Войти в систему

Home
    - Создать дневник
    - Написать в дневник
       - Подробный режим

LJ.Rossia.org
    - Новости сайта
    - Общие настройки
    - Sitemap
    - Оплата
    - ljr-fif

Редактировать...
    - Настройки
    - Список друзей
    - Дневник
    - Картинки
    - Пароль
    - Вид дневника

Сообщества

Настроить S2

Помощь
    - Забыли пароль?
    - FAQ
    - Тех. поддержка



Пишет Misha Verbitsky ([info]tiphareth)
@ 2016-12-13 13:05:00


Previous Entry  Add to memories!  Tell a Friend!  Next Entry
Настроение: tired
Музыка:Comando Suzie - POBRES CHAVALES
Entry tags:fascism, math, navalny, putin

дифференцирование алгебры функций
По поводу Навального в президенты
http://potsreotizm.livejournal.com/8171560.html
https://www.youtube.com/watch?v=wkN8sSrUbdY

Мне все в общем похуй, кроме моей шкуры, такая я
сволочь. Ну и понятно, что при гебешной власти мне
придется сидеть в тюрьме, если я не свалю (я и свалил).

А если паче чаяния президентом будет Навальнер, сидеть
не придется, потому что немедленно окажется, что у
него в правительстве половина начальства - старые знакомые,
которые лично ко мне хорошо относятся, а другая половина
в принципе против посадок по политическим статьям.

То есть из практических соображений, избрание
Навального - единственный сценарий, при котором
со сраной можно иметь дело. И для меня (понятно),
и для международной публики, которая уже заходится
в паранойе из-за гебешных акций.

Сценарий, кстати, вполне реалистический: Навальный
есть системный игрок, которого гебоиды держали на
запасной скамье, в надежде продвинуть в презики, когда
будет совсем плохо. Потому что либо санкции, пизда,
конфискации и Гаага, либо договороспособный презик,
который в состоянии гарантировать соблюдение сраной
правил человеческого общежития, отказ от агрессивной
политики и смягчение режима. Иначе над капиталами
жуликов и воров из страны-преступника висит дамоклов
меч неизбежной конфискации.

То есть сраная сейчас - страна-говно, страна-преступник
и страна-хуесос, которой ничего хорошего в принципе не
светит, примерно как не светит ничего хорошего Северной
Корее, и по той же самой причине. В Кремле, на Лубянке
и на рублевке, конечно, сидят невменяемые придурки, уебищные
лохи и дегенераты, но эту простую вещь они, кажется, вполне
должны усвоить. А коли так, единственный способ, которым
можно оздоровить ситуацию - выбрать вменяемого презика,
с которым будут разговаривать культурные люди, то есть
Навальнера, других нет. Соответственно, надежда на победу
Навального есть. Процентов 20, думаю, не больше, но таки
надежда (умирает последней).

Можно, конечно, вообще забить, и нужно наверное,
пусть сраная горит синим пламенем, но пока не получилось.

Я ж тем временем закончил читать анализ на многообразиях
http://verbit.ru/ULB/GEOM-2016/
Много не влезло, но одну занятную вещь я понял.

Доселе приходилось читать геометрию только людям, которых
дико перегружают анализом и дифурами, по российской
традиции. В Брюсселе студенты нихера не знают ни анализа,
ни дифуров, их перегружают, скорее, теорией категорий,
теорией групп и чем-то подобным. Соответственно,
пришлось включить в курс куски про дифуры, и тут я
понял, как сделать их гораздо проще, чем в обычном
курсе мехмат-стайл.

0. Задача: доказать, что любое векторное поле (то есть
дифференцирование алгебры функций на многообразии)
интегрируется до потока диффеоморфизмов.

1. Доказываем, что автоморфизмы алгебры гладких функций
на компакте это диффеоморфизмы многообразие (максимальные
идеалы суть точки, носители функций замкнутые множества
и так далее).

