Пес Ебленский [entries|archive|friends|userinfo] rex_weblen [ website | Наши рисуночки ] [ userinfo | ljr userinfo ] [ archive | journal archive ]

Links [ Links: | update journal edit friends fif tiphareth recent comments ]

Органон Аристотеля [Aug. 22nd, 2020|01:48 pm] [Tags | aristotle, epistemology, logic, overview, philosophy, proof theory ] [ Current Mood | tired ] [ Current Music | Как изменить череп, не выходя из квартиры? ] Мы закончили читать Органон Аристотеля. Мы более менее полноценно разобрали Категории и Герменевтику, однако только поверхностно ознакомились с топикой и аналитикой, а софистические опровержения я вообще пропустил. Поэтому оригинальный курс Аристотелевской логики усвоен где-то на треть. Вообще, слово Органон значит 'набор инструментов'. По аналогии со словами 'орган', инструмент, или 'органелла', инструментик. Сам Аристотель, его конечно так не называл, и этот сборник был составлен латинскими монахами, как первый учебник Логики. Само название говорит, о служебном положении логики по отношению к другим наукам. C другой стороны, эти самые схоласты эту логику очень любили и сделали основой своего образования. Давайте теперь разберемся, что мы узнали об этой Логики. В категориях речь идет скорее не о самой логики, а об онтологическом статусе логических объектов. Тут пропагандируется, так любимая Аристотелем идея разбивать все на рода и классы. Довольно интересна идея субстанции, то есть первичных вещей (stuff). Очень мне понравился тут взгляд на математику, объекты которой не считаются субстанцией. Говорят, что этот взгляд на математику называется физическим фикционализмом. То есть идея в том, что математика это вымысел, объясняющий непосредственный физический опыт человека. Эту тему хорошо было бы разобрать поподробней. В трактате 'Об истолкование' изучается структура логических высказываний. От сюда я вывел формулу, Логика = синтаксис + истинность. То есть синтаксис это структура коалгебры, а истинность это структура булевой алгебры. Когда все это вместе комбинируется, то получается логика. Потом идут два трактата Аналитики. Первую часть про так любимую схоластами силлогистику, я пропустил. А далее идут, на мой взгляд идут довольно важные рассуждения,о научном доказательстве и доказательной науки. Тут интересно, что п о всей видимости, позиция Аристотеля схожа с позицией Канта. Так как Аристотель говорит о необходимости априорного познания. За это познание тут отвечает Нус, или интуицию. В общем, взгляды Аристотеля похожи на шотландский здравый смысл. Интересно, приведут ли эти взгляды Аристотеля тем же консервативным выводам, что и шотландских протестантов? (Да.) Дальше идет Топика, где речь идет об менее формальном типе науки, где за основу познания берется человеческое мнение. Однако после первой книги начинается просто мешок трюков для введения научной дискуссии. И все эти трюки я не разбирал конечно. Вместо заключения напишу, что вся здешняя терминология: категории, морфизмы, функторы и топосы; вся это номенклатура была эксгумирована разработчиками современной теории. Но никакой практической связи между этими понятиями нет. Просто умные люди взяли для своей науки звучные слова из уважаемой, но мертвой наук. Тем более, мальчики из хороших гимназий в те времена, все еще эту хуиту учили. Link 2 comments|Leave a comment

