Войти в систему

Home
    - Создать дневник
    - Написать в дневник
       - Подробный режим

LJ.Rossia.org
    - Новости сайта
    - Общие настройки
    - Sitemap
    - Оплата
    - ljr-fif

Редактировать...
    - Настройки
    - Список друзей
    - Дневник
    - Картинки
    - Пароль
    - Вид дневника

Сообщества

Настроить S2

Помощь
    - Забыли пароль?
    - FAQ
    - Тех. поддержка



Пишет Misha Verbitsky ([info]tiphareth)
@ 2015-08-18 16:18:00
Previous Entry  Add to memories!  Tell a Friend!  Next Entry
Настроение: tired
Музыка: Singular hermitian metrics on holomorphic vector bundles
Entry tags:hse, math

текст предложений по программе первых двух курсов
Бесконечной длины текст
http://verbit.ru/Job/HSE/Curriculum/all.txt
состоящий из проекта программы первых двух курсов вышечки,
списка полезных книжек, и кучи пояснительного текста про ее содержание.
Своего рода апдейт к известному сочинению
"Математическая программа должна быть устроена так"
15-летней давности.

Прошу слать мне комментарии, поправки и все прочие соображения.

Привет


(Читать комментарии) - (Добавить комментарий)


[info]tiphareth
2015-08-21 12:45 (ссылка)
>в начале третьего

в начале третьего как раз можно рассказать над Z и все прочее

>Дерамовские когомологии бывают только для многообразий, только с
>коэффициентами в R

а все остальное особо и не нужно
(нужно, но область применимости многократно уже)

>неочевидны кажется вообще все стандартные свойства когомологий

Майер-Виеторис очевиден, точная последовательность пары,
и двойственность Пуанкаре

> и пытаться это использовать как введение именно в топологию

да хуй с ней, с "топологией", она ни для чего особо, кроме формулы
индекса (и РР-Хирцебруха) с теорией Ходжа и не нужна, а для них
достаточно де рамовских

хотят алгебру Стинрода изучать,
изучат ее на 3-м курсе или когда-нибудь еще,
но для приложений в остальном математике (вне
топологии и гомологической/гомотопической алгебры)
она не сильно необходима

а вот без 5-леммы и леммы о змее никак нельзя, для чего курс введения
в когомологии весьма полезен (и тут коэффициенты R как раз плюс,
ибо изрядно упрощают аргументы)

Может быть, надо вместо этого
просто сделать курс гомологической алгебры, но (а)
будет слишком сухо и (б) продавить его через коллег будет труднее
(в) есть шанс, что студенты будут демотивированы отсутствием
приложений и простых задач, где это дело применяется

Кроме того, опыт показывает, что даже совсем простые гомотопические
конструкции (типа расслоений Серра и точной последовательности
гомотопий в расслоении) среди целевой аудитории не идут. Думаю,
что если нужно введение в гомотопии, этого материала вполне хватит.

Но что сингулярные когомологии (в традиционном, нму-водовка-картофанчик
как-мне-противно-стало-от-вашего-треда формате) на втором курсе не идут, это
экспериментальный факт. Думаю, что именно потому, что без де Рама
они провисают в воздухе. Лично у меня ушло года 2-3 между тем,
как я освоил де Рама (в 9-м классе, по Лорану Шварцу),
и тем, как я разобрался с формулой замены коэффициентов
и двойственностью Пуанкаре над Z. Она там гораздо
более гнусно формулируется, и без гомологической алгебры
(функторов тора) ее лучше вообще не касаться.

И последовательность, когда люди учат де Рама сначала,
и осваивают сингулярные когомологии сильно после, не только
исторически аккуратная, но и оптимальная педагогически,
потому что де Рама много проще, а основные идеи (лемма
о змее, 5-лемма, точные последовательности, теорема Стокса)
там уже видны.

