[Ниже философская графомания, ценящим время и мозги читать не рекомендуется.]

Есть такое понятие --- распределитель/бимодуль/профунктор/бифунктор..., вот: [1], [2].

Будем понимать это дело как категорию над стрелкой (то есть с функтором в стрелку), слой над 0 назовём областью, слой над 1 --- кообластью. Цилиндр функтора и коцилиндр функтора превращают функтор в распределитель.

Будем называть распределитель A \to B финальным справа, если для любого a \in A категория стрелок вида a \to b, где b \in B, связна. Цилиндры финальны справа, ясно дело.

Пусть C --- категория. Мы можем рассмотреть категорию диаграмм такого вида: объекты --- это функторы f : I \to C, а морфизмами из f : I \to C в g : J \to C являются пары из финального справа распределителя из I в J и продолжения функторов f и g на этот распределитель. Это типа расширение обычной категории диаграмм, в которой морфизмы --- это пары из функтора и естественного преобразования.

Так вот, вроде бы копределы функториальны по расширенной категории диаграмм в таком смысле.

О чём это? Да ни о чём. Прелюдия к
Адская спекуляция: все эти штуки с распределителями --- это очень слабое указание на то, что существует какая-то парадигма, следующая после категорной.
Чувство дискомфорта какое-то возникает, как когда ты видишь, что объект недостаточно симметричный, а поправить когерентно сходу не можешь. Должно же оно быть чем-то оправдано.

P. S. Присобачу до кучи малосвязанное (?), всё равно философия:
Две конструкции шифификации похожи на "конструкцию через предел копределов" (через сечения пространства ростков) и "конструкцию через копредел пределов" (конструкция по измельчающимся покрытиям). Ясно (?), что тут морфизм перестановки копределов и пределов присутствует, но формально его вроде нет.

[1]: https://ncatlab.org/joyalscatlab/show/Distributors+and+barrels
[2]: https://ncatlab.org/nlab/show/profunctor

Tags: math, неважное

Праздный вопрос: у вложения категории (малых) абелевых категорий в категорию (малых) категорий есть левый сопряжённый функтор?

Tags: math, неважное

Мелкое замечание про аддитивные категории
Сейчас будет короткий поток сознания.

Похоже, преаддитивная категория аддитивна тогда и только тогда, когда квадрат ассоциативности кодиагонали декартов.
Потому что, наверное, моноид в категории является группой тогда и только тогда, когда его квадрат ассоциативности декартов, смотри [1].
Предупреждение: это запросто может быть и неверным, я подробно не проверял.

Но условие декартовости квадрата ассоциативности кодиагонали имеет смысл и без требования преаддитивности. Интересно, в других контекстах оно где-нибудь встречалось?

[1] https://twitter.com/CihanPostsThms/status/1656363838713786385

Tags: math, неважное

Предаддитивные категории
Кажется, что предаддитивная категория в смысле раздела 1.3 статьи [1] --- это то же самое, что категория, в которой конечные произведения и копроизведения существуют и коммутируют друг с другом. Предупреждение: может это и неверно, я подробно не проверял.

С другой стороны, стандартный морфизм из коядра ядра в ядро коядра как-то смутно смахивает чисто по формулировке на морфизм перестановки пределов. Интересно, нет ли тут какой-то связи тоже.

[1]: https://arxiv.org/abs/2112.02155

Tags: math

Пустой предел
Пример пустого предела, несколько раз упоминавшийся на LJR, например, по ссылке [1], записан в The Stacks project, по ссылке [2]. А там ссылка на статью 1972 года некоего Уильяма Уотерхауса. Наверное, можно называть это "контрпример Уотерхауса", если хочется дать какое-то именное название.