Аналитика Аристотеля: От логического вывода до естественных наук [Aug. 19th, 2020|11:09 am] [Tags | aristotle, epistemology, first analytics, logic, organon, overview, philosophy, proof theory, science, second analytics ] [ Current Mood | anxious ] [ Current Music | Без вычислительной математики не было бы современной цивилизации ] Мы закончили читать Аналитику Аристотеля. Эта работа состоит из двух частей, первой или априорной аналитики, и второй или апостериорной аналитики. Первую аналитику я не читал и не разбирал, потому что там довольно подробно разбирается логический вывод в представлении Аристотеля, а именно силлогистики. Так как вас раздражает излишняя математизация философии, этим разделом я решил пренебречь, так как там больше рассуждать не о чем. К примеру, даже в примечаниях в советском издание написаны такие вещи, что "А. Л Субботин [1965] квалифицирует аристотелевсую силлогистику как пример нижней полуструктуры с нулем в смысле современной алгебры", и "П. Лоренцен (1957) показал, что аристотелевская силлогистика может быть истолкована как теория матрицы в полугруппе умножения функторов". И разбираться пришлось бы именно с этими проблемами, а мучить вас ими я не хочу. Но если Вам интересно, то ссылки я вам дал. Потом, конечно, спрашивается, как этой силлогистикой пользоваться? Отсюда возникает теория формального доказательства и теория абстрактной науки, которая этими доказательствами пользуется. И эта теория вполне актуальна и современна и по сей день. С другой стороны, непонятно как применить эти подходы для решения задач естествознания. Для этих целей Аристотель разрабатывает теорию природы вещей и формальных причин или кауз. На мой взгляд именно любовь к этой теории ответственна за провалы естественной науки во времена Рима и средневековья. Ведь если рассуждать о финальной каузы, то получается, что Бог создал все вещи, чтобы решать определенные проблемы людей самым удобным и возможным образом. А как с таким взглядом на мир расщеплять атом? Возможно, из-за пропуска первой части, чтения второй аналитики как-раз вызвало наибольшие проблемы в понимании. Наибольшую проблему вызвало понятия Нуса. По всей видимости, Нус это форма познания, противопоставляемая episteme (то есть познанию с помощью доказательств). И заключается это познание в мгновенном интуитивном познании истинны, возможно под влиянием некоего внешнего опыта. Я по прежнему придерживаюсь взгляда на геометрическую природу логики Аристотеля (что это значит я уже объяснял). Однако я ошибся в понимании слова 'уплотнение' или 'утолщение', а именно, я думал, что тут имеется ввиду уплотнение на протяженности всего отрезка, подобное заполнения отрезка [0,1] действительных чисел диадическими рациональными, что привело меня к совершенно мистическому пониманию Нуса как континуума. Однако, в действительности это 'уплотнение' правильней понимать как сжатие как в смысле сходимости последовательности $\frac{1}{n}$ к нулю при стремлении $n$ к бесконечности. Поэтому Нус это все-таки единичный факт без доказательства, а не континуум, в этом я с вами согласен. Кстати, о полугруппах функторов. С категориями у Аристотеля мы уже с вами сталкивались. А дальше речь пойдет о топосах, хорошо известных любителям категорного анализа логики. И я приглашаю всех ко мне присоединиться. Link 28 comments|Leave a comment

Альфа Апостериорной Аналитики Аристотеля: теория формального знания [Aug. 7th, 2020|01:24 pm] [Tags | aristotle, epistemology, hegel, kant, logic, organon, overview, philosophy, proof theory, second analytics ] [ Current Mood | accomplished ] Мы закончили читать альфу второй аналитики, то есть первый том. А второй том будет называться бетой. Однако давайте вначале разберемся в том, что мы тут узнали. При чтении я пропускал все детали силлогистики Аристотеля. Поэтому погружение получилось не таким глубоким как при чтении Категорий и Герменевтики. Для начала нужно сказать, что тут Аристотель описывает процесс познания только касательно того, что я называю абстрактными науками. Сюда я отношу математику, логику, теоретическую информатику, лингвистику и философию. Познание в этих науках протекает путем доказательства теорем. А сами знание представляют из себя утверждения снабженные доказательствами. Понятно, что доказательства требуют предпосылок. И отсюда возникает проблема начал. Так как, разные вещи могут быть доказаны из разных предпосылок, то знания полученные из меньшего числа оных называются более точными. С таким взглядом на структуру абстрактных наук я полностью согласен. Более того, очень радует, что Стагирит использует по сути те же функции и множества для описания содержания этих наук, что и мы. Определенные вопросы вызывает роль эмпирического в этом формальном индуктивном познании. С одной стороны Аристотель пишет, что даже формальное дедуктивное познание невозможно без этого самого эмпирического опыта. А с другой стороны его явно не достаточно для познания. Поэтому, тут с уверенностью можно сказать только, что Стагирит не был ни рационалистом, ни сенсуалистом. Вот интересная статья по теме: https://plato.stanford.edu/entries/empiricism-ancient-medieval/#ArisEmpi Наибольшее удивление у меня вызвала концепция Нуса как единицы познания. В тексте эта единица конструируется путем уплотнения и замыкания цепочки импликаций. Чтобы понять основания этой безумной идеи нужно вспомнить про то, о чем я не писал, а именно, что мышления Аристотеля как и любого Эллина глубоко геометрично. такова же и его логика. Поэтому все цепочки родо-видовых понятий движутся вниз или вверх. А высказывания представляются с расстоянием между друг-дружкой, и могут сходиться куда-то в процессе размышления (хотя это расстояние никогда не определяется, и никогда тем более не вычисляется). Так получается единица познания, по всей видимости, представляющая кристально чистое трансцендентальное осознание некоторого факта. Кстати, о трансцендентальном. Все таки из математики следует, что этот Нус есть множество, и большее его содержание это не осмысленные высказывания, а нечто непонятное, соответствующее иррациональным числам (назовем пока это дело немыслимыми). И так как непонятна алгебраическая структура Нуса, и какое немыслемое соответствует алгебраическим числам, а какое трансцендентным, то можно назвать все немыслемое трансцендентным. Отсюда, понятно откуда Кант взял свое представление о трансцендентальном. А Гегель свои странные диалектические операции с сжатиями и раздутиями. Все это меня наталкивает на мысль, что вся модернистская академическая философия лишь дурной пересказ античных классиков. Так как мои тутошние интеллектуальные поллюции являются тем же самым, то и я не хуже, а может быть и лучше Канта и Гегеля. Link 49 comments|Leave a comment

