Я назвал этот пост  ""категория" топосов". Потому что в этой части Мак Лейн и Мурдяк начинают систематически изучать морфизмы между топосами. И строго говоря, топосы не образуют категорию. Но можно представить себе, что образуют, чтобы лучше понимать логику науки. У топосов есть два типа морфизмов. Первые это "логические морфизмы", функторы, которые, грубо говоря, сохраняют сохраняют структуру топоса. Это похоже на то, как морфизмы определяются для многих других категорий. Но они оказываются не очень интересными. Но интересными становятся "геометрические морфизмы", второй тип. И это уже не просто функторы, а пары сопряженных функторов, левый из которых точен слева. И оказывается, что это очень естественное определение морфизмов между топосами. Во первых, любому непрерывному отображению между топологическими пространствами однозначно соответствует геометрический морфизм при некоторых условиях отделимости. Правильная ассоциация тут — это образ и прообраз. Также геометрическим морфизмом являются функтор шифификации и вложения пучков в предпучки, а также забывающий функтор и ко-свободная коалгебра. 

 Тут подход у Мак Лейна достаточно напоминает некоторые старые элементарные учебники абстрактной алгебры когда нам долго рассказывают про группы, а потом в конце вдруг выясняется, что еще бывают морфизмы между группами. У Джонстона, например, геометрические морфизмы морфизмы появляются в первой главе, и их тема развивается одновременно с темой топосов. Но учебник Джонстона можно считать очносительно более продвинутым. Потому что в 0-й главе, которую можно считать списком пререквизитов уже упоминаются n-категории и теорема Жиро, на которой Мак Лейн заканчивается. Потому Мак Лейна можно считать подготовительным текстом к Джонстону. 

 Потом авторы определяют тензорное произведение с предпучком. Это тензорное произведение не равноценное в том смысле, что правая и левая часть относятся к разным категориям. И как частный случай этой конструкции рассматривается тензорное произведение объектов топоса с действием внутренней группы. Это довольно абстрактная теория. Не буду тут долго останавливаться. 

 Тема, которая мне очень понравилась в этой главе — это геометрические вложения и сюръекции. Замечательно тут то, что можно доказать, что любой геометрический морфизм можно факторизовать через какой-нибудь топос пучков на образе. В частности это результат можно развить так, что область определения любого геометрического вложения будет эквивалентна категории предпучков на образе. В частности это значит, что любой под-топос топоса — это на самом деле какой-то топос пучков на нем. Этот результат интересен тем, что любой такой топос пучков определяется топологией Лавера-Тирни, а это по сути просто определенный модельный оператор на некоторой алгебре-логики. Потому, получается, что решетка под-топосов полностью описывается неким маленьким множеством. Похожий результат есть и для геометрических сюръекций. Только там вясняется, что образ является категорией коалгебр над областью определения. 

 При этом если смотреть на геометричесекие морфизмы как на часть категории топосов, то категория множеств SET является там терминальным объектом. То есть ведет себя примерно так же как множество с одним элементом в самой категории множеств. То есть в него из любого объекта есть только одна стрелка, но тут эта стрелка это не отображение-константа, а функтор глобальных сечений и сопряженный с ним. И по аналогии с такими стрелками в топосах, геометрические морфизмы из категории SET называют точками топосов. Эта аналогия полностью оправдана потому что, если категорию пучков на хаусдорфовом пространстве, то есть однозначное соответствие таких геометрических морфизмов и точек. Авторы разбирают структуру точек для некоторых классических примеров топосов. Например, для топоса предпучков на малой категории точки однозначно соответствуют плоским функторам, где плоскость определяется в смысле тензорного произведения определенного выше. А в случае топосов Гротендика точки — это непрерывные плоские функторы. 

 Далее, авторы пытаются дать похожее описание всем геометрическим морфизмам. И для этого они обращаются к теории фильтрованных категорий. Мне эта тема показалась слишком технической. Но полностью игнорировать ее нельзя, потому что ее результаты используется дальше. В итоге глава заканчивается на очень интригующем замечании, что топос пучков на топологическом пространстве гомотопически эквивалентен топосу вложений в это пространство. 

 Думаю, что проблему с технической сложностью последних разделов этой главы можно было бы решить чтением еше одной книги Мак Лейна "Категории для работающих математиков". Тем более в следующей главе появляются симплициальные множества. И в категориях для трудящихся про это тоже есть. Но тогда получается слишком длинное ответвление. Думаю мне подойдет такая программа: 1) решить задачки про геометрические морфизмы, игнорируя фильтрующие категории и расширения Кана 2) Читать часть с фильтруюшими категориями без доказательств 3)прочитать в другой книжке, про моноидальные категории и переходить дальше