> Я уже приводил пример натурального числа,
> которое невозможно никаким образом записать на бумаге
> в виде конструктивного объекта

Блин, да Вы же сами его в виде конструктивного объекта и записали. Что такое предъявленное Вами слово в алфавите 01^(), если не конструктивный объект?!

> Однако это число легко записать на бумаге в виде формулы ZFC.

Формулы ZFC — это тоже конструктивные объекты. Любое утверждение о выводимости той или иной формулы языка ZFC средствами оной ZFC — это утверждение о конструктивных объектах, т.е. теорема конструктивной математики (другой аналогичной теоремой конструктивной математики является утверждение о выводимости любой формулы в противоречивой формализованной теории Кантора). Речь-то не об этом — речь о том, имеется ли у ZFC семантика, т.е. можно ли замкнутые формулы её языка (сами эти формулы, а не утверждения об их выводимости в ZFC!) интерпретировать как формализованные варианты содержательных высказываний о чём-либо (причём таких, что любые выводимые формулы отвечают содержательно верным суждениям)? Если семантики у ZFC не имеется, то она бессодержательна и не может претендовать на статус науки, независимо от наличия/отсутствия в ней противоречий: наука не может рассуждать ни о чём, у неё всегда должен быть объект. Вот как вопрос-то стоит!

> В качестве достоинства первых приводилась возможность
> вычислять последние с неограниченной точностью.

Никоим образом. В качестве их достоинства приводилось реальное существование.

> Однако когда дело доходит до практической
> реализации этой возможности, обнаруживается, что
> точность эта ограничена количеством материи во вселенной.

Угу. И никто не любил вспоминать об этом космологическом нюансе чаще, чем законченный конструктивист Марков.

> Поэтому возможность, о которой вы говорите, лишь потенциальная.

Угу. Термин того же Маркова: "потенциальная осуществимость".

> Я легко приведу вам явный пример неконструктивного
> вещественного числа, которое тоже можно будет
> вычислить с любой точностью, которая доступна
> для конструктивных вещественных чисел.

Не "которое", а "рациональные приближения к которому". Но дело даже не в этом, а в том, что предъявленный Вами объект всё равно будет конструктивным объектом (формулой ZFC, например). И любой класс объектов, годных, с Вашей точки зрения, на роль "неконструктивных вещественных чисел", будет неким классом конструктивных объектов. И класс этот, хоть в лепёшку расшибитесь, не будет в полной мере удовлетворять "обычным" аксиомам вещественной прямой.

Так вот меня интересует: зачем подменять действительное исследование этих классов конструктивных объектов упорным обмусоливанием идеологической конструкции, заведомо характеризующей эти классы в лучшем случае весьма приблизительно?

> я пишу на бумаге формулы ZFC. Какая разница?

Разница в том, что я рассматриваю конструктивные объекты как самодовлеющие сущности, а Вы — как тени каких-то эйдосов (в существовании которых я, мягко говоря, сомневаюсь). И там, где Вы видите "верное суждение" (об эйдосах), я не вижу ничего, кроме "корректного вывода в формальной теории". Сам этот вывод есть конструктивный процесс, и утверждение о его корректности есть теорема конструктивной математики, тут никаких проблем нет — но вот где связь этой теоремы о корректности со свойствами вещественных чисел (т.е. конструктивных объектов совершенно другой природы)? Для Вас — в представлении об эйдосах; а я (за отсутствием веры в оные) её попросту не вижу.

> В свете вышесказанного, поясните пожалуйста, что
> вы имеете в виду под моделью.

Систему материальных объектов (и способов оперирования с ними), свойства которой, в пределах практически требуемой точности, совпадают с рассматриваемыми в теории. Только, пожалуйста, не спешите цепляться за оговорку про "пределы точности": само собой, для тех же вещественных чисел эти пределы заведомо можно выбрать таким образом, чтобы "классические" числа оказались неотличимы от заведомо реальных конструктивных — но такой аргумент в пользу "классики" явно несерьёзен. Интерес, главным образом, представляет именно моделирование принципиальных отличий "классической" теории от конструктивной (той же аксиомы непрерывности в полном объёме ея).

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Блин, да Вы же сами его в виде конструктивного объекта и записали. Что такое предъявленное Вами слово в алфавите 01^(), если не конструктивный объект?!

Имеется ввиду не то число.
Повторяю свой пример ещё один раз:
возьмём минимальное натуральное число, которые нельзя записать
с помощью программы не длиннее 10^10^100.
Это натуральное число невозможно предъявить в виде конструктивного
объекта, однако его легко записать на бумаге в виде
формулы ZF.

>формализованные варианты содержательных высказываний о чём-либо

О чём? Что имеется ввиду под «что-либо»?
(Вопрос дурацкий, но я по другому не могу сформулировать.)

>В качестве их достоинства приводилось реальное существование.

Реальное существование в какой форме? В форме
формулы или программы, записанной на бумаге?
Так объекты ZFC тоже существуют в виде формул,
записанных на бумаге.
Что есть у конструктивных объектов, чего нет у обычных?

>Угу. Термин того же Маркова: "потенциальная осуществимость".
Потенциально осуществимая при наличии неограниченного
количества материи во вселенной. Но ведь мы не располагаем
неограниченным количеством материи!
То есть потенциальность понимается в нереалистичной
модели вселенной. Почему бы не вообразить себе,
что в нашей вселенной можно выполнять действия из ZF?
Какая принципиальная разница между вашей вселенной с неограниченным
количеством материи и моей с возможностью выполнения
действий из ZF?

>Но дело даже не в этом, а в том, что предъявленный Вами объект всё равно будет конструктивным объектом (формулой ZFC, например). И любой класс объектов, годных, с Вашей точки зрения, на роль "неконструктивных вещественных чисел", будет неким классом конструктивных объектов. И класс этот, хоть в лепёшку расшибитесь, не будет в полной мере удовлетворять "обычным" аксиомам вещественной прямой.

А, то есть вы допускаете изучение всех вещественных
чисел, которые можно задать формулой из ZFC как
самостоятельного математического объекта,
пусть даже этот класс содержит неконструктивные
вещественные числа (вроде обсуждавшегося
числа Шпекера, как вы его назвали)?

>Разница в том, что я рассматриваю конструктивные объекты как самодовлеющие сущности, а Вы — как тени каких-то эйдосов (в существовании которых я, мягко говоря, сомневаюсь). И там, где Вы видите "верное суждение" (об эйдосах), я не вижу ничего, кроме "корректного вывода в формальной теории". Сам этот вывод есть конструктивный процесс, и утверждение о его корректности есть теорема конструктивной математики, тут никаких проблем нет — но вот где связь этой теоремы о корректности со свойствами вещественных чисел (т.е. конструктивных объектов совершенно другой природы)? Для Вас — в представлении об эйдосах; а я (за отсутствием веры в оные) её попросту не вижу.

Из математики дискуссия ушла в философию, и я перестал
что-либо понимать. Наводящий вопрос: как звучит
ответ на вопрос о связи, заданный в предпоследнем предложении,
для конструктивной математики?

>Систему материальных объектов (и способов оперирования с ними), свойства которой, в пределах практически требуемой точности, совпадают с рассматриваемыми в теории. Только, пожалуйста, не спешите цепляться за оговорку про "пределы точности": само собой, для тех же вещественных чисел эти пределы заведомо можно выбрать таким образом, чтобы "классические" числа оказались неотличимы от заведомо реальных конструктивных — но такой аргумент в пользу "классики" явно несерьёзен. Интерес, главным образом, представляет именно моделирование принципиальных отличий "классической" теории от конструктивной (той же аксиомы непрерывности в полном объёме ея).

Это для вас он несерьёзен, а вот
для меня очень серьёзен. Я бы сказал, фатален.
Фактически, вы моделируете ваши конструктивные
объекты в одной воображаемой вселенной (в которой
бесконечное количество материи), а я в другой
(в которой выполнимы операции ZF).
В чём принципиальная разница между двумя этими
воображаемыми вселенными?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Имеется ввиду не то число.
> Повторяю свой пример ещё один раз:
> возьмём минимальное натуральное число, которые нельзя записать
> с помощью программы не длиннее 10^10^100.

Про парадокс Ришара слышали?

> О чём? Что имеется ввиду под «что-либо»?

Любая система материальных объектов. Для классической механики объектом может выступать падающий кому-то с крыши на голову кирпич — вполне материальная штуковина. Для квантовой это может быть пучок электронов с раскалённой нити — т.е. тоже нечто вполне осязаемое. А что это будет для "классической" математики?

> Так объекты ZFC тоже существуют в виде формул,
> записанных на бумаге.

В виде формул ZFC существуют высказывания о таких "объектах", а не сами эти "объекты". И реальные свойства этих высказываний весьма отличны от аксиом ZFC. Совпадали бы — вопросов бы не было.

> Потенциально осуществимая при наличии неограниченного
> количества материи во вселенной. Но ведь мы не располагаем
> неограниченным количеством материи!

Вы опять же демонстрируете "математическое" мышление (а в конструктивной математике нужно использовать физическое). Чтобы сложить 2 и 2, мне не нужно привлекать "всю материю во вселенной". И для подавляющего большинства реально интересных расчётов дело обстоит точно так же.

> То есть потенциальность понимается в нереалистичной
> модели вселенной. Почему бы не вообразить себе,
> что в нашей вселенной можно выполнять действия из ZF?

Я не собираюсь ничего воображать. Передо мной стоит ЭВМ, и её действия (поскольку они не выходят за пределы возможностей оной) согласуются с представлениями конструктивной математики. Абстракция потенциальной осуществимости отвлекается от наличия границ конструктивных возможностей этой ЭВМ, и в этом смысле идеализирует ситуацию — однако, повторяю, в большинстве интересных мне случаев я на эти границы всё равно не натыкаюсь.

А теперь поставьте передо мной ЭВМ, которая будет работать по правилам ZF. Объектами в которой будут множества, а основными операциями — построение степени, пары, функция выбора, эффективная проверка предиката «\(A\) является подмножеством \(B\)», и т.д.

> А, то есть вы допускаете изучение всех вещественных
> чисел, которые можно задать формулой из ZFC как
> самостоятельного математического объекта,
> пусть даже этот класс содержит неконструктивные
> вещественные числа (вроде обсуждавшегося
> числа Шпекера, как вы его назвали)?

Я ничего не имею против, если Вы определите свойство формулы ZFC быть "неконструктивным вещественным числом" и начнёте изучать свойства конструктивных объектов (т.е. формул ZFC) с таким свойством. Я только утверждаю, что классического анализа Вы при этом всё равно не получите (какая-то из аксиом "вещественной прямой" для Ваших чисел обязательно нарушится).

> Наводящий вопрос: как звучит ответ на вопрос о связи,
> заданный в предпоследнем предложении,
> для конструктивной математики?

Ответ звучит так: связи нет. Потому что утверждение «какова бы ни была формула \(A\) "классической" теории вещественных чисел, из её выводимости средствами ZFC следует, что выражаемое ею свойство является содержательно верным» ложно при любом известном мне способе содержательного истолкования вышеупомянутых формул (y compris постоянно поминаемое Вами "задание чисел формулами языка ZFC").

