> (Гастрит, еще не проникнувшийся такими вещами,
> как , PH или BRT, застыл примерно в 1958 году.

Гастрит застыл в 1974-ом (башня Маркова). И был бы очень признателен за аргументы в пользу того, зачем ему отстывать: просто чтобы не отстать от моды, или есть что-то более содержательное?

> Почему никто не говорит про NF?

Неправда Ваша.

> Это просто неправда. Каждая теория говорит о своих
> труляляшках или сепульках, а не о "множествах".

По факту — да. А на словах эти сепульки называются «множествами», причём делается вид, будто это те самые множества, с которыми математики сталкиваются в обычной работе (множество чётных чисел, множество точек пространства $C[0,1]$ и т.д.). Собственно, говорить иначе (кроме как промеж себя) они и не могут — боятся, что срежут финансирование. Именно (и только!) такая подмена понятий конструктивистов и бесит — так что тут Вы не правы.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Ах да, увидел упоминание про NFовых труляляшек. Надо этим аргументом пользоваться как следует.

По-моему очень хороший аргумент против утверждения, будто ZFC -это аксиоматизация "теории множеств".

То, что определенные секты заведомо занимались фальсификацией, утверждая будто ZFC и есть "основание для математики", действительно так.

Но ведь в 1960е годы закончилась арифметизация матфизики и функционального анализа, так что с тех пор такой аргумент серьезно никто не употребляет.

А в 1970е годы появиласъ Обратная Математика, и этот дискурс (или семейство дискурсов) все ставит на свои места. Ведь никто не скажет, что ATR_0 - это "теория множеств".

Андрей

P.S. Да, многое изменилось и надо принять во внимание, но нет времени писать...

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Но ведь в 1960е годы закончилась
> арифметизация матфизики
> и функционального анализа,
> так что с тех пор такой аргумент
> серьезно никто не употребляет.

Чего-чего? И как Вы предполагаете "арифметизированно" (в рамках конструктивного анализа, к примеру) доказывать, что сепарабельное гильбертово пространство изоморфно каждому своему бесконечномерному подпространству? Оболочке иммунного подмножества базиса, в частности? Соответствующие утверждения на деле имеют именно теоретико-множественную, а никак не "арифметизационную" природу!

> никто не скажет, что ATR_0 - это "теория множеств".

Конечно, не скажет. Потому что её никто, кроме узких специалистов, и не знает. Я ж и говорю, что профессиональные теоретико-множественники — это что-то вроде эзотерической секты: промеж себя они согласны, что занимаются сепульками, а вот "непосвящённым" вешают лапшу на уши.

> Да, многое изменилось и надо принять во внимание

Я полагаю, что любой достаточно искренний католик тоже уверен, что физикам надо принять во внимание решения II Ватиканского собора. Но у физиков на этот счёт другое мнение. Фразеология этой вашей BRT (сужу по тому, что в сети нашёл) чисто теоретико-множественная — так что извините, но я, пожалуй, отнесусь к ней именно так, как мне Нагорный советовал относиться к моде вообще: наплюю на неё :-)

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

BRT - великое достижение логики, крупнейшее в 20 веке после Теоремы Гёделя и принципа Париса-Харрингтона. Если отбросить шелуху, то BRT занимается Пи_2 и Пи_3 арифметическими утверждениями и их пониманием. Если на BRT "наплевать", то можно отстать ... :)

Да, не весь функциональный анализ арифметизируется, а почти весь. Mногие теоремы, которые на поверхности кажутся неарифметизируемыми, на самом деле имеют арифметизируемые версии (как обычно, с помощю приближений).

Про Ваш комментарий про АТR_0: а какую логическую теорию знают? PRA? PA? IDelta_0? И какое отношение "популярность" объекта имеет к его важности?

Андрей

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> после Теоремы Гёделя

Вы на пять минут поторопились — Ваш пост идёт ещё не 1-ым апреля. Теорема Гёделя — типовое рефлексивное рассуждение, каковые прекрасно известны с XII-го века («может ли бог создать камень» и т.д. вплоть до антиномий Кантора и Рассела). Теорема Клини о неподвижной точке её запинает ногами — но! вот оно, главное-то: теореме Гёделя сделали широковещательную рекламу (в том числе среди дилетантов), а теореме Клини — нет! Так что Вы всё сильнее укрепляете меня в мнении, что в BRT ковыряться незачем — наверняка очередная разрекламированная пустышка :-(

> Пи_2 и Пи_3 арифметическими утверждениями
> и их пониманием. Если на BRT "наплевать",
> то можно отстать ... :)

Иначе говоря, в башне Маркова (которая охватывает всю арифметическую иерархию) есть дыры? Не откажете в любезности сообщить, в чём они состоят (я, честно говоря, не нашёл)?

> Mногие теоремы, которые на поверхности
> кажутся неарифметизируемыми, на самом деле
> имеют арифметизируемые версии

Спасибо за разъяснение. Но только у меня диссертация была по спектральной теории. Так что оценить сходство/различие между "обычным" функциональным анализом и конструктивным я могу и сам :-)

> какую логическую теорию знают? PRA? PA? IDelta_0?

Никакую не знают. Но что "без аксиоматики теория множеств не строится" (см. изначальное заявление ppkk) "слышали" многие. И кивают при этом чаще всего на ZF (как тот же ppkk).

> какое отношение "популярность" объекта имеет к его важности?

*удивлённо* Так я ж вроде сам постоянно и говорю, что большинство "модных" теорий — мыльные пузыри.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Я не говорил "доказательство теоремы Гёделя". Я говорил о недоказуемых утверждениях. Так что Ваш длинный комментарий - суета ... и не в тему. Все классические теоремы я знаю. И историю тоже немножко знаю.

То, что Вы различаете арифметизируемый ф.анализ и не арифметизируемый - очень хорошо. У меня проблемы с этим. Каждый раз, когда кажется, что "уж это-то никак не арифметизировать!!!" - оказывается что можно.

Не всякий арифметизируемый автоматически похож на свои конструктивные версии, но арифметизация - уже половина дела.

BRT - не модная теория (ее никто, кроме автора и еще двух-трех людей толком не знает). BRT - это большое открытие и достижение человечества. (И имеет значение для конструктивной математики, кстати.)

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Я говорил о недоказуемых утверждениях

Тем хуже для Вас, ибо ни о какой "недоказуемости" теорема Гёделя вообще не говорит (она говорит про невыводимость в исчислениях, понятие же доказательства гора-а-а-аздо шире). Я ж сказал — реклама-матушка. Громкая. И лживая.

> И историю тоже немножко знаю.

Ну вот и рассказали бы, что такого есть в BRT, чего нет в "башне". Я бы спасибо сказал.

> Каждый раз, когда кажется, что "уж это-то никак не арифметизировать!!!" -
> оказывается что можно.

Я Вам привёл пример с изоморфизмом гильбертовых пространств (или с теоремой Кантора-Бернштейна, что по сути то же самое). Могу и ещё: теорема о существовании всюду определённого неограниченного функционала (ага, предлагается базис Гамеля арифметизировать). С интересом бы посмотрел, как оно будет.

> BRT - не модная теория (ее никто, кроме автора
> и еще двух-трех людей толком не знает).

Зато, похоже, все о ней говорят и восхищаются (Вы вот, в частности, усиленно рекламируете). Что ж, искренне желаю «автору с двумя-тремя людьми» получить свои очередные гранты. Да, вопрос выше (про BRT vs. Я₃) остаётся в силе.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Я рекламой не интересуюсь. Это мой предмет, так что меня не обманут. :)))

Про BRT долго рассказывать и сложно на самом деле.

Пробовал выписать всё что хорошо бы знать, чтобы понять BRT. Накатал заметку.

http://www.maths.bris.ac.uk/~maaib/new.pdf

Теперь жалею (половину упустил и кое-чего нужного не сказал).

Можно о BRT погворить, но потом.

Башня Маркова есть у нас на картинке:

http://logic.pdmi.ras.ru/Markov/bashnya.jpg

Андрей

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> меня не обманут. :)))

А, так это, значит, Вы мне пытались впарить бредятину про "недоказуемые утверждения", понадеявшись на моё плохое знакомство с предметом? Я и говорю: жулики, вешающие лапшу на непосвящённые уши :-))

> Накатал заметку

Я правильно понял, что "огромное достижение человечества" заключается попросту в том, что к исходной аксиоматике добавлено невыводимое в ней утверждение? Да таких утверждений в любом исчислении сколько угодно — расширяй, не хочу! Где тут обещанная «семантика $\Pi_2$»?

