Войти в систему

Home
    - Создать дневник
    - Написать в дневник
       - Подробный режим

LJ.Rossia.org
    - Новости сайта
    - Общие настройки
    - Sitemap
    - Оплата
    - ljr-fif

Редактировать...
    - Настройки
    - Список друзей
    - Дневник
    - Картинки
    - Пароль
    - Вид дневника

Сообщества

Настроить S2

Помощь
    - Забыли пароль?
    - FAQ
    - Тех. поддержка



Пишет Misha Verbitsky ([info]tiphareth)
@ 2016-03-06 15:49:00
Previous Entry  Add to memories!  Tell a Friend!  Next Entry
Настроение: tired
Музыка:Игорь Растеряев - Live in клуб ''Контакт'', Москва, 23.09.2010
Entry tags:math, mccme

метрические пространства, лекция 3
Кстати, выложил новую лекцию по метрическим пространствам
на страницу курса
http://bogomolov-lab.ru/KURSY/METRIC-2016/

Там сейчас 3 лекции, причем контент совершенно не тот,
что в слайдах и на курсе, ибо я для пущего развлекалова
половину текста наполняю изысканиями по истории
математики, поэтому получается медленно, но смешно.
Еще там 3 файла со слайдами и 4 файла с листочками.
Слайды более-менее дублируют содержание лекций, кроме
первой лекции, которую я делал без слайдов, остальное
добро идет параллельно.

Убил кучу времени на изучение биографических
подробностей из жизни Кон-Фоссена, но многое выяснил.

Вот ссылки: лекции [ 1 | 2 | 3 ]
слайды [ [ 2 | 3 | 4 ]
листочки [ 1 | 2 | 3 | 4 ]

Привет


(Читать комментарии) - (Добавить комментарий)


[info]tiphareth
2016-03-06 23:03 (ссылка)
а, ну там вообще непонятно, надо ли править:
это верно, с точностью замены "множества" на "класс"
но если я заменю, читатель не поймет

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]polytheme
2016-03-06 23:10 (ссылка)
а какие действия запрещено с классами делать, кстати ? Вроде когда изучают метрические пространства, там из точек собирают всякие последовательности, открытые шары, эпсилон-сети - из этого всего не сконструируется ли уже всякий парадокс Рассела ?

хотя да, это довольно занудно, наверное.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2016-03-06 23:14 (ссылка)
>а какие действия запрещено с классами делать, кстати ?

https://en.wikipedia.org/wiki/Class_%28set_theory%29
https://en.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann%E2%80%93Bernays%E2%80%93G%C3%B6del_set_theory
кванторы по классам брать нельзя

(Ответить) (Уровень выше)


[info]kaledin
2016-03-06 23:47 (ссылка)
Дело твое конечно, но one is not allowed to make false statements even for the sake of smooth exposition.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2016-03-07 00:35 (ссылка)
а все равно же приходится
скажем, "множество объектов" в категории, строго говоря, не множество
(если это не "малая категория")

но "категория векторных пространств", например, не малая категория

то есть придется каждый раз взывать к теореме об эквивалентности
категории и малой категории, и говорить не "категория векторных
пространств", а "малая категория, эквивалентная
категории векторных пространств", но тут ебануться
можно, и никто так не делает

с "множеством" (классом) всех метрических пространств та же проблема, особенно учитывая,
что в этой науке рассматриваются только континуальные ("сепарабельные")
метрические пространства, и это прямо оговаривается более-менее сразу

заменить во всех нужных местах "множества" на "классы" на самом деле просто
и ничего не изменит, но в литературе давно уже принято считать их синонимами
и оговаривать при необходимости, что конкретно имеется в виду, класс или множество

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]sasha_a
2016-03-07 03:19 (ссылка)
Вроде как все знают, как избегать парадоксов типа Рассела.
Кажется, хватит уже на воду дуть и замусоривать изложение иллюзорной "точностью".
Хотя, может быть я не в курсе, и опасности где-то еще притаились.
Или есть еще какая-нибудь причина, мне неизвестная.
(Всего все равно не оговорить ...)