[1] http://lj.rossia.org/users/tiphareth/1761692.html?thread=106418588#t106418588
[2] https://stacks.math.columbia.edu/tag/0AKK

Tags: math

Скомпилировал в один PDF записки лекций Д. Каледина по алгебраической геометрии отсюда:
https://homepage.mi-ras.ru/~kaledin/noc/index.html
Сделано для предполагаемого личного пользования в далёком-далёком будущем, но, наверное, если выложу, то вреда не будет.

TeX (XeLaTeX): https://files.catbox.moe/bp80g3.tex
PDF: https://files.catbox.moe/mkazp0.pdf

Tags: math

Лемма Адамара и лемма Морса
Читал самый начальный кусок лекций
https://old.mccme.ru/ium//s05/trivium.html
и возникли сомнения в доказательствах из лекции 3, скажем, в доказательстве предложения 1.4 почему $D(f - f') = 0$ на $W$.
Набросал альтернативное доказательство:
https://files.catbox.moe/4grju1.pdf
Возможно, выглядит громоздко, и, возможно, неверно, не знаю. Много пропусков. Как бы то ни было.

Tags: math

Сечения Дедекинда и кольцо Гротендика
Определим сечение Дедекинда как непустое собственное открытое замкнутое вправо подмножество \Q.
Сложение определим как поточечное сложение подмножеств, порядок --- через порядок на подмножествах.
Проведём, возможно, немного нетривиальную проверку, что у каждого сечения есть аддитивно обратное сечение.
Определим умножение неотрицательных сечений как поточечное умножение подмножеств.
Легко видеть, что неотрицательные сечения образуют полукольцо.
Теперь заметим, что кольцо Гротендика полукольца неотрицательных сечений можно отождествить с множеством всех сечений. Таким образом, умножение получается автоматически.
В итоге, по сути, нам нужно провести две проверки, одну --- в начале, другую --- в конце:
1. Наличие аддитивно обратных для всех сечений.
2. Наличие мультипликативно обратных для строго положительных сечений.

Если конечно, ничего не напутал, детали не проверял.

UPD. 2023-08-29 14.31 MSK
В общем-то это очередной бессодержательный пост, единственный смысл которого в том, что я чуть-чуть лучше разобрался в сечениях Дедекинда. Надо завязывать.

Tags: math

Уравнения Эйлера-Лагранжа
sometimes
>уравнения Эйлера-Лагранжа можно
>написать в бескоординатной форме, но они выглядят намного более громоздко
>(и обычно их никто в такой форме не видел)
Source: http://lj.rossia.org/users/tiphareth/2360412.html?thread=147152476#t147152476

sometimes
>Показательно, например, что даже уравнения Эйлера-Лагранжа (не говоря о теореме Нетер) нигде в монографиях не пишут инвариантно, все в координатах; в статьях инвариантную формулировку можно найти, и она довольно громоздка.
Source: http://lj.rossia.org/users/tiphareth/2360412.html?thread=147483740#t147483740

polytheme
>я повторяю, сам не смотрел - но из интересного там могло бы быть инвариантное изложение уравнений Лагранжа
Source: http://lj.rossia.org/users/polytheme/251035.html?thread=1132187#t1132187

Вообще никаких более-менее учебных текстов нет, где с этой "инвариантной формулировкой уравнений Эйлера-Лагранжа" можно ознакомиться?

Tags: math

Без применения алгебраической геометрии
В предисловии к книге <<Введение в теорию алгебр Ли и их представлений>> Хамфри/Хамфрис пишет:
<<Теорема сопряжённости для картановских подалгебр доказывается (следуя Уинтеру и Мостову) элементарными методами теории алгебр Ли без применения алгебраической геометрии.>>.
Но в лемме А из пункта 15.2 (<<Подалгебры Энгеля>>) по сути используется алгебраическая геометрия. Очень очень примитивная, конечно, но.
Это применение АГ похоже на применение АГ в дополнении к параграфу 23.

