> может и не окружность

Точно не окружность :-)

> (что край его переходит в окружность, довольно ясно,
> а что делается с серединой - я перестал понимать).

Откуда у Вас вообще окружность появилась?
Если Вы под краем понимаете терминальные точки, то их совокупность, мне кажется, переходит во что-то типа P{[0,1]}, P -- множество подмножеств, с расстоянием
d(X,Y)=1-inf{X+Y-XY}. Вот не соображу, компактно ли оно.

> Но вообще-то, в пределе может быть меньше точек -
> это дело не обязано туда вкладываться.

Но свойства типа "существует N точек с попарными расстояниями 1" все равно должны сохраняться, насколько я понимаю.

Здравствуйте, Марина,
сильно предварительная версия двух новых листочков вот
http://imperium.lenin.ru/~verbit/MATH/MCCME/listki/geom7.ps
http://imperium.lenin.ru/~verbit/MATH/MCCME/listki/geom8.ps

В восьмом листочке пропущено несколько картинок.

Очень буду признателен, как всегда, за комментарии.
Скоро будет еще несколько листочков.

>Если Вы под краем понимаете терминальные точки

Под краем здесь я понимаю точки на расстоянии 1
от нуля. Это будет пополнение множества двоично рациональных
точек окружности, с естественным расстоянием между ними.

Весь же предел - это следующая удивительная штука.
Возьмем окружность и точку $(0,0)$, и доклеим к ней
континуально много букв Т (то есть графов, склеенных
из трех отрезков), следующим образом.

Для любой пары точек $x, y$ на окружности, на расстоянии
$a$ друг от друга, приклеим к ней букву Т, с верхней перекладиной
длины $a$, а ножкой длины $1-a$. Два верхних конца
приклеиваем к этой паре точек, а нижний конец
к нулю.

Теперь, если заданы три точки $x, y, z$ на окружности, склеим
куски букв T, соответствующих $x, y$ и $x,z$, таким
образом: более короткая ножка целиком приклеивается
к более длинной, а продолжение более длинной ножки
клеится к тому плечу буквы Т, которое уходит в $x$.
Мы получаем что-то вроде буквы Ш (или еврейской
шин) на ножке. Склеим все буквы Т таким образом.

После этих склеек мы получим нечто вроде
бинарного дерева, которое разветвляется
в каждой точке континуума, а концы его
приклеены к окружности.

Такие дела
Миша

Добрый вечер, Миша.

Листки я смогу посмотреть не раньше среды...

>>Если Вы под краем понимаете терминальные точки
> Под краем здесь я понимаю точки на расстоянии 1 от нуля.

Ну да, я их и имела в виду -- терминальные точки графа, обрезанного по сфере радиуса 1.

> Это будет пополнение множества двоично рациональных
> точек окружности, с естественным расстоянием между ними.

Не понимаю.
Во-первых, откуда берется замыкание в окружность?
Во-вторых, "естественное расстояние" -- это что имеется в виду? Обычное расстояние в R не годится. По идее, здесь надо брать бесконечные двоичные дроби, а расстояние определять как 1 минус доля начальной части, в которой цифры двух дробей совпадают, среди всех цифр. Но это будет либо 0 для совпадающих дробей, либо 1 для несовпадающих, и нужного расстояния не получится. Я поэтому и взяла в прошлом письме в качестве точек подмножества [0,1], чтобы расстояние можно было определить нормально.

>Листки я смогу посмотреть не раньше среды...

Все равно спасибо! В среду будет даже
предварительно-окончательная версия.
Сейчас нас останавливает в основном необходимость
нарисовать картинки.

>Во-вторых, "естественное расстояние" -- это что имеется в виду?

На окружности, как на многообразии, то есть $R/Z$. Надо так
отнормировать, чтобы расстояние от точки до противоположной было 1.

Будем устремлять длину ребра графа к нулю
как 1/2, 1/4, 1/16 ... На шаге k у нас будет
двоичное дерево длины k.

Тогда терминальные точки естественно
отождествляются с двоично рациональными
точками вида a/2^k , причем расстояние между
точками вида a/2^k, b/2^k измеряется как
2|a-b|/2^{k}. Это потому, что расстояние
между терминальными точками измеряется как
удвоенная длина плеча минимальной буквы Т,
соединяющей эти точки и ноль.

Предел этого дела - очевидно окружность.

Вообще есть теорема, что для каждой "гиперболической
группы" край громовского предела ее графов Кэли
будет всегда гладким многообразием. Про такие
вещи есть чудесная книжка: М. Громов,
"Гиперболические группы".

http://uchebn.shopbrowser.ru/sbproduct-574864.html
http://www.ozon.ru/?context=detail&id=984188&partner=metas

Такие дела
Миша

> причем расстояние между
> точками вида a/2^k, b/2^k измеряется как
> 2|a-b|/2^{k}.

Так это неправильное расстояние! Не измеряет оно "удвоенную длину плеча минимальной буквы Т". Например, точки 100..0 и 011..1 у Вас по этой метрике лежат очень близко, а на самом деле они на максимально возможное расстояние удалены друг от друга. Расстояние разностью не определяется никак (одна и та же разность может быть у чисел, находящихся на самых разных расстояниях друг от друга по графу), оно задается поцифровым сравнением с остановкой на первой несовпавшей цифре.

Предел того, что Вы пишете, -- действительно окружность, и это еще раз показывает ошибку, так как в окружность склеивается интервал [0,1), и при этом максимально удаленные (в графе) друг от друга крайние терминальные точки склеиваются в одну, а при изометрическом вложении так получиться не может (т.е. точка, очень близкая к правому концу, находится на расстоянии 1 от левого конца, а при склеивании становится очень близка к этому левому).

Ага! прошу прощения, предел терминальных
точек это, конечно, не то (а теорема
о гладкости края гиперболической группы
имеет другую формулировку и тут неприменима,
очевидно).

Запишем конец бинарного дерева длины $n$
последовательностью 1010110...
("право" соответствует 1, "лево" 0).
Расстояние между этими концами равно
$2^{k-n}$, где $k$ - первый индекс,
где эти числа различаются.

Это 2-адическая метрика, значит
предел есть 2-адическое пополнение
двоично-рациональных чисел,
то есть 2-адический шар Z_2.

В той конструкции громовского предела,
которую я привел выше, надо заменить
везде слова "окружность" на
"Z_2" и оно, кажется, будет
правильно.

Такие дела
Миша

> Расстояние между этими концами равно
> $2^{k-n}$, где $k$ - первый индекс,
> где эти числа различаются.

Вы не забыли, как Вы определяли метрику?
Она определялась так:

> берется бесконечный граф (например,
> граф Кэли для группы), на нем выбирается метрика такая,
> что все ребра имеют длину $c$

:-)))

Угу, c = 1/n, значит расстояние - k/n.

Надо думать

Такие дела
Миша

То пространство, про которое я писала выше (с подмножествами отрезка, только там написано [0,1], а надо брать [0,1)), подходит как пространство, куда вкладывается вся эта последовательность (я имею в виду границу; остальное легко строится как прямая сумма по a таких пространств, соответствующих [0,а), метрика доопределяется очевидным образом). Но оно не будет пределом, так как есть точки, к которым не сходятся точки из этой последовательности, например, множество рациональных точек из [0,1}.