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2016-03-07 03:24 (ссылка)
Еще как притаились: вот именно когда начинаются универсальные конструкции, оно и лезет. Т.е. если позволить себе "категорию всех категорий", или хотя бы категорию, в которой есть пределы по диаграммам размером с множество ее объектов, парадоксы полезут более-менее сразу. С множеством все метрических пространств, я подозреваю, ситуация ровно та же. Оно кстати свой элемент или нет?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]polytheme
2016-03-07 03:30 (ссылка)
нет, не свой, у нее диаметр неограничен. но вот насчет всех её подпространств я бы уже не зарекался, что они не свои элементы

(Ответить) (Уровень выше)


[info]polytheme
2016-03-07 03:35 (ссылка)
пардон, не её, а его

(Ответить) (Уровень выше)


[info]sasha_a
2016-03-07 03:38 (ссылка)
когда начинаются универсальные конструкции
Это разумеется. Но это сразу видно из контекста.
(Я погорячился, надо было оговорить понятные случаи.)

С множеством все метрических пространств, я подозреваю, ситуация ровно та же. Оно кстати свой элемент или нет?
А здесь проблем нет.
Да, есть отдельные случаи когда "свой элемент", но это одноразовая конструкция и опастностей не представляет. (И в этом случае, можно и спеть необходимую мантру.)

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2016-03-07 04:45 (ссылка)
Ну вот мне и видно из контекста, что здесь автор врет (причем опасно врет). И когда я в первый раз услышал про громовскую компактность, то же самое был видно. А когда мне врут без малейшей необходимости, просто от лени, я обычно записываю автора в идиоты и перестаю дальше читать.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2016-03-07 05:10 (ссылка)
>И когда я в первый раз услышал про громовскую
>компактность, то же самое был видно.

глупости: в громовской компактности вообще все объекты - счетные
пределы конечных эпсилон-сетей с фиксированной функцией роста

то есть там все теоремы вообще конструктивно доказываются

но вообще, ты выступаешь подобно популярному юзеру "гастрит",
прославленному тем, что отвергает все аргументы, не сводимые
к конструктивному анализу в наиболее агрессивной версии
(что особенно смешно, потому что в своих математических
текстах он занимается упругими стержнями
и никакого конструктивного анализа нигде
не применяет)

то есть высокие критерии это прекрасно, пока ты их применяешь к своей
сфере деятельности, но требовать применения их к чужой глупо:
в каждой науке свои тонкости и свои подводные камни, которые
надо избегать

(Ответить) (Уровень выше)


[info]sasha_a
2016-03-07 05:35 (ссылка)
Громов точно не идиот. Насчет лени --- разве что слегка. Просто у него манера такая бросать народу кость идеи. Конструкция не была предназначена к самоприменению. Поэтому опастности нет.

(Не)кстати, неплохо бы сочинить пародию на работу Ольшанского, которую он написал по идее Громова. Теорема утверждает, что почти все группы гиперболические (с вероятностью 1). При этом ассимптотический подсчет ведется по количеству "копредставлений" групп (= порождающие и соотношения). Почти уверен, что почти (в том же смысле) все группы свободны или даже тривиальны. Теорема Громова-Ольшанского так завораживает своей фомулировкой, что не сразу понимаешь, что бессмысленная.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2016-03-07 05:47 (ссылка)
С Громовым все понятно; но от него никто и не ждет.

>Конструкция не была предназначена к самоприменению.

Но допускает таковое -- что в принципе, офигенно.

В смысле, это (вместе с прочей громовщиной) чуть ли не единственная известная мне часть современной математики, где базовый взгляд на вещи не категорный. Понятно, что множественного не достаточно, все множества образуют не множество а что-то еще, и совершенно удивительно, что есть по крайней мере два разных способа говорить что (и думать про это).

Но оно конечно, если думать лень, то можно как физики -- "это решение нефизическое", и пойди нафиг. "Заткнись" объяснил он. Ok, ok.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]tiphareth
2016-03-07 04:15 (ссылка)
там рассматриваются (канонически) только пространства с плотным
счетным множеством, то есть парадоксов не больше, чем в категории
конечномерных пространств (тоже не малая категория)

(Ответить) (Уровень выше)


[info]polytheme
2016-03-07 03:37 (ссылка)
с одной стороны да, и я тоже так подумал, с другой стороны - ну всё-таки не грудные дети будут этот листок читать, а хотя бы 12-летние школьники, и сноска насчет необходимой аккуратности - как в книжке Гротендика про абелевы категории - вряд ли навсегда убьёт в них душу и красоту.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2016-03-07 04:26 (ссылка)
там в первой же строчке
"В этой главе я вкратце
расскажу о применениях метрической геометрии,
опуская многие существенные детали. Читатель, который
хочет обучиться конкретным методам и избежать
научно-популярных экскурсов и философских рассуждений,
приглашается в следующую главу, которая никак не
опирается на эту. "

делать к каждой строчке сноску, содержание которой менее
понятно, чем сама строчка, сделает текст более, а не менее непонятным.
С "классами" студенты не знакомы определенно, ни первого курса, и даже
ни четвертого, а те, кто знакомы, сами умеют заменять "категорию
векторных пространств" на "малую категорию,
эквивалентную категории векторных пространств
мощности, которая строго меньше мощности выбранного
универсума".