> Башня Маркова есть у нас на картинке

Отличная шутка! Вот теперь с датой всё в порядке :-) И где же на картинке редукционная теорема?

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Про семантику Пи_2 утверждений нужно самому думать. На блюдечке связь нам не дана потому что БРТ сформулирована немножко на другом языке.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> нужно самому думать.

Не нужно. Жизнь слишком коротка, чтобы расходовать её на модную чепуху.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Тогда Вам сюда:

http://www.aboututila.com/Photos/AdamLaverty/Cays-Water-Girls-01.JPG

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Оригинальная альтернатива. Я бы сам не догадался.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent)

Что-то страшно как-то.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

мне тоже... Туда посылаем тех, кто не хочет изучать логику!

(Reply to this) (Parent)

Я не столь богато как Вы одарён вниманием Важного Андрея Бовыкина, которого привлёк сюда, так что придётся отвечать до получения разъяснений от него.

как тот же ppkk
1. ЦФ я привёл как пример аксиоматики. Бурбаки на основе ЦФ последовательно что-то построили. Если на основе других аксиоматик будут написаны подобные труды, можно будет кавать и на них.
2. Ваши слова о теории множеств к данному моменту ссылались по сути на какие-то "реальные множества", которые реальны для меня только как слова.

> какое отношение "популярность" объекта имеет к его важности?
*удивлённо* Так я ж вроде сам постоянно и говорю, что большинство "модных" теорий — мыльные пузыри.
"*удивлённо*"
Так чем же эти Ваши теории важнее подхода Бурбаков? Как я понимаю, логика достойных альтернатив не предложила, а важные математические результаты логиков чаще сводятся к иллюстрациям теоремы Гёделя по отношению к пресловутой аксиоматике ЦФ (к которой у меня нет какой-то имманентной привязанности).

"Множество" — слово. Его можно использовать как математический термин. Когда используют широко и без аксиоматики, могут быть проблемы (см. Кантор). Для аксиоматики нужна логическая теория и т.п.

Но чем лучше выбранная логическая теория и выбранная теория множеств, тем проще формулировать и доказывать интересующие математические утверждения, не вдаваясь в детали выбранной теории множеств и, тем более, выбранной логической теории.

Если логическая теория не может явно предложить интересные результаты, но её апологеты хотят, чтобы люди её "знали" — это паразитическая теория.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Как я понимаю, логика достойных альтернатив не предложила,
> а важные математические результаты логиков
> чаще сводятся к иллюстрациям теоремы Гёделя

Чувствуется влияние Бовыкина :-) Насколько я понял, "иллюстрации теоремы Гёделя" — это просто его специальность, и связанные с этим вещи кажутся ему "величайшими достижениями логики" по той единственной причине, что всяк кулик своё болото хвалит. Моя оценка роли теоремы Гёделя более чем сдержанная (я это в том посте, на который Вы отвечали, ясно написал): в логике есть вещи на порядок более важные (та же марковская семантика и основанная на ней конструктивная математика — но их Бовыкин, судя по его попыткам отшутиться картинками, попросту не знает).

> Когда используют широко и без аксиоматики

Не без аксиоматики, а без семантики. В физике (настоящей, разумеется; не струнной галиматье) исчерпывающей аксиоматики нет, и математические ошибки громоздятся одна на другую круче любого тетриса — однако это абсолютно никого не волнует, так как понятно, о чём именно идёт речь. В современной математике это понятно далеко не всегда (даже в этой ветке у нас с Вами добрые полсотни комментов ушли на выяснение того, что же такое "консистентная совокупность отчётливо различимых объектов"). На мой взгляд, проблема состоит именно в этой неясности предмета исследования — и попытка спрятаться за аксиоматическими сепульками есть не более, чем детская вера в то, что проблема исчезнет, если закрыть на неё глаза.

Впрочем, это уже моё личное profession de foi, к изначальному вопросу о характере преподавания и изучения теории множеств, данном нам в ощущениях, не относящееся :-)

> Но чем лучше выбранная логическая теория

Так вот в том и вопрос — откуда брать критерии качества.

> Если логическая теория не может явно предложить интересные результаты,
> но её апологеты хотят, чтобы люди её "знали" — это паразитическая теория.

Вот Вы это Бовыкину с его PH и расскажите :-) Впрочем, соотв. вопрос Вы и так уже задали.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

в логике есть вещи на порядок более важные (та же марковская семантика и основанная на ней конструктивная математика
…
> Но чем лучше выбранная логическая теория
Так вот в том и вопрос — откуда брать критерии качества.
Я понимаю, что слово "лучше" отличается от слова "важнее", но чем же важнее эта "марковская семантика и…"?

Не без аксиоматики, а без семантики
?
Математика не наука. Физика — наука. В физике, если математическую модель скрутили в бараний рог и она даёт научные результаты, всё в порядке.
В математике же аксиоматизация и формальный подход позволяют ошибки свести к техническим (хотя до того, чтобы статьи с доказательствами можно было проверять на компьютере, очень далеко, к сожалению) и ошибкам в аксиоматике или её выборе (аксиоматика оказалась противоречивой или в тщательно строящейся теории по недосмотру оказалось, что важные для её применимости результаты недоказуемы).
"О чём именно идёт речь" даже на уровне арифметике в младших классах ясно только если дети не задумываются и с учителем не спорят.

Бурбаки построили на формальном фундаменте (с выбранной логической теорией и ЦФ) важную часть математики. Этим и хороши (хотя, опять же, на компьютере их книжки не проверить, ибо давно писали, не подумали об этом: вот кто перепишет основы современной математики в код, проверяемый на компьютерах, да с возможностями для традиционного математического творчества [с инструментами для удобного написания статей, на компьютере проверяемых] — тот явно лучше Бурбаков окажется, хоть с ЦФ, хоть с какой логической теорией: лишь бы основные результаты и методы продолжали работать, да и новые можно было бы получать).

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> но чем же важнее эта "марковская семантика и "?

Тем, что объясняют причины пресловутой «непостижимой применимости математики» в той же физике (и позволяют отличить потенциально применимые её части от неприменимых в принципе).

> Математика не наука. Физика — наука.

Проблема граждан, кричащих «математика — не наука», состоит обычно в неумении продумывать следствия из высказываемых тезисов. А вот давайте всё же продумаем. Вопрос первый, он же и основной: если математика — не наука, то как она умудряется находить применения в науках — той же физике? Отсылка к «непостижимой применимости» не канает: ignorantia non est argumentum.

Крики про "ненаучность" математики как таковой исходят на деле от граждан, занятых действительно ненаучными её частями, но пытающихся при этом поставить себя на одну доску с нормальными математиками ("мы ничем не хуже вас! ваша деятельность так же ненаучна, как и наша!"). Вам нравится идти на поводу у такой публики? Дело Ваше. Мне — не нравится :-)

> хотя до того, чтобы статьи с доказательствами можно было
> проверять на компьютере, очень далеко, к сожалению

Мнение о принципиальной возможности такой проверки — безграмотное, к сожалению. Понятие "доказательства" неформализуемо — ровно это пресловутая теорема Гёделя и утверждает. Наука (а математика, как бы Вас сие не печалило, всё же есть наука) представляет собой общественную деятельность, и понятие "доказательства" (вместе с критериями того, что таковым считается, а что — нет) есть предмет общественного договора.

> "О чём именно идёт речь" даже на уровне арифметике
> в младших классах ясно только если дети не задумываются

*удивлённо* О счётных палочках там идёт речь. Разве нет?

> Бурбаки построили важную часть математики.

Возвращаю Вам Ваш же вопрос: и чем же она важна? Тем, что позволяет кому-то получать зарплату за пересказ «Элементов математики»? Ну, тогда и римский папа занят крайне важной научной деятельностью: уйма богословов кормится за счёт пересказа и анализа его энциклик.

> кто перепишет основы современной математики в код,
> проверяемый на компьютерах, да с возможностями
> для традиционного математического творчества —
> тот явно лучше Бурбаков окажется

Давно сделано. Толку, разумеется, нуль.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Тем, что объясняют причины пресловутой «непостижимой применимости математики» в той же физике (и позволяют отличить потенциально применимые её части от неприменимых в принципе).
Где это разъяснено, можете сослаться?

