Войти в систему

Home
    - Создать дневник
    - Написать в дневник
       - Подробный режим

LJ.Rossia.org
    - Новости сайта
    - Общие настройки
    - Sitemap
    - Оплата
    - ljr-fif

Редактировать...
    - Настройки
    - Список друзей
    - Дневник
    - Картинки
    - Пароль
    - Вид дневника

Сообщества

Настроить S2

Помощь
    - Забыли пароль?
    - FAQ
    - Тех. поддержка



Пишет Misha Verbitsky ([info]tiphareth)
@ 2010-11-27 20:42:00
Previous Entry  Add to memories!  Tell a Friend!  Next Entry
Настроение: sick
Музыка:Олег Медведев - Поезд на Сурхарбан
Entry tags:math, mccme

лекция 8: мера Хаара
Выложил последнюю порцию лекций и задач
к курсу по мере.

http://verbit.ru/MATH/MERA-2010/lecture-mera8.pdf
http://verbit.ru/MATH/MERA-2010/mera-6.pdf

Про меру Хаара, ее существование и единственность.
Комментарии очень приветствуются.

Провел немало времени, пытаясь придумать конструктивное
доказательство (пусть даже в менее общих предположениях),
в конце концов плюнул и рассказал обычное, через
теорему Тихонова.

Кстати, еще одна причина рассказывать теорему Тихонова
в начальном курсе топологии (основная причина - нормальные
семейства голоморфных функций, которые нужны, например,
в доказательстве теоремы Римана об униформизации).

Предыдущие лекции [ 1 | 2-3 | 4 | 5 | 6 | 7 ]
листочки [ 1 | 2 | 3 | 4 | 5 ].

Кстати, немало поправил
листочки 1,2,3,5 и лекции 1,2,4,6 (спасибо [info]sasha_a).

В следующую пятницу экзамен.

Привет


(Добавить комментарий)


(Анонимно)
2010-11-28 01:13 (ссылка)
>компактно в силу (весьмЕ нАтривиальной) теоремы Тихонова

А в чем все же нетривиальность?
В том, что операция с бесконечным числом компактов могла бы портить компактность - а не портит?

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2010-11-28 01:15 (ссылка)
В том, что ее доказательство практически никто не помнит например
и зависит от аксиомы выбора

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2010-11-28 01:36 (ссылка)
Оно реально сложное, граждане вообще меня жестко критиковали
за то, что я ее читал в начальном курсе топологии

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]measure_01
2010-11-28 17:25 (ссылка)
в начальном курсе, когда мотивировки нет, она действительно вызывает удивление

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2010-11-28 17:37 (ссылка)
Мотивировки как раз сколько угодно, компактность
гильбертова куба нужна, например, для доказательства метризуемости

(Ответить) (Уровень выше)


[info]dmitri_pavlov
2010-11-28 19:26 (ссылка)
Сложность теоремы Тихонова вытекает из того,
что общая топология пользуется неправильным формализмом.
Если формулировать всё на языке локаль, то доказательство становится проще и аксиомы выбора не требует:
http://mathoverflow.net/questions/26416/what-is-your-favorite-proof-of-tychonoffs-theorem/26427#26427

Вообще, все или почти все существенные теоремы, требующие аксиому выбора,
на самом деле в ней не нуждаются, если их формулировать на языке локаль.
Например, теорема Хана-Банаха: http://mathoverflow.net/questions/45844/hahn-banach-without-choice/45848#45848

И многие другие разнообразные результаты: теорема Банаха-Алаоглу,
компактификация Стоуна-Чеха, всевозможные эквивалентности
типа Стоуна между алгебрами и пространствами (булевы алгебры,
C*-алгебры, алгебры фон Нойманна),
различные результаты в алгебраической геометрии,
базирующиеся на максимальных идеалах.

Ещё более важным фактором является то, что
на языке локаль все эти теоремы верны также
в семейственной и эквивариантной форме,
что в классическом случае совершенно неверно
(например, для теоремы Хана-Банаха).

Всё это указывает на то, что Хаусдорфф и Куратовский немного
промахнулись с основным определением общей топологии.
Равно как и Каратеодори (или кто-то другой),
когда определял понятие измеримого пространства
(теория меры на языке локаль тоже сильно упрощается).

Про то, что классическое понятие топологического
пространства не подходит для общей топологии,
писал ещё Гротендик.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2010-11-28 19:51 (ссылка)
что такое локаль?
ссылка пустая

заметил как по ссылке http://mathoverflow.net/questions/26416/what-is-your-favorite-proof-of-tychonoffs-theorem/26427#26427
кто-то редактировал текст

что первично мера или топология?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]dmitri_pavlov
2010-11-28 20:03 (ссылка)
Ссылка работает, я только что проверил.
Текст редактировал его автор, чтобы уточнить терминологию.
Общая топология (локали) первична,
категория измеримых пространств является подкатегорией
категории локалей.