> Фактически, вы моделируете ваши конструктивные объекты
> в одной воображаемой вселенной

Простите, но я живу не в воображаемой вселенной, а в самой что ни на есть реальной. Мои конструктивные объекты — это счётные палочки, ручка с бумагой и кристаллы полупроводника. Проблемы мира призраков (каковы бы они ни были) меня не волнуют.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Про парадокс Ришара слышали?
Да. Собственно, из него я это и взял.
У вас есть что сказать по существу?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Есть: Ваше описание внутренне противоречиво (в констатации чего и состоит парадокс Ришара), а потому никакого числа не задает. Так что этот Ваш аргумент целиком отправляется в помойное ведро. Дальнейшие предложения?

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Не могли бы Вы дать ссылку на статью или заметку, описывающую
парадокс Ришара с близкой Вам точки зрения ?

Вы, если не я правильно понял, придерживаетесь одной из довольно распространенных форм конструктивизма, как философии математики. Какой именно, и не могли бы Вы опять-таки назвать какие-нибудь имена и дать ссылки?

В предыдущей дискуссии Вам несколько раз задавали вопрос, связанный с конечностью того, что "можно положить на стол". Правильно ли я понимаю, что предположении что Вселенная конечна (имеет конечное число частиц, объем, может быть, даже время существования, и тд), *не влияет* на Вашу философию математики? Ведь в такой вселенной существует лишь конечное число машин Тьюринга, (записей) натуральных чисел и тд.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Не могли бы Вы дать ссылку на статью или заметку, описывающую
> парадокс Ришара с близкой Вам точки зрения ?

Боюсь, что нет. Сам по себе ведь он, пожалуй, самый неинтересный из рефлексивных парадоксов: в отличие от чётких теорем Рассела или Гёделя, Ришар просто играет на семантической расплывчатости представления об "описании" объекта.

> Какой именно, и не могли бы Вы опять-таки назвать какие-нибудь имена и дать ссылки?

Марковский конструктивизм. Основные программные опусы — «О конструктивной математике» и «О логике конструктивной математики» самого Маркова. В сети, боюсь, отсутствуют. Есть, конечно, вот это, хотя позиция "позднего" Шанина не вполне совпадает с марковской.

> Правильно ли я понимаю, что предположении что Вселенная конечна
> (имеет конечное число частиц, объем, может быть, даже время существования,
> и тд), *не влияет* на Вашу философию математики? Ведь в такой вселенной
> существует лишь конечное число машин Тьюринга, (записей) натуральных чисел и тд.

Абсолютно не влияет. Ибо абстракция потенциальной осуществимости (которую тут давеча зачислили в заклинания) на деле состоит не в предположении о возможности провести любое вычисление, а в вещи прямо противоположной: в исключении из рассмотрения тех ситуаций, когда мы наталкиваемся на границы наших конструктивных возможностей. Это обычный физический подход: при изучении уравнений Максвелла мы ведь тоже сразу исключаем из рассмотрения электроны в атоме (для коих классическая электродинамика заведомо не работает). Главное, что у нас остаётся огромное число практически важных случаев, для которых сделанные нами в теории предположения реально выполняются (если конкретный расчёт требует всего 100Mb оперативной памяти и часа машинного времени, то этому конкретному расчёту никакая космология не помеха).

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent)

>Ваше описание внутренне противоречиво

Не потрудитесь ли указать на противеричие? Помимо
всего прочего, желательно указать номер пункта в списке ниже.

Дабы прояснить свою позицию, повторяю аргумент ещё один раз:
(0) Фиксируем натуральное число n.
(1) Рассмотрим все программы длины не больше n.
Таких программ конечное число.
(2) Из этих программ оставим только те, которые завершают
свою работу и выводят натуральное число.
Таких программ конечное число, и, следовательно,
чисел которые они выводят, тоже конечное число.
(3) В силу конечности последнего множества его
дополнение в натуральных числах не пусто,
стало быть в нём есть минимальное число, которое
и будет искомым.

(4) Теперь n берётся таким, чтобы запись программы
из n символов требовала материи больше, чем есть во вселенной.
Получаем натуральное число, которое не имеет
материального представления, и, следовательно,
не является конструктивным объектом (если последние
определять как имеющие такое представление).

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> (1) Рассмотрим все программы длины не больше n.
> Таких программ конечное число.

Длина программы от выбранного языка, разумеется, ну никак не зависит. Дальше можно вообще не читать.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Длина программы от выбранного языка, разумеется, ну никак не зависит. Дальше можно вообще не читать.

Язык программирования фиксирован.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

А это уже прямой подлог. Вы же намеревались доказать принципиальную невозможность описать некий объект — а что принципиального в невозможности описать нечто средствами фиксированного языка? Да язык поменять, и всё. Делов-то.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>А это уже прямой подлог. Вы же намеревались доказать принципиальную невозможность описать некий объект — а что принципиального в невозможности описать нечто средствами фиксированного языка? Да язык поменять, и всё. Делов-то.

Все языки, обладающие мощностью машины Тьюринга,
могут эмулировать друг друга. Поэтому от фиксации
языка мы ничего не теряем. Да, придётся включить
интерпретатор фиксированного размера, но его размер
ничтожен по сравнению с количеством материи во вселенной.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Все языки, обладающие мощностью машины Тьюринга,
> могут эмулировать друг друга. Поэтому от фиксации
> языка мы ничего не теряем.

ROFL. Для любого числа можно придумать язык, в котором описание конкретно этого числа будет занимать ровно один байт. И тьюринговская полнота тут совершенно ни при чём.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Для любого числа можно придумать язык, в котором описание конкретно этого числа будет занимать ровно один байт.

Правильно, вы запихаете всю информацию об этом числе
в интерпретатор. А при использовании фиксированной
машины длина этого интерпретатора как раз и вылезет
наружу. Если бы вы были знакомы с понятием колмогоровской
сложности, то уже давно бы поняли, о чём я говорю,
и не приводили бы пустых возражений.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Слушайте, ну где вообще была речь про разрешимость/полуразрешимость языка, посредством которого даётся пресловутое "описание" числа? При чём тут колмогоровская сложность?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Слушайте, ну где вообще была речь про разрешимость/полуразрешимость языка, посредством которого даётся пресловутое "описание" числа?

Какие языки вы допускаете для конструктивной математики?
Впрочем, для рассуждения ниже это не важно.

>При чём тут колмогоровская сложность?

При том, что колмогоровская сложность последовательности
натуральных чисел неограниченно возрастает,
и, начиная с некоторого момента, для любого языка
превосходит заданное число n.
В силу конечности количества материи во вселенной
существует лишь конечное количество языков.
Как следствие, имеем, что существует
некоторое n, такое, что ни одно число большее n
невозможно материально представить (в силу конечности
количества материи) ни в одном из языков,
которые могут существовать в нашей вселенной.

Поэтому, как только вы упоминаете материальное
представление, вы автоматически ограничиваете
область рассмотрения конечной математикой.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Как следствие, имеем, что существует
> некоторое n, такое, что ни одно число большее n
> невозможно материально представить (в силу конечности
> количества материи) ни в одном из языков,
> которые могут существовать в нашей вселенной.

В том числе и в столь превозносимом Вами языке ZFC. Так за что тогда боролись?

> Поэтому, как только вы упоминаете материальное
> представление, вы автоматически ограничиваете
> область рассмотрения конечной математикой.

Что такое "конечная математика" и почему это так страшно?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>В том числе и в столь превозносимом Вами языке ZFC. Так за что тогда боролись?

Совершенно верно.

А я всего лишь утверждаю, что в этом отношении ZF ничем
не отличается от конструктивной математики.
Мы не можем утверждать, что
все объекты конструктивной математики (например,
все натуральные числа) имеют материальное представление
в нашем мире.
Но точно так же мы не можем утверждать этого и для ZF.
Однако некоторые объекты ZF имеют материальное
представление в нашем мире — например,
натуральные числа, ограниченные сверху какой-то
границей. Именно этот факт позволяет обычным
классическим математикам, не подозревающим о
существовании конструктивной математики,
проводить компьютерные вычисления и утверждать,
что они имеют отношение к математике.

>Что такое "конечная математика" и почему это так страшно?

В данном контексте это математика, оперирующая
с теми объектами, которые можно материально
представить в нашем мире. Например, ограниченные
какой-то границей натуральные числа.
Это не страшно, кроме того, что это страшно неудобно.
Например, не любые два натуральных числа
можно сложить, а только такие, у которых сумма
не слишком велика.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> А я всего лишь утверждаю, что в этом отношении ZF ничем
> не отличается от конструктивной математики.
> Мы не можем утверждать, что
> все объекты конструктивной математики (например,
> все натуральные числа) имеют материальное представление
> в нашем мире.

Как я уже говорил, ZF отличается от конструктивной математики тем, что в последней за употребление слова "все" бьют подсвечниками. Нет такого слова в конструктивной математике, понимаете? Слова "любой", "каждый", "всякий" — есть. А слова "все" — нету. Ясна суть дела, или нужны дальнейшие пояснения?

> Однако некоторые объекты ZF имеют материальное
> представление в нашем мире — например,
> натуральные числа, ограниченные сверху какой-то
> границей.

Поправка: это не объекты ZF, а формулы ZF, выражающие суждения о существовании и единственности некоторых "объектов". Я против этих формул ничего не имею, однако давайте всё же называть вещи своими именами.

> Именно этот факт позволяет обычным
> классическим математикам, не подозревающим о
> существовании конструктивной математики,
> проводить компьютерные вычисления и утверждать,
> что они имеют отношение к математике.

Не это позволяет. Позволяет то, что "в первом приближении" известные теоремы ZF (потому что среди неизвестных, напоминаю, могут быть попросту отрицания известных) не противоречат конструктивной математике. Оттого, что эта подлинная причина подавляющему большинству "обычных классических математиков" неизвестна, она не перестаёт существовать.

Кстати, а ведь, помнится, уравнение теплопроводности и цикл Карно были выведены из представления о теплороде. В итоге цикл остался — а вот собственно теплород, увы, тю-тю. Будете настаивать на реабилитации столь полезного физического понятия?

> В данном контексте это математика, оперирующая
> с теми объектами, которые можно материально
> представить в нашем мире. Например, ограниченные
> какой-то границей натуральные числа.

Границу в студию. Такую, которая бы с гарантией (независимо от поправок на добавочные вселенные, расщепление электронов и прочие квантовые вычисления) была абсолютной. А?

> Это не страшно, кроме того, что это страшно неудобно.

Страшно неудобно то, что граница эта будет своя для каждой конкретной машины. Вот ровно поэтому в конструктивной математике (точнее, в её "общей части", не касающейся специально вопросов о требуемых вычислениями ресурсов) и откладывают в сторонку те процессы, для которых наличие этой границы существенно, а затем изучают свойства тех, для которых это наличие ни на чём не сказывается (а потому можно совершенно спокойно считать, что соответствующей границы вообще нет).

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Как я уже говорил, ZF отличается от конструктивной математики тем, что в последней за употребление слова "все" бьют подсвечниками. Нет такого слова в конструктивной математике, понимаете? Слова "любой", "каждый", "всякий" — есть. А слова "все" — нету. Ясна суть дела, или нужны дальнейшие пояснения?

Пожалуйста.
А я всего лишь утверждаю, что в этом отношении ZF ничем
не отличается от конструктивной математики.
Мы не можем утверждать, что
любой объект конструктивной математики (например,
любое натуральное число) имеет материальное представление
в нашем мире.

>Не это позволяет. Позволяет то, что "в первом приближении" известные теоремы ZF (потому что среди неизвестных, напоминаю, могут быть попросту отрицания известных) не противоречат конструктивной математике. Оттого, что эта подлинная причина подавляющему большинству "обычных классических математиков" неизвестна, она не перестаёт существовать.

