Нет: за метод вариации постоянной.
(Из людей на -ский с ним справился только Посицельский,
но не с первого раза.)

>Говорят, иногда надо было
>сделать немного странное, например, матрицу 4 на 4
>к жорданову виду привести.

Это совсем недолго считать по сравнению с важными
вопросами Аналитической Геометрии.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

важные вопросы аналитической геометрии прошли
мимо меня. Кажется, это был довольно безобидный
маразм, близкий к школьной программе (про конические
сечения и т.п.). Про метод вариации постоянных - ты,
наверное, с чем-то путаешь, он совсем не страшный. Хотя
я и не проводила опрос студентов на ский.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Катя, я клянусь, что не путаю.
Я сама долго не могла понять, почему именно
метод вариации постоянной.
А потом мне об'яснили!

(Reply to this) (Parent) (Thread)

и почему?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Ну, этому есть идеологическое об'яснение, а есть
обычное.

Второе заключается в том, что данные студенты на
лекции не ходили и учебника не читали. Получив
задачу на метод вариации постоянной, подумали --
ага, надо варьировать постоянную. И выбрали
(по их словам) не ту постоянную.

Интересно спросить, был ли у Марата такой опыт,
он ведь тоже на -ский.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

интересно. И эта ужасная история с роковой неизбежностью
случалась со всеми, кто на ский, кроме разве что Марата!
Честно говоря, не знаю даже, откуда там могло взяться
столько постоянных. Но я ведь и не лауреат тоже.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Миша утверждает, что он решал таким образом
уравнение второй степени. Но история темная,
если задуматься. Я подозреваю, что Миша просто
неправильно что-то сложил или вычел. Что именно
сделал Воеводский, и что Посицельский, тоже
неизвестно, но на самом деле они просто
считают, что это все не нужно. Есть дифференциальная
геометрия, есть теория динамических систем -- типа
там все ясно. Марату, преодолевшему закон
природы, мое восхищение.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Дифф. геометрия и прочая высшая математика здесь
совершенно ни при чем. Имеется простенький дифур, который
надо явно решить; самое разумное как раз какой-нибудь
вычислительный трюк, например, вариация постоянных.
Аргумент против, используемый в таких случаях Мишей -
что этот процесс можно просто автоматизировать.
Говорят, он приехал? Привет большой. Надо бы повстречаться!

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Решение дифференциальных уравнений не всегда просто
"автоматизировать" -- это интегралы брать легче с помощью
компьютера. В таких случаях Миша и использует тот
аргумент.

"Простенький дифур" -- он не сам по себе, а для характеристики
эволюции системы; есть мнение, что для описания этого
лучше пригоден другой язык.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

те, что студенты на зачете решают методом
вариации постоянных, это и есть
интегрирование. собственно, варьируя константу,
получаешь C'(x)=чему-то.

а динамическая система - это дифур и есть, казалось бы
(правда, они бывают еще "с дискретным временем", это просто
итерации отображения).

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>те, что студенты на зачете решают методом
>вариации постоянных, это и есть
>интегрирование. собственно, варьируя константу,
>получаешь C'(x)=чему-то.

Ну, аргумент "легко автоматизировать" немногого стоил
бы, если бы приводился только для такого случая:
тогда не очень ясно, в чем разница между "автоматизировать"
и "решить". Миша ведь не то чтобы получил "C'(x)=чему-то"
и затруднился проинтегрировать.

>а динамическая система - это дифур и есть

Да, но один-единственный, с экспонентой!

Кать, ужасно много людей возражают по тем или иным
причинам против символьного решения дифуров.
У меня был Нейштадт-преподаватель, он тоже возражал:
его студенты только и делали, что рисовали фазовые
кривые. Конкретно это пошло от Арнольда. У меня
нет мнения на этот счет, я же не математик.

Насчет Миши -- ну, много раз я об этом разговаривала
с ним. Он говорит, что эти дифуры просто никому не
нужны. Почему я думаю, что люди на -ский все так
полагают -- просто потому, что иначе они сочли бы
осмысленным это изучить. Оно недолго.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Получение С'(x) равно чему то автоматизировать еще
легче, это чисто формальная манипуляция, дифференциирование
произведения (для первого порядка особо тупые студенты, бывает,
заучивают формулу).

Против "символьного решения" есть один аргумент - не решаются они.
Поэтому никакой борьбы идеологий здесь нет, и фазовые кривые не от
Арнольда, а от жизненной необходимости (кто их первым рассматривал,
не знаю; может, Пуанкаре?). А если явно решается каким нибудь
стандартным трюком, почему бы и нет.

Меня просто удивило, что именно метод вариации постоянных оказался
столь роковым. Вылететь с мехмата не так просто; возможностей сдать
зачет обычно очень много (а в чем состоит метод, понятно после первой).
Думаю, наши друзья просто поленились прийти на какую-нибудь очередную.

Ну да неважно это все. Надо закругляться, а то уже и Каледин появился.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Да блин, Миша не стал бы "автоматизировать" метод
вариации постоянной -- он не знает, к каким уравнениям
он применяется, и считает, что знать этого НЕ НУЖНО.

Если бы он говорил о том, что "это все" легко автоматизировать --
имел бы в виду группы Галуа. Но я тут некомпетентна совсем,
наверное, разберетесь сами.

>Меня просто удивило, что именно метод вариации постоянных >оказался
>столь роковым.

Оказался, оказался. Я это потому, и запомнила что меня это
в свое время очень удивило -- за столом в г. Бостоне.
Но вообще-то нечему было удивляться, многие люди
не в состоянии изучить то, что считают бессмысленным.

>Поэтому никакой борьбы идеологий здесь нет, и фазовые кривые не от
>Арнольда

Слушай, тут ты немного не в курсе.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Слушай, тут ты немного не в курсе.

То есть?

Я всего лишь говорю, что большинство уравнений не
решается в элементарных функциях, что поэтому люди
изучают "качественные" свойства решений (вид фазовых
или даже интегральных кривых) и что первым так делал не
Арнольд, а основоположник теории дифференциальных уравнений
(не знаю точно, кто; может быть, Пуанкаре). Это неправда разве?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Правда, что не решается (в элементарных функциях), но
неправда, что изучают поэтому. Ответ в элементарных
функциях сам по себе не был бы интересен -- они ведь
тоже табличные. Про элементарные функции просто
очень хорошо известно их (качественное) поведение,
а значение в данной конкретной точке известно из таблиц.

Про любое ОДУ можно для его решения составить
такие таблицы, и об'явить его элементарной функцией.
(Не то с УРЧП.)

Арнольд, как ему свойственно, сокрушается о том,
что студент пишет символьное решение, а как оно
выглядит и о чем вообще речь -- не знает, и про процесс,
описываемый уравнением, ни сном ни духом.
Поэтому студенты его (и его соавторов) рисуют фазовые
пространства с векторными полями и фазовые кривые для
всех уравнений, первые их интегралы находят, пытаются
их интерпретировать в терминах энергии системы и прочих
инвариантов -- а решаются ли они символьно, как бы
второй вопрос. Впрочем, если найдены первые интегралы,
то и решение фактически найдено.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

если "символьно" и "в элементарных функциях" это разные
вещи, скажи, что такое "символьно", я не знаю. Что-то вроде
f(x)= интегралу от чего нибудь? А первые интегралы ведь тоже
требуются в неком "символьном" виде, вопрос, по-моему, чисто
технический.