Я кажется поняла, что получится в пределе.

Ограничимся графами G_n, высота которых -- 2^n.
Рассмотрим пространство М, точками которого являются объединение интервалов из [0,1] с концами в двоично-рациональных точках. Введем на М метрику, как я писала раньше: d(X,Y)=1-inf{X+Y-XY} (в скобках - симм.разность).
G_n следующим образом изометрически вкладывается в М: для точки x \in G_n первая цифра x определяет, включается ли первый интервал длины 2^{-n}, т.е. [0,2^{-n}], в F(x), вторая цифра -- второй интервал, и т.п.
Тогда искомым пределом будет, видимо, замыкание объединения образов G_n в М. А этим замыканием будет, наверное, множество таких элементов Х пространства М, для которых для любого c<1 пересечение X с [0,c] состоит из интервалов, длины которых ограничены снизу положительной константой.

Это примерная конструкция, тщательно я ее не обдумывала, может там еще что-нибудь поменять надо.

Да, не написала, что замыкание -- это потому, что тут проективный предел этих образов F(G_n) получается, т.е. получается цепочка вложенных подмножеств М (заодно мы определили согласованные вложения G_n->G_m при n<m).

Вся вышеописанная (мной) конструкция не проходит по той причине, что получившееся пространство некомпактно. Более того, сама приведенная конструкция вложения не годится для получения компакта, поскольку в объединении образов имеется бесконечное количество точек, отстоящих друг от друга на попарные расстояния >1/2. Видимо, ошибка была в том, что искалось одно общее для всех графов и предела объемлющее пространство.

Но при всем при том я не понимаю, каким образом получается, что построенное (некомпактное) пространство все-таки является пределом G_n по метрике Громова-Хаусдорфа? (Расстояния-то от замыкания объединения до G_n стремятся к 0.) Получается, что есть предел среди компактных пространств, и есть другой предел среди некомпактных? А метрика Громова-Хаусдорфа, получается, должна определяться только на компактных пространствах, чтобы этого противоречия не возникло?

>Но при всем при том я не понимаю, каким
>образом получается, что построенное (некомпактное)
>пространство все-таки является пределом G_n по
>метрике Громова-Хаусдорфа?

Насколько я понимаю, громовский предел
компактных пространств всегда компактен.

>Видимо, ошибка была в том, что искалось одно общее для всех графов и
>предела объемлющее пространство.

Так оно и строится - есть такое пространство Урысона,
в которое изометрически вкладывается любое метрическое
пространство (разумной мощности), и громовский предел
нужно искать именно там. Насколько я понимаю.

>А метрика Громова-Хаусдорфа, получается,
>должна определяться только на компактных пространствах

На некомпактных ее нельзя определить (получится вырожденная).

Такие дела
Миша

Нет, я потом посмотрела Ваше письмо про теорему Громова: там написано про локально компактные пространства. Локально компактное пространство может и получиться.

> Насколько я понимаю, громовский предел
> компактных пространств всегда компактен

Так точно не получится, если верна теорема Громова в Вашей формулировке. Поскольку вот те границы деревьев G_n (высоты 2n и диаметра 2) -- они все компактны и т.д. А предельная точка этой последовательности таки некомпактна, поскольку содержит сколь угодно большие конечные множества точек, попарные расстояния между которыми больше 1-\epsilon, для любого \epsilon>0, что противоречит ее компактности.

Мне тут другое непонятно.
G_n обладает следующим свойством: для любого n в G_n существует 2^n точек, попарные расстояния между которыми не меньше 1. Отсюда получаем, что для фиксированного m для всех достаточно больших n имеем расстояние Г-Х между G_n и G_m больше 1/2. Насколько я понимаю, тогда у этой последовательности нет предельной точки, а это противоречит сформулированному Вами утверждению о том, что пространство всех (ограниченных и т.п.) пространств с метрикой Г-Х компактно.
Возможно, там в формулировке теоремы Громова все же полнота, а не компактность?

В общем, то, что я написала выше -- это, конечно, никакой не предел, т.е. поточечно вроде бы предел, но не по метрике Г-Х.

Я вообще не понимаю, оказывается: а какое расстояние в метрике Г-Х между деревьями высоты n и 2n (и диаметра 1, конечно)? Ну или между какими-то другими, пусть высоты n и m, но чтобы формула работала при некуоторых больших n, m?

> Я вообще не понимаю, оказывается: а
> какое расстояние в метрике Г-Х между
> деревьями высоты n и 2n (и диаметра 1,
> конечно)?

Их можно "почти изометрично"
нарисовать на плоскости Лобачевского,
для очень сильно искривленной плоскости
Лобачевского. Причем единичный круг
в плоскости Лобачевского будет довольно
хорошо приближать дерево, в том смысле,
что громовское расстояние между ними
будет довольно небольшое. Это связано
с тем, что треугольник на плоскости
Лобачевского отличается от треугольника на
дереве на число, которое оценивается сверху
через \delta = 1/кривизну - с точностью до
\delta, геодезический треугольник на плоскости
Лобачевского эквивалентен геодезическому
треугольнику на дереве.

То есть громовский предел деревьев есть
громовский предел единичных кругов в плоскости
Лобачевского, когда гауссова кривизна стремится
к -\infty. Что это за штука, мне весьма интересно.

Такие дела
Миша

Что-то я ничего не поняла здесь...
И что такое единичный круг на плоскости Лобачевского с очень большой кривизной -- тоже не поняла. Куда этот круг поместится-то?

Рассмотрим треугольник на плоскости Лобачевского.
Его площадь это его сумма углов. Если площадь
маленькая, стороны практически не отстоят
друг от друга (сторона идет вплотную
с одной стороной, а потом расходится
с ней, и идет вплотную с другой), и
треугольник напоминает нарисованный
на дереве.

Сумма углов равностороннего
треугольника со сторонами 1 это
инвариант плоскости Лобачевского,
который обратно пропорционален кривизне
ее (с минусом). Если мы устремляем кривизну
к бесконечности, этот треугольник
превращается в треугольник на дереве.

> Локально компактное пространство может
> и получиться.

Да, возможно. Хотя в природе обыкновенно
получаются компактные штуки.

>сформулированному Вами утверждению о
> том, что пространство всех
> (ограниченных и т.п.) пространств с
> метрикой Г-Х компактно.

Предкомпактно, строго говоря - то есть
каждое ограниченное замкнутое подмножество
компактно.

Насчет противоречия - надо подумать.

Такие дела
Миша

Предкомпактность тоже не получается: все эти G_n находятся в шаре радиуса 1 с центром в одноточечном пространстве. Берем замыкание, оно тоже будет в этом шаре, и... никакой предельной точки.

Определение 7.1. ЕМНИП компактом называется только хаусдорфово компактное пространство, нет?

Задача 7.2. Почему со звездочкой?

Извините, дальше топологию что-то сейчас смотреть тоскливо, потом посмотрю :-)
Кстати, где-то в начале топологии (в старых листках) бы дать определения внутренности и границы, с ними удобнее.

