Я полагаю, они могут только косвенно это выяснить.
Через свойства гравитации там или типа того.

Мы же не знаем до сих пор замкнута ли Вселенная,
и вообще что ли о ее топологии кроме R^3, хотя
всяких разных лучиков из фонариков у нас дофига.

(Reply to this) (Thread)

Давай временно забудем о гравитации (теории относительности), ведь её можно трактовать как геометрию.

>Мы же не знаем до сих пор замкнута ли Вселенная,
>и вообще что ли о ее топологии кроме R^3, хотя

Именно этот вопрос и обсуждается на самом деле! Живём мы в R^3 или S^3? Как поставить физический эксперимент, выясняющий это?

(Reply to this) (Parent)

сумму углов треугольника посчитать?

(Reply to this) (Thread)

Как догадался, поделись?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

читал как-то, астрономы кажется проводили такие измерения, на больших расстояниях

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Хорошо. Как бы ты поставил физический эксперимент, чтобы прояснить этот вопрос. Предположим, ты живёшь в средневековье, и серьёзные инструменты тебе недоступны.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Сейчас они тоже недоступны, во всех опытах выходит 180 град в пределах погрешности. Это пытались выяснить, эвклидово ли пространство %)

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Ага, я читал, доказано, что радиус кривизны не менее, чем 10^30 м (?). Не могу вспомнить, где я читал это. Не дашь ссыляка, если вдруг?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Не дам, к сожалению, слышал на семинаре по философии... %)

(Reply to this) (Parent) (Thread)

А я ещё в школе слышал - но впечатлился надолго, вестимо.

(Reply to this) (Parent)

для поверхности Земли - выбрать три пункта отдалённых,
видимых друг другу, и померять углы.

что касается измерения кривизны пространства,
в средние века можно было точно измерять разве что
угловое расстояние между звёздами, а как это применить - хз.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

а хотя, если 2 пункта в отдалённых точках на земле,
а 3й - например полярная звезда,
то вполне себе треугольник получается.
то есть, реально можно было

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Не на земле а на противоположных точках орбиты, и при этом представлять себе расстояние до полярной звезды (а оно не через параллакс разве вычисляется?).

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Расстояние до звёзд рассчитывается через светимость - по отношению к "стандартной свече"! В качестве последней, насколько я понимаю, используются или цефеиды, или сверхновые типа Ia. Чуть подробнее:

http://elementy.ru/trefil/21189?context=20444
http://elementy.ru/trefil/21076?context=20444
http://elementy.ru/trefil/21075?context=20444

(Reply to this) (Parent)

Действительно, как вычислить угол при полярной звезде?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

по идее, через сторону и 2 прилежащих угла,
но это вроде бы уже подразумевает что в сумме 180.
стало быть, сдаюсь

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Я тут думал усиленно, и мне кажется, с параллаксом ты прав - мы как раз имеем три угла в наличии.

(Reply to this) (Parent)

>для поверхности Земли - выбрать три пункта отдалённых,
>видимых друг другу, и померять углы.

Именно! А как мерять углы предлагаешь? В техническом смысле.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

а этот девайс назывался вроде бы астролябия

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Астролябия, думаю, не совсем то. Думаю, транспортир (кольцо, расчерченное делениями) вполне подойдёт. 360 градусов хоть на плоскости, хоть на сфере делятся в одинаковые углы: проверка в уме треугольника на сфере с вершинами в северном полюсе и на экваторе даёт в сумме 270 градусов, измеренные таким транспортиром.

(Reply to this) (Parent)

Один угол у нас, допустим, есть, а вот как добраться до второго и третьего, чтобы посчитать всю сумму?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Не помню, кто первым считал углы, но кажется, он использовал вершины трёх гор. В наши дни можно сделать то же при помощи лазеров, а для улучшения погрешности можно разнести три точки: одну на Земле, вторую на Луне, скажем (там как раз мы оставили уголковые отражатели), и третью - на каком нибудь космическом аппарате. Интересно, как в действительности сейчас проводят этот эксперимент: нужно будет посмотреть где-нибудь, только не знаю пока, где.

(Reply to this) (Parent)

Я тут посмотрел про параллакс на википедии и понял, что третий угол у нас есть, вроде бы.

(Reply to this) (Parent)

Не можешь дать ссылку на литературу? А то я забыл, где я об этом читал.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

давно было, так что уже пропало

(Reply to this) (Parent)

Например, при решении треугольников могут. Для углов

$$\pi < \alpha + \beta + \gamma < 3\pi.$$

(Reply to this) (Thread)

Ага, для положительного радиуса кривизны (для отрицательного сумма будет меньше пи).