Насчет интересности ответа в элементарных функциях, ты,
кажется, мыслишь здесь философскими категориями.
А я имею в виду очень простую вещь.
Естественно, в таблицу можно вводить и новые функции. просто, как ты
и сама пишешь, "элементарные" = хорошо изученные. Поэтому если
уравнение легко решается в элементарных, то рисование фазового
портрета - это просто еще одно упражнение. Т. е. - можно
и нарисовать, конечно; но, кажется,
все же странновато рисовать много стрелочек, а потом то, что их
касается, и ни в коем случае не признаваться, что это синус.

Арнольд, конечно, может сокрушаться, что его студенты не
знают, как выглядит график синуса, но он всегда несколько
преувеличивает. Про французских студентов он вообще считает,
что им неизвестно три плюс два!

(Reply to this) (Parent) (Thread)

"Символьно" может, конечно, значить и в квадратурах,
но я тоже имела в виду -- в элементарных функциях,
_набором стандартных методов_. Почему это
идеологическое неприятие вызывает (у тех, у кого
вызывает) -- потому, что люди "пишут крючки", потому
что им так сказали, и не знают, зачем. Пример с синусом
все-таки частный, бывают же и другие ответы даже в
стандартных методах. Конечно, и синус логарифма,
и логарифм синуса можно нарисовать, но если ты
говоришь о реальном процессе -- тебя интересует
асимптотика, само поведение функции, положения
равновесия, замкнутая траектория или незамкнутая,
устойчивое или неусточивое равновесие,
тем более, что точных начальных условий все равно
не бывает. И хорошо бы уметь судить об этом,
не начиная громоздких расчетов, тем более, что,
как ты сама заметила, они очень редко увенчиваются
успехом. Конечно, совсем забывать о методах
решения дифуров необязательно, но ведь и без
поправки на личные капризы Арнольда ясно, что
это вещь далеко не первого порядка важности.
Это набор алгоритмов, то есть, в общем-то совсем
не математика, и не физика, потому что на настоящие
физические вопросы так можно ответить только
в очень редких случаях, чтоб не сказать --
случайно подобранных. Это даже не автоматизация
чего-нибудь там такого, потому что сам набор
решаемых уравнений не перечисляется с помощью
алгоритма.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Мне кажется, мы уже о чем-то совсем разном заговорили;
я, по крайней мере, ничего не понимаю.
Речь шла об очень частных вещах; "стандартные методы" на самом
деле никакие не методы, а всего лишь простейшие и часто
встречающиеся классы примеров. Поэтому антагонизм
метода вариации постоянных и фазового портрета совершенно
надуманный. А о громоздких вычислениях не идет речи ни в том,
ни в другом случае. По крайней мере за всю мою
студенческо-преподавательскую карьеру ни разу не заходило!

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Речь шла об очень частных вещах; "стандартные методы" на самом
>деле никакие не методы, а всего лишь простейшие и часто
>встречающиеся классы примеров.

Примеров чего?

Часто встречающиеся где?
В задачниках по курсу "обыкновенных дифференциальных уравнений"?
На экзаменах?

Мне кажется, если ответ положительный, то студентов,
отказывающихся изучать такое, можно только
приветствовать.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Примеров чего?

Уравнений.

>Часто встречающиеся где?

Да много, наверное, где. Хотя мне, разумеется, известны
только совсем школьные примеры - из механики, про ток и т.п.;
но ведь уже и эти допускают много разных вариаций.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>>Примеров чего?

>Уравнений.

В смысле: уравнения, дети -- это, например: ...

>>Часто встречающиеся где?

>Да много, наверное, где. Хотя мне, разумеется, известны
>только совсем школьные примеры - из механики, про ток и т.п.;
>но ведь уже и эти допускают много разных вариаций.

Вообще-то, если считать, что дифференциальные уравнения
иллюстрируют поведение таких систем из электротехники,
лучше ограничиться решением их с помощью фурье-разложения. Частота все равно является типа главной реалией таких систем,
а уравнение для одной фурье-компоненты получается
алгебраическое, и ничего об'яснять не надо.
Алгебраические уравнения в задачниках часто встречаются.

Другое дело, что с помощью проводящих сред, как говорят,
можно "снимать" хоть дробные производные (в смысле,
псевдодифф. операторы) -- т. е. получать их значения в виде
показаний амперметра. Но если с этим работать, нужно
говорить не про "уравнения вообще", а про операторы
эволюции или еще как-то, чтоб было внятно, и "простейшие
примеры часто встречающихся уравнений" оказываются уже
каким-то античным списком коней с жокеями для провинциального
ипподрома.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>>>Примеров чего?

>>Уравнений.

>В смысле: уравнения, дети -- это, например: ...

Юль, я правда совершенно перестала понимать, о чем речь.
Возьми любую книжку, того же Арнольда, там есть примеры.
Типа: "Линейные уравнения с постоянными коэффициентами".
Или с переменными. Есть и фазовые кривые, и явные формулы
(где бывают). Там есть даже метод вариации постоянных!
Честное слово. Занимает две с половиной странички. Никого не
обижает. Мне кажется, мы тут про него написали уже сильно больше.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Кать, ты, наверное, давно очень открывала этот учебник.
Там отнюдь не "все примеры", фазовая кривая является
центральным понятием, раздела "линейные уравнения
с постоянными коэффициентами" просто нет (они
рассматриваются, но как линеаризация уравнений
систем с малыми возмущениями вокруг положений
равновесия), а разделу "Вариация постоянных"
предпослано раз'яснение о том, что если у "невозмущенного"
уравнения есть первый интеграл, то при малом возмущении
он уже не будет первым интегралом, но будет (возможно)
мало меняться со временем -- а для линейных уравнений
и малости не требуется. То есть, Арнольд варьирует
"не ту постоянную" -- и об'ясняет, какой именно сценарий
приводит к актуальности этого приема.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

открывала сегодня! специально. есть раздел линейных систем,
очень подробный, и много примеров, в т. ч. с постоянными
коэффициентами, в главах про разные линейные уравнения. Постоянную Арнольд
варьирует самым обычным образом. В общее решение однородного уравнения
входит константа; стандартный трюк, используемый при решении
неоднородного это подставить вместо константы функцию. В колхозном
издании Арнольда об этом говорят последние строки страницы 291. А как еще
можно варьировать постоянную? Я не знаю.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Ну, у него есть параграф про Вариацию Постоянной
(\par 29 -- вот, я его открыла), где он варьирует В Общем
Случае первый интеграл невозмущенного уравнения
при наличии возмущения. Метод-из-задачника
получается для частного случая линейных уравнений
после записи преобразования в координатах; я думаю,
если бы этот параграф силой зачитать Мише, он бы все понял
(хотя все равно не запомнил бы, как оно в координатной
форме, но на экзамене бы написал).