Основная теорема алгебры.
Как-то странно включать ее в тему компактности :-)

Задача 7.41. x->|x|, a_i->|a_i|.

Задача 7.42. x->|x|. Нужно еще ограничение на R.

Указание к 7.43. |z|->|x|. При чем тут граница? Внешность, наверное?

Следующий абзац: два куска переставлены местами.
Надо бы назвать тот многочлен, который получился, другой буквой, например Q(z), а то нехорошо, и дальше уже ее писать.

Дальше, ИМХО, идет какое-то корявое доказательство того, что миним.значение 0, я его не разбирала. Ненаглядно совершенно. Я бы просто взяла маленькую окружность с центром в нуле и посмотрела на то, что происходит с Q(z), когда z эту окружность пробегает. Понятно, что это будет кривая, обходящая вокруг 1 и не проходящая через 1 (последнее получается оценкой разности (Q-1)/z^k -- что она не обращается в 0). Значит, пересекает интервал (0,1) на вещ.оси, значит, есть значения у Q с меньшим модулем.

Задача 7.44. Что-то все напутано. Если неравенство для х как написано, то в "докажите" надо, что <1, а не того сложного, что у вас в правой части.

Привет!
листочки уже раздали студентам (в более разумном виде)
http://www.livejournal.com/users/tiphareth/511929.html

>компактом называется только хаусдорфово компактное пространство, нет?

Сейчас уже не только хаусдорфово (реэкспорт англоязычной
терминологии). В более старых русских книжках это
дело называлось бикомпакт, сейчас уже компакт
(начиная, видимо, с Рохлина и Фукса)

>Задача 7.2. Почему со звездочкой?

Чтобы не перегружать основного курса.
Это пространство довольно безумное, незачем
требовать такие вещи со всех.

>Основная теорема алгебры.
>Как-то странно включать ее в тему компактности

Доказательство аналитическое! Есть еще топологическое
доказательство (через односвязность) и алгебраическое
(через симметрические полиномы).

>Понятно, что это будет кривая, обходящая вокруг
>1 и не проходящая через 1 (последнее получается оценкой
>разности (Q-1)/z^k -- что она не обращается в 0).
>Значит, пересекает интервал (0,1) на вещ.оси, значит,
>есть значения у Q с меньшим модулем.

Этот аргумент тоже будет, но он требует по сути
чего-то типа фундаментальной группы, соответственно
он будет именно тогда.

>Извините, дальше топологию что-то сейчас смотреть тоскливо

А чего так? Что-то не так я делаю?

Такие дела
Миша

> А чего так? Что-то не так я делаю?

Нет, это мои личные заморочки :-)
Просто лично для меня в алгебре по ходу дела было много нового, а тут все давно знакомое (хотя и подзабытое конечно, но все-таки). Поэтому проверка выливается в довольно нудное прорешивание всех задач подряд, что не очень интересно :-) Наверное, для тех, для кого этот материал новый, это занятие интересно. Постараюсь все-таки в ближайшие дни просмотреть, но прорешивание всего подряд не обещаю :-)

Еще такое пожелание, не знаю, правда, насколько это для Вас сложно сделать... Мне очень нравятся учебники Арнольда еще и потому, что у него минимум формул и максимум наглядных объяснений на словах. У Вас, мне кажется, этого не хватает. Как-то бы объяснять словами перед очередной серией задач, какая у нас сейчас цель и каким образом мы ее собираемся достигнуть. Тогда задачи, идущие после объяснения, не будут восприниматься как "вещь в себе".

Пока парочка замечаний по началу Геометрии 9.

Указание к задаче 9.14. Мне кажется, такие указания давать неприлично :-) Дети могут обидиться (что их совсем уж за дураков держат). А вот к задачам 9.2, 9.5 можно бы и дать указания.

Задача 9.15. Не очень понятно зачем, это ж просто определение переформулированное.

> Этот аргумент тоже будет, но он требует по сути
> чего-то типа фундаментальной группы, соответственно
> он будет именно тогда.

Понятно. Посмотрела оставшуюся часть доказательства.
Начиная с задачи 7.44 там какая-то путаница, мне проще не перечислять ошибки, а переделать. Я бы написала примерно так этот кусок:

(тьфу, уже в который раз оттправляю, и после этого опечатку замечаю. Извините.)
------------------------------
Для упрощения обозначений, мы будем в дальнейшем
предполагать, что минимум $|P|$ достигается в нуле.
Мы хотим доказать, что минимум $|P|$ равен нулю.
Пусть это не так. Пусть $k$ -- самое маленькое число
среди $1, 2, 3, \dots, n$, для которого
$a_k\neq 0$.
Домножив $P$ на $a_0^{-1}$, и сделав замену
$x=z\sqrt[k]{a_k^{-1}}$, мы получим многочлен вида
\[
Q(z) = 1 + z^k + b_{k+1} z^{k+1} + b_{k+2} z^{k+2} + ...
\]

\begin{zadacha}[!]
Докажите, что для любого
комплексного $z$ с $|z|< (1/2)\max \left(1, \sum |b_i|\right)^{-1}$,
\[
\frac{|Q(z)-1 - z^k| }{|z^{k}|}<1/2.
\]
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
Выведите из этого, что для любого положительного
вещественного $\epsilon< (1/2)\max \left(1, \sum |b_i|\right)^{-1}$
и любого комплексного $z$ с $|z|<\epsilon$ выполняется
\begin{equation}\label{_sqrt_main_TA_Equation_}
\left|Q\(z)\right|< 1-\epsilon^k/2.
\end{equation}
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
Выведите из \eqref{_sqrt_main_TA_Equation_}, что
в окрестности нуля $Q$ принимает значения, меньшие по модулю, чем $1=Q(0)$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
Докажите Основную Теорему Алгебры:
каждый многочлен $P$ положительной степени имеет
корень в $\C$.
\end{zadacha}
------------------------------

По поводу идей, связанных с фунд.группой. Несколько дней назад на Турнире Колмогорова (он у нас впервые проходил) была забавная задачка, решающаяся с помощью похожих идей:

Дан многочлен P(x)=(x-i-1)(x-i-2)...(x-i-n). Доказать, что его вещественная часть имеет n вещественных корней.

Там можно еще числа 1,2,....n заменить на любые вещественные. Может, ее включить в ту будущую тему (под двумя звездочками), для разнообразия? Только я автора задачи не знаю, надо будет спросить, а то без указания нехорошо. Ну или в крайнем случае сослаться на Турнир Колмогорова - 2004.

> Еще такое пожелание, не знаю, правда, насколько это для
>Вас сложно сделать... Мне очень нравятся учебники
>Арнольда еще и потому, что у него минимум формул и
>максимум наглядных объяснений на словах. У Вас, мне
>кажется, этого не хватает. Как-то бы объяснять словами
>перед очередной серией задач, какая у нас сейчас цель и
>каким образом мы ее собираемся достигнуть.

Это обязательно надо сделать, при издании этого
дела в виде книжки. Но когда их раздают людям
на руки, тут чем короче, тем лучше, чтобы
не погрести студентов под бумажным ворохом.