Это неверно хотя бы по той причине, что обычные математики
могут проводить такие вычисления, которые
конструктивным математикам недоступны.
Например, с помощью той же теоремы Лефшеца
можно посчитать количество неподвижных
точек симпилициального отображения конечного
симпилициального комплекса в себя.

>Кстати, а ведь, помнится, уравнение теплопроводности и цикл Карно были выведены из представления о теплороде. В итоге цикл остался — а вот собственно теплород, увы, тю-тю. Будете настаивать на реабилитации столь полезного физического понятия?

Из вышесказанного следует, что это ложная аналогия.

>Границу в студию. Такую, которая бы с гарантией (независимо от поправок на добавочные вселенные, расщепление электронов и прочие квантовые вычисления) была абсолютной. А?

Очевидный ответ — я не знаю.
Но вы не можете утверждать, что такой границы нет.
(По той же причине вы не можете утверждать,
что в нашей вселенной могут существовать
машины с бесконечным объёмом памяти.)

>Страшно неудобно то, что граница эта будет своя для каждой конкретной машины. Вот ровно поэтому в конструктивной математике (точнее, в её "общей части", не касающейся специально вопросов о требуемых вычислениями ресурсов) и откладывают в сторонку те процессы, для которых наличие этой границы существенно, а затем изучают свойства тех, для которых это наличие ни на чём не сказывается (а потому можно совершенно спокойно считать, что соответствующей границы вообще нет).

Я говорю про общую границу для всех вычислительных
машин. Отдельные компьютеры меня не интересуют.
Да, я не могу доказать её существование,
но и вы не можете доказать, что такой границы нет.
Кстати, можете ли вы гарантировать,
что физики не откроют завтра что-нибудь такое,
что позволяет создавать компьютеры с полным
набором операций ZF?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Мы не можем утверждать, что любой объект
> конструктивной математики (например,
> любое натуральное число) имеет материальное представление
> в нашем мире.

Опять начинаете перевирать. Это в ZF "объекты" идеальны и в лучшем случае претендуют на то, чтобы "иметь представление". В конструктивной математике объекты материальны. Поэтому Вы со своим "не можем утверждать" попадаете в довольно смешное положение: видите ли, не любой материальный объект имеет материальное представление в нашем мире! Эдакое масло немасляное.

Иначе говоря, Вы попросту ещё раз продемонстрировали непонимание причин, по которым в конструктивной математике вместо слова "все" употребляется слово "любой" (для Вас это чудачество, и не более). И ещё раз доказали, что теоретико-множественное мышление лечится только гильотиной.

> Например, с помощью той же теоремы Лефшеца
> можно посчитать количество неподвижных
> точек симпилициального отображения конечного
> симпилициального комплекса в себя.

Католическая схоластика тоже позволяет посчитать число ангелов, помещающихся на кончике иглы. В чём, безусловно, заключено её несомненное превосходство над светской физикой, которая этого не умеет. А ну-ка, хором: credo in unum Deum, Patrem omnipotentem...

> Из вышесказанного следует, что это ложная аналогия.

Из вышесказанного следует, что она абсолютно точна.

> Очевидный ответ — я не знаю.
> Но вы не можете утверждать, что такой границы нет.

А не знаете — помолчите. В науке принято говорить только о том, что знаешь.

> (По той же причине вы не можете утверждать,
> что в нашей вселенной могут существовать
> машины с бесконечным объёмом памяти.)

Не могу, разумеется. Однако все известные мне машины имеют конечную память. Поэтому о свойствах гипотетических машин с бесконечной памятью я, в отличие от Вас, помалкиваю. А Вы (вопреки принятым в науке нормам) начинаете пространно рассуждать о том, чего на самом деле не знаете (Вы ведь таких машин тоже никогда не видели, не так ли?).

> Да, я не могу доказать её существование,
> но и вы не можете доказать, что такой границы нет.

Даже интересно: когда Вы с кем-либо полемизируете, Вы всегда не читаете слова оппонента, или персонально для меня сделали исключение?

> Кстати, можете ли вы гарантировать,
> что физики не откроют завтра что-нибудь такое,
> что позволяет создавать компьютеры с полным
> набором операций ZF?

Не могу. Поэтому если такие компьютеры создадут, я их с огромным удовольствием и исследую. Но пока этого не произошло, говорить не о чем: в науке нет слова "завтра", она исходит из того, что уже известно. Этим наука от мифологии и отличается.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Я все-таки прошу Вас вести дискуссию в более благожелательном тоне.

Попробую пояснить Ваши слова. Для Вас, есть разница между "все натуральные числа ..." и "любое натуральное число ...". Второе высказывание подразумевает "любое уже построенное, и тем самым материальное, натуральное число ...", первое, видимо, бессмысленно.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Именно так, все наши суждения (в том числе общие) мы прилагаем только к тем объектам, которые нам уже удалось построить (а что какую-то экзотику построить не удаётся по немощи нашей — это совершенно другой вопрос). Т.е. мы тут упираемся в принципиальную разницу между физическим и теоретико-множественным типами мышления (почему мой оппонент, мыслящий абсолютно теоретико-множественно, меня зачастую вообще не понимает).

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Т.е. мы тут упираемся в принципиальную разницу между физическим и теоретико-множественным типами мышления (почему мой оппонент, мыслящий абсолютно теоретико-множественно, меня зачастую вообще не понимает).


боюсь, не понимает в основном потому, что вы не всегда это явно произностите---и таким образом, привычная интерпритация Ваших слов не то, что Вы имеете в виду...

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Это уже проблема контекста. Когда человек о чём-либо рассуждает с учёным видом знатока — тогда предполагается, что он действительно знает, о чём говорит (а не просто слышал краем уха какие-то обрывки фраз на тему). Тем более, что мой оппонент сам неоднократно предлагал "договориться, что если он о чём-то говорит, то значит, он знает, что это такое". Вопросы, указанные Вами, у человека, знающего контекст, возникнуть просто не могут: это вопросы человека, который полностью "не в теме". Разумеется, быть "в теме" никто не обязан — но тогда, повторяю, надо не экспертные оценки выдавать, а отправляться читать соответствующие учебники (а если неохота — тогда просто помалкивать).

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent)

Разговор опять перешёл в какую-то схоластическую плоскость.

Перейдём к конкретике.
Предлагается подтвердить или опроврегнуть следующие высказывание.

(0) На данный момент наука не располагает никакими
результатами, которые говорят за или против следующей
возможности: наша вселенная устроена так, что в ней
можно построить лишь конечное число конструктивных объектов.
(1) Как следствие, обоснование преимущества
конструктивной математики над классической должно
оставаться верным при принятии гипотезы, указанной
в предыдущем пункте.
Подчёркиваю, что в этом пунтке я не выступаю в поддержку
или против этой гипотезы, я всего лишь говорю, что
поскольку у нас нет никаких научных доводов
против этой гипотезы, её нельзя исключать из рассмотрения.
(2) В предположении гипотезы пункта (0) существует
натуральное число, имеющее материальное представление,
такое, что если к нему добавить единицу,
то получившееся число уже не будет иметь
материального представления.
(3) Итого, в предположении гипотезы пункта (0)
имеем, что утверждение «к любому
конструктивному, уже построенному, числу можно добавить
единицу» неверно (в том смысле, что результат
не имеет материального представления).
(4) В результате, утверждение «данный алгоритм
для любых конструктивных, уже построенных, натуральных
чисел строит их сумму» следует отбросить
как бессодержательное (в смысле пункта (3)).
(5) Мы получили, что последовательное применение
материалистической точки зрении приводит к тому, что
мы вынуждены оставаться в рамках конечной математики,
в которой, например, не любые два числа можно сложить.
(А только такие, у которых сумма не очень велика.)

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Надоело, честно говоря, дискутировать с человеком, который не слушает, что ему говорят, забывает, о чём шёл разговор две минуты назад, и талдычит одно и то же по сто раз, как тетерев на току.

Преимущество конструктивной математики состоит в том, что она, как и любая нормальная естественная наука, начинает с того, что указывает в явном виде на свой объект исследования, и только после этого начинает выяснять, какими же свойствами этот объект обладает. "Классическая" делает ровно обратное: сначала высасыват из пальца аксиоматику, а потом мучительно пытается подобрать под неё модель (а когда это, разумеется, не выходит — помните, как Вы блестяще пролетели с аксиомой бесконечности? — начинает с милой улыбкой изрекать "ну, не шмогла я", как будто ничего особенного и не случилось). Вот этой-то ключевой разницы Вы, похоже, и не понимаете вообще: Вам, привыкшему к "классике", упорно кажется, что конструктивисты тоже начинают с придумывания аксиом (просто других). Нравится Вам продолжать быть уверенным в этой глупости — на здоровье. Переубеждать Вас я не собираюсь.

Всех благ.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Надоело, честно говоря, дискутировать с человеком, который не слушает, что ему говорят, забывает, о чём шёл разговор две минуты назад, и талдычит одно и то же по сто раз, как тетерев на току.

Я так и знал, что вам будет нечего возразить по существу.
Кстати, не потрудитесь ли привести ссылку на два
моих комментария, в которых я говорю одно и тоже?

>помните, как Вы блестяще пролетели с аксиомой бесконечности? — начинает с милой улыбкой изрекать "ну, не шмогла я", как будто ничего особенного и не случилось

Это уже исправлено. Ваш аргумент рассыпался.

Теперь я тоже имею право утверждать, что все
аксиомы ZF взяты из наблюдения за материальным объектом
исследования.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Аксиомы ZF взяты из головы Цермело и немножко из головы Френкеля, т.е. они достаточно произвольны. У меня есть теория труляляшек, гораздо более правильное основание для математики.

Хитрость была в том, что когда определенная группа математиков договорилась заниматься этой теорией, они сговорились отождествить объекты ZF с "множествами" и протолкнуть такой философский подлог в литературу.

Теория ZF - одна из важнейших в основаниях математики, но чтобы понять в чем ее важность нужно начать разбираться в шкале логической силы и шкале силы по-непротиворечивости. Отождествлять ZF-труляляшек с множествами просто неверно.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

добавлю, чтобы не возникло непонимания: они не просто произвольны (типа можно то же самое по-другому сформулировать), а они придуманы конкретным, никак не обоснуемым способом и есть много противопоположных способов, ведущих к противоположным результатам. Классический пример - NF.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>а они придуманы конкретным, никак не обоснуемым способом

Это всё-таки неверно, поскольку придумали их исходя
из анализа практики математических рассуждений.
Не из вакуума же их получили, в самом деле.
Другое дело, что другие люди при том же самом
анализе могут получить другие результаты.

Вот, например, в другой ветке обсуждалось, что общая
аксиома выбора не нужна, а достаточно зависимого выбора.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Исходя из практики математичских рассуждений можно придумать не только ZF, но и много какие другие теории, с самыми разными результатами. Чем плохо NF?

Да с AC история известная. Книжка есть про это старинная:
В.Г.Кановей "Аксиома выбора и аксиома детерминированности". Шедевр.

Я имел в виду, что и арифметические следствия у разных теорий будут разные.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Исходя из практики математичских рассуждений можно придумать не только ZF, но и много какие другие теории, с самыми разными результатами. Чем плохо NF?

Я ровно это и хотел сказать:
>Другое дело, что другие люди при том же самом
>анализе могут получить другие результаты.

>Я имел в виду, что и арифметические следствия у разных теорий будут разные.