Насчет линейных уравнений с постоянными коэффициентами.
Я ж говорю, раздела такого нет. А уравнения есть.
Ты как-то совсем пренебрегаешь идеологией. Здесь
нет многих стандартных разделов, как в других вузовских
учебниках (Понтрягин, Степанов). Те классифицируют
уравнения. А Арнольд, по возможности, классифицирует
системы, которые они описывают, и об'екты, которые
возникают при описании этих систем наряду с собственно
уравнениями.

(Reply to this) (Parent)

а насчет фазовой кривой - ну как же ей не быть
центральным понятием, если это график решения!
Дискуссия, ей-богу, на пустом месте; то ли вокруг
терминологии, то ли и вовсе химер.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Кать, дискуссия, если есть какая -- вокруг того,
как смотреть на вещи. Если считать, что основные
об'екты -- функции, вполне себе самодостаточные,
тогда да, и фазовые кривые -- просто графики этих
функций, и дифференциальные уравнения -- что-то вроде
ребусов, эти функции кодирующих. Ну, люди ж в метро
сканворды решают, почему нет?

Но если бы тупые сканворды были частью университетской
программы, многие люди этот предмет игнорировали
бы. А другие приходили бы и решали сканворды,
потому что это действительно просто. Одни люди
ничем не хуже других, разумеется.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Что главнее, функция или ее график - это совершенно
бессмысленный вопрос, как ты понимаешь. Я, кажется, не читала учебников
по дифференциальным уравнениям, кроме арнольдовского,
но удивилась бы, обнаружив ребусы в Понтрягине (при всей его
возможной старомодности-координатности). А учебник
Арнольда вполне соответствует программе мехмата и был
стандартной ссылкой.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Нет, не что главнее, функция или ее график, а что
является об'ектом исследования. У Арнольда это
эволюционные процессы. Функции появляются на
втором этапе моделирования, с указанием границ
применимости этих моделей. На первом -- речь
идет о пространстве состояний.

>А учебник Арнольда вполне соответствует программе
>мехмата и был стандартной ссылкой.

Ну, его можно просмотреть и все равно не знать про
метод вариации постоянной, смотря чем ты думаешь --
в смысле, какими об'ектами. А насчет большего, нежели
просмотреть -- это ведь тоже на любителя.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Не только у Арнольда, а вообще начальным предметом
исследования является поведение некоторой системы.
Пространство состояний - просто термин. Потом появляется
математическое содержание. Книжка Арнольда, наверное,
больше других объясняет, откуда что взялось (говорю
"наверное", т.к. не особенно читала другие); за то и любим.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Ну вот; а стандартный курс мехматовский, хоть
и ставит ссылку на учебник Арнольда, имеет отношение
не к эволюции систем, а к ребусам и сканвордам,
к загадкам про "функции"; на пути движения систем
в пространстве состояний смотрят, как на "графики"
этих "функций". И изучают набор знаменитых ребусов,
исторический какой-то объект.

Пространство состояний -- это не "просто термин", а
носитель замечательной математической интуиции,
приведший Дирака, например, к разным открытиям про
бесконечномерные гильбертовы пространства. Я уверена,
что пространство состояний существует в природе,
а ректор Садовничий -- нет.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Хм. Применительно к обобщённым функциям я фамилию "Дирак" слышал. Применительно к неким системам линейных диффуров — тоже. А вот применительно к бесконечномерным гильбертовым пространствам как-то не сложилось :( Не просветите ли убогого, что Вы тут имели в виду?

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Dirac's Principles of Quantum Mechanics, published in 1930, is a landmark in the history of science. It quickly became one of the standard textbooks on the subject and is still used today. In that book, Dirac incorporated the previous work of Werner Heisenberg on “Matrix Mechanics” and of Erwin Schrödinger on “Wave Mechanics” into a single mathematical formalism that associates measurable quantities to operators acting on the Hilbert space of vectors that describe the state of a physical system. The book also introduced the bra-ket notation and the delta function, which are now universally used.


Не знаю, есть ли в мехматской программе ссылка на "Принципы
квантовой механики", но в физтеховской должна быть.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Простите, но это несерьёзно. Для теории гильбертовых пространств дираковская нотация не даёт ничего: понятия скалярного произведения и сопряжённого оператора были прекрасно известны задолго до него (наверно, ведь недаром гильбертовы пространства именуются именно "гильбертовыми"?); теорема Рисса (прыжками вокруг которой и являются пресловутые "бра-векторы" и "кет-векторы") — тоже (неспроста ведь она теорема именно Рисса?). А вот действительно нетривиальные и неизвестные на тот момент вещи (несовпадение понятий симметрического и самосопряжённого операторов в неограниченном случае) Дирак со своей хвалёной интуицией прошляпил — чтобы их вытащить на свет божий, потребовался скучный и неинтуитивный фон Нойман. Так что на поверку, похоже, дело с "интуицией" обстоит не особо блестяще.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>наверно, ведь недаром гильбертовы пространства именуются именно >"гильбертовыми"

Нейман их гильбертовыми и назвал. А Вы читали книжку
"Принципы квантовой механики"? Почитайте, интересная.
Там автор оперирует понятиями, которые еще не имеют
строгого определения (получили позднее) -- и однако,
это математические факты из жизни гильбертовых
пространств.

На момент создания нового формализма квантовой механики
про гильбертовы пространства было известно меньше, чем
сейчас; они и всплыли в связи с нуждами квантовой механики.

>вот действительно нетривиальные и неизвестные на тот момент вещи >(несовпадение понятий симметрического и самосопряжённого >операторов в неограниченном случае)

А это и сейчас физики отмечают только из вежливости.
К каким физическим эффектам это приводит? Я не знаю.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Не читал. Может, когда-нибудь и просмотрю, если совсем нечего делать будет. А пока был бы Вам крайне признателен за приведение примера, который показал бы, что Дирак действительно нащупал какое-нибудь нетривиальное для 1930-го года свойство гильбертова пространства.

Кстати, что гильбертовы пространства всплыли исключительно в связи с нуждами квантовой механики, Вы не очень правы. Это, само собой, далеко не последняя область их приложения, однако в самой что ни на есть классической МСС они возникают ничуть не хуже (струны, стержни, мембраны всякие).

Далее, если физики только "из вежливости" интересуются такими незначительными вещами, как условия однозначной разрешимости уравнения Шрёдингера (или, в более общем случае, однозначного определения группы по оператору, претендующему на роль инфинитезимального генератора оной), то это, поистине, очень вежливые физики :)) Побольше бы таких.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Вы заведомо лучше меня справитесь с поисками
примера, который это Вам показал бы; надеюсь,
Вас не обидит предположение, что и времени
у Вас побольше.

