tiphareth: двойственно по Пуанкаре пересечению многообразий

(Читать комментарии) - (Добавить комментарий)

kaledin
2018-06-08 21:53 (ссылка)

>это существенно упростит (а) определение произведения в сингулярных когомологиях

Нет. Попробуй, увидишь. Если бы была разумная формула, она действовала бы и над Z, поэтому видно, что ее нету.

Внятное определение shuffle map я знаю и человечество знает, я его даже один раз в статье записал, но тебе это не поможет, потому что оно хоть и без единого индекса, но весьма категорное.

>так что до DG уровня тут как до луны пешком

Я не имел в виду им этого рассказывать. Но по факту, ты делаешь именно это, и полезно понимать, чего здесь сделать просто нельзя.

>в Хатчере и там и там дикий пиздец и ужас

В Хатчере вообще везде дикий ужас. Но на самом деле, ты не можешь внятно рассказать когомологии, не обьясняя ничего про топологию вообще (надстройки там, вот это все). В частности, использовать де Рама в качестве определения когомологий это жуткие костыли, и концептуально криво (когомологии не имеют никакого отношения к гладкости). Бразильцам, которые вообще занимаются динамикой, так лучше, чем никак, но красоты на этом пути не обретешь.

В книжках Постникова в предисловии довольно разумно описано, какие тут проблемы и почему они нетривиальные (грубо говоря, клеточные когомологии легко считать, про сингулярные легко доказывать свойства, с умножением отдельная засада). Возможно, разумный эксперимент это начать с пучков (типа там, у пучка фунций нет когомологий потому что разбиение единицы, и т.д.) Пучок это штука абстрактная, зато его когомологии имеют внятный смысл как препятствия к тому и сему.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

tiphareth
2018-06-08 22:07 (ссылка)

>это существенно упростит (а) определение
>произведения в сингулярных когомологиях

Определение есть. Еслионо некоммутативно и неассоциативно
в ДГ-смысле, это никого ебать не должно, потому что все равно потом
ограничивается на когомологии. Мне нужно от него только то, что
оно равно произведению в когомологиях де Рама, а это как раз
просто доказать

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

kaledin
2018-06-08 22:20 (ссылка)

>Определение есть.

Оно и в сингулярных есть.

Для начала, произведение на чем?

>Если оно некоммутативно и неассоциативно в ДГ-смысле

то оно не коммутативно и не ассоциативно. Т.е. надо отдельно выписывать формулы, почему оно ассоциативно и коммутативно "с точностью до гомотопии". Это охрененно просветляющее занятие, ага.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

tiphareth
2018-06-08 23:32 (ссылка)

>Для начала, произведение на чем?

на кольце когомологий же

>Т.е. надо отдельно выписывать формулы, почему оно ассоциативно и коммутативно "с точностью до >гомотопии".

а нафиг? переопределить их через формулу Кюннета и пуллбак с диагонали и привет
все получается тривиально сразу же (но Кюннета надо доказывать, конечно)

>>Определение есть.
>Оно и в сингулярных есть.

Оно непонятное и я не в состоянии даже себе объяснить, что там (в Хатчере)
написано

индексы какие-то злоебучие

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

kaledin
2018-06-08 23:43 (ссылка)

>а нафиг? переопределить их через формулу Кюннета и пуллбак с диагонали и привет все получается тривиально сразу же (но Кюннета надо доказывать, конечно)

Кого переопределить? куда переопределить?

Тебе нужно умножение на комплексе (как без этого выписывать умножение в когомологиях, мне неведомо). Что за комплекс? -- какие члены, какой дифференциал?

Если есть симплициальное множество, то комплекс получается стандартным образом, причем в двух вариантах, можно обычный, можно нормализованный. Нормализаованный чуть лучше, т.к. дает эквивалентность категорий между симплициаьными абелевыми группами и комплексами, но это дело десятое, можно брать любой из двух. Если есть бисимиплициальное множество, то ему можно сопоставить либо произведение комплексов по каждому аргументу, либо ограничить его на диагональное \Delta и взять комплекс там. Отображение из одного в другое это как раз и есть shuffle map, а что оно квазиизоморфизм это теорема. Теорема нетривиальная, и хуже того, сильно завязанная на свойства \Delta -- если взять что-нибудь вместо \Delta, скорее всего нифига не выйдет.

