Войти в систему

Home
    - Создать дневник
    - Написать в дневник
       - Подробный режим

LJ.Rossia.org
    - Новости сайта
    - Общие настройки
    - Sitemap
    - Оплата
    - ljr-fif

Редактировать...
    - Настройки
    - Список друзей
    - Дневник
    - Картинки
    - Пароль
    - Вид дневника

Сообщества

Настроить S2

Помощь
    - Забыли пароль?
    - FAQ
    - Тех. поддержка



Пишет Misha Verbitsky ([info]tiphareth)
@ 2018-06-07 17:43:00


Previous Entry  Add to memories!  Tell a Friend!  Next Entry
Настроение: sick
Музыка:Delerium - SPIRITUAL ARCHIVES
Entry tags:math

двойственно по Пуанкаре пересечению многообразий
Написал образцово короткое доказательство
двойственности Пуанкаре:
http://verbit.ru/IMPA/TOP-2018/cohomology-09.pdf
как-то не ожидал даже. По этому случаю, образовался
лишний час, который следует забить доказательством
того, что произведение в когомологиях (де Рама)
двойственно по Пуанкаре трансверсальному
пересечению многообразий.

А какой самый простой способ сие увидеть, без
махания руками и по возможности элементарно?
Я чего-то ничего толкового сходу придумать не могу.

Привет



(Читать комментарии) - (Добавить комментарий)


[info]kaledin
2018-06-09 00:51 (ссылка)
>не понял, о чем ты

Во-во -- ты даже не замечаешь.

>я беру форму, усредняю ее по компактной группе, класс когомологий не меняется

Откуда следует, что операция усреднения на когомологиях хорошо определена?

Разумеется, усреднение форм индуцирует какой-то эндоморфизм на когомологиях, но он уже никаким интегрированием по группе априори не задается, это надо доказывать (а точнее, надо доказывать, что интегрирование по группе на когомологиях вообще определено, т.е. что действие группы на них хотя бы измеримо). А если ты этого не доказал, то из того, что класс когомологий для каждого g тот же, совершенно не следует, что он тот же для усреднения.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-09 01:27 (ссылка)
Это факт линейной алгебры.

Пусть группа G непрерывно
действует на топологическом векторном пространстве.
Тогда определена операция "усреднения по группе". Эта операция
перестановочна с любым G-инвариантым линейным отображением
(непрерывным). Сие есть стандартный факт теории интегрирования.

У нас есть отображение проекции замкнутых форм в когомологии.
Оно (как уже доказано) перестановочно с действием G,
где действие на когомологиях определяется как тривиальное. Значит,
усреднение коммутирует с взятием когомологий.

Конечно, если студент дорос, он в этот момент спросит,
какую мы рассматриваем топологию, но данная группа студентов не могла
(в прошлом году спросили). Ответ понятно какой, C^1, она даже банахова

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-09 01:52 (ссылка)
>Пусть группа G непрерывно действует на топологическом векторном пространстве.

Во-во. Ключевое слово "непрерывно". Почему например образ дифференциала замкнут, и т.д. Я вообще не уверен, что оно делается без гармонической теории.

И кстати, группа конечно должна быть компактная.

>Конечно, если студент дорос

или если он очень смелый, и не поддается на proof by intimidation.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-09 03:56 (ссылка)
А зачем тебе нужно, что образ дифференциала замкнут?

>И кстати, группа конечно должна быть компактная.

Для усреднения? Само собой, у меня так и написано

> не поддается на proof by intimidation.

Да они, кажется, постоянно по группе усредняют
я специально спрашивал у разных групп студентов, все
вроде были хорошо знакомы (а вот с эрмитовым пространством
не все знакомы, такие чудеса образоватеъной системы)

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-09 12:47 (ссылка)
>А зачем тебе нужно, что образ дифференциала замкнут?

Чтобы отображение из коциклов в когомологии было непрерывно! А иначе почему оно коммутирует с усреднением, и почему действие на когомологиях непрерывно?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-09 13:22 (ссылка)
>почему действие на когомологиях непрерывно

потому что оно там тривиально

>почему оно коммутирует с усреднением

потому что пусть a, b когомологичные формы,
a-b=dc, тогда Av(a)-Av(b) = d(Av c), так как
усреднение коммутирует с дифференциалом

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-09 13:27 (ссылка)
c нельзя усреднять, оно неконтроллируемым образом зависит от элемента группы (о чем я тебе уже раза 4 написал).