Да, конечно, я этого не отрицаю.

(Reply to this) (Parent)

Я получил еще одно сообщение от уважаемого всеми bbixobа, с просьбой ответить здесь, и позащищать
конструктивизм и конструктивистов какими-нибудь умными словами. Отвечаю (хоть я и конструктивист только по понедельникам).

> Предлагается подтвердить или опроврегнуть следующие высказывание.
> (0) На данный момент наука не располагает никакими результатами, которые говорят за или против следующей
> возможности: наша вселенная устроена так, что в ней можно построить лишь конечное число конструктивных объектов.

--- вероятно это так.

> (1) Как следствие, обоснование преимущества конструктивной математики над классической должно
> оставаться верным при принятии гипотезы, указанной в предыдущем пункте.
> Подчёркиваю, что в этом пунтке я не выступаю в поддержку или против этой гипотезы, я всего лишь говорю, что
> поскольку у нас нет никаких научных доводов против этой гипотезы, её нельзя исключать из рассмотрения.

--- что ж пускай: конструктивисты - не информатики и не физибильщики (feasibility-believers), конечность вселенной не влияет на конструктивистский дискурс.

> (2) В предположении гипотезы пункта (0) существует натуральное число, имеющее материальное представление,
> такое, что если к нему добавить единицу, то получившееся число уже не будет иметь материального представления.

--- не в предположении пункта (0) а в предположении, что "вселенная конечна".
Я плохо понимаю, что значит "вселенная конечна" но пускай...

> (3) Итого, в предположении гипотезы пункта (0) имеем, что утверждение «к любому конструктивному, уже построенному, числу можно добавить единицу» неверно (в том смысле,
> что результат не имеет материального представления).

--- пускай... (не должно ни на что влиять).

> (4) В результате, утверждение «данный алгоритм для любых конструктивных, уже построенных, натуральных
> чисел строит их сумму» следует отбросить как бессодержательное (в смысле пункта (3)).

--- почему? Мы же не собираемся вдаваться в догматизм. У конструктивистов натуральные числа - деревянные палочки (например спички), а на объекты вселенной.
Складывать две кучки спичек легче, чем "произвольные наборы объектов, исчерпывающие вселенную".

> (5) Мы получили, что последовательное применение
> материалистической точки зрении приводит к тому, что
> мы вынуждены оставаться в рамках конечной математики,
> в которой, например, не любые два числа можно сложить.
> (А только такие, у которых сумма не очень велика.)

--- нет, такой аргумент никуда не годится.


Преимущество конструктивистов в том, что их минималистические взгляды невозможно "опровергнуть", настолько там всё правильно.
Конструктивные обьекты однозначно признаются всеми математиками, кроме еще более минималистских финитистов и физибильщиков (информатиков).
Классические способы строить основание для математики так и не привели к одной системе оснований математики.

Проблема с ограничением науки конструктивными рассуждениями, в том , что они не могут доказать даже некоторые простые дельта-0 формулы.
Например существование последовательности из N конечных деревьев таких что |T_i|< 5+i и предывущие деревья не вкладываются с сохранение инфимума в последующие,
легко доказывается непредикативнуми методами (выше ATR_0), то есть слегка использует понятие актуальной бесконечности, при этом даже можно с помощью этих же непредикативных методов прикинуть, где сидит это число N. Не такое уж оно и большое. В конструктивной математике вопрос о существовании такой конечной последовательности навсегда останется нерешенным (по теореме Фридмана). Это нужное и важное число. Его даже (по модулю некоторых неконструктивных теорем) можно повычислять.

То же и про формулы с кванторами. Формула может с легкостью опровергнуться в какой-нибудь даже слабенькой классической теории. Неужели честный конструктивист все еще будет пытаться ее конструктивно доказать или конструктивно опровергнуть, когда опровержение уже дано в классической теории? (Я не говорю о ситуациях когда смысл утверждения меняется при переводе на конструктивный язык, как с последовательностью Шпеккера или квадратом Оревкова.)

Конструктивная математика - важная штука, которую каждый логик должен понимать, но есть кое-что и кроме нее. В логике творятся чудеса, многие связанные с конструктивным способом мышления, надо их только узнавать...

(Reply to this) (Parent) (Thread)

я имел в виду максимальное N с этим свойством.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

(spasibo---хотя я просил объяснить позицию конструктивистов, а не в каком-либо смысле защитить)

A порядок N какой --- двойная экспонента или экспонента экспонент или больше ?

И правильно ли я понимаю, что аргументы (0)-(4) говорили, что конструктивизм - нельзя обосновать внутри финитизма ?

У конструктивистов натуральные числа - деревянные палочки (например спички), а на объекты вселенной.
Складывать две кучки спичек легче, чем "произвольные наборы объектов, исчерпывающие вселенную".

Верно ли я понимаю, что точнее так : конструктивист *представляет себе* натуральное число как кучку деревянных палочек, *абстрагируясь* от физической реализуемости этой кучки*) ?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

1) N конечно же гораздо больше, чем башня из миллиарда двоек, где-то на FOM написаны нижние оценки.
Важно не то какое N по величине, а что оно означает и как оно отвечает за структуру (в смысле вложения друг в дружку) конечных деревьев не очень большого размера.

2) нет, аргументы с "конечной вселенной" не имеют отношения к философии финитизма.

3) да, представлят себе деревянные палочки (спички) и "абстрагируется", но не слишком сильно: всегда нужно не сомневаться, что то, что мы делаем с палочками можно сесть и сделать.

4) конструктивисты докомпьютерной эры (1950х-1960х годов) не интересовались вопросами сложности вычислений, поэтому сейчас их дискурс с легкостью критикуют информатики, на основании современных представлений бытующих в головах computer scientistов.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>N конечно же гораздо больше, чем башня из миллиарда двоек,
Вот теперь я знаю, что имеют ввиду логики, когда говорят, что число не очень большое :-)

>да, представлят себе деревянные палочки (спички) и "абстрагируется", но не слишком сильно: всегда нужно не сомневаться, что то, что мы делаем с палочками можно сесть и сделать.

Вы всё опять запутали. Как понимать слова сесть и сделать?
Конкретный пример: http://en.wikipedia.org/wiki/Graham_number
Вот я сейчас сяду и напишу программу для машины Тьюринга,
которая всё в лоб перебирает, пока не найдёт правильный ответ.
Теоретически она может работать вплоть до, скажем,
примерно половины этого числа Грехема.
Такое число мы не сможем записать никогда.
Допустима ли такая программа с точки зрения конструктивизма?
Если да, то как следует понимать ваши слова про сесть и сделать?

>конструктивисты докомпьютерной эры (1950х-1960х годов) не интересовались вопросами сложности вычислений, поэтому сейчас их дискурс с легкостью критикуют информатики, на основании современных представлений бытующих в головах computer scientistов.

Это конечно. Собственно, моя критика является очень слабой
версией этой критики.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

про число Грэма в википедии написана неправда и профанация: это достаточно маленькое число, не входящее даже в первую двадцадку известных коротко определенных больших чисел. В первых строчках стоят разные числа из Ратьеновского Пи-1-2 анализа, следующим эшелоном идут числа из теоремы о минорах графов, третьим эшелоном - разные числа из теорем о частичных вполне-упорядочениях (например в низких слоях третьэго эшелона лежит Крускалово число(5), определение которого я выписал. Четвертый эшелон - разные рамсеевы числа. Где-то в самом низу четвертого эшелона маячит Грэмово число...

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Очень интересно. Впрочем, это не отменяет моего вопроса
про конструктивность вычисления с числом операций порядка числа Грехема.

Было бы очень интересно узнать про эти эшелоны чуть подробнее.
Что это за Пи-1-2 анализ такой, например?
Возможно, имеет смысл написать отдельный (не очень большой) пост про это?

А вот, скажем, если обозначить за t(n) максимальное количество
операций, которое может выполнить машина Тьюринга с n состояниями,
то в каком эшелоне будут сидеть числа t(n)?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

про эшелоны это я так выразился, для поэтичности: каждому "эшелону" соответствует формальная теория в которой известно простое недоказуемое Пи_2 утверждение.

Большие числа получаются из известных недоказуемых Пи_2 утверждений, достаточно вставить вместо переменной из-под универсального квантора первое число, для которого известно, что явление уже действует (в теории рамсея функции разгоняются не сразу, а через несколько шагов).

Про разные теории можно почитать в книжке S.Simpson "Subsystems of second-order arithmetic".

Про недоказуемость - в моей недавней писульке здесь: article

Про t(n) (и про соответствующие большие числа из диофантовыx игр) я пока серьезно не думал, хотя кое-какие банальности про доказуемо-рекурсивные функции сказать мог бы.

(Reply to this) (Parent)

А можно привести пример какого-нибудь утверждения,
верного с точки зрения конструктивной математики,
но неверного с точки зрения информатиков и feasibility-believers?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Непонятно как схватить в точности, что информатики-физибильщики утверждают. Их тоталитарная идеология достаточно жесткая в том смысле, что многие их предметы и исследования объясняются и мотивируются этой идеологией (за этим эту идеологию и держат!), но математически она нечеткая, особенно в пограничных случаях, которые нам интересны, так что мои утверждения могут быть и оспорены некоторыми физибильщиками, особенно теми, кто интересуется математикой.

Например, у физибильщиков нормальные и интересные теоремы, важнейшие комбинаторные теоремы (например Теорема Рамсея) будут встречены пожатием плечей и последующим отторжением (да-да, в этом сообществе принято "отторгать" математические теоремы :))) ) С Теоремой Рамсея "отторжение" будет наверное объясняться присутствующей там башней экспонент, а может еще как-нибудь...

ПризнАют ли конструктивисты теорему Рамсея?
С конструктивистами немножко непонятно про которое крыло конструктивистской философии мы говорим.

Например в большинстве теорем конструктивистского анализа по Маркову и Шанину требуется иметь последовательность (рекурсивно вычислимую) и общерекурсивный регулятор сходимости (т.е. тюрингову машину, которая по епсилону находит дельту) - во всех определениях: вещественное число, сходимость последовательносте вещ. чисел, непрерывность и т п. Но что значит "дана общерекурсивная функция" и как по тюринговой машине определить определяет она общерекурсивную функцию или нет - не сказано.
В принципе все истинно-общерекурсивные машины тюринга сойдут, вне зависимости от доказуемости/недоказуемости их остановки на всех входах. В этом смысле конструктивисты являются радикальными Пи-1 платонистами и сильно отличаются от информатиков-физибильщиков. Если нам "даны" все рекурсивные функции (то есть известно множество 0'),
но не только теорема Рамсея но и много что еще с легкостью принимается.

Простой вопрос: почему экспонента тотальна: ответ будет такой у разных людей

у Сазонова - что экспонента не тотальна
у информатиков-физибильщиков - пожатие плечами и бормотание "а в чем вопрос?"
у конструктивистов - потому что есть тюрингова машина, которая вычисляет экспоненту.

Но доказательство того, что эта машина вычисляет экспоненту не может быть проведено в теории слабее, чем EFA!!!
И тут конструктивисты разделяются на тех, кто признает, что утверждения надо доказывать: пускай без принципа Маркова и без исключенного третьэго, но доказывать! и на тех, кто считает, что конструктивная математика - чисто эмпирическая наука и доказательства могут быть лишь доказательствами Делта_0 и Сигма_1 формул путем проверки подстановкой. Первые конструктивисты с легкостью всё что надо докажут, а вторые - нет.

