зачем ты умер, иван

Да что там топология, на первом курсе никак не мог въехать в формальное определение предела, с "для любого эпсилон больше нуля, существует такое дельта больше нуля..." пока не взял в руки карандаш и это самое определение не "всосал" рисуя непрерывные кривые на листочке, с проекцией на оси в некоторых отрезках кривой.

интересный вопрос. я бы, наверное, начал с обратного образа расслоений

физикам!

надо же, про 163 мне недавно в разговоре в общих чертах обмолвились. это что, известный сюжет? (глянув в википедию) и рассказать это без бумажки не берусь. там какое-то разложение.

теория полей классов вообще интересная наука (хотя сразу оговорюсь, что я сварщик ненастоящий).

я недавно узнал про теорему Кронекера-Вебера, что любое расширение рациональных цисел с циклической группой Галуа есть подрасширение циклотомического. кайф же! в случае Q утверждение элементарное, но доказательство следует из теории полей классов (хотя вроде бы пытались писать элементарные доказательства). как я понял, для произвольного числового поля таких хороших ответов нет, и чтобы понимать его абелевы расширения и нужно изучать теорию полей классов.

> построить числовое поле с группой Z/2Z+Z/2Z и вложить его в круговое

в смысле? ну какое-нибудь Q(\sqrt{-2},\sqrt{-3}), подполе Q(\mu_12).

> квадрат суммы его имени есть простое число

подозреваю, что это-то по-научному и доказывается через какие-нибудь когомологии и ту самую теорию полей классов. а зная это, остальное доказать уже просто, да.

книжку Л. уже достал с либололо, спасибо за наводку

кстати, это было в рамках более амбициозного проекта — объяснить, что такое «плоский спуск». начал я со слов «там всё элементарно».

бля, квазиизоморфизм и представимый функтор понятия куда более интуитивные, чем квадратичные экзотические поля! в них есть много геометрической и механической интуиции. а почему именно 163, а не 164 заебешься объяснять! я во всяком случае не понимаю.

почему e^{\pi\sqrt{163}} такое целое

а почему кстати?
всмысле как это с расслоениями связано?

теорема Вебера выглядит как-то волшебно, особенно, что j(x) цело, хотя я конечно ничего не знаю про теоретико-числовые свойства j-инварианта.

внезапно вопрос: а вы не знаете ничего про соответствие пучок-функция (correspondance faisceaux-fonctions) и как под ним преобразование фурье-делиня становится _настоящим_ преобразованием Фурье?

о, крут
спасибо
надо разбираться

Простите, но если Вы не можете передать интуицию, то у Вас ее нет.
Я к сожалению не знаю точно, что такое расслоеное произведение, но как физик могу попытаться объяснить интуицию:
вот у Вас есть прямое произведение, это когда к пространству, многообразию, whatever, вы мысленно приклеиваете другое, так, что одно от другого не зависит. к линии линию - получаем лист. к сфере луч - получаем трехмерное пространство без шара. вроде бы никаких подводных камней, если это можно изобразить. если нельзя, то уже сложнее.
Но! расслоеное произведение изобразить принципиально проще! у Вас что-то одно является базой, а что-то другое слоем. вы берете лист, рисуете на нем линию, все, что можно на листе потом спроектировать (закрасить кривыми линиями перпендикулярными данной, если хотим получить тривиальное расслоение) на эту линию - это и есть расслоение. линии перпендикулярные данной - это слои над элементом базы, образованы операцией обратной проектированию. вот когда на листе любая линия с заданной структурой, гладкостью, whatever, может быть дополнена такими проекциями до полного листа, при этом каждая проекция может считаться вторым членом в расслоеном произведении, и с ней можно произвести ту же операцию, подрисовав к ней слои типа нашей линии, - это произведение. то есть если X - наша линия, Y - вид слоев расслоения, то на листе так же существуют линии Y, у которых X - соответствующие слои. то есть X и Y равноправны. существует расслоение как с базой X, так и с базой Y.

вот пример, окружность помножить на отрезок. может ли это быть цилиндр? да, потому что если нет самопересечений, то что мы возьмем окружность и к ней пририсуем отрезки, что возьмем отрезок и прикремим к нему кольца - все равно получим цилиндр.
может ли это быть сфера? нет, потому что взяв произвольный отрезок или окружность мы не сможем его дополнить сюрьективно до сферы.