Апостериорная Аналитика Аристотеля альфа 32-34: мнение не знание [Aug. 6th, 2020|02:36 pm] [Tags | aristotle, epistemology, logic, marginalia, organon, philosophy, proof theory, second analytics ] [ Current Mood | predatory ] [ Current Music | Groundhogs - Blues Obituary ] В 32 главе обсуждаются аксиомы разных наук. Понятно, что аксиомы разных наук должны отличаться, иначе все бы науки были бы эквивалентны. Понятно, что они должны быть непротиворечивыми. Однако бывают общие аксиомы для всех наук, вроде аксиом логики. Потом Аристотель говорит интересную вещь, что если можно вывести бесконечное число логических конструкций, то потенциально существует и бесконечное число аксиом. На первый взгляд, кажется, что тут Стагирит противоречит сказанному ранее. Но на самом деле, это утверждение тривиально, так любые утверждения могут потенциально быть аксиомами. И именно на это тут обращается внимание. В 33 главе приводится важная дистинкция между знанием и мнение. Мнение, это высказывание, которое может оказаться и истинным и ложным. То есть в отличие от знания мнение должно быть не снабжено доказательством. Однако, по всей видимости, чтобы иметь вес мнение все же должно быть снабжено определенной риторической аргументацией. В отличие от Платона, Стагирит не проклинает мнение как что-то недостойное философа. Интересно, что работа с мнением для Аристотеля, такая же равноценная часть познания как и работа с формальным знанием. В последней главе Аристотель дает определение сообразительности. Сообразительность — это не когда знаешь, у кого занять денег, а когда понимаешь что кто-то разговаривает с кем-то, чтобы занять деньги (шутка). Короче, сообразительность это способность находить верные объяснения. Link 40 comments|Leave a comment

Апостериорная Аналитика Аристотеля альфа 29-31: еще свойства доказательств [Aug. 5th, 2020|01:06 pm] [Tags | aristotle, epistemology, logic, marginalia, organon, philosophy, proof theory, second analytics ] [ Current Mood | annoyed ] [ Current Music | Оказывается, у всех есть сиамский близнец! ] Аристотель утверждает, что одну и ту же вещь можно доказывать разными способами. Тут можно добавить только то, что тут имеется ввиду не только тривиальное добавление ненужных шагов или перестановка эквивалентных, но и доказательства использующие принципиально разные аргументы. Тут ставится комбинаторная задача о том сколькими способами можно доказать одно и то же утверждение одними одними и теми же аргументами в рамках силлогистики. Затем Аристотель пишет, что никакой науки о случайном быть не может. Этим он отрицает саму возможность создания теории вероятностей, которой, действительно, в его время не было. Однако, в защиту Аристотеля можно сказать, теория вероятностей изучает не случайное, а распределения вероятностей. Потом Стагирит Заявляет, что эмпирического восприятия недостаточно для познания. И действительно, универсальное нельзя доказать, используя только эмпирическое. Вначале кажется что Аристотель признает парадокс Юма, о том что индуктивное познание не возможно. Но потом он постулирует, что из ряда наблюдений возникает представление об общем, а значит он противоречит Юму. Однако, не совсем понятно как такой познание происходит. Но если вспомнить, что Юм писал свой трактат для того, чтобы высмеивать рационалистов. То отсюда можно только сделать вывод, что Аристотель не рационалист. А ведь именно знание теории вероятностей, которую Стагирит отрицает, могла бы решить проблему познание. Тут я говорю о баесовской вероятности как базисе индуктивной логики. Link 86 comments|Leave a comment