>индексы какие-то злоебучие

Ну ты напиши формулу с кубами -- только правильную -- посмотри на нее, и убедись, что симплексы это только цветочки.

Для начала -- так какой все-таки комплекс?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

tiphareth
2018-06-08 23:52 (ссылка)

>Тебе нужно умножение на комплексе
>(как без этого выписывать умножение в когомологиях, мне неведомо).

А мне ведомо. Формула Кюннета утверждает, что
H^*(X\times X) = H^*(X)\otimes H^*(X).
Берем два класса когомологий \alpha, \beta,
получаем класс \alpha\otimes \beta \in H^*(X\times X)
ограничиваем его на диагональ и привет.

То, что это равно умножению в когомологиях де Рама,
даже совсем плохому студенту должно быть ясно.

>Для начала -- так какой все-таки комплекс?

А никаких комплексов, однако. Без комплексов!

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

kaledin
2018-06-08 23:58 (ссылка)

>А мне ведомо. Формула Кюннета утверждает, что H^*(X\times X) = H^*(X)\otimes H^*(X).

Формула Кюннета и умножение в когомологиях это одно и то же.

>А никаких комплексов, однако. Без комплексов!

Какая тебе тогда разница куб или симплекс?

Но я с удовольствием посмотрю на определение когомологий без комплексов (и потом на доказательство формулы Кюннета). Я положим знаю, как это делать, но тебе не понравится совсем.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	tiphareth 2018-06-09 00:00 (ссылка)
	>на определение когомологий без комплексов это-то зачем? конечно, когомологии комплекса (де рама) но умножение на комплексах определять не обязательно (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	kaledin 2018-06-09 00:02 (ссылка)
	>но умножение на комплексах определять не обязательно Формула Кюннета это и есть умножение, это тождественно одно и то же (плюс тривиальное замечание про ограничение на диагональ). (Ответить) (Уровень выше)

	kaledin 2018-06-09 00:03 (ссылка)
	>конечно, когомологии комплекса (де рама) Wonderful -- в чем твой вопрос тогда? зачем тебе сингулярные или какие еще коцепи? (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	tiphareth 2018-06-09 00:05 (ссылка)
	для образования студентов одним де Рамом обходиться неприлично как-то ну и над Z иногда приходится работать (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	kaledin 2018-06-09 00:07 (ссылка)
	Ок, тогда возвращаемся на круги своя. Ты спрашивал про "кубические коцепи". Какой комплекс, какой дифференциал? (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

tiphareth
2018-06-09 00:12 (ссылка)

я спрашивал, есть ли там какая-то засада
ты мне более-менее ответил, какая, для моих потребностей
таки никакой нет

однако странно, что ни Хатчер, ни Фукс-Фоменко их не используют,
многие вещи можно было бы изрядно упростить, если использовать и обычные
сингулярные, и кубические

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

kaledin
2018-06-09 00:18 (ссылка)

>для моих потребностей таки никакой нет

Для твоих потребностей там нет не только засады, а вообще ничего: ты пока что "кубические коцепи" даже не определил.

>многие вещи можно было бы изрядно упростить

Нельзя.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	tiphareth 2018-06-09 00:23 (ссылка)
	>ты пока что "кубические коцепи" даже не определил. а в чем проблема повторить тоже, что и для симплексов? дифференциал - сумма граней с присущей им ориентацией (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

kaledin
2018-06-09 00:36 (ссылка)

>дифференциал - сумма граней с присущей им ориентацией

А почему оно считает то, что надо?

Я сходу не помню, но в принципе не должно бы: потому что иначе у тебя был бы функториальный коммутативный ассоциативный квазиизоморфизм Кюннета, определенный над Z, а такого не бывает. Т.е. или компекс не то считает, или очевидное отображение Кюннета не квазиизоморфизм.