Кстати, здесь хорошо видно, почему категории локалей
лучше подходит для математики, нежели теоретико-множественные
топологические пространства.

Пересечением локалей и топологических пространств
являются пространственные локали, они же соберовские пространства.
Есть топологические пространства, не явлюящиеся локалями
(несоберовские пространства), есть локали, не являющиеся топологическими
(непространственные локали).

В то время как несоберовские пространства патологичны
и в математике по существу не используются (даже
в алгебраической геометрии, где активно используют
нехаусдорфовы (T2) и неотделимые (T1) пространства),
непространственные локали весьма полезны и постоянно встречаются
в математике.
Например, все измеримые пространства, исключая конечные объединение точек,
являются непространственными локалями.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2010-11-28 20:06 (ссылка)
>Ссылка работает, я только что проверил

У меня тоже не работает

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]dmitri_pavlov
2010-11-28 20:18 (ссылка)
Как это не работает? Я лично только что проверил все три ссылки.
Какая из них не работает?
1) http://ncatlab.org/nlab/show/locale
2) http://mathoverflow.net/questions/26416/what-is-your-favorite-proof-of-tychonoffs-theorem/26427#26427
3) http://mathoverflow.net/questions/45844/hahn-banach-without-choice/45848#45848

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2010-11-28 20:27 (ссылка)
Вот эта
http://ncatlab.org/nlab/show/locale
показывает белый экран с "legal terms" всередине

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]dmitri_pavlov
2010-11-28 20:36 (ссылка)
У меня работает. Если скачать ссылку wget, что получается?
Размер файла должен быть 56,565 байт,
если нет — значит проблема в сервере
и надо написать администраторам ncatlab.org.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2010-11-28 20:54 (ссылка)
wget http://ncatlab.org/nlab/show/locale
--2010-11-28 20:50:17-- http://ncatlab.org/nlab/show/locale
Resolving ncatlab.org... 64.74.223.42
Connecting to ncatlab.org|64.74.223.42|:80... connected.
HTTP request sent, awaiting response... Read error (Connection reset by peer) in headers.
Retrying.

--2010-11-28 20:50:18-- (try: 2) http://ncatlab.org/nlab/show/locale
Connecting to ncatlab.org|64.74.223.42|:80... connected.
HTTP request sent, awaiting response... Read error (Connection reset by peer) in headers.
Retrying.

--2010-11-28 20:50:20-- (try: 3) http://ncatlab.org/nlab/show/locale
Connecting to ncatlab.org|64.74.223.42|:80... connected.
HTTP request sent, awaiting response... Read error (Connection reset by peer) in headers.
Retrying.

--2010-11-28 20:50:24-- (try: 4) http://ncatlab.org/nlab/show/locale
Connecting to ncatlab.org|64.74.223.42|:80... connected.
HTTP request sent, awaiting response... Read error (Connection reset by peer) in headers.
Retrying.

--2010-11-28 20:50:28-- (try: 5) http://ncatlab.org/nlab/show/locale
Connecting to ncatlab.org|64.74.223.42|:80... connected.
HTTP request sent, awaiting response... Read error (Connection reset by peer) in headers.
Retrying.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]dmitri_pavlov
2010-11-28 21:00 (ссылка)
Ошибка, судя по всему, на уровне DNS.
У меня ncatlab.org разрешается в 68.233.9.66.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2010-11-28 21:04 (ссылка)
Но их родной таки 64.74.223.42
dig ncatlab.org

; <<>> DiG 9.4.3-P5 <<>> ncatlab.org
;; global options: printcmd
;; Got answer:
;; ->>HEADER<<- opcode: QUERY, status: NOERROR, id: 24731
;; flags: qr rd ra; QUERY: 1, ANSWER: 1, AUTHORITY: 5, ADDITIONAL: 0

;; QUESTION SECTION:
;ncatlab.org. IN A

;; ANSWER SECTION:
ncatlab.org. 1800 IN A 64.74.223.42

;; AUTHORITY SECTION:
ncatlab.org. 3600 IN NS dns4.name-services.com.
ncatlab.org. 3600 IN NS dns1.name-services.com.
ncatlab.org. 3600 IN NS dns3.name-services.com.
ncatlab.org. 3600 IN NS dns2.name-services.com.
ncatlab.org. 3600 IN NS dns5.name-services.com.