Апостериорная Аналитика Аристотеля альфа 25-28: Какое доказательство лучше [Aug. 4th, 2020|11:07 am] [Tags | aristotle, epistemology, logic, marginalia, organon, philosophy, proof theory, second analytics ] [ Current Mood | predatory ] Тут Стагирит задается вопросом: какие доказательства лучше? Доказательство универсального лучше доказательства частного. доказательство утверждение лучше доказательства отрицания. И прямое доказательство лучше доказательства от обратного. Все это тут поясняется. В 28 главе вводится очень интересное понятие точности. Одно истинное суждение может быть более точным, если оно опирается на меньшее число аксиом чем другое. Так, например, математика точнее физики. А арифметика точнее геометрии. Это очень интересная теория, и на мой взгляд ее нужно развивать. Link 17 comments|Leave a comment

Апостериорная Аналитика Аристотеля альфа 19-23: количественные свойства доказательств [Aug. 3rd, 2020|11:43 am] [Tags | aristotle, epistemology, logic, marginalia, organon, philosophy, proof theory, second analytics ] [ Current Mood | predatory ] Аристотель задается вопросом, может ли аксиоматика содержать бесконечное число высказываний, а доказательство — бесконечное число шагов вывода. Ответ на этот вопрос конечно же отрицательный. Так как подобное бесконечное множество не может быть усвоено умом человека, то и существовать оно не должно. И эта позиция вполне оправдана, ведь логика есть отражение человеческого ума. Тут необходимо разъяснить вопрос касательно математической индукции. Некоторым может показаться, что тут происходит итерирование бесконечного числа шагов вывода. Но на самом деле она состоит из двух операций и аксиомы. Поэтому это конечная дедукция, а вовсе не бесконечная индукция. Однако в конце концов Аристотель использует бесконечность интересным топологическим образом. Рассмотрим импликацию $A \Rightarrow B$. Если хорошо знаем предмет импликации, то можно найти объяснение через средний термин $C$: $A \Rightarrow C \Rightarrow B$. И так далее, добавляя средние термины до бесконечности, получим некую плотную логическую среду с концами $A$ и $B$ (видимо тут используется топология порядка задаваемая импликациями). Затем возьмем пополнение этого отрезка, отождествив утверждения с рациональными числами, и получим нечто вроде логического континуума. Так как результат непрерывен, по аналогии с единичным интервалом Аристотель называет его единицей познания или Нусом (Nous). По всей видимости, Нус это абсолютное интуитивное знание касательно конкретного вопроса. Также, сам Нус по аналогии с единицей измерения веса сам является единицей измерения знания или информации. Возможно, если бы вычислительная техника появилась во времена Аристотеля, то мы бы измеряли объем памяти в гиганусах (гиг-анусах, да). Пока это понятие, Нус, для меня самое сложное и мистическое в Аристотеле. Link 20 comments|Leave a comment

