>придется использовать более классические методы.
А кто сказал, что эти методы не классические?

На самом деле, всё, о чём я говорю, уже известно минимум лет 40 (не считая операд, конечно).

Примеры конкретных объектов:

Пример из теории меры: из гладкого многообразия легко получается коммутативная
алгебра фон Неймана (надо взять унитальную *-алгебру ограниченных
функций и пополнить её в соответствующей топологии).

Пример из теории гладких многообразий: из вещественного векторного
пространства легко получается алгебра гладких функций на нём путём перехода
к симметрической алгебре и пополнения в соответствующей топологии.
Обобщение: из вещественного алгебраического многообразия путём пополнения
пучка функций и пучкования получается гладкое многообразие.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

И что получится если ты попытаешься пополнить алгебру гладких/непрерывных функций. Когда ты будешь факторизовать по всем последовательностям Коши, может оказаться что объект пуст.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Как это пуст?
Гладкие функции плотны среди измеримых в соответствующей топологии.
При этом сами измеримые функии полны в этой топологии.
Отсюда получаем, что измеримые функции являются пополнением гладких.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Но это не исключает возможности, что все пусто. Ты ведь даже не построил меру, для которой положительная функция будет иметь положительный интеграл. Единственные меры, которые ты можешь построить "руками" это меры Дирака - для них все эти пределы довольно тривиальны.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

А, теперь я понял, в чём вопрос.
Хотя это и не обязательно, для простоты предположим, что многообразие ориентировано.
Тогда у нас есть изоморфизм де Рама из старших когомологий в вещественные числа.
Отобразим форму старшей степени в её когомологический класс, а затем применим изоморфизм де Рама.
Это и будет оператор интегрирования.

Функции можно интегрировать неканоническим образом,
умножая их на всюду ненулевую дифференциальную форму.

В неориентированном случае всё надо подкрутить на пучок ориентации.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Напомни, а существует доказательство конечномерности де Рамовских когомологий без пространств Соболева?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Да, конечно.
Когомологии де Рама изоморфны клеточным,
компактное гладкое многообразие имеет тип конечного CW-комплекса,
конечный CW-комплекс очевидным образом имеет конечномерные клеточные когомологии.

(Reply to this) (Parent)

По-моему, этот изоморфизм проходит через интеграл, определение которого висит у нас в воздухе.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Ни в коем случае!
По поводу доказательства двойственности Пуанкаре
смотри May, A Concise Course in Algebraic Topology,
или Hatcher, Algebraic Topology.
Понятие интеграла там даже не упоминается.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

А что происходит с R^n? Там никаких гомологий нет. Значит не интегрируем?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Что именно ты имеешь ввиду?
У R^n гомологии и когомологии тривиальны,
и двойственность Пуанкаре в этом случае очевидна.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Но тогда не существует нетривиальной формы с которой можно интегрировать.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

А, понял.
В одном случае нужны формы с компактным носителем, а в другом — просто формы.
Двойственность Пуанкаре существует в разных вариациях.
Одна из них связывает когомологии с компактным
носителем и обычные гомологии.
Другая, менее распространённая, связывает обычные когомологии и гомологии Бореля-Мура.
Гомологии Бореля-Мура для R^n нетривиальны,
поэтому всё сходится.
Интегралы нигде не нужны.

(Reply to this) (Parent)

А почему у этого оператора будут нужные свойства, к примеру какая нибудь положительность?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Да. Не умаляя общности, считаем многообразие связным.
Если дифференциальная форма везде ненулевая, то она отображается в ненулевое число.
Теперь, если у нас есть базовая дифференциальная форма,
которая отображается в положительное число,
и мы умножаем её на неотрицательную функцию,
то новая форма тоже будет отображаться в неотрицательное число.
Доказывается так.
Не умаляя общности, считаем, что функция всюду положительная (можно добавить эпсилон).
Теперь у нас есть две всюду ненулевые дифференциальные формы.
Их можно соединить отрезком.
Все точки отрезка также являются всюду ненулевыми дифференциальными формами.
Стало быть, все точки отрезка отображаются в одну компоненту связности вещественной прямой без нуля.
Начальная точка отображается в положительную компоненту, стало быть и весь отрезок тоже.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Если есть две всюду не нулевые дифф. формы, то совсем не значит что любая их выпуклая комбинация будет _всюду_ не нулевой.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Все точки отрезка будет ненулевыми дифференциальными формами потому, что в каждом слое мы имеем отрезок, связывающий две точки в одной компоненте дополнения к нулю.
Стало быть, и весь отрезок лежит в одной компоненте.
Тут надо помнить, что формы старшей степени имеют одномерные слои как расслоение.

(Reply to this) (Parent)