(Reply to this) (Parent)

Нет, не ага. Сумма углов может быть больше 3\pi. Я тут нарисовал.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

На сфере не больше 3\pi, ЕМНИП.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Давай рассмотрим маленький треугольник на сфере. Очевидно, эти же три стороны дают большой треугольник, равный сфера минус малый треугольник. Сумма углов малого - чуть больше пи, сумма углов большого, очевидно, - чуть меньше четырёх пи.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Я думал про треугольники Эйлера.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Вот эти: http://mathworld.wolfram.com/EulerTriangle.html ?

(Reply to this) (Parent)

В смысле, $6\pi - \pi = 5\pi$, реальная граница сверху - пять пи.

(Reply to this) (Parent)

http://multiplication.ru/2008/09/18/dyt-ili-ne-dyt-2d-or-not-2d/
Поль Дриссен, "2D или не 2D"

(Reply to this) (Thread)

Спасибо, посмотрел, интересно. Метафора любви как подвластной лишь "многомерным" личностям. Жестокий одномерный мир превратил героя в одномерного, и толстуха перестала его замечать.

(Reply to this) (Parent)

Перед ним стоял мультимедийный герой Пидормен. Он был одет в
трико с буквой “Q” на груди и розовый плащ с галунами, а на его лице
была дивной красоты венецианская маска. Пидормен вскинул свободную
руку в приветствии, и Степа заметил на его плаще блеснувший под луной
значок с американским флагом. У Степы отлегло от сердца - он понял,
что бояться нечего.
- Кто ты? - шепотом спросил он.
- I'm your neighbourhood friendly Queerman , - ответил Пидормен.
- Говори тише, - прошептал Степа, - разбудишь гада. Почему ты
стал таким?
- Когда-то я был такой же, как ты, - прошептал Пидормен. - Но
однажды меня укусила божья коровка... Вот подожди, тебя тоже укусит.
- Чего ты хочешь? - шепотом спросил Степа.
Вместо ответа Пидормен снова потянул Степу за лингам.
- Не надо, - попросил Степа, но Пидормен не послушал и потянул в
третий раз. Степа с ужасом понял, что больше не может контролировать
ситуацию. Он несколько раз передернул ногами, и лингам выстрелил.
Пидормен, сделав испуганное сальто, унесся на брызнувших из
запястий белых струях куда-то вниз, в горящие неоном джунгли
наслаждений.

В. Пелевин "Числа"

(Reply to this) (Thread)

Экая пошлость этот Пелевин, оказывается. Герой данного мультфильма - Dr. Quantum, его устами говорит один известный западный популяризатор науки. http://en.wikipedia.org/wiki/Fred_Alan_Wolf

(Reply to this) (Parent) (Thread)

дурак ты фантом. пошлость - это когда популяризаторы науки в костюмах пидорменов педофилируют в живот круглых двумерных девочек. давя на религиозные чувства почтеннейшей публики. вообще буэ.
а касаемо темы вопроса - мне вот дико интересно, что дадут измерения углов треугольника, лежащего на сложной поверхности, меняющей радиус кривизны без потери гладкости. даже блядь пусть и с потерей, кто это заметит кроме пидормена. и какой практический результат для круглых трехмерных девочек дадут эти измерения, если вдруг, совершенно случайно, углы сойдутся в развернутый угол. чисто в гносеологическом плане.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>мне вот дико интересно, что дадут измерения углов треугольника, лежащего на
>сложной поверхности, меняющей радиус кривизны без потери гладкости.

В любой "кривой" геометрии сумма углов будет отклоняться от 180 градусов. Неважно, варьируется радиус кривизны или нет. Радиус кривизны будет влиять лишь на величину отклонения.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

нифига. на поверхности сложной кривизны возможен вариант когда сумма будет 180. но это, тс-с-с-с! частный случай. гыгыгы

(Reply to this) (Parent)

Чисто топологически — нужно компактность установить, пути исследовать (а это малореально, но более реально), односвязность, гомотопические группы и т.п. Топологически, если верить, что живёшь на компактном связном двумерном многообразии без края, варианты — всякие сферы с ручками или плёнками (торы и т.п., вклеенная где попало лента Мёбиуса и т.п.).

Компактность и ограниченность — довольно интересные свойства. Всё-таки если сферу не обойти, то эффективно мир неограниченный. И живут они на плоскости. Полагаю, что что-нибудь интересное, связанное с компактностью, тоже можно нафантазировать.

Если же мы имеем в виду не топологические многообразия, а гладкие: с геодезическими и кучей предрассудков на тему физики, то, как выше и писали, можно измерять сумму углов.