Апостериорная Аналитика Аристотеля альфа 18: необходимость эмпирического [Aug. 2nd, 2020|01:51 pm] [Tags | aristotle, epistemology, logic, marginalia, organon, philosophy, proof theory, second analytics ] [ Current Mood | predatory ] [ Current Music | В Гостях АНОНИМУС. Западная УКРАИНА. Религиозный Вопрос. Anonymus ( Yaldabogov ) ] Аристотель постулирует, что без чувственного и эмпирического опыта познание невозможно. Это обосновывается так, что познание cингулярного требует этого самого эмпирического опыта. Проблемы Юма тут не возникает, так как ситуация единична. А для познания универсального требуется дедукция и формальное доказательство. Однако, Аристотель заявляет, без эмпирического знания отдельных представителей сама идея этого универсального возникнуть не может. Поэтому без первого эмпирического никакого знания возникнуть не может. Тут я могу заметить, что само понятие сингулярного проблематично. Так как тождественность предмета самому себе в разные моменты времени, а также тождественность эмпирического опыта полученного об одном объекте даже в один промежуток времени у разных субъектов. Поэтому проблема Юма тут на самом деле не решается. Но можно, встав на сторону Аристотеля, сказать, что хотя никакого индуктивного познания при эмпирическом восприятии не происходит, однако при этом происходит приобретение 'идей', как раз таки инвариантных по времени и свободных от субъективных особенностей восприятия. И уже из анализа этих 'идей' происходит привычное нам дедуктивное познание. В итоге отсюда вытекает взгляд на математику как на эмпирическую науку. В целом все это довольно стандартно для философии нового времени, и такие взгляды озвучивались, например, Кантом. В целом этот подход был разрушен после работ Гильберта по формализации геометрии и создании аксиом Пеано. Так арифметика и геометрия сала чем-то построенным на логике и теории множеств. Интересно, можно ли считать взгляды Арнольда регрессией к модернистскому пониманию математики как чего-то эмпирического? Link 22 comments|Leave a comment

Апостериорная Аналитика Аристотеля альфа 10-12: определения и аксиомы [Aug. 1st, 2020|01:30 pm] [Tags | aristotle, epistemology, logic, marginalia, organon, philosophy, proof theory, second analytics ] [ Current Mood | predatory ] По Аристотелю априорная составляющая любой формальной науки должен состоять из трех компонентов. Во первых должно постулироваться существование объектов этой теории. По всей видимости, это эквивалентно декларированию имен основных типов. Заметьте, что отсюда и берется решение проблемы о существовании математических объектов. Оно просто постулируется математиками, и все. То есть, конечно, можно с этим не соглашаться, но и математикой заниматься тоже будет нельзя. Во вторых, нужно определить их свойства, не требующие доказательств, или аксиом. То есть написать определения. Как я понял, в математике это все аксиоматики вроде ZFC и NBG. Во многих других формальных науках это тоже что-то вроде этого. Так что не разгуляешься. Так что тут для любителей разнообразия остается только логика и философия, где можно и разных оснований выводить разную метафизику. И в третьих должны быть определены атрибуты этих объектов. Но как мы помним, современным языком атрибуты это множества и функции. И сейчас основное богатство теории заключается именно в них. Отсюда, говорит Аристотель следует, что доказательства в формальных науках основываются именно на этих конструкциях, а не на мистических платоновских эйдосах. И в доказательстве важно не действительное существование или реальность предмета, а определение. Дальше начинается какая-то дрысня про силлогизмы, и несколько следующих глав я пропущу. Так как сказать про них особо нечего. Но вот одна мудрая мысль у Аристотеля мне понравилась: геометрию лучше всего обсуждать с геометром, иначе вам расскажут хуиту. Link 18 comments|Leave a comment

Апостериорная Аналитика Аристотеля альфа 7-9: инварианты доказательств [Jul. 31st, 2020|12:26 pm] [Tags | aristotle, epistemology, hegel, logic, marginalia, organon, philosophy, proof theory, second analytics ] [ Current Mood | annoyed ] [ Current Music | Rainfall Years - 33rd of March ] В седьмой главе приводится требование к теоремам о том, что на протяжении доказательств должен сохраняться категории предметов. Арифметическое нельзя доказывать геометрически, а геометрическое арифметически, говорит Аристотель. Видимо если бы он узнал бы о современной арифметической геометрии, то философа хватил бы Кондратий. Но если серьезно, то видимо он имеет виду что-то, вроде того, что если мы доказали основную теорему арифметики, то отсюда не следует, что можно найти простое разложение для действительный или комплексный чисел. Как пример неправильно сформулированной теоремы приводится теорема о том, что 'прямая линия самая красивая'. Видимо, дело тут в том, что категория количества не обладает свойством красоты. С другой стороны, Аристотель заявляет, некоторые науки подчинены другим наукам и их 'методы' главных наук могут быть использованы в подчиненных. Так, например, по Аристотелю геометрическая оптика подчинена геометрии, а гармония (то есть теория музыки) арифметики. В следующей главе приводится требование об инвариантности во времени. То-есть это значит, что никакие свойства доказательства не должны меняться или как-то ссылаться на моменты или промежутки актуального времени. Именно поэтому Диалектика Гегеля не наука в Аристотелевском смысле. И эта самая диалектика не имеет места в математики и вообще в абстрактных науках. В девятой главе, замечается очевидное, что доказательство о вещах определенного рода надо вести исходи из аксиом свойственных именно этому роду. Или проще говоря из определения данного рода (но об определении речь пойдет в следующей главе). Тут Аристотель замечают интересную вещь, что универсальных аксиом, подходящих для всего подряд быть не может. Иначе бы такая наука стала бы самой главной. Однако, не совсем понятно откуда эти аксиомы и определения берутся, и почему они соответствуют реальности. Link 8 comments|Leave a comment