> Указание к задаче 9.14. Мне кажется, такие
> указания давать неприлично :-) Дети
> могут обидиться (что их совсем уж за
> дураков держат).

Я убрал. Но вообще, не все подряд решают,
и полезно указать людям, чтобы посмотрели
предыдущее.

Все остальное выполнено, за исправления прямо в ТеХе -
отдельное спасибо.

По поводу добавления задачи с Колмогорова - обязательно,
если будет место (слишком большие листочки могут напугать
студента, и я стараюсь дозировать).

Такие дела
Миша

Про задачу с турнира Колмогорова: я посмотрела в исходниках, откуда отбирались задачи для турнира, там написано: Selection Test for the IMO, Shabac, 18.04.2004.

Ой, посмотрела и увидела, что ошибочка вышла. Надо так (стало еще короче :)
------------------------------------------------
Для упрощения обозначений, мы будем в дальнейшем
предполагать, что минимум $|P|$ достигается в нуле.
Мы хотим доказать, что минимум $|P|$ равен нулю.
Пусть это не так. Пусть $k$ -- самое маленькое число
среди $1, 2, 3, \dots, n$, для которого
$a_k\neq 0$.
Домножив $P$ на $a_0^{-1}$, и сделав замену
$x=z\sqrt[k]{a_k^{-1}}$, мы получим многочлен вида
\[
Q(z) = 1 + z^k + b_{k+1} z^{k+1} + b_{k+2} z^{k+2} + ...
\]

\begin{zadacha}[!]
Докажите, что для любого
комплексного $z$ с $|z|< \max \left(1, \sum |b_i|\right)^{-1}$,
\[
\frac{|Q(z)-1 - z^k| }{|z^{k}|}<1.
\]
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
Выведите из этого, что для любого положительного
вещественного $\epsilon< \max \left(1, \sum |b_i|\right)^{-1}$
и любого комплексного $z$, для которого $z^k=-\epsilon$ выполняется
\[
\left|Q\(z)\right|< 1.
\]
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
Докажите Основную Теорему Алгебры:
каждый многочлен $P$ положительной степени имеет
корень в $\C$.
\end{zadacha}

Миша, а Вы в ближайший месяц этими листками заниматься будете?

Задачу 9.10, мне кажется, логичнее дать сразу после задачи 9.1. Тогда будут сначала свойства R и связные подмножества, потом R^n и связные подмножества.

Я уже писала, что к задачам 9.4, 9.5 хорошо бы указания дать. Я их умею просто решать через линейную связность, но детям-то еще про это не рассказывали. 9.4 еще можно догадаться, заглядывая вперед, через накрытие, которое связно, как непрерывный образ связного, но в 9.5 связность плоскости со многими выколотыми точками я не соображу, как без линейной связности доказывать, а накрытие у нее сложное.
А вообще про линейную связность вы будете рассказывать?

В задаче 9.21 надо еще какое-то условие отделимости, иначе неверно.

Указание к задачам 9.14 и 9.22 ИМХО излишни.

Задача 9.23. Как доказывать, что М_1 вполне несвязно, я не поняла... Может, указание тут дать?

Задача 9.25. Не хватает понятия наследственного свойства (оно и в старых листках было бы кстати), мне кажется, надо бы его дать где-то. Поскольку хаусдорфовость наследственна, то P хаусдорфово, компактно (как замкнутое подпр-во компакта) и вполне несвязно. Дальше про М можно забыть и ограничиться рассмотрением Р как основного пространства. Все становится гораздо нагляднее, и предыдущая задача не нужна.

Задача 9.26. Не соображу, как доказывать :-)

Задача 9.28. Пропущено М в "отображений в {0,1}".
Не помню, термин "вложение" подразумевает непрерывность?

Замечание к задаче 9.29. Надо "в пространство Х" вместо "в пространство Y".

Кстати, Вы список рекомендованной литературы еще не добавляете в листки? А то кое-кто из студентов уже сейчас бы книжки читал, если б знал, какие. Читать параллельно с задачами было бы полезно.

>Миша, а Вы в ближайший месяц этими
> листками заниматься будете?

Обязательно! Там еще где-то 6 листков осталось сделать.

> Я уже писала, что к задачам 9.4, 9.5 хорошо бы
> указания дать. Я их умею просто решать через
> линейную связность, но детям-то еще про это
> не рассказывали.

Абсолютно! Я планировал сделать еще секцию про
линейную связность, но не получилось.
Теперь добавлено.

> А вообще про линейную связность вы будете
> рассказывать?

Конечно! Там же, где фундаментальная группа.

> В задаче 9.21 надо еще какое-то условие
> отделимости, иначе неверно.

Спасибо! Да, это недосмотр.

> Задача 9.23. Как доказывать, что М_1 вполне
> несвязно, я не поняла... Может, указание тут
> дать?

Ага.
Там было что-то, но коллега убрал за банальностью.
Я написал

\begin{ukazanie}
Если $S\subset M_1$ связно, то прообраз
$\pi^{-1}(S)$ тоже связен. Действительно, если
$W\subset \pi^{-1}(S)$ открытозамкнуто,
$W= \pi^{-1}(W_1)$ (если $W$ пересекается
со связной компонентой $M$, $W$ ее содержит).
Но тогда $W_1$ открытозамкнуто.
\end{ukazanie}

> Задача 9.25. Не хватает понятия
> наследственного свойства (оно и в старых
> листках было бы кстати), мне кажется, надо бы
> его дать где-то. Поскольку хаусдорфовость
> наследственна, то P хаусдорфово, компактно
> (как замкнутое подпр-во компакта) и вполне
> несвязно. Дальше про М можно забыть и
> ограничиться рассмотрением Р как основного
> пространства. Все становится гораздо
> нагляднее, и предыдущая задача не нужна.

В типичной ситуации, $P$ состоит из двух точек.
Я не очень понимаю, как этому помогает наследственность.

> Задача 9.26. Не соображу, как доказывать :-)

\begin{ukazanie}
Пусть дано открытое подмножество $U\subset M$ и в нем
точка $x$. Возьмем у каждой точки $M\backslash U$
открытозамкную окрестность, не содержащую $x$
(докажите, что это можно сделать).
Мы получим покрытие $\{U_\alpha\}$
множества $M\backslash U$.
Поскольку $M\backslash U$ компактно,
из $\{U_\alpha\}$ можно выбрать конечное
подпокрытие $U_1, ... U_n$. Докажите, что
дополнение к $\cup U_i$ открытозамкнуто,
содержит $x$ и содержится в $U$.
\end{ukazanie}

> Задача 9.28. Пропущено М в "отображений в
> {0,1}".
> Не помню, термин "вложение" подразумевает
> непрерывность?

Вообще-то нет. Правильно было бы пользоваться
категорным языком и вместо "отображения"
везде писать "морфизм".

Все остальное тоже поправил, спасибо!

> Кстати, Вы список рекомендованной
> литературы еще не добавляете в листки? А то
> кое-кто из студентов уже сейчас бы книжки
> читал, если б знал, какие. Читать параллельно
> с задачами было бы полезно.