произведение окружности на окружность: может ли это быть тор? ага, ну вы поняли.
может ли это быть сфера? нет, ибо опять тор получается.

я к сожалению не специалист, поправьте, если где напортачил.

можно не рисовать картинки, можно просто активно жестикулировать и корчить рожи. тут никаких сложных рисунков, которые нельзя представить без бумаги, не упоминается.

поправка:
оно будет отлично проектироваться и в X , и в Y, и отображаться в A оно тоже будет,
конечно

> нахер это надо

то-то и оно. это типа как объяснять, для чего нужны существительные. слова такие, в речи используются

я думаю, существительные это одна из языковых универсалий.

эз вики путс ит, Another semantic definition of nouns is that they are prototypically referential.[10]
^ Croft, William. 1993. "A noun is a noun is a noun - or is it? Some reflections on the universality of semantics".

тогда это будут уже существительные )

..и да, а что, есть математика, в которой нет расслоённых произведений? аналогия плохая: математика только одна.

протестую, пересечение --- расслоенное произведение в категории множеств --- есть везде!

А, спасибо, я сначала хотел набросать схему объяснения расслоения, а потом выдумать, что такое расслоеное произведение.

Вот мне Ваше объяснение кажется понятным только тогда, когда я держу примеры в голове. И они же сразу дают мне объяснение, зачем оно надо. И почему универсальность, и почему нас интересует отображение произведения, а не само произведение (потому что это в принципе аналог того, как человек видит мир - он проецирует на сознание разные данные от разных органов чувств, и синхронизирует их, объединяет в мысленные паттерны).

Но вот если начать объяснение с формального определения, то можно полчаса объяснять, поправлять какие-то недопонимания, приводить дополнительные "а если убрать это слово, то уже не так, а вот так", но в итоге человеку потом придется думать над этим самостоятельно заново. Формальность хороша там, где важна краткость - в больших книжках - а в устном объяснении лучше сразу начать с примера. Вот мне например пришлось много раз перечитать, что Вы написали, чтобы понять о чем речь. Затем я наложил эту логику на примеры, и стало понятнее.

Зачем это нужно, объясняется так же: пример того, что было бы, если ситуация отличалась бы кардинальным способом. Затем можно сказать, что все то же самое справедливо для колец, например. Но тут опять нужен пример. И мне как стороннему наблюдателю (физику) приведение примеров будет всегда просто необходимо. Ибо я все же не буду без особой необходимости лезть за объяснением в книгу, в которой почти наверняка столкнусь с теми же трудностями - нужно разобрать много всяких формальностей, прежде чем тебе приведут пример. Вот в википедии совсем другие принципы объяснения, там простые понятия редко рассказываются формально, и все наглядно рассматривается на примерах. После этих объяснений любые "сложные" примеры и понятия уже не сложные.

всё-таки если обычный смертный может проверить, что 7|5^6-1, он может и посмотреть, что точке из множества должно соответствовать. я немного подумал, использовать ли жаргон, но решил, что тут он достаточно прозрачен. вообще весь этот комментарий - не попытка объяснить, что такое расслоенное произведение, а краткое уточнение понятий. в объяснение я бы включил рассказ о том, что такое функтор (на примере обратного образа дифференциальных форм), рассказ о том, что такое дифференциальная форма, что такое касательное и кокасательное пространство, что такое тензорное произведение, рассказал бы нормальное определение тензоров, кстати, что такое (векторное !) расслоение, ибо с практикой применения расслоений для конструирования пространств я не помню, чтобы сталкивался (нет, вру, помню, но это уж точно не то, что нужно рассказывать во вводном курсе), про гауссовы числа, круговые поля и теорию Галуа, про многообразия, кстати, пришлось бы рассказать, с упоминанием классификации двумерных многообразий (ибо получается не "опять тор", а бутылка Клейна), и ещё очень много чего с протягиванием связей и мостиков, показыванием, что всё это - одно и то же, и обязательным решением упражнений регулярными предложениями посмотреть, как чего устроено, своими руками - иначе картинка не заиграет.
хотя, конечно, я немного преувеличиваю, но такой подход действительно работает - недавно рассказывал знакомому квантовому оптику доказательство поризма Понселе через эллиптические кривые, и по модулю теоремы об униформизации, которую как доказывать я замял, мы в четыре часа велосипедной прогулки вполне уложились, при том, что я всё время следил, чтобы он сам считал эйлерову характеристику по собственноручно выведенной формуле Римана-Гурвица, доказывал, что отображение пространств индуцирует отображение универсальных накрытий, и объяснял мне, какие существуют аффинные автоморфизмы комлексной плоскости, сохраняющие действие решётки