>Далее, если физики только "из вежливости" интересуются такими >незначительными вещами, как условия однозначной разрешимости >уравнения Шрёдингера

абсолютно. Впрочем, может быть, и есть физический
смысл у различения; надо спросить у Паши Калинина.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Насколько мне известно, обычная практика состоит в том, что искать подтверждающие факты должен автор позитивного (а не негативного) тезиса. Впрочем, как хотите — выданное de facto признание невозможности такие примеры привести меня тоже вполне удовлетворяет :)

Вкратце моё мнение о происшедшем: мы имеем дело с типичным holy war "физики vs. математики", основанным на непонимании маленького простенького момента: физика и математика — две совершенно разные науки, по недосмотру объединённые ВАКом в единую категорию "физико-математических". За счёт чего ряду физиков (обычно с куриным кругозором) кажется, будто математика — это извращённая физика, а ряду математиков (про кругозор см. выше) кажется, будто физика — это куча некорректных математических расчётов.

Так вот есть предложение такой путаницы не устраивать. У физиков свои задачи, у математиков — свои. И не надо делать вид, будто Дирак доказывал теоремы функционального анализа, когда он всего лишь рассуждал о свойствах электронов.

Dixi et salvavi animam meam.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Насколько мне известно, обычная практика состоит в том, что искать >подтверждающие факты должен автор позитивного (а не негативного) >тезиса.

Ох. Гильбертовы пространства имя свое получили
благодаря квантовой механике, именно -- эвристическим
соображениям Дирака о пространствах состояний
квантовомеханической системы. Тогда их и стали
изучать как отдельный об'ект (хотя, как это всегда бывает
в истории науки, он возникал в разных приложениях и
раньше, и непросто сказать, что именно было известно
о них до 1929 года -- потому что эти наблюдения были
весьма разрозненны).

>И не надо делать вид, будто Дирак доказывал теоремы
>функционального анализа, когда он всего лишь рассуждал
>о свойствах электронов.

Что, простите?
Дирак не доказывал никаких теорем, естественно.
Как и не рассуждал о свойствах электронов.
Он ввел пространство состояний, рассмотрел акт
наблюдения/измерения как действие оператора,
рассмотрел базисные состояния как
собственные векторы подходящего оператора
(можно ли это делать, и когда, было плохо известно --
в том числе и Дираку, но он просто делал), истолковал
законы сохранения; ввел также "некоммутирующие
числа" etc. etc.

Никаких фактов из теории обобщенных функций
он тоже не доказывал.

>Вкратце моё мнение о происшедшем: мы имеем дело с типичным holy
>war "физики vs. математики",

Если к куриному кругозору физика или математика
прибавить еще рефлексию о том, что бывает между
ними такое противостояние -- кругозор похвальным
образом расширится, но только на один шаг.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Имя своё гильбертовы пространства получили благодаря работам Гильберта по интегральным уравнениям, кои относятся примерно к 1910-му году. Это даже в любимой Вами Википедии написано (и, судя по литературным ссылкам в Риссе-Наде, Википедия тут не врёт). В связи с этим повторяю: квадратично интегрируемые функции и соответствующая топология рассматривались задолго до квантовой механики (функционал энергии для обычной классической струны помните?); разложения функций по ортогональным системам и свойства таких разложений (неравенство Бесселя, тождество Парсеваля и т.д.) песочились на протяжении всего XIX века. Так что при всём моём уважении к квантовой механике (которая мне, представьте, очень даже нравится) не надо перевирать историю.

Что именно было известно до 1929 года, сказать на самом деле тоже можно: из базовых определений и теорем практически всё. Упомянутые соотношения Бесселя и Парсеваля, теорема Рисса — это XIX век и самое-самое начало XX-го. Теорема Гильберта-Шмидта (то самое разложение по собственным векторам, которое кому-то было плохо известно), вариационные принципы для собственных значений — первое десятилетие XX века (смотрю просто по ссылкам из Рисса-Надя). Да что там — спектральная теорема для ограниченных самосопряжённых операторов в общей постановке (т.е. включая непрерывный спектр!) — это тоже 1912 год! И известно всё это было, повторяю, в связи с задачами не квантовой механики, а самой что ни на есть классической механики сплошной среды (что характерно, дальнейшее введение новых понятий в этой области — например, понятия пространства Понтрягина — тоже было связано с МСС, а не с квантовой механикой). В связи непосредственно с квантовой механикой возникла, вроде, разве что теория неограниченных операторов — но в этом заслуга не Дирака, а фон Ноймана. Кстати, любопытное замечание: дираковскую нотацию применяют только "чистые физики"; ни математики, ни физики с математическими корнями (вроде Боголюбова) так не пишут. Вероятно, именно из-за чрезмерно большого значения оной нотации для математики :))

> Он ввёл пространство состояний, рассмотрел акт наблюдения/измерения как действие оператора

Что это такое — пространство состояний? Оно голубое и по нему летают птицы? Оно непосредственно проявляется в физических экспериментах? Но тогда при чём тут вообще математика?

Или пространство сие есть всё же математический объект, и его точки суть математические же объекты (квадратично интегрируемые функции, например)? Тогда становится понятно, при чём тут математика — но не менее понятно, что физиков гораздо сильнее волнуют моделируемые этими математическими объектами физические явления, а не эти объекты сами по себе. Прекрасная иллюстрация тут — перенормировочная техника. Берётся экспонента от неограниченного оператора (причём даже неизвестно, нулевые ли у него индексы дефекта — а если ненулевые, то, между нами говоря, экспоненты вообще не существует!), раскладывается формально в степенной ряд (плевать, что никаких оценок точности приближения частичными суммами нет и не предвидится, и даже области определения у разных степеней разные!), затем этот ряд обрубается на каком-то из слагаемых (без анализа, почему надо именно на этом, авось повезёт), после чего произносится пара шаманских заклинаний и выдаётся ответ. Согласующийся с экспериментом. Физик рад-радёшенек: он нашёл способ подсчёта интересующего его параметра. Математик же подбирает с пола челюсть и пытается мучительно понять, что это было (т.к. его волнует отсутствие видимой связи проведённого вычислительного процесса с математическим понятием порождённой оператором полугруппы, а на согласие результата расчёта какого-нибудь лэмбовского сдвига или аномального магнитного момента с экспериментальными данными ему наплевать: в чистой математике никаких лэмбовских сдвигов нет). Так вот Дирак — он физик. Что-то насчитал. С чем-то сверил. Сказал остальным физикам, чтоб продолжали в том же духе. Для физики это замечательно, но для математики — не имеет ни малейшего значения.

Так что есть между физикой и математикой некоторое противостояние, есть. И от того, что кто-то закроет на него глаза, оно не исчезнет.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Имя своё гильбертовы пространства получили благодаря работам >Гильберта по интегральным уравнениям, кои относятся примерно к >1910-му году.

А Евклидовы -- благодаря работам Евклида по геометрии
евклидовых пространств в третьем веке до нашей эры.
И это действительно так.

Только все же идите и почитайте что-нибудь, ладно?

>в чистой математике никаких лэмбовских сдвигов нет

Пожалуйста, идите и почитайте.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Читать "что-нибудь" я не буду, уж простите :(( Я предпочитаю иметь дело с серьёзными источниками.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Чудесно, это уже полдела.
А теперь Вы их почитайте.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Самое-то смешное, что уже читал вроде (и связанные с квантовой механикой, и не связанные). И касательно источников Ваших революционных сведений положительно теряюсь в догадках. Хотя больше всего склоняюсь к версии, что речь идёт о фантазиях по мотивам пары-другой учебников квантовой механики (ну, ведь не читали Вы математической литературы по функциональному анализу — правда ведь?).

