В геометрии Евклида обнаружены противоречия?! Интересно — наверное, я многое в жизни пропустил.
…
Ведь непротиворечивость ZF, ЕМНИП — вопрос открытый.
Вижу более пристрастие, чем аргумент.

При чём тут ZF?
ЦФ — популярный вариант аксиоматики теории множеств. Более не при чём.

С точки зрения конца XX века.
Да. И только так. Употребляя слово сейчас, я имею в виду современное значение. См., например, мою готовность согласиться считать математику да философию науками (философию меньше: хоть и популярна такая точка зрения, но сам видел [по телевизору], как декан философского факультета МГУ разделял мои представления).

Например: бог совершенен (аксиома), несуществующий объект несовершенен (аксиома), следовательно, бог существует.
!!! Вижу серьёзную проблему: я не утверждаю, что, например, ЦФ абсолютно непогрешимы. Окажутся протеворечивыми — разберёмся. Все теоремы из ЦФ — это именно теоремы из ЦФ. И если ЦФ противоречива, то все утверждения верны и зря старались! Этот вариант не исключается!

А вот в вопросе существования бога обычно нет этой условности и вывод считается абсолютным, причём может и к действиям может приводить без долгих задержек. Потому что это не математика. А в математике: противоречива арифметика — ну и здорово!

>это использовалось для важных математических достижений и всё такое.
Важных? И где же всё это применяется?
В рамках математики — плевать мне на применения. Важность в математике гарантируется вхождением в "проблемы Гильберта".

Римские папы и без достижений очень важные, ссылки не требуются.

Важных достижений в богословии хватает: например, придумать отдавать еретиков светским властям, а светские власти наказывать по-церковному, если те еретиков не сжигают, "решая" "моральный" вопрос о причинении вреда христианами людям — важное достижение, которое имело применения.

Важность — неудачная категория.

> Чем он лучше, например, нестандартного?
Это несравнимые вещи
Так чего же хочется Вам: отсутствия "несчётных множеств" как "сепулек", или какого-то философского отсутствия более чем счётных множеств? Но счётность, по-моему,— почти та же "сепулька", только страшнее обычной, ибо менее условная.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> ЦФ — популярный вариант аксиоматики теории множеств.
> Более не при чём.

Ну так и зачем в разговоре о ZF вспоминать про вещественные числа, если связь этих чисел с ZF основана только на "популярности" последней? Вполне может оказаться, что среди шаманов Крайнего Севера "популярна" теория о сотворении мира Матерью-Моржихой — и что, факт реальности мира становится от этого доказательством реальности Матери-Моржихи?

> я не утверждаю, что, например, ЦФ абсолютно непогрешимы.

Вы утверждаете, что "теория множеств без аксиоматики не строится". Во-первых, это даже по факту не так (фамилия "Шанин" Вам, полагаю, известна?). Во-вторых, от содержательно понимаемых множеств Вы всё равно никуда не денетесь даже при суперформалистическом подходе: множество замкнутых формул языка ZF, выводимых в этой самой ZF, не станет в случае её противоречивости пустым оттого, что Вам удастся эту противоречивость доказать (как не стало пустым множество выводимых предложений "наивной" теории от заведомой возможности доказать оную пустоту "наивными" средствами). А потому одно из двух:

1) Или сама ZF является не "чисто аксиоматической" теорией, а отражает в некотором смысле реальные свойства реально существующих (в метаматематике, например) множеств. Тогда встаёт вопрос, каково же соотношение между этими реальными свойствами и постулатами ZF — ответа не видно.

2) Или ZF всё же является "чисто аксиоматической" теорией — но тогда она попросту подменяет изучение реальных свойств множеств (которые в метаматематике, повторяю, существуют объективно) бессмысленной шахматной игрой, а потому хуже чем бесполезна.

Какой из этих вариантов Вам кажется предпочтительным?

> А в математике: противоречива арифметика — ну и здорово!

Конечно, здорово: ЭВМ у меня неграмотная, логико-арифметическим языкам не обученная — так что в ответ на вопрос "сколько будет 5+7" она всё равно выдаст 12 :-)

> Важных достижений в богословии хватает

В этом смысле, безусловно: распил грантов — штука поистине крайне важная.

> Так чего же хочется Вам: отсутствия "несчётных множеств"
> как "сепулек", или какого-то философского отсутствия
> более чем счётных множеств?

Малого: изучения реальных свойств реально существующих объектов. Натуральных чисел, компьютерных программ или формул логико-предметных языков (хоть той же ZF, коли она так Вам нравится). Причём стандартными научными методами (опыт — теоретическое обобщение — практическая проверка), а не посредством высасывания аксиоматик из пальца.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

реальности мира… реальности Матери-Моржихи?
Причём тут реальность и аксиомы?

(фамилия "Шанин" Вам, полагаю, известна?)
Мне полагается употребить слово "сепулька" или "культ Матери-Моржихи"?

Я не очень понимаю: Вы хотите сообщить, что интуиционистское исчисление высказываний — "единственное верное" и не высосано из пальца?

Я не верю в принципиальные достоинства конструктивного подхода. Хотя, кажется, с помощью него были получены последние крупные достижения математики? Вряд ли. Боюсь, что большинству математиков совершенно наплевать на вопросы оснований мат. логики.

Вы утверждаете, что "теория множеств без аксиоматики не строится".
Я исхожу из интереса phantom к традиционной теории множеств. Традиционная теория множеств без аксиоматики не строится.

но тогда она попросту подменяет изучение реальных свойств множеств (которые в метаматематике, повторяю, существуют объективно) бессмысленной шахматной игрой, а потому хуже чем бесполезна.
"Чего: 'думать'?! Прыгать надо!"— да, подменяет. И работа тех, кто занимается наукой и техникой — понимать, какие модели, какие "сферические кони в вакууме", им могут пригодиться. Типа того.

Слова "бессмысленный" и "бесполезный" — эмоции.

Хотя я лично согласен с тем, что многое в современной математике бессмысленно и бесполезно, но не вижу у Вас логического обоснования этого.

Конечно, здорово: ЭВМ у меня неграмотная, логико-арифметическим языкам не обученная — так что в ответ на вопрос "сколько будет 5+7" она всё равно выдаст 12 :-)
Что не будет противоречить арифметике, если она противоречива.

Но если арифметика противоречива, то может оказаться, что стоит это учесть при конструировании компьютеров, чтобы они не могли также сложить пять и семь с другим ответом.

В этом смысле, безусловно: распил грантов — штука поистине крайне важная.
Да. А для математической проблемы достаточным условием важности является вхождение в список проблем Гильберта. А какая-то применимость прямая — это уже не математические достоинства.

Малого: изучения реальных свойств реально существующих объектов. Натуральных чисел, компьютерных программ или формул логико-предметных языков (хоть той же ZF, коли она так Вам нравится). Причём стандартными научными методами (опыт — теоретическое обобщение — практическая проверка), а не посредством высасывания аксиоматик из пальца.
Что такое "реально существующий объект"? По-моему, это сочетание слов просто высосано из пальца. Считать числа (хоть натуральные, хоть нет) реальными — это довольно смело. (Моё личное отношение ЦФ нет оснований называть словом "нравится", кстати.)

Я сам не занимаюсь математикой во многом (кроме глупости и лени) по той причине, что слишком мало в ней самой применимого (естественно, в тех областях, с которыми я знакомился; с уравнениями мат. физики некоторые знакомые имеют другие эмоции): применяется либо очень косвенно и опосредованно, либо вообще никак. Но это значит, по-моему, что с такими взглядами просто не стоит как делом жизни заниматься современной чистой математикой. Можно изучить какие-нибудь области, а потом стать, например, физиком, биологом, кем ещё. Конечно, проблема в том, что хрен впишешься в биологи, например, после долгих лет учёбы на математика.

Зачем претендовать на математику, которая естественной наукой в строгом смысле не является, с её высасываниями из пальца, если Вы хотите заниматься наукой? Естественной наукой, с её высосанными из пальца принципами?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Причём тут реальность и аксиомы?

При том, что в качестве обоснования осмысленности ZF Вы зачем-то ссылаетесь на вещественные числа (имеющие к ZF ровно такое же отношение, как тундра к Матери-Моржихе).

> Мне полагается употребить слово "сепулька" или "культ Матери-Моржихи"?

На Ваше усмотрение. Просто вспомнилась хорошая ленинградская фамилия. Ленинградского вообще хорошего много — принцип, например ;-)

> Вы хотите сообщить, что интуиционистское исчисление высказываний — "единственное верное"

Я хочу сообщить, что автор этого исчисления под конец жизни рвал на себе волосы с воем «зачем, ну зачем чёрт меня дёрнул эти статьи 1930-го года настрочить?!». И знаете, почему? А вот ровно потому, что на оные статьи накинулась орава идиотов с напрочь съеденными формальными системами мозгами и радостно объявила, будто суть интуиционизма заключается в использовании гейтинговского исчисления вместо классического. Вот прямая цитата, если угодно: «мне жаль, что моё имя известно ныне главным образом в связи с этими работами, так как они от фундаментальных идей отвлекали внимание в сторону самих формальных систем».

> Боюсь, что большинству математиков
> совершенно наплевать на вопросы оснований
> мат. логики.

Абсолютно верно. Причём любых (теоретико-множественных в том числе). См. ниже.

> Я исхожу из интереса phantom к традиционной теории множеств.
> Традиционная теория множеств без аксиоматики не строится.

Э-э-э, а вот тут не надо. Традиционная теория — это всё же Кантор. Каковой оперировал не аксиоматиками, а соображениями об абсолютном, трансцендентном и трансфинитном (см. его статьи и письма — хорошая штука первоисточники!). Аксиоматики фигурируют не в традиционной, а в аксиоматической теории множеств — что далеко не одно и то же.

И не надо утверждать, будто теория Кантора устарела и никем сегодня не используется. Это как раз аксиоматические теории никем, кроме кучки чистых логиков, не используются. А рядовой математик, как Вы сами же неоднократно пишете, про всякие ZF разве что слышал краем уха, и для него множество — это «совокупность», «первоначальное, неопределяемое понятие» и т.п. Т.е. по Кантору. И на теоретико-множественные антиномии рядовой математик реагирует вовсе не в "аксиоматическом" ключе (дескать, надо построить исчисление, доказать его непротиворечивость, и будет нам счастье), а в стиле «ну, это если строить что-то жуткое вроде множества всех множеств, то будут антиномии, а у нас в ТФДП до такого не дошло» — что, опять же, в точности отвечает реакции самого Кантора на открытую им антиномию с множеством кардиналов (опять же см. первоисточники).

Я уж не говорю о том, что прикладникам математика традиционно читается вообще без малейшего упоминания про ZF (хотя множества там — через строчку). Так что Ваши традиции — это сферические традиции в вакууме, на грешной земле всё обстоит совсем по другому.

> Что не будет противоречить арифметике, если она противоречива.

Противоречивая арифметика будет утверждать, что у меня получатся все числа сразу. А получится только 12.

> стоит это учесть при конструировании компьютеров,

Ну, это уже из серии анекдотов про Вовочку: «ой что будет, если закон всемирного тяготения не утвердят в третьем чтении!».

> А для математической проблемы
> достаточным условием важности
> является вхождение
> в список проблем Гильберта.

К несчастью, в первой проблеме Гильберта упоминается задача Кантора, т.е. неформализованная. А что сделал Коэн, а?

Известный школьный приём: когда не можешь решить задачу (а хочется) — выдумай свою собственную "по мотивам", реши её и гордо выдай всё это за решение первой. Если проделывать сие с достаточно уверенной рожей, может и прокатить. Вы с такими трюками никогда не сталкивались? :-)

> Что такое "реально существующий объект"?

Кирпич.

> По-моему, это сочетание слов просто высосано из пальца.

Те, кому это сочетание падает на голову с крыши, обычно так не считают :-)

> реальными — это довольно смело.

Здравствуй, 1984 год! Пальцев иногда пять, а иногда — три.