И да, я на всякий случай развею миф о том, что для физика тензор - это некоторая свистопляска с расположением индексов. Все таки определение дифференциальной формы, (ко)касательного пространства, функтора - не то, что нельзя понять менее чем за час. Эллиптические кривые тоже косвенно или явно встречаются. С теорией Галуа и расширением полей/колец уже сложнее, но их понимание дает очевидные преимущества, так что заставить стороннего наблюдателя понять, что это, несложно. Эйлерова характеристика и формула Римана-Гурвица - вещи довольно наглядные на примерах, без особой необходимости выводить их не надо. Соответствие универсального накрытия и пространства - вещь жизненно важная, так что никто ничего против рассмотрения этих задач иметь не будет.

Поэтому я предполагаю, что интуиция - вещь универсальная, у всех одинаковая. Поэтому ее можно легко передать, в отличие от. Как я понял, когда говорим "зачем это нужно?", подразумеваем "зачем это нужно математику?". Там уже играют роль технические детали, связанные с решением конкретной проблемы (доказать непроверенные факты). Однако если я спрашиваю "зачем это нужно?", то подразумевается, что я могу где-то использовать эти понятия и факты. И уже я должен отвечать на этот вопрос, возможно вместе с Вами. Поэтому "зачем это нужно?" не так значительно в объяснении, если речь идет о том, что "это для того, чтобы лучше понять такую-то область математики". Интересно "здесь и сейчас". Если я спросил, значит действительно было нужно (я конечно не хочу, чтобы Вы тратили свое время на объяснение, просто на всякий случай). Поэтому, если возникло желание пояснить, а потом пропало, не стоит бросать затею только потому, что "зачем это нужно, все равно не сформулирую".

Приходят к знаниям все разным путем, конечно, однако в природе встречаются объекты, которые наглядно подходят для демонстрации того или иного свойства.
Если мы вспомнили про Фейнмана, то было бы хорошо поговорить о том, как формализовать передачу сигналов в микросхемах, архитектуре процессора, организации памяти и роли посетов в ней, но это вещь не такая универсальная, довольно-таки разнообразная и не очень удобная. Изучение Фейнманом микросхем повлияло на его идеи о фейнмановских диаграммах и интеграле. Сами по себе фейнмановские диаграммы и интеграл могут служить даже более удачным объектом для формализации, но в этом поле сломано не мало копий.

Рассмотрю-ка вот такой пример: нейронные сети. То, о чем Вы упомянули, наиболее близко реализуется в них. Как искусственная конструкция они слизаны с настоящих нейронных сетей. Каждая нейронная сеть состоит из более или менее одинаковых объектов - клеток - но со множеством свойств, которые делают их разными. Очень удобно для иллюстрации категории.

Нервная клетка - волосатая клетка со множеством отростков - дендритов - и одного большого - аксона. По ним осуществляется передача сигналов, аксон особенно длинный, и по нему сигнал идет особенно быстро за счет миелиновой оболочки. Дендриты и аксоны могут соединятся между собой, образуя сложную сеть: клетка может иметь десятки тысяч дендритов, счет самих клеток в человеческом мозге идет на многие миллиарды. В такой системе можно уже и экспериментально разглядеть переход от дискретного к непрерывному.

Но начнем с того, что уже на этом уровне абстракции там в общем-то практически отсутствует дискретизация сигналов. Сигнал - это изменение поляризации мембранной стенки нейрона и его отростков. Внутри и снаружи клетки содержится жидкость, содержащая разные концентрации ионов Na+, K+, Ca++ и тп. Разность концентраций внутри и снаружи клетки поддерживается тем, что стенка клетки имеет естественную поляризацию, потому что ее молекулы полярны. Свою полярность они могут каскадно менять, передавая таким образом сигнал. Перенос ионов через мембрану осуществляется по многочисленным каналам, сам перенос зовется насосом (например натрий-калиевый насос), но это все лишь частные случаи того, что там происходит. Основной процесс - это обмен нейромедиаторами - специальными веществами, которые активируют рецепторы - вид каналов, которые могут специализироваться на пропускании тех или иных ионов или молекул. В месте соединения дендритов и аксонов образуется синапс, в котором концентрация различных нейромедиаторов, их ингибиторов и активаторов особенно высока. Туда они доставляются изнутри клетки, где и производятся. Можно добавить их фармакологически.