Апостериорная Аналитика Аристотеля альфа 6: как начать доказательство? [Jul. 30th, 2020|10:38 am] [Tags | aristotle, epistemology, logic, marginalia, organon, philosophy, proof theory, second analytics ] [ Current Mood | calm ] [ Current Music | Rainfall Years - 33rd of March ] Тут всем начинающим математикам дают бесценные советы о том, как начинать доказывать теоремы вида "для всех $A$, таких что $B$, верно $C$" или формально $\forall A \; . \; B \Rightarrow C$. Сами эти советы основаны на разработанной Аристотелем теории силлогизмов. О ней я предпочел не рассказывать, так как счел ее бесполезной. Поэтому не буду концентрироваться на деталях, а постараюсь своими словами изложить суть дела. Для начала необходимо определиться с тем, каким априорным знанием будем пользоваться при доказательстве теоремы. А именно с предпосылками, аксиомами и набором уже известных фактов, которые можно было бы уже использовать в доказательстве. Причем, 'уже известный' значит не широко-известный или известный кому-то, а значит те, для которых сами знаем доказательства (причем построенные на одних и тех же аксиомах). Только факты, снабженные формальным доказательством, можно считать научным знанием. А кто этому правилу не следует, тот софист, а еще Сократ завещал всех софистов кормить говном. Аристотель также верно замечает, что если из какого-то факт вытекают верные выводы, то это еще не делает его верным. Что же касается аксиом и предпосылок, то они не должны быть доказаны или даже истины. Но в процессе доказательства их необходимо предполагать истинными. Однако в конце нашего доказательство то, что делались предположения, необходимо учесть в форме самой теоремы. То есть, для примера в первом абзаце получим логическую форму $$\mathcal{A}, a : A, B(a) \vdash C(a) ;$$ где $\mathcal{A}$ пусть обозначает множество аксиом, а $a : A, B(a)$ — наши предпосылки. От себя добавлю, что во время доказательства можно делать сколько угодно предположений, чего древние силлогисты не понимали. Это довольно удобно и так можно строить вспомогательные импликации, универсальные утверждения и даже определять новые функции. Все зависит от того, как заканчивается логический вывод после предположения. Однако, нужно всегда помнить, что делая какое-то предположение мы строим сложную логическую формы, а не доказываем вывод напрямую. Например, если мы предположим, что человек Ваня родился 1000 лет назад, то мы можем сделать вывод, что Ваня уже умер, так как люди столько не живут. Так вот, тут мы построили соответствующую импликацию (Вани больше 1000 лет $\Rightarrow$ Ваня умер), а не доказали, что Ваня умер. Но это и так должно быть очевидно и понятно. Также Аристотель определенно говорит, хотя и очень коряво, что доказательство универсального утверждения это функция, которая сопоставляет каждому конкретному представителю $a$ и конкретному доказательству $B(a)$ какое-то доказательство конкретного факта $C(a)$. Поэтому к написанию доказательств можно подходить также как к написанию программ или алгоритмов. Link 28 comments|Leave a comment