Кстати: может подскажете, как запихнуть UCS-4 в однобайтовую таблицу (ведь наверняка ж можно, если число 256, характеризующее количество различных вариантов байта, есть на самом деле фикция)? Давно интересуюсь.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Здравствуй, 1984 год! Пальцев иногда пять, а иногда — три.
Конечно. Интересно, кто чаще: люди с шестью пальцами на левой руке, или потерявшие на ней два пальца? Иногда лишний можно отрезать, а потерянные — пришить.

Кстати: может подскажете, как запихнуть UCS-4 в однобайт. табл. (ведь наверняка ж можно, если число 256, характеризующ. к-во различных вар. байта, есть фикция)? Давно интересуюсь.
UCS-4 &mdahs; это что-то абстрактное, реально не запихаешь.
А вот у меня есть тетрадь в клеточку, там не обязательно пихать по символу на клеточку.
А если про компьютеры, то ещё есть архиваторы, они текст в UCS-4 сжать могут и более чем в четыре раза, вот и пишите архив в свою таблицу.

Те, кому это сочетание падает на голову с крыши, обычно так не считают :-)
На данный момент у нас скорее какая-то идея "кирпича" в переписке витает, она на голову вряд ли упадёт так, что такое падение можно будет назвать "реальным".

Вы с такими трюками никогда не сталкивались? :-)
Это не трюк Коэна. Как и для лично меня, ЦФ для него — данность, "традиционная аксиоматика теории множеств". Коэну было примерно 9 лет, когда умер Гильберт, уточнить, что тот имел в виду, Коэну было слишком сложно, чтобы видеть в его действиях "трюк".

Достижение Коэна многими признано серьёзным и важным, а что имел в виду Гильберт можно по-всякому додумывать и догадываться.

Я лично считаю результат закрытием первоначальной проблемы потому, что он как минимум требует уточнения формулировки.

Ну, это уже из серии анекдотов про Вовочку: «ой что будет, если закон всемирного тяготения не утвердят в третьем чтении!».
Если мир вокруг нас не так прост и существуют какие-то "магические" трюки или заклинания, то стоит их учитывать: не произносить без надобности и произносить, когда помогают:
Противоречивая арифметика будет утверждать, что у меня получатся все числа сразу. А получится только 12.
(упрощённая аналогия)
Противоречивая арифметика сама ничего утверждать не будет. Если в ней по-простому "сложить 5 и 7", то получится 12. Но можно, следуя её правилам, ловко провести какие-то выводы, которые в результате дадут равенство "5+7=-3", например. Мы не можем получить множеством все возможные результаты: мы каждый раз будем получать какой-то один, причём обычно ожидаемый: за прошедшие годы простых трюков-то не обнаружили.
И если компьютер основан на аксиоматической арифметике, то разумно будет избегать "заклинаний" хотя бы.

Арифметика не "будет утверждать": с помощью арифметики мы сможем, не нарушая её правил, получать любые результаты. Но не обязательно схожими простыми методами в простых ситуациях.

Я уж не говорю о том, что прикладникам математика традиционно читается вообще без малейшего упоминания про ZF
Аксиоматику и сложные теоремы редко кто глубоко изучает и помнит после обязательного курса, но, например, аксиому выбора (в виде леммы Цорна) алгебраисты используют постоянно (ну, не очень редко). Так что, не вдаваясь в глубокие подробности, просто механически применяя типовым образом эту лемму, сказать про "ЦФ с аксиомой выбора" конечно скажут.

Традиционная теория — это всё же Кантор.
Кантор умер. Традиционная теория — то, что лекторы в ВУЗах читают.

> совершенно наплевать на вопросы оснований мат. логики.
Абсолютно верно. Причём любых (теоретико-множественных в том числе). См. ниже.
Да. Знание леммы Цорна — ещё не интерес к основаниям, а просто упоминание ЦФ (с аксиомой выбора).

«мне жаль, что моё имя известно ныне главным образом в связи с этими работами, так как они от фундаментальных идей отвлекали внимание в сторону самих формальных систем»
Конечно. Вот если бы с помощью фундаментальных идей была доказана, наприме, гипотеза Римана, какие-нибудь другие гипотезы Гильберта, великая теорема Ферма или независимость континуум-гипотезы (но пришлось бы доказать и выполнение привычных теорем), отношение было бы другим.

в качестве обоснования осмысленности ZF Вы зачем-то ссылаетесь на вещественные числа
По-моему, на вещественные числа я сослался как на контрпример к «всякое несчётное множество — вне математики». Различие мощностей множеств (континуум против счётного) в каких-то вопросах какого-то анализа значение имеет.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Иногда лишний можно отрезать, а потерянные —
> пришить.

Какие лишние? Какие потерянные? Какие отрезания/пришивания? Число пальцев ведь фикция — сколько придумаем, столько и будет!

> есть архиваторы, они текст в UCS-4
> сжать могут и более чем в четыре раза

Любой текст более чем в четыре раза?!! Офигеть, дайте две! Честно — очень хочу такой архиватор!

> На данный момент у нас
> скорее какая-то идея "кирпича"
> в переписке витает

Так то у нас и в переписке. Вы спрашивали, что такое реальный объект — я привёл пример. Или за пределами переписки кирпичей тоже не существует?

> Как и для лично меня, ЦФ для него — данность,
> "традиционная аксиоматика теории множеств".

Угу, вот мы и выяснили, что сидим в общеизвестном обезьяннике, в котором "не принято" хватать бананы (а почему — никто уже не помнит). Убейте, не пойму, где тут повод для гордости.

> что имел в виду Гильберт можно по-всякому
> додумывать и догадываться.

Если пытаться именно додумывать вместо того, чтобы просто взять да прочитать — тогда, конечно, по-всякому. А написано чётко: «проблема Кантора о мощности континуума». Не Цермело, повторяю — а Кантора. У которого аксиоматик не было.

Кстати, доклад Лузина Вы так пока и не прочитали :-) Говорю абсолютно уверенно, так как в нём на стр. 29-30 русским по белому подробно расписано, почему результаты Гёделя и Коэна никакого отношения к континуум-гипотезе не имеют (причём, заметьте, это написано авансом, до реального получения этих результатов!). Нате:

«Гильберт сообщает, что ему удалось найти доказательство непротиворечивости того, что мощность континуума есть алеф, следующий за счётным (алеф-один). [...] Для мощности континуума автором сделано не совсем то, что нужно для теории функций. Для теории функций мало знать, что совпадение мощности континуума с первым за-счётным алефом — непротиворечиво: для теории функций необходимо фактическое знание индивидуального перечисления точек трансфинитными числами 2-го класса Кантора. А этого как раз нет в теории Гильберта. [...] Аналогичная трудность проистекла бы для анализа, если бы была доказана непротиворечивость того, что эйлерова постоянная C есть рациональное число без того, чтобы указать, каково оно, или, ещё хуже, если одновременно с этим доказать непротиворечивость и того, что C есть квадратичная иррациональность. Таким образом, для творческих возможностей теории Гильберта, повидимому, серьёзно встаёт вопрос о том, чего именно достигают в отношении реальности, устанавливая непротиворечивость того или другого и ограничиваясь только этим?»

И, эта — спешу предупредить возможную радость на тему вытекающей из приведённой цитаты констатации любви Гильберта к непротиворечивостям. Угу, любил Гильберт это дело (более того, он сам же эту моду и ввёл) — да вот только для него по ряду причин (ныне в вышеупомянутом обезьяннике подзабытых, но вполне доступных для прочтения в первом томе этого самого Гильберта с примкнувшим к нему Бернайсом «Основаниях математики») было крайне важно, как эта непротиворечивость устанавливается. Исторический факт: Гильберт зарезал первый вариант генценовского доказательства непротиворечивости формальной арифметики (с сегодняшней точки зрения вполне невинный), сочтя его недостаточно финитистским. И что бы он сказал про методику Коэна — вот тут действительно можно только догадываться...

(Конец первой серии).

(Reply to this) (Parent) (Thread)

фикция — сколько придумаем, столько и будет!
и
то доказательством равенства 5+7=-3 вполне может считаться и фраза потому что гладиолус.
Я так понимаю, что нет. Можно импликацию доказать в случае противоречивости — это одно. Но считать полным доказательством: последовательностью разрешённых переходов, "потому что гладиолус" нельзя.
Так и с 5+7=-3: 12 любой дурак может получить, а для -3 нужна противоречивость и понятная цепочка переходов (формула). Пока таких не знают.
Так и пальцы: неизменное количество для обычных нормальных людей — "реальность", но у некоторых получается вырастить больше или потерять парочку, а так как такие ситуации не очень редки, то ещё какие-то люди утерянное могут пришить или лишнее отрезать.

Любой текст более чем в четыре раза?!!
Квантор добавили Вы.
Типичный несложный текст скорее всего сожмётся более чем в четыре раза. Любой — за все архиваторы не отвечу, но подходящий алгоритм где-то на треть должен суметь сжать.
У Вас, кстати, не было требования с любым текстом справиться. Так что "поймали" Вы меня также, как если бы приписали мне мнение, что у каждого человека пальцев на руке не пять.

Или за пределами переписки кирпичей тоже не существует?
"Реальный" кирпич совершенно не исчерпывающе описывается в переписке. Существуют в каком-то смысле, но у меня — одни, а у Вас — другие. Толстую книгу "кирпичом" называете?

"не принято" хватать бананы (а почему — никто уже не помнит)
Бананы? Вкусные и питательные?? Где???

А написано чётко: «проблема Кантора о мощности континуума». Не Цермело, повторяю — а Кантора. У которого аксиоматик не было.
Ну-ну. Проблему поставил Кантор, потому и "проблема Кантора". А проблема — математики. Антиномии поставили крест на наивной теории множеств, но континуум-гипотезу удалось сохранить, как и большое количество модных результатов и методов. Например, "диагональный метод Кантора" не стали же называть "диагональным методом Цермело-Френкеля"?

Кстати, доклад Лузина Вы так пока и не прочитали :-) Говорю абсолютно уверенно, так как…
прочитаю я его не раньше, чем он попадёт мне в руки. Дома не лежит, в интернете не нашёл, так что вряд ли скоро прочитаю.

«Гильберт сообщает, что… чего именно достигают в отношении реальности, устанавливая непротиворечивость того или другого и ограничиваясь только этим?»
Так это ж не Гильберт, а Лузин, как я понимаю. Ну, Вам это, видимо, по-философски близко. А мне нет.

Исторический факт: Гильберт зарезал первый вариант генценовского доказательства непротиворечивости формальной арифметики (с сегодняшней точки зрения вполне невинный), сочтя его недостаточно финитистским.
(не очень в теме, могу что-то спутать, реагирую на слово "финитистский")
Это идеализм, если я правильно понимаю. Я про противоречивость арифметики, например, легко говорю не от того, что мне очень нравятся основания математики. А когда нет даже аксиом — что угодно можно "зарезать" на любых основаниях. Ну, Гильберт был круче, "зарезал" авторитетом. Коэну может вообще в глаз дал бы. И?

многие из них "решают" проблему Ферма именно путём "доказывания" того, что она де некорректно поставлена.
Редко читал. Видел грубые ошибки (в том числе в опубликованной статье в научном, хоть и не математическом, журнале), видел додумывание ("я в курсе, что теорема доказана, но у меня доказательство как у Ферма, а не сложное"), претензий к "некорректно поставлена" не помню. Но всякое, конечно, бывает.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Но считать полным доказательством:
> последовательностью разрешённых переходов,
> "потому что гладиолус" нельзя.

Но ведь при этом будет доказано (!), что такая последовательность таки является разрешённой! Что ж Вы так от доказанной вещи отпираетесь?

Ещё раз, одно из двух:

1) Или формальные доказательства применимы всегда и везде — и тогда извольте признать корректность "доказанного доказательства" «потому что гладиолус».

2) Или формальные доказательства в применении к метаматематике теряют своё значение — но тогда и ZF потеряет автоматическую применимость к метаматематическим множествам (вроде множества всех формул, выводимых в самой ZF).

Tertium non datur, тут надо выбирать (ну, или закрыть глаза на проблему, если так проще).