Вот такой мой ответ: конструктивисты из рекурсивного анализа могут доказать больше, чем информатики-физибильщики, а эмпирические конструктивисты - меньше!

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Вот читаю, и испытываю то многократно описанное в литературе ощущение составленности текста из двух частей: пока трактуются вопросы, в которых я разбираюсь не лучшим образом — там всё складно, красиво и правдоподобно. А вот когда начинаются вещи, где я более-менее в курсе... :-))

> Но что значит "дана общерекурсивная функция"
> и как по тюринговой машине определить
> определяет она общерекурсивную функцию или нет - не сказано.

Это фактически неверно. Марков последние 15 лет жизни убил именно на формулировку конструктивной семантики, более или менее развёрнутое изложение которой (или её отдельных этажей) можно найти в десятке мест. Ну, вот, к примеру:

[1] О логике конструктивной математики// Вестник МГУ. Серия 1: Математика, Механика. — 1970. — Т.25, №2. — С.7-29.
[2] О логике конструктивной математики. М.: Знание, 1972.
[3] Попытка построения логики конструктивной математики// Исследования по теории алгорифмов и математической логике. — 1976. — Т.2 — С.3-31.

Вопросы, связанные с "общерекурсивностью", обсуждаются в §7 брошюры [2] и §2 статьи [3].

> В этом смысле конструктивисты являются радикальными Пи-1 платонистами

До сих пор мне не доводилось слышать, чтобы Маркова называли платонистом (его, самое большее, в "позитивисты" зачисляли). Что-то новенькое. Видимо, наиболее ярким проявлением марковского платонизма следует считать пассаж из [2, §15] про абстракцию актуальной бесконечности и аналогичные по духу издевательства над свободно становящимися последовательностями там же и в комментариях к Гейтингу.

> у конструктивистов - потому что есть тюрингова машина, которая вычисляет экспоненту.

Опять же фактически неверно. Не составляет труда построить машину, конструирующую нечётное совершенное число (тупым перебором). Проблема только, что сама эта машина заранее не скажет, остановится она или же "повиснет". То же самое и с экспонентой.

> Но доказательство того, что эта машина вычисляет экспоненту
> не может быть проведено в теории слабее, чем EFA!!!

Тут уже сама постановка вопроса ничего общего с конструктивной установкой не имеет. Там принято рассуждать не "в теориях", а содержательно.

> пускай без принципа Маркова

С точки зрения самого Маркова, ленинградский принцип — это, вообще-то, теорема ;-) Ссылки дать?

> конструктивная математика - чисто эмпирическая наука

"Эмпирическая наука" — это сухая вода, такого не бывает. Наука устанавливает закономерности, а никакой эксперимент сам по себе никогда не докажет, что 2+2=4: он может лишь проконстатировать, что в такой-то конкретный четверг (через 10 минут 03 секунды после дождя) результат сложения 2+2, проведённый на ЭВМ с такими-то серийными номерами комплектующих, оказался равен 4. Так что по-настоящему последовательный "эмпиризм" вообще должен не теории строить, а просто протоколы экспериментов собирать: вчера насчитали то-то и то-то, год назад — то-то и то-то, а что насчитаем завтра и имеется ли какая-нибудь система в уже насчитанном — неизвестно (и даже думать на эту тему низ-зя, патамушта схоластика!)

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Уважаемый Гастрит,

1) вероятно я плохо разделил в тексте моё описание спектра конструктивистских взглядов и мою критику этих взглядов, поэтому Вы может быть не поняли.

Мой текст про доказуемую/недоказуемую вычислимость регуляторов сходимости был моей критикой.

2) Пи-1 платонизм - это вера (ну или "набор образов") в то, что каждая машина тьюринга или когда-то остановится или никогда не остановится. Еще Брауэра часто упрекали в том, что он математический платонист (не просто Пи-1, а вообще!!!), и многих конструктивистов с тех пор тоже. Так что я ничего нового не сказал.

3) Про Марковские взгляды и их эволюцию - тут я действительно подзабыл. Последний раз интересовался конструктивной математикой лет 10-12 назад.
Поясните пожалуйста еще раз, в чем ошибка. Я валю в одну кучу Гудстейновский рекурсивный анализ, реализуемость, книжку Клини и Уэсли, советский конструктивизм и т д.
и классифицирую их в виде спектра. Я точно помню, что в одной части спектра вещественное число было парой из двух машин тюринга (или марковских машин со скобочками): первая вычисляла последовательность рациональных чисел, а вторая - внутреннюю сходимость (в себе). По-моему это у меня в голове осталось из кннижки Кушнера.
Проблема остается: даже "в высшем смысле" вычислимая функция обычно не будет РА-доказуемо рекурсивной.

4) Правильно ли я понял, что вы находитесь в той части спектра конструктивистских философий, в которой лишь Делта_0 формулы и очень очень немногие Сигма_1 арифметические формулы будут объявлены истинными? Остальные формулы будут навсегда "зависшими".

5) Я не понял до конца Ваше отношение к доказательствам: есть замечательные формальные системы арифметики и анализа с хорошо разработанной конструктивной логикой.
В этих системах доказывается всё что нужно с помощью конструктивно приемлимых методов. В чем проблема?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> 2) Пи-1 платонизм - это вера (ну или "набор образов") в то,
> что каждая машина тьюринга или когда-то остановится
> или никогда не остановится.

В рамках конструктивной семантики этот тезис неверен (т.к. равносилен разрешимости проблемы остановки). Если же "или" понимается как квазидизъюнкция (т.е. отрицание конъюнкции отрицаний), то фраза выражает (причём сознательно, и об этом с самого начала предупреждается!) всего лишь формальную выводимость некоторой логико-математической формулы. Каковой вывод в данном случае даже финитен и может быть "положен на стол". С этой точки зрения, таким образом, никакого платонизма в конструктивной математике, вроде бы, не оказывается.

> Еще Брауэра часто упрекали в том, что он математический платонист
> (не просто Пи-1, а вообще!!!), и многих конструктивистов с тех пор тоже.

Это верно. Как раз Марков, в частности, и упрекал. За свободно становящиеся последовательности и бар-индукцию. Какое отношение эти упрёки имеют к конструктивной математике (если, конечно, не принимать всерьёз утверждения Минца и Драгалина, будто бы в "башне" тоже встречаются обобщённые индуктивные определения и бар-индукция), мне не вполне понятно.

> Я точно помню, что в одной части спектра вещественное число
> было парой из двух машин тюринга (или марковских машин со скобочками):
> первая вычисляла последовательность рациональных чисел, а вторая -
> внутреннюю сходимость (в себе). По-моему это у меня в голове осталось
> из кннижки Кушнера.

Истинная правда, Вами описаны хрестоматийные шанинские дуплексы. Проблема в том, что свойство пары машин Тьюринга, нормальных алгорифмов или что-там-ещё-можно-использовать быть именно дуплексом — оно немножко неразрешимое. Проблему Вы сами обозначили: функция должна быть "общерекурсивной", плюс к тому второй алгорифм (также обязанный быть "общерекурсивным"!) должен в некотором смысле быть согласован с первым. Провести тут исчерпывающую "механическую" проверку невозможно, тут надо для каждого конкретного кандидата на роль КВЧ теоретический анализ проводить. И таковой проводится, вопреки Вашим утверждениям, будто бы "не говорится, что означает общерекурсивность".

> Проблема остается: даже "в высшем смысле" вычислимая функция обычно не будет РА-доказуемо рекурсивной.

Так и не должна. Мы проводим содержательное (так сказать, "физическое") рассуждение, которое приводит нас к выводу, что с данной конкретной вычислимой функцией всё обстоит "хорошо". До тех пор, пока какие-нибудь вновь открывшиеся на опыте обстоятельства не укажут нам на опрометчивость такого нашего вывода — мы будем им пользоваться. Возможность же формализации в том или ином исчислении с этой точки зрения совершенно вторична (и конструктивистов в методологическом плане не интересует — хотя сами по себе эти исчисления и могут быть примечательными объектами исследования).

> Правильно ли я понял, что вы находитесь в той части спектра
> конструктивистских философий, в которой лишь Делта_0 формулы
> и очень очень немногие Сигма_1 арифметические формулы
> будут объявлены истинными? Остальные формулы будут
> навсегда "зависшими".

Нет, неправильно (см.выше). В нашей части спектра просто различают статус Сигма_1 и более высоких этажей: первые допускают материальную проверку, а вторые (хотя иногда тоже её допускают), представляют собой теоретические обобщения (тут есть некая, хотя и не вполне точная, аналогия с гильбертовскими "реальными" и "идеальными" суждениями). А эти обобщения не "зависают": они просто отражают конкретный уровень наших знаний и умений и принадлежат в этом смысле конкретной эпохе. С течением временем наши представления об их верности/неверности могут меняться — обычный для естественной науки процесс, как уже неоднократно было сказано :-)

> В этих системах доказывается всё что нужно с помощью конструктивно приемлимых методов. В чем проблема?

Проблема в излишнем фетишизировании этих систем. Нелепо считать, что сущность конструктивной установки может быть сведена к какому-то формальному исчислению. Сами конструктивисты, собственно, этим и не занимаются. Этим занимаются исключительно "классики", пытающиеся перепеть конструктивные (или интуиционистские) теории на привычном для себя языке.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent)

>--- почему? Мы же не собираемся вдаваться в догматизм. У конструктивистов натуральные числа - деревянные палочки (например спички), а на объекты вселенной.

Тогда у вас с Гастритом разный конструктивизм.
Гастрит упорно разглагольствует про то, что его
объекты имеют материальное воплощение, то есть являются
объектами вселенной. Если конструктивный объект —
это воображаемая последовательность спичек, то тогда
я снимаю все свои возражения.

Я всего лишь хочу указать на то, что на полное
соответствие с концепцией материального воплощения
в виде объектов вселенной могу претендовать указанные
вами информатики и feasibility-believers.

Пример с деревьями замечательный. А константа 5 критична?

>Конструктивная математика - важная штука, которую каждый логик должен понимать, но есть кое-что и кроме нее. В логике творятся чудеса, многие связанные с конструктивным способом мышления, надо их только узнавать...

С этим я и не спорю.

Просто Гастрит утверждает, будто бы научная математика
ничем кроме конструктивной математики быть не может, на том
основании, что последняя якобы изучает объекты вселенной.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Нет, тут я согласен с уважаемым Гастритом. Слова о материальном воплощении всего происходящего очень важны в конструктивистском дискурсе. Это резко отличает конструктивизм от надуманных и мало обоснованных предметов. Конструктивизм - это математика, как естественная наука. Ну... с небольшим элементом абстракции (на уровне принятия произвольных машин тьюринга и игнорирования дискурса новоявленных информатиков, откуда-то появившихся...)

Да, информатики и feasibility-belivers может быть и лучше воплощают эту идею, но из-за плохого образования они обычно не могут эти аргументы правильно представить и дискредитируют свои слова некоторыми другими способами. Конструктивисты же обычно благородны, начитаны и безработны, создавая хорошую почву для приятия их аргументов.

Нет, я не знаю с числа 5 начинается крускальщина или может быть с числа 3, 6 или 9, но точно с какого-то маленького.

(Reply to this) (Parent)

Плохо выразил мысль. В Вашем посте "с пунктами", конечно, речь о "программах" была. Однако в качестве противовеса "не могущим описать" число "программам" Вы предлагали описание оного числа средствами ZFC. Вопрос первый и основной: а почему именно ZFC (языка, модели не имеющего, и у которого даже просто с формальной непротиворечивостью ничего не ясно)? Почему не средствами языка формальной арифметики (у которого модель есть), например?