если математика — не наука, то как она умудряется находить применения в науках — той же физике?
Так же, как доска и мел, не являющиеся математикой, находят в ней применение.

Понятие "доказательства" неформализуемо — ровно это пресловутая теорема Гёделя и утверждает.
Ох, ох, ох. Я ссылался уже на тех же Бурбаков, стр. 41.

О счётных палочках там идёт речь. Разве нет?
Вспомните, как мы с Вами пальцы на руке считали. Со счётными палочками та же история: навести тень на плетень довольно легко (ломать, расщеплять, терять и т.п.).

Возвращаю Вам Ваш же вопрос: и чем же она важна?
…
Давно сделано. Толку, разумеется, нуль.
Проблема тут в упомянутом magister dixit: важность этому придаёт авторитет пользователей. В случае с Бурбаками хватает и авторитета авторов. Если бы этот Mizar (не понял пока толком, что это) в России проталкивали бы, например, Арнольд да в Ленинграде, например, Вершик, я думаю, что важности у этой системы было бы много.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Где это разъяснено, можете сослаться?

Пример из сети. У Шанина, конечно, точка зрения не вполне марковская, но всё же близкая.

> Так же, как доска и мел, не являющиеся математикой,
> находят в ней применение.

Как интересно! Ну-ка, покажите мне в математике утверждение вроде "так как мел белый, то...". Не надо обходить вопроса о производстве физических выводов из математических утверждений — всё равно не выйдет, буду Вас тыкать в это обстоятельство до упора :-)

> навести тень на плетень довольно легко
> (ломать, расщеплять, терять и т.п.).

В физике то же самое: и кирпич (или любую другую реализацию материальной точки) можно расколоть, и нейтрон расщепить на протон, электрон и нейтрино. Так почему же физика всё же наука, а математика — нет?

Вы забавно вертитесь, хотя и предсказуемо :-)

> Проблема тут в упомянутом magister dixit:
> важность этому придаёт авторитет пользователей.

Угу, вот тут Вам плюс по сравнению с Бовыкиным: условие честности полностью соблюдено. Проблема, однако, в том, что Ваша позиция ориентирована исключительно на краткосрочную перспективу: мы знаем отношение современного сообщества к тем же Арнольду и Вершику — но понятия не имеем, что про них будет думать то сообщество, которое будет существовать лет через 50.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Вы забавно вертитесь, хотя и предсказуемо
Зато Вы с "реальными множествами" ничего не разъясняете.

Применяются готовые математические модели, применением является условное сопоставление каких-то абстрактных математических понятий реальным объектам. Применение относится уже к физике, химии и т.п., а не к самой математике.

Теоретическая же физика (кроме патологических случаев, конечно) пытается делать предсказания исходя из уже имеющихся сопоставлений.

Так что человек, занимающийся решением каких-нибудь уравнений, к физике уже привязанных, может считаться физиком. Но тогда в химии эти уравнения применять будет уже химик.

Некоторых математиков можно отнести к науке за счёт принадлежности к физике-химии-экономике, например, но явно не всех. Поэтому всю математику не отнести к науке: это будет таким же произволом, как сказать, что все люди — мужчины.

Как-то так.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Зато Вы с "реальными множествами" ничего не разъясняете.

«Говорящий не говорит» и «слушающий не слышит» — это не одно и то же.

> абстрактных математических понятий реальным объектам.

Повторяю ещё раз: почему применение абстрактных понятий в математике делает математику "ненаукой", а точно такое же применение абстрактных понятий в физике (понятия "материальной точки", "инерциальной системы отсчёта", "кванта поля" и т.д. — это именно абстрактные понятия; в чистом виде таковых никто никогда не видел) физику "ненаукой" не делает? Я понимаю, что этот вопрос для Вас крайне неудобен, и Вам бы очень хотелось его замять — но всё же ответьте, окажите любезность :-)

> человек, занимающийся решением каких-нибудь уравнений

Само по себе решение зависит от того, где оно потом будет применяться? Может ли так быть, что в физике решением уравнения $y''+y=0$ будет $A\sin x+B\cos x$, а в химии — $1/(x^2+1)$? Если не может — то почему изучение объективных свойств решений уравнения самого по себе (независимо от каких-либо приложений) не есть наука? А если может — то зачем вообще математика нужна, если она просто пересказывает факты физики и химии в других терминах (и тем самым, обрубается бритвой Оккама)? Не проще ли тогда снести её целиком на фиг?

Вы договаривайте до конца, договаривайте. Не обрывать ход мысли на половине — оно всяко полезно :-)

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

«Говорящий не говорит» и «слушающий не слышит» — это не одно и то же.
Это не аргумент. Так и про реального Христа можно вещать.

Смотрим определение науки в словаре:
НАУКА — особый вид познавательной деятельности, направленной на выработку объективных, системно организованных и обоснованных знаний о мире. Взаимодействует с другими видами познавательной деятельности: обыденным, художественным, религиозным, мифологическим, философским постижением мира. Н. ставит своей целью выявить законы, в соответствии с которыми объекты могут преобразовываться в человеческой деятельности. Поскольку в деятельности могут преобразовываться любые объекты — фрагменты природы, социальные подсистемы и общество в целом, состояния человеческого сознания и т.п., постольку все они могут стать предметами научного исследования. Н. изучает их как объекты, функционирующие и развивающиеся по своим естественным законам. Она может изучать и человека как субъекта деятельности, но тоже в качестве особого объекта. Предметный и объективный способ рассмотрения мира, характерный для Н., отличает ее от иных способов познания. Например, в искусстве отражение действительности происходит как своеобразная склейка субъективного и объективного, когда любое воспроизведение событий или состояний природы и социальной жизни предполагает их эмоциональную оценку. Отражая мир в его объективности, Н. дает лишь один из срезов многообразия человеческого мира. Поэтому она не исчерпывает собой всей культуры, а составляет лишь одну из сфер, которая взаимодействует с другими сферами культурного творчества — моралью, религией, философией, искусством и т.д. Признак предметности и объективности знания выступает важнейшей характеристикой Н., но он еще недостаточен…

Я предметности и объективности в математике не вижу. Вы веруете в "реальные множества", поэтому, конечно, для Вас математика предметна и объективна. Это различие в наших мировоззрениях мне очевидно уже несколько месяцев.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Я предметности и объективности в математике не вижу

Тогда так и скажите: «я не понимаю, почему математика является наукой». Но Вы ведь не это утверждаете, а нечто гораздо более сильное: «математика наукой не является». Ignorantia, опять же, non est argumentum!

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent)

это именно абстрактные понятия; в чистом виде таковых никто никогда не видел
Если нет экспериментов, где их характеристики проявляют себя, то это не наука, да. Если бы ни один объект не годился на роль материальной точки, материальная точка была бы ненаучной.

А если может — то зачем вообще математика нужна, если она просто пересказывает факты физики и химии в других терминах (и тем самым, обрубается бритвой Оккама)? Не проще ли тогда снести её целиком на фиг?
Именно чтобы не обрубаться бритвой Оккама математике и нужно быть не наукой.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Если нет экспериментов, где их характеристики
> проявляют себя, то это не наука, да.

То если эксперименты есть, то это всё же наука? Тогда как быть с тем обстоятельством, что экспериментов с числами, диффурами и эрмитовыми операторами в гильбертовом пространстве вагон и маленькая тележка? Вот только не надо впаривать, что таких экспериментов нет — громко рассмеюсь, я их даже лично ставил.

> Именно чтобы не обрубаться бритвой Оккама математике и нужно быть не наукой.

Я уже реально тащусь.

Тезис. Пучок электронов можно условно изобразить, как "Мону Лизу", а т.к. "Мона Лиза" является эталоном прекрасного, то пучок электронов даёт такую-то дифракционную картину.
Возражение. "Мона Лиза" никакого отношения к электронам не имеет, не проще ли будет вообще удалить упоминания о ней из рассуждений про электроны?
Контраргумент. Нет, не проще. Упоминание "Моны Лизы" нельзя убирать из рассуждений об электронах, т.к. изобразительное искусство не является наукой.

Извините, конечно, но это уже из серии "диалоги в дурдоме". «Ленин был грибом, а потому и радиоволной».