2. Решаем в банаховом пространстве функций на многообразии
дифур $d/dt f_t = X(f_t)$ через теорему Банаха о
неподвижной точке. Доказываем, что получается автоморфизм
кольца функций.

Преимущество такого подхода - что можно вообще не читать
(обыкновенные) дифуры, а запихнуть весь курс в 3 лекции
"анализа на многообразиях", а недостатки - очень трудно
связать это с обычным "решением ОДУ" в квадратурах, которое
в курс анализа на многообразиях запихать точно не получится.
Но последнее есть системная проблема любого курса дифуров. Я еще
помню, как мучались мехматские студенты, которые сдавали ОДУ Арнольду.
Арнольд хотел, чтобы они умели нарисовать фазовый портрет
решения, а студенты умели прекрасно решать их в квадратурах,
и на любой вопрос о качественном поведении решения
выпадали в осадок.

Привет



(Читать комментарии) - (Добавить комментарий)


[info]tiphareth
2016-12-13 23:39 (ссылка)
а я не видел, какое в книжке арнольда
"банаховы пространства" не при чем, конечно
(но проще формулировать на этом языке)

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2016-12-13 23:40 (ссылка)
>а я не видел, какое в книжке арнольда

(студентом, кажется, заглядывал, но ужаснулся и с тех пор не открывал)

(Ответить) (Уровень выше)


[info]kaledin
2016-12-13 23:55 (ссылка)
Ну посмотри -- оно там в самом конце, в специальной главе "доказательства" (а остальную часть книги лучше не читать). Грубо говоря, берешь пространство всех возможный решений, строишь на нем довольно очевидное сжимающее отображение, применяешь теорему о неподвижной точке. Нужна пара оценок конечно (чтобы доказать, что пространство полное, а отображение сжимающее); но с банаховым, если делать честно, оценок нужно будет в разы больше. В общем, не особо ужасное.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2016-12-14 00:21 (ссылка)
нет, все ровно так же
просто с банаховым есть абстрактная (и очень чистенькая,
в отличие от арнольда) формулировка

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2016-12-14 01:27 (ссылка)
Не чистенькая: она опирается на черный ящик в виде банаховых пространств. Причем он не очень по делу. Конечно, человеку, привыкшему к алгебраической геометрии, первым делом хочется перевести все в кольца; но если кто этого не видел ни разу, оно совершенно не всегда упрощает восприятие.

Похожий пример это теорема Дарбу: есть доказательство через алгебру (берешь функцию, ищещь к ней сопряженную, и т.д.), и есть геомтрическое доказательство Вайнштейна. И геометрическое пожалуй что приятнее и чище.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2016-12-14 01:30 (ссылка)
>она опирается на черный ящик в виде банаховых пространств

нет, исключительно теорему Банаха о неподвижной точке
ни для чего другого они там не нужны

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2016-12-14 01:40 (ссылка)
Тебе нужна топология, совместимая с умножением. Т.е. C^\infty. И потом негильбертово топологическое векторное пространство. Про которое надо еще понимать, в каком смысле оно полное. В принципе, это считается куда сложнее, чем существование и единственность решений. Другое дело, если оно все у тебя независимо уже есть, тогда грех не использовать.

Правда, ты доказываешь не вполне то -- у тебя не требуется и не используется отстуствие нулей (одно в другое перегоняется стандартным способом, но объяснить, что с нулями засада, в какой-то момент полезно).

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2016-12-14 01:53 (ссылка)
нененене, ничего такого не надо

вот это самое "довольно чистое" утверждение

пусть D_t - оператор на плотном подмножестве
банахова пространства, такой, что оператор \int_{a}^b D_t dt
непрерывен (то есть с ограниченной нормой)
для всех a, b\in [0, 1], тогда для небольших
\epsilon есть единственное решение дифура
dv_t/dt=D_t(w) на [0, \epsilon] с заданным v_0, w(t)

это на самом деле Липшиц еще знал, и для этого, собственно,
он и придумал условие Липшица

>но объяснить, что с нулями засада, в какой-то момент полезно

но не для потока же диффеоморфизмов на компакте, да?
а читать курс дифуров в мои намерения не входило никак