Такие дела
Миша

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2015-08-21 13:02 (ссылка)
>Майер-Виеторис очевиден, точная последовательность пары, и двойственность Пуанкаре

Майера-Вьеториса без сравнения с сингулярными когомологиями нельзя доказать (тебе нужно, что пучки сечений расслоений не имеют когомологий -- давай-ка докажи без всего формализма). Точную последовательность пары нельзя даже сформулировать.

Не понимаю, чем твоя любовь к отличается от любви других людей к сложной комбинаторики и функциям Бесселя. Точно такой же личный изъеб, основанный на личной истории. Мучать этим студентов нехорошо.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2015-08-21 14:21 (ссылка)
>Майера-Вьеториса без сравнения с сингулярными когомологиями нельзя доказать

доказывается в одну строчку (у тебя там точная последовательность комплексов)

>тебе нужно, что пучки сечений расслоений не имеют когомологий

пучки там вообще не надо (даже слова такого не надо ни для чего,
кроме определения расслоения)

>Точную последовательность пары нельзя даже сформулировать.

да без проблем, когомологии пары (X,Y) суть когомологии форм, которые
зануляются в окрестности Y. Тут нужно, чтоб Y был многообразием или типа
(для открытого подмножества тоже можно, но там был какой-то спрятанный геморрой)

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2015-08-21 16:38 (ссылка)
>доказывается в одну строчку (у тебя там точная последовательность комплексов)

Вперед.

Hint: почему она точная справа?

Кстати, для дерамовских когомогий неочевидна и конечномерность. Т.е. даже эйлерову характеристику нельзя определить.

В общем, если подумать, с дерамовскими когмологиями нельзя сделать *вообще ничего*. И применить их тоже нельзя никак (пока нет снигулярных и теоремы сравнения).

Единственное, что для них легче пишется, это умножение.

>да без проблем, когомологии пары (X,Y) суть когомологии форм, которые зануляются в окрестности Y. Тут нужно, чтоб Y был многообразием или типа

Это не имеет никакого отношения к. Там весь пойнт это что можно Y стянуть в точку и забыть про него. Но это конечно разрушает гладкость.

Хотя большей дикости, чем требовать гладкости для определения когомологий, трудно придумать, да.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2015-08-21 18:07 (ссылка)
>почему она точная справа?

нужно брать формы на многообразии с границей,
это по определению формы, гладко продолжающиеся на окрестность границы

0 \arrow \Lambda^*(U\cup V) \arrow \Lambda^*(U) + \Lambda^*(V) \arrow \Lambda^*(U\cap V)\arrow 0

точна справа, ибо каждую форму, которая продолжается на окрестность границы, можно продолжить на \Lambda^*(U) с помощью разбиения единицы

вариант, если тебе не нравятся многообразия
с краем - гладко прогомотопировать U\cap V в собственное
подмножество себя и получить форму, которая гладко продолжается
в окрестность U\cap V.

>Кстати, для дерамовских когомогий неочевидна и конечномерность.

очевидна: разбиваешь на конечное число выпуклых шаров, пишешь
майера-виеториса и пользуешься индукцией по числу шаров

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2015-08-21 22:48 (ссылка)
>гладко прогомотопировать

You've lost: гомотопической инвариантности, как обсуждалось у тебя нет.

Про разбиение единицы аргумент формально корректный, но выглядит как дикие костыли, и является таковыми (это затертое под ковер доказательство того, что у пучка сечений расслоения нет когомологий). Конечномерности это не дает, потому что ниоткуда не следует лемма Пуанкаре.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2015-08-22 01:21 (ссылка)
>гомотопической инвариантности

гладкая есть

>Конечномерности это не дает, потому что ниоткуда не следует лемма Пуанкаре.

лемма пуанкаре для шара изучается в 3-м семестре, есличо

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2015-08-22 03:31 (ссылка)
>>гомотопической инвариантности
>
>гладкая есть

------------------------------------------------------------------------

>>(для де Рама даже это, кстати, не очевидно).
>
>угу, самый разумный способ, на самом деле,
>доказать эквивалентность де рамовских и сингулярных,
>а для них это как раз просто

Ты уж определись, есть она, нет ее.