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent)

> навести тень на плетень довольно легко
> (ломать, расщеплять, терять и т.п.).

В физике то же самое: и кирпич (или любую другую реализацию материальной точки) можно расколоть, и нейтрон расщепить на протон, электрон и нейтрино. Так почему же физика всё же наука, а математика — нет?

Это я неловко написал. Да, на физику это отчасти тоже распространяется, хотя суть физики в том, что она с этим борется (см. Фейнмана о мальчике с шариками, которые он теряет/прячет/топит про закон сохранения энергии).

Если математику в младших классах применяют к реальным палочкам и т.п. — это либо педагогика, либо физика (которой придётся серьёзно помучиться с теми, кто будет палочки ломать и терять).

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Это не "отчасти" распространяется — это целиком и полностью распространяется, причём не только на физику, но и на любую теоретическую науку вообще. Как только мы (в любой науке) сформулировали какой-то общий закон — всё, мы ввели абстрактное понятие, применительно к которому в каждом конкретном случае придётся потом разбираться, в какой степени этот случай под сие понятие подпадает. Т.е. насколько кирпич есть материальная точка (такое признание предполагает, что кирпич не разваливается на куски от трещин — a priori это не ясно), насколько содержимое пробирки есть серная кислота (такое признание предполагает, что количество примесей — а они в пробирке заведомо есть — несущественно для реакции, а это тоже a priori не ясно), насколько утконос есть млекопитающее (вариант: птица, нужное подчеркнуть, ненужное зачеркнуть), Иван есть человек, Жучка есть собака и т.д. Математика находится ровно в таком же положении: разумеется, счётные палочки можно ломать — но законы арифметики сформулированы в предположении, что палочки по ходу вычисления не ломаются (как законы механики сформулированы в предположении, что тепловая энергия кирпича не переходит в кинетическую).

Вот технари иногда любят выть на тему «зачем нас учат философии». Для того самого и учат, чтобы эти технари потом в элементарных вопросах, связанных с ролью абстракций в науке, не путались как в трёх соснах. Но часто, к сожалению, не в коня корм. Попытки идиотской "борьбы" с абстракциями — они как раз из этой оперы. И кончается такая борьба всегда одинаково: как только технарь-идиот наконец уверит себя, что от приближённости соответствия между практикой и теорией он наконец избавился и нашёл-таки Точные И Окончательные Законы (на деле: попросту научился не замечать производимых абстракций, как в моём любимом примере с ребёнком, который верит, что раз он зажмурится — то окружающий мир тут же исчезнет) — тут-то его по кумполу очередная научная революция и долбает. «Сейчас, в конце XIX века, физика — мёртвая наука», ага.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent)

Продолжение глубоких веток:

> обсуждение Вашего простонародного
> доказательства противоречивости ЦФ

Вы полагаете, что Котофеич — один из моих псевдонимов?! O_o

> в математике проблемы Гильберта — это круто

...и ва-а-аще :-)) А полтораста лет назад было круто и ва-а-аще придумывать новые признаки сходимости рядов. И где теперь эти римляне?

Аргумент magister dixit — он в принципе один из самых убогих. Потому что если magister заслужил своё гордое наименование — то ровно потому, что понимал, зачем он это самое dixit. Человек же, бездумно повторяющий чужие формулировки, называется уже не magister; он называется "эпигон". А таковые редко интересны :-)

> тексты про натуральные числа в теории множеств
> со словом "standard" — пример некорректной пропаганды

Вам известен более распространённый способ задать средствами АТМ отдельные натуральные числа? Подчёркиваю: НЕ натуральный ряд "куском", а именно ОТДЕЛЬНЫЕ числа (чтобы можно было потом на языке АТМ записывать конкретные арифметические суждения вроде «2+2=4»)? Если известен — поделитесь ссылкой. Если нет — чем плохо слово "стандартное", раз в данном случае оно отражает объективную реальность, данную нам в ощущениях?

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

...и ва-а-аще :-)) А полтораста лет назад было круто и ва-а-аще придумывать новые признаки сходимости рядов. И где теперь эти римляне?
Признаки сходимости рядов жили, живы и в обозримом будущем будут жить. Если кто-нибудь придумает существенно более удобный и общий метод проверки сходимости рядов, какую-нибудь Филдсовскую медаль, предполагаю, ему дадут легко.

Аргумент magister dixit — он в принципе один из самых убогих. Потому что если magister заслужил своё гордое наименование — то ровно потому, что понимал, зачем он это самое dixit. Человек же, бездумно повторяющий чужие формулировки, называется уже не magister; он называется "эпигон". А таковые редко интересны :-)
Естественно, аргумент из убогих. Но аргумент.

Подчёркиваю: НЕ натуральный ряд "куском", а именно ОТДЕЛЬНЫЕ числа (чтобы можно было потом на языке АТМ записывать конкретные арифметические суждения вроде «2+2=4»)? Если известен — поделитесь ссылкой.
Я писал, что у Бурбаков натуральные числа — конечные кардиналы. Давал ссылку. В формальном языке запись "2+2=4", конечно, всё равно у Бурбаков, конечно, не выходит: знаками логической теории у них являются загадочные буквы, а также  , τ, ∨ и ˥, а в теории множеств ещё и =, ∈ и ещё один символ, изображения которого я в Юникоде не нашёл, так что поставлю просто ⊙. В Бурбаках, "Теории множеств", "Мир", 1965, это стр. 187, также важно длинное замечание на стр. 188.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Признаки сходимости рядов жили,
> живы и в обозримом будущем будут жить.

В количестве примерно пяти штук. А сколько их в своё время надоказывали?

> Естественно, аргумент из убогих. Но аргумент.

To whom how :-)

> В формальном языке запись "2+2=4", конечно,
> всё равно у Бурбаков, конечно, не выходит

Иначе говоря, против тезиса, что бурбаковское определение реально применяется реже нойманновского, у Вас возражений нет? Тогда о чём спор?

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

В количестве примерно пяти штук. А сколько их в своё время надоказывали?
И найти такой, который вытеснит какой-нибудь (или даже несколько) из них, либо встанет с ними в один каламбур из-за удобства и принципиального преимущества — достижение великое.

> Естественно, аргумент из убогих. Но аргумент.
To whom how :-)
Для Вас — аргумент, см. свой комментарий выше.

Иначе говоря, против тезиса, что бурбаковское определение реально применяется реже нойманновского, у Вас возражений нет? Тогда о чём спор?
Не я заявил стандартность, не мне её доказывать. При мне фон Неймановская конструкция употреблялась только в качестве примера.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> И найти такой, который вытеснит какой-нибудь (или даже несколько) из них,
> либо встанет с ними в один каламбур из-за удобства
> и принципиального преимущества — достижение великое.

Каким образом сказанное соотносится с тем обстоятельством, что огромное количество "рядовых" признаков, которые в промышленных количествах штамповали полтора столетия назад, ныне забыты? Или, называя вещи своими именами, что "важная и мэйнстримная" деятельность по пложению этих признаков в долгосрочной перспективе оказалась полным фуфлом?

> Для Вас — аргумент, см. свой комментарий выше.

???

> При мне фон Неймановская конструкция употреблялась
> только в качестве примера.

Это факт Вашей биографии, не более того.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Для Вас — аргумент, см. свой комментарий выше.
???
Аргумент magister dixit — он в принципе один из самых убогих.
Если не аргумент вообще, то выбирайте более понятные выражения.

Каким образом сказанное соотносится с тем обстоятельством, что огромное количество "рядовых" признаков, которые в промышленных количествах штамповали полтора столетия назад, ныне забыты? Или, называя вещи своими именами, что "важная и мэйнстримная" деятельность по пложению этих признаков в долгосрочной перспективе оказалась полным фуфлом?
Это проблемы контроля качества, а не самой идеи важных признаков сходимости. Ну, эти неназванные производители ненужных признаков сходимости занимались чем-то, что сейчас можно считать чушью — и что? К чему это?

Это факт Вашей биографии, не более того.
Стандартность конструкции фон Неймана — это буквальный перевод английской Википедии и Ваша вера. Не более того.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>> Аргумент magister dixit — он в принципе один из самых убогих.
> Если не аргумент вообще, то выбирайте более понятные выражения.

