Стоун аж двух фотографий удостоился.

14.12 это на самом деле определение изоморфизма категорий. Эквивалентность подразумевает, что композиции эквивалентны (в смысле 14.9) единичным функторам, а не равны им, как следует из 14.7

Какая еще эквивалентность функторов? Эквивалентны бывают категории, а функторы бывают изоморфны (изоморфизм функторов -- частный случай морфизма функторов).

Я не знаю, что было изначально. Есть понятие морфизма (естественного преобразования) функторов. Частным случаем его является понятие изоморфизма функторов. Две категории эквивалентны, если между ними существует пара функторов в ту и другую сторону, такая что обе композиции изоморфны тождественным функторам (не равны, но изоморфны).

Объясните пожалуйста, что это означает: "kategoriya ehto neopredelyaemoe iznachal'noe ponyatie".

Большое спасибо. Очень красивые и полезные замечания во всей дискуссии.

Я могу объяснить, что такое изоморфизм категорий. Вот имеется категория, объектами которой являются множества с какой-то структурой, ну и другая аналогичная. И имеется функтор, сопоставляющий множеству со структурой другое множество с другой структурой. Тогда такой функтор может оказаться эквивалентностью категорий. Если же эквивалентностью категорий является функтор, сопоставляющий множеству со структурой то же самое множество с другой структурой, то это изоморфизм категорий.

Например, "булевы кольца - булевы алгебры" (если я правильно понимаю, о чем идет речь) -- действительно, изоморфизм категорий, поскольку это эквивалентные структуры на одном и том же множестве. А категория векторных пространств и противоположная к ней категория -- эквивалентны, но не изоморфны (двойственное векторное пространство). Примерно так.

Возможно, у Гротендика была цель переписать основания алгебраической геометрии, но не основания математики в целом. Хотя мне кажется, что если бы существовали сколько-нибудь удобные теоретико-категорные основания математики, то Гротендик бы их, вероятно, придумал.

Идея популярная, но не то, чтобы дурацкая, а, как представляется, едва ли осуществимая.

Упоминание герменевтики наводит на мысль об Алане Сокале. Настраивает на веселый лад, в общем.

"конечномерных векторных пространств", конечно.

Что касается категории всех категорий, то я бы сказал, проблема с этим в том, что без пояснения непонятно, что это значит. Морфизмами в этой категории могут быть функторы или классы изоморфизма функторов; в зависимости от этого, изоморфизм в категории всех категорий будет изоморфизмом категорий или эквивалентностью категорий.

> Убедить студентов, что словом "категории"
> можно (и нужно) пользваться, стоит больших
> моральных усилий.

Это наверное от того, что студенты ещё не увидели красивых примеров где без теории категорий по-настоящему не обойтись. Иначе с вашей стороны не потребовалось бы никаких усилий по убеждению студентов в этом вопросе.

\определение
Функтор $F:\; \cac_1 \arrow \cac_2$ называется
{\бф эквивалентностью категорий}, если
найдутся функторы $G, G':\; \cac_2 \arrow \cac_1$
такие, что $F\circ G$ эквивалентен тождественному
функтору на $\cac_1$, а $G' \circ F$ эквивалентен
тождественному функтору на $\cac_2$.
\ео

Впервые вижу такое определение, хотя оно и эквивалентно привычным мне. Обычно предполагается, что G=G'. Вот еще одно полезное определение, или, если хочешь, критерий: функтор является эквивалентностью категорий, если он биективен на морфизмах между любой парой объектов и сюръективен на классах изоморфизма объектов.

Чтобы убедить студентов в интересности/полезности категорий, я бы рассказал про универсальные объекты -- представимые функторы -- сопряженные функторы, с соответствующими примерами.

Кончится все это тем, что категория мономорфизмов G \arrow \pi_1(M) эквивалентна категории связных накрытий M.

Такая формулировка не выглядит особенно удачной -- что является морфизмами в категории мономорфизмов G \to \pi_1(M)? Ведь сопряженные подгруппы (мономорфизмы с разными образами) определяют изоморфные накрытия. Классическая формулировка такова: категория связных накрытий эквивалентна категории множеств с транзитивным действием \pi_1(M).

a chto vse-taki takoe ekvivalentnost' funktorov?

Это Миша так называет изоморфизм функторов.

aga, ponjatno :)

Начал читать, пока только 0 и 1-2 лекции скачал, но уже интересно.

В список основных применений аксиомы выбора я бы добавил и гомологическую алгебру: как иначе доказать, что в категории модулей много инъективных объектов или что вялые/мягкие пучки ацикличны?

О, и впрямь! И кстати, что уж там инъективные оболочки: даже тот скромный факт, что свободные модули проективны, и то доказывается с помощью аксиомы выбора.

Боюсь, что аксиома выбора нужна уже для нормальной работы с нётеровостью (чтоб о.в.ц. и конечная порожденность подмодулей были эквивалентны). Каноническую свобобдную резольвенту по Бурбаки тоже с одним только счетным выбором не сделаешь.

Если строить от топосов, то держу пари, что нужен недостижимый кардинал, после которого стесняться AC странно. Впрочем, тут я тоже никаких подробностей не знаю (но SGA4, как известно, именно с аксиом "вселенной" начинается).

Собственно, эта же проблема есть и в ZFC: не бывает абелевых категорий, где есть бесконечные произведения и суммы.
Ох, Миша.

Не бывает абелевых категорий, в которых одновременно точны направленные прямые и обратные пределы. В частности, в категории абелевых групп и ей подобных (модулях, пучках) точны направленные прямые пределы, а обратные не точны. В категориях же про-объектов точны, напротив, направленные обратные пределы.