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-09 13:32 (ссылка)
c вообще не зависит от элемента группы, это дифференциальная форма
дифференциальную форму всегда можно усреднять

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-09 13:50 (ссылка)
Это просто шедевр!!

Усреднять по чему, прости? по тому, от чего оно не зависит?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-09 14:46 (ссылка)
усреднять g^*(c) по g\in G

(Ответить) (Уровень выше)


[info]kaledin
2018-06-09 13:56 (ссылка)
Т.е. ок, в буквах, если слов мало. У тебя есть a, и a-g^*a = dc(g) для любого g. Отсюда следовало бы, что a - Av_g a = d Av_gc(g), если бы правая часть была хорошо определена. Но ниоткуда не следует, что она хорошо определена.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-09 14:45 (ссылка)
усреднение по компактной группе
хорошо определено и коммутирует с дифференциалом

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-09 15:35 (ссылка)
Усреднение это интегрирование; интегрировать можно только интегрируемые функции; соответствие g \mapsto c(g) неинтегрируемо, потому что выбор c в каждом g делается независимо. Это 5 и последнее повторение, извини.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-09 15:53 (ссылка)
>потому что выбор c в каждом g делается независимо

выбор c уже сделан, это одна форма
\int_G g^*(c)dg определен в силу общих соображений
(это интеграл от измеримой векторнозначной функции по пространству с мерой)

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-09 16:06 (ссылка)
>измеримой

Это ниоткуда не следует (c(g) это любая форма, для которой dc(g)=a-g^*a, в разных g значения c(g) не связаны между собой никак, никакого g^*c там нет).

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-09 16:22 (ссылка)
я выбираю c раз и навсегда, руководствуясь
d(c)=a-b
из чего получаю, что d\Av(c) = \Av(a)-Av(b)

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-09 17:21 (ссылка)
>я выбираю c раз и навсегда

Где b это что? Если b=g^*a, то оно зависит от g. Если что-то еще, то что именно, и почему c существует.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]kaledin
2018-06-09 17:26 (ссылка)
В смысле, ты мне упорно зачем-то обьясняешь, что Av переводит когомологичные классы в когомологичные. Это тебя совершенно не спасает. Тебе нужно, что вот это индуцированное Av на когомологиях дается усреднением по (тривиальному) действию группы на когомологиях же, а это ниоткуда не следует. Или же, можно прямо пытаться доказать, что любое a когомлогично Av(a), но тогда будет проблема с усреднением c.

Короче, попробуй формально записать свое "очевидно, что", и устыдись.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-09 18:53 (ссылка)
Да без проблем, пусть a инвариантна, а b в том
же классе когомологий не инвариантна.
Тогда b = a + dc
\Av(b)= a + d(\Av c)

ибо \Av коммутирует с дифференциалом

вопросы?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-09 18:57 (ссылка)
>вопросы?

Да, конечно -- те же, что были с самого начала. Пусть есть замкнутая a. Где взять замкнутую инвариантную b в том же классе когомологий?

(Ответить) (Уровень выше)


[info]kaledin
2018-06-09 21:08 (ссылка)
Ок, последний раз и подробно, раз уж ты своим упрямством меня в это втравил.

Ты хочешь сказать, что любое замкнутое а когомологично Av(a) = \Int_G(g^*a). Для этого есть два аргумента, оба не работают:

1. Форма a - g^*a точная для любого g, и a - Av(a) = \int_G (a - g^*a).

Не работает, потому что надо доказывать, что интеграл сохраняет точность форм (т.е. если у нас есть непрерывная функция на G со значениями в точных формах, то ее интеграл точен). Для этого надо знать, что про-во точных форм замкнуто, это весьма нетривиальный факт.

2. Напишем a-g^*a=d c(g) для любого g, тогда a - Av(a) = d\int_G c(g). Это не работает, потому что c(g) не обязано быть интегрируемо (чтобы оно вело себя прилично, надо бывирать не абы какие c(g), а это тоже весьма нетривиально).

