумана), и то, что кажется моделью Вам, на самом деле является максимум эвристическим соображением, из которого можно вывести и Цермело-Френкеля, и Куайна, и даже Шанина (у которого, напоминаю, свой вариант теории множеств тоже имеется!).

Всё, что я говорил, можно сделать так, чтобы
Куайн и Шанин стали неверны. А ZF останется.
Впрочем, это совершенно неважно.

Вы, конечно, совершенно правы, что из такой
«обрубленной» модели можно много чего
вывести. Однако, замечу, что ваша модель
для конструктивной математики обладает ровно тем же самым
недостатком.
Она тоже является обрубленной и из неё тоже можно
вывести не одну теорию.

Например, позиция информатиков и feasibility-believers
из неё тоже выводится, при том гораздо проще —
непосредственно, без всяких абстракций потенциальной
осуществимости.

Собственно говоря, я и утверждаю, что предъявленная
вами модель на самом деле является моделью математики
информатиков и feasibility-believers, в то время, как
для конструктивной математики необходимо
привлечь дополнительные абстрактные соображения
(точно так же, как для ZF).

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Любые два натуральных числа имеют сумму.

Великолепно, давайте препарировать. Я плохо представляю конкретику воззрений "информатиков", поэтому задам пару вопросов, ладно?

Вопрос первый: это высказывание бессмысленно, или же неверно?

Вопрос первый "а": если оно бессмысленно, то потому ли это, что общие высказывания не допускаются вообще? Если так, то тогда, по совести говоря, утверждение "2+2=4" тоже следует отправить в корзину: ведь на деле и это есть общее высказывание (говорящее по любые акты вышеописанного сложения: а вдруг для какого-то конкретного из них свободной памяти и не хватит? а вдруг сбой произойдёт?)!

Вопрос первый "б": если оно неверно, то в каком смысле? В смысле опровержения контрпримером? С удовольствием бы посмотрел на такие два натуральных числа, которые нельзя сложить принципиально (независимо от выбора машины, обсуждённых ранее свойств вселенной etc). Или в смысле содержательной верности утверждения "неверно, что любые два числа имеют сумму" в каком-то другом смысле (вроде марковских дедуктивных импликаций с верхних этажей "башни")? Тогда с какой семантикой мы тут имеем дело?

С интересом жду ответов.

> Она тоже является обрубленной и из неё тоже можно
> вывести не одну теорию.

Семантика суждений (т.е. наше понимание формул) обрубленной не является. Обрубленным является набор формул, которые мы сегодня считаем верными в рамках этой семантики (этот набор может измениться, как в сторону расширения, так и в сторону сужения — как и в любой естественной науке, впрочем).

> Например, позиция информатиков и feasibility-believers
> из неё тоже выводится, при том гораздо проще —
> непосредственно, без всяких абстракций потенциальной
> осуществимости.

На самом деле без абстракции потенциальной осуществимости Вы не выведете даже, что 2+2=4 (см.выше). Просто можно отдавать себе в этом отчёт, а можно не отдавать (и начинать возводить технические характеристики той или иной конкретной ЭВМ в философскую позицию). В остальном — вопросы я выше уже задал.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Вопрос первый: это высказывание бессмысленно, или же неверно?

В этой терминологии оно бессмысленно.

>Вопрос первый "а": если оно бессмысленно, то потому ли это, что общие высказывания не допускаются вообще?

Да, общие высказыванию определённого вида
не допускаются вообще. Например, высказавания
про любые натуральные числа.

>Если так, то тогда, по совести говоря, утверждение "2+2=4" тоже следует отправить в корзину: ведь на деле и это есть общее высказывание (говорящее по любые акты вышеописанного сложения: а вдруг для какого-то конкретного из них свободной памяти и не хватит? а вдруг сбой произойдёт?)!

А это — общее высказывание другого рода,
нежели описанное ранее. Там речь шла про любые
натуральные числа, а здесь — всего лишь про любой
акт проверки. Это понятия вообще лежат
в разных плоскостях.

>а вдруг для какого-то конкретного из них свободной памяти и не хватит?

Акт проверки не должен выходить за границы своей применимости. Если не хватило памяти, то мы просто
считаем, что ничего не произошло, и запускаем
с большим объёмом памяти.

>а вдруг сбой произойдёт?

Так при проведении экспериментов в физике
и биологии тоже могут быть сбои, что с того?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Например, высказавания про любые натуральные числа.