Минуточку: но я, вроде, анализировал как раз Ваше применение этого аргумента? Это для Вас этот аргумент убедителен, я-то тут при чём!

> Это проблемы контроля качества, а не самой идеи важных признаков сходимости.

Я именно об этом и говорю. "Идея теории множеств" — штука важная. Но вот конкретно ZF — полное фуфло.

> Стандартность конструкции фон Неймана —
> это буквальный перевод английской Википедии
> и Ваша вера. Не более того.

*пожимая плечами* Ну, не хотите Вы замечать, что когда хотят средствами АТМ записать то или иное суждение о конкретных натуральных числах, то чаще всего используют именно фон-нойманновский подход — не замечайте. Это, опять же, исключительно факт Вашей биографии.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Это для Вас этот аргумент убедителен, я-то тут при чём!
Не нахожу убедительных аргументов счесть мой не самый сильный аргумент неубедительным.
Но вот конкретно ZF — полное фуфло.
Почему? Убедительные примеры, пожалуйста.
что когда хотят средствами АТМ записать то или иное суждение о конкретных натуральных числах, то чаще всего используют именно фон-нойманновский подход — не замечайте
Та же фигня, что и с моим утверждением про "не строится". А слово "стандартный" слишком сильное — популярность ещё не делает стандартом. Известная мне популярность этой конструкции — в поп. лекции про теорию множеств её приводят. Причиной является не желание "записать то или иное…", а просто быстрая демонстрация возможности построить натуральные числа на основе теории множеств.
А.А.Марков, Н.М.Нагорный, «Теория алгорифмов», 2-е изд., 1996, стр. XVI
К чему? Я с этим не спорю. Ещё некоторые обожают писать кванторы в конце формул и т.д., и т.п. Хотя и слишком общее утверждение. Можно было бы и попридираться, но списка ссылок не видно.
«математика наукой не является»
Ну, я хотя бы не верую в "реальные множества". Пока предметности и объективности я не воспринимаю, я не могу считать её наукой. Ваш прибор или орган чувств ощущает множества — ну, рад за Вас.
диалоги в дурдоме
Применяемая модель не удаляется. А остальная математика удаляется. И удаляется чистая математика. Об этом речь.
Для относительно самостоятельного же существования (а не только внутри физики-химии) математике нужно не считаться наукой.
Это не "отчасти" распространяется…
Эх, не разжалобить Вас ссылкой на Фейнмана!
Хорошего, по-моему, контраргумента не привели (что в математике вводят дробные числа и т.п. на некоторые виды "ломающихся палочек").
А написали про "борьбу с абстракциями". Так это Вы с абстракциями боретесь, в "реальные множества" уверовать сумели. А же как раз за признание роли математических абстракций, которые существенно отличаются от абстракций физических и т.п.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Убедительные примеры, пожалуйста.

Я уже приводил пример содержательно верного утверждения, заведомо недоказуемого в ZF в случае её непротиворечивости. Вы же просто не слушаете оппонентов (ни меня, ни того же Бовыкина): убедили себя, что ЗнаТоКи Бурбаки не могут ошибаться, и отметаете с порога всё, что с этим догматом не согласуется, как "недостаточно понятное".

> просто быстрая демонстрация возможности

Иначе говоря, для Вас теоретико-множественное описание натуральных чисел — не более, чем игрушка. Что ж, уровень компетентности в вопросах АТМ такая уверенность демонстрирует неплохо.

> Ну, я хотя бы не верую в "реальные множества".

Вы вовсе не «не веруете» в них. Вы не замечаете их существования, т.к. веруете в непогрешимость Бурбаков. Что далеко не одно и то же.

> Хорошего, по-моему, контраргумента не привели
> (что в математике вводят дробные числа и т.п.
> на некоторые виды "ломающихся палочек").

Спасибо, Вы ещё раз продемонстрировали свой уровень. К сведению: через "ломающиеся палочки" дробные числа определяют вовсе не в математике. Их так в дурдоме определяют. В математике же дробное число — это пара натуральных (или тройка, если отрицательные допускаются). Например, две пятых — это восьмибуквенное слово «||*|||||» в двухбуквенном алфавите «|*».

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Уважаемый Гастрит,

я устраиваю 14 мая публичные дебаты в Бристоле между Конструктовистом, Формалистом и теоретико-множественным Платонистом, но не могу найти Конструктовиста или Интуициониста. Подскажите, что мне делать.

Любго вида интуиционист и любой школы констуктивист - подойдут. Лишь бы говорили по-английски и смогли бытъ в Бристоле 14 мая.

Вот например Вы - свободно ли говорите по-английски (нужно и понимать и быстро реагировать на аргументы оппонентов) и есть ли у Вас английская виза?

Или кто-то другой, может быть Вы знаете кого нибудь, слышали о ком-то (можно интуициониста) желательно в Англии или ближайшей Европе?


Я как-то не задумывался, когда объявлял дебаты, что конструктивисты/инитуиционисты, знающие все аргументы - это сейчас редкость. (А "стихийный конструктивист" из информатики мне не нужен. Нужен подкованный в спорах.)

Андрей

(Reply to this) (Parent) (Thread)

К сожалению, я тут едва ли чем могу Вам помочь (связей с Западом у меня нуль). По идее, интуиционисты должны быть легко отыскиваемы в Нидерландах (если верить Google Scholar, там до сих пор пописывают про теорему о веере), а бишопианцы — вообще где угодно (т.к. на это направление много ума не надо, да и с Бриджесом не соавторствовал только ленивый). Но это всё, я думаю, Вам и без меня известно.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Понятно, спасибо. Да, устройство конструктивистского мира (кто где живет и во что верит) я примерно знаю, понаслышке. Похоже на жизнь староверов в России (свои своих узнают издалека по каким-то признакам, каким-то мельчайшим знакам).

Да, я уже кое-каким интуиционистам писал, и буду писать еще. Они почему-то все не могут приехать именно 14 мая.

(Reply to this) (Parent)

Дебаты прошли: конструктивиста пришлось играть мне самому, не очень убедительно кажется. И немножко упрощенно.

Видео-файл лежит здесь:

http://www.maths.bris.ac.uk/~maaib/logic/videos.html

(3 гигабайта).

(Reply to this) (Parent)

В защиту ppkk.

По-моему ппкк слушал всё правильно и говорил дело, просто разные люди на разном настаивали.

ppkk восхищался тем, что бурбаки из аксиом строго вывели очень много теорем. В каком-то смысле правильно восхищался. Конечно, в таком случае надо было бы сесть и повосхищаться другими не менее серьезными достижениями - формализацией (Фреге), типизацией (Рассел), арифметизацией (Гёдель-Тьюринг- конструктивисты), но и в выборочном восхищении тоже ничего плохого.

Мы же толкали достаточно стандартную "критику" ZFC.

Я толкал стандартные аргументы любых плюралистов (разные теории ПРОТИВОРЕЧАТ друг другу!!!! - это важно! Они не мирные друг дружке альтернативы "хочешь так делай математику, а хочешь эдак - всё получится..." а антагонисты! (поэтому восхищение одной из этих теорий - это иррациональный выбор против всех остальных, поэтому я всё носился со своим примером NF...))

Гастрит толкал стандартные аргументы конструктивистов о бессодержательности и бессмысленности погружений "настоящей" математики в ZFC или куда бы то ни было еще. Правильные известные аргументы.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Само по себе восхищение проделанной кем-то систематизаторской работой, разумеется, никому в минус не идёт. Проблема была в том, что в один прекрасный момент восхищение ppkk Бурбаками начало явственно принимать форму «если вы, гражданские, такие умные, то почему строем не ходите». У меня, во всяком случае, сложилось стойкое ощущение, что все аргументы, сделанные с небурбакистских точек зрения, он предварительно "бурбакизирует" и принимает к сведению именно в обурбакизированном варианте (хотя при этом аргумент в лучшем случае искажается, а в худшем — просто превращается в чепуху). То есть примерно как геоцентрист средней руки препарировал бы Кеплера: «он там говорит, что планеты движутся вокруг Солнца; но ведь Солнце движется вокруг Земли, а Землю он сам называет планетой — да у него там, блин, полно противоречий!».

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent)

А чего крутого в теореме Париса-Харрингтона, кроме того, что ты о нём что-то написал? Что вообще значит это слово "принцип"?