Все, других аргументов нет, а в твоем "изящном доказательстве" огромная дыра.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-09 21:23 (ссылка)

А собственно и сегодня могу.
Рассмотрим семейство \Psi_t колоколообразных
функций, сходящихся в L^1 к дельта-функции в единице
(его можно явно выписать). Тогда
$a_t:= \int_G \Psi_t g^*(a) dg$
есть гладкое семейство форм, соединяющее
a и \Av(a), и с одним и тем же классом когомологий.
Дальше мы выписываем $\frac{da_t}{dt}$
через производные Ли и убеждаемся, что
оно точное: $\frac{da_t}{dt}=dc_t$,
и $c_t$ интегрируем по t, получая
гомологичность a и \Av(a).

По мне это уже какая-то патологическая
степень математической строгости, в то время
как оно всем и без того ясно,
особенно после того, как все много раз видели
доказательство леммы Пуанкаре тем же
способом (через производные Ли и гомотопии).

С таким же успехом можно и лемму Пуанкаре явной
гомотопией выписывать, с формулами.

Такие дела
Миша

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-09 21:25 (ссылка)
> \Psi_t колоколообразных
> функций, сходящихся в L^1 к дельта-функции в единице

\Psi_0 должна быть константа, \Psi_1 дельта-функция, или наоборот

(Ответить) (Уровень выше)


[info]kaledin
2018-06-09 22:33 (ссылка)
>и с одним и тем же классом когомологий

эту фразу надо выкинуть (ты именно это дальше доказываешь).

>По мне это уже какая-то патологическая степень математической строгости

Хойбрехтс тоже так думал.

Ну т.е. ты или можешь обьявить это наглядной топологией, или вычислять когомологии сферы как обычно, или вот так вот.

Причем так вот я бы сказал, что хуже всего, потому что затеняет дело. То, что связная группа Ли тривиально действует на когомологиях в обсуждаемом смысле, это важный факт, но его лучше понимать в общем контексте (алгебры Ли, эквивариантные когомологии и т.д.), иначе получается трюкачество. А учитывая, что это всего лишь вычисляет когомологии сферы, очевидные из Майер-Вьеториса, получается дико.

>С таким же успехом можно и лемму Пуанкаре явной гомотопией выписывать, с формулами.

Так и надо, а как еще. Но там формула несложная, потому что группа однопараметрическая. А здесь \frac{da_t}{dt} пойди выпиши еще.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-10 00:02 (ссылка)
>С таким же успехом можно и лемму
>Пуанкаре явной гомотопией выписывать, с формулами.

Выписывал, хуле
http://verbit.ru/ULB/GEOM-2015/slides-geom-ulb-10.pdf
умные студенты ярятся, а глупые ничего не понимают по-любому.
Давал им это как упражнение, эффект тот же. Причем пока они
это мне сдавали, я сам отупел до того, что перестал понимать
вообще что там происходит, потому что идиотство заразно. Нахуй
вообще такую жизнь.

Сейчас у меня новая охуенно простая
версия, без каких-либо вообще вычислений
http://verbit.ru/IMPA/TOP-2018/cohomology-04.pdf
и так гораздо понятнее.

Если найдется студент, который заметит ту нестрогость, которую
ты заметил, ему можно мой аргумент отдельно рассказать.
Но доебывание до мышей с неготовыми к таким проблемам студентами
ни к чему хорошему не приводит, они просто не видят, где там
могла бы быть дырка, и на объяснение того, где оно нестрого,
уходит больше времени, чем на затыкание.

>Хойбрехтс тоже так думал.

А потому что не надо по-глупому ссылаться на чужие работы, если ты
не разобрал доказательство. Заметь, к Петернеллу никто претензий
не предъявляет, ибо он не пользуется никакими результатами
вне их сферы применимости, а именно в том и была ошибка Д. Х.:
он заюзал аргумент Томаса, не разобравшись,
где он применим и где нет.

Такие дела
Миша

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-10 00:12 (ссылка)
>Сейчас у меня новая охуенно простая версия

Так у тебя же есть формула, на странице 10. Так и надо конечно, более сложных формул нахуй не нужно. Но как у тебя доказана лемма Пуанкаре, все вполне строго, я не вижу проблем.

>Если найдется студент, который заметит ту нестрогость, которую ты заметил, ему можно мой аргумент отдельно рассказать.

