[	Current Mood	|	nervous	]
[	Current Music	|	Miles Davis - Filles de Kilimanjaro	]

Affine Sets and Affine Groups
D. G. Northcott
1980

Изучая алгебраическую геометрию, я преследую две цели. Я хочу рпзобраться в различных топологиях Гротендика, которая может возникать на схемах, например Зариского, Этальная, fppf. В том числе хочу понять ее интуитивный смысл. И разобраться с тем, каков внутренний язык соответствующих топосов и как они все связаны. Второй вопрос я сформировал уже при чтении этой книги. Грубо говоря, я понял, что не понимаю, почему Гротондик запихал простые идеалы в спектр Зариского. И я считаю что с этим вопросом нужно разобраться. В принципе — эта книга не отвечает не на один из этих вопросов. Поэтому не понятно нахуя ее читать. Но если бы я ее не начал читать, то эта книга меня бы мучала. Я решил, что с нее можно начать для разгона. Тут нет теории категорий. И на мои деньги тут нет геометрических идей. Только чистая алгебра и общая топология. Я бы не хотел бы фокусироваться на анализе конкретных кривых и поверхностей малой размерности. Или на проектинвной алгебраической геометрии. Поэтому эта обезжиренность меня во многом и подкупила.

То что я заметил тут необычного, так это то, что определяя афинное алгебраическое множество над полем k Норскотт использует так называемые «рациональные идеалы», то есть максимальные идеалы, фактор по которым — это поле k. Это у него собственно точки афинных алгебраических множеств. А потом он определяет радикал идеала как пересечение рациональных идеалов, содержащих данный. И радикальный идеал — это идеал равный своему идеалу. Радикальные идеалы соответсвуют открытым или замкнутым множествам. Это определение удобно, потому что для любого бесконечного поля афинная прямая, то есть многообразие соответствующее . Вначале, я очень возмутился и подумал, что это какое-то наеболово. Потому что в спектре Зариского в качестве точек должны быть простые идеалы. Потом я начал смотреть Харсхорна и понял, что в первой главе он тоже не пишет про спектр Зариского, а пишет про все те же аффинные алгебраисчкие множества. Основное отличие в том, что Хартсхорн работает над алгебраически замкнутом поле и в качестве точек использует максимальные идеалы. Грубо говоря, теорема Гильберта о нулях говорит нам, что над агебраически замкнутым полем все максимальные иделы рацианальны. И Хартсхорн довольно активно пользуется разной коммутативной алгеброй и в том числе теоремой Гильберта о нулях. И тогда я понял, что то что деалет Норкотт — это то, что Эрик Вайнштейн называл словом «технический долг». Потому что в первой часть своей книги он почти не пользуется коммутативной алгеброй. Все само вылазит из определений. И Эрик Вайнштейну нужн учиться и учиться у Норскотта брать технический долг, зашивая его в свои определения. Потому что если следовать пути Норскотта, то вся сложная коммутативная аогебра будет на стороне того, кто захочет применить его алгебраическую геометрию к конкретному полю. И ему придется выяснять, как у него в поле устроены рациональные идеалы, если оно алгебраически не замкнуто.

О чем собственно алгебраическая геометрия? На уровне этой книги — это изучение аффинных алгебраических множеств. Для Норскотта все такие множества — это частный случай того, что он называет алгебрами функций (вычислиямых в поле), структуры состоящей из множества точек, и кольца вычисляемых на нем функций. Когда для такой структуры выполняется рад хороших свойств (конечно-поражленность, не избыточность) — она называется аффинным алгебраическим множеством. Грубо говоря, эти множества хороши тем, что на них можно залать связность Галуа между множествами точек и множествами функций. Замкнутыми объектами на стороне функций будут радикальные идеалы, а на стороне точек собственно замкнутые множества в топологии Зариского. То есть между ними будет биекция. О топологии Зариского полезно думать с вычислительной точки зрения, о чем я писал пару математических постов назад. Множество открыто или замкнуто если принадлежность к нему данной можно проверить вычислением конечного числа полиномов. Алгебра функций алгебраического множества называется координатным кольцом. Все свойства и отношения алгебраического множества сводятся к свойсттвам их координатных колец. Поэтому категория аффинных алгебраических множеств эквивалентна обратной к подкатегории алгебр, категории аффинных алгебр. Так там определены морфизмы.