А без "например"? Имеется какой-нибудь вменяемый способ определить, какие общие высказывания допустимы, а какие нет? Или без революционного правосознания никак?

> А это — общее высказывание другого рода,
> нежели описанное ранее. Там речь шла про любые
> натуральные числа, а здесь — всего лишь про любой
> акт проверки. Это понятия вообще лежат
> в разных плоскостях.

Крайне поверхностный аргумент. В одном акте проверки фигурируют красные счётные палочки, в другом — зелёные паровозы, в третьем — электроны в кристалле полупроводника. Внешне ничего общего.

Суть дела одна и та же и в случае "любых сложений 2+2", и в случае "любых натуральных чисел": мы берём материальный объект и отвлекаемся от тех его свойств, которые для нас в данном конкретном случае несущественны (и на существенные заметного влияния не оказывают). Такое отвлечение может быть допустимо (в том числе для натуральных чисел, для которых мы конкретизируем наш общий тезис), а может быть и недопустимо (в том числе для конкретного акта сложения 2+2). Так что принципиальной разницы между "любыми натуральными числами" и "любыми сложениями 2+2" я совершенно не вижу (вижу только субъективное ощущение, что "2+2" — это что-то более надёжное, чем "любое натуральное число"). Но почему чьи-то личные тараканы должны считаться научной позицией?

> Так при проведении экспериментов в физике
> и биологии тоже могут быть сбои, что с того?

Так я ровно о том же: ничего с того. Потому что любой общий закон в каждом конкретном случае действует не в чистом виде, а налагается на действие других законов (многие из которых мы вообще игнорируем т.к. их влияние пренебрежимо мало). Сбой на самом деле означает лишь то, что в данном конкретном случае определяющими оказались не учтённые, а как раз-таки проигнорированные нами обстоятельства. Ну так ведь и в конструктивной математике то же самое: есть общий закон (не учитывающий конкретных параметров машины), и есть дополнительные условия (эти самые параметры), которыми иногда пренебречь можно, а иногда нельзя. В чём проблема-то?

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Существенное отличие заключается в том, что в одном
случае отвлечение от несущественных свойств
носит непринципиальный характер (если машина дала
сбой, можно запустить её ещё один раз), а во втором
— принципиальный. В математике информатиков
и feasibility-believers допускаются только те
конструкции, которые имеют материальное выражение,
а в «конструктивной» математике — нет.
Вот я создам конструктивный объект — программу,
которая считает количество простых чисел
до 10^(10^6). И что? Эту программу нельзя
ни на чём запустить в обозримом будущем.
Вполне может быть так, что из-за физических
ограничений её не удастся запустить никогда.

В то время как конструктивисты вешают другим лапшу
на уши о материальной представимости своих объектов,
информатики и feasibility-believers реализуют
эту представимость на практике. Конструктивно
верное утверждение о коммутативности сложения
совершенно бессмысленно с этой точки зрения.
Зато у финитистов (так я буду называть информатиков
и feasibility-believers) всё чётко:
сложение натуральных чисел меньших 10^(10^6) коммутативно.
И если им дают два таких числа, то пожалуйста,
они запускают машину и демонстрируют, что здесь
всё вполне материально.

Позиция конструктивистов была бы обоснованной,
если бы давала какие-то практические преимущества.
Но ведь и на практике никому не надо складывать
любые натуральные числа, а надо
складывать весьма и весьма ограниченные числа.
То есть финитистская позиция полностью охватывает
всю практику приложения математики.

И не надо привлекать никакой схоластики, вроде
абстракции потенциальной осуществимости или
подсчёта количества ангелов на кончике иглы.

>А без "например"? Имеется какой-нибудь вменяемый способ определить, какие общие высказывания допустимы, а какие нет? Или без революционного правосознания никак?

Имеется. Если высказывание имеет материальное представление,
которое мы можем реализовать здесь и сейчас, то оно
допустимо. Иначе — нет. И никакой схоластики.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Если ошибка произойдёт в АСУ ядерным боезапасом США, то "другого раза" может уже и не быть :-) Но главное даже не это. Главное то, что Вы никогда не сможете абсолютно чётко провести границу между числами "хорошими" и числами "плохими". Вы киваете на 10^(10^6)? Ну, так ведь одно из двух:

1) Либо Ваш текст есть не само число, а описание порождающего оное процесса. Тогда, раз этот процесс не доводится "в железе" до победного конца, то никакого числа Ваш текст не определяет — а раз так, то и "границей" никакой не является!