Апостериорная Аналитика Аристотеля альфа 5: ошибки возникающие при доказательстве теорем [Jul. 29th, 2020|10:45 am] [Tags | aristotle, epistemology, logic, marginalia, organon, philosophy, proof theory, second analytics ] [ Current Mood | infuriated ] Тут рассматриваются распространенные ошибки при доказательстве универсального. То есть при локазательстве теорем вмде "Для всех ... таких что ... , верно что ...". Так вот, эти ошибки как правило сводятся к тому, что люди доказывают такую теорему для какого-то одного конкретного представителя, или для подмножества с каким-то понятным простым свойстам, а думают, что доказали для всего класса. Вот от таких ошибок предостеригает нас Аристотель. Link 24 comments|Leave a comment

Апостериорная Аналитика Аристотеля альфа 4: универсальность, функции и предикаты [Jul. 28th, 2020|09:56 am] [Tags | aristotle, epistemology, logic, marginalia, organon, philosophy, proof theory, second analytics ] [ Current Mood | depressed ] [ Current Music | Rainfall Years - 33rd of March ] Тут Аристотель водит несколько понятий. Сначала он пишет об универсальном, то есть по нашему об утверждениях с универсальным квантором. Формально их можно определить через правило вывода $$ \forall A \; . \; P, a : A \vdash P(a) $$ Затем Аристотель разделяет два вида свойств. Свойства, которые называют свойствами 'самими по себе' отличаются тем, что они определенны для всех объектов определенного рода. То есть это необходимые свойства. Например, число простых делителей у натурального числа, или кривизна гладкой дуги. Поэтому, я прихожу к выводу, что эти свойства являются не чем иным, как функциями в привычном математическом понимании. Для вас напишу правило вывода $$f : A \to B, a : A \vdash f(a) : B $$ Наконец, есть еще необязательные атрибуты, называемые 'привходящими' , которые логически устроены по другому. Например, белый или образованный. Если задуматься, то эти атрибуты являются не чем иным, как уже известным нам предикатами или просто подмножествами. Заметим, что все подобные предикаты можно представить как отображения в множество из двух элементов. Эти элементы должны обозначать значения истинности, а значение функции будет говорить о том, обладает ли объект атрибутом или нет. Вот так я представляю себе правило вывода: $$P : A \to \{\top,\bot \}, P(a) \vdash a : A $$ Замечательно, что для описания абстрактной науки Аристотель использует те же элементы, что и мы сегодня. А именно множества и функции. Link 15 comments|Leave a comment

Апостериорная Аналитика Аристотеля альфа 2: научное знание и формальное доказательство [Jul. 26th, 2020|11:51 am] [Tags | aristotle, epistemology, logic, marginalia, organon, philosophy, proof theory, second analytics ] [ Current Mood | aggravated ] [ Current Music | The Rainfall Years - 33rd Of March ] Как и Платон с Сократом Аристотель разделяет знание (epistema) и мнение (doxa). Однако, согласно Аристотелю возможны разные рода знания. И в этом трактате речь пойдет только о научном знание. Научное знание определяется наличием формального доказательства, устроенного как логический дедуктивный вывод из предпосылок. Далее в этой главе разъясняется то, какими свойствами должно обладать настоящие формальное доказательство. Понятно, что его предпосылки должны быть истинны. Сами предпосылки Аристотель разделяет на аксиомы и предположения. Различие аксиом и предположений, на мой взгляд, довольно надумано, и заключается только в том, что аксиомы обычно заметают под ковер, а предположения озвучивают явно в формулировках теорем. Также ,по всей видимости, нужно добавить, что в доказательствах можно использовать ранее доказанные факты с учетом общности аксиом. Аристотель это явно не говорит, но и явно это не отрицает. Такие доказательства называются доказательствами из первых принципов. Понятно, что если удалось доказать два противоречащих друг-другу утверждения, то это значит, что какая-то из предпосылок ложна. Заранее заметим, что так как формальное доказательство основывается на дедуктивном выводе, то все естественные и социальные науки в современном их понимание, для Аристотеля не науки. То есть, например, современная физика для Аристотеля не наука, а какая-то фигня, именно потому что оперирует экспериментальными данными, а не доказывает все из первых принципов. Давайте для избежания путаницы называть научные в аристотелевском смысле дисциплины абстрактной наукой. К абстрактным наукам я бы отнес математику, логику, философию, формальную лингвистику и теоретические компьютерные науки. Link 7 comments|Leave a comment

navigation [ viewing | most recent entries ]