Ну, проиллюстрировали теорему Гёделя: ура, типа.

Чем это круче Бурбаков, которые, хоть зарплату и не как логики получали, но на основе выбранной по обстоятельствам логической теории, выбрав по обстоятельствам теорию множеств, последовательно написали большой шмат современной им и достаточно важной ныне математики?

И чем хороша "BRT", кроме того, что ты в качестве ссылки на неё дал ссылку на свою статью про теорему Париса-Харрингтона? Я не понял сходу из неё, что такое BRT. Bus Rapid Transit? Boolean Relation Theory? Brain Research Trust? Black Russian Terrier? Binary Resolution Tree? Аббревиатуры в статье нет.

Кстати, можно писать ΙΔ₀ (хоть и некрасиво, но больше похоже), а не "IDelta_0". Книжка Фридмана, кстати, типографически тоже ужасна. И в ней я не нашёл раздела: "зачем нужна Boolean Relation Theory".

Всякая эта недоказуемость полезна, как я понимаю, в основном при наличии общепринятой логической теории/теории множеств. А иначе эти результаты неинтересны совсем. Или чего я не понял?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

До BRT было три математических (не синтаксических) примера недоказуемых утверждений: Парис-Харрингтон, теорема Крускала и теорема о минорах графов.

Гастрит конечно много знает, но ошибается, утверждая, что недоказуемых утверждений полно. Не найти их так просто, из-за того, что вся низшая математика арифметизируется и доказывается уже в примитивно рекурсивной арифметике. А интересных (=недоказуемых) утверждений только три штуки плюс BRT.

Да, математики занимаются нахождением "верных" утверждений (и их отрицаний). Меня истинные утверждения (и их отрицания) не очень интересуют. Я ищу утверждения, которые ни истинные ни ложные, и не про труляляшек, а про натуральные числа (осмысленные утверждения в конечной комбинаторике).

В начале мая кстати буду своих детей учить конструктивной математике (но в детской форме: что-то из книжки Мартин-Лёфа, а что-то из воспоминаний детства: последовательность Шпеккера, квадрат Оревкова).

ppkk: Про ZFC надо понять две вещи:

1. почему ZFC - это теория множеств, (а не правда)
2. почему ZFC - это не теория множеств (а труляляшки)

Друг другу даже на конечной арифметике противоречащие теории труляляшек ни к "правде" отношения не имеют ни "каноническими аксиоматизациями" теории множеств не являются.

Раз разные теории друг другу противоречат во всем - почему бурбаковская лучше остальных?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

не то я написал. Не в "лучше остальных" дело, а в "имеет отношение к правде".

Почему ты ее выбрал вместо одной из миллиона остальных, во всем противоречащих ей теорий труляляшек?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

С одной стороны — случайный пример, на основании личного знакомства.
Но если бы там был только первый том, то, наверное, ны выбрал бы: они же на этом построили дальнейшие труды, это у них сработало.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

То есть тут два очень разных вопроса.

1. Можно ли написать какие-то аксиомы, в которых знакомая математика легко сделается (формализуется)?

2. Можно ли выписать какие-то аксиомы, которые помогут нам заниматься математикой, например отвечать на наши сложные вопросы?

Ответ на первый вопрос известен за много лет до Бурбаков.

В качестве ответа на второй вопрос бурбаковская система не подойдет, ибо слаба и беспомощна.

Нужны более сильные системы, но они все друг дружке противоречат. Какую из них выбрать?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Ответ на первый вопрос известен за много лет до Бурбаков.
По-моему, до Бурбаков не ответ известен, а святая вера в знание ответа была у некоторых. Их труд — типа проверки этого метаматематического (в смысле Гильберта) тезиса, который, к тому же, так себе: тяжеловато получилось для народа.

В качестве ответа на второй вопрос бурбаковская система не подойдет, ибо слаба и беспомощна.
Нужны более сильные системы, но они все друг дружке противоречат. Какую из них выбрать?
Теорема-то Гёделя, которую якобы Бурбаки не учитывали, предполагаю, и сподвигла их на ограничение себя ЦФ (и то: из-за аксиомы выбора сколько разговоров).

И почему более сильные системы нужны? Или есть системы, где как-то механически недоказуемость определяется, непротиворечивость которых, так сказать, на том же уровне неопределённости, что и непротиворечивость ЦФ?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Определение 1.

Арифметическая сила теории (arithmetical strength) - это множество арифметических утверждений, доказуемых в данной теории.
Теории образуют частично упорядоченное множество по включению, по своей силе.

Определение 2.

Пи_1-сила (Pi_1 strength) теории - это множество арифметических утверждений с одним квантором всеобщности, доказуемых в этой теории.
Теории образуют частично упорядоченное множество по включению по своей Пи_1 силе.

Определение 3/

Consistency strength (количество силы). Для теорийй Т_1 и Т_2, скажем Т_1 < Т_2 если Т_2 доказывает непротиворечивость Т_1.

Математики задают много осмысленных вопросов. Сейчас, после Арифметизации, оказывается, что практически все их вопросы можно или сформулировать или приблизить на языке арифметики первого порядка, то есть это осмысленные утверждения, без сепулек.

Некоторые из этих утверждений содержат силу (в каком-нибудь из трех определений), некоторые - пустышки, не содержат никакой силы.
Каждое арифметическое утверждение попадает в какую-то лунку: некоторые теории его доказывают, некоторые - опровергают, некоторые целиком из него следуют и т.д.

Разноголосица разных теорий, сильных, слабых, всяких, и всех друг с дружкой не соглашающихся - основое открытие логики в 20 веке. Когда-то математики верили, что (осмысленные, арифметические) утверждения делятся на "истинные" и "ложные". Теперь всё по-другому....

Это был мой ответ на твой вопрос "зачем нужны сильные теории?" Чтобы отвечать на арифметические вопросы! И ответ будет не "да" или "нет", а взвесь разных ответов разных теорий.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Андрей, замечательное место, где ты находишься, считает мой ответ спамом. Сделай с этим что-нибудь.

Текст был таким:
> Esche tebe napisal.
Я потихоньку читаю, потом разом отвечу по ощущениям.

> Разноголосица разных теорий, силньных, слабых, всяких, и всех друг с дружкой не соглашающихся -
> основое открытие логики в 20 веке. Когда-то математики верили, что (осмысленные, арифметические)
> утверждения делятся на "истинные" и "ложные". Теперь всё по-другому....
>
> Это был мой ответ на твой вопрос "зачем нужны сильные теории?" Чтобы отвечать на арифметические
> вопросы! И ответ будет не "да" или "нет", а взвесь разных ответов разных теорий.

И скоро ли слово "сепульки" будет ассоциироваться не только с нелюбимыми множествами, но и с натуральными числами? (Или проблема и в том, что они бывают вплетены в основу логических рассуждений вообще? Помню, меня это очень поразило и расстроило, когда я изучал логику... на философии в аспирантуре.)

Я пока не понял, чем это дискредитирует Бурбаков: все теории не описать, они взяли что-то (достаточно сильное) и построили в ней. Почему бы теперь не построить такое в других, не сравнить, так сказать, полномасштабно?

Математике как особому виду деятельности по построению моделей для применения в науках, конечно, должно быть плевать на конкретную основу, лишь бы минимизировать риск совсем несуразных внутренних противоречий. И в этом сильные теории ведь не помогают больше чем почти вековая ЦФ, или как?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

--- сепульки, "множества" и труляляшки не вплетены естественным способом в человеческие рассуждения. Это придуманные штуки, которые, впрочем, имеют свои мнения по разным осмысленным арифметическим вопросам.

--- Нет, если ты о том, что Бурбаки сели и записали как какие-то теоремы следуют из каких-то аксиом, то я с тобой согласен - молодцы. Не первые, не вторые, но основательно постарались. Критикуют их за то КАК они это сделали (например статья Матиаса про количество символов, участвующих в ИХ опеделении числа 1) и за то, во что они при этом публично верили (верварские примитивные верования: Солнце ходит кругами над землей, а земля плоская и т. п.).

--- я не согласен, что математика лишь строит модели в науках. Математика отвечает на всякие математические вопросы, например про простые числа. На "большинство" вопросов невозможно ответить, используя PA или ATR_0, а у сильных теорий - разноголосица.

