Войти в систему

Home
    - Создать дневник
    - Написать в дневник
       - Подробный режим

LJ.Rossia.org
    - Новости сайта
    - Общие настройки
    - Sitemap
    - Оплата
    - ljr-fif

Редактировать...
    - Настройки
    - Список друзей
    - Дневник
    - Картинки
    - Пароль
    - Вид дневника

Сообщества

Настроить S2

Помощь
    - Забыли пароль?
    - FAQ
    - Тех. поддержка



Пишет Misha Verbitsky ([info]tiphareth)
@ 2008-04-07 10:40:00


Previous Entry  Add to memories!  Tell a Friend!  Next Entry
Настроение: tired
Музыка:МОПР -- Боссановости
Entry tags:math, mccme

Лекции по топологии (13-14)

Лекции по топологии (13-14),
для сегодняшнего занятия.анафема!
Теория категорий, и теорема Маршалла Стоуна о представимости
булевых алгебр вполне несвязными, компактными, хаусдорфовыми
пространствами.

Ну, немножечко условно-досрочно
настоящая математика, наконец.

Буду донельзя признателен за любые замечания,
комментарии и исправления.

Прошлые выпуски:

Лекции
[ 0 | 1-2 | 3-4 | 5 | 6 | 7-8 | 9 | 10 | 11-12 ]

Листочки
[ 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 ]

Ведомости
[ 1,2,3 | 4,5,6 | 7,8 ]

Посты с обновлениями и комментариями почтенной публики.
[ 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 ]

Привет



(Читать комментарии) - (Добавить комментарий)

Про лекцию 0
[info]xgrbml.livejournal.com
2008-04-15 20:33 (ссылка)
В список основных применений аксиомы выбора я бы добавил и гомологическую алгебру: как иначе доказать, что в категории модулей много инъективных объектов или что вялые/мягкие пучки ацикличны?

(Ответить) (Ветвь дискуссии)

Re: Про лекцию 0
[info]kaledin
2008-04-15 21:08 (ссылка)
Aksioma vybora ehto fakt gomologicheskoj algebry i est': lyuboe mnozhestvo proektivno.

Drguoe delo, chto prikol'no razvivat' gomologicheskuyu algebru bez rezol'vent -- nu tam Ext'y po Yonede, vse dela. Do nekotorogo momenta rabotart.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

Re: Про лекцию 0
[info]xgrbml.livejournal.com
2008-04-16 12:46 (ссылка)
О, и впрямь! И кстати, что уж там инъективные оболочки: даже тот скромный факт, что свободные модули проективны, и то доказывается с помощью аксиомы выбора.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

Re: Про лекцию 0
[info]tiphareth
2008-04-16 13:11 (ссылка)
В общей ситуации -- конечно. Для конечно порожденных
модулей над нетеровыми кольцами, иньективная оболочка
строится руками. Проективность счетно-порожденных
свободных модулей следует из зависимого выбора,
которого недостаточно даже для неизмеримых множеств.

То есть в практической деятельности (счетно-порожденные
модули над нетеровыми кольцами, например) никакие утверждения
гомологической алгебры от аксиомы выбора не зависят,
в худшем случае потребуется счетный выбор.

Наконец, всю гомологическую алгебру
можно построить, начиная с топосов, и в этой
ситуации аксиомы выбора не надо, впрочем,
тут подробностей я не знаю - слышал от разных людей,
сам не смотрел.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

Re: Про лекцию 0
[info]xgrbml.livejournal.com
2008-04-16 13:39 (ссылка)
Боюсь, что аксиома выбора нужна уже для нормальной работы с нётеровостью (чтоб о.в.ц. и конечная порожденность подмодулей были эквивалентны). Каноническую свобобдную резольвенту по Бурбаки тоже с одним только счетным выбором не сделаешь.

Если строить от топосов, то держу пари, что нужен недостижимый кардинал, после которого стесняться AC странно. Впрочем, тут я тоже никаких подробностей не знаю (но SGA4, как известно, именно с аксиом "вселенной" начинается).

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

Re: Про лекцию 0
[info]tiphareth
2008-04-16 14:07 (ссылка)
>Боюсь, что аксиома выбора нужна уже для нормальной работы с нётеровостью

Зависимого выбора хватает для этого. А это практически ничего
(зависимый выбор следует даже из аксиомы детерминированности)

Что ж касается свободной резольвенты, кто нам мешает взять
прямую сумму кольца по всем образующим модуля? Если их число конечно,
это вообще конечно порожденный модуль.

Я не знаю сходу ни одного утверждения в категории
конечно порожденных модулей над нетеровым кольцом,
которое зависело бы от аксиомы выбора (более чем счетной).

Впрочем, в этой категории нет иньективных резольвент,
и не бывает (потому что чтоб их построить, приходится брать
произведение по всем идеалам, а она бесконечная, и часто
даже несчетная). С этим есть свой способ борьбы, но получится
категория, где нет проективных резольвент.

Собственно, эта же проблема есть и в ZFC: не бывает
абелевых категорий, где есть бесконечные произведения и суммы.

Такие дела
Миша

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

Re: Про лекцию 0
[info]posic.livejournal.com
2008-04-16 15:26 (ссылка)
Собственно, эта же проблема есть и в ZFC: не бывает абелевых категорий, где есть бесконечные произведения и суммы.
Ох, Миша.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

Re: Про лекцию 0
[info]tiphareth
2008-04-16 16:03 (ссылка)
да, сглупил, кажется
спасибо

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

Re: Про лекцию 0
[info]posic.livejournal.com
2008-04-16 16:17 (ссылка)
Не бывает абелевых категорий, в которых одновременно точны направленные прямые и обратные пределы. В частности, в категории абелевых групп и ей подобных (модулях, пучках) точны направленные прямые пределы, а обратные не точны. В категориях же про-объектов точны, напротив, направленные обратные пределы.

(Ответить) (Уровень выше)

Re: Про лекцию 0
[info]kaledin
2008-04-17 01:39 (ссылка)
>Я не знаю сходу ни одного утверждения в категории конечно порожденных модулей над нетеровым кольцом

A ehta kategoriya kak ob'ekt gomologicheskoj algbery nikomu ne interesna, tam vse vorposy razreshil eshche Serre. Dlya prilozhenij nuzhny kak minimum puchki. Esli moduli, to nad nekommutativnymi kol'cami -- raznye kategorii predstavlenij -- tak chto pro neterovost' tozhe mozhno zabyt'.

Pri ehtom ya dumayu, chto ves' formalizm gomologicheskoj algebry mozhno razvit' sovershenno ehffektivno, bez rezol'vent (tipa, lyuboj konkretnyj Ext mozhno predstavit' po Yonede, a napisat' odnu rezol'ventu, kotoraya vychislyaet srazu vse Ext'y, nel'zya i ne nuzhno). No ya ne dumayu, chto mozhno budet chto-libo posschitat'.

Konceptual'no zhe, vybor po neschetnomu mnozhestvu mozhet osobo i ne nuzhen, zato nuzhen vybor po klassu, dlya sleduyushchego kriticheski vazhnogo utverzhdeniya: polnyj strogij essnetially surjective funktor yavlyaetsya ehkvivalentnost'yu. I bez ehtogo, khotya naverno i mozhno, no neshutochno zaebesh'sya.

(Ответить) (Уровень выше)


(Читать комментарии) -