А что, лемму Пуанкаре изучают отдельно от гомотопической инвариантности когомологий? молодцы какие. Ядра интегральные небось пишут?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2015-08-22 07:36 (ссылка)
>Ядра интегральные небось пишут?

не, там доказательство уровня 9-го класса
(и вполне доступное даже совсем отсталым студентам)
http://verbit.ru/MATH/GEOM-2013/slides-pde-en-12.pdf
оператор гомотопии комплекса к нулю выражается через подстановку
векторного поля, а то, что это гомотопия, следует из обратимости
производной Ли вдоль него

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2015-08-22 10:41 (ссылка)
Реально через жопу, причем в координатах. Проще сказать, что если есть гладкое отображение M \times I \to N, то отображения комплексов де Рама на концах интервала I гомотопны (по формуле Стокса).

И там ошибка кстати, недостаточно рассматривать формы степени больше 0, надо еще чтобы функции стягивались на константу.

По модулю этого всего, в принципе оно работает, но криво все равно. И доказательство Майера-Вьеториса особенно кривое, а без него поссчитать ничего нельзя. Хотя может быть и плюс во всем этом -- если доказать, что векоторное поле действует нулем на когомологиях, и люди это запомнят, оно пригодится (а это важное обстоятельство).

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2015-08-22 12:36 (ссылка)
>векоторное поле действует нулем на
>когомологиях, и люди это запомнят, оно пригодится

в этом идея какбе
а какое именно векторное поле и как оно там выписывается,
каждый может сам посчитать

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2015-08-22 13:35 (ссылка)
В лемме Пуанкаре, в той формулироваке что у тебя, векторное поле вообще нафиг не нужно. Там нужна (1) стягивающая гомотопия и (2) гомотопическая инвариантность. Из-за того, что ты это обстоятельство смазал, у тебя появилась куча формул в координатах. Эйлерово векторное поле нужно, когда доказываешь над формальными рядами.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]tiphareth
2015-08-22 07:39 (ссылка)

>Ты уж определись, есть она, нет ее.

гладкая есть, конечно, но мы же не хотим работать в гладкой категории
(особенно ты)

гладкая категория, на самом деле, очень хуевая
например, морфизм гладких расслоений это х з что такое
(есть два определения, оба мудацкие)
так что в тот момент, когда начинается категорный язык, де Рама
надо избегать и перейти к сингулярным когомологиям например

(Ответить) (Уровень выше)


[info]grigori
2015-08-21 15:26 (ссылка)
Вот кстати мне вся эта гомотопическая бодяга шла гораздо легче, чем де рамовская. Интересно, это как-то связано с тем, что я в матшколе не учился и на матфак пришел в 20 лет.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2015-08-21 16:14 (ссылка)
ну у вас де рамовской особо и не было же
(ее и в НМУ не читают, а топологию читают, причем так же, как и у вас)

(Ответить) (Уровень выше)


[info]kaledin
2015-08-21 16:56 (ссылка)
>и тем, как я разобрался с формулой замены коэффициентов

Тут кстати есть два способа. Первый -- сначала вводить всю гомологическую алгебру. Второй -- наоборот все рассказать для комплексов над Z (что проще, потому что гомологическая размерность 1, а тор это буквально кручение и есть), а потом в другом курсе использовать это как мотивацию для общего формализма функторов тор. У обоих есть и плюсы, и минусы.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2015-08-21 17:31 (ссылка)
я был жертвой второго способа
нахуй нахуй, не надо этого

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2015-08-21 23:04 (ссылка)
Я как раз не был.

Но гомологическая размерность 1 однако. Сильно упрощает, все примеры можно поссчитать. Я не уверен, что это нельзя сделать хорошо (хотя то, что это можно сделать плохо, не вызывает сомнений).