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>ну, ведь не читали Вы математической литературы по функциональному
>анализу — правда ведь?

Я учебники только читала: Колмогорова да Фомина, Пугачева
какого-то (Вы, наверное, и не видали такого), заглядывала
в Кириллова со Гвишиани. По технической надобности.
А тут не просто математическая литература нужна -- а
по истории данной науки. Я думала, Вам эти справки
навести проще. Тем более, что квантовая механика,
по-видимому, не входит в круг Ваших интересов.

Почему квантовомеханических сведений здесь достаточно.
Для теории относительности, например, у математиков
уже был готовый аппарат. Эйнштейн его позаимствовал,
и называл, например, пространство Минковского пространством
Минковского. У Дирака не было такой возможности.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Понял, спасибо. Что Фомин с Гвишиани в данном вопросе ничего не решают, это само собой ясно. Некоторые ссылки на первоисточники есть у Рисса и Надя, но их ещё надо сверять (что в этих источниках действительно было, а что потом задним числом приписали), а из гугла, похоже, на сию тему ничего полезного не выжимается. Но разозлили Вы меня своим Дираком прилично, из принципа раскопаю :)

Квантовая механика, кстати, в круг моих интересов входит. Но я не очень понимаю, почему из этого следует, что я должен записывать ей в актив всё подряд, до теоремы Фалеса включительно.

> У Дирака не было такой возможности.

Повторяю, это проблемы Дирака. Ничего реально нового в _математику_ и даже математическую нотацию он не внёс (кажется, в отличие как раз от Эйнштейна: тензорные индексы, вроде, его работа?). Хотя физик и значительный.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Но разозлили Вы меня своим Дираком прилично, из принципа раскопаю

Помилуй бог, никогда не знаешь, чем разозлишь человека,
а чем нет.

Мне просто показалось бессмысленным пересказывать
отличнейшую книгу: там изложено лучше. Дирак в данном
случае ничего не считал: он пытался понять, как устроен мир.
Это то, чем занимаются и математики (кроме людей, по Вашей
аттестации, с куриным кругозором). 20-е годы -- то счастливое
время, когда физики и математики чрезвычайно бурно
кооперировали; идеи бродили в воздухе и не замечали
междисциплинарных границ. Примерно то же происходило
не так давно с теорией струн.

Вопросы перенормировки, к слову, представляют собой
математическую проблему. Физики действуют некрасиво,
имея целью получить результат, проверяемый на эксперименте --
у них нет сколько-нибудь приличного аппарата, они просто
знают, что "искать надо здесь". (А вот Дирак так не делал.
Но его интуиция шла слишком быстро, не успевая обзавестись
строгими конструкциями.) "Перенормировку", скорее всего,
нельзя математически обосновать: когда получаемые таким
образом факты обретут форму математических об'ектов,
от процедуры перенормировки следа не останется.
Хотя, конечно, черт его знает.

О происхождении тензорных индексов ничего не могу сказать:
по-моему, это вещь неприятная, по крайней мере, приводит
к неприятным методическим последствиям. Появляются
изложения "для инженеров" без упоминания двойственных
пространств -- из простой и внятной вещи делают чрезвычайно
громоздкую, непостижимую конструкцию. Ну или это мне
непонятно, а всем понятно. Наверное, в этом нет беды,
да и формулы короче.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

1. А вот сейчас я, пожалуй, Дирака начну под защиту брать.

> Дирак в данном случае ничего не считал:
> он пытался понять, как устроен мир.

Физики не объясняют, как устроен мир — это делают попы и натурфилософы. Дирак, насколько я могу судить, изучал свойства микрообъектов в обычно встречаемых нами условиях. Задача описания таких свойств — очень и очень почтенная (в отличие от задачи "объяснения устройства мира"). Но есть и другие, не менее почтенные, которыми Дирак не занимался. И в области анатомии беспозвоночных, и в области химии кремнийорганических соединений, и в области математики, и много ещё где.

Вы считаете, что Дирак заслужил, чтобы его ставили на одну доску с попами? Это — обвинение серьёзное. Хотелось бы аргументов.

> Примерно то же происходило
> не так давно с теорией струн.

Микрочастицы, которые теоретически описывал Дирак, наблюдались реально. Струны, насколько я знаю — нет.

Вы считаете, что Дирак заслужил, чтобы его ставили на одну доску с писателями в стиле фэнтези? Это — опять же обвинение серьёзное. Хотелось бы аргументов.

2. Во-первых, нотация "ковариантные снизу, контравариантные сверху" действительно распространена и среди физиков, и среди математиков. В отличие от дираковских бра-векторов, которые математики не используют никогда, а физики — не всегда (у Боголюбова их нет, у Блохинцева — тоже). Во-вторых, мне всё же не очень ясно, как эта нотация может мешать пониманию сути понятий сопряжённого пространства и тензорного произведения у тех, кому такое понимание нужно (коли на то пошло, то довесок "dx" под знаком интеграла уводит от понимания природы интегрирования заведомо сильнее). Впрочем, к первоначальному вопросу всё это не относится.

3. Заглянул сегодня в гильбертовскую монографию 1912 года. Правда, не в первоисточник, а в современный перевод (сделанный с переиздания 1924—года, вроде). Так координатное $l_2$ там введено с самого начала (а прочие сепарабельные гильбертовы ему изоморфны); вполне непрерывные операторы определены; разложения по собственным векторам имеются. Правда, пространства там преимущественно вещественные — но с математической точки зрения это совершенно непринципиально (комплексифицировать можно на раз, результаты при этом не поменяются). Если Дирак всего этого не знал — Гильберту с Риссом сие фиолетово. Гейзенберг, вроде, тоже изначально матричной алгебры не знал — и что с того?

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Дорогой Гастрит,

>Физики не объясняют, как устроен мир —
>это делают попы и натурфилософы.

Ньютон, Кеплер, Эйнштейн и не скрывались: они искали
об'яснить замысел божий. Ньютон, впрочем, и стал
духовным лицом, так что тут Вы не ошиблись.

Остальные физики, особенно неверующие, именно надеются
об'яснить, как устроен мир. А зачем еще можно работать?
Кеплер, кстати, был по должности Математикус.

>Дирак, насколько я могу судить

Для того, чтобы судить, нужно ознакомиться.

>нотации

Это не очень интересно. Вклад Дирака -- концептуальный,
а не формальный. (Нотацию физики используют с большим
усердием -- просто Ландау ее не любил из личных
соображений.)

>Так координатное $l_2$ там введено с самого начала

Ну и что?

Следует смотреть развитие теории после 29 года
(когда гильбертовы пространства и назвали гильбертовыми).
Это касается как ее обобщения (собственные функции
оператора "координата" в L2 не лежат, а ограниченные
операторы имеют весьма ограниченное применение),
так и фактов из жизни bona fide гильбертовых пространств.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Ньютон, Кеплер, Эйнштейн и не скрывались: они искали
> об'яснить замысел божий.