2) Либо Ваш текст есть само число (т.е. натуральные числа — это не набор палочек, а выражения более сложной природы). Тогда непонятно, а что в нём такого ужасного: девять байтов, с которыми прекрасно можно работать. Т.е. это опять же никакая не граница.

Итак, при любом из указанных раскладов "финитисты" заходят в порочный круг. Давно известный, кстати. Как выкручиваться будем?

> Зато у финитистов (так я буду называть информатиков
> и feasibility-believers) всё чётко:
> сложение натуральных чисел меньших 10^(10^6) коммутативно.
> И если им дают два таких числа, то пожалуйста,
> они запускают машину и демонстрируют, что здесь
> всё вполне материально.

У конструктивистов ещё более чётко: сложение любых двух чисел, которые можно сложить в любом порядке на рассматриваемой машине, коммутативно. Берём и проверяем. Переполнение получили? Копыта откинули, не дождавшись ответа? Ну, извините: вот как раз про такие случаи мы ничего и не обещали.

> Но ведь и на практике никому не надо складывать
> любые натуральные числа, а надо
> складывать весьма и весьма ограниченные числа.

"Любые" — это и означает "любые, которые надо". А ещё точнее — "любые, которые сможем сложить на рассматриваемой машине". Так что этот пассаж вообще мимо цели.

> И не надо привлекать никакой схоластики, вроде
> абстракции потенциальной осуществимости или
> подсчёта количества ангелов на кончике иглы.

К сожалению, математика — это наука, а не сборник протоколов о выполненных конкретных вычислениях. А наука оперирует общими утверждениями, которые всегда абстрактны. И оттого, что на этот фактик кому-то "удобно" закрыть глаза, он не исчезает. Кстати, именно поэтому наибольшие крикуны против схоластики обычно сами же и оказываются наибольшими схоластами: обойтись без абстракций вообще не получается, а их анализа они проводить не умеют :-)

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Главное то, что Вы никогда не сможете абсолютно чётко провести границу между числами "хорошими" и числами "плохими".

Очень даже могу. Допустимы те числа, которые мы можем
материально представить на доступных нам машинах.
Естественно, эта граница меняется со временем.

>Либо Ваш текст есть не само число, а описание порождающего оное процесса. Тогда, раз этот процесс не доводится "в железе" до победного конца, то никакого числа Ваш текст не определяет — а раз так, то и "границей" никакой не является!

Текст 10^(10^6) есть описание процесса.
И этот процесс очень даже доводится до победного конца.
Или вы считаете, что машине проблематично
выписать единицу, за которой следует миллион нулей?

>У конструктивистов ещё более чётко: сложение любых двух чисел, которые можно сложить в любом порядке на рассматриваемой машине, коммутативно. Берём и проверяем. Переполнение получили? Копыта откинули, не дождавшись ответа? Ну, извините: вот как раз про такие случаи мы ничего и не обещали.

Уточняющий вопрос.
Возьмём числе Грехема. Обозначим его G.
Имеет ли в конструктивной математике смысл следующее
тождество: 2G + 3G = 3G + 2G?

>"Любые" — это и означает "любые, которые надо". А ещё точнее — "любые, которые сможем сложить на рассматриваемой машине". Так что этот пассаж вообще мимо цели.

Очень интересно. В таком случае, поясните пожалуйста,
как здесь используется абстракция потенциальной осуществимости.
И используется ли она здесь вообще?

>К сожалению, математика — это наука, а не сборник протоколов о выполненных конкретных вычислениях. А наука оперирует общими утверждениями, которые всегда абстрактны. И оттого, что на этот фактик кому-то "удобно" закрыть глаза, он не исчезает. Кстати, именно поэтому наибольшие крикуны против схоластики обычно сами же и оказываются наибольшими схоластами: обойтись без абстракций вообще не получается, а их анализа они проводить не умеют :-)

А что, я выступаю против абстракций? Вовсе нет.
Например, в финитизме используется абстракция
свободы от ошибок.
Финтизм выступает только против тех абстракций,
которые не имеют за собой материального основания,
вроде абстракции потенциальной осуществимости.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Допустимы те числа, которые мы можем
> материально представить на доступных нам машинах.
> Естественно, эта граница меняется со временем.