> Квантор добавили Вы. У Вас, кстати, не было требования с любым текстом справиться.

Значит, Вы просто не поняли моего вопроса (установить взаимно однозначное соответствие между символами таблицы юникода и байтами).

> подходящий алгоритм где-то на треть должен суметь сжать.

Шутку понял. Смешно. Результат первого сжатия сжимаем ещё на треть, потом ещё на треть, и в итоге любой текст дожимается до одного байта — а потом ещё на треть :-)

> "Реальный" кирпич совершенно не исчерпывающе
> описывается в переписке.

Это уже, извините, виляние. Если я пришлю Вам кирпич по почте, Вы заявите, что он недостаточно твёрдый, плохо обожжённый — в общем, какой-то не совсем кирпич.

Вопрос о реальном существовании объекта (кирпича или натурального числа) не совпадает с вопросом о степени точности описания этого объекта в переписке. Второй вопрос у нас не обсуждался.

> Толстую книгу "кирпичом" называете?

Я могу её назвать хоть Эманацией Тонкой Сущности Будды — она от этого ни существовать не перестанет, ни светиться не начнёт.

> Бананы? Вкусные и питательные?? Где???

В клетке. Но рвать нельзя — в той клетке так не принято :-)

> Например, "диагональный метод Кантора"
> не стали же называть "диагональным методом Цермело-Френкеля"?

Метод Кантора мы можем применять хоть при установлении неперечислимости множества несамоприменимых машин Тьюринга — суть его от этого не меняется. А вот суть континуум-гипотезы при переходе к Цермело-Френкелю меняется радикально. Простенькая аналогия: при доказательстве теоремы Гёделя о неполноте строится (явным образом, её программу можно на бумажке записать!) некая рекурсивная функция, которая тождественно обращается в нуль, но ни доказать, ни опровергнуть этого средствами формальной арифметики нельзя. Вы уверены, что утверждение об этой самой невозможности доказательства есть адекватный ответ на содержательный вопрос о том, является рассматриваемая функция нулевой, или нет?

Ещё более простая аналогия: считаете Вы признание школьника "я не могу решить задачу, т.к. мне знаний не хватает" за полноценное решение?

> Это идеализм, если я правильно понимаю.

Неправильно понимаете. См. выше про гладиолус и "доказанные доказательства". А ещё лучше — откройте первую главу «Оснований математики». Всяко лучше, чем Бурбаки.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

1) Или формальные доказательства применимы всегда и везде — и тогда извольте признать корректность "доказанного доказательства" «потому что гладиолус».

2) Или формальные доказательства в применении к метаматематике теряют своё значение — но тогда и ZF потеряет автоматическую применимость к метаматематическим множествам (вроде множества всех формул, выводимых в самой ZF).
Речь о работе вычислительной машины, вообще-то.
Ей "плевать" на противоречивость или непротиворечивость.
Она действует по каким-то алгоритмам, которые могут быть основаны на, например, арифметике. И основанность их на арифметике не означает, что они обязательно перестанут работать, если арифметика противоречива. "Потому что гладиолус" в данном случае непричём. Но достаточно сложные алгоритмы, считая через одно место, быть может, могут столкнутся с противоречиями арифметики с видимыми результатами (складывали 5 и 7 супербыстрым методом, корректность которого выведена из арифметики, и получили -3).

Tertium non datur, тут надо выбирать
А про интуиционистскую логику ещё почему-то пишут, что она лишена "закона исключённого третьего":)

(установить взаимно однозначное соответствие между символами таблицы юникода и байтами)
Да, этого вопроса (предложения) я не понял.

Результат первого сжатия сжимаем ещё на треть…
Объясняю подробнее: в последней версии Юникода всего около 100000 символов, ну, ещё есть всякое, ещё куча зарезервирована, в сумме — 1114112 символов. Для записи знака в UCS-4 заведомо достаточно в среднем, таким образом, около 20.09 бит, а экономия только за счёт правильного использования этого свойства составит более 37%, более трети. Типичный текст в UCS-4 скорее всего сожмётся значительно сильнее. Проверил на "Жизни и судьбе" Василия Гроссмана: оригинал ("байтовый") — 1765564, в UCS-4 до сжатия — 6945864, а после сжатия обычными архиваторами — 621070/637473/700255/1036912, в каждом случае — меньше исходного "байтового" размера. Если в процентах, то, округляя вверх, примерно от 35.2% до 58.8%. Такова "реальность" как её можно изучать.

в общем, какой-то не совсем кирпич
Такие виляния неизбежны. Если Вы будете вождём, я, наверное, буду Ваш кирпич считать кирпичом, а то, про что Вы скажете, что не кирпич, кирпичом считать не буду. Но в реальности на вкус и цвет кирпича товарища не найдётся.

Второй вопрос у нас не обсуждался.
Про существование натуральных чисел? Я считаю, что слово "существовать" применимо к ним только как квантор в математическом контексте.

А вот суть континуум-гипотезы при переходе к Цермело-Френкелю меняется радикально.
И как? Она скучает по антиномиям и чахнет?

считаете Вы признание школьника "я не могу решить задачу, т.к. мне знаний не хватает" за полноценное решение?
Признание — нет. А вот если из-за технической ошибки или по глупости школьнику дали условие задачи с неточностями, а школьник указал на неточности (антиномии), додумал, что могло бы быть правильным условием, но обосновал, что с теми вариантами исправления условия, которые он приводит, задача не решается доступными методами, тогда решение обычно засчитывают.
На конкурсах (олимпиадах письменных, например) могут выше оценить работу, в которой больше вариантов додумывания интересных, на каких-то других мероприятиях могут ограничиться зачётом решения за обоснование некорректности условий.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> складывали 5 и 7 супербыстрым методом,
> корректность которого выведена из арифметики,
> и получили -3

Не-не-не, давайте не устраивать путаницы. Мы ничего не складывали — мы провели некий алгорифмический процесс, который дал результат "-3". На арифметике тут была основана отнюдь не сама возможность осуществления этого процесса — на ней было основано теоретическое допущение, будто его результаты всегда совпадут с результатами другого (но тоже реального!) процесса (сложения). Оказалось, что такого совпадения нет — подумаешь, какая катастрофа! Да мало ли было в истории науки таких неверных допущений? Закон Бойля тоже выполняется лишь приближённо — и что, в момент обнаружения этой приближённости исчезли газы, к которым он ранее применялся, или из учебников физики сами собой стёрлись основанные на этом законе выкладки? Да и зачем так далеко ходить: я вот только что "сложил" стандартными средствами C два числа 40000 типа short — и знаете, оттого, что на выходе я получил -51072, мир ни разу не перевернулся.

> А про интуиционистскую логику ещё почему-то пишут,
> что она лишена "закона исключённого третьего":)

Вот именно потому, что так "пишут", Гейтинг и рвал на себе волосы :-) Потому что когда идиот со съеденным формальными системами мозгом видит исчисление и не видит в нём закона исключённого третьего — он тут же решает, что этим законом вообще запрещено пользоваться. Невдомёк идиоту, что «интуиционизм развивается независимо от формализации, которая может только идти по следам математической конструкции» (Гейтинг, «Интуиционизм», 1965, стр. 13), что «в любой момент открытие новых методов рассуждения может заставить нас расширить формальную систему» (там же) и что в разных ситуациях могут оказаться пригодными разные логические средства — идиоту вынь да положь исчерпывающий набор правил, годный на все случаи жизни.

Так вот: при некоторых условиях интуиционистская (настоящая, а не возведённая в догму идиотами, строящими на её базе всякие "интуиционистские теории множеств") логика вполне допускает закон исключённого третьего. Здесь как раз тот случай :-)

> Я считаю, что слово "существовать" применимо к ним
> только как квантор в математическом контексте.

А я считаю, что четыре пальца — это четыре пальца, а не три и не пять (независимо от того, слышали мы про аксиомы Пеано, или не слышали). И 220 вольт — это именно 220 вольт (и чтобы превратить их в 12, нужен трансформатор, а не смена аксиоматики).

> И как?

А так, что непонятно:

1) Почему все свойства, аксиоматизированные в ZF, выполняются для канторовских (содержательно понимаемых!) множеств?
2) Почему в ZF аксиоматизированы все свойства, выполняющиеся для канторовских множеств?

Может, правильным является использование не ZF, а сочетания ZF+континуум-гипотеза? Или наоборот — ZF+отрицание континуум-гипотезы? Вот на этот вопрос Коэн ответил?

Что мне толку знать, что для гёделевской рекурсивной функции с формальной арифметикой совместимо как утверждение о её тождественном равенстве нулю, так и обратное? Получу ли я в действительности хоть одно отличное от нуля число, если запущу на реальной машине последовательно вычисляющую значения этой функции программу, или не получу — вот что меня единственно волнует. Hic Rhodus, hic salta.

> неточности (антиномии)

Дались же Вам эти антиномии. Напоминаю, что первую из них (невозможность множества всех кардиналов) обнаружил сам Кантор. И если Вы полагаете, что он тут же бросился придумывать формальную аксиоматику, в которой соответствующее рассуждение не проходило бы — то зря. Кстати, переписку Кантора с Дедекиндом (где сия антиномия, в частности, обсуждалась) в сети я точно видел.

> На конкурсах (олимпиадах письменных, например)
> могут выше оценить работу, в которой
> больше вариантов додумывания

Что олимпиады — зло, я всегда знал :-)

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

(Reply to this) (Parent)

доказательство эквивалентности определений предела функции по Коши и по Гейне опирается на аксиому выбора так он сперва даже не поверил
Легко верю. Если уж есть в списке аксиома выбора, то почему бы не пользоваться? Я кому-то старше себя, помню, рекомендовал считать, что пользуешься аксиомой выбора даже для "выберем по одной точке внутри каждой стороны треугольника". Как раз для того и рекомендовал, чтобы меньше ахов и волнений было из-за этой аксиомы. Так это "Ваши", по-моему, граждане: их наивные рассуждения устраивают, вот они и ахают от аксиом, а сами не замечают, где пользуются тем, из-за чего вообще аксиому и придумали. (здесь я немного додумал и преувеличил)

за Гейтинга-то говорите!
Очень важно для популяризации интуиционизма писать фамилии деятелей. Давайте, я уж как сторонник мира во всём мире упомяну Махатму Ганди.

Бэр и Борель
Про Бэра и Бореля Лузин, как Вы пишете, утверждал. Это не моя проблема, что в современной математике более чем счётные множества распространены.
Бэр и Борель должны были слышать про континуум-гипотезу (всё ж не в 19-м веке сгинули: о проблемах Гильберта должны были знать, если даже Кантора не читали). Не берусь разобраться с цитатами, но полагаю, что к ней они относились как к математической проблеме.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Я кому-то старше себя, помню, рекомендовал считать,
> что пользуешься аксиомой выбора
> даже для "выберем по одной точке
> внутри каждой стороны треугольника".

?!! С тем же успехом можно ввести аксиому "все числа меньше ста", а в качестве обоснования (чтобы ахов и охов не было) сослаться на несколько примерчиков действительно меньших сотни чисел.

> Давайте, я уж как сторонник мира во всём мире упомяну
> Махатму Ганди.

Только не забудьте при этом добавить, что Ганди, дескать, требовал, чтобы Индия поскорее обзавелась атомной бомбой и долбанула ею по Великобритании (т.к. без атомного оружия великих современных государств не бывает, а Ганди, конечно же, хотел видеть Индию великой). Тогда из него действительно получится примерно то же, что Вы с бедным Гейтингом сделали.

> Не берусь разобраться с цитатами,
> но полагаю, что к ней они относились
> как к математической проблеме.

"Книги не читал, но мнение выскажу". Дело в том, что они ещё пытались выяснить смысл математических понятий; слово "аксиома" для них ещё не обладало мистическим всеобъясняющим значением (как для многих современных граждан).