Кеплер и Ньютон жили в XVII веке, и основной опус Ньютона содержал в названии именно термин "натуральная философия". Хотите и Дирака спровадить на четверть тысячелетия назад от его эпохи? Так повторяю вопрос: за какие грехи? Он что, тоже книгу Даниила комментировал?

Что же касается Эйнштейна, то пластинка о его религиозности уже несколько подистёрлась; неплохо бы поменять.

> А зачем еще можно работать?

Ради изучения свойств конкретных частей этого мира в конкретных условиях. Претендовать на нечто большее могут только клинические идиоты, уверенные, что всё уже открыто, и принципиально новых объектов исследования с принципиально новыми качествами уже никогда не появится.

> Для того, чтобы судить, нужно ознакомиться.

Дайте точную ссылку, где Дирак утверждает, что он изучает "устройство мира" и т.д. Тогда я сразу соглашусь, что он был крупный физик, но при том полный идиот. А пока таких доказательств не представлено, я буду исходить из того, что он был вменяемым человеком.

> Ландау ее не любил

Странно: именно курс Ландау — это, пожалуй, единственное место, где я эту нотацию видел.

> Ну и что?

А то, что надо иногда различать между новизной принципиальной и только внешней. Впрочем, проведение такого различения требует действительного знакомства с теорией, а сие многим лень :((

> собственные функции оператора "координата"
> в L2 не лежат

Что и неудивительно, т.к. у этого оператора вообще нет никаких собственных функций (спектр является абсолютно непрерывным). И прошу не читать мне мораль про т.н. "обобщённые" собственные функции: вот о них-то математики упоминают действительно разве что из вежливости (теория с их участием получается весьма корявая, неестественная и с довольно слабой общностью). Причём, в скобках будь замечено, с математической точки зрения Дирак и в этой области ничего не сделал (только задачу поставил).

> ограниченные операторы имеют
> весьма ограниченное применение

А Вы сильно удивитесь, если я Вам скажу, что ничего нового по существу в неограниченных операторах нет? Что вся теория неограниченных операторов основана на сведении их к ограниченным? Что в той же книге Гильберта неограниченные операторы в неявном виде уже присутствуют? См. выше про разные сорта новизны.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Кеплер и Ньютон жили в XVII веке

Ну, а Гротендик, к примеру, в XX. Я не стану ссылаться на
устные беседы с лично знакомыми мне людьми. Но вот
размышления Гротендика, в частности, об этом предмете
имеются в изобилии, как на бумаге, так в Сети -- можете
ознакомиться.
http://www.google.com/search?hl=ru&q=%D0%93%D1%80%D0%BE%D1%82%D0%B5%D0%BD%D0%B4%D0%B8%D0%BA+%22%D0%A3%D1%80%D0%BE%D0%B6%D0%B0%D0%B8+%D0%B8+%D0%9F%D0%BE%D1%81%D0%B5%D0%B2%D1%8B%22&btnG=%D0%9F%D0%BE%D0%B8%D1%81%D0%BA+%D0%B2+Google&lr=


Более того, я пришел к выводу, что природа любого труда,
связанного с открытием -- одна и та же; от особенностей
того или иного ремесла, от условий труда, да и от нас,
работников, она не зависит. Все мы, по сути, заняты одним
и тем же: узнаем мир и находим в нем новое.


>Странно: именно курс Ландау — это, пожалуй, единственное место,
>где я эту нотацию видел.

Все книги по квантовой механике, которые у меня стоят на полке,
используют эту нотацию (кроме одной). В "Квантовой механике"
Ландау она появилась только после его смерти.
Издание 63 года не содержит этого обозначения,
а позднейшие содержат.

>Что и неудивительно, т.к. у этого оператора вообще нет никаких >собственных функций (спектр является абсолютно непрерывным). И >прошу не читать мне мораль про т.н. "обобщённые" собственные >функции: вот о них-то математики упоминают действительно разве что >из вежливости (теория с их участием получается весьма корявая, >неестественная и с довольно слабой общностью).

Да, здесь немало работы математикам.

>Причём, в скобках будь замечено, с математической точки зрения
>Дирак и в этой области ничего не сделал (только задачу поставил).

Это я вам уже докладывала выше.
Здесь лежит, по-видимому, источник недоразумения.
Поставить задачу не в пример важнее, чем "доказать".
Хотя там было что придумывать, да.

>А Вы сильно удивитесь, если я Вам скажу, что ничего нового по
>существу в неограниченных операторах нет?

Да.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> а Гротендик, к примеру, в XX

А он что, имеет какое-то отношение к науке? Он же, вроде, филдсовский лауреат?

> Все книги по квантовой механике, которые у меня стоят на полке,
> используют эту нотацию (кроме одной).

Значит, из "Основ квантовой механики" Блохинцева и "Введения в теорию квантованных полей" Боголюбова-Ширкова как минимум одна на Вашей полке не фигурирует.

> Да, здесь немало работы математикам

[пожимая плечами] Да нет, здесь немало приятного чтения физикам. Жаль, что их кроме линейной алгебры ничему и не учат :((

> Поставить задачу не в пример важнее, чем "доказать".

Истинная правда, но при одном условии: если задача поставлена правильно. В области математики Дираку это удалось в двух случаях: с дельта-функцией и с релятивистским уравнением движения электрона. Теория гильбертовых пространств в этот список никаким боком не входит, уж извините.

> Да.

Искренне рад, что сумел сообщить Вам нечто новое :))

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>А он что, имеет какое-то отношение к науке?
>Он же, вроде, филдсовский лауреат?

Да, наверное, Гротендик -- много чего лауреат,
а от каких-то премий, говорят, отказался. Но точно
Вам не скажу.

Если Гротендик не имеет отношения к науке, то и
Дирак, конечно, к гильбертовым пространствам
отношения не имеет.

А имеют отношение к науке отличники, студенты
и (только очень послушные) аспиранты, которые
решают конкретные задачи про "конкретные части
этого мира в конкретных условиях".

Потому что конкретность (частей ли мира, или условий)
достигается только в тексте инструкции или приказа.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Если Гротендик не имеет отношения к науке, то
> и Дирак, конечно, к гильбертовым пространствам
> отношения не имеет.

Дираку всё же проще: от него и помимо гильбертовых пространств много чего останется. А вот насчёт Гротендика, по совести говоря, не знаю ("абстрактная чепуха" — это, может, и хорошо, но, к сожалению, ненадолго). Поэтому мнение Дирака я, во всяком случае, приму к сведению и проанализирую, а на гротендиковское мне изначально на-пле-вать.

Так что там у нас Дирак говорил про постижение мира в целом? Дадите ссылку?

> Потому что конкретность (частей ли мира, или условий)
> достигается только в тексте инструкции или приказа.