(Reply to this) (Parent)

> Когда-то математики верили, что (осмысленные, арифметические) утверждения
> делятся на "истинные" и "ложные". Теперь всё по-другому..

Бедненький глупенький Марков. Так ведь до самой смерти и полагал, дурачина, что конъюнкция замкнутых формул выражает истинность обеих членов (см. «Избранные труды», Т. 2, стр. 404), а замкнутая формула с квантором общности означает наличие общего метода, позволяющего устанавливать опять же истинность формул определённого вида (там же, стр. 404 и 413). И в лекциях своих, лопушара отсталый, писал, что наличие семантики позволяет квалифицировать одни формулы языка как верные, а другие — как ложные (там же, стр. 437).

Полный лох был, одним словом. То ли дело нынешнее поколение!

(Reply to this) (Parent)

Вообще-то принцип Парриса-Харрингтона доказывается, причём в одну строчку. Voilà:

Доказательство. Принцип Парриса-Харрингтона верен. Следовательно, принцип Парриса-Харрингтона верен.

Чем плохо? Тем, что не в PRA проведено? А кто Вам сказал, что выводы в PRA исчерпывают суть понятия «доказательство»? Или просто дело в том, что под "недоказуемость" гранты дают (т.к. слово звучит для неспециалиста заманчивой музыкой), а вот под "невыводимость в PRA" — уже нет (что-то узкоспециальное и неинтересное)? Где же, господа логики, ваша научная честность, без которой, Как Учил Нас Великий Фейнман, наука вырождается в карго-культ?

Стоп: а может, Вы как раз и есть служители карго-культа от логики? Так Вы ж признайтесь — мне можно, я Вашим грантодателям не расскажу. Честное пионерское :-)

> Не найти их так просто

Доказательство теоремы Гёделя состоит в предъявлении алгорифма, перерабатывающего любое $\Sigma_1$-полное семантически пригодное логическое исчисление в невыводимую вместе с отрицанием замкнутую $\Sigma_1$-формулу. Чего тут искать-то?

> Я ищу утверждения, которые ни истинные ни ложные

Опять "истинное" отождествлено с "выводимым в PRA"? Всё надеетесь, что самолёты с тушёнкой прилетят? :-)

> что-то из книжки Мартин-Лёфа

Да, великая книжка. Я о ней ещё ни одного положительного отзыва не слышал — в том числе от себя :-) Так что у Вас есть шанс стать тут Первым!

> что-то из воспоминаний детства: последовательность Шпеккера, квадрат Оревкова

...ленинградский принцип в качестве самостоятельной вещи (хотя он уж сорок почти лет как теорема)...

> в детской форме

В кои-то веки — честно :-)

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Не понял "доказательство". PH не является истинным утверждением.

Чем плоха последовательность Шпеккера - тоже не понял.

При чем здесь доказательство теоремы Гёделя? Я же писал, что не в нём дело. А замечание с алгоритмом я исключил, так как исключил синтаксические трюки (оставив лишь интересную содержательную математику).

Денег на мою науку никогда не давали. Я много лет был безработным, до недавнего времени. Не понимаю что за выпады!

Да, ленинградский принцип я не принимаю (недавно меня явным образом выявили): действительно я никогда не говорю про теорию "consistent".
Говорю только "not inconsistent".

Мне этот разговор надоел. Пожалуй, если содержательная часть закончилась, пойду обяснять детям как ZF+ (V=L) влечет существование деревьев Суслина.

Андрей

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Не понял "доказательство". PH не является истинным утверждением.

Но ведь, коль скоро оно независимо от формальной арифметики, его можно добавить к последней в качестве доп.аксиомы (и в полученном новом исчислении оно — являясь аксиомой — будет выводимо даже без всякой апелляции к истинности)?

> Чем плоха последовательность Шпеккера - тоже не понял.

Последовательность Шпеккера замечательна, как и сингулярные покрытия. Это книжка Мартин-Лёфа плоха (бессистемное скакание по верхам).

> интересную содержательную математику

Ну вот ppkk только что спрашивал, что же такого в PH и BRT содержательного (упоминание про "интересное" отклоняется как субъективное). Ответа я не пока не вижу.

> Не понимаю что за выпады!

Эти выпады вызваны тем, что Вы постоянно утверждаете, что PH и BRT нужны для конструктивной математики — но при этом старательно уходите от вопроса, для чего же именно они ей нужны (вместо этого идут попытки элементарного запугивания: "можно отстать"). Я вижу в таком положении вещей нарушение научной честности:

1) если новая теория для чего-то действительно нужна, то у неё в активе должны иметься решения каких-то не берущихся по-другому задач (или установление определённой точки зрения, упрощающей какой-то круг вопросов) — почему бы это всё не предъявить сомневающимся?
2) если же теория приложений не имеет, но просто кому-то интересна — так и надо сказать, вопросов тоже больше не будет.

Возможно, конечно, что это просто столкновение советского/западного научных стилей: на Западе, НЯМС, бездоказательная самореклама в порядке вещей уже не одно поколение (при грантовой системе иначе затопчут). Меня же она раздражает.

> Мне этот разговор надоел.

Не смею навязываться. Хотя жаль, конечно, что содержательных ответов на вопросы про Вашу тематику так и не поступило.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

кстати, вы иногда даже пишете нетривиальные вещи,
но при этом представляете из себя тошнотворного,
целиком состоящего из говна мудака.

(Reply to this) (Parent)

(Mizar упорно не качается.)

http://kgs.logic.at/goedel-fellowship/index.php?winners — деньги дают под "Independence results in concrete mathematics", а не за "недоказуемость". Вы неправы.

Но, боюсь, независимость имеется в виду именно от презренной ЦФ…

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Далась же Вам эта ZF. Насколько я видел, там независимость от формальной арифметики (независимость чего-то от ZF автоматически означала бы её непротиворечивость — на Филдса, думаю, потянет).

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Насколько я знаю, в русскоязычной литературе считается, что Коэн доказал "независимость гипотезы континуума от остальных аксиом аксиоматической теории Цермело-Френкеля". И интересно это 1) методом вынуждения 2) тем, что континуум-гипотеза важная (как проблема Гильберта, например). Разве все остальные доказательства независимости от ЦФ удостаивались Филдсовской медали? Что-то Вы мудрите.

Мне рекламировали как раз "утверждения о натуральных числах" зависящие от аксиом о больших кардиналах (со ссылкой на труд Фридмана; в статье Бовыкина "new" об аксиомах о больших кардиналах пишется только как об аналогии, кажется, хотя есть ссылка Friedman, H. (1998). Finite functions and the necessary use of large cardinals. Annals of Mathematics 148, pp. 803-893). Возможно, сам Андрей независимостью от ЦФ и не занимается.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

«Проблема непротиворечивости аксиоматической теории множеств — это своего рода "любимая мозоль" специалистов по данному вопросу. Её пытаются решить, но "добровольно" признаваться в том, что она пока ещё не решена, у них как-то не принято. Нередко даже у самых крупных специалистов можно встретиться с точными утверждениями, в которых она фактически фигурирует в качестве решённой (!) в положительном смысле. Это делается таким образом, что вместо верной импликации читателю в качестве верного преподносится её заключение, что, конечно же, в высшей степени курьёзно для математика». А.А.Марков, Н.М.Нагорный, «Теория алгорифмов», 2-е изд., 1996, стр. XVI.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent)

нет, там в двух местах две разные истории: одна про аналогии, а одна про недоказуемость в ZFC + кардиналы Мало.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Там как-то обзорно написано.

Another series of H. Friedman’s results under the general name of “boolean relation theory” can be found in [38]: if we list all (second-order) statements of a certain simple shape (all of them a priori equally simple and natural) and try to classify them according to their truth, some of them turn out to be unprovable in some theories stronger than ZF, e.g. the following statement from [38] is provably in ACA0 equivalent to 1-consistency of the theory ZFC+{there is an n-Mahlo cardinal}(n∈ω)

А ссылка на "Interpreting set theory in discrete mathematics" — я это тоже счёл чем-то типа аналогии.

(Reply to this) (Parent)

ppkk: Про ZFC надо понять две вещи:
1. почему ZFC - это теория множеств, (а не правда)
2. почему ZFC - это не теория множеств (а труляляшки)
Можно узнать, где я утверждал, что ЦФ — "правда"? И я что, мало раз утверждал, что не знаю никаких "реальных множеств", что ЦФ может оказаться неверной и т.п.? Прежде чем снисходительно предлагать мне что-то "понять", имеет смысл попытаться понять, что я утверждаю, а не писать мне обращения к какой-то убогой придуманной модели меня.