Tags: math

В статье TYCHONOFF’S THEOREM IN A CATEGORY (MARIA MANUEL CLEMENTINO AND WALTER THOLEN)
https://www.ams.org/journals/proc/1996-124-11/S0002-9939-96-03435-1/S0002-9939-96-03435-1.pdf
раздел 4 (Examples) пункт 3 написано:

>The Theorem shows that the fibred product of proper maps is proper. From this fact one derives immediately Frol´ık’s [8] generalization of Tychonoff’s Theorem, namely that the direct product of proper maps is proper.

Это ``one derives immediately'' как происходит?

Tags: math

Тензорное произведение
Написал текст про тензорное произведение.
https://files.catbox.moe/7j01xb.pdf (74.2 KB) (upd. 2023-02-24 15.22 MSK)

1. Ассоциативность --- это несколько нетривиальный факт. Кажется, в его доказательстве надо явно или неявно сослаться на сопряжённость с Hom.

2. Конструкция кольцевой структуры на тензорном произведении колец использует ассоциативность. Наверное, это стоит указывать явно, а не то я какое-то время думал, что формула (a \otimes b)(a' \otimes b') = (aa') \otimes (bb') типа что-то там определяет.

3. Можно определить тензорное произведение с коэффициентами не предполагая линейной упорядоченности индексирующего множества.

4. Точную последовательность, выражающую точность тензорного произведения справа, можно немножко обобщить. Чёрт его знает, даёт ли это что-то или нет.

Current Mood: sleepy
Tags: math

4-лемма и полудекартовы квадраты
Сначала общее (и чуть в сторону).

---------------------

В категории модулей над ассоциативным унитальным кольцом существует очевидная эквивалентность между категорией квадратов и категорией диаграмм, состоящих из короткой последовательности, снабжённой разложением среднего члена в прямую сумму, то есть бипроизведение.

(<<Короткая последовательность>> --- это просто пара компонуемых морфизмов.)

Типа квадрату A \to B, B \to D, A \to C, C \to D соответствует последовательность A \to B \oplus C \to D (плюс 4 стрелки из B \oplus C в и из B и С).

Квадрат антикоммутативен тогда и только тогда, когда соответствующая последовательность является комплексом.
Антикоммутативный квадрат декартов/кодекартов тогда и только тогда, когда соответствующий комплекс точен слева/справа соответственно.

Категория коммутативных квадратов, в свою очередь, изоморфна категории антикоммутативных, например, с помощью любого из изоморфизмов замены нечётного числа стрелок квадрата на аддитивно обратные.

При тривиальном разложении в прямую сумму условие коммутативности соответствующего квадрата совпадает с условием антикоммутативности, а наблюдение --- с определением ядра/коядра.

Если соответствующий коммутативному/антикоммутативному квадрату короткий комплекс точен в среднем члене, то квадрат называется полудекартовым. Квадрат, который и декартов, и кодекартов, называется бидекартовым.

---------------------

Конец копипасты, теперь, собственно, к теме.

Есть такая лемма --- 4-лемма, из гом. алгебры.

Пусть у нас есть морфизм из точной последовательности A \to B \to C \to D в точную последовательность A' \to B' \to C' \to D'. Пусть соответствующая компонента A \to A' сюръективна, а компонента D \to D' --- инъективна. Тогда индуцированное отображение из ядра B \to B' в ядро C \to C' сюръективно, а отображение из коядра B \to B' в коядро C \to C' инъективно.

Докажем.

Сначала переформулируем. Мы можем заменить A на образ A в B, A' на образ A' в B', D на образ C в D, D' на образ C' в D'. Тогда лемма переформулируется следующим образом.

Пусть A \to B, B \to D, A \to C, C \to D --- коммутативный квадрат. Скажем, морфизм A \to B нарисован горизонтально, A \to C --- вертикально. Если индуцированное отображение между ядрами горизонтальных морфизмов сюръективно, а между коядрами горизонтальных морфизмов --- инъективно, то индуцированные отображения между ядрами/коядрами вертикальных морфизмов тоже сюръективны/инъективны соответственно.