Да, именно так всё и есть. Критерий практики уже отменили, теперь живём исключительно в рамках текущих инструкций. Иногда, правда, в датах путаемся (что устарело, что действует, а что ещё не приняли, не всегда ж сразу и поймёшь!), но в целом получается, вроде, неплохо. Кстати, сейчас как раз объявили очередной конкурс по пересмотру генеральной линии: если успеете подсуетиться, то, глядишь, всякие гротендиковские универсумы с топосами в новую версию и запишут (с точки зрения критерия практики этой болтовне никогда ничего не светило, а так, глядишь, и прорвётся). И тогда даже я, как законопослушный пай-мальчик, начну их расхваливать на все лады. Честное пионерское :))

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Извините, я не вполне поняла, о чем Вы.

Что касается ссылки -- я ведь Вам ее указывала несколько
раз? Дирак, "Принципы квантовой механики".

В библиографии Дирака это и есть, очевидно, тот самый
текст, в котором должен быть назван и обозначен предмет
физической науки. Какие-нибудь "Спиноры в гильбертовом
пространстве" пишутся в предположении, что читателю он
известен. Поэтому, если Вы снова забудете название,
достаточно открыть библиографию.

На случай, если Вы помните название, но Вам трудно скачать
электронную версию книги, я приведу цитату из предисловия.

"Согласно классической традиции окружающий нас мир
рассматривался как совокупность наблюдаемых об'ектов
[...]. Это приводило к физике, задачей которой было
делать предположения о механизме и силах,
относящихся к этим наблюдаемым об'ектам, так, чтобы
об'яснить их поведение возможно более простым способом.
Но в настоящее время становится все более очевидным,
что природа действует иначе. Ее основные законы не
управляют непосредственно миром наших наглядных
представлений, но относятся к таким понятиям, о которых
мы не можем составить себе представлений, не впадая
в противоречие. Формулировка этих законов требует
применения математической теории преобразований."

Предметом физики являются законы природы (принципы
устройства окружающего мира).

Ни о каких "микрооб'ектах" или "конкретных вычислений
про конкретные электроны" речи нет (электроны, впрочем,
конкретными не бывают). Наоборот, далее в тексте
будет следовать апелляция к натурфилософии.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Ничего реально нового в _математику_ ... он не внёс

Оператор Дирака и спиноры.
http://en.wikipedia.org/wiki/Dirac_operator
http://en.wikipedia.org/wiki/Dirac_spinor

На мехмате этим вещам не учат, а между тем
это центральные понятия математики 20-го века,
лежащие в основе теоремы Атьи-Зингера об индексе
и 90% современной дифференциальной геометрии.

Такие дела
Миша

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Ну, и где математические результаты Дирака о спинорах? Если же речь идёт о постановках задач — то я важность некоторых связанных с именем Дирака постановок и сам уже оговорил (и даже конкретно уравнение Дирака в число таковых включил).

Затем: краем уха доводилось слышать, будто спинорные представления SO(3) отдельные несознательные граждане чуть ли не в 1910-е годы рассматривали. Это так, или пардон, я ошибся? Если да, то на счету Дирака остаётся "всего лишь" обоснование важности понятия спинора посредством демонстрации его связи с физикой частиц полуцелого спина. Т.е. опять же не результат, а постановка задачи.

С уважением,
Гастрит

P.S.: Кстати, о мехмате. В обязательных курсах уравнения Дирака действительно нет, но вот в специальных — сколько угодно.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Затем: краем уха доводилось слышать,
>будто спинорные представления SO(3) отдельные
>несознательные граждане чуть ли не в 1910-е годы
>рассматривали. Это так, или пардон, я ошибся?

Spin(3) это SU(2), а ее спинорное представление
есть фундаментальное представление SU(2). Соответственно,
оно было известно в момент изобретения этой группы
Ли, Энгелем и Картаном.

>В обязательных курсах уравнения Дирака
>действительно нет, но вот в специальных сколько угодно.

Само собой: в координатной версии уравнение Дитака
примерно то же самое, что уравнение теплопроводности
(и никому не нужно в той же примерно степени, ибо
теплопроводность есть способ работать с многообразиями,
на которых координат как правило нет; а локальных
решений у него нет).

А в бескоординатной версии они и теплопроводности не знают.

Но что на половине курсов нет ни одного
выпускника, способного (хотя бы) сформулировать теорему об
индексе, это безусловно. А это основной вычислительный
механизм в топологии, дифф. геометрии и физике.

И в наше время ее знали назубок даже теоретико-числовики.

Привет

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> в координатной версии уравнение Дитака
> примерно то же самое, что уравнение теплопроводности

Дык, ва-аще никакой разницы :) Ни по групповым, ни по спектральным свойствам. Обратные задачи — и вовсе один в один :))

> А это основной вычислительный
> механизм в топологии, дифф. геометрии и физике.

Есть такое понятие — «сверхценная идея» называется. «Что нужно лично мне, то необходимо в обязательном порядке всем и каждому». В дифференциальной геометрии? Возможно. Там я не специализируюсь, ничего сказать не могу. В топологии? Как-то уже меньше верится (многообразия и ПДО не очень напоминают чисто топологические понятия). В физике? Простите, а какой — струнной или нормальной общечеловеческой (которую, например, в эксперименте проверить можно)?

Но вот некоторые вещи и я железной рукой вдалбливал бы в головы. Например, адамаровское определение корректно поставленной задачи ;)

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Дык, ва-аще никакой разницы :) Ни по групповым, ни по
>спектральным свойствам. Обратные задачи и вовсе один в один

Донельзя смешное замечание. Посчитайте к примеру
размерность пространства гармонических спиноров
(решений уравнения Дирака) на каком-нибудь простом
пространстве. На группе Ли SU(3) например. Или найдите
минимальное ненулевое собственное значение оператора
Дирака.

А это задачи, центральные и в математике и в физике
(и вам неведомые, увы). Знание асимптотики решений
PDE на \R^n еще никому в подобных вопросах еще не помогло.

>Что нужно лично мне, то необходимо в обязательном порядке
>всем и каждому

Нужно для понимания современной научной литературы.
Сходите на http://arxiv.org к примеру.

Математика это язык, и к этому языку происходящее
на мехмате не имеет отношения с середины 1960-х.

Привет

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> найдите минимальное ненулевое собственное значение
> оператора Дирака.

?!! По моим сведениям, оператор Дирака, он... как бы помягче выразиться... немного неполуограниченный.

> А это задачи, центральные и в математике и в физике

Знаете, Вы мне сейчас очень напоминаете лузинских мастодонтов :)) Те тоже были уверены, что кроме сходимостей тригрядов на множествах разной меры в математике нет ничего заслуживающего внимания (а которые ещё живы, и посейчас в этом уверены).

> Сходите на http://arxiv.org к примеру.

Т.е. Вы хотите сказать, что все тамошние препринты поголовно ссылаются на теорему об индексе? :))

> Математика это язык

Математика — это наука. А язык — это богословие. И оно меня не привлекает совершенно; Вы уж меня за это простите, ладно?

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Т.е. Вы хотите сказать, что все тамошние
> препринты поголовно ссылаются на
> теорему об индексе?

Математиков (людей, цитируемых на
MathSciNet) в мире в общей сложности 40 тысяч, из них
геометров тысяч 5. Думаю, что из этих 5 тысяч
4 знают теорему об индексе, и 2 тысячи ею
пользуются (в совершенно неожиданных контекстах:
в комплексном анализе или алгебраической
геометрии она часто нужна).