я не поленился сделать
dig ncatlab.org @dns[1-5].name-services.com

;ncatlab.org. IN A

;; ANSWER SECTION:
ncatlab.org. 1800 IN A 64.74.223.42

(Ответить) (Уровень выше)


(Анонимно)
2010-11-28 23:02 (ссылка)
Увы, ссылка на "локаль" не работает (я нахожусь в США).

(Ответить) (Уровень выше)


[info]twenty
2010-11-28 23:23 (ссылка)
мне оно показывает вообще запаркованный домен

cash advance debt consolidation insurance at ncatlab.org
Welcome to ncatlab.org
Related Searches
* Cash Advance
* Debt Consolidation
* Insurance
* Free Credit Report
* Cell Phones
* Life Insurance
* Credit card application
* Real Estate
* Cheap Airfare
* Finance
* Mortgage

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]dmitri_pavlov
2010-11-28 23:39 (ссылка)
Полагаю, они и сами уже знают о проблеме,
и скоро её решат.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]tiphareth
2010-11-28 19:56 (ссылка)
Формализм формализмом, но что произведение конечного числа компактов
компакт есть реально самая трудная теорема базового курса "общей топологии"
(это без метризации, гейне-бореля, хопфа-ринова и т.д.).
То есть трудность здесь весьма фундаментальная, не целиком
вытекающая из аксиомы выбора и (судя по всему)
не исчерпывается выбором формализма.

Что до локалей и/или топосов, я бы с удовольствием
посмотрел на первокурсника, которого учат таким образом.
Интересный эксперимент же, никто не пробовал.

Но если считать, что сначала мы их учим таки нормальной
топологии, то локали уже не понадобятся, ибо два курса
общей топологии - явный перебор.

Такие дела
Миша

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]dmitri_pavlov
2010-11-28 20:16 (ссылка)
Доказательство в книге Джонстона для локалей
действительно занудное, но я подозреваю, что это
из-за того, что Джонстон не развивает нормально
общую топологию, а доказывает отдельные нужные ему факты.

Учить первокурсников локалям затруднительно ввиду
отсутствия учебника общей топологии на языке локалей.
Впрочем, тогда надо и функциональный анализ, теорию меры,
алгебраическую геометрию на локали
переводить — таких учебников тоже ещё нет.

То есть сначала нужен новый Бурбаки, который догматично
заменит топологические пространства локалями,
напишет книги на этом языке,
а потом уже можно начинать писать учебники и учить студентов.

Я бы всё-таки не стал называть классические топологические
пространства «нормальной» топологией — ведь именно этот формализм
принуждает нас к теоретико-множественным извращениям
и не позволяет нормально доказывать семейственные и эквивариантные
версии теорем из общей топологии.
Термин «классическая общая топология» мне кажется более уместным.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2010-11-28 20:29 (ссылка)
>принуждает нас к теоретико-множественным извращениям

Ну, все-таки не настолько животрепещущий
вопрос, "общая топология" есть заплесневелый угол
математики, на который чем меньше обращать внимания,
тем лучше

То есть да, принуждает, но не настолько много, чтоб
приходилось нервничать

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]dmitri_pavlov
2010-11-28 23:46 (ссылка)
Ну, не только общая топология, но и функциональный анализ (теорема Хана-Банаха, теорема Банаха-Алаоглу)
и алгебраическая геометрия (схемы, топология Зарицкого), например, тоже от неправильного формализма не выигрывают,
хотя теоремы можно сформулировать в любом случае.

Теория меры страдает сильнее всех — там даже основное
понятие измеримого пространства по этой причине неправильно определяют.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2010-11-29 00:25 (ссылка)
Ну, теорию меры какбе тоже больше одного раза не читают,
то есть это первый курс, начало второго на худой конец
(я исхожу из разумного предположения, что на интеграл Римана
мы забили, потому что суммы Дарбу это мутный бред, который
гораздо сложнее, чем интеграл Лебега). А рассказывать
локали на первом курсе как-то экстремально (хотя я бы
одобрил, ради эксперимента).

А что до топологии Зариского, я не видел ни одного человека,
который применял бы к ней какие-нибудь теоремы общей топологии.

Такие дела
Миша

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]dmitri_pavlov
2010-11-29 00:37 (ссылка)
Интеграл Лебега, естественно, проще,
а Римана на мой взгляд вообще упоминать не надо.
Просто забавно наблюдать, как существующий
теоретико-множественный формализм мешает
даже нормально определить основную категорию
теории меры (хотя определять эту категорию
можно и с локалями, и с обычной теорией множеств).
Да и технически локали проще — например,
не нужны никакие конструкции отождествления
для избавления от множеств меры нуль.