По топологии - Фукс-Фоменко, а также Рохлин-Фукс
("Топология", кажется). По алгебре - Постников,
Кострикин-Манин, Гельфанд (линейная алгебра),
Ван дер Варден (алгебра). Еще были полезные
книжки "P-адические числа, p-адический анализ
и дзета-функции" (Н. Коблиц) и "Курс арифметики"
Серра.

Но вообще по алгебре более осмысленно изучить
сразу группы Ли (Серра "Группы и алгебры Ли"
например) и потом вернуться к линейной
алгебре и повторить.

Такие дела
Миша

> Там было что-то, но коллега убрал за банальностью.
> \begin{ukazanie}

Теперь поняла. Мне кажется, это не очень банально, лучше указание оставить.

> В типичной ситуации, $P$ состоит из двух точек.
> Я не очень понимаю, как этому помогает наследственность.

Я имела в виду, что безотносительно к данной задаче само это понятие полезно, мне кажется (но я тут не специалист, разумеется), и полезно иметь навык перехода от рассмотрения пространства к рассмотрению подпространства, забывая о том, что было в надпространстве (и в предыдущих листках некоторое количество задач проще было решать таким образом).

В данной же задаче мы получили вполне несвязное пространство P, причем любое открытозамкнутое его подмножество, содержащее х, совпадает со всем P. Поскольку P к тому же компактное и хаусдорфово, то неодноточечность P противоречит предыдущей задаче. При этом становится излишней вторая половина вашего указания. Или я опять что-то путаю?

За список книг спасибо, но я имела в виду, что надо вставить в листки, чтобы все студенты знали, что читать. А сын приезжал на праздники домой и увез в Москву "Общую топологию" Келли (старое издание), в Вашем списке ее нет -- она меньше подходит, чем те книги по топологии, которые Вы перечислили?

Я посмотрел про Громова!

Вот правильное утверждение

>A space C of compact metric spaces is Gromov-Hausdorff precompact
>if and only if for every \epsilon > 0, any X \in C can be covered
>by the same number of \epsilon-balls.

http://www.ams.org/bull/2001-38-03/S0273-0979-01-00904-1/S0273-0979-01-00904-1.pdf

Условие об \epsilon-шарах как раз для того,
чтобы не брать предела N-симплексов при N\arrow \infty
(поскольку такого предела очевидно нет). Для многообразий
ограниченной кривизны Риччи и объема это условие
тривиально соблюдается, ибо объем \epsilon-шара
ограничивается его кривизной Риччи.

При применении к графам Кэли группы,
получается, что предел определен,
если потребовать дополнительных условий
от группы (полиномиального роста).
А поскольку свободная группа такого
ограничения не имеет, предела там и нет.

> причем любое открытозамкнутое его
>подмножество, содержащее х, совпадает со всем P

Но открытозамкнутые подмножества P могут не
иметь никакого отношения к открытозамкнутым
подмножествам M. Можно построить метрическое
пространство, у которого пересечение
открытозамкнутых подмножеств, содержащих
данную точку, это две точки.

>А сын приезжал на праздники домой и увез в Москву
>"Общую топологию" Келли (старое издание),
>в Вашем списке ее нет -- она меньше
>подходит, чем те книги по топологии,
>которые Вы перечислили?

Думаю, что меньше подходит, хотя
книжка хорошая. Вообще в моих листочках
больше общей топологии, чем знают почти
все математики и большинство топологов.
Общая топология - наука ныне практически
забытая.

Такие дела
Миша

>if and only if for every \epsilon > 0, any X \in C can be covered
>by the same number of \epsilon-balls.

Ну так это совсем другое дело! Получается что-то типа равномерной ограниченности. В такой формулировке внутреннего чувства противоречия не возникает :-)

> Но открытозамкнутые подмножества P могут не
> иметь никакого отношения к открытозамкнутым
> подмножествам M.

А, поняла. Я тогда почему-то подумала, что все открытозамкнутые подмножества P получаются пересечением P c открытозамкнутыми подмножествами М, а это, конечно, неверно.
Тогда к указанию к этой задаче следующие замечания:

В "Выведите из предыдущей задачи, что $U_1 \cup U_2$ содержит открытозамкнутое подмножество $W\subset M$" надо добавить условие, что W содержит P (или x, без разницы).

В "$W\cup U_i$" надо объединение заменить на пересечение.

> Вообще в моих листочках
> больше общей топологии, чем знают почти
> все математики и большинство топологов.

Хм. Те листочки, которые у вас пока выложены, -- ЕМНИП мы все это проходили на курсе топологии (на первом или втором курсе, не помню, один семестр был или два). Ну может какие-то отдельных узких задач не было, а вместо них было что-то другое. То, что в Геометрии 8, у нас на функане, кажется, было. Так что это Ваше утверждение не совсем истинно. И уж конечно наши топологи знают гораздо больше :-) Тем более что они активно в области общей топологии работают (хотя в основном там вроде бы пространствами отображений занимаются). Вот посмотрела на институтском сайте про этот отдел: "В области топологии основные темы - непрерывные отображения и пространства непрерывных отображений, бэровские функции и бэровские изоморфизмы".

>Ну так это совсем другое дело! Получается
>что-то типа равномерной ограниченности. В такой
>формулировке внутреннего чувства противоречия не
>возникает

Прошу прощения. Дело в том, что это применяется
в основном для многообразий с ограниченной кривизной
Риччи (как, например, в доказательстве Перельмана
гипотезы Пуанкаре, и в недавних работах Концевича),
а там эта оценка автоматически возникает. У Громова
ж в книжке все чудовищно мутно написано.

>Те листочки, которые у вас пока выложены, --
>ЕМНИП мы все это проходили на курсе
>топологии (на первом или втором курсе,
>не помню, один семестр был или два).
>И уж конечно наши топологи знают
>гораздо больше

Вообще-то в России общую топологию и выдумали
(в 1920-е), так что естественно, что у нас должны
больше знать, чем в Англии и Америке. Но даже
в Москве эта наука по преимуществу вымерла,
то есть людей, знающих (например), что есть
компактификация Стоуна-Чеха, я в жизни
своей не видел (ни в Москве, ни заграницей).
Или видел, но они про это крепко
молчали. Ни в одном аспирантском
экзамене в западных университетах
ничего подобного не требуется
(я это знаю, поскольку изучал
подробно экзаменационные темы
в десятке крупных университетов,
когда готовил программу по
математике).

Конечно, на кафедре общей топологии
мехмата знают, меня просто туда не
заносило.

Каледин очень ругается, что в листочках
больше общей топологии, чем даже топологи
за свою жизнь узнают. И он в каком-то
смысле прав, просто наука уж очень
красивая.

У вас наверное школа общей топологии
пока не умерла. Но это скорее исключение,
по крайней мере вне бывшего СССР.

Такие дела
Миша

У нас топология была обязательной у всех математиков матмеха, у механиков возможно и не было. Но это был 1985 год. Тогда у нас в обязательных курсах даже теория чисел была, хотя я не очень понимаю смысл (там никаких связей с ТФКП и прочей аналитикой не было, типично школьные вещи типа квадратичных вычетов и т.п.). Сейчас у нас на матмехе математическая программа ужалась, насколько я знаю. Топологию конечно жалко.
А неужели на мехмате МГУ нет обязательного курса общей топологии?