А подобный дисклаймер в виде сноски нужен более-менее
к каждой строчке более-менее любого математического
текста, по крайней мере к любой строчке, где упоминается
категория чего угодно.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]sasha_a
2016-03-07 06:18 (ссылка)
вряд ли навсегда убьёт в них душу и красоту
Если много раз, то убьет. Аккуратность (как и все остальное) должна быть уместна.
С другой стороны, последнее время начинаю все больше соглашаться с Серром, что молодых математиков не следует (чрезмерно) мотивировать. Рецепт Серра: наоборот, демотивировать; кто выживет --- станет математиком.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]polytheme
2016-03-07 06:44 (ссылка)
лучше всех соблюдал этот рецепт товарищ из урожаев, выбрасывавший в мусорное ведро работы, его не удивившие (кажется, это был Делинь ?)

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]sasha_a
2016-03-07 07:07 (ссылка)
Неужели это Гротендик про Делиня писал? (Такой душка, помню его чаем поил в Вышке.) Вот и верь после этого людям ...

(Ответить) (Уровень выше)


[info]kaledin
2016-03-07 03:21 (ссылка)
>но "категория векторных пространств", например, не малая категория

Ты имеешь в виду "конечномерных". Да, это не малая категория; и это действительно принятая вольность речи -- считать категорию, эквивалентную малой, малой (если ты не Дринфельд, который и этого не позволяет себе). Но только это. Шаг вправо, шаг влево, уже обговаривают.

Я бы в самом начале сказал, что рассматриваем только пр-ва со счетной базой, и в этом месте сделал ремарку, что вот мол выглядит как класс, но на самом деле множество. Но воля твоя.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]polytheme
2016-03-07 03:34 (ссылка)
ну, сепарабельные пространства все в гильбертовом кирпиче лежат, так что можно просто его подмножества рассматривать. у метрических пространств счетная база совпадает вроде с сепарабельностью (в каждом U возьмем точку, вокруг каждой точки возьмем рациональные шары) ?

(Ответить) (Уровень выше)


[info]tiphareth
2016-03-07 04:16 (ссылка)
> что рассматриваем только пр-ва со счетной базой

в популярном введении, думаю, это только утяжелит, потому что там
и других деталей нет (заховано под ковер потому что)
в основном тексте - само собой, конечно

(Ответить) (Уровень выше)


[info]tiphareth
2016-03-07 04:18 (ссылка)
у меня там в начале лекции дисклаймер, что никакой строгости не будет,
а основной текст от введения независим, и желающие строгости могут пропустить

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2016-03-07 04:39 (ссылка)
Дело твое. Я бы за такое конечно гнал с волчьим билетом, примерно как за " наглядную топологию без доказательств" на первом курсе НМУ. Но хозяин барин.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2016-03-07 04:54 (ссылка)
ну, если ты везде пишешь "малая категория, эквивалентная категории векторных пространств",
почему бы и нет

а так, ты сам имеешь тот же волчий билет, который себе выписал

впрочем, обсуждаемый текст ("лекция 1") заявлен как "популярная
лекция, независимая от остального текста", так что я вправе
не писать про малые категории и универсумы, даже если б у меня было
правило про них писать

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2016-03-07 04:59 (ссылка)
Я-то знаю чего я пишу, а чего нет, а тебе просто лень. Тебе нравится грязь по-видимому. Ну дело твое, я-то что. Одним грязь, другим геометрическая интуиция. Каждому свое.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2016-03-07 05:20 (ссылка)
> Тебе нравится грязь по-видимому.

просто (а) эмпирически выяснено, что
студенты игнорируют все предостережения про "классы"
и "малые категории", так что можно не упоминать их, даже там, где
следовало бы и (б) в громовской науке в основном приходится работать
со пополнениями счетных пространств, так что смысла тратить время
на "малые категории" и "универсум" смысла точно нет.