По этой же причине в курсах теории меры
совершенно не говорят про морфизмы измеримых
пространств. Без понятия морфизма совершенно
невозможно понять условные математические
ожидания, которые являются ничем иным,
как семейством вероятностных мер на слоях морфизма.
В классическом изложении вместо этого
несут ахинею про под-сигма-алгебры,
интуитивный смысл которой понять нельзя.

К топологии Зарицкого общая топология, естественно, не применяется.
Просто там используется тот же формализм, и возникают те же эффекты вроде необходимости использовать лемму Цорна или аксиому выбора для доказательства даже
простых утверждений.
В формализме локалей ничего такого нет.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2010-11-29 08:38 (ссылка)
//...Без понятия морфизма совершенно
невозможно понять условные математические
ожидания,

Воеводский начинал категорификацию

//... которые являются ничем иным,
как семейством вероятностных мер на слоях морфизма

слой морфизма?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]dmitri_pavlov
2010-11-29 14:49 (ссылка)
Тут категорификация не нужна, надо просто сформулировать
существующие достижения на нормальном языке категорий.

Слой морфизма в данной точке — прообраз этой точки.
(Это не совсем строго, но интуитивный смысл именно такой.)

(Ответить) (Уровень выше)


[info]sasha_a
2010-11-29 02:00 (ссылка)
"Point set topology is a disease from which the human race will soon recover" --- Henri Poincare

Так до сих пор в плесени и живем ...

(Ответить) (Уровень выше)


(Анонимно)
2010-11-28 20:33 (ссылка)
//...не исчерпывается выбором формализма.

это можно доказать только конструктивным доказательством
энтропия этого процесса-"сложность проблемы"

(Ответить) (Уровень выше)


[info]tiphareth
2010-11-28 01:15 (ссылка)
Спасибо, ага, поправил

(Ответить) (Уровень выше)


(Анонимно)
2010-11-28 03:16 (ссылка)
это ж надо быстро как печатать что б так опечататься.

(Ответить) (Уровень выше)


(Анонимно)
2010-11-28 03:33 (ссылка)
Определение 8.25
В конце последней строчки U вместо *.

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2010-11-28 03:35 (ссылка)
Спасибо! Поправил

(Ответить) (Уровень выше)


(Анонимно)
2010-11-28 06:20 (ссылка)
извините за оффтоп, как Вы печатаете в латеке по-русски? Я пользуюсь ксемаксом, следую руководству отсюда, но ничего не помогает. Надо ли что-то менять в init.el?

http://www.ctan.org/tex-archive/info/lshort/english/lshort.pdf

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2010-11-28 12:03 (ссылка)
пользуюсь text-mode

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]sigma-z-1980.livejournal.com
2010-11-29 01:00 (ссылка)
text-mode в xemacs?

(Ответить) (Уровень выше)


[info]agvares.livejournal.com
2010-12-02 01:23 (ссылка)
а каким нибудь Lyx пользоваться не пробовали?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]sigma-z-1980.livejournal.com
2010-12-02 03:03 (ссылка)
http://www.cromwell-intl.com/russian/latex.html

вот отсюда скачал модуль, работает неплохо, только почему-то 'тс' от 'ц' не всегда отличает, ну типа 'dokazyvae{t}{s}ya' иногда получается как 'доказываеця'. Когда статью допишу через неделю, понятней будет, есть ли еще косяки.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]dmitri_pavlov
2010-11-28 20:28 (ссылка)
Короткое конструктивное доказательство (без аксиомы выбора и теоремы Тихонова)
существования и единственности меры Хаара дал Анри Картан в 1940 году:
http://ams.org/mathscinet-getitem?mr=5742

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2010-11-28 20:53 (ссылка)
Отсюда не видно, но спасибо, конечно

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]dmitri_pavlov
2010-11-28 21:02 (ссылка)
Не уверен, что статья Картана существует в электронном виде,
но статья Альфсена доступна без подписки здесь:
http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002347237

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2010-11-28 21:09 (ссылка)
Да, хорошее доказательство
не нужно даже Радона-Никодима

(Ответить) (Уровень выше)


[info]tiphareth
2010-11-28 21:11 (ссылка)
Хотя все равно сильно длиннее, чем у меня

(Ответить) (Уровень выше)


[info]tiphareth
2010-11-28 21:05 (ссылка)
Спасибо! Пошел читать

(Ответить) (Уровень выше)


[info]dmitri_pavlov
2010-11-28 20:56 (ссылка)
И позднее Эрик Альфсен дал более интуитивное конструктивное доказательство,
чем у Картана:
http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=158022

(Ответить)

оффтоп
(Анонимно)
2010-11-30 23:00 (ссылка)
http://gidropon.livejournal.com/82027.html

чудовищные ублюдки

(Ответить)

тоже решила почитать
[info]katia
2010-12-01 17:37 (ссылка)
пока в самом начале: кольцо подмножеств должно быть замкнутым
относительно пересечений и симм. разности, а не относительно пересечений
и объединений; Dehn лучше переводить как Ден - там долгое "е", а "Дэн"
это Дэн Сяопин получается!