С мнением Каледина о переизбытке топологии в вашем курсе я отчасти согласна в том плане, что сейчас ситуация, когда алгебры мало, а геометрия вся -- топология. Мне кажется, было бы лучше чередовать (т.е. либо в геометрии чередовать разные темы, либо параллельно раздавать и соответствующий листки по алгебре). Если человек алгебру уже прорешал, то делать подряд 5 листков топологии может быть довольно тоскливо некоторым. Топология все-таки достаточно специфический предмет, чтобы им заниматься в режиме полного погружения, надо дать время на то, чтобы впечатления утряслись. Ну это так, ощущение, не претендующее на истинность :-)

Школа общей топологии у нас жива, но перспективы неясные в свете предстоящего закрытия академических институтов...

Именно компактификацию Стоуна-Чеха я не уверена, что знаю (хотя название знакомое), книжку сын увез -- не проверить, но какую-то компактификацию когда-то знала :-) По крайней мере Келли и еще несколько книжек по топологии я полностью читала, кое-что даже в школе. Но это было давно.

>А неужели на мехмате МГУ нет
>обязательного курса общей топологии?

Да вроде нет. И не общей тоже нет.

http://shade.msu.ru/~admin/kurs/alf.htm

>геометрия вся -- топология

Ну не вся, все-таки метрических пространств было много.
Просто ничего осмысленного в геометрии нельзя сказать,
если не известно топологии, кроме теории метрических
пространств, а она очень специальная.

>Если человек алгебру уже прорешал

Таких у нас нет - они почему-то топологию в три
раза резвее решают, чем алгебру.

>Именно компактификацию Стоуна-Чеха я не уверена, что знаю

Это такая компактификация, которая отображается
в любую другую компактификацию. Ее легко построить,
исходя из "максимальных покрытий" (задача 7.37).
Точки на бесконечности взаимно однозначно
отождествляются с максимальными покрытиями,
а их окрестности - с такими открытыми
множествами, которые не содержатся в
соответствующем покрытии. Фантастически
красивая штука, и используется в теории
булевых алгебр. Я хотел это добавить,
но решил не пергружать.

Такие дела
Миша

> они почему-то топологию в три раза резвее решают, чем алгебру.

А, ну тогда все в порядке, беспокоиться не о чем. Я-то думала, что у них топология с трудом идет. Тогда и компактификацию Стоуна-Чеха можно добавить (как необязательную), тем более что для нее действительно уже вся база есть, жалко эту базу оставлять почти неиспользованную :-) (Я, кстати, Стоуна-Чеха не помню. Была кажется компактификация добавлением одной точки, но это видимо только для локально компактных пространств работает.)

А почему тогда Каледин ругается? Считает, что это все ненужный груз? Мне такая база в жизни полезна оказалась, даже не собственно результаты (ну кроме основных вещей, конечно), а сама идеология.

А кстати, когда они должны самое позднее сдать все листки, для того чтобы во второй семестр перейти? После зимних каникул? Или это только к традиционным экзаменам относится, а листки надо до Нового Года сдать?

>А почему тогда Каледин ругается? Считает, что это все ненужный груз?

Ну он же этого не знает, и прекрасно жил до сего дня.
Как и любой другой знакомый нам математик. Общая топология
наука практически забытая, консенсус состоит в том, что
лучше давать им вместо этого нечто реально нужное.

> Была кажется
> компактификация добавлением одной
> точки, но это видимо только для локально
> компактных пространств работает.

Одноточечная компактификация. Работает для всех,
но хаусдорфово будет, конечно, только для локально
компактных. (определяется так: открытые множества,
содержащие добавленную точку, соответствуют
дополнениям к компактным подмножествам).
Про нее должна была быть задача, но
пропала куда-то.

> А кстати, когда они должны самое позднее
> сдать все листки, для того чтобы во
> второй семестр перейти?

15 декабря экзамен. Несдавшие все листки
могут пытаться вместо этого сдать экзамены
(это будет труднее). Если люди каждый
раз ходят и делают явственное усилие,
для них процесс можно продлить, насколько
позволит учебная часть.

Такие дела
Миша

Эх, надо сначала думать, а потом писать...
Посмотрела еще раз последнее свое письмо про Осн.теорему алгебры. Все не так, как надо.
Вот окончательный вариант:
------------------------------------------------
Для упрощения обозначений, мы будем в дальнейшем
предполагать, что минимум $|P|$ достигается в нуле.
Мы хотим доказать, что минимум $|P|$ равен нулю.
Пусть это не так. Пусть $k$ -- самое маленькое число
среди $1, 2, 3, \dots, n$, для которого
$a_k\neq 0$.
Домножив $P$ на $a_0^{-1}$, и сделав замену
$x=z\sqrt[k]{a_k^{-1}}$, мы получим многочлен вида
\[
Q(z) = 1 + z^k + b_{k+1} z^{k+1} + b_{k+2} z^{k+2} + ...
\]

\begin{zadacha}[!]
Докажите, что для любого
комплексного $z$ с $|z|< (1/2)\max \left(1, \sum |b_i|\right)^{-1}$,
\[
\frac{|Q(z)-1 - z^k| }{|z^{k}|}<1/2.
\]
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
Выведите из этого, что для любого положительного
вещественного $\epsilon< (1/2)\max \left(1, \sum |b_i|\right)^{-1}$
и любого комплексного $z$, для которого $z^k=-\epsilon$, выполняется
\[
|Q(z)-1 +\epsilon| < \epsilon/2.
\]
Вывести из этого, что $|Q(z)|<1=Q(0)$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
Докажите Основную Теорему Алгебры:
каждый многочлен $P$ положительной степени имеет
корень в $\C$.
\end{zadacha}
------------------------------------------------

В итоге получилось почти то, что у вас и было :-) Только у вас там путаница с \epsilon и \epsilon^k и ограничениями.

Привет,
я внес эти исправления, на днях появится

>Я бы просто взяла маленькую
> окружность с центром в нуле и
> посмотрела на то, что происходит с Q(z),
> когда z эту окружность пробегает.
> Понятно, что это будет кривая, обходящая
> вокруг 1 и не проходящая через 1
> (последнее получается оценкой разности
> (Q-1)/z^k -- что она не обращается в 0)

Это аргумент использует (явно или неявно)
фундаментальную группу и он будет приведен
в следующем листке, где будте фундаментальная
группа. "Понятно, что это будет кривая, обходящая
вокруг 1 и не проходящая через 1" - это
нетривиальный топологический аргумент и
требует обоснования.

Такие дела
Миша

Задача 7.3. Последний вопрос, мне кажется, стоит вынести в отдельную задачу со звездочкой, исходя из Вашего принципа невключения "безумных" пространств в основной курс.

Задача 7.8. Наверное, надо хаусдорфовость добавить в условие?