И маленькие технические замечания про Ваши пункты, раз уж они составляют для Вас такой пунктик (хотя на самом деле к вопросу и не относящийся). Где гарантия, что метагалактика не связана с другими (неизвестными сегодня) частями материального мира, и лет эдак через тысячу окажется вполне возможным тягать доп.частицы оттуда? А может, эти электроны миры, где пять материков тоже можно дробить на октиллионы частей (посредством столь вожделенного Вами ЦЕРНовского коллайдера, например), из которых затем составлять внутри этого самого отдельно взятого электрона по суперкомпьютеру? А?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>И маленькие технические замечания про Ваши пункты, раз уж они составляют для Вас такой пунктик (хотя на самом деле к вопросу и не относящийся). Где гарантия, что метагалактика не связана с другими (неизвестными сегодня) частями материального мира, и лет эдак через тысячу окажется вполне возможным тягать доп.частицы оттуда? А может, эти электроны миры, где пять материков тоже можно дробить на октиллионы частей (посредством столь вожделенного Вами ЦЕРНовского коллайдера, например), из которых затем составлять внутри этого самого отдельно взятого электрона по суперкомпьютеру? А?

Вы правильно указали, что такой гарантии нет.
Но и обратного утверждать мы тоже не можем.
Мы должны исходить из того, что не знаем этого.
Следовательно, допустимы любые варианты, в том
числе тот, который я указал.

>Вопрос первый и основной: а почему именно ZFC (языка, модели не имеющего,
bbixob@lj говорит, что у ZF есть модель (в том
же смысле, что и у арифметики).

>и у которого даже просто с формальной непротиворечивостью ничего не ясно)?
Непротиворечивость следует из существования модели.

>Почему не средствами языка формальной арифметики (у которого модель есть), например?
Ответ дан выше.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Мы должны исходить из того, что не знаем этого.

А когда мы чего-то не знаем, тогда лучше жевать, чем говорить. Факт в том, что когда мы на границы наших конструктивных возможностей не натыкаемся, то теоретическое допущение о том, что таких границ вообще нет, нисколько не расходится с реальностью. Потому что существенных (с точки зрения данного конкретного расчёта) границ действительно нет вообще.

А ситуация в космологии меня не волнует. Мне не нужна вечная игла для примуса, я не собираюсь жить вечно.

> bbixob@lj говорит, что у ZF есть модель (в том же смысле, что и у арифметики).

1) Где говорит? Я не заметил.

2) Натуральные числа суть конструктивные объекты (т.е. на некоторые из них можно просто ткнуть пальцем, и все основные арифметические операции над этими "некоторыми" реально можно выполнить). Для суждений о натуральных числах, относящихся к первопорядковой арифметике, имеется вполне конкретная семантика (ступенчатая семантика Маркова). Каким образом можно ткнуть пальцем в множества (т.е. основные "объекты" ZF), сразу же не запутавшись в "операциях" с ними, постулированных в ZF (аксиомы бесконечности+аксиомы степени+закона исключённого третьего, полагаю, хватит с головой)? Какова семантика достаточно сложных суждений об этих множествах? Тайна сия велика есть (для меня, по крайней мере). Просветите, если не сложно?

> Непротиворечивость следует из существования модели.

Разумеется, следовала бы. Однако см. выше.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>А когда мы чего-то не знаем, тогда лучше жевать, чем говорить. Факт в том, что когда мы на границы наших конструктивных возможностей не натыкаемся, то теоретическое допущение о том, что таких границ вообще нет, нисколько не расходится с реальностью. Потому что существенных (с точки зрения данного конкретного расчёта) границ действительно нет вообще.

Извините, но это просто неверно. Математики уже давно
хотят посчитать много чего конструктивного, но им это
просто не удаётся. Приведу лишь один пример:
Виноградов доказал гипотезу Гольдбаха начиная с некоторого
(3^14348907) числа. Хочется сказать, что остальное
можно досчитать конструктивно, но нет, граница
столь велика, что мы даже не знаем, будет ли
существовать вселенная, когда компьютеры завершат
свою работу. В принципе, если поискать, то можно
найти такой же пример, но уже не со временем, а с памятью.

>1) Где говорит? Я не заметил.

http://bbixob.livejournal.com/75286.html?thread=644118#t644118

>2) Натуральные числа суть конструктивные объекты (т.е. на некоторые из них можно просто ткнуть пальцем, и все основные арифметические операции над этими "некоторыми" реально можно выполнить). Для суждений о натуральных числах, относящихся к первопорядковой арифметике, имеется вполне конкретная семантика (ступенчатая семантика Маркова). Каким образом можно ткнуть пальцем в множества (т.е. основные "объекты" ZF), сразу же не запутавшись в "операциях" с ними, постулированных в ZF (аксиомы бесконечности+аксиомы степени+закона исключённого третьего, полагаю, хватит с головой)? Какова семантика достаточно сложных суждений об этих множествах? Тайна сия велика есть (для меня, по крайней мере). Просветите, если не сложно?

Пожалуйста. Выделим класс множеств следующим
образом: возьмём пустое множество и будем
применять к нему конечное число раз операции
взятия множества всех подмножеств и операцию выделения.
Такие множества называются, если я не ошибаюсь,
артиналами. Все натуральные числа в конструкции фон Неймана
являются артиналами. Теперь оставим из всех артиналов не слишком
большие. На каждое из получившихся множеств
мы можем ткнуть пальцем и все основные теоретико-множественные
операции (объединение, пересечение, множество
всех подмножеств, выделение) над этими некоторыми можно реально выполнить.

Я уверен, что и семантика здесь тоже есть,
надо только уточнить, что вы имеете ввиду под семантикой.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Извините, но это просто неверно.

Что неверно? Каким образом приведённый Вами пример ситуации, когда мы наталкиваемся на границы наших конструктивных возможностей, может доказывать что-либо применительно к ситуациям, когда мы на такие границы не наталкиваемся?

> http://bbixob.livejournal.com/75286.html?thread=644118#t644118

Угу, спасибо (опять же пропустил соответствующую фразу). Ну, так ведь давно известно, что все ошибки в математических статьях находятся там, где написано «очевидно, что...» :-)

> все основные теоретико-множественные
> операции (объединение, пересечение, множество
> всех подмножеств, выделение) над этими некоторыми
> можно реально выполнить.

Не-е-е, так дёшево Вы не отделаетесь. Речь ведь шла не о множествах вообще (в конструктивной математике множества тоже ведь рассматриваются: как однопараметрические формулы), а именно о ZF. А там у нас, по списочку:

1) Аксиома бесконечности. Гоните-гоните его, родимое.

2) Аксиома степени. Угу, и для бесконечного множества из предыдущего пункта множество всех подмножеств тоже придётся строить.

3) Аксиома объёмности. Соответственно, операцию сравнения множеств в студию.

И так далее. И чтобы во всём этом запутаться, Вам, боюсь, даже не надо будет придумывать экзотические примеры вроде проблемы Гольдбаха.

Под семантикой же я понимаю семантику :-) Т.е. содержательное понимание замкнутых формул (элементарные формулы выражают то-то и то-то; конъюнкции выражают верность обеих связываемых формул; дизъюнкции — возможность указать среди связываемых формул верную; и т.д.).

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Угу, спасибо (опять же пропустил соответствующую фразу). Ну, так ведь давно известно, что все ошибки в математических статьях находятся там, где написано «очевидно, что...» :-)
А мой комментарий
http://bbixob.livejournal.com/75286.html?thread=645142#t645142
вы тоже не увидели?

>Что неверно? Каким образом приведённый Вами пример ситуации, когда мы наталкиваемся на границы наших конструктивных возможностей, может доказывать что-либо применительно к ситуациям, когда мы на такие границы не наталкиваемся?

Честно говоря, я ничего не понял.
Вы можете явно сформулировать ваше утверждение
про границы, на которые мы не наталкиваемся?

>Не-е-е, так дёшево Вы не отделаетесь. Речь ведь шла не о множествах вообще (в конструктивной математике множества тоже ведь рассматриваются: как однопараметрические формулы), а именно о ZF. А там у нас, по списочку:

>1) Аксиома бесконечности. Гоните-гоните его, родимое.

А это — объект, который, согласно современным
представлениям науки, в нашей вселенной
не имеет материального представления.
Помните, я привёл вам пример натурального
числа, которое (и все числа большие его)
не имеет материального представления
(во всяком случае, не может его иметь согласно
современным представлениям науки,
без гарантий на будущее)?
Да, возможно, в будущем физики изобретут
что-то такое, что позволит нам представлять
любые натуральные числа. Но почему бы тогда им не сделать
что-то такое, что позволит нам представлять
любые объекты ZF?

>2) Аксиома степени. Угу, и для бесконечного множества из предыдущего пункта множество всех подмножеств тоже придётся строить.

>3) Аксиома объёмности. Соответственно, операцию сравнения множеств в студию.

Для указанного мною класса множеств всё это верно.
Про бесконечное множество я написал выше.

>Под семантикой же я понимаю семантику :-) Т.е. содержательное понимание замкнутых формул (элементарные формулы выражают то-то и то-то; конъюнкции выражают верность обеих связываемых формул; дизъюнкции — возможность указать среди связываемых формул верную; и т.д.).

Я думаю, содержательное понимание
указанного мною класса множеств вам должно
быть очевидно.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Честно говоря, я ничего не понял.

Ну, наконец-то Вы (вроде бы) поняли, что Вы этого не поняли. Не прошло и года.

> Вы можете явно сформулировать ваше утверждение
> про границы, на которые мы не наталкиваемся?

Дана ЭВМ с 256Mb оперативной памяти (включая swap). В оную занесена программа размером 100Kb (включая начальные данные), причём максимальный размер промежуточных результатов (возникающих в ходе работы программы) — 10Mb. После часа работы ЭВМ выдала ответ. Вопрос: изменился ли бы этот ответ, если бы памяти у ЭВМ было не 256Mb, а в 100 раз больше? А в 100000 раз? Не изменился бы. Ибо главное тут — не конкретное количество имеющихся у нас ресурсов, а тот качественный факт, что оных ресурсов достаточно для проведения требующегося нам построения. Вот эту-то достаточность мы и констатируем фразой «не наталкиваемся на границы конструктивных возможностей в пространстве, времени и материале».

Бывают ситуации, когда ресурсов не достаточно? Да разумеется, сколько угодно. Но мы эти ситуации вообще не рассматриваем. Точно так же, как в классической механике мы не рассматриваем движение электрона в атоме. Именно это исключение из рассмотрения "патологических" случаев (которые в действительности всё же могут происходить) и составляет смысл термина «абстракция» (непонимание этого момента Вы тут недавно в торжественной форме продемонстрировали, назвав абстракции заклинаниями).

> А это — объект, который, согласно современным
> представлениям науки, в нашей вселенной
> не имеет материального представления.

Тогда что он забыл в аксиомах? И что это за "модель", которая одну из аксиом (!!!) моделируемой системы не может реализовать вообще? Не после специальных извращений, целенаправленно исчерпывающих наличные ресурсы (как это было бы в арифметике), а сразу же, на самом же первом шаге?

> Для указанного мною класса множеств всё это верно.

Вот только моделью ZF Ваш класс не является: Вы же сами признали, что аксиома бесконечности для него не выполнена. А что это такое трамвай без "вай" — ZF без аксиомы бесконечности? Это что угодно, но не трамвай ZF.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Теперь понятно.