(Ответить) (Ветвь дискуссии)

Re: тоже решила почитать
[info]tiphareth
2010-12-01 17:53 (ссылка)
У меня там еще дополнение, хотя ты права, конечно -
с симметрической разностью вместо дополнения удобнее

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

Re: тоже решила почитать
[info]katia
2010-12-02 19:10 (ссылка)
еще в начале лекции 4, кажется, перепутана верхняя и нижняя грань
(пересечение должно быть нижней, а объединение верхней; можно и
наоборот, конечно, но тогда определение 4.6 неправильное получается).

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

Re: тоже решила почитать
[info]tiphareth
2010-12-02 19:26 (ссылка)
Чего-то не нашел, где неправильно

Вроде у меня это же и написано

"решетка это частично упорядоченное множество $S$
такое, что для любых $s, s'\in S$ существует
точная верхняя грань $x\wedge s'$ и
точная нижняя грань $s\vee s'$."

Делал поиск на "пересеч" и на \cap
тоже ничего не нашел

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

Re: тоже решила почитать
[info]katia
2010-12-02 21:06 (ссылка)
$s\vee s'$ - объединение вроде как.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

Re: тоже решила почитать
[info]tiphareth
2010-12-02 21:29 (ссылка)
А, точно, переклинило
Спасибо! Поправил

Такие дела
Миша

(Ответить) (Уровень выше)


[info]xgrbml.livejournal.com
2010-12-05 15:53 (ссылка)
Миша, а зачем теорема Тихонова для нормальных семейств? У меня есть (возможно, необоснованное) подозрение, что ты собираешься повторить одну мою ошибку.

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2010-12-05 16:14 (ссылка)
Для доказательства Банаха-Алаоглу, или Арцела-Асколи, без которого трудно
доказать компактность нормального семейства (то есть теорему
Римана например вывести)

Банах-Алаоглу без теоремы Тихонова не доказывается,
Арцела-Асколи доказывается, но доказательство унылое.

Такие дела
Миша

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]xgrbml.livejournal.com
2010-12-05 16:24 (ссылка)
Спасибо, благодаря твоему комменту я еще раз продумал это место - похоже, ошибки таки нет, ура!

(Если ничего не понял, плюнь:)

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2010-12-05 16:29 (ссылка)
Davaj obsudim pri vstreche, aga

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]xgrbml.livejournal.com
2010-12-05 16:31 (ссылка)
Можно, но это чисто мои заморочки: ты ничего неверного не сказал.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]xgrbml.livejournal.com
2010-12-06 19:50 (ссылка)
А, нет, есть-таки у тебя в этом месте вранье.

Смотри, как ты хочешь доказать, что существует подпоследовательность, сходящаяся поточечно. Ты говоришь, что произведение замкнутых дисков компактно ввиду Тихонова, так что у исходной последовательности $\{f_n\}$ есть предельная точка $f$. Но так как у этой точки нет счетной базы окрестностей, ниоткуда не следует, что существует подпоследовательность, сходящаяся к этой предельной точке!

Я так накололся в своей книжке: написал, что существование сходящейся подпоследовательности вытекает из теоремы Тихонова, но так как мы ее не доказывали, то так уж и быть, докажем без нее.

Указал на ошибку, кстати, Ваня Я.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2010-12-06 23:58 (ссылка)
Да, точно, спасибо
(тоже постоянно забываю про эту тонкость)
Надо так доказывать: замыкание f_n
в тихоновской топологии компактно, берем в
этом компакте какую-то предельную точку f, в любой ее
окрестности (тихоновской) есть бесконечно много
элементов f_n, значит, для каждой точки диска z,
f(z) является точкой концентрации для f_n(z).

Поэтому можно считать, что f_n(z) сходится к f(z)
во всех рациональных точках, а из того, что производная
униформно ограничена, следует, что она равномерно сходится.

Такие дела
Миша

(Ответить) (Уровень выше)