Определение после задачи 7.12. Либо надо называть не убывающей, а монотонной, либо написать:
"для любых $Z_i$, $Z_j$ из нашего набора $Z_i \subset Z_j$ при $i>j$". И отметить, что множество индексов пробегает любой ординал (это важно для дальнейшего).

В задачах 7.13 и 7.14 "замкнутых подможеств" надо заменить на "непустых замкнутых подмножеств".

Задача 7.14. Там довольно тонкие рассуждения нужны, дети вообще с трансфинитной индукцией знакомы, или с тем, что в любом множестве ординалов всегда есть наименьший (а это требуется для решения)? Последовательность-то ведь несчетная в общем случае.

Задача 7.15. В одну сторону очевидно, а вот в другую сторону не очень понятно как доказывать, учитывая, что убывающая последовательность замкнутых подмножеств с пустым пересечением в общем случае несчетная.

Задача 7.17. Не очень понятно, зачем она здесь, поскольку доказывается элементарно и без условий компактности и хаусдорфовости. Да и первой аксиомы счетности достаточно, а не счетной базы, как у Вас.

Задача 7.18. Зачем локальная компактность и счетная база? Достаточно первой аксиомы счетности.

Задача 7.19. Может, я чего-то не поняла, но ведь уже на пункт (а) ответ "нет", зачем тогда пункт (б)?
Пункты (в-г) -- не соображу, как делать.

Задача 7.20. Требование компактности М лишнее.

Задача 7.21. Я бы сделала часть "докажите" из двух пунктов, второй -- то, что сейчас, а первым -- "тогда и только тогда, когда Z замкнуто и ограничено". Мне кажется, так будет более наглядно, ну и потом это классика все-таки.

Задача 7.23. Во-первых, остается вопрос, существует ли беск.дискр.мн-во. Во-вторых, я не понимаю, как Вы подберете коэффициенты, чтобы ряд гарантированно сходился во всех точках М, и при этом не достигал максимума...

Задача 7.26. Неудачно сформулировано, можно подумать, что такое отображение требуется построить для каждого нехаусдорфова N, в то время как имелось в виду, наверное, просто построить какой-нибудь один пример. Такая двусмысленность, кстати, и еще в каких-то задачах была.

> Задача 7.3. Последний вопрос, мне кажется,
> стоит вынести в отдельную задачу со
> звездочкой, исходя из Вашего принципа
> невключения "безумных" пространств в
> основной курс.

Это как раз все с легкостью решают - исходя из того,
что любое подмножество кодискретного пространства
компактно (задача 7.1).

> Задача 7.8. Наверное, надо хаусдорфовость
> добавить в условие?

Спасибо! Конечно же.

> Определение после задачи 7.12. Либо надо
> называть не убывающей, а монотонной,
> либо написать: "для любых $Z_i$, $Z_j$ из
> нашего набора $Z_i \subset Z_j$ при $i>j$". И
> отметить, что множество индексов
> пробегает любой ординал (это важно для
> дальнейшего).

И вообще сказать про набор, а не последовательность
(последовательности у нас везде счетные)

> Там довольно тонкие
> рассуждения нужны, дети вообще с
> трансфинитной индукцией знакомы, или с
> тем, что в любом множестве ординалов
> всегда есть наименьший (а это требуется
> для решения)? Последовательность-то
> ведь несчетная в общем случае.

Мне тоже так кажется, но Каледин считает,
что им все объяснил Шень на лекции. У меня там
была лемма Цорна и другое указание.

Что есть наименьший ординал - это как раз
определение "полного порядка".

Просто "полный порядок" есть штука интуитивистски
гораздо более сомнительная, чем лемма Цорна.

> Задача 7.15. В одну сторону очевидно, а вот
> в другую сторону не очень понятно как
> доказывать, учитывая, что убывающая
> последовательность замкнутых
> подмножеств с пустым пересечением в
> общем случае несчетная.

Это вообще неверно! Ужас.
Именно, возьмем большой (первый несчетный, например)
ординал, и введем на нем топологию с базой,
порожденной отрезками вида [ординал, ординал]
(т.е., с концами). Оно, очевидно, некомпактно.
Любой (предельный) ординал является точкой
концентрации для любой последовательности
ординалов, для которой он является
верхней гранью. Поэтому любая счетная
последовательность ординалов
имеет предельные точки, а бесконечных
дискретных подмножеств у него нет вовсе.
Надо потребовать первой аксиомы счетности.

Я переписал указание (точнее,
вернулся к тому варианту, который у меня
изначально был). В условии надо потребовать
счетной базы.

\begin{ukazanie}
Если $M$ содержит бесконечное
дискретное подмножество, из \ref{cap.1}
следует, что $M$ некомпактно. Если, наоборот,
$M$ некомпактно, то у $M$ есть счетное покрытие
$S $, такое, что никакое конечное подмножество
$S$ не покрывает $M$. Выкидывая какие-то элементы
из $S$, можно добиться, чтобы объединение $W_\alpha$
всех $U\in S$, кроме одного элемента $U_\alpha$, не
покрывало $M$ (докажите это). Возьмем по точке $m_\alpha$
в $M\backslash W_\alpha$. По определению,
$m_\alpha$ лежит в $U_\alpha$ и не лежит
в объединении всех остальных $U\in S$. Рассмотрим
множество $\{m_\alpha\}$. Пусть у него
есть предельная точка $m$. Возьмем
$U\in S$, содержащее $m$. Тогда $U$
содержит и бесконечное количество
точем из $\{m_\alpha\}$ - противоречие.
\end{ukazanie}

> Задача 7.17. Не очень понятно, зачем она
> здесь, поскольку доказывается
> элементарно и без условий компактности
> и хаусдорфовости. Да и первой аксиомы
> счетности достаточно, а не счетной базы,
> как у Вас.

Да, непонятно, что это такое. Проблемы редактирования.

> Задача 7.19. Может, я чего-то не поняла, но
> ведь уже на пункт (а) ответ "нет", зачем
> тогда пункт (б)?

То же самое. Там было изначально другое определение
дискретного множества.

>Пункты (в-г) -- не
> соображу, как делать.

Я (выше) привел даже хаусдорфово некомпактное
множество без дискретных подмножеств. С нехаусдорфовыми
все проще, конечно же. Например, возьмем натуральные
числа, с базой открытых множеств, порожденных
отрезками вида [0, N] - это будет очевидно
некомпактно, но без дискретных подмножеств.
Такое топологическое пространство кто-то
из студентов даже приводил (решая другую
задачу). Это Т0-пространство.

> Во-вторых, я не понимаю, как Вы подберете
> коэффициенты, чтобы ряд гарантированно
> сходился во всех точках М, и при этом не
> достигал максимума...

Этот ряд финитный (потому что в каждой точке
зануляется каждая из функций Урысона, кроме
одной). Значит, в качестве коэффициентов можно
брать степени двойки например.

Со всем остальным согласен, добавил - спасибо!

Такие дела
Миша

> Это как раз все с легкостью решают - исходя из того,
> что любое подмножество кодискретного пространства
> компактно (задача 7.1).