почему бурбаковская лучше остальных?
Потому что у них не только теория множеств. Потому что они не остановились на первом томе. Вот они в основном уже перестали книги печатать, пожалуйста: пишите с другой логической теорией/теорией множеств многотомник с основными достижениями современной математики. Только тогда у Бурбаков (если не будет принципиальных новых достоинств этих других теорий, сохраняющих выжные общепризнанные результаты и позволяющие получить новые) останется только старшинство.

А интересных (=недоказуемых) утверждений только три штуки плюс BRT.
То есть основные достижения логики — придумывать иллюстрации к теореме Гёделя о неполноте? А то, что Бурбаки на основе логической теории и теории множеств выписали немаловажную часть математики — разве не более серьёзное достижение в области логики?

> при наличии общепринятой логической теории/теории множеств.
Нет никакой "общепринятой логической теории". Многочисленные теории труляляшек и сепулек друг дружке противоречат (потенциально) даже на утверждениях о конечных множествах.
То есть до тебя наконец дошло, что для того, чтобы считать решением проблемы Уайтхеда результат Шелаха, нужно считать ЦФ общепринятой?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Петр,

я не говорил, что ты чего-то не понимаешь. Это просто был мой комментарий к последним трем месяцам ваших тут дискуссий. Все упрощается, если разделить ваш спор на два разных спора.

Я действительно утверждаю, что:

1. ZFC - это не теория множеств. Большинство математиков того времени отвергли ZFC (а принимали Канторовскую теорию множеств). И этому есть причина.
2. ZFC - это теория множеств (=труляляшек), в отличие от осмысленных утверждений.

Насчет твоего вопроса, просто ли я иллюстрирую теорему Гёделя. Да, но лишь в той же степени в которой обычные математики иллюстрируют 0=0.
Я думаю, что обычный математик удивится, если ты начнешь формулировать суть его занятий как "переформулирование 0=0". Суть не в этом.
Я интерестюсь ни истинными ни ложными утверждениями (или утверждениями "имеющими силу") в той же степени, в какой обычный математик интересуется истинными утверждениями.
(Главное - интересность и важность, новые математические явления. Понятно, само собой разумеется, что обычный математик должен доказать истинность своих теорем, но совсем не обязательно на этом концентрироваться...)

Нет, импликация Шелаха доказывается в примитивно рекурсивной арифметике. Его теорема говорит, что ZF+V=L верит в такй-то ответ на вопрос Уайтхеда...

Теперь про формализацию. Формализация математики началась с Фреге и закончилась книжкой Рассела и Уайтхеда. Нужны ли для этого труляляшки обсуждалось много десятилетий (с 1870х годов до 1920х годов). То, что после этого Бурбаки с малым числом ошибок по-дилетантски попробовали это повторить - хорошо. Но они сопроводили свои книги какими-то объяснениями, наивными и ошибочными. За это их и критикуют. А то что они из аксиом вывели какие-то теоремы (в большом количестве) - это никто не критикует. Это правда, и это и без Бурбаков было ясно.

(Но бурбаковские аксиомы не ответят мне на некоторые простейшие вопросы про натуральные числа.)

Важнейшим событием в основаниях математики в 20 веке была Арифметизация, проведенная Расселом-Уайтхедом, Гильбертом, Гёделем, Тюрингом, Марковым, Шаниным и некоторыми другими.

То, что Бурбакам на всё историю наплевать - еще одна причина не принимать их всерьез.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

ZFC — это не теория множеств… в отличие от осмысленных утверждений
Таки "реальные множества", что ли, которые сами по себе, как у Гастрита? Можно определённее?
В отличие от каких ещё "осмысленных утверждений"?!

Да, но лишь в той же степени в которой обычные математики иллюстрируют 0=0.
Всяк кулик своё болото хвалит. Разъяснишь (хотя бы ссылками), что такое по твоим понятиям "арифметизация пятой ступени", авось можно будет понять, в чём же дело. Не увлекайся моделированием "обычных математиков", кстати: их много разных, вряд ли тебе (или мне) так легко их обобщить.

Нет,… Его теорема говорит, что ZF+V=L верит в такй-то ответ на вопрос Уайтхеда…
Почему нет-то??

То, что после этого Бурбаки с малым числом ошибок по-дилетантски попробовали это повторить - хорошо.
Я большего о них и не утверждаю. Хотя форма, более доступная для рутинной компьютеризации была бы предпочтительнее, но они давно писали. Я вот не понимаю, где же что-то лучшее (gastrir ссылался по поводу компьютеризации, но у меня пока не скачалось, ещё буду заценивать).

некоторые простейшие вопросы про натуральные числа
Можно пример?

Важнейшим событием в основаниях математики в 20 веке была Арифметизация, проведенная Расселом-Уайтхедом, Гильбертом, Гёделем, Тюрингом, Марковым, Шаниным и некоторыми другими.

То, что Бурбакам на всё историю наплевать - еще одна причина не принимать их всерьез.
Ну, это как в архитектуре важнейшими называть нереализованные проекты, если я не ошибаюсь, а не построенные здания.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> В отличие от каких ещё "осмысленных утверждений"?!

---- Ну например арифметических. Хотя тема "осмысленности" - это тоже серьезный разговор, куски из которого знамениты (например разговор Рассела с Витгенштейном).


> Почему нет-то??

---- Потому что это просто импликация. Из таких-то аксиом следует такое-то знаменитое утверждение. Не нужно подписываться ни под одной из философий, чтобы понять и проверить эту импликацию. Компьютер может ее проверить.

> Я большего о них и не утверждаю. Хотя форма, более доступная для рутинной компьютеризации была бы предпочтительнее, но они давно писали.

---- Тогда я с тобой согласен.

> Ну, это как в архитектуре важнейшими называть нереализованные проекты, если я не ошибаюсь, а не построенные здания.

---- Ну почему нереализованные? Дедекинд-Пеано-Вейерштрасс свою волну арифметизации хорошо записали, Фреге-Уайтхед и Рассел хорошо записали, Чёрч, Гёдель и Тюринг арифметизацию языка и выводимости записали со всеми подробностями, четвертая волна (Марков, Клини, Шанин и т.д.) даже до матфизики и функционального анализа добралась, вся записана в подробностях. Сейчас идет пятая волна, с новыми идеями. Она не вся записана и из-за разных философий там разные мнения да и идеи еще не кристаллизовались. Я их знаю, но так просто не рассказать.

Андрей

(Reply to this) (Parent)

я ничего не говорил про всех математиков, кроме того, что они находят доказуемые утверждения (теоремы).

Нелепо утверждать, будто вместо смысла математики концентрируются на "доказуемости" или на "переформулировании 0=0".

Точно так же и я. Не только в недоказуемости дело, а в содержании.

(Reply to this) (Parent)

Еще одна мысль: ZFC не является и "неправдой".

У Бурбаков, отставших на 50 лет от оснований математики (есть такая наука) того времени, уж точно никакого старшинства.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Ага. Старшинство у Гильберта.

На 50 лет им сложно было отстать: за 50 лет до них теория множеств была, как я понимаю, ещё с канторовским определением множества, если не хуже.

От чего 50 лет отсчитываешь?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Отсчитывать можно от Кронекеровской критики теории множеств (1880?).

Можно от первых парадоксов (1895).

Можно от аргументов Пуанкаре (1900).

А можно действительно и от спора Гильберта и Брауэра (1910?).

В любом случае получается несколько десятилетий. После этого были следующие этапы: Рассел-Уайтхед, Программа Гильберта и т.д...
Может быть некоторые из Бурбаков еще не родились тогда...

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Они в 1935-м начали.

(Reply to this) (Parent)

> при наличии общепринятой логической теории/теории множеств.

Нет никакой "общепринятой логической теории". Многочисленные теории труляляшек и сепулек друг дружке противоречат (потенциально) даже на утверждениях о конечных множествах.

Есть впрочем Z_2 и АTR_0: образец "классической" (в отличие от "конструктивистской") истинности, но, как я понял, в этом форуме Z_2 и АТR_0 не жалуют. :)))

(Reply to this) (Parent)