Что я точно знаю, это что если написать бар-комплекс для группы с кубами вместо симплексов, то -- хотя для абелевой группы так сделать можно -- ответ будет совершенно не тот.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

tiphareth
2018-06-09 00:41 (ссылка)

>>дифференциал - сумма граней с присущей им ориентацией

>А почему оно считает то, что надо?

Функториально, когомологии стягиваемого
пространства такие же, как у точки из-за
гомотопической эквивалентности, Майер-Виеторис налицо, то есть
тот же индуктивный аргумент, что и везде, дает изоморфизм (ко)гомологий
кубических и сингулярных (для пространств, допускающих
покрытие стягиваемыми, где все пересечения тоже стягиваемые)

мне кто-то говорил, что оно не работает, но я не вижу, где именно
аргумент может сломаться

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	kaledin 2018-06-09 00:42 (ссылка)
	>из-за гомотопической эквивалентности откуда? >Майер-Виеторис налицо откуда? (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	tiphareth 2018-06-09 00:46 (ссылка)
	когомологии стягиваемого пространства посчитать? простое упражнение, однако >>Майер-Виеторис налицо >откуда? http://verbit.ru/IMPA/TOP-2018/cohomology-06.pdf страница 11 (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

kaledin
2018-06-09 00:59 (ссылка)

>когомологии стягиваемого пространства посчитать? простое упражнение, однако

Вперед.

Тебе нужно, что C_*(M) \cong C_*(M \times I), где I -- отрезок. Мне очень интересно, как ты это будешь считать.

>http://verbit.ru/IMPA/TOP-2018/cohomology-06.pdf
>страница 11

Кошмар какой.

Но для многообразий может и прокатит, бог весть.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

tiphareth
2018-06-09 04:02 (ссылка)

Очень просто:
если есть семейство отображений
f_t:[0,1]\times X \arrow Y,
получаем оператор F из n-цепей на X
в n+1-цепи на Y, причем верно
d F + F d= f_0-f_1, так что
f_0-f_1 действует на когомологиях нулем.
Дальше применяем это к гомотопии из тождественного
в отображение в точку.

(Ответить) (Уровень выше)

grigori
2018-06-09 04:55 (ссылка)

щас, а почему оно на точке вычисляет то, что надо?

У точки есть один сингулярный 1-куб, его граница это ноль (разница концов, которые они одинаковы). Сингулярный 2-куб у точки тоже один, и его граница тоже ноль, потому что у квадрата четное число сторон. Получается класс в первых гомологиях точки!

видимо, надо факторизоваться по вырожденным кубам, чтобы оно нормально работало, а это точно повлечет много еботни

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	tiphareth 2018-06-09 05:22 (ссылка)
	ну значит, надо профакторизоваться, четам спасибо, занятно (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

kaledin
2018-06-09 12:44 (ссылка)

Да, надо факторизоваться, причем надо еще понять, какие вырожденные, и какие отображения между кубами ты вообще учитываешь. По-видимому у кубов надо упорядочить образующие векторы, и допускать вложения граней/проекции вдоль граней, которые совместимы с порядком. Дифференциал про этом получится сложнее, чем в симплексах, отображение Кюннета возможно проще (за знаки не поручусь). Противоречия с коммутативностью нет, т.к. из-за упорядочивания оно все равно некоммутативно.

В сухом остатке, в кубах сложнее дифференциал, больше комбинаторки, и надо нормализовать, в симплексах проще комбинаторика и дифференциал, можно не нормализовать, но сложнее отображение Кюннета. Конечно, более сложный дифференциал в кубах "имеет геометрический смысл", но отображение Кюннета в симплексах его тоже имеет, триангуляция произведения двух симплексов, невелика премудрость. Поэтому, по-видимому, кубы и не прижились.

(Ответить) (Уровень выше)

kaledin
2018-06-09 22:36 (ссылка)

Кстати, на всякий случай, про отображение Кюннета (т.е. триангуляцию произведения симплексов). Комбинаторика там очевидная, если воспринимать симлекс как мн-во точек на отрезке с суммой ноль. Ты кидаешь два таких множества на отрезок, и видишь, что есть один дискретный инвариант -- в таком порядке точки перетасуются. Это и есть симплексы старшей размерности в триангуляции.

