Пес Ебленский [entries|archive|friends|userinfo] rex_weblen [ website | Наши рисуночки ] [ userinfo | ljr userinfo ] [ archive | journal archive ]

Links [ Links: | update journal edit friends fif tiphareth recent comments ]

Апостериорная Аналитика Аристотеля альфа 6: как начать доказательство? [Jul. 30th, 2020|10:38 am] [Tags | aristotle, epistemology, logic, marginalia, organon, philosophy, proof theory, second analytics ] [ Current Mood | calm ] [ Current Music | Rainfall Years - 33rd of March ] Тут всем начинающим математикам дают бесценные советы о том, как начинать доказывать теоремы вида "для всех $A$, таких что $B$, верно $C$" или формально $\forall A \; . \; B \Rightarrow C$. Сами эти советы основаны на разработанной Аристотелем теории силлогизмов. О ней я предпочел не рассказывать, так как счел ее бесполезной. Поэтому не буду концентрироваться на деталях, а постараюсь своими словами изложить суть дела. Для начала необходимо определиться с тем, каким априорным знанием будем пользоваться при доказательстве теоремы. А именно с предпосылками, аксиомами и набором уже известных фактов, которые можно было бы уже использовать в доказательстве. Причем, 'уже известный' значит не широко-известный или известный кому-то, а значит те, для которых сами знаем доказательства (причем построенные на одних и тех же аксиомах). Только факты, снабженные формальным доказательством, можно считать научным знанием. А кто этому правилу не следует, тот софист, а еще Сократ завещал всех софистов кормить говном. Аристотель также верно замечает, что если из какого-то факт вытекают верные выводы, то это еще не делает его верным. Что же касается аксиом и предпосылок, то они не должны быть доказаны или даже истины. Но в процессе доказательства их необходимо предполагать истинными. Однако в конце нашего доказательство то, что делались предположения, необходимо учесть в форме самой теоремы. То есть, для примера в первом абзаце получим логическую форму $$\mathcal{A}, a : A, B(a) \vdash C(a) ;$$ где $\mathcal{A}$ пусть обозначает множество аксиом, а $a : A, B(a)$ — наши предпосылки. От себя добавлю, что во время доказательства можно делать сколько угодно предположений, чего древние силлогисты не понимали. Это довольно удобно и так можно строить вспомогательные импликации, универсальные утверждения и даже определять новые функции. Все зависит от того, как заканчивается логический вывод после предположения. Однако, нужно всегда помнить, что делая какое-то предположение мы строим сложную логическую формы, а не доказываем вывод напрямую. Например, если мы предположим, что человек Ваня родился 1000 лет назад, то мы можем сделать вывод, что Ваня уже умер, так как люди столько не живут. Так вот, тут мы построили соответствующую импликацию (Вани больше 1000 лет $\Rightarrow$ Ваня умер), а не доказали, что Ваня умер. Но это и так должно быть очевидно и понятно. Также Аристотель определенно говорит, хотя и очень коряво, что доказательство универсального утверждения это функция, которая сопоставляет каждому конкретному представителю $a$ и конкретному доказательству $B(a)$ какое-то доказательство конкретного факта $C(a)$. Поэтому к написанию доказательств можно подходить также как к написанию программ или алгоритмов. Link 28 comments|Leave a comment

Апостериорная Аналитика Аристотеля альфа 5: ошибки возникающие при доказательстве теорем [Jul. 29th, 2020|10:45 am] [Tags | aristotle, epistemology, logic, marginalia, organon, philosophy, proof theory, second analytics ] [ Current Mood | infuriated ] Тут рассматриваются распространенные ошибки при доказательстве универсального. То есть при локазательстве теорем вмде "Для всех ... таких что ... , верно что ...". Так вот, эти ошибки как правило сводятся к тому, что люди доказывают такую теорему для какого-то одного конкретного представителя, или для подмножества с каким-то понятным простым свойстам, а думают, что доказали для всего класса. Вот от таких ошибок предостеригает нас Аристотель. Link 24 comments|Leave a comment