>Но мы эти ситуации вообще не рассматриваем.

Ну вот вы и сами признались в несостоятельности вашей позиции.
Как прикажете понимать простейшее утверждение: любые
два натуральных числа можно сложить? Я уже продемонстрировал,
что если понимать натуральное число как уже построенное
натуральное число, то это утверждение просто неверно.

>Именно это исключение из рассмотрения "патологических" случаев (которые в действительности всё же могут происходить) и составляет смысл термина «абстракция» (непонимание этого момента Вы тут недавно в торжественной форме продемонстрировали, назвав абстракции заклинаниями).

Вы изволите жульничать. Фактически, вы в этой фразе признаёте,
что возможность сложить любые два числа — просто
некая удобная фикция, которая не имеет никакого материального
выражения в конструктивной математике.
Эта проблема разрешается двумя способами: (1) переходом
к конечной математике; (2) отказом от материальности
конструктивной математики.
Что выбираете?

>Тогда что он забыл в аксиомах?
А что, простите, делает в аксиомах утверждение о том,
что любые два натуральных числа можно сложить?
И что это за модель, которая одну из аксиом моделируемой
системы не может реализовать вообще, кроме как в конечном
числе случаев?

>Не после специальных извращений, целенаправленно исчерпывающих наличные ресурсы (как это было бы в арифметике), а сразу же, на самом же первом шаге?

Ваше требование предъявить объект натуральных чисел —
это и есть специальное извращение, целенаправленно исчерпывающее
наличные ресурсы. Впрочем, вру: к артиналам легко
присоединить новый объект, который будет удовлетворять свойствам
натуральных чисел. Более того, мы можем разрешить
использовать объекты, получающиеся в результате использования
k операций теории множеств, где k не очень велико.
И такие объекты будут удовлетворять всем аксиомам ZF,
в пределах допустимости операций.
Так что ваше заключение принципиально неверно.

>а сразу же, на самом же первом шаге?
Не на первом шаге, а на k-ом, где k может быть, скажем, 10.

>Вот только моделью ZF Ваш класс не является: Вы же сами признали, что аксиома бесконечности для него не выполнена. А что это такое трамвай без "вай" — ZF без аксиомы бесконечности? Это что угодно, но не трамвай ZF.

Теперь выполнена.

Итак, имеем следующее: я располагаю возможностью точной
эмуляции ZF, при условии, что мы не выходим за границы вычислительных
возможностей. Более того, всего аксиомы у меня верны
и находят материальное выражение. (В пределах применимости,
конечно.) В том числе и аксиома бесконечности.
Тоже самое верно в вашем случае. То есть моя модель
ничем не уступает вашей.
Мы оба отвлекаемся от границ наших вычислительных возможностей
и отбрасываем границы.
В чём разница?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Ну вот вы и сами признались в несостоятельности вашей позиции.

Угу. Тогда несостоятельна вся классическая механика (поскольку для электронов в атоме она заведомо неприменима). Сообщите-ка об этом инженерам; потом расскажете, куда они Вас пошлют.

В остальном я уже сказал: надоело дискутировать с человеком, не понимающим, о чём вообще идёт речь. Если Вам так будет спокойней, можете считать, что победили меня по всем пунктам.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

действительно, дискуссия, кажется, уже перестала быть информативной для обоих сторон...

впрочем, свою позицию, кажется, *ясно* Вы не изъяснили. Не буду настаивать на этом, впрочем--за дискуссией следил по диагонали.

(Reply to this) (Parent)

>Угу. Тогда несостоятельна вся классическая механика (поскольку для электронов в атоме она заведомо неприменима). Сообщите-ка об этом инженерам; потом расскажете, куда они Вас пошлют.

Видите ли, всё дело в том, что классическая механика
пользуется классической математикой (а вовсе
не конструктивной, как вам хочется считать),
и подход у неё такой же, как у классической математики.

Я не сомневался, что у вас не найдётся возражений
по поводу моей конструкции для теории множеств ZF.

>В остальном я уже сказал: надоело дискутировать с человеком, не понимающим, о чём вообще идёт речь.

Я думаю, что единственный человек, который
удовлетворяет вашим критериям понимания — это
вы сами. Заметим в скобках, что все остальные
участники дискуссии (исключая вас) друг друга прекрасно
понимают. А вы замкнулись на своей узкой теории и не
желаете понимать другие точки зрения (точнее, точку
зрения подавляющего большинства математиков). Вот и всё.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> подход у неё такой же, как у классической математики.

Можете привести ссылку на учебник, монографию или статью по механике, где бы рассматривалось "множество всех материальных точек" (а именно такое понятие первым должно возникнуть в механике при применении подхода "классической" математики)? Из головы-то написать любой бред можно; витая пара терпит.

> Я не сомневался, что у вас не найдётся возражений
> по поводу моей конструкции для теории множеств ZF.

Они были высказаны задолго до предъявления этой конструкции. Повторять их я не буду ввиду заведомой бессмысленности этого дела: Вы всё равно не понимаете, о чём Вам говорят.

> А вы замкнулись на своей узкой теории и не
> желаете понимать другие точки зрения (точнее, точку
> зрения подавляющего большинства математиков). Вот и всё.

Вы прекрасно описали себя (т.к. Вы, действительно, замкнулись на своей точке зрения и понимать, о чём говорит оппонент, даже не пытаетесь). Мне же Ваша точка зрения прекрасно известна и понятна — только я её, по многим причинам, не разделяю. Вот и всё.

Всех благ.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Можете привести ссылку на учебник, монографию или статью по механике, где бы рассматривалось "множество всех материальных точек" (а именно такое понятие первым должно возникнуть в механике при применении подхода "классической" математики)? Из головы-то написать любой бред можно; витая пара терпит.

Учебник Арнольда, книга Арнольда и Хесина.

>Они были высказаны задолго до предъявления этой конструкции. Повторять их я не буду ввиду заведомой бессмысленности этого дела: Вы всё равно не понимаете, о чём Вам говорят.

Зачем повторять, можно просто дать ссылку.

>Вы прекрасно описали себя (т.к. Вы, действительно, замкнулись на своей точке зрения и понимать, о чём говорит оппонент, даже не пытаетесь). Мне же Ваша точка зрения прекрасно известна и понятна — только я её, по многим причинам, не разделяю. Вот и всё.

То, что вы говорите, я прекрасно понимаю.
Это только вы считаете, что я чего-то не понимаю, вот и всё.
Ну не хочется вам давать ответов по существу,
вот вы и обвиняете своего оппонента в безграмотности.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Учебник Арнольда, книга Арнольда и Хесина.

Механика по фамилии "Арнольд" я не знаю. Кто это такой, не расскажете?

> Это только вы считаете, что я чего-то не понимаю

Не только я так считаю. Вот Вам столь любимая Вами ссылка.

> Ну не хочется вам давать ответов по существу

Я давал ответы по существу. Однако Вы, вместо того, чтобы так же по существу их разбирать, как ни в чём не бывало, возвращаетесь к исходной точке (по принципу "а ты купи слона", как я уже обрисовывал сложившуюся ситуацию). Такой тип ведения дискуссии обычно бывает в двух случаях:

1) Оппонент — идиот. В данном случае не похоже (насколько я прикинул анамнез, 239+матмех, вроде и публикации есть).

2) Оппонент поставил себе цель во что бы то ни стало "победить" и берёт противника измором, надеясь, что тому в один прекрасный момент надоест.

Во второй ситуации продолжать дискуссию изначально бесполезно: на любой аргумент автоматом последует очередное "это все так говорят, а ты всё же купи слона". Поэтому я уже сказал: хотите считать себя "победителем" — считайте на здоровье.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Механика по фамилии "Арнольд" я не знаю. Кто это такой, не расскажете?

Владимир Игоревич Арнольд — один из крупнейших
механиков нашего времени. Впрочем, я чувствую,
что слово «механик» вы тоже используете
в каком-то необщепринятом смысле.

Механик — это тот, кто занимается механикой.
Механика включает в себя механику небесных тел,
жидкостей, газов и твёрдых тел.
Например, Эйлер, Лагранж, Гамильтон, Коши, Лаплас,
Пуассон, Навье, Стокс, Колмогоров, Арнольд — механики.

>Не только я так считаю. Вот Вам столь любимая Вами ссылка.

Вопросы исторического происхождения теорий мы с вами не обсуждали. Какая разница, откуда взялась та или иная теория?

Кстати, конструктивная математика появилась
из головы соответствующих математиков.

В любом случае, это не имеет к обсуждаемому вопросу
никакого отношения, и я не хочу это обсуждать.

Я всего лишь утверждаю, что если настаивать
на высказанном вами принципе материальности
(мы изучаем реальные объекты вселенной),
то тогда мы необходимым образом приходим к позиции
информатиков и feasibility-believers.
Конструктивная математика по сравнению с этими
областями использует дополнительные абстракции,
которые не имеют материального соответствия.
Я также утверждаю, что в силу последнего факта
конструктивная математика в этом отношении
(отношении к принципу материальности)
оказывается на одном уровне с классической, в частности,
я продемнострировал вам, что в предположении
ограниченности мы умеем моделировать все существенные
аспекты ZF (в том числе все аксиомы, включая
аксиому бесконечности). И в этом нет ничего
принципиально удивительного, ибо согласно
теореме Лёвенгейма—Скулема у теории ZF есть счётная модель. А мы берём из этой счётной модели
конечный кусок. Этот конечный кусок уже можно
материально моделировать.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Колмогоров, Арнольд — механики.

Давно я так не смеялся.

> Вопросы исторического происхождения теорий
> мы с вами не обсуждали.

Ясно. Т.е. Вы не понимаете не только мои тексты. Что ж, приятно чувствовать себя не хуже других :-)

> Конструктивная математика по сравнению с этими
> областями использует дополнительные абстракции,

Всё совсем наоборот: это "информатики" и т.д. используют дополнительные условия на объём ресурсов и т.д. Соответствующие задачи, безусловно, являются интересными и важными (иногда даже более важными, чем общие теоремы, ограничений на ресурсы не предполагающие), однако они этих самых теорем не отменяют; они их дополняют. Точно так же как учёт трения ракеты или самолёта о воздух не отменяет закона всемирного тяготения (а только дополняет его).

> И в этом нет ничего принципиально удивительного,
> ибо согласно теореме Лёвенгейма—Скулема
> у теории ZF есть счётная модель.

Согласно этой теореме, у ZF есть счётная модель только в том случае, если у неё есть хоть какая-то модель. Это раз. Далее, насколько я помню, теорема Лёвенгейма-Скулема совершенно неконструктивна и изначально (просто в силу характера своего доказательства) предполагает существование у теории множеств "хоть какой-то" модели (т.е. в некотором плане представляет собой пример порочного круга). Это два. Так что не надо произносить страшные слова и фамилии, никто всё равно не боится.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Давно я так не смеялся.

Я так и знал, что слово «механик» вы понимаете в особом, никому более не известном смысле.

>Ясно. Т.е. Вы не понимаете не только мои тексты. Что ж, приятно чувствовать себя не хуже других :-)

Вы что, разучились читать? andrey_bovykin@lj
пишет, что ZF взялась из головы Цермело.
Нам-то какая разница, откуда она взялась?
Важно, откуда её можно взять.
Вы в состоянии увидеть разницу между двумя словоформами?