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

?!! С тем же успехом можно ввести аксиому "все числа меньше ста"
Человек, которому я советовал, лемму Цорна всё равно признавал. Просто волновался, ахал и охал. Я порекомендовал успокоить себя тем, что лемма Цорна, как следствие аксиомы выбора в ЦФ, не предназначена исключительно для жутких и неестественных ситуаций: можно её и по пустякам применять как один из вариантов. Ничего общего с утверждением, что "все числа меньше ста", но что-то общее с Вашим предыдущим примером: человек привык к ЦФ и не замечает того, что по сути является применением аксиомы выбора, а слыша про неё "ахает и охает".

что Вы с бедным Гейтингом сделали
Ничего я с ним не сделал. Поясните, пожалуйста. На всякий случай цитата из Ганди, если кто ещё читает (на английском, к сожалению): "Had we adopted non-violence as the weapon of the strong, because we realised that it was more effective than any other weapon, in fact the mightiest force in the world, we would have made use of its full potency and not have discarded it as soon as the fight against the British was over or we were in a position to wield conventional weapons. But as I have already said, we adopted it out of our helplessness. If we had the atom bomb, we would have used it against the British.".

слово "аксиома" для них ещё не обладало мистическим всеобъясняющим значением (как для многих современных граждан).
Для меня не аксиомы не справляются с работой аксиом (чтобы на них опираться). Типа, меньшее зло.
А прокомментировал я потому, что меня "недостаточная финитность" самого очень раздражает.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> можно её и по пустякам применять
> как один из вариантов.

"Можно" не значит "нужно". Применять аксиому выбора в Вашем примере — это стрельба из пушки по воробьям (аксиомы пары будет более чем достаточно). А приводить для обоснования "естественности" некоторой аксиомы примеры, не связанные с ней по существу — это именно аналог обоснования "естественности" утверждения «все числа меньше ста» на примерах 1<100, 2<100 и 3<100.

Вы бы лучше в данном контексте теорему Хаусдорфа о разбиении шара рассмотрели :-)

> Ничего я с ним не сделал.

Вы приписали ему взгляды, которые он в действительности не разделял (мол, надо решать проблемы Гильберта и т.д.).

> If we had the atom bomb, we would have used it against the British.

Вот-вот, лишнее свидетельство того, как вредно не знать первоисточники :-)) Припишешь человеку нечто, с его (сложившимся по паре полученных из третьих рук обрывков) образом ну никак не вяжущееся — а окажется, что он ровно это и говорил.

> Типа, меньшее зло.

Вот только почему-то большинство рассуждений всяких изобретателей "теорий всего" и прочих борцов с релятивистской физикой основано именно на аксиоматическом подходе («проведение мысленного эксперимента, противоречащего реальному» — это вообще шестой признак чокнутой теории). Так что лично я про "наименьшее" не уверен.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

аксиомы пары будет более чем достаточно
Аксиомы выбора — тоже.

примеры, не связанные с ней по существу
У нас аксиомы теперь и "существом" обладают? На каждую аксиому — традиции применения, соблюдение которых обязательно, нельзя даже для выбора точек использовать аксиому выбора? Я-то хоть ограничиваюсь аксиомами и правилами вывода…

Вы приписали ему
Нет. Где? Я его даже не упоминал, по-моему. Возможно, он у Вас жёстко ассоциируется с какими-то разделами математики, но я разделы математики не олицетворяю.

atom bomb… Припишешь человеку нечто… — а окажется, что он ровно это и говорил.
Нет, говорил он существенно другое всё-таки (ср. цитаты Ганди и себя). Хотя на ту же тему.

«проведение мысленного эксперимента, противоречащего реальному» — это вообще шестой признак чокнутой теории
Я математику наукой в строгом смысле не считаю, так что не то.

Не-не-не, давайте не устраивать путаницы. Мы ничего не складывали — мы провели некий алгорифмический процесс… На арифметике тут была основана отнюдь не сама возможность осуществления этого процесса — на ней было основано теоретическое допущение, будто его результаты всегда совпадут с результатами другого
Я так с самого начала и полагал, об этом и писал: сбой в арифметике — возможно придётся менять слишком продвинутые алгоритмы.

И 220 вольт — это именно 220 вольт (и чтобы превратить их в 12, нужен трансформатор, а не смена аксиоматики).
Или смена эталонного значения единицы "Вольт", что уже похоже на смену аксиоматики.

Почему все свойства, аксиоматизированные в ZF, выполняются для канторовских (содержательно понимаемых!) множеств? Почему в ZF аксиоматизированы все свойства, выполняющиеся для канторовских множеств?
На канторовские множества забили: они с антиномиями.

Может, правильным является использование не ZF, а сочетания ZF+континуум-гипотеза? Или наоборот — ZF+отрицание континуум-гипотезы? Вот на этот вопрос Коэн ответил?
Нет "правильного". Есть формальные теории. Некоторые противоречивые, некоторые нет, некоторые полезны "специализированным" математикам, некоторые нет… В математике нет нормального научного подхода: без аксиом и правил вывода получается как раз "чокнутая теория".

Получу ли я в действительности хоть одно отличное от нуля число, если запущу на реальной машине последовательно вычисляющую значения этой функции программу, или не получу — вот что меня единственно волнует. Hic Rhodus, hic salta.
Может волновать и вопрос: "Хорошо ли грибочки засолятся",— на него тоже ответ можем в математике и не найти. Если ограничиваться более формальными вопросами, то может волновать вопрос: "А зачем мне ещё и вычислительную программу запускать, почему ЦФ мне сами всё не скажут сразу?".

И если Вы полагаете, что он тут же бросился придумывать формальную аксиоматику, в которой соответствующее рассуждение не проходило бы — то зря.
Ну и? А Гёдель с ума сошёл, он тоже образец? Мне лично от математики антиномии не нужны: антиномий хватает и в формализациях бытовых вопросах.

Что олимпиады — зло, я всегда знал :-)
Нет, просто там пытаются изучить реальные свойства реальных участников. Это не математика, это конкурс по математике:)

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> У нас аксиомы теперь и "существом" обладают?

Разумеется. Иначе деятельность тех же Гёделя и Коэна (а равно Лобачевского и Бойяи, если угодно) по выяснению независимости одной аксиомы от прочих была бы бессмысленна.

Есть утверждения, которые без привлечения аксиомы выбора доказать нельзя в принципе (та же лемма Цорна). А есть утверждения, при доказательстве которых эту аксиому использовать разве что "можно", т.к. они прекрасно доказываются и без неё (и ничуть не пострадают, если оная аксиома будет удалена) — и вот Ваш "выбор точки" относится именно сюда (т.к. он легко выводится из утверждения о непустоте сторон треугольника с использованием одних только аксиом объёмности, пары и суммы).

> Я его даже не упоминал, по-моему.

Возможно, я неправильно понял Ваш пассаж про «если бы была доказана гипотеза Римана, то отношение было бы другим». Если Вы тут описывали исключительно причины, по которым "сообщество" проигнорировало интуиционистскую точку зрения — тогда Вы действительно Гейтингу ничего не приписали. Однако тогда Ваше рассуждение в равной мере применимо не только к интуиционистским идеям, но и к "интуиционистским" формальным системам: гипотеза Римана с их помощью тоже не доказана. Тем не менее, системы эти "сообществом" благополучно сожраны. Почему-с?

> сбой в арифметике — возможно придётся менять
> слишком продвинутые алгоритмы.

Менять придётся не алгорифмы, а их интерпретацию и характер применения. Что далеко не одно и то же: алгорифм объективен, а его интерпретация — вещь субъективная (от того, что затмения раньше считали проделками пожирающего Солнце дракона, а ныне такой взгляд признаётся немножко маргинальным, природа самих затмений не поменялась).

> Или смена эталонного значения единицы "Вольт"

Если Вы сумеете соорудить под новые 220 вольт лампочку, по своим потребительным качествам идентичную обычной — я Вам только признателен буду. Думаю даже, что не я один.

> На канторовские множества забили: они с антиномиями.

Глубочайшее заблуждение. Канторовские множества были придуманы до того хитро, что никаких антиномий в них не могло быть в принципе. Как? А вот так:

«Если мы исходим из понятия определённой множественности (системы, совокупности) вещей, то мне представляется необходимым различать множественности двоякого рода (речь всегда идёт об определённых множественностях).

А именно множественность может обладать тем свойством, что допущение "совместного бытия" всех её элементов приводит к противоречию, так что эту множественность нельзя рассматривать как единство, как "некую завершённую вещь". Такие множественности я называю абсолютно бесконечными или неконсистентными множественностями. [...] Напротив, если совокупность элементов некоторой множественности можно без противоречия мыслить как совокупность "совместно существующих" элементов, то я называю её консистентной совокупностью или "множеством". [...] Система всех чисел является неконсистентной»

Под числами тут понимаются кардиналы. Сама цитата взята из письма Кантора Дедекинду от 28 июля 1899. Я ж уже сказал, что плохо не знать первоисточники.

> Нет "правильного". Есть формальные теории.
> Некоторые противоречивые, некоторые нет

Эта противоречивость тоже устанавливается средствами самих формальных теорий? Про гладиолус не забыли?

> Может волновать и вопрос: "Хорошо ли грибочки засолятся",—
> на него тоже ответ можем в математике и не найти.

Угу. А если бы у рыбы была бы шерсть, в ней бы водились блохи. Поэтому изложение строения блохи есть адекватный ответ на вопрос про рыб, а кто считает иначе — тот просто не понимает, что ответов на все вопросы в биологии всё равно нет.

Это уже откровенное виляние. Скучно становится, честное слово.

> Это не математика,
> это конкурс по математике:)

Это конкурс по умению проходить конкурсы :-) В коем к финишу первым приходит не тот, кто лучше бегает, а тот, кто лучше бегает в мешке (c).

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Разумеется. Иначе деятельность тех же Гёделя и Коэна (а равно Лобачевского и Бойяи, если угодно) по выяснению независимости одной аксиомы от прочих была бы бессмысленна.
По-моему, они не изучали сущности отдельных аксиом. Они изучали сущности систем аксиом.

Есть утверждения, которые без привлечения аксиомы выбора доказать нельзя в принципе (та же лемма Цорна).
Вы же знаете, что лемму Цорна можно доказать и привлечением самой леммы Цорна или теоремы Цермело (их эквивалентность, по-моему, обычно в общий курс входит). И какие-нибудь ещё можно придумать аксиомы, из которых будет выводиться аксиома выбора. Это не принцип, а соглашение: просто аксиому выбора считают более очевидной, поэтому её и включают. При других психологических обстоятельствах можно делать другой выбор (если не хочется терять связь с тем, что использует ЦФ). Но можно отказаться от таких аксиом или вообще включить что-нибудь типа их отрицания. Если теория будет развиваться, будут получены интересные результаты, не будут слишком обижены нынешние математики и будут соблюдены прочие психологические (нематематические) условия, то об аксиоме выбора будут вспоминать в основном на уроках истории математики.

тогда Вы действительно Гейтингу ничего не приписали.
Да, именно так, не приписывал.

Однако тогда Ваше рассуждение в равной мере применимо не только к интуиционистским идеям, но и к "интуиционистским" формальным системам… "сообществом" благополучно сожраны. Почему-с?
Но люди, не отрицающие лемму Цорна, решили некоторые другие проблемы. Принятое доказательство теоремы Ферма (Великой, о ней знают все! она, конечно, не очень важна, иначе все бы знали, что она давно доказана, но её известность несопоставима с более просто формулируемой, на мой взгляд, проблемой Гольдбаха или важной гипотезой Римана), полагаю, лемму Цорна использует. По строгим понятиям, если Коэна лишать решения континуум-гипотезы, теорема Ферма тоже рассыпется. Так что без особых причин, просто из-за наличия альтернативного философского взгляда на эти вопросы, от ЦФ не откажутся.

алгорифм объективен, а его интерпретация — вещь субъективная
Без интерпретации в алгоритмах смысла совсем нет. Исполнять алгоритм без инетпретации — работа машины, а не человека. Сущность алгоритма в его интерпретации, по-моему.

Если Вы сумеете соорудить под новые 220 вольт лампочку, по своим потребительным качествам идентичную обычной — я Вам только признателен буду. Думаю даже, что не я один.
"Это уже откровенное виляние."