Переведём на язык короткого комплекса A \to B \oplus C \to D.
Условие сюръективности отображения между ядрами переводится так: циклы вида (0,c) (в B \oplus C) являются границами.
Условие инъективности отображения между коядрами переводится так: для любого цикла (b,c) существует граница вида (b,c').
Эти условия очевидным образом эквивалентны полудекартовости квадрата (точности комплекса в B \oplus C), а это условие, очевидно, симметрично относительно отражения квадрата вдоль диагонали AD.

Надеюсь, что ничего не напутал.

---

PDF: https://files.catbox.moe/nftklr.pdf (upd. 2023-02-15 15.28 MSK)

Tags: math

Присоединённая матрица
Мелкое замечание.

Для квадратной матрицы X, индексированной конечным множеством I, определим присоединённую матрицу следующим образом.
В позиции (i,j) у неё стоит сумма по всем перестановкам \sigma множества I, переводящим j в i, помноженных на знак \sigma произведений по k \in I \setminus \{j\} элементов X_{k,\sigma(k)}. (upd. 2023-02-03 17.35 MSK)
Так очевидно, что она на зависит от линейного порядка на I.

Просто <<миноры>>, <<вычеркнуть строки/столбцы>> --- это нечто непонятное. Априори между I \setminus \{i\} и I \setminus \{j\} нет никакой выделенной биекции.

Конечно, есть инвариантное определение оператора, присоединённого к данному оператору x: V \to V: это оператор, сопряжённый к (n-1)-ой внешней степени x относительно спаривания 1-ой и (n-1)-ой внешней степеней V со значениями в n-ой внешней степени V, где n --- это размерность V (которое свободно и конечномерно).

Tags: math

Фильтрованные копределы коммутируют с конечными пределами
Если у нас есть функтор из J^o \times I в множества, то его можно представить категорией над стрелкой 0 \to 1: слой над 0 изоморфен J, слой над 1 изоморфен I, а соответствующие множества морфизмов изоморфны нашему функтору в множества.
Переформулировал доказательство коммутирования фильтрованных копределов и конечных пределов из книги Маклейна по категориям в терминах этой геометрической картинки. А то оно там какое-то набросочное.
https://files.catbox.moe/3s0qan.pdf (upd. 2023-01-28 15.43 MSK)

Tags: math

Конфигурация Дезарга
Конфигурация Дезарга с выделенными двумя взаимно вписанными пятиугольниками.

Tags: math

Китайская теорема об остатках
Китайская теорема об остатках в форме
R / \prod_i I_i \cong \prod_i R / I_i,
кажется, верна и для некоммутативных колец,
только нужно взять симметрическое произведение
идеалов (сумма произведений по всем перестановкам):
если в произведении
\prod_{i \neq j} (I_i + I_j) = R
раскрыть скобки, то каждый моном не будет
включать максимум один из I_i (моном не может
не включать I_i и I_j, так как нам нужно
забрать что-то из скобки (I_i + I_j)),
откуда получаем:
\bigcap_i I_i
=
(\bigcap_i I_i) \times \prod_{i \neq j} (I_i + I_j)
\subset
\prod^{sym}_i I_i
\subset
\bigcap_i I_i.

Tags: math

Бирасслоения над стрелкой и сопряжённые функторы
Утверждение.
Бирасслоение над стрелкой $0 \to 1$ с выбранным пуллбэком и пушфорвардом --- это то же самое, что пара сопряжённых функторов. Стрелка из объекта над нулём в объект над единицей может быть пропущена через пушфорвард своей области или через пуллбэк своей кообласти, что задаёт биекцию сопряжения.