Апостериорная Аналитика Аристотеля альфа 4: универсальность, функции и предикаты [Jul. 28th, 2020|09:56 am] [Tags | aristotle, epistemology, logic, marginalia, organon, philosophy, proof theory, second analytics ] [ Current Mood | depressed ] [ Current Music | Rainfall Years - 33rd of March ] Тут Аристотель водит несколько понятий. Сначала он пишет об универсальном, то есть по нашему об утверждениях с универсальным квантором. Формально их можно определить через правило вывода $$ \forall A \; . \; P, a : A \vdash P(a) $$ Затем Аристотель разделяет два вида свойств. Свойства, которые называют свойствами 'самими по себе' отличаются тем, что они определенны для всех объектов определенного рода. То есть это необходимые свойства. Например, число простых делителей у натурального числа, или кривизна гладкой дуги. Поэтому, я прихожу к выводу, что эти свойства являются не чем иным, как функциями в привычном математическом понимании. Для вас напишу правило вывода $$f : A \to B, a : A \vdash f(a) : B $$ Наконец, есть еще необязательные атрибуты, называемые 'привходящими' , которые логически устроены по другому. Например, белый или образованный. Если задуматься, то эти атрибуты являются не чем иным, как уже известным нам предикатами или просто подмножествами. Заметим, что все подобные предикаты можно представить как отображения в множество из двух элементов. Эти элементы должны обозначать значения истинности, а значение функции будет говорить о том, обладает ли объект атрибутом или нет. Вот так я представляю себе правило вывода: $$P : A \to \{\top,\bot \}, P(a) \vdash a : A $$ Замечательно, что для описания абстрактной науки Аристотель использует те же элементы, что и мы сегодня. А именно множества и функции. Link 15 comments|Leave a comment

Апостериорная Аналитика Аристотеля альфа 3: две ошибочные позиции [Jul. 27th, 2020|10:34 am] [Tags | aristotle, epistemology, logic, marginalia, organon, philosophy, second analytics ] [ Current Mood | bitchy ] [ Current Music | Rainfall Years - 33rd of March ] Тут Аристотель опровергает два сомнительных утверждения. Первое заключается в том, что ничего формально доказать нельзя. А второе в том, что доказать можно все, что угодно. Первое утверждение основывается на том, что для построения доказательства требуется сначала выстроить бесконечную цепь доказательств предпосылок. Аристотель преодолевает эту проблему с помощью концепции оснований или первых принципов. Второй же результат выводиться из круговых доказательств. Действительно, если мы всегда имеем предпосылку, что $A$ верно, то $A$ тривиально верно. Однако, Аристотель запрещает использовать в формальном доказательстве такой прием, и требует уважать порядок логического вывода. Link 22 comments|Leave a comment

Апостериорная Аналитика Аристотеля альфа 2: научное знание и формальное доказательство [Jul. 26th, 2020|11:51 am] [Tags | aristotle, epistemology, logic, marginalia, organon, philosophy, proof theory, second analytics ] [ Current Mood | aggravated ] [ Current Music | The Rainfall Years - 33rd Of March ] Как и Платон с Сократом Аристотель разделяет знание (epistema) и мнение (doxa). Однако, согласно Аристотелю возможны разные рода знания. И в этом трактате речь пойдет только о научном знание. Научное знание определяется наличием формального доказательства, устроенного как логический дедуктивный вывод из предпосылок. Далее в этой главе разъясняется то, какими свойствами должно обладать настоящие формальное доказательство. Понятно, что его предпосылки должны быть истинны. Сами предпосылки Аристотель разделяет на аксиомы и предположения. Различие аксиом и предположений, на мой взгляд, довольно надумано, и заключается только в том, что аксиомы обычно заметают под ковер, а предположения озвучивают явно в формулировках теорем. Также ,по всей видимости, нужно добавить, что в доказательствах можно использовать ранее доказанные факты с учетом общности аксиом. Аристотель это явно не говорит, но и явно это не отрицает. Такие доказательства называются доказательствами из первых принципов. Понятно, что если удалось доказать два противоречащих друг-другу утверждения, то это значит, что какая-то из предпосылок ложна. Заранее заметим, что так как формальное доказательство основывается на дедуктивном выводе, то все естественные и социальные науки в современном их понимание, для Аристотеля не науки. То есть, например, современная физика для Аристотеля не наука, а какая-то фигня, именно потому что оперирует экспериментальными данными, а не доказывает все из первых принципов. Давайте для избежания путаницы называть научные в аристотелевском смысле дисциплины абстрактной наукой. К абстрактным наукам я бы отнес математику, логику, философию, формальную лингвистику и теоретические компьютерные науки. Link 7 comments|Leave a comment