Так вот мысль - это очень интересная штука, состоящая из вполне регистрируемых, зачастую дискретных сигналов, а именно возбуждений (отклонений от средней поляризации) отдельных участков мозга. Все вместе клетки по тем или иным причинам накапливают потенциал (положительный или отрицательный), распределяют его между друг другом по соединениям (сейчас можно предположить, что соединения фиксированные) и дифференцируют его по типу. В синапсах часто изменяется сигнал скачкообразно, что делает его вполне дискретным, как в АЦП. Этому предшествует накопление "информации" в клетке за счет изменения потенциалов соседей. Потенциал может быть не только электрический, напомню, но и в каком-то смысле химический - концентрация нейтральных молекул тоже может меняться.

Вся эта система в итоге может быть доведена до абстрактной нейронной сети (наверное это что-то вроде forgetful functor, поскольку система теряет многие свои специфические структуры))), в которой мы сохраним основные жизненно важные свойства. Если мы посчитаем мысль чем-то дискретным, то она будет иметь схожесть с обратным пределом - стрелочки сходятся в одном сложном возбуждении (которое само по себе какая-то прямая сумма объектов и связей между ними, да и вообще это просто диаграмма) через сложный поток процессов, который так же может быть абстрактно выражен во взаимодействии отдельных мыслей. Добавим обратную связь и возможность убирать возбуждения - получим рабочую модель памяти и мышления.

В принципе в реальном мире очень много объектов, к которым можно относится одновременно как к графам, так и к непрерывным структурам, где можно в полной мере реализовать девиртуализацию многих понятий. Тот же полупроводник будет устроен не менее удивительным образом, но при этом будет достаточно универсальным, чтобы все думали про него одинаково. Само по себе фундаментальное понятие типа времени всегда рассматривается физиками как отображение, но что интересно, сейчас много теорий, в которых пространство-время является emergent (эмергенция, тащемто), получается как совокупность многих "процессов" термодинамической природы, примерно, как я описал выше с нейронами - сначала какие-то отдельные молекулы куда-то идут, как-то поляризуются, а затем всей толпой формируют сложную структуру из непрерывных величин. Физикам знаком Виковский поворот (http://en.wikipedia.org/wiki/Wick_rotation), который переводит время в обратную температуру, но в формулах при этом ничего не меняется, кроме того, что мы пишем перед временем не корень второй степени из единицы, а корень четвертой. То есть одну пару стрелок на плоскости меняем на четверку других стрелок.

Во всех этих рассуждениях какой-то "лишний" тип умножения может оказаться полезным.

Эффект, который Вы упомянули, - возрастание частоты встречаемости слова "расслоеное произведение" - может быть объяснен как побочное явление того, что сия структура оказалась удобна во многих областях математики и вне ее пределов. То есть важность понятия определяется не частотой его встречаемости, что вторично, а заинтересованностью различных представителей фауны в нем, что первично. Первичным же по отношению к заинтересованности является факт обнаружения нового явления (будь то мысленное явление, как в математике, или реальное, как в естественной науке) и путей его описания.

я всё объясню и проясню, только меня расстраивает, что я разговариваю с анонимусом. не потому, что аноним кого-то хуже, а потому, что вы не получаете уведомления о комментариях, и разговор может в любой момент заглохнуть, а писать пол-экрана в пустоту обидно. заведите себе логин, пожалуйста, это очень просто

то есть опять: прямое произведение двух конечных полей - это какие-то точки на торе. расслоенное - хз

> а вот расслоеное произведение никак не помогает

Значит вам, наверное, оно и не нужно. Для математика такого вопроса не возникает — это часть языка, если ты не понимаешь выражение «расслоенное произведение», то не понимаешь чуть менее, чем все тексты по топологии/геометрии/итд Для вас, полагаю, мотивацию его понять составила бы какая-нибудь нужная статья, в которой это понятие используется.

да, зачем люди пытаются разобраться в непонятных им вещах — сама по себе вещь загадочная.

и как, вы остались довольны беседой?

всё же математика очень фокусируется на точности языка, и действительно может быть так, что нечто на первый взгляд непонятное есть вполне обыйденная вещь, но выбраная и отдельно поименованная для удобства, для точной передачи смысла. не обязательно все смыслы вам интересны. я это только преподалагаю, математика же огромна, и далеко не всё интересно физкам, более того, математикам зачастую неоткуда (или трудно) узнать, какие именно смыслы и в каком контексте физикам интересны.