А, понятно. Излишнее знание вредит: я брала кофинитную топологию :-)

> Именно, возьмем большой (первый несчетный, например)
> ординал, и введем на нем топологию с базой,
> порожденной отрезками вида [ординал, ординал]
> (т.е., с концами). Оно, очевидно, некомпактно.

Что-то я не поняла. Если у Вас ординалы в базе любые, так оно не только некомпактно, но и дискретно :-)

>> Задача 7.15.
> В условии надо потребовать счетной базы.

Так тогда эта часть превращается в задачу 7.16 ведь.

Кстати, по поводу задачи 7.16, в которой достаточно жесткое ограничение (счетная база). Я посмотрела книжку ("Анализ" Лорана Шварца, с.76), там есть так называемое "Свойство Больцано-Вейерштрасса":
- для того, чтобы метризуемое хаусдорфово пр-во было компактным, необходимо и достаточно, чтобы любая последовательность его элементов имела предельную точку.
Может, добавить его как задачу с двумя звездочками, после 7.16? Мне кажется, это будет логичным завершением данной темы (хотя бы просто знать о существовании такой теоремы), а то остается какая-то неопределенность для пространств без счетной базы. И для Геометрии 8 эта теорема нужна будет.
Если делать обязательным, то надо еще парочку промежуточных задач вставить, там довольно сложное доказательство (хотя ничего страшного нет), без промежуточных пунктов не решат. Если у Вас книжки соответствующей под рукой нет, я могу эти две задачи написать.

> Я (выше) привел даже хаусдорфово некомпактное
> множество без дискретных подмножеств.

Ну там видимо какая-то опечатка была в описании базы, так что я не поняла, какая там топология.

> Этот ряд финитный (потому что в каждой точке
> зануляется каждая из функций Урысона, кроме одной).

Ну, не такой уж он и финитный. Пространство-то у нас состоит не только из точек выбранного дискретного множества :-) И в тех точках, которые между замыканиями окрестностей находятся, т.е. в которых функции Урысона принимают значения из (0,1), будет твориться черт знает что. То есть чтобы ряд гарантированно сходился поточечно, надо, чтобы сходился ряд из коэффициентов.

====================================================
Посмотрела вторую часть Геометрии 7. Замечаний мало:

Определение 7.4. "собственное отображение" -- это общепринятый термин? А то звучит как-то странно.

Задача 7.34. "последовательность покрытий" надо заменить на "набор покрытий".

Задача 7.36. Лучше написать как-то так:
"Пусть дано максимальное покрытие $\{ V_{\alpha}\}$ некомпактного топологического пространства $M$. Докажите, что если открытые множества $U_1$, $U_2$ не лежат в $\{ V_{\alpha}\}$, и их пересечение непусто, то оно тоже не лежит в $\{ V_{\alpha}\}$. Докажите, что любое непустое конечное пересечение
открытых множеств, не лежащих в $\{ V_{\alpha}\}$, тоже не принадлежит $\{ V_{\alpha}\}$."

А понятия фильтра у них еще не было?

Замечание к задаче 7.38. Часть после "иначе говоря" эквивалентна исходному утверждению только если I счетно. "Иначе говоря" надо заменить на "в частности".

Еще меня сомнения гложут: разве в теореме Тихонова не требуется хаусдорфовости М?

>Что-то я не поняла. Если у Вас ординалы в базе любые,
>так оно не только некомпактно, но и дискретно :-)

Не дискретно - предельный ординал не открыт, а не предельный
открыт. В качестве открытых множеств рассматриваются
отрезки вида [ординал, не равный ему ординал]

>чтобы метризуемое хаусдорфово пр-во было
>компактным, необходимо и достаточно, чтобы
>любая последовательность его элементов имела предельную точку

А это у нас есть, в листке про метрические пространства

>Пространство-то у нас состоит не только из точек выбранного
>дискретного множества :-)

Да, но функции Урысона выбраны равными нулю
вне непересекающихся окрестностей точек
дискретного множества.

>Определение 7.4. "собственное отображение" -- это
>общепринятый термин? А то звучит как-то странно.

Да, абсолютно. И довольно часто используемый в
науке о когомологиях пучков (см. кстати великолепный
учебник Гельфанда-Манина "Гомологическая алгебра").

>Еще меня сомнения гложут: разве в теореме
>Тихонова не требуется хаусдорфовости М?

Нет, совершенно. Напротив, для хаусдорфовых
пространств теорема Тихонова слабее, чем в общей
форме (для общих она равносильна аксиоме выбора,
для хаусдорфовых - теореме Стоуна о представимости
булевых алгебр, которая слабее).

>А понятия фильтра у них еще не было?

Не было, и не будет, увы.

За остальные исправления спасибо - я
все добавил!

Такие дела
Миша

> Не дискретно - предельный ординал не открыт, а не предельный
> открыт. В качестве открытых множеств рассматриваются
> отрезки вида [ординал, не равный ему ординал]

Так все равно не получится. Любое одноточечное множество будет открытым, поскольку для любого ординала {a}=[0,a] пересечь с [a,a+1] :-)
Чтобы с предельными ординалами было, как Вы говорите, надо брать открытые интервалы. Вот тогда действительно получится.

> >чтобы метризуемое хаусдорфово пр-во было
> >компактным, необходимо и достаточно, чтобы
> >любая последовательность его элементов имела предельную точку
>
> А это у нас есть, в листке про метрические пространства

Я в старых листках такого не нашла. Не подскажете номер соответствующей задачи?

> Да, но функции Урысона выбраны равными нулю
> вне непересекающихся окрестностей точек
> дискретного множества.

Вот смотрите, возьмем какую-то одну функцию. Она равна 1 в окрестности соотв.точки, и равна 1 в объединении окрестностей остальных точек нашего дискретноuj множества. Но кроме этих окрестностей есть еще кое-какие точки (а именно некоторое непустое открытое множество X), где эта функция принимает значания в интервале (0,1). Более того, в любой точке из X _все_ наши функции принимают ненулевые значения (так как замыкание объединения двух множеств равно объединению замыканий). И что получится с суммой ряда в таких точках?

>Чтобы с предельными
> ординалами было, как Вы говорите, надо
> брать открытые интервалы. Вот тогда
> действительно получится.

Да, конечно. Пардон.

>Она равна 1 в окрестности
> соотв.точки, и равна 1 в объединении
> окрестностей остальных точек нашего
> дискретноuj множества.

А надо наоборот: чтобы была равна нулю вне
окрестности некоторой точки (дополнение замкнутое)
и единице в этой точке. Потом такие функции просуммировать.

> Я в старых листках такого не нашла. Не
> подскажете номер соответствующей
> задачи?

Задача 4.7

Такие дела
Миша

> А надо наоборот: чтобы была равна нулю вне
> окрестности некоторой точки (дополнение замкнутое)

Ага, поняла. Дело в том, что в Указании написано как раз то, что я в предыдущих письмах писала. Чтобы получилось, как Вы говорите, надо написать так:

"Теперь примените лемму Урысона к замкнутым множествам $\{x_i\}$, $M\U_i$, и просуммируйте полученные функции Урысона $f_i$ с правильно подобранными коэффициентами."

Спасибо! Я поправил

Такие дела
Миша