Но почему ты не пишешь о неограниченном цилиндре, о плоскости, на которой есть бугры (не на буграх, даже в треугольниках вокруг бугров, сумма углов евклидова, а с буграми сложнее) и т.п.? Фантасты и не только думали о неоднородности нашего пространства, писали интересное тоже, так в двумерном случае тоже возможно всякое.

Прикинь, если окажется когда-нибудь работоспособной модель, где мы живём на таком пупырчатом многообразии, а квантовые эффекты — проявления пупырышек (пупырышек очень много и они очень маленькие)?

(Reply to this) (Thread)

Мультфильм не смотрел, но наверняка он не единственный по теме. Мартин Гарднер в "Математических Досугах" давал небольшой обзор некоторой художественной литературы о жизни в "других измерениях" (и 19-го века тоже).

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Мультфильм не смотрел,

Да, для тебя там ничего интересного. Могу, если что, дать ссылку на более продвинутый фильм о финслеровой геометрии. Там показывается, в частности, что пространство Минковского, возможно, - лишь наблюдаемый предел такой геометрии.

(Reply to this) (Parent)

Как предварительный дисклеймер: я не силён в топологии.

>Чисто топологически — нужно компактность установить, пути исследовать (а это
>малореально, но более реально),

Правильно ли я понимаю, что R^3 не компактно, а S^3 компактно?

>пути исследовать (а это малореально, но более реально),

В каком смысле?

>односвязность,

Односвязность можно подразумевать. Даже если пространство несвязно, мы никак не узнаем, что есть другие компоненты связности.

>гомотопические группы и т.п. Топологически, если верить, что живёшь на
>компактном связном двумерном многообразии без края, варианты — всякие сферы с
>ручками или плёнками (торы и т.п., вклеенная где попало лента Мёбиуса и т.п.).

Здесь не буду комментировать, чтобы не позориться. Замечу, однако, насколько я понимаю, в микромире подобную задачу берут на себя универсальные теории, теория струн, в частности.

>Компактность и ограниченность — довольно интересные свойства. Всё-таки если
>сферу не обойти, то эффективно мир неограниченный.

Само собой, можно до определённого предела считать, что локально мы на "тангенциальной плоскости". Поставленный в данном постинге вопрос, а позже теория относительности пытаются ответить на вопрос, к чему эта гиперплоскость тангенциальна. И само собой, последующий главный, осмысленный вопрос, который мы можем задать, - это вопрос о возможности физического эксперимента выявляющего различие между плоским и "кривым" пространством (или, скажем, между геометриями Минковского и Финслера). Вопрос, прямо следующий из этого - о приложениях, т.е. где как можем использовать, или где считаться с различием.

>Если же мы имеем в виду не топологические многообразия, а гладкие: с
>геодезическими и кучей предрассудков на тему физики,

Да, здесь имел в виду гладкие многообразия.

>то, как выше и писали, можно измерять сумму углов.

Ага.

>
>Но почему ты не пишешь о неограниченном цилиндре,

Подразумеваю анизотропность пространства!

>о плоскости, на которой есть бугры (не на буграх, даже в треугольниках вокруг
>бугров, сумма углов евклидова, а с буграми сложнее) и т.п.?

Физики уже итак бугров насажали на всю ткань Вселенной (имею в виду теорию относительности).



>Фантасты и не только думали о неоднородности нашего пространства, писали
>интересное тоже, так в двумерном случае тоже возможно всякое.

Во-первых, я различаю научную фантастику и "просто" фантастику и в большей степени ценю первую. Во-вторых, или как следствие, я остерегаюсь чересчур фантазировать, а то так и дофантазироваться можно. До циклической демонстрации собственного невежества. Предпочитаю сначала изучать доказанные теории, потом современные гипотезы, потом только пробовать предполагать свои или развивать старые. Впрочем, до последнего звена в этой цепи я вряд ли доберусь.

>Прикинь, если окажется когда-нибудь работоспособной модель, где мы живём на
>таком пупырчатом многообразии, а квантовые эффекты — проявления пупырышек
>(пупырышек очень много и они очень маленькие)?

Теория пузырящейся Вселенной? Так ведь лучше сначала её поизучать, а потом своё чего придумать. Есть ли смысл в фантазировании "на ровном месте", и должна ли быть мотивация у фантазирования, как процесса?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

0. Топология в основном о топологических пространствах. Топ. пр-во — формально простая штука, см. английскую Википедию. Соответственно, всякие там расстояния, углы, да кривизна — скорее геометрия (в топологии расстояния обычно важны постольку, поскольку задают топологию).

1. Топологическое многообразие — тоже довольно простая штука, в Википедии же, Topological Manifold (R^n там — как топологическое пространство, то есть тоже без углов и т.п.). Обычно многообразиями называют гладкие многообразия, на них есть геодезические и т.п. Потому что у них дополнительная структура, если убрать которую, топологическое многообразие останется, но углов, кривизны и т.п. уже не будет.