> Я уверен, что все науки развивались взаимозависимо и кажущееся расхождение и специализация временны. Впрочем расхождения и специализации никогда и не было.

И да, и нет. Специализация необходима для развития вглубь, общение — для развития вширь )

В каждый данный момент существует огромное количество узкоспециальных результатов, которые скорее всего в исторической перспективе будут забыты. Остаются те результаты, которые легче всего рассказать и которые связаны с наибольшим количеством других областей.

> Узнать какие именно смыслы интересны легко - можно спросить. Или почитать, что пишут в википедии те самые физики.

Ну всё-таки ситация немного в другую сторону направлена: у меня спрашивают про расслоённое произведение, и я не могу спросить у вопрошающего (физика), в каком контексте оно может быть ему интересно, так как он ещё не знает, что это такое.

Виноват, я беру пример из циклической группы (точки на кольце), затем добавляю операцию умножения/деления. Конечно эти операции будут уже иметь не такой же смысл, как если бы я описывал все это как топологические пространства. Но пример с тором очень хороший: на нем можно явно отметить паттерны умножения (двигаться по разным точкам). Я не следил за строгостью, увы, поэтому просто оставил "все как есть". Тор здесь - как пример-визуализация общий для топологического пространства, для поля, ну и тензорное произведение колец на нем можно изобразить, если я не ошибаюсь.

Да я тут упустил много важных топологических деталей, которые в конечном счете повлияют на воображаемую фигуру, но я просто особо не задумывался об этом, когда писал этот комментарий.

Про расслоеные произведения мне сообщили, что для двух колец, как топологических пространств я получу бутылку Клейна. Это как я понял - случай над вещественным полем (прямой), да?

polytheme, конечно же

Спасибо! Ниже написал, почему было недоразумение.

upd.
да, извините, бес попутал комментарии. что бутылка Клейна - сама по себе расслоение - это понятно.

> есть аналог для множеств - пересечение

не только для множеств, в принципе, для топологических пространств тоже так. Имеется в виду вот что: если есть вложения X -> Z и Y -> Z, то X \times_Z Y естественно отождествляется с пересечением X и Y как подмножеств Z. Но это лишь частный случай расслоённого произведения.

Я имею в виду, что та структура, которая получается при наложении листов в стопку, вообще говоря не является желаемым расслоеным произведением, потому что стопку можно неудачно искривить и повернуть так, что потеряется форма базы. Нужно теперь на эту стопку посмотреть иначе (в данном случае сбоку и сформировать новую стопку по горизонтали вдоль базы): зафиксировать все-таки линию базы на листе, а все слои из предыдущего примера расслоения достроить до листов. Вот эти новые листы и будут нанизаны на веревочку, которая база нового объекта - расслоеного произведения. Если бы мы этого не сделали, то как раз бы вышло, что при произвольной манипуляции со стопкой из изначального примера мы бы в конце обнаружили переплетенные между собой листы, которые никакого отношения к желаемому не имеют.

Если я правильно все понял, то ответ на вопрос "зачем это нужно?" появляется сам собой: а представьте, что дереву нужно выбирать, куда расти, следуя правилам, которым подчиняется не само дерево, а отдельные его клетки. Вот если бы оно не знало, как отличить расслоеное произведение от прямого, то оно бы не знало, где верх и низ, и росло бы во все стороны. Более реальный пример: семечко этого дерева. Оно чувствует гравитационное поле (более ничего, допустим, не чувствует). Оно выбирает это направление как базу, а потом над общей базой строит слои - группы клеток, которые руководствуются своими сложными правилами для образования тех или иных структур (корней, ствола, коры, листьев и тп), поэтому они живут в крайне многомерном пространстве (правил). Но у этих правил общее одно - направление вверх для роста. На направление силы тяготения они проецируют свои расслоеные произведения (правил).

Определенный артикль указывает на то, что слово, к которому он относится, описывает уже известный читателю, собеседнику и прочим из текста или контекста предмет, или подчеркивает его единственность в своем роде, его определенность и конкретность. На русский он переводится как "этот, та", но в речи опускается, определенность обычно указывается интонацией и чередованием слов. Пример: "старый дурак", "дурак-то старый" = "an old fool" "the fool is old"