можно с самого начала оговорить про то, что у нас всюду пополнения
счетных пространств, но утверждение, которое я там делаю, в этом
совершенно не нуждается (а нуждается, если нужен педантизм,
в замене слова "множество" на "класс" в одном месте; поскольку
целевая аудитория все равно не знает, что это, я не старался)

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2016-03-07 05:49 (ссылка)
Просто когда это просто предостережение, то оно выглядит идиотским педантством. А когда вот он, наглядно видимый потенциально рекурсивный объект, тогда другое дело.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2016-03-07 06:21 (ссылка)
>наглядно видимый потенциально рекурсивный объект

не очень рекурсивный: пространство всех компактов не
компактно, а в основном интересно именно оно.

но в принципе - да, можно его получить, но надо ограничить мощность
твоего метрического пространства (точнее, плотного подмножества в нем).
Громовское пространство, классифицирующее эти метрические пространства,
имеет бОльшую мощность.

Можно взять объединение
всех громовских пространств для всех мощностей, оно вполне хорошее метрическое пространство,
но не множество, а класс. Картинка примерно как с ординалами:
объединение всех ординалов само по себе ординал, но не множество, а класс.
Собственно, здесь все как с ординалами: множество классов эквивалентностей
ординалов ординал, множество классов эквивалентности полных метрических
пространств - полное метрическое пространство.

Но как и с ординалами, я не вижу внятной (и не откровенно педантской)
формулировки, которую тут можно навесить. Тратить полстраницы на объяснение,
что такое класс, в "легком и популярном" введении неуместно (в самом тексте -
вполне уместно).

(Ответить) (Уровень выше)


[info]tiphareth
2016-03-07 04:29 (ссылка)
>Ты имеешь в виду "конечномерных"

Или "векторных пространств мощности меньше, чем мощность универсума".
Причем "строгость" там чисто иллюзорная, ибо аксиома универсума влечет непротиворечивость ZFC
и целой кучи вещей, то есть она избыточно сложная, и по факту уменьшает строгость, а не увеличивает
(потому что любая инвокация излишне сильной аксиомы грозит дополнительным геморроем, когда
окажется, что эта аксима приводит к парадоксам).

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2016-03-07 04:42 (ссылка)
>ибо аксиома универсума

В современном мире ее стараются избегать. Я по крайней мере если вижу в тексте универсумы, отношусь настороженно.

Аксиоматика Цермело-Френкеля кстати устаревшее фуфло. Ее было заменили на нормальную, Геделя-Бернайса, с классами, но почему-то пошло вспять. Википедия пишет, что из-за форсинга (который по-нормальному надо все равно понимать через топосы, но пойди логикам объясни).

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2016-03-07 04:57 (ссылка)
> Я по крайней мере если вижу в тексте универсумы, отношусь настороженно.

ну правильно, у тебя все группы конечные, в крайнем случае счетные
а если хочется говорить про категорию бесконечномерных пространств,
без универсума не обходятся

но если студенты слабые, надо забить на универсумы и
теоретико-множественные парадоксы в целом, как забивают
на аксиому выбора, потому что они все равно ничего не уловят
из рассуждений про малые категории, неоднократно проверял

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2016-03-07 05:03 (ссылка)
>а если хочется говорить про категорию бесконечномерных пространств, без универсума не обходятся

Разумеется обходятся, она нафиг не нужна. Вот если хочется говорить про категорию функторов из бесконечномерных пр-в куда-нибудь, тогда да. Но это на практике не бывает нужно вообще никогда (функторов из бесконечномерных пространств слишком много, произвольный такой функтор -- вещь ненужная, и то, что они не образуют категории, ничему не мешает).

Твое множество элемент себя или нет? Как написано, элемент вообще-то, и только очень слабый студент этого не заметит. Тебе не кажется, что следовало бы объяснить?

Впрочем, ок, что это я, в самом деле.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2016-03-07 05:12 (ссылка)
> Тебе не кажется, что следовало бы объяснить?

не в популярном тексте, где у меня заявлено "нестрогое введение"
там надо скорее было сказать "множество классов эквивалентности",
но мне не хотелось утяжелять

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2016-03-07 05:53 (ссылка)
Ну одно дело наводить строгость там, где никто и не заметил бы -- а другое дело рассказывать, что можно все метрические пространства рассмотреть как тоже метрическое пространство. Человеку, который не видит, насколько это красиво, нефига это и рассказывать; плохих студентов и так в мире перепроизводство. А от того, который видит, глупо скрывать правду (что он сразу же и заметит).

(Ответить) (Уровень выше)

(Читать комментарии) -