2. Алгебраическая топология — в целом законченная наука. И этим она очень сильно отличается от алгебраической геометрии.

3. Алгебраическая топология изучает в основном какие-то группы (или конструкции из групп). Надеюсь, что формальное понятие группы у тебя есть. Алгебраическая топология в целом остановилась в развитии на гомотопических группах (Homotopy equivalence — если группы для пространств отличаются, то пространства негомеоморфны [топологически существенно отличаются], если совпадают, то хрен знает).

4. Компактность — для любого набора ЗАМКНУТЫХ (см. опр. топ. пр-ва) множеств, объединение которых даёт всё пространство (множество), можно выбрать конечный поднабор с тем же свойством. Да, сфера компактна, а R^n — нет.

5. Односвязность — нет, односвязность — свойство путей. http://en.wikipedia.org/wiki/Simply_connected Типа отличия бублика от шара: на шаре любой путь можно непрерывно стянуть в точку, на бублике — нет.

6. Гомотопические группы (то есть — основная алгебраическая топология) — тоже в стиле односвязности, только сложнее. Тоже, полагаю, можно познавать как-то, если живёшь в топ. пространстве.

Есть ли смысл в фантазировании "на ровном месте", и должна ли быть мотивация у фантазирования, как процесса?
Поэтому я и написал: "если окажется когда-нибудь работоспособной модель". Об этом сложно рассуждать. О твоих наивных "сферических конях в вакууме", о моделях R^3, да S^3 рассуждать имеет смысл по двум причинам: 1) упражнение 2) перебрать простые модели надо — будет очень обидно, если они работают, а мы их не проверили. Сложных моделей много, как упражнения они удручают, так что их проверять имеет смысл только от большого ума, а не просто так. Фантазировать — это жижа, здесь фантазировать — далеко не самое плохое занятие.

(Reply to this) (Parent)

Думаю, так же как установили кривизну нашего пространства: тогда и только тогда, когда это будет единственная теория, объсняющая всю совокупность имеющихся фактов - эволюцию перигея Меркурия там, гравитационные линзы и т.п.

(Reply to this) (Thread)

Заметь, эти размышления о неевклидовости пространства приходили людям на ум задолго до теории относительности.

(Reply to this) (Parent)

(Reply to this) (Thread)

:) Приятно, что ты зашла на огонёк. Но я, как обычно, не понял, к чему это ты.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Снова не понял в точности, что хотела сказать (мои предположения обычно не выполняются в твоём случае). Поэтому отвечу на предложение формально. Я не заполняю профайл принципиально.

(Reply to this) (Parent)

а откуда, кстати, эти жертвы асфальтового катка знают про пи, если они на сфере живут? а если не на сфере, а на чем похуже? кто принес им светлую весть, что мол есть в далекой-далекой галактике божественная плоскость, где в любой точке 180 градусов равно пи радиан, а синус даже при термоядерной войне выше единицы не скачет, и все должны на эту плоскость равнятся, если хотим считать себя цивилизованным 2d-пространством?

имхо без фигуры пидормена-мессии с учебником геометрии за пятый класс весь этот дискурс для плоскатиков начисто лишен смысла.

(Reply to this) (Thread)

Даже если они живут не на плоскости, им кажется, что на плоскости, потому что кривизна их пространства мала. Это та же причина, что и в известном заблуждении о плоской Земле.

Тем не менее, они занимаются математикой, и определяют евклидово пространство как R^2, наделённое евклидовой метрикой (формулой подсчёта расстояния):


В этой метрике для плоскости можно чисто умозрительно доказать теорему о сумме углов треугольника: она должна быть равна пи. Кроме того, аналогичные пространства определяются для n, не равного двум. Плоские математики могут оперировать теми же n-мерными пространствами, что и мы, и их математическое описание не зависит от того, в каком пространстве реально живут математики.

Что же касается измерения углов, они определяются через дуги инфинитезимальной окружности (транспортира) - длина дуги делить на на длину окружности. Углы не зависят от того, на сфере мы или на плоскости, в любом пространстве полная окружность разделится на те же 360 градусов.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

ну ваще-то они живут не "на плоскости" а "в плоскости", и кривизну своей плоскости могут оценить мало того что косвенно, так ищо только по сравнению с какой-то эталонной плоскостью - матерью всех плоскостей и не кривой никапельки.
углы пусть будут в градусах, отрезки - в миллиметрах, это пожалуйста, но отношение длины окружности к радиусу будет зависить от кривизны. константа пи тоесть. а при переменной кривизне поверхности - никакая это будет не константа

(Reply to this) (Parent)