(Ответить) (Уровень выше)

polytheme
2018-06-09 16:57 (ссылка)

а как вообще определяется отображение на грани ?

это же должно быть отображение канонического куба, а его можно вложить даже
не сходу посчитаешь сколькими способами в грань; точнее, 2^n * n! способами,
если я не обсчитался.

это вложение причем надо согласовать, чтобы d^2 = 0. или нет ?

на симплексе есть каноническое вложение упорядочением вершин.

спасибо, очень хороший комментарий, объясняющий, в частности, почему в Ф.-Ф.
написано, что ~"гомологии, наоборот, легко считать, но трудно определить
и доказать корректность".

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

grigori
2018-06-10 22:53 (ссылка)

ну это как раз несложно - вершины куба это последовательности из нулей и единиц, грань задаётся уравнением "i-тая координата = c", чтобы на неё ограничиться, надо зачеркнуть c, знак зависит от того, ноль это был или единица

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	polytheme 2018-06-10 22:58 (ссылка)
	а ну да. почему-то со стороны гомологий мне это казалось более загадочно (хотя действительно, наоборот, вложение грани есть добавление пропущенной координаты, с соотв. знаком) (Ответить) (Уровень выше)

	polytheme 2018-06-10 23:00 (ссылка)
	погоди, а четность координаты не надо добавить ? иначе ребро входит с одинаковым знаком от обеих граней, нет ? (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	grigori 2018-06-10 23:22 (ссылка)
	точняк, надо (Ответить) (Уровень выше)

	polytheme 2018-06-09 19:29 (ссылка)
	то есть они конечно гомотопные, но, наверное, d^2 = 0 с точностью до гомотопии не очень хорошо ? (Ответить) (Уровень выше)

grigori
2018-06-09 04:42 (ссылка)

есть же ацикличные модели (гугенхайма? или кого-то ещё), которые более-менее говорят, что можно чем угодно ацикличным вычислять когомологии, кубами в том числе.

Значит, Кюннет должен быть не изоморфизмом (что я сходу не вижу, почему, наверное, упорядочение вершин разное получается?)

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	grigori 2018-06-09 04:57 (ссылка)
	ой, они оказывается не ацикличные (Ответить) (Уровень выше)

	kaledin 2018-06-09 12:45 (ссылка)
	Ну да, упорядочивание вершин. Т.е. он квазиизоморфизм, если нормализовать (наверное), но несимметричный. (Ответить) (Уровень выше)

	ab7a 2018-06-09 06:11 (ссылка)
	Нужно отфакторизовать вырожденные кубы. Для симплексов и с вырожденными работает, а для кубов это важно. (Ответить) (Уровень выше)

tiphareth
2018-06-08 22:10 (ссылка)

>В частности, использовать де Рама в качестве определения когомологий это жуткие костыли

мне так проще было понимать
а что там есть еще и производная категория, особенно никому не нужно,
по крайней мере не первокурсникам

>Возможно, разумный эксперимент это начать с пучков

ну не на первом курсе же
граждане первый раз услышали от меня, что такое есть CP^n

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

kaledin
2018-06-08 22:18 (ссылка)

>а что там есть еще и производная категория

Слова не мальчика, но мужа. Уже почти на мехматском уровне.

Производная категория нахуй тут не нужна; а вот что когомологии определены для топ. пространств, а не для многообразий, это скрывать от себя и людей довольно глупо. В частности потому, что потом возникают всякие идиотское вопросы типа "как вычислить когомологии сферы".

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	kaledin 2018-06-08 22:24 (ссылка)
	>когомологии определены для топ. пространств Предотвращая вопросы: для букета окружностей, например. (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

tiphareth
2018-06-08 23:29 (ссылка)

>а вот что когомологии определены для топ. пространств,

зачем скрывать?
у меня была теорема де Рама об изоморфности де рамовских когомологий
и сингулярных, например

>потом возникают всякие идиотское вопросы типа "как вычислить когомологии сферы".