Если добавить к этому фразу "и допустимы те операции с числами, которые мы можем провести на доступных нам машинах" — получится в точности позиция конструктивной математики. Так что тогда не так-то?

> Обозначим его G.
> Имеет ли в конструктивной математике смысл следующее
> тождество: 2G + 3G = 3G + 2G?

Нет, не имеет. Потому что в выписанном Вами тексте это просто буква (а как умножать буквы на натуральные числа — непонятно). Чтобы получить нечто осмысленное, надо либо подставить вместо обозначения G собственно обозначаемое число (а за это Вы вроде не берётесь), либо честно признать, что речь идёт не непосредственно о Вашем тожестве, а об арифметической формуле вида \(\exists x (G(x))\land (2x+3x=3x+2x)\), где через \(G\) обозначен предикат "быть числом Грехема". Формула же сия имеет зело ясный смысл (и обсуждать можно только проблему верности этой формулы с точки зрения оного смысла).

> В таком случае, поясните пожалуйста,
> как здесь используется абстракция
> потенциальной осуществимости.
> И используется ли она здесь вообще?

Боже, ниспошли мне терпения :-( В триста тридцать третий китайский раз повторяю: все реально запускаемые нами вычислительные процессы мы делим на два сорта — те, которые не наталкиваются на границы наших конструктивных возможностей, и те, которые наталкиваются. Процессы первого сорта мы рассматриваем в конструктивной математике (и для таких процессов её выводы прекрасно работают). Процессы второго сорта мы не рассматриваем в оной (а потому утверждение, что для таких процессов выводы КМ могут разойтись с реальностью, не говорят ничего: тут мы ничего и не обещали). Вот эта-то "фильтрация" вычислительных процессов и есть абстракция потенциальной осуществимости. А каким образом эта "фильтрация" осуществляется в каждом конкретном случае, для каждой конкретной машины — это другой вопрос. Важный, интересный, но другой.

Что в сказанном "не имеет материального основания"?

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Тогда всё становится ещё проще.
Является ли программа, вычисляющая число Грехема,
конструктивным натуральным числом?

Что касается остальное, то andrey_bovykin@lj
формулирует гораздо более содержательные вопросы:
http://bbixob.livejournal.com/75286.html?thread=680982#t680982

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Является ли программа, вычисляющая число Грехема,
> конструктивным натуральным числом?

Нет, не является. Зато теоремой конструктивной математики является утверждение, что при наличии достаточного количества ресурсов эта программа будет результативной. Точно так же, как другой теоремой этой же самой конструктивной математики является утверждение, что для современной вычислительной техники оных ресурсов не хватит (в этом отношении КМ вполне разделяет Ваш подход к вопросу: Вы тоже не брали это число "в железе", а охарактеризовали его перечислением неких свойств, после чего теоретически заключили, что среди "относительно осязаемых" чисел объекта с требуемыми свойствами не имеется).

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent)

Кстати, может быть, Вам будет интересен блог о "perceptions of infinity in mathematics", его ведут логик-групповик (группы Морли) и фолософ, по гранту христианской организации Templton foundation :

http://dialinf.wordpress.com/

(Reply to this) (Parent)

не могу вмешаться по сути, но мне Ваш спор напоминает о фразе, кажется, Адамса из книжки про Пространства Петель.

(очень неточная цитата) "когда тополог говорит, что два пространства петель совпадают, он подрузумевает, что он построил сисметему изморфизмов, которые ... и функториально ..."

также, видимо, и у конструктивистов --- постоянно должны подразумеваться оговорки о реализуемости .. впрочем, может я ошибаюсь.


Но ведь и на практике никому не надо складывать
любые натуральные числа, а надо
складывать весьма и весьма ограниченные числа.
То есть финитистская позиция полностью охватывает
всю практику приложения математики.

ага. но, скорей,
практику "наивного" приложения математики (без всяких теорем лефшеца в физике..)

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>также, видимо, и у конструктивистов --- постоянно должны подразумеваться оговорки о реализуемости .. впрочем, может я ошибаюсь.

А вот я никак не могу понять. В одном месте я вижу
чисто финитисткие высказывания, в другом —
странные разглагольствования про абстракцию
потенциальной осуществимости.

>ага. но, скорей,
>практику "наивного" приложения математики (без всяких теорем лефшеца в физике..)

Вот-вот. И я о том же.

(Reply to this) (Parent)