В общей сложности в архиве.орг есть
4540 статей, ссылающихся на формулу Атьи-Зингера.

>По моим сведениям, оператор Дирака,
> он... как бы помягче выразиться... немного
> неполуограниченный.

Это эллиптический оператор, а эллиптические
операторы имеют дискретный спектр
http://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_operator

Привет

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> В общей сложности в архиве.орг есть
> 4540 статей, ссылающихся на формулу Атьи-Зингера.

Давайте теперь, что ли, возьмём общее число препринтов и оценим количество не ссылающихся на эту формулу?

> Это эллиптический оператор,
> а эллиптические операторы имеют дискретный спектр

Кому Вы парите мозги, Козюльский? (c) Во-первых, если кто и неэллиптичен, то как раз Дирак (символ у него ни разу не положительно определённый). Что, впрочем, и неудивительно: электроны и позитроны он задаёт куском, в одном флаконе (электронам отвечают положительные энергии, позитронам — отрицательные; оператор получается неполуограниченным). А во-вторых, оператор \(-y''\) на всей оси очень даже эллиптичен — символ \(p^2>0\) — а вот спектр у него чисто непрерывный.

Так что Вы хотели сказать этой Вашей тирадой? Проверить моё владение предметом, что ли?

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Ничего реально нового в _математику_ и даже математическую нотацию он не внёс

Вот, скажем, есть скобка Дирака. Весьма занимательный и нетривиальный математический обьект. Так что все-таки внес.

(Reply to this) (Parent)

Термин в том же смысле, что координаты или график.
Важный, устоявшийся, теперь сам собой разумеется.
Как я уже говорила, учебник Арнольда вполне соответствует
курсу дифференциальных уравнений на мехмате. Ректором
Садовничим не интересуюсь.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Здесь лежит программа, в частности, курса
дифференциальных уравнений на мехмате, в виде
pdf-файла. Как я и думала, она мало напоминает
арнольдовский курс.

http://lib.mexmat.ru/show.php?c=2&f=1&s=2

Вот что написано в разделе "Книги" об этом учебнике:

Арнольд В.И.
Обыкновенные дифференциальные уравнения

Отличается от имеющихся учебных руководств по обыкновенным дифференциальным уравнениям большей, чем это обычно принято, связью с приложениями, в особенности с механикой, и более геометрическим, бескоординатным изложением. В соответствии с этим в книге мало выкладок, но много понятий, необычных для курса дифференциальных уравнений (фазовые потоки, однопараметрические группы, диффеоморфизмы, касательные пространства и расслоения) и примеров из механики (например, исследование фазовых портретов консервативных систем с одной степенью свободы, теория малых колебаний, параметрический резонанс).


Начальник кафедры -- Филлипов, и студенты получают задачи
из его задачника. По этому же задачнику занимаются
на физтехе. Решить из него произвольный набор задач,
прочтя только учебник Арнольда, невозможно. (То есть
возможно, но невозможно попасть в тот метод, который
требуется.) "Метод вариации постоянной" ты изучила
не по Арнольду, а как-то еще -- в школе, например,
или по задачнику.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Ты Филиппова смотришь, а посмотри еще Ильяшенко и
компанию, там довольно сильно отличается.

На самом деле и то, и другое можно очень по разному
преподавать. Все зависит от личности доцента; можно
маразм непроходимый устроить, а можно совсем наоборот.

Хоть в рецензии и пишут, чем Арнольд отличается от
имеющихся руководств, я не видела никого, кто читал бы
эти руководства. Весь наш курс читал Арнольда.

Задачника я не видела, но, кажется, ходила на семинары.
Не на все, конечно; но все, что надо, есть в Арнольде,
и пробелы восполнялись именно с его помощью. Вряд ли, конечно,
к ним относилась вариация постоянных, поскольку она
совсем элементарная (Марат говорит - обнаружил в каком-то
справочнике для инженеров, так и познакомились).
Там действительно кое-где требуется перевод с одного языка
на другой, но никаких трудностей он не представляет.

Кстати, вспомнила (очень своевременно! склероз), что на нашем
потоке (это треть курса примерно) лекции читал лично Арнольд.
На первую пришла куча народа, посмотреть на живого классика.
Меня оно разочаровало: ожидались Великие Откровения, а оказалось,
что от "обычного" лектора Арнольд отличается только тем, что нарочно
делает ошибки и ругается, что студенты их не видят. Решила,
что лучше читать его книжки (действительно хорошие).

Еще про Арнольда говорили, что он ставит только двойки и пятерки,
поэтому все его очень избегали на экзамене.

У современной мне мехматской программы было множество
недостатков, но конкретно
дифуры были вполне хороши. Было бы совсем здорово, если бы после
них началась столь же вменяемая дифференциальная геометрия. Увы,
Дубровин-Новиков-Фоменко и ориентированные на него курсы - это
стихийное бедствие. Причем ведь и авторы вовсе не какие-нибудь
мракобесы и крючкотворцы, но почему-то это не помогает.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Ага, я потом посмотрела Ильяшенко с компанией (но это,
кстати, новейшая). Понимаешь -- тебе повезло, наверное.
(У Мишки даже могла другая команда читать лекции и
принимать экзамены: он же был на механике, а у Лени и Володи
заведомо был кто-то другой.) И потом, ходить на семинары
и читать Арнольда -- это одно дело, а не ходить на семинары
(и читать его или не читать) -- совсем другое.

У моей дочери сейчас мат. анализ читает Архипов. Он
читает по своей книжке (совместной с Садовничим,
почему я его и упомянула) -- в смысле, как Л. И. Брежнев,
держит ее перед собой и читает.
Определения из нее выписывает.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

На механике да, могло быть хуже. Хотя вот линейную алгебру
у них сам Манин читал! Что, впрочем, не спасало от жорданова
вида 4 на 4 на зачете. (В принципе команд, кажется, никаких нет;
из за большой нагрузки один и тот же семинарист может вести
семинары у разных лекторов.) Как правило, народ с дифуров был
хороший; хотя всякое бывает, конечно.

Матанализ другое дело: огромная кафедра, занятая почти исключительно
преподаванием, неимоверно раздутым (4 семестра, бесконечное повторение
одного и того же. Двух хватило бы за глаза). Со всеми вытекающими.
Дорогой наш ректор, кажется, тоже ее сотрудник, да.

(Reply to this) (Parent)

Прежде чем что-либо утверждать, не грех проверить, как обстоит дело в действительности. Филиппов умер год назад, а при жизни отродясь кафедрой не заведовал (раньше была Олейник, теперь — Козлов).

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Прежде чем что-либо утверждать, не грех проверить, как обстоит дело в действительности.

Точно, виновата. А Вы уже прочли Дирака?

(Reply to this) (Parent)

>Имеется простенький дифур, который надо явно решить

A nafiga?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

а что ж не решить, если легко решается.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Oskorbitel'no kak-to, fignej stradat'.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

У людей очень разные представления о фигне.

(Reply to this) (Parent)