Раз ты им это дело уже впарил, то переделывать ясно дело поздно, только запутаешь. Но на будущее, я бы советовал не повторять. Это не вполне пустое место и под ним много науки; сфера того не стоит.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-10 00:20 (ссылка)
>Это не вполне пустое место и под ним много науки; сфера того не стоит.

Индуктивный аргумент работает ок, если у тебя
есть клеточные или симплициальные когомологии, если
они де рамовские, он довольно хуев, потому что на каждом
шаге надо строить эквивалентность когомологий k-сферы
и ее окрестности в n-сфере. А это концептуально разные
вещи, ибо там разные размерности, и походу придется
еще раз применять индукцию, чтобы доказать, что у них
одинаковые когомологии. Заметь, что слово "надстройка"
я вообще прозносить не могу, ибо она (почти) никогда
не гладкая, а я работаю в гладкой категории.

А вот усреднять по компактной группе Ли всегда хорошо и приятно,
и это самая естественная операция, ибо 3/4 задач геометрии
решаются усреднением, ну типа "найти функцию Грина
с источником в нуле" (я про ядро Ньютона)

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-10 00:35 (ссылка)
>Индуктивный аргумент работает ок, если у тебя есть клеточные или симплициальные когомологии, если они де рамовские, он довольно хуев, потому что на каждом шаге надо строить эквивалентность когомологий k-сферы и ее окрестности в n-сфере. А это концептуально разные вещи, ибо там разные размерности, и походу придется еще раз применять индукцию, чтобы доказать, что у них одинаковые когомологии.

Одно стягивается на другое же?

>ибо 3/4 задач геометрии решаются усреднением

Это ок, но беда в том, что заметная часть ошибок тоже происходит при усреднении. Я бы поостерегся так уж по-кавалерски.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-10 00:39 (ссылка)
стягивается, конечно
но гомотопическую инвариантность когомологий де Рама
в полной общности (не на компакте) я не доказывал, ибо
там жесть какая-то, если вдаваться в детали
(ну типа: не все векторные поля продолжаются
с открытого подмножества)

я доказал им теорему де Рама, а из нее следует гомотопическая
инвариантность, ибо для сингулярных они ее уже знают

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-10 00:44 (ссылка)
А лемма Пуанкаре как же -- там тоже на компакте? неудобно.

Проблема с твоим общий аргументом вот в чем: по сути, ты говоришь, что постоянная форма обьема на компактной группе G гомологична дельта-функции в единице (и потому можно невозбранно усреднять). Это безусловно верно, но в явном виде красиво выписать трудно. Выписывать и не нужно, потому что фигли, там старшие когомологии одномерны... oh wait. Т.е. по хорошему, наверное надо все же выписывать.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-10 00:56 (ссылка)
>А лемма Пуанкаре как же -- там тоже на компакте?

я ее отдельно доказываю, руками

>Т.е. по хорошему, наверное надо все же выписывать.

Учитывая, что нормальный (через симплексы)
подсчет (ко-)гомологий сферы у них уже был, я думаю, что перебьются.

Проблема в том, что на любой прямой вопрос вида "было ли у вас то-то"
они мнутся очень неуверенно, так что я даже то, что я уже рассказывал,
каждый раз повторяю. Соответственно, приходится все заново доказывать.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-10 00:59 (ссылка)
>Учитывая, что нормальный (через симплексы) подсчет (ко-)гомологий сферы у них уже был, я думаю, что перебьются.

Тогда конечно перебьются.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]grigori
2018-06-10 03:46 (ссылка)
Ну твоё доказательство без всяких изменений вполне себе доказывает, что если что угодно умножить на что-нибудь звёздчатое, то когомологии не поменяются, а для сферы тебе именно это и нужно.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-10 04:26 (ссылка)
ну, будет одна индукция, а не две, зато
" если что угодно умножить на что-нибудь звёздчатое, то когомологии не поменяются" тоже придется доказывать

инвариантные формы по-любому симпатичнее

(Ответить) (Уровень выше)


[info]kaledin
2018-06-10 00:14 (ссылка)
А на странице 13 вранье конечно, я бы убрал.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]bors
2018-06-10 09:48 (ссылка)
А почему $\frac{da_t}{dt}=dc_t$ будет существовать где-либо кроме t=1?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-10 13:10 (ссылка)
семейство потому что гладко зависит от t

(Ответить) (Уровень выше)


(Читать комментарии) -