>Есть формальные теории. Некоторые противоречивые, некоторые нет
Эта противоречивость тоже устанавливается средствами самих формальных теорий? Про гладиолус не забыли?
Да. Если она будет установлена, тогда она может быть установлена средствами самих формальных теорий. А непротиворечивость сложных систем аксиом не доказать их средствами, это да. Похоже на физические законы, только математика не наука.

> Может волновать и вопрос: "Хорошо ли грибочки засолятся",— на него тоже ответ можем в математике и не найти.
Это уже откровенное виляние. Скучно становится, честное слово.
На реальных машинах не все рекурсивные функции запускаются. Рекурсивные функции — абстрактные объекты. Рекурсивные функции вычисляют на столь же абстрактных машинах Тьюринга. Всякие функции из околорамсеевской теории реально же не вычислить ни в сколько-нибудь общепринятом смысле для аргументов порядка сотни, какая тогда разница, что ясно, что значения ненулевые у них?

Так что "про грибочки" я был неправ: вопрос "про грибочки" может быть реально важен, но нематематичен, а вычисление рекурсивных функций — математично, но далеко не всегда важно.

Это конкурс по умению проходить конкурсы :-)
Я не большой поклонник олимпиад, но оба человека, которые мне кажутся шибко умными (правда, очень плохо их знаю, но всё-таки) на олимпиадах ядрёно побеждали. Результаты математических олимпиад вполне значимы, по-моему, если не ожидать от них чрезвычайной точности, а также если нет серьёзных организационных сбоев. Вряд ли человек, который старался и никак не отличился на (городских) математических олимпиадах в школе, станет математиком, если в его жизни что-то не поменяется очень серьёзно.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Вы же знаете, что лемму Цорна можно доказать
> и привлечением самой леммы Цорна или теоремы Цермело

Теорема о существовании множества точек, "выбранных" из сторон треугольника, сохранится и после механического выкидывания (т.е. без замены на какой-либо эквивалент) аксиомы выбора. Не надо пытаться утопить абсолютно ясный вопрос в потоке глубокомысленных слов.

> аксиому выбора считают более очевидной

«Когда в первый раз встречаются с аксиомой Цермело, то она кажется бесспорной и очевидной, но по мере того, как начинают размышлять о ней, она представляется всё более и более загадочной, а её следствия — изумительными; кончают тем, что теряют её смысл и тогда начинают спрашивать, что же, собственно, она значит?» (c) Б.Рассел.

> не будут слишком обижены нынешние математики

Нынешние математики рано или поздно вымрут (как ранее вымерли многочисленные противники Кантора), и их возможная обида всем станет параллельна. Не надо копировать фонтанирующую из голливудских "исторических" фильмов уверенность, будто люди во все эпохи думают одинаково.

>> Однако тогда Ваше рассуждение в равной мере применимо
>> не только к интуиционистским идеям,
>> но и к "интуиционистским" формальным системам
>> "сообществом" благополучно сожраны. Почему-с?
> Но люди, не отрицающие лемму Цорна,
> решили некоторые другие проблемы.

В формальной системе Гейтинга никакой леммы Цорна нет. Ответ на вопрос про эту систему будет, или сразу засчитать слив?

> Принятое доказательство теоремы Ферма, полагаю,
> лемму Цорна использует.

Привычки высасывать из пальца суждения о неизвестных мне в точности вещах не имею — а потому промолчу.

> Так что без особых причин, просто из-за наличия
> альтернативного философского взгляда на эти вопросы,
> от ЦФ не откажутся.

Безусловно. Но вот если исследования в рамках ZF просто перестанут финансировать за ненадобностью — вопрос решится легко, быстро и без всякой философии. Жизнь вообще устроена просто.

Кстати, есть ведь шикарная историческая параллель — средневековая алхимия. У неё тоже была великолепная аксиоматика (со всякими там первоэлементами etc.), ею тоже занималась куча народа и всякие бароны этому народу тоже за такие занятия платили. Вот только интересовала баронов не внутренняя красота теории и не её "алхимичность" (перефразируя Вашу фразу о "математичности") — их интересовало прозаическое получение золота из свинца. И когда выяснилась невозможность оного — алхимикам платить перестали, не взирая ни на какую общепризнанность их взглядов среди них же самих. Научное сообщество — система незамкнутая, о чём никогда не след забывать.

> Исполнять алгоритм без инетпретации —
> работа машины, а не человека.

Вот именно в этом сущность алгорифма и заключается — в том, что он исполняется машиной (независимо от человека и его фантазий) и даёт объективные результаты. Такова, во всяком случае, точка зрения материализма — хотя, конечно, Вы имеете полное право её не придерживаться.

> Рекурсивные функции — абстрактные объекты.

Материальные точки — тоже абстрактные объекты. И твёрдое тело — абстрактный объект. И атом водорода из квантовой механики — весьма абстрактный объект. Дальше, полагаю, последует вывод, будто механика неприменима к реальному миру, а потому всякий истинно разумный человек должен отбросить её в сторону и отправиться пахать чернозём сошкой на лошадке, крестясь на восход и сплёвывая через левое плечо, дабы отогнать бесов? Спасибо, мне такой логики не надо. Я уж лучше буду исходить из той точки зрения, что «всякое общее есть (частичка или сторона или сущность) отдельного».

> Вряд ли человек, который старался и никак не отличился
> на (городских) математических олимпиадах в
> школе, станет математиком, если в его жизни
> что-то не поменяется очень серьёзно.

На олимпиадах не учат анализировать постановки задач, сравнивать альтернативные определения понятий и строить теории. Там учат решать псевдонестандартные задачи, которые кто-то искусственно придумал и на которые кому-то уже известен ответ. Сия же деятельность является не математикой, а способом самоутверждения организаторов олимпиады.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Не надо пытаться утопить абсолютно ясный вопрос в потоке глубокомысленных слов.
Не надо "не надо". Очевидно, что я это предложение о треугольнике предлагал только как способ уяснить, что аксиома выбора может быть применена не только для всяких страшных бесконечностей.

"Когда в первый раз встречаются с аксиомой Цермело, то она кажется бесспорной и очевидной…" Рассел
Именно.
"… теряют её смысл и тогда начинают спрашивать, что же, собственно, она значит?"
Да. Психология, а не математика, однако.

Нынешние математики рано или поздно вымрут
Если переносить мой тезис в будущее время, следует заменять "нынешних математиков" на "математиков того времени".

Не надо копировать фонтанирующую из голливудских "исторических" фильмов уверенность
Опять не надо "не надо". Я не смотрю "голливудские "исторические" фильмы", так что лишён технической возможности из них что-либо копировать. Как и на переписку Кантора с Дедекиндом мне, в принципе, плевать. Как и на устаревшие аспекты того же "Манифеста комм. партии".

В формальной системе Гейтинга никакой леммы Цорна нет. Ответ на вопрос про эту систему будет, или сразу засчитать слив?
Вы рухнули? Я не знаю ничего о Гейтинге, и утверждаю о нём только разъясняя своё незнание!

> Принятое доказательство теоремы Ферма, полагаю, лемму Цорна использует.
Привычки высасывать из пальца суждения о неизвестных мне в точности вещах не имею — а потому промолчу.
Отчасти известные мне использованные в доказательстве теории в известных мне доказательствах некоторых основных теорем используют лемму Цорна. Можно ли как-то обойтись без леммы Цорна, оставив без существенных изменений структуру принятого доказательства (возможно, сузив определения каких-то объектов), я точно не знаю.

… средневековая алхимия. У неё тоже была великолепная аксиоматика…
На чём основана такое утверждение?

… и даёт объективные результаты…
"А чёрт его знает: всё считает и считает, уж не знаю, закончит до Второго пришествия или нет…" — видимо, это типичный "объективный результат"?

Дальше, полагаю, последует вывод…
Высасываете из пальца суждение о неизвестных Вам "в точности" вещах (кстати, там, выше, я тоже употреблял слово "полагаю")?

истинно разумный человек
Человек разумный будет пользоваться научным методом: если неприменима, если сбои есть необъяснимые механикой, то неприменима. Хотя, конечно, проблема может и не в механике оказаться на самом деле (а в человеческом факторе, например). Поэтому человек разумный будет перепроверять и искать, что же даёт сбой.

На олимпиадах не учат анали…
Стоп! Стоп! На олимпиадах вообще не учат! Олимпиады не являются математикой или наукой! Это такие субъективные конкурсы.

Сия же деятельность является не математикой, а способом самоутверждения организаторов олимпиады.
Аналогично: наука — способ самоутверждения учёных, бизнес — бизнесменов и т.п., не более того? Вы умолчали о самоутверждении участников олимпиад.

Сама суть олимпиад связана с наличием мотивов у участников, иначе школьники просто не станут на них тратить своё время. Я знаю о применявшейся альтернативе олимпиадам: это участие школьников в "школьных конференциях" (с настоящими учёными и всё такое). Мои знания не позволяют мне считать "конференции" сколько-нибудь более объективными: больше брака.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> аксиома выбора может быть применена не только
> для всяких страшных бесконечностей.

А религия может быть применена не только для выкачивания денег из бюджета в пользу церковных структур, но и для обоснования морали (и даже физических законов, если очень захотеть). Выворачивание импликации наизнанку ("если из A можно вывести B, а B заведомо истинно, то A тоже истинно") — это настолько дешёвый демагогический приём, что тошно становится.

> Да. Психология, а не математика, однако.

Абсолютно верно: теория множеств (что "наивная", что аксиоматическая) — это психология (точнее даже, разновидность догматической религии), а не математика. Об том и речь.

> Как и на переписку Кантора с Дедекиндом мне,
> в принципе, плевать. Как и на устаревшие аспекты
> того же "Манифеста комм. партии".

Позиция на первый взгляд привлекательная. Но есть моментик: от того, что на проблему закрывают глаза, она не исчезает.

> утверждаю о нём только разъясняя своё незнание!

Напоминаю, с чего данное направление дискуссии пошло: «если бы с помощью фундаментальных идей была доказана, наприме, гипотеза Римана, какие-нибудь другие гипотезы Гильберта, великая теорема Ферма или независимость континуум-гипотезы (но пришлось бы доказать и выполнение привычных теорем), отношение было бы другим». Это был Ваш ответ на приведённую мной цитату из Гейтинга, в которой последний досадовал, что матсообщество вытащило из его работ формальные исчисления ("интуиционистскую логику") и забило на ту идеологию, в рамках коей оные исчисления были установлены. Я указал Вам на то, что с помощью гейтинговских формальных систем гипотеза Римана не доказана, и потому с точки зрения Вашего аргумента эти системы находятся ровно в том же положении, что и породившая их философская позиция (и тем самым Ваш аргумент слетает: не могут различия в судьбе двух вещей объясняться как раз тем, что у них имеется общего). И вот тут-то Вы и начали распространяться про лемму Цорна и прочие вещи, никакого касательства к "интуиционистской логике" не имеющие. Соответственно, я и уточняю: это слив, или Вы просто забыли, о чём вопрос-то был?

> На чём основана такое утверждение?

На исторических фактах: раз алхимия существовала сотни лет — значит, нравилась своим адептам (иначе они придумали бы себе что-нибудь другое).

> "А чёрт его знает: всё считает и считает, уж не знаю,
> закончит до Второго пришествия или нет " — видимо,
> это типичный "объективный результат"?

Конечно, объективный: ведь реально же считает, не в фантазии.

Кстати, это опять же случай так называемой демагогии: механику тоже легко можно "опровергнуть", сославшись на возможность подставить в её уравнения массу, многократно превосходящую массу Метагалактики (или даже ещё проще — указанием на релятивистские и квантовые поправки), и "не заметив" при этом, что создана-то эта самая механика для описания не метагалактик, а планет, самолётов и балок.

> Высасываете из пальца суждение о неизвестных Вам "в точности" вещах
> (кстати, там, выше, я тоже употреблял слово "полагаю")?

С кем поведёшься, как известно :-) Просто такой вывод на самом деле довольно типичен для логики идеалистов и религионеров (с которых Вы зачем-то решили брать сейчас пример).