Мне это определение очень напонмнило то как Викерс в своей книжке определял топологическую систему. Для Викерса топологическое пространство или локаль — это хорошо сбалансированная топологическая система. Я подумал, что можно было бы определить геометрическую систему, если добавит к топологической системе координатное кольцо. Формальное Координатное кольцо — это просто ассоциативное кольцо, наверное с единицей, и еще две функции. Первая функция отображает каждую формальную точку в идеал "зануляющихся функций" на точке (скорее всего двусторонний, но не обязательно максимальный). А также функцию, которая сопоставляет каждому элементу кольца формальное открытое ко-нулевое (сozero open). В такой геометрической системе должно существовать усовие разделение нулей и конулей, что типа если точка зануляет элемент кольца, то она не может быть моделью его ко-нулевого открытого. Но это условие можно сделать более нестрогим чем для настоящих алгебр функций! То есть можно представить, что функция в точки либо зануляется, либо не зануляется, либо принимает бесконечно-малое значение и тогда проверить ноль она или не ноль не возможно за конечное вычислительное время. Также в этой конструкции можно не требовать от кольца коммутативности или какой-то определенной вычислимости со значением в поле. Поэтому эту конструкцию можно использовать в некоммутотивной гометрии. Также жизнь учит брать не просто кольцо, а пучок колец на локали формальных открытых. Тогда глобальное сечение этого пучка будет координатным кольцом в традиционном смысле. А дальше как использовать свойства этого координатного пучка как пучка должно зависить от контекста. В такое определение укладывается почти вся геометрия: алгебраическая, дифференциальная и не-коммутативная. Нужно только правильно формулировать свойства координатного пучка.

Но вернемся к элементарной алгебраической геометрии. Из требования конечной поражденности вытекает нетеровость координатного кольцо (теорема Гильберта о базисе). А из нетеровости вытекает то, что любое аффинное алгебраическое множество состоит из конечного числа неприводимых замкнутых множеств. Неприводимым замкнутым множеством называется такое, которое нельзя представить в форме нетривиального объединения двух других. А закнутые множества — это ровным счетом подъобекты в соответствующей категории. То есть любое «многообразие« разбивается на конечное число максимальных « неприводимых многообразий». Оказывается, что неприводимые замкнутые множества соответствует простым идеалам координатного кольца. То есть если очень грубо говорит простые идеалы — это настояшие геометрические примитивы. Интересно эту идею применить к кольцам, которые не являются аффинными алгебрами. Более того, оказывается что «многообразие» неприводимо, если его координатная алгебра является целостным кольцом. Это позволяет для таких неприводимых конструкций построить поле рациональных функций. Потом, грубо говоря, посчитав число переменных в этом поле над исходным можно определить размерность «многообразия». Также Норскотт уделяет внимание расширению полей Интересно, что у каждого такого аффинного многообразие есть «продолжение» в любое расширение исходного поля, не важно алгебраическое или нет. И исходное пространство в это продолжение плотно вкладывается, и у продолжения та же размерность, но над новым полем. То есть получается, что действительные числа плотны в комплексных, если их расматривать с топологией Зариского.

Все эти результаты выше получаются почти бесплатно из определений. Определенные сложности начинаются в конце третей главы, котгда Норскотт доказывает факты из теории размерности, связанные с эпиморфизмами. Тут уже не получается запихнуть весь технический долг в определения. И приходится действовать более грубо, а именно ссылаться на факты из других книг о коммутативной алгебре. В первую очередь это теорема Нетер о нормализации и другие смежные факты. Это не очень сложная теорема, но я решил, что это хороший повод прерваться c этой и пойти почитать что-нибудь по коммутивной алгебре.

Но перед тем как закончить этот пост. Я хотел бы дать предварительный ответ на свой вопрос про спектр Зарисского. То есть мне понятно, что точки в спектре Зарисского это в определенном смысле формальные точки, делающие эту топологическую систему локалической, то есть булево-значные функционалы в категории локалей. И потом оказывается что они соответствуют простым идеалам. Но я не уверен, что этот ответ удовлетворительный, потому что это не объясняет, почему формальные точки соостветствуют геометрическим примитивам.