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2016-12-14 02:25 (ссылка)
>ничего такого не надо

Ну как не надо, начинаешь же со слов "банахово пространство". И нужен еще переход между диффеоморфизмами и автоморфизмами кольца, тоже как видим нетривиальный момент.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2016-12-14 02:29 (ссылка)
от банахового пространства нужна ровно одна вещь - теорема Банаха о неподвижной точке,
ее даже студенты из Брюсселя все знают
одна из немногих вещей, в принципе, которую все знают
что такое тензорное произведение, например, там никто не знает (даже магистранты)
как найти в пространстве со скалярной формой ортонормированный базис - знают, но неуверенно и не все
что такое симплектическая форма на векторном пространстве, на 3-м курсе почти никто не знает
а теорему Банаха знают

>И нужен еще переход между диффеоморфизмами и автоморфизмами кольца, тоже как видим нетривиальный момент.

его удалось очень просто прописать
http://verbit.ru/ULB/GEOM-2016/slides-geom2-ulb-07.pdf (страница 3)

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2016-12-14 03:06 (ссылка)
>что такое симплектическая форма на векторном пространстве, на 3-м курсе почти никто не знает а теорему Банаха знают

Включая определение банахова пространства? -- ебануться.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2016-12-14 04:13 (ссылка)
не знаю, я не упоминал банаховы, полное метрическое пространство для этой теоремы достаточно
(но они и для теоремы про решения ОДУ не нужны, конечно, ну или можно по ходу дела определить)

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2016-12-14 04:32 (ссылка)
А C^\infty метрическое разве? все время забываю, из-за распределений.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2016-12-14 05:21 (ссылка)
нужно C^0, оно там действует (аргумент, как полифем в соседней
ветке указал, таков: дифур равносилен уравнению f=I(f)
для интегрального оператора, который непрерывен в C^0-топологии,
так что гладкость там вообще не при делах и получается апостериори)

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2016-12-14 08:51 (ссылка)
>нужно C^0

??? В чем состоит утверждение тогда? -- как ты будешь дифференцировать C^0-поток C^0-диффеоморфизмов?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2016-12-14 09:36 (ссылка)
утверждение как я сказал

пусть D_t - оператор на плотном подмножестве
банахова пространства, такой, что оператор \int_{a}^b D_t dt
непрерывен (то есть с ограниченной нормой)
для всех a, b\in [0, 1], тогда для небольших
\epsilon есть единственное решение дифура
dv_t/dt=D_t(w) на [0, \epsilon] с заданным v_0, w(t)

банахово пространство - функции с C^0 (L^\infty) метрикой

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2016-12-14 09:54 (ссылка)
Гладкость надо доказывать (априори неподвижная точка не обязана лежать в плотном подмножестве). Но в принципе, в обычном доказательстве тоже надо, так что один черт наверное.

Т.е. если подвести итог, получается примерно следующее: ты применяешь неподвижную точку к пространству отображений в уже бесконечномерное векторное пространство (что как бы сложнее), но зато оно линейное, а дифур свелся к экспоненте, т.е. конструкция сжимающего отображения более внятная. Как-то так?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2016-12-14 10:14 (ссылка)
угу, именно
(но только это не экспонента, потому что D_t зависит от времени)

(Ответить) (Уровень выше)


[info]tiphareth
2016-12-14 09:38 (ссылка)
> как ты будешь дифференцировать C^0-поток C^0-диффеоморфизмов?

оператор задан на плотном подмножестве (то есть на дифференцируемых
функциях в непрерывных с L^\infty метрикой)

(Ответить) (Уровень выше)


[info]kaledin
2016-12-14 08:54 (ссылка)
Не говоря уж о том, что у кольца C^0-функций дифференцирований вообще нет.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]kaledin
2016-12-14 03:11 (ссылка)
Ну да (по модулю того, что компактность хитро запрятана под ковер в утверждение про базис окрестностей, которое приводится без доказательства -- а может она и не нужна вообще).