>Всё совсем наоборот: это "информатики" и т.д. используют дополнительные условия на объём ресурсов и т.д. Соответствующие задачи, безусловно, являются интересными и важными (иногда даже более важными, чем общие теоремы, ограничений на ресурсы не предполагающие), однако они этих самых теорем не отменяют; они их дополняют. Точно так же как учёт трения ракеты или самолёта о воздух не отменяет закона всемирного тяготения (а только дополняет его).

Всё сказанное абсолютно верно.
Я лишь говорю, что на соответствие чему-то
реальному могут претендовать информатики и feasibility-believers,
но никак не конструктивисты, пользующиеся дополнительными
абстракциями.

>Согласно этой теореме, у ZF есть счётная модель только в том случае, если у неё есть хоть какая-то модель. Это раз. Далее, насколько я помню, теорема Лёвенгейма-Скулема совершенно неконструктивна и изначально (просто в силу характера своего доказательства) предполагает существование у теории множеств "хоть какой-то" модели (т.е. в некотором плане представляет собой пример порочного круга). Это два. Так что не надо произносить страшные слова и фамилии, никто всё равно не боится.

Пояснение предназначалось для обычных математиков.
Вам его следует отбросить, как несущественное для
содержания — предъявленной мною модели ZF.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Про парадокс Ришара слышали?
Да. Собственно, из него я это и взял.
У вас есть что сказать по существу?

>Любая система материальных объектов. Для классической механики объектом может выступать падающий кому-то с крыши на голову кирпич — вполне материальная штуковина. Для квантовой это может быть пучок электронов с раскалённой нити — т.е. тоже нечто вполне осязаемое. А что это будет для "классической" математики?

То же самое, что и для конструктивной. Пояснения — ниже.

>В виде формул ZFC существуют высказывания о таких "объектах", а не сами эти "объекты". И реальные свойства этих высказываний весьма отличны от аксиом ZFC. Совпадали бы — вопросов бы не было.

Это уже вопрос лингвистики, впрочем, пояснения можно найти ниже.

>Вы опять же демонстрируете "математическое" мышление (а в конструктивной математике нужно использовать физическое). Чтобы сложить 2 и 2, мне не нужно привлекать "всю материю во вселенной". И для подавляющего большинства реально интересных расчётов дело обстоит точно так же.

Проблема, однако, заключается в том, что в ZFC 2 и 2
тоже прекрасно складываются. Пояснения — в следующем
параграфе.

>Я не собираюсь ничего воображать. Передо мной стоит ЭВМ, и её действия (поскольку они не выходят за пределы возможностей оной) согласуются с представлениями конструктивной математики. Абстракция потенциальной осуществимости отвлекается от наличия границ конструктивных возможностей этой ЭВМ, и в этом смысле идеализирует ситуацию — однако, повторяю, в большинстве интересных мне случаев я на эти границы всё равно не натыкаюсь.

А вот здесь и начинается настоящее жульничество.
Конкретно, в этой фразе:
>и в этом смысле идеализирует ситуацию — однако, повторяю, в большинстве интересных мне случаев я на эти границы всё равно не натыкаюсь.

Именно, что идеализирует. В конструктивной математике
можно сложить два любых натуральных числа — для
этого есть алгоритм. Вы можете предъявить машину,
которая складывает два любых натуральных числа?
(Такая машина должна иметь бесконечный объём памяти.)

То есть жульничество заключается в том, что сначала
мы рассматриваем некий конечный фрагмент математики.
В этом конечном фрагменте присутствуют не очень
большие натуральные числа и другие не очень
большие, материально представимые, объекты.
Эти объекты обладают специфическими свойствами,
например, не любую пару материально представимых
натуральных чисел можно перемножить, а только
такую, у которой произведение не слишком велико.
Ну и множество других особенностей.
Заметим, что этот фрагмент математики также входит в ZF
(ибо последняя включает в себя конструктивную математику).

После введения этого конечного фрагмента вы произносите
заклинание «абстракция потенциальной осуществимости», взмахиваете волшебной палочкой
и пожалуйста, получите конструктивную математику.

Потенциальная осуществимость где?
В нашей вселенной потенциально осуществимо
лишь конечное количество объектов. Все остальные объекты
конструктивной математики в ней неосуществимы, даже потенциально.

Я тоже могу так делать. Беру тот же самый фрагмент
математики. Произношу заклинание «абстракция
потенциально осуществимости» и взмахиваю
волшебной палочкой. Пожалуйста, получите
классическую математику.

Разница лишь в том, что у вас потенциальная осуществимость
понимается в воображаемой вселенной, в которой существуют
машины с неограниченным объёмом памяти, а у меня —
в воображаемой вселенной в которой существуют машины,
действующие согласно ZF.

Чем машина с неограниченным объёмом
памяти более реальна, чем машина, действующая
по правилам ZF?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Именно, что идеализирует. В конструктивной математике
> можно сложить два любых натуральных числа — для
> этого есть алгоритм. Вы можете предъявить машину,
> которая складывает два любых натуральных числа?
> (Такая машина должна иметь бесконечный объём памяти.)

Вы передёргивате. Могу даже точно сказать, где: между второй и третьей фразами. Потому что на самом деле один и тот же алгорифм может исполняться разными машинами. С разным объёмом памяти. Или Вы серьёзно полагаете, что программу, написанную для i486 с 1MB ОЗУ для Pentium-IV с гигабайтом надо переписывать с нуля?

> После введения этого конечного фрагмента вы произносите
> заклинание «абстракция потенциальной осуществимости», взмахиваете волшебной палочкой
> и пожалуйста, получите конструктивную математику.

Словосочетание «абстракция материальной точки» для Вас тоже заклинание? Тогда Вы просто не понимаете той самой физики, интересы которой (на словах) бурно защищаете. Неплохо, неплохо.

> Чем машина с неограниченным объёмом
> памяти более реальна, чем машина, действующая
> по правилам ZF?

Ничем не более реальна. Потому что первая из этих машин — такая же "классическая" чепуха, как и вторая. Конструктивная же математика оперирует с реальными машинами, у которых объём памяти конечен. Но вот как именно она ими оперирует — этого-то Вы и не понимаете (что блестяще доказали, назвав абстракцию потенциальной осуществимости "заклинанием"). А ещё утверждали, что разбираетесь в вопросе :-)

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Вы передёргивате. Могу даже точно сказать, где: между второй и третьей фразами. Потому что на самом деле один и тот же алгорифм может исполняться разными машинами. С разным объёмом памяти. Или Вы серьёзно полагаете, что программу, написанную для i486 с 1MB ОЗУ для Pentium-IV с гигабайтом надо переписывать с нуля?

Наконец-то что-то содеражательное.
Уточняющие вопросы:
(1) Пусть у нас есть конкретная программа (без входных параметров),
которая выводит какое-то натуральное число.
Является ли возможность существования машины, реализующей
эту программу необходимым критерием для того, чтобы
эта программа рассматривалась как конструктивный объект?
(2) Если ответ на первый вопрос отрицательный,
то в каком смысле понимать утверждение о том,
что данная программа является конструктивным объектом?
Как возможность записать её на бумаге или в каком-то
другом смысле?

>А ещё утверждали, что разбираетесь в вопросе :-)
Я пока что утверждал, что знаю, что такое конструктивное
вещественное число. К специалистам по конструктивной
математике я себя не причислял.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> (2) Если ответ на первый вопрос отрицательный,
> то в каком смысле понимать утверждение о том,
> что данная программа является конструктивным объектом?
> Как возможность записать её на бумаге или в каком-то
> другом смысле?

Разумеется, ответ на первый вопрос отрицательный. Чтобы программа была конструктивным объектом, нужна машина, которая способна этот объект построить и проводить с ним некоторые элементарные операции (дописать/вычеркнуть букву, и т.д.). Грубо говоря, чтобы была именно возможность записать эту программу на бумаге (отличие бумаги от магнитного диска тут непринципиально). Обычные ЭВМ всё это прекрасно умеют.

> К специалистам по конструктивной математике я себя не причислял.

Однако безапелляционные экспертные оценки ("у вас воображаемый мир!"; "у ваших теорий нет никаких отличий от ZF!") почему-то выносите.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Чтобы программа была конструктивным объектом, нужна машина, которая способна этот объект построить и проводить с ним некоторые элементарные операции (дописать/вычеркнуть букву, и т.д.).

Я правильно понимаю, что имеется ввиду возможность
проводить элементарные операции (дописать/вычеркнуть букву)
с текстом программы?

>Однако безапелляционные экспертные оценки ("у вас воображаемый мир!"; "у ваших теорий нет никаких отличий от ZF!") почему-то выносите.

Исключительно на основании ваших высказываний.
У вас оценки ещё более безапелляционные.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Я правильно понимаю, что имеется ввиду возможность
> проводить элементарные операции (дописать/вычеркнуть букву)
> с текстом программы?

На сей раз (в виде исключения) Вы правильно понимаете.

> Исключительно на основании ваших высказываний.

Правда, предварительно перевранных Вами до неузнаваемости.

> У вас оценки ещё более безапелляционные.

Когда владею предметом. Когда не владею — тогда вопросы задаю, а не вердикты выношу.

(Reply to this) (Parent)

>А теперь поставьте передо мной ЭВМ, которая будет работать по правилам ZF. Объектами в которой будут множества, а основными операциями — построение степени, пары, функция выбора, эффективная проверка предиката «\(A\) является подмножеством \(B\)», и т.д.

А теперь поставьте передо мной компьютер, который работает
по правилам конструктивной математики (всей
конструктивной математики, а не только её конечного
фрагмента). Объектами в котором будут натуральные числа
(все натуральные числа, а не их конечное подмножество),
а основными операциями — сложение и умножение.

>Простите, но я живу не в воображаемой вселенной, а в самой что ни на есть реальной. Мои конструктивные объекты — это счётные палочки, ручка с бумагой и кристаллы полупроводника. Проблемы мира призраков (каковы бы они ни были) меня не волнуют.

Вы живёте в воображаемой вселенной, в которой
существуют машины с неограниченным объёмом памяти.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Объектами в котором будут натуральные числа
> (все натуральные числа, а не их конечное подмножество),
> а основными операциями — сложение и умножение.

То что Вы предлагаете сделать, называется классической математикой, а никак не конструктивной. Что такое конструктивная, Вы, похоже, не понимаете в приниципе. Что ж, будем считать создавшуюся ситуацию добавочной иллюстрацией к тезису, что теоретико-множественное мышление лечится только гильотиной :-)

> Вы живёте в воображаемой вселенной, в которой
> существуют машины с неограниченным объёмом памяти.

Я живу в реальной вселенной. Просто Вы этого не понимаете и понять, похоже, не можете (в силу особенностей Вашего стиля мышления).

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>То что Вы предлагаете сделать, называется классической математикой, а никак не конструктивной. Что такое конструктивная, Вы, похоже, не понимаете в приниципе. Что ж, будем считать создавшуюся ситуацию добавочной иллюстрацией к тезису, что теоретико-множественное мышление лечится только гильотиной :-)
>Я живу в реальной вселенной. Просто Вы этого не понимаете и понять, похоже, не можете (в силу особенностей Вашего стиля мышления).

Я вижу, мои аргументы попали в цель. Вам больше
нечего возразить по существу и вы решили подвергать
сомнению мою способность мыслить. Не самый
достойных выход.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Да победили, победили по всем пунктам. Просто с землёй меня сравняли. Не было нашей уважаемой англиканской церкви до Лютера и Эколампадия, и не принадлежу я к фамилии :-)

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent)