Войти в систему

Home
    - Создать дневник
    - Написать в дневник
       - Подробный режим

LJ.Rossia.org
    - Новости сайта
    - Общие настройки
    - Sitemap
    - Оплата
    - ljr-fif

Редактировать...
    - Настройки
    - Список друзей
    - Дневник
    - Картинки
    - Пароль
    - Вид дневника

Сообщества

Настроить S2

Помощь
    - Забыли пароль?
    - FAQ
    - Тех. поддержка



Пишет Misha Verbitsky ([info]tiphareth)
@ 2011-09-02 22:34:00
Previous Entry  Add to memories!  Tell a Friend!  Next Entry
Настроение: tired
Музыка:Revolutionary Army Of The Infant Jesus - THE GIFT OF TEARS
Entry tags:bl, hse, math

лекция по алгебраической геометрии
Кстати, сегодняшняя лекция по алгебраической
геометрии (в Вышке), и задачи к ней же
http://verbit.ru/MATH/AG-2011/ag-lecture-1.pdf
http://verbit.ru/MATH/AG-2011/ag-dz-1.pdf
Про теорему Гильберта о нулях и алгебраические множества.
Комментарии чрезвычайно приветствуются.

Происходит оно, кстати, по пятницам, в 12:00.

Все очень просто вроде, ну, хочется так думать.
То есть давал в лекции определение максимального идеала,
без дураков.

Также поздравил Богомолова на конференции имени его
докладом с цитатами из Богомолова:
http://bogomolov-lab.ru/DC-2011/talks/verbitsky.pdf

Две лекции в два дня подряд это оверкилл, конечно.
Но интересно же.

Привет


(Добавить комментарий)


(Анонимно)
2011-09-03 01:26 (ссылка)
Миша, не торопитесь пожалуйста с материалом лекциями. Рудаков желал перенести свою пару на другое время, надеюсь, что будет так. Овердрайф же выходит, если не перенесет. Еще и в соседней аудитории =( очень хочется уж вас послушать.

почему так мало времени на контроху домашнюю? в электроне на одинцово только решать и остается.

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2011-09-03 08:14 (ссылка)
>почему так мало времени на контроху домашнюю?

Это первое занятие потому что. Дальше будет по 3 недели на листок
и устная сдача.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]akapinus.livejournal.com
2011-09-03 02:32 (ссылка)
а будут полноценные записки лекций по типу теории меры?

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2011-09-04 02:24 (ссылка)
увы, в этот раз вряд ли
но будут листочки, серьезные такие

(Ответить) (Уровень выше)


[info]maxmornev
2011-09-03 03:07 (ссылка)
Красивое док-во Nullstellensatz! Никогда
такого не видел. Это не Ваше собственное
изобретение?

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2011-09-03 08:12 (ссылка)
Нет, это мне рассказали позавчера Городенцев и Финкельберг
они сослались на какого-то японца

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]mahalex
2011-09-03 14:25 (ссылка)
Ходят слухи, что основная идея этого доказательства принадлежит Амицуру, который вовсе даже не японец, а израильтянин. См. В. Доценко, Об одном доказательстве теоремы Гильберта о нулях. — Математическое Просвещение, 2002, сер. 3, вып. 6, с. 116-118

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2011-09-03 17:26 (ссылка)
я не расслышал, наверное

(Ответить) (Уровень выше)


(Анонимно)
2011-09-03 08:47 (ссылка)
Ага, я тоже никогда не видел доказательства (и формулировку) Nulstellensatz, в котором ни слова про то, что аннулятор бьёт из аффинных множеств в радикалы соответствующих идеалов.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]maxmornev
2011-09-03 22:26 (ссылка)
Зря вы так: это стандартная
терминология. Утверждение из лекций Миши
(точнее, очевидное следствие из него)
обычно называют weak nullstellensatz.
Как вывести из него ваше утверждение
(strong nullstellensatz), рассказывают в
любом учебнике комм. алгебры, называется
"трюк Рабиновича".

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2011-09-04 01:08 (ссылка)
в приципе да, в книжке Шафаревича именно в такой форме идёт теорема о нулях. То ли у Миши это в виде упражнения будет, то ли он позже собирается рассказать. мне почему-то именно в такой форме запомнилось.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]dmitri83
2011-09-08 22:10 (ссылка)
по-моему, главный факт, которому учит нульштелленсац, это то, что поле вычетов k' замкнутой точки схемы конечного типа максимального идеала конечно порождённой алгебры над полем k есть алгебраическое расширение k. то, что максимальный идеал определяет точку в афинном пространстве над полем вычетов --- факт тавтологический, прослеживается по определениям. нетривиально то, что поле вычетов алгебраично над полем определия.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]maxmornev
2011-09-08 23:24 (ссылка)
Безусловно. У Зарисского есть хорошая
древняя статья про это, в духе "по
модулю леммы Зарисского nullstellensatz
становится упражнением", странички на
четыре.

Вообще, л. Зарисского --- удивительно
красивый и простой факт. Странно, что ее
не открыли еще в XIX веке.

(Ответить) (Уровень выше)


(Анонимно)
2011-09-09 18:36 (ссылка)
>главный факт, которому учит нульштелленсац, это то, что поле вычетов k' максимального идеала конечно порождённой алгебры над полем k есть алгебраическое расширение k.

А это без Nulstellensatz разве не очевидно?

>есть алгебраическое расширение k

ничего не понял. вроде как, поле k предполагается алгебраически замкнутым, то есть никаких нетривиальных алгебраических расширений нет.

(Ответить) (Уровень выше)


(Анонимно)
2011-09-09 19:07 (ссылка)
нет, не очевидно, наверное.

то есть, в случае произвольного поля k(не а.з.)
важно, уметь показывать, что максимальный идеал соответствует точке, координаты которой и являются присоединяемыми элементами, алгебраическими над данным полем k. Это как раз делается в нульштеллензатц.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]maxmornev
2011-09-09 23:03 (ссылка)
Конечно, не очевидно. Вообще, содержание
nullstellensatz исчерпывается вашим
утверждением (т.н. лемма Зарисского) и
трюком Рабиновича.

Если интересно, взгляните на этот ответ
на MO. Лемма Зарисского там обозначается
corollary 9.1.2.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2011-09-10 00:23 (ссылка)
Почитал, спасибо.

Тот же автор на МО пишет (там же)

>None of these proofs uses Noether normalization.

Ага-ага. Как раз в книжке Ленга в доказательстве 9.1.1 используется расширение гомоморфизма с кольца A на кольцо B целых над A (Lang, глава VII, proposition 7.3.1, см. обсуждение перед ним) и в этом 7.3.1 стоит ссылка на proposition 7.1.10. Которое, по-моему, и есть то, что называется леммой Нётер о нормализации.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2011-09-10 01:05 (ссылка)
Как говорится, "обратно наврал". 7.1.1 это не лемма Нётер на самом деле, а теорема Коэна-Зайденберга о подъёме. Что-то как-то всё поперепуталось, да.

То есть, автор прав, наверное.

Хотя -- у Ленга в доказательстве 9.1.1 используется представление кон. расширения поля k как конечного алг. расширения
некоторого (конечного) чисто трансцендентного расширения поля k. Это очень похоже на содержание леммы Нётер о нормализации (которая формулируется в более общем случае).

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]maxmornev
2011-09-10 19:51 (ссылка)
> Хотя -- у Ленга в доказательстве 9.1.1
> используется представление кон.
> расширения поля k как конечного алг.
> расширения некоторого (конечного)
> чисто трансцендентного расширения поля
> k. Это очень похоже на содержание
> леммы Нётер о нормализации (которая
> формулируется в более общем случае).

Нет, фишка леммы Нетер в том, чтобы
подобрать такой базис трансцендентности,
над которым кольцо будет целым. В док-ве
9.1.1 Ленг использует произвольный базис
трансцендентности t_1,...,t_r, и для
того, чтобы получить целое расширение,
добавляет к базису эл-ты
\frac{1}{a_i(t)}, обратные к старшим
коэффициентам минимальных многочленов
эл-тов x_i.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]maxmornev
2011-09-10 02:24 (ссылка)
> Которое, по-моему, и есть то, что
> называется леммой Нётер о
> нормализации.

Нет, лемма Нетер, это утверждение о том,
что всякое аффинное многообразие
допускает конечное отображение на
аффинное пространство той же
размерности. А утв. 7.1.10 говорит всего
лишь о том, что при конечном отображении
(=целом расширении колец рег. ф-й) у
всякой точки (=простого идеала) базы
есть прообраз.

Нормализация Нетер у Ленга --- это
теорема 8.2.1.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2011-09-12 17:21 (ссылка)
>лемма Нетер

Нетера, кстати.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]maxmornev
2011-09-12 18:43 (ссылка)
Вот черт его знает. Википедия
утверждает, что лемму опубликовала Эмми
Нетер в 1926-м [1]. А ее отец к тому
времени уже умер.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]ende_neu
2011-09-03 09:10 (ссылка)
Лекция, стр. 2: в определении алгебраического отображения, видимо, должно быть "Пусть $A$, $A'$ - алгебраические множества", а не "Пусть $A$, $B$ - алгебраические множества".

Стр. 10: в выделенной красным части утверждения слово квазиаффинное написано с одной н.

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2011-09-03 17:28 (ссылка)
Спасибо!