В принципе, если ты хочешь концептуальной полной ясности, то она такая: имеется понятие C^\infty-кольца. Неформально, это кольцо, в котором элементы мохно подставлять в гладкие функции na R (а не только в полиномы). Формально, это мн-во X плюс мультилинейные операции, а операции из X^n в X^m это гладкие отображения из R^n в R^m. Ну и такие уже более-менее отвечают многообразиям (не все, но категория многообразий туда вкладывается полно и строго). Не уверен, что это надо объяснять студентам, особенно уже испорченны излишней алгеброй. Но все же.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2016-12-14 04:11 (ссылка)
> в утверждение про базис окрестностей

не, оно не зависит от компактности

>которое приводится без доказательства

оно уже было несколько раз, в этом курсе постоянно используется

>а может она и не нужна вообще

компактность
не нужна, я продумал мое доказательство еще раз,
можно и без компактности таки
(но студентам не решусь рассказывать)

насчет C^\infty-колец, интересно, спасибо

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2016-12-14 04:33 (ссылка)
>насчет C^\infty-колец, интересно, спасибо

Да не особо, на самом деле -- если глубоко вдуматься, то увидишь, что просто переливание из пустого в порожнее, как сейчас модно. Но мило.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]polytheme
2016-12-14 00:32 (ссылка)
Это понятно - на самом деле это доказательство не из Арнольда, а из Колмогорова-Фомина, и вообще оно классическое доказательство классического математика Биркгофа(? - если мне склероз не изменяет), уважаемого, который, кажется, первый догадался, что локально диффур можно переписать в виде f = F(f), где F - "интегральный оператор", и использовать стандартную идею итерации (и это было первое доказательство теоремы существования и единственности, кажется; с ломаными Эйлера какой-то затык получается - с дифференцируемостью того, что получится, что ли - или там требования по гладкости выше; и они совсем не про единственность).

Единственное, чего я у Миши не понимаю - это как на языке колец сказать, что может не быть глобального семейства диффеоморфизмов всего многообразия, если "решение за конечное время уходит на бесконечность" (y'=-y^2) - ведь семейства автоморфизмов кольца тогда тоже нет ? Получается что-то вроде "глобального сечения пучка ростков семейства диффеоморфизмов"; для компактного многообразия, с другой стороны, такой проблемы возникать не должно.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2016-12-14 00:39 (ссылка)
потому что доказывается для компактных (а некомпактные сводятся к компактным посредством нудной возни с компактными носителями)
либо для липшицевых коэффициентов на полном римановом, но это геморрой

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2016-12-14 01:30 (ссылка)
>потому что доказывается для компактных

Тоже жопа, кстати -- вроде бы, теорема о существовании и единственности это факт чисто локальный (векторное поле без нулей локально имеет стандартный вид). Неестественно его переписывать через глобальные аргументы. Хотя по факту, конечно какая-то компактность по ходу дела нужна.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2016-12-14 01:32 (ссылка)
>Тоже жопа, кстати -- вроде бы, теорема о
>существовании и единственности это факт чисто локальный

само собой, см. википедию
но в курсе анализа на многообразиях оно какбе неуместно

что есть независимый (и более простой) глобальный аргумент,
меня удивило, я не знал, пока не придумал его

(Ответить) (Уровень выше)


[info]polytheme
2016-12-14 01:34 (ссылка)
а, ага - погрузить шаровую окрестность точки в сферу той же размерности (как окрестность полюса) и домножить векторное поле на гладкую склейку 1 и 0, чтобы в меньшей окрестности точки осталось исходное векторное поле и гладко продолжилось на всю сферу;

а так как поле непрерывно, то за малое время из неповрежденной окрестности точки (ещё меньшей окрестности) не убегут.

а тебе оно для геодезических надо, да ?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2016-12-14 01:36 (ссылка)
нет, мне оно нужно для ознакомительных целей в основном

(Ответить) (Уровень выше)


(Читать комментарии) -