> Поэтому человек разумный будет перепроверять и
> искать, что же даёт сбой.

Прекрасный подход. Отчего же к математике Вы его не применяете?

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Выворачивание импликации наизнанку — это настолько дешёвый демагогический приём, что тошно становится.
Ау! Утвердительной частью является применимость аксиомы выбора и её нестрашность. Я выворачиваний не делал.

Соответственно, я и уточняю: это слив, или Вы просто забыли, о чём вопрос-то был?
Это нежелание понимать мой текст. Я указал на гипотезу Римана и проблему Гольдбаха потому, что теорема Пуанкаре, например, и большая теорема Ферма доказаны в признающем ЦФ мире. Если бы я их указал, Вы бы ответили, что незачем их "интуиционистам" доказывать, ибо уже доказаны "формалистами"?
Какие очень широко известные или кем-нибудь почитающиеся очень важными математические проблемы не из теории множеств или мат. логики доказали "интуиционисты" специфически "интуиционистскими" методами,— вот о чём я по сути спрашивал.

раз алхимия существовала сотни лет — значит, нравилась своим адептам
Это не означает, что там общая неизменная формальная система. Может там тоже "интуиционисты" против "формалистов" подговаривали что-нибудь иногда:) То, что что-то существует несколько веков, может и не сопутствовать привязанности. Компьютеров персональных тоже несколько веков не было, например.

механику тоже легко можно "опровергнуть"
Механику-науку так не опровергнуть. Механику формальную-кабинетную, где слишком уж "забывают" о применении, так надо опровергать.

Прекрасный подход. Отчего же к математике Вы его не применяете?
Можете развёрнуто уточнить? (То есть: если можете, то уточните, пожалуйста, я бы не хотел додумывать.)

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Ау! Утвердительной частью является
> применимость аксиомы выбора
> и её нестрашность

Ау! Утвердительной частью является необходимость ОПК в общеобразовательных школах и их нестрашность. А кто против, тот забывает, что некоторые обрызганные святой водой самолёты не упали (чем неопровержмимо доказано, что не упали они именно по причине оного обрызгивания: post hoc ergo propter hoc).

Дёшево, дёшево.

> Это нежелание понимать мой текст.

Нет, это нежелание ответить на прямо заданный вопрос. Или непонимание самого вопроса, уж не знаю. Повторяю в триста тридцать третий китайский раз: почему формалисты "освоили" формализм Гейтинга, несмотря даже на то, что никаких (не связанных с самим этим формализмом) проблем он решить не позволил? Этот раз действительно будет последним: что ответа не последует, я уже понял (и даже могу заранее назвать причину, по которой он не последует: этот ответ очень чётко высветил бы действительную природу современного математического сообщества, а Вам, похоже, дороги розовенькие иллюзии на его счёт — психология, а не математика, как обычно в данной дискуссии).

> Какие очень широко известные или кем-нибудь почитающиеся
> очень важными математические проблемы не из теории множеств
> или мат. логики доказали "интуиционисты" специфически
> "интуиционистскими" методами,— вот о чём я по сути спрашивал.

Жаль, что Вы оговорили "не из теории множеств" :-) А то бы вспомнил есенин-вольпинское "доказательство" непротиворечивости ZF (для которого человек, признающий его корректность, существует и единствен — сам Есенин-Вольпин). Ну, или откройте тута страницу 55.

> Это не означает, что там общая неизменная формальная система.

А в формалистической математике, стало быть, неизменная. Нету в ней, стало быть, различий промеж Цермело-Френкелем, Нейманом-Бернайсом-Гёделем или Гротендиком. Нехорошо иметь двойные стандарты :-)

> Можете развёрнуто уточнить?

Могу, разумеется. Что "кабинетную механику" надо де опровергать указанием на границы её применимости — это Вы громогласно декларируете. Но вот существование "кабинетной математики" у Вас вызывает исключительно положительные эмоции: что она вообще не является наукой — для Вас чуть ли не плюс; вопрос о том, как она применяется к реальному миру и каковы границы такой применимости — не ставится вообще. Налицо двойной стандарт.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

почему формалисты "освоили" формализм Гейтинга
Я не знаю ничего о Гейтинге и не собираюсь узнавать ради ответа на этот вопрос.

вопрос о том, как она применяется к реальному миру и каковы границы такой применимости — не ставится вообще
Ставится. Только не в математике. И не в "кабинетной механике".

Если приводить аналогии, то Ваше "указание на двойной стандарт" сродни претензии к программистам, которые много времени уделяют написанию программы, а не её применению. Без применимости программисты слажали, в этом смысле их надо "опровергать". А вот в каждый момент требовать от них применения — странно и неправильно.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Это сродни претензии к программистам, которые больше времени тратят на рекламу своей программы, чем на её написание (и притом выдают содержимое TODO за реальный функционал, даже если это самое TODO нельзя реализовать в принципе). Вот тут аналогия будет точной. В остальном слив зачёл :-)

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Программисты в нашу эпоху разделения труда обычно вообще не занимаются рекламой. Даже в малюсенькой фирме, например, где я работаю (и рекламщиков и маркетологов всяких больше, чем программистов).

Программисты пишут, что требуется, принимая иногда технические решения (додумывая), а беспокоят их не программисты только когда они закончили написание очередной версии.

А Вы всё время какую-то квинтэссенцию хотите: и чтобы философия, и чтобы математика, и чтобы работало.

Вот с Гейтингом, казалось бы: Ваш аргумент, Ваш пример, а я, оказывается, про него, по-Вашему, что-то существенное утверждаю.

Если "слив зачёл" — про Гейтинга, то слив, если есть, Ваш. Если не про Гейтинга, то не заметил, про что.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Чем замечательна дискуссия с Вами, так это Вашими упорными попытками резко увести разговор в сторону в неудобный для Вас момент. Обсуждали A, запахло тупиком — надо приплести B, и переключиться на обсуждение B; зашли в тупик с B — надо срочно провести ассоциацию с C, и т.д. Извините, я уж добью главное:

1) Вы утверждали, что "теория множеств без аксиоматики не строится". Установлено, что это — Ваша личная точка зрения, не имеющая отношения к действительности.

2) Вы утверждали, что причиной, по которой математическое сообщество не приняло интуиционизм, является его неприменимость к решению проблем Гильберта и гипотезы Римана. Установлено, что это не так.

Обсуждать же соотношение программистов с маркетологами (которые возникли как раз по указанной выше схеме: сначала были иллюстрацией, а теперь предлагается песочить их подробно, чуть ли не со статистикой в руках!) мне, извините, неинтересно.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

1) Вы утверждали, что "теория множеств без аксиоматики не строится". Установлено, что это — Ваша личная точка зрения, не имеющая отношения к действительности.
Если апеллировать к действительности, то я прав: даже канторовское определение ушло в историю. Специалистов математиков учат аксиоматической теории множеств. Наличие сектантов не делает эту действительность недействительной. Вы претендуете на объективность ("не имеет отношение к действительности") без причин.

Заметим, что моё утверждение не очень строго, без кванторов, так сказать: а нынешний порядок обучения математике (утверждение в настоящем времени) не уделяет большого внимания неаксиоматическим подходам к изучению собственно теории множеств.

2) Вы утверждали, что причиной, по которой математическое сообщество не приняло интуиционизм, является его неприменимость к решению проблем Гильберта и гипотезы Римана
Нет. Вообще применимость или вообще неприменимость не имеют значения, по моему утверждению, имеет значение то, что не было обнародовано удовлетворительное доказательство животрепещущих математических проблем с помощью этих методов.

Смотрим, что я напечатал:
"… Вот если бы с помощью фундаментальных идей была доказана, наприме, гипотеза Римана, какие-нибудь другие гипотезы Гильберта, великая теорема Ферма или независимость континуум-гипотезы (но пришлось бы доказать и выполнение привычных теорем), отношение было бы другим,"— по-моему, Ваша трактовка не соответствует моему полемическому утверждению.

Чем замечательна дискуссия с Вами, так это Вашими упорными попытками резко увести разговор в сторону в неудобный для Вас момент. …сначала были иллюстрацией, а теперь предлагается песочить их подробно, чуть ли не со статистикой в руках!
Ваша попытка засунуть в меня Гейтинга без обоснования или копание в переписке Кантора, когда у него официальные научные работы есть — та же фигня.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Специалистов математиков учат аксиоматической теории множеств.

Как человек, обладающий дипломом по специальности «Математика. Прикладная математика», заявляю: чепуху сморозили. Ни в одном встреченном мной по ходу обучения курсе (как общем, так и специальном) аксиоматическая теория множеств не вводилась. Можете считать это дополнительным аргументом в пользу любимого тезиса Тифарета о мехмате, но это так. Если это не так на матмехе, то я бы с удовольствием глянул на тамошние учебники ТФДП или функционального анализа — а то у нас как-то больше Колмогоров-Фомин употреблялся (не к ночи будь помянут).

> нынешний порядок обучения математике (утверждение в настоящем времени)
> не уделяет большого внимания неаксиоматическим подходам
> к изучению собственно теории множеств.

Курса "собственно теории множеств" я нигде не видел. Теоретико-множественные понятия и утверждения вводятся либо на матане (Вам показать, что на эту тему написано в стандартных учебниках?), либо в анализе-3 (Колмогорова-Фомина открывали?). Так что Вы опять выдаёте желаемое за действительное.

> удовлетворительное доказательство

Психология, а не математика. Меня "не удовлетворяют" решения, основанные на лемме Цорна; "классиков" не удовлетворяют решения, основанные на идеях ультрафинитизма. Получается, что прав таки тот, кто собрал бОльшую толпу?

> Смотрим, что я напечатал: [...] — по-моему, Ваша трактовка
> не соответствует моему полемическому утверждению.

А давайте посмотрим ещё, в ответ на что Вы это напечатали. Напоминаю: в ответ на приведённую мной цитату из Гейтинга, сетовавшего, что формальные системы отвлекли и т.д. — то есть проконстатировавшего следующий упорно игнорируемый Вами факт (для удобства понимания разбиваю на два пункта):

1) Интуиционистские формальные системы приняты (повторяю ещё раз: приняты; повторяю третий раз: приняты, чёрт побери) математическим сообществом к рассмотрению.
2) Интуиционистские идеи — отвергнуты напрочь.

Ваше полемическое утверждение, будь оно верным, означало бы, что не-интуиционисты должны были бы отправить "интуиционистское исчисление высказываний" в ту же мусорную корзину, что и интуиционистскую идеологию: ну, нету такой проблемы Гильберта, которая была бы решена при помощи ИИВ. Однако ничего подобного не произошло, см. пункт 1 выше. Ещё популярнее изложить мою мысль?

> копание в переписке Кантора, когда у него
> официальные научные работы есть — та же фигня.

Галуа много чего "официально опубликовал"?

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent)

> Это такие субъективные конкурсы

...по умению проходить эти самые конкурсы. Ding an sich, как сказал бы старик Иммануил. Об чём я с самого начала и талдычил.

> Аналогично: наука — способ самоутверждения учёных,
> бизнес — бизнесменов и т.п., не более того?

Э-э-э, нет! Наука — изучение свойств объективной реальности, данной нам в ощущениях. Способом самоутверждения она, безусловно, может быть — но сущность её заключается вовсе не в этом. То же с бизнесом, каковой есть, в первую очередь, производственный процесс (в рамках капиталистической формации) — и уж только во вторую способ самоутверждения "эффективного собственника". За олимпиадами же кроме стремления их организаторов выпендриться перед детьми (и их родителями) не скрывается ровным счётом ничего: их можно в любой момент отменить, и никто (кроме самих олимпиадников) этого даже не заметит.

> Вы умолчали о самоутверждении участников олимпиад.

Возраст большинства из них не располагает к выводу об их самостоятельности. Что олимпиада — "круто и вааще", это им рассказали старшие товарищи (совершив тем самым педагогическое преступление, каковым дезориентация обучаемого по определению и является: «кто соблазнит малых сих»).

> Сама суть олимпиад связана с наличием
> мотивов у участников, иначе школьники
> просто не станут на них тратить своё время.