(Ответить) (Уровень выше)


(Анонимно)
2011-09-03 21:48 (ссылка)
Миша, я Ваш коллега. В среду уже веду преобразования сигналов. Пожелайте мне успехов.

(Ответить) (Ветвь дискуссии)

What?
(Анонимно)
2011-09-05 02:34 (ссылка)
Щито? Преобразование сигналов? Съебывай отсюда, сраный технарь!

(Ответить) (Уровень выше)


(Анонимно)
2011-09-05 16:03 (ссылка)
Миша, я Ваш коллега. В среду уже веду девушку на свидание. Пожелайте мне успехов.

(Ответить) (Уровень выше)


(Анонимно)
2011-09-03 22:20 (ссылка)
Миша, я Ваш коллега. В среду уже веду преобразования сигналов. Пожелайте мне успехов.

(Ответить)


[info]avva.livejournal.com
2011-09-04 00:53 (ссылка)
Мелкие придирки...

"ЗАМЕЧАНИЕ: Легко видеть, что любая алгебраическая функция
комплексно дифференцируема (синонимы: голоморфна, комплексно-
аналитична).
УПРАЖНЕНИЕ: Постройте голоморфную функцию на C, которая не
алгебраична. Докажите ее неалгебраичность."

Вы не определили до этого алгебраическую функцию (только рациональную функцию и алгебраическое отображение).

"1. Докажите, что образ A^nD(f) в C^n задается уравнениями..."

в C^n+1.

"Шаг 5: Последовательность {a_i} из шага 3"

Из шага 4.

стр.13: "мы пишем S1 <=, если" пропущено x: "мы пишем S1 <= x, если"

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2011-09-04 02:23 (ссылка)
Большое спасибо!
Поправлю, ага

(Ответить) (Уровень выше)


[info]avva.livejournal.com
2011-09-04 02:24 (ссылка)
"Поскольку кольцо O_A порождено координатными мономами, оно
счетномерно как векторное пространство над C."

Возможно, я что-то упускаю, но это кажется неверным; поскольку O_A определено как кольцо рациональных функций, оно включает в себя в частности несчетное кол-во разных 1/(x-a). Вы нигде не вводите полиномиальное кольцо над A (C[x_1...x_n]/I(A)), но по-моему, именно оно требуется для этого док-ва (оно счетномерно, его делим на I, итд.). Я полный профан в этом и знаю только самый минимум базисных знаний, так что может говорю глупости, но так мне показалось.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2011-09-04 08:17 (ссылка)
да-да, именно так придется сделать
спасибо, ага

(Ответить) (Уровень выше)


[info]pet531
2011-09-04 01:38 (ссылка)
Можно вопрос по поводу шага 3 доказательства Nullstellensatz?

Там написано, что кольцо $O_A$ конечномерно над $\mathbb{C}$, т.к. порождено координатными мономами. Но ведь мы определяем $O_A$, как ограничения рациональных функций, а не многочленов. Как доказать, что это одно и то же? (я могу это сделать только используя Nullstellensatz для многочленов в $\mathbb{C}^n$).

Спасибо.

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2011-09-04 02:22 (ссылка)
Кстати, разумное замечание, спасибо
надо просто сразу доказывать ее для полиномов,
и не париться с регулярными функциями (в листочках я так и делаю).
Алгебраические множества и отображения следовало вводить позже
теоремы Гильберта о нулях, а не до.

Может, эту проблему можно как-то объехать, но я сходу не вижу, где

Такие дела
Миша

(Ответить) (Уровень выше)


[info]grigori
2011-09-04 17:32 (ссылка)
Кажется, что в задачах 1.5 и 1.6 надо ещё указать, что A связно.
Ну и в 1.2 пропущено слово "максимальный", я поначалу смутился.

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2011-09-05 13:06 (ссылка)
Ага! Спасибо.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]riki-koen.livejournal.com
2011-09-04 19:31 (ссылка)
На 14-й странице в первом определении: «замкнутое относительно сложение».

(Ответить)


(Анонимно)
2011-09-04 20:57 (ссылка)
>Про теорему Гильберта о нулях и алгебраические множества.
>Комментарии чрезвычайно приветствуются.

Комментарий такой:

| 0 L 0 0 0 |
| 0 L 0 L L |
| 0 0 0 0 0 | x HUYPIZDA = JIGURDA
| L L 0 L 0 |
| 0 0 0 L 0 |

Такие дела.

(Ответить)


[info]ulysses4ever
2011-09-04 22:40 (ссылка)
Спасибо за слайды и задачи!

Стр. 11, B_R = \{ x \in \mathbb C^n \mid |z| \leqslant R \} — или икс исправить на зед, или наоборот.