Апостериорная Аналитика Аристотеля альфа 1: парадокс Менона [Jul. 25th, 2020|02:29 pm] [Tags | aristotle, epistemology, logic, marginalia, organon, philosophy, second analytics ] [ Current Mood | enraged ] [ Current Music | Drab Majesty - Demonstration ] Начинаем чтение Второй или Апостериорной Аналитики Аристотеля. Как мне кажется речь тут будет идти об общей теории доказательств и эпистемологии формальной науки. А значит от меня будет меньше скучных формул, формальной логики и больше интересной философии. Этот трактат, начинается с того, что вся человеческая познавательная деятельность основана на некоторых априорных знаниях. Познавательная деятельность эта делится на дедукцию и индукцию. Дедукция это движение от общего к частному, основанное на применение силлогизмов,то есть правил логического вывода. Для дедуктивного познания априорными основами могут служить аксиомы, определения, или предпосылки теорем, а также то, что уже формально было доказано. А индукция это движение от частного к общему. Она связана с эмпирическим познанием мира и не сводится к формальным логическим доказательствам. Проблема индукции довольно сложна для философии, Дэвид Юм даже доказывал ее (индукции) невозможность. Однако, если все же предположить возможность индуктивного познания, априорными его основами будут выступать взгляды и предубеждения людей. Например, если Вы встречаете делегацию из неизвестной Вам страны, состоящую из трех чернокожих девушек, то Вы скорее сделаете вывод о том, что все население этой страны чернокожее, чем то, что все население этой страны молодое или состоит только из женщин. Существует определенная проблема, касающаяся того какое знание считать априорным. Чтобы раскрыть это, Аристотель вспоминает парадокс 'Менона'. В этом диалоге Сократ учит мальчика-раба (для ебли) простой геометрической теореме, а потом говорит о том, что это просто 'припоминание'. И конечно такое объяснение не удовлетворительно, ведь из него следует, что все приобретаемое путем дедукции знание уже доступно людям, а значит, ничего нового и не приобретается. Альтернативой этому будет то, что мальчик для ебли, как это обычно и бывает в школе, ничего не понял и просто обманул Сократа. В любом случае, никакого знания путем дедукции не приобретается. В обоснования концепции припоминания важным является то, что люди как-бы узнают правду во время доказательства, в том же смысле как они узнают лица знакомых. Однако все это основано на ложном предположение о том, что ощущение узнавание должно быть основано на априорном знание. Это ощущение узнавание связано лишь с тем, что наблюдаемый дедуктивный вывод соответствует нашим априорным знаниям. Кто-то из тех, кого принято слушать, сказал, что математика не находит новые знания, а только переписывает уже известное в эквивалентной форме. Но тут и у Аристотеля находится контр-аргумент. Ведь знание теоремы не тождественно знанию всех результатов ее применения, хотя с точки зрения чистой логики должно быть именно так. Например, если я знаю теорему, что непрерывная функция на компакте ограничено, а передо мной написали какую-то формулу функции с какой-то компактной областью определения, то я возможно не сразу пойму, что она ограничена, хотя все необходимые ингредиенты для этого умозаключения у меня уже есть. Отсюда можно сделать вывод о нетривиальность любого дедуктивного, и в том числе математического познания. Видимо потому что расположение силлогизмов во времени нетривиально отражается на процессе познания. А главное тут то, что знание не тождественно распределению истинности в логики. Хотя, что такое знание вообще не совсем понятно. Говоря более пространно, то что я знаю аксиомы теории множеств и все определения, не значит, что я знаю доказательство теоремы Торелли, хотя оно в принципе из них выводится. А значит, с точки зрения логики, второе знание должно следовать из первого. И тут я утверждаю, что само построение доказательства это нетривиальный познавательный процесс. Хотя Аристотель сам не вполне разделяет вышеприведенную позицию о не-тождественности из-за рваных остатков верности своему учителю, Платону. Я сам скорее принимаю ее (не-тождественность) как верную для себя, а теорию припоминая Платона считаю ложной и несостоятельной. Link 5 comments|Leave a comment

navigation [ viewing | 20 entries back ] [ go | later ]