клеточных когомологий как раз не было, Хатчера им пересказывал М. Б. потому что,
и он до этого места в Хатчере толком не добрался

то есть определение клеточных гомологий было, а изоморфизма клеточных
и сингулярных не было, и не очень предполагается

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

kaledin
2018-06-08 23:46 (ссылка)

Базовое свойство гомологий --- чуть ли не определение, вообще-то --- это что они при надстройке сдвигаются на 1. Если у тебя это было, никакой проблемы с вычислением когомологий сферы в принципе быть не может, "индукция" состоит в том, что n раз сдвинуть на 1 это то же, что 1 раз сдвинуть на n, и когомологии де Рама для этого нафиг не нужны (и незачем доказывать тривиальный факт с помощью серьезной теоремы). Если не было, увы тебе.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	tiphareth 2018-06-08 23:54 (ссылка)
	я не уверен, что была надстройка вообще в любом случае, мне нужно было когомологии де Рама считать, а не сингулярные, которые мне не по нраву (Ответить) (Уровень выше)

	tiphareth 2018-06-08 23:55 (ссылка)
	>и незачем доказывать тривиальный факт с помощью серьезной теоремы какой серьезной теоремы? (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	kaledin 2018-06-08 23:59 (ссылка)
	Что когомологии де Рама вычисляются инвариантными формами. (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

tiphareth
2018-06-09 00:03 (ссылка)

слушай, это не "нетривиальная теорема" же,
а доказывается за 3 строчки

\claim
Let $M=G/H$ be a homogeneous space, with $G$ connected and compact.
Denote by $\Lambda^*(M)^G$ the space of $G$-invariant
differential forms. Then {\bf \red the natural morphism of complexes
\[
\begin{CD}
\Lambda^0(M)^G @>d>> \Lambda^1(M)^G @>d>> \Lambda^2(M)^G @>d>> ... \\
@V\iota VV @V\iota VV @V\iota VV \\
\Lambda^0(M) @>d>> \Lambda^1(M) @>d>> \Lambda^2(M) @>d>> ...
\end{CD}
\]
induces an isomorphism on cohomology.}

\proof
Consider the averaging map
$\eta \stackrel \Av \arrow \frac {\int_{g\in G} g^*(\eta) dg}{\Vol(G)}$
where the volume and the integral is
taken with respect to a $G$-invariant measure $dG$ on $G$.
Since $g^*$ commutes with the de Rham differential $d$,
the map $\Av$ also commutes with $d$.
Since $g^*(\eta)$ is cohomologous to $\eta$
as shown above, the form $\Av(\eta)$ is cohomologous to $\eta$.
Therefore, $\iota$ is invertible on cohomology:
$\iota \circ \Av =\Id, \Av\circ \iota=\Id$.
\endproof

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

kaledin
2018-06-09 00:06 (ссылка)

>Since $g^*(\eta)$ is cohomologous to $\eta$ as shown above, the form $\Av(\eta)$ is cohomologous to $\eta$.

В этом месте лажа. Причем очевидная -- например, усредни по конечной группе.

В случае связной компактной группы, до аргумента оно доводится, но он не особо тривиален.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

tiphareth
2018-06-09 00:09 (ссылка)

группа связная в условии

компактности не надо

демонстрирую предыдущий слайд
(который был нужен походу для того,
чтобы доказать лемму Пуанкаре)

\claim
Let $v$ be a vector field, and $\Lie_v:\; \Lambda^* M\arrow \Lambda^* M$
be the corresponding Lie derivative. Then {\bf \red $\Lie_v$
commutes with the de Rham differential, and acts
trivially on the de Rham cohomology.}

\proof
$\Lie_v=i_v d+di_v$ maps closed forms to exact. \endproof

\corollary
Let $V_t$, $t\in[a, b]$ be a flow of diffeomorphisms on a manifold $M$.
{\bf \red
Then the pullback map
$V_b^*$ acts on cohomology the same way as $V_a^*$.}

\proof
Since $(V_t^{-1})^*\frac {d V^*_t}{dt}(\eta)= \Lie_{X_t}(\eta)$,
this map it acts trivially on cohomology. Then
$V_b^*-V_a^*(\eta)=\int_{a}^b V^*_t\Lie_{X_t}(\eta)$ is exact for any closed $\eta$.
Therefore, $V_b^*(\eta)-V_a^*(\eta)$ is exact.
\endproof