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2015-08-22 01:19 (ссылка)
вроде нельзя, я по фуксу-фоменко учил (и лично с фуксом)
а фукс это бог, лучше него сделать трудно

без абстрактной гомологической алгебры оно проваливается в
мешанину мутных формул и немотивированных определений из серии
"дети, понять это нельзя, можно только запомнить"

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2015-08-22 10:47 (ссылка)
Ну почему? ы допистим знаешь когомологии над Z, хочешь по модулю n. Берешь цепной комплекс, берешь отображение умножения на n и его коядро. Вот тебе точная последовательность комплексов, причем реально из жизни. Дальше обьясняешь с любой степенью подробности, что происходит с когомологиями.

Дальше, если хочется, можно сразу рассказать про тор в общем случае, но это надо тензорные произведения и резольвенты. Но в принципе работает.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2015-08-22 12:35 (ссылка)
угу, именно так оно в каноническом варианте и делается
я этого точно не мог усвоить, слишком много мелких деталей
то вверх градуировку сдвигать, то вниз, на зная про тор и экст
запомнить это нельзя, дико бесит, в принципе

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2015-08-22 13:37 (ссылка)
Я сейчас обсуждаю длинную точную последовательность когомологий, порожденную короткой точной последовательностью комплексов, вообще-то. Ну при чем тут тор и экст, скажи на милость?

(Ответить) (Уровень выше)


[info]kaledin
2015-08-22 13:37 (ссылка)
>я этого точно не мог усвоить, слишком много мелких деталей

В таком случае ты не можешь усвоить гомологическую алгебру вообще, включая тор и экст.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2015-08-22 14:09 (ссылка)
если мелкие детали мотивированы и являются частью общей картины,
их усвоить просто проблема в том, что твой (точнее, традиционный, я не
вижу разницы между твоими предложениями и статус кво)
подход оставляет все мотивирующие соображения за бортом

(Ответить) (Уровень выше)


[info]tiphareth
2015-08-21 17:32 (ссылка)
и не только я, кстати, это НМУ-стандарт
я задачи у людей по этому делу принимал
нихуя никто не понимает, если так рассказывать

(Ответить) (Уровень выше)


[info]sasha_a
2015-08-21 18:37 (ссылка)
Не утерпев, влезу со своими глупостями. Год назад читал гомологическую алгебру (включая производные категории). Среди слушателей были два первокурсника. Внутри у него неонка в качестве примера были сингулярные гомологии --- оказалось самое трудное для первокурсников; хотя перед этим им же в cálculo II доказал (без дураков) теорему Стокса и в коридоре объяснил про дерамовские. То есть, похоже, первый способ --- всяко лучше.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2015-08-21 23:02 (ссылка)
"В коридоре объяснил" не значит доказал; довольно часто это значит наоборот обманул. У меня так, по крайней мере.

Но в принципе, использовать топологию для мотивации гомологической алгебры это дело не очень разумное, потому что алгебра существенно проще -- гомологическая алгебра это же типа линейной алгебры наука, она по определению проще всего, тем и важна. Разумеется, если люди уже знают топологию, то это объяснение очень помогает. Но вот если не знают, туши свет.

Собственно, я не уверен, что хороший отдельный курс по гомологической алгебре вообще технически можно прочитать, вот именно поэтому -- все примеры сложнее, чем излагаемый материал.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]kaledin
2015-08-21 23:08 (ссылка)
>хотят алгебру Стинрода изучать

Да причем тут?

Речь о том, что человек, который думает, что гладкость имеет хоть какое-то отношение к понятию когомологий, это математический урод. А ты призываешь их плодить на потоке.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2015-08-22 01:13 (ссылка)
никто так не думает

но когомологии де Рама проще всех других, с них стоит начинать

(Ответить) (Уровень выше)

(Читать комментарии) -