Вы полагаете, что если введут олимпиады по закону божьему, школьники дружно и высокосознательно станут их бойкотировать? Не смешите. Бытие определяет сознание, и если в этом бытии крутятся недоматематики, рассказывающие детям (у которых критическое мышление ещё не развито, и которые потому не могут оценить, что их любимый учитель на деле — бездарный фанфарон, пошедший в олимпиадное движение просто потому, что ни к чему более осмысленному оказался неспособен), как олимпиады удлиняют известно что — школьники во всё это, в массе своей, поверят. Повторяю: они дети, и внушаемы.

> участие школьников в "школьных конференциях"

Школьник должен участвовать или в настоящей "взрослой" конференции (если реально способен — кстати, а почему бы и нет, у Макаренко же колонисты фотоаппараты штамповали), или просто учиться — тихо и без метания понтов. Олимпиады же создают видимость чего-то Большого и Важного на пустом месте.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

…по умению проходить эти самые конкурсы.
Э-э-э, нет! Олимпиады — изучение свойств объективных школьников, данных нам в ощущениях (посредством их письменных работ или устных объяснений в форме диалога).

их можно в любой момент отменить, и никто (кроме самих олимпиадников) этого даже не заметит.
Это, во-первых, не совсем о том аргумент: если что-то не требуется измерять, без измерений можно пережить, то это не означает, что это не измерение.
Во-вторых, основное известное мне применение математических олимпиад школьников более важно для математики: в серьёзные математические кружки, когда помладше, и в ВУЗы в старших классах обычно приглашают по результатам олимпиад (в кружки — другие методы [кроме детей знакомых околоматематиков и прочей кустарщины] мне не очень известны; в ВУЗы — это важно для поступления в МГУ, например, а не в Православный Технологический Университет Урюпинска какой-нибудь).
А самоутверждение — горючее и основной продукт олимпиад.

совершив тем самым педагогическое преступление, каковым дезориентация обучаемого по определению и является: «кто соблазнит малых сих»
Ну-ну. Только обычный сценарий — районная олимпиада крута потому, что вместо уроков. Городская и выше — потому что туда попадает в среднем менее человека на школу. А в кружках, где я работал, вообще, например, велась некоторая пропаганда против олимпиад, потому что переоценка их значимости среди школьников обычна. Другое дело, что натаскивать на олимпиады — это не только повышать значимость, соблазнять, это целый комплекс мер. Для побед желания самоутверждения обычно мало.

если введут олимпиады по закону божьему, школьники дружно и высокосознательно станут их бойкотировать?
Зависит в первую очередь от школьников. Математику сейчас тоже некоторые "бойкотируют": просто сидят и ничего не делают на районной олимпиаде, например. На любых не слишком обременительных олимпиадах будут победители. Если олимпиаду "дружно и сознательно" будут бойкотировать, а власти её высоко оценивают, то в результате куча "недружного или несознательного" станет на хорошем счету у властей, например.

что их любимый учитель на деле — бездарный фанфарон, пошедший в олимпиадное движение просто потому, что…
Олимпиадное движение было бы неизвестным, если бы участниками были только те школьники, у которых любимый учитель в этом движении состоит.
ни к чему более осмысленному оказался неспособен
Проблема в том, что хотя многие люди с многолетним стажем "в движении" становятся неадекватными, они на многое другое тоже способны (или были способны). А "движение" выбрали не исходя из своих способностей, а исходя из своих потребностей (в самоутверждении, например, или в общении с привычным кругом лиц).

Повторяю: они дети, и внушаемы.
Да, только вот почему есть педагогические проблемы вообще? Взял детей, внушил, готовые работники? А почему-то не работает. Хотя бы потому, что много желающих внушать.

у Макаренко же колонисты фотоаппараты штамповали
Не надо сравнивать уникальные достижения в работе с беспризорниками с привлечением непроблемных детей к математике.

или в настоящей "взрослой" конференции, или просто учиться
Это пример мысли, которую сложно внушить всем школьникам.
Олимпиады же создают видимость чего-то Большого и Важного на пустом месте.
??? Мы о конференциях, кажется, в этом абзаце.
На "взрослых" конференциях и во "взрослых" журналах тоже бывают извращения со школьниками. Они хуже олимпиад, менее показательны в плане крутости школьника. От этого обычно по-настоящему тошнит. А учёные обычно снисходительны (не все, достаточно, чтобы нашлись снисходительные, а на конференции их немало должно быть) и от педагогики дальше, чем плохой учитель.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Олимпиады — изучение свойств объективных школьников,
> данных нам в ощущениях

А я разве утверждал, что способность щёлкать олимпиады не является объективной? :-)

> если что-то не требуется измерять, без измерений можно пережить,
> то это не означает, что это не измерение.

Но то, что это — измерение, не означает, что без этого измерения нельзя пережить, и что если такое измерение перестать проводить, кто-то (помимо самого измеряющего) эту потерю заметит. Я же уже проводил известную аналогию: есть умение бегать, а есть умение бегать в мешке. Последнее тоже объективно, его тоже можно померить — вот только в реальной жизни никто в мешках не бегает. Если и бегают вообще (от медведя в лесу, например), то строго без мешка.

> в ВУЗы в старших классах обычно приглашают
> по результатам олимпиад

Да, что при приёме в ВУЗы проводится оценка не тех способностей, которые потом будут реально требоваться при обучении — это известный факт. Обычное обоснование такой практики состоит в следующем: да, вступительная и олимпиадная математики суть бесполезная чушь, однако в результате её освоения человек демонстрирует свою способность обучаться хоть чему-то (а потому и вузовскую программу авось вытянет). Это называется не "важно для поступления", это называется "метод поступления, применительно к подлости".

> Для побед желания самоутверждения обычно мало.

Именно так — а от учёбы отвлекает. Мне тут почему-то вспомнилась описанная в мемуарах Понтрягина история, как Шнирельман чуть не вылетел из МГУ.

> А "движение" выбрали не исходя из своих способностей,
> а исходя из своих потребностей (в самоутверждении,
> например, или в общении с привычным кругом лиц).

Для самоутверждения есть много гораздо лучших способов (получение новых сильных результатов, к примеру). Цель же обучения — именно обучение, т.е. подготовка новых кадров по соответствующей специальности, и тяга к самоутверждению в этой области деятельности просто вредна. Остальное сказано в предыдущем комменте.

> Да, только вот почему есть педагогические проблемы вообще?

А потому, что сознание определяется бытием (а ребёнок не сидит в школе безвылазно). Но в математические школы и на олимпиады попадают обычно не произвольные школьники, а вполне определённый контингент: интеллигенты в десятом поколении, которых на матшколу/олимпиады натаскивали с детства безотносительно к реальным математическим способностям.

> Не надо сравнивать уникальные достижения
> в работе с беспризорниками

Сам Макаренко, кстати, настаивал, что его результаты не являются уникальными (просто повторять его методы никто не пробует, поскольку они де "неправильные"). Но это так, к слову.

> с привлечением непроблемных детей к математике.

А теперь убийственный вопрос: а зачем привлекать? Чтобы дать непыльное занятие куче бездарных недоматематиков, не способных ни к реальной научной деятельности, ни к реальному преподаванию (где преподаётся не то, что "круто", а то, что надо)?

> Это пример мысли, которую сложно внушить всем школьникам.

А и не надо внушать. Кто действительно способен к математике, того не нужно тащить в неё за уши — сам придёт.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

способность щёлкать олимпиады
А Вы знаете о случаях, когда эта способность сопровождалась полной математической неспособностью человека? На уровне, например, неспособности получить высшее математическое образование при отличном прилежании и отсутствии социальных проблем?

вот только в реальной жизни никто в мешках не бегает
Боюсь, что довольно многие взрослые люди без мешков бегают не чаще, чем в мешках. А "от медведя в лесу" не бегал ни я (хотя я даже видел живого медведя на природе), ни один из моих знакомых, бег в мешках — чаще.

чуть не вылетел
Кстати, учился он не более положенного числа лет, а "чуть не считается ничуть".

"Шнирельман рассказывал мне, что Лузин едва не загубил его как математика в самом начале его пребывания в университете. Лузин читал на первом курсе «Высшую алгебру». Хотя это не была его специальность, но он делал это для привлечения к себе студентов. Лузин обратил внимание на Шнирельмана и предложил ему заняться решением континуум-проблемы. При этом он сказал: «Бросьте все лекции, ничему не учитесь и только думайте об этой проблеме». Шнирельман, конечно, ничего не мог придумать по континуум-проблеме, а занятия он прекратил на целый год. При встречах Лузин говорил ему: «Ну, что? Вы думаете? Думайте! Думайте!» Шнирельман не смел сказать, что он не знает, что думать. Занятия в университете он прекратил на целый год и с большим трудом вошёл потом в курс нормального обучения."
Абсолютно не вижу здесь рассказа о том, как "Шнирельман чуть не вылетел из МГУ".

есть много гораздо лучших способов (получение новых сильных результатов, к примеру)
Да, Шнирельман — хороший пример, кстати. Он, прям-таки, прожил долгую и уверенную жизнь, ага. Я написал о самоутверждении в жизни, а не в математике. Полагаю, что Шнирельману самоутвердиться было бы легче на педагогическом поприще. И, если я правильно проблемы его понимаю, учительницу себе нашёл бы какую-нибудь некрасивую, но относительно "понимающую" его (скорее — уважающую или около того) и т.п.

интеллигенты в десятом поколении, которых на матшколу/олимпиады натаскивали с детства безотносительно к реальным математическим способностям
Вот Дуров и Бондарко, например, примерно такие. И в математике, наверное, лучше бы их место занимали какие-нибудь другие люди, да?

Бытиё определяет сознание, если детей с детства натаскивают, реальные математические способности развиваются. У кого-то — до больших, у кого-то — до уверенной учёбы в школе, чаще я видел что-то на уровне редких третьих дипломов (сам я выше второго на городской олимпиаде не получал, кстати, а на всероссийской ни разу не был [какая-то странная история, правда, была с тем, что меня не позвали на отборочный тур, хотя собирались: неверное, потому что я как раз бросил мат. кружок]).

> Не надо сравнивать уникальные достижения в работе с беспризорниками
Сам Макаренко, кстати, настаивал, что его результаты не являются уникальными
1. Это работа с беспризорниками.
2. Как бы то ни было, они уникальные (во многом благодаря уникальной ситуации в стране). Повторите их пару раз, тогда и перестанем их считать такими.

А теперь убийственный вопрос: а зачем привлекать? Чтобы дать непыльное занятие куче бездарных недоматематиков, не способных ни к реальной научной деятельности, ни к реальному преподаванию (где преподаётся не то, что "круто", а то, что надо)?
Из мат. кружков идут не только в математику. Идут чаще всего в итоге в программисты (с мат. высшим образованием), также в физику, химию и т.п., реже в другие области (немат. высшее образование).

Привлечение к мат. не означает трудоустройства на "непыльное занятие" в мат. институте. Ещё см. ниже.

А и не надо внушать. Кто действительно способен к мат., того не нужно тащить в неё за уши — сам придёт.
Мат. кружок даёт основы определённой мат. культуры — большее, чем школьная программа представление о применимости и возможностях мат. Мат. — не для математиков. Но люди без мат. культуры не будут особо вникать в применения мат. и не будут искать новые применения. Цель мат. кружка — популяризация мат. среди тех, кто легко способен постичь не очень сложные (но существенно выходящие за рамки школьной программы) мат. методы.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> А Вы знаете о случаях, когда эта способность
> сопровождалась полной математической неспособностью

Я, знаете ли, не интересуюсь олимпиадами. Вы утверждаете, что они полезны для науки — Вы это и докажите ссылками на крупных математиков, пришедших в науку через олимпиады. А я вспомню Грина, который в университет поступил в сорокалетнем возрасте (и формула которого, тем не менее, есть во всех учебниках матана). Или Маркова-младшего (начинавшего с химии, а никак не с математики).

> Абсолютно не вижу здесь рассказа о том, как
> "Шнирельман чуть не вылетел из МГУ".

Оказался умным человеком, вовремя раскусил "любимого учителя" (и впоследствии сделал всё от него зависящее, чтобы поставить оного "любимого" к стенке). Не оказался бы — сегодня мы бы о нём вообще не вспоминали (эффект чёрной кошки).

> Я написал о самоутверждении в жизни, а не в математике.

А, ну так это вообще просто: молоток в руки, и в Битцевский лесопарк :-)

> Вот Дуров и Бондарко, например, примерно такие.

О, это да! Бондарко — мой любимый пример. «The paper is suspended since Theorem 2.1.1 is wrong». Быстрее списать какую-то левую теорему, вывести из неё (не проверив даже, а верна ли она!) пару следствий и опубликовать — быстрее, быстрее, БЫСТРЕЕ! Да, это действительно олимпиадный подход в действии.

> 1. Это работа с беспризорниками.

«Книга для родителей» — это тоже рекомендации по работе с беспризорниками?

> Повторите их пару раз, тогда и перестанем их считать такими.

Вообще-то Макаренко орудовал в нескольких разных колониях, а не одной. Так что результаты его таки воспроизведены.

> Идут чаще всего в итоге в программисты (с мат. высшим образованием)

Ну вот и пришли к главному: олимпиада вырабатывает инженерное мышление, т.е. способность быстро применить к той или иной более-менее стандартной проблеме более-менее известный трюк или теорию. Эти навыки безусловно полезны — вот только ни в коей мере не в научной работе (как это зачастую позиционируют). Так давайте и называть вещи своими именами.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

пришедших в науку через олимпиады
Вы что, грохнулись? При чём тут "пришли через"?

Я утверждал, что среди интересующиеся со школьных лет математикой будущие успехи в ней скорее всего предварены успехами не ниже некоторого существенного уровня на олимпиадах, а не что олимпиады — это то, "через что" куда-то приходят.

Про дорогу в математику "через" олимпиаду: Матиясевич, например, если из тех, кто ближе (так пишут, он, к тому же, схитрил и поступил благодаря победе на олимпиаде в ВУЗ раньше положенного).

А отрицанием моего утверждения было бы то, что "будущие математики на олимпиадах обычно совершенно лажают, а побеждают те, кто математиками при всём желании стать не могут потом". Я делал всё-таки довольно слабое утверждение, ничего про "пришли через".

О, это да! Бондарко — мой любимый пример. «The paper is suspended since Theorem 2.1.1 is wrong».
Сам Бондарко-то прав был. И ссылаются во многом для того, чтобы, узнав, что некто, на кого ссылался Бондарко, ошибся, можно было и результаты Бондарко аннулировать.

А Вы, типа: "Я не понимаю, как можно ссылаться на нечто, предварительно это нечто не перепроверив самостоятельно." http://lj.rossia.org/users/tiphareth/1038777.html?thread=21678009#t21678009
Как я понимаю, Вы не допускаете существование научно-технических проектов трудоёмкостью 100 человеко-лет и больше… А когда часть засекречена, то вообще нельзя ссылаться на результаты, раз доказательство не перепроверить.

"Неправильная наука та, которую "нельзя проверить до аксиом". Потому что в такой науке, вероятнее всего, намудрили много лишнего, и рано или поздно все эти 50000 работ будут съедены десятком новых, написанных исходя из другой точки зрения." http://lj.rossia.org/users/tiphareth/1038777.html?thread=21686457#t21686457
А вот это уже странно: сейчас-то Вы, похоже, против аксиом.

«Книга для родителей» — это тоже рекомендации по работе с беспризорниками?
Эта книга не о конкретных достижениях Макаренки, скорее общие рассуждения опытного человека, "художественно-теоретическое сочинение". Мне неизвестны также дети Макаренки (в биографиях не видел упоминаний).

Вообще-то Макаренко орудовал в нескольких разных колониях, а не одной. Так что результаты его таки воспроизведены.
Я в курсе его краткой биографии. Только вот после издания "Методики организации воспитательного процесса" (1936) он уже не очень работал в колониях. И по-научному было бы ожидать повторения-проверки его результатов (этого самого 1936-го года) другими педагогами. Я как педагог Макаренкой, например, восхищался, но применять его идеи был не очень в состоянии (более по техническим причинам).

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Матиясевич, например

Сколько же я ждал эту фамилию! Ура, дождался. А теперь давайте посмотрим на характер результатов Матиясевича: короткие ассоциативные исчисления с неразрешимой проблема равенства, десятая проблема Гильберта. Безотносительно к степени (безусловной) технической трудности этой деятельности, она представляет собой дотачивание напильником углов в уже построенных (Гильбертом, Клини, и т.д.) теориях. Деятельность, конечно, нужная (многие и этого не умеют) — но с точки зрения науки в целом всё же второсортная.

> Сам Бондарко-то прав был.

В возможности корректно вывести нечто из неверной посылки? Верю. Математика тут при чём?

> Как я понимаю, Вы не допускаете существование
> научно-технических проектов
> трудоёмкостью 100 человеко-лет

И где же у деятельности того же Бондарко техническая составляющая? А кто тут недавно ещё утверждал, что математика и наукой-то не является?

Давайте всё же не путать тёплое с мягким?

> вообще нельзя ссылаться на результаты,
> раз доказательство не перепроверить.

В теоретической науке это, вообще-то — минимальное требование. Или Вы числите алггеометрию по экспериментальному ведомству?

> А вот это уже странно: сейчас-то Вы, похоже, против аксиом.

Я против высосанных из пальца аксиом, а не против аксиоматического метода вообще. Это раз. И я против подмены понятий (утверждений "без аксиоматики не строится" в случаях, когда реально строится), это два. Так что никакого противоречия.

> Я как педагог Макаренкой, например, восхищался,
> но применять его идеи был не очень в состоянии
> (более по техническим причинам).

"Я" применить эти идеи не сможет по абсолютно техническим причинам, это верно. Тут должен быть коллектив (да и подходящая внешняя обстановка).

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Матиясевич… Деятельность, конечно, нужная (многие и этого не умеют) — но с точки зрения науки в целом всё же второсортная.
Ну-ну. Куда уж объективнее критерий: решил важную (раз Гильберта, типа) широко известную проблему. С субъективностью у Вас всё-таки получше, чем с объективностью.

В возможности корректно вывести нечто из неверной посылки? Верю. Математика тут при чём?
При том, что он по сути доказал импликацию: из таких-то результатов следуют такие-то. То, что исходные результаты неверны, работу обесценило, но не вывело её за рамки математики.

и наукой-то не является?
Я же написал: "научно-технический":) "Научно технические — относящийся к техническим наукам,"— пишет толково-словообразовательный словарь в изложении gramota.ru. "Основным методом технических наук является математическое и компьютерное моделирование,"— пишет без ссылки русская Википедия, а я с ней соглашаюсь. Так что учёным в научно-технических проектах — место (а сам Бондарко, вроде бы, даже лекции по полуприкладной дисциплине читал: эллиптические кривые в криптографии или что-то такое).
А Вы написали: "Я не понимаю, как можно ссылаться на нечто, предварительно это нечто не перепроверив самостоятельно."
Значит математику жизни не хватит на серьёзное участие в…

В теоретической науке это, вообще-то — минимальное требование. Или Вы числите алггеометрию по экспериментальному ведомству?
Ау! Я про > 100 чел.*год н.-т. проект.

И я против подмены понятий (утверждений "без аксиоматики не строится" в случаях, когда реально строится), это два.
Раз уж Кантора трактуете по поздним письмам, то и в мои разъяснения вникайте: в современной математике, в её преподавании для специалистов, неаксиоматический подход является исключительным (да и я лично не знаю, в каких ВУЗ-ах в основном курсе действительно изучают теорию множеств неаксиоматически). phantom хотел изучать теорию множеств. Я ему описал положение дел согласно нормам русского языка. Теперь Вы роете окопы и кидаетесь гранатами, чтобы доказать что-то. Я не спорю, что могут существовать секты, верящие в полноценность своей "теории множеств", как они её называют, причём "теории" неаксиоматической, даже в то, что сектантов могут считать математиками (а не философами, например).

"Я" применить эти идеи не сможет по абсолютно техническим причинам, это верно. Тут должен быть коллектив (да и подходящая внешняя обстановка).
О том я и писал, употребляя слово "уникальный". В русском языке его синонимом является и слово "редкий" (см. толково-словообразовательный словарь на gramota.ru).

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> решил важную (раз Гильберта, типа)
> широко известную проблему.

В одиночку решил, на пустом месте. Не использовав ни тезиса Чёрча о совпадении класса эффективно разрешимых задач с разрешимыми в частично-рекурсивных функциях, ни самого понятия частично-рекурсивной функции (появившегося в результате деятельности Гильберта, Гёделя, Клини и того же Чёрча уже после постановки десятой проблемы), ни предшествующих результатов Дэвиса и Ко. Вы меня за идиота держите, или одно из двух?

> При том, что он по сути доказал импликацию

Выдав при этом за доказанный результат не её саму, а только её заключение (и тем самым дав от себя гарантию верности посылки!). Если бы в статье была действительно сформулирована верная импликация "из такого-то утверждения следует такое-то", то Theorem 2.1.1 не была бы wrong, и дезавуировать статью не было бы смысла.

> пишет без ссылки русская Википедия,
> а я с ней соглашаюсь.

Русскую Википедию в массе своей пишут с целью самоутверждения недоумки, либо отчисленные с младших курсов за неуспеваемость, либо поражённые ГСМ чуть более чем полностью. Верные утверждения (в форме копипасты) там, разумеется, найти можно — но проверять надо всё, и в обязательном порядке. Цитированный же Вами бред (как и не менее идиотское утверждение про "технику как продукт человеческого духа" — угу, хотел бы я глянуть, как бодхисатвы в состоянии сатори производят КрАЗы силой мысли) настрочил — как элементарно проверяется по странице истории (хорошая вещь GNU FDL!) — 26-го января 2007 года некий обладатель личной страницы с записью "окончил философский факультет СПбГУ". Эксперт по проблеме, какие могут быть сомнения! LOL.

> сам Бондарко, вроде бы, даже лекции по полуприкладной дисциплине читал:
> эллиптические кривые в криптографии или что-то такое.

Он там читал собственные результаты? Опять же, давайте не путать тёплое с мягким.

> я лично не знаю, в каких ВУЗ-ах в основном курсе
> действительно изучают теорию множеств неаксиоматически.

Я уже писал, что не знаю ни одного обратного примера. Если приведёте — буду весьма признателен.

> phantom хотел изучать теорию множеств.
> Я ему описал положение дел согласно нормам
> русского языка.

Но в противоречии с действительным положением дел. И при том ещё попытались приписать ему свои собственные взгляды ("наивные определения идут лесом, теория множеств без аксиоматики не строится"), несмотря даже на прямое его несогласие (ссылку я давал).

> могут существовать секты, верящие в полноценность своей "теории множеств"

Одной из таких сект и является секта аксиоматизаторов. Большинство же обходится "наивными" представлениями — и это факт. Можете продолжать кричать, что это не так — у меня барабанные перепонки прочные :-)

> О том я и писал, употребляя слово "уникальный".

Ну, да — станок с ЧПУ в эхнатоновском Египте тоже был бы чем-то уникальным. Но возможность массового производства таких станков (при других, чем у Эхнатона, условиях) этим не отменяется.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent)

олимпиада вырабатывает
Опять ерунда какая-то: ничего олимпиада не вырабатывает. Я лично сугубо против занятия олимпиады в течении такого времени, чтобы они что-то "вырабатывали". Проверили способности решать задачки, выдали награды — всё. А Вы спорите со мной, приписывая мне наделение олимпиад какими-то свойствами длительного педагогического процесса.

Я, к Вашему сведению, со школьников, ездивших на Всероссийские олимпиады (и на сборы), требовал усвоения материала с уроков, которые они пропустили из-за олимпиады и сборов, например (мотивируя это тем, что если проход на олимпиады показывает их крутость, то наверстать упущенное им будет легко). Так что подмену обучения олимпиадами мне не приписывайте!

(