Подробно. Две категории, между которыми сопряжённая пара --- это слой над $0$ (обозначим $C_0$) и слой над $1$ (обозначим $C_1$), а пара функторов --- это выбранные "пуллбэк" и "пушфорвард" бирасслоения (т.е. функтора, который одновременно является и расслоением, и корасслоением Гротендика). Обозначим первый $G : C_1 \to C_0$, второй --- $F : C_0 \to C_1$. Естественная биекция сопряжения задаётся так: связанная со стрелкой $f: F(x) \to y$ из $C_1$ стрелка $x \to F(x) \to y$ (композиция стрелки, соответствующей $F$, и $f$) однозначно разлагается как $x \to G(y) \to y$, где вторая стрелка --- это стрелка, соответствующая $G$, а первая стрелка --- это некая стрелка $g$ из $C_0$, которая и сопоставляется $f$.

И наоборот, по паре сопряжённых функторов $F : C_0 \to C_1$ и $G : C_1 \to C_0$ можно построить бирасслоение над стрелкой, определив стрелки из $x \in C_0$ в $y \in C_1$ как пары стрелок $(f : F(x) \ to y, g : x \to G(y))$, связанных биекцией сопряжения.

Должно быть, стандартный факт (если верно).

Tags: math

Топология на метрическом пространстве
Захотелось пографоманить на Новый Год.

На мой взгляд, c помощью следующей теоремы-определения и следует определять топологию на метрическом пространстве, потому что простая декларация открытых шаров открытыми --- это ad hoc.

\begin{theorem}
Стандартная (порождённая открытыми шарами) топология на метрическом пространстве --- это универсальная (слабейшая) топология, при которой расстояние непрерывно.
То есть, если $m: M \times M \to \R$ --- метрика, то существует универсальная (грубейшая) топология на $M$, при которой $m$ непрерывно.
\end{theorem}

\begin{proof}
Пусть на $M$ зафиксирована топология, для которой $m : M \times M \to \R$ непрерывно. Для каждого $x \in M$ у нас есть непрерывное сквозное отображение $M \leftrightarrow \{x\} \times M \subset M \times M \to \R$, где первая стрелка — естественный гомеоморфизм $M \ni y \leftrightarrow (x,y) \in \{x\} \times M$, а последняя стрелка — $m$. Относительно этого отображения <<открытые шары>> в $M$ с центром в $x$ радиуса $r$ являются прообразами открытых множеств $(-\infty, r) \subset \R$, следовательно, они открыты. С другой стороны, если мы возьмём на $M$ топологию, порождённую открытыми шарами, то $m$ будет непрерывно (стандартно).
\end{proof}

Tags: math

Strongly cartesian morphism
Пусть у нас есть функтор $F : C \to I$. Мы можем построить его цилиндр $\mathrm{Cyl}(F)$.

Это когда мы добавляем в $C \sqcup I$ для каждого $c \in C$ по формальной стрелке $F_c : c \to F(c)$ так, чтобы для каждой стрелки $f : c' \to c$ из $C$ квадрат из стрелок $f$, $F(f)$, $F_c$ и $F_{c'}$ был коммутативен. То есть реализуем функтор в виде естественного преобразования, так сказать.

Точнее, $\mathrm{Cyl}(F)$ --- это категория, множество объектов которой --- это дизъюнктное объединение множеств объектов $C$ и $I$, стрелки между объектами из $C$ такие же, как в $C$, то же и для $I$, а стрелки из $x \in C \subset \mathrm{Cyl}(F)$ в $y \in I \subset \mathrm{Cyl}(F)$ биективны стрелкам $F(x) \to y$ в $I$ (морально это формальные композиции $x \to F(x) \to y$, где первая стрелка --- это $F_x$). Композиция определяется очевидным образом, учитывая, что мы хотим коммутативность наших квадратов. Ассоциативность проверяется легко, всё имеет смысл.


Так вот, пусть у нас есть функтор $F : C \to I$ и морфизм $f : c' \to c$ из $C$. Морфизм $f$ называется strongly cartesian morphism, если (коммутативный) квадрат из $f$, $F(f)$, $F_c$ и $F_{c'}$ является пуллбэком в $\mathrm{Cyl}(F)$.

(Правильно?)

Tags: math