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

kaledin
2018-06-09 00:15 (ссылка)

Замечательно; но это прокатит только для окружности, а у тебя целая многомерная группа. Для каждого конкретного g конечно g^*\alpha - \alpha = d\beta, но дальше надо эти \beta тоже усреднять по группе, а они неканонические, и от g зависят случайным образом. Т.е. тупо проинтегрировать их нельзя.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	tiphareth 2018-06-09 00:21 (ссылка)
	какая разница? класс когомологий один и тот же (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	kaledin 2018-06-09 00:38 (ссылка)
	Тебе нужно, что действие группы спускается до действия на когомологиях, причем такого, по которому можно усреднять (т.е. интегрировать). Первое ок, но второе ниоткуда не следует. (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

tiphareth
2018-06-09 00:44 (ссылка)

не понял, о чем ты

у меня есть действие группы на всех формах,
оно коммутирует с дифференциалом, и
индуцирует тождественное отображение на когомологиях

я беру форму, усредняю ее по компактной группе,
класс когомологий не меняется

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

kaledin
2018-06-09 00:51 (ссылка)

>не понял, о чем ты

Во-во -- ты даже не замечаешь.

>я беру форму, усредняю ее по компактной группе, класс когомологий не меняется

Откуда следует, что операция усреднения на когомологиях хорошо определена?

Разумеется, усреднение форм индуцирует какой-то эндоморфизм на когомологиях, но он уже никаким интегрированием по группе априори не задается, это надо доказывать (а точнее, надо доказывать, что интегрирование по группе на когомологиях вообще определено, т.е. что действие группы на них хотя бы измеримо). А если ты этого не доказал, то из того, что класс когомологий для каждого g тот же, совершенно не следует, что он тот же для усреднения.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

tiphareth
2018-06-09 01:27 (ссылка)

Это факт линейной алгебры.

Пусть группа G непрерывно
действует на топологическом векторном пространстве.
Тогда определена операция "усреднения по группе". Эта операция
перестановочна с любым G-инвариантым линейным отображением
(непрерывным). Сие есть стандартный факт теории интегрирования.

У нас есть отображение проекции замкнутых форм в когомологии.
Оно (как уже доказано) перестановочно с действием G,
где действие на когомологиях определяется как тривиальное. Значит,
усреднение коммутирует с взятием когомологий.

Конечно, если студент дорос, он в этот момент спросит,
какую мы рассматриваем топологию, но данная группа студентов не могла
(в прошлом году спросили). Ответ понятно какой, C^1, она даже банахова

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

kaledin
2018-06-09 01:52 (ссылка)

>Пусть группа G непрерывно действует на топологическом векторном пространстве.

Во-во. Ключевое слово "непрерывно". Почему например образ дифференциала замкнут, и т.д. Я вообще не уверен, что оно делается без гармонической теории.

И кстати, группа конечно должна быть компактная.

>Конечно, если студент дорос

или если он очень смелый, и не поддается на proof by intimidation.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

tiphareth
2018-06-09 03:56 (ссылка)

А зачем тебе нужно, что образ дифференциала замкнут?

>И кстати, группа конечно должна быть компактная.

Для усреднения? Само собой, у меня так и написано

> не поддается на proof by intimidation.

Да они, кажется, постоянно по группе усредняют
я специально спрашивал у разных групп студентов, все
вроде были хорошо знакомы (а вот с эрмитовым пространством
не все знакомы, такие чудеса образоватеъной системы)

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

kaledin
2018-06-09 12:47 (ссылка)

>А зачем тебе нужно, что образ дифференциала замкнут?

Чтобы отображение из коциклов в когомологии было непрерывно! А иначе почему оно коммутирует с усреднением, и почему действие на когомологиях непрерывно?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

tiphareth
2018-06-09 13:22 (ссылка)

>почему действие на когомологиях непрерывно

потому что оно там тривиально

>почему оно коммутирует с усреднением

потому что пусть a, b когомологичные формы,
a-b=dc, тогда Av(a)-Av(b) = d(Av c), так как
усреднение коммутирует с дифференциалом

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)