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


[info]ulysses4ever
2011-09-04 22:46 (ссылка)
Тире, вроде, везде правильные, а в «наблюдении» на стр. 12 — короткое (дефис).

(Ответить) (Уровень выше)


[info]ulysses4ever
2011-09-04 22:49 (ссылка)
Стр. 13, абзац 1, последняя птичка должна быть одинарной, а не двойной.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2011-09-05 13:09 (ссылка)
не, двойной вполне достаточно, кажется.
За остальные исправления спасибо - поправил!

Такие дела
Миша

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]ulysses4ever
2011-09-05 16:00 (ссылка)
Там же вроде двойные птички для сравнения множества и элемента, а одинарные птички для сравнения элементов. Последняя птичка в первом абзаце сравнивает два элемента чу-множества S: x и \xi — и потому должна быть одинарной, разве нет?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2011-09-05 19:22 (ссылка)
Не, двойные птички для больше или равно, одинарные - для строго больше

Такие дела
Миша

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]ulysses4ever
2011-09-05 19:26 (ссылка)
А, понял, спасибо.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]ulysses4ever
2011-09-04 23:47 (ссылка)
В задаче 1.10 последний \mathbb лишний.

(Ответить) (Уровень выше)


(Анонимно)
2011-09-05 00:27 (ссылка)
Миша, а вы вступитесь ТАМ за всех погибших за зря?

(Ответить)

посоветуйте учебник по линейной алгебре
[info]fotosadovod
2011-09-05 01:18 (ссылка)
гельфанд оказался сложным по изложению,т.е. для абсолютного новичка

(Ответить) (Ветвь дискуссии)

Re: посоветуйте учебник по линейной алгебре
[info]fotosadovod
2011-09-05 01:27 (ссылка)
для самостоятельного изучения

(Ответить) (Уровень выше)

Re: посоветуйте учебник по линейной алгебре
[info]agvares
2011-09-06 00:41 (ссылка)
винберг

(Ответить) (Уровень выше)


[info]ulysses4ever
2011-09-07 08:10 (ссылка)
Было бы удобно на каком-то из вышкинских сайтов публиковать файлы и сделать там страничку с ссылками.

(Ответить)


[info]dmitri83
2011-09-08 20:19 (ссылка)
> Дивизор в квазиаффинном многообразии есть множество нулей алгебраической функции

Скорее уж главный эффективный дивизор, и то не совсем (без учёта кратностей).

Вы ещё всюду обозначаете множество нулей D(f), хотя обычно так обозначают главные открытые множества. И называете регулярные функции алгебраическими (algebraic function это нечто другое, и не совсем даже и функция).

Это конечно nitpicking, но если бы я учился по этой записке, я бы запутался.

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


[info]dmitri83
2011-09-08 20:25 (ссылка)
s/ограниченна/ограничена/

(Ответить) (Уровень выше)


[info]tiphareth
2011-09-08 20:32 (ссылка)
спасибо, ага

(Ответить) (Уровень выше)


[info]tiphareth
2011-09-08 20:32 (ссылка)
я в канонической терминологии весьма слаб, всегда заново придумываю

(Ответить) (Уровень выше)


[info]oort
2011-09-15 22:03 (ссылка)
Миша, в задаче 1.2 требуется построить наверное _максимальный_ идеал, не являющийся I_x?

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2011-09-15 22:37 (ссылка)
само собой
сейчас поправлю

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]oort
2011-09-16 09:24 (ссылка)
а кто-нибудь посторил?
то есть неконструктивно доказать легко, а пример..
вчера сидели часа 2 вечером думали, поняли только что надо построить ультрафильтр множеств нулей функций на R (это объединения интервалов замкнутых и точек)
который задаст максимальный идеал (похоже вообще любой максимальный идеал так появляется).

но все ультраильтры которые приходят в голову не подходят.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2011-09-16 09:44 (ссылка)
да, как раз это почти все решили
а конструктивно построить нельзя

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]oort
2011-09-16 09:59 (ссылка)
а, понятно.
просто смущает слово "постройте"
то есть "некоторый максимальный идеал, содержащий идеал функций с компактным носителем, и который всегда существует вследствии леммы цорна" является ответом к задаче?

(Ответить) (Уровень выше)


[info]oort
2011-09-16 09:51 (ссылка)
>(это объединения интервалов замкнутых и точек)
и [a,\infty] [-\infty, a]

вот фильтр ко-компактных множеств хорош всем, кроме того, что не ультра. и найти бы тот ультрафильтр, в котором он содержится.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2011-09-16 09:59 (ссылка)
применить лемму Цорна?

(Ответить) (Уровень выше)


[info]tiphareth
2011-09-15 22:40 (ссылка)
поправил листок, однако
там было много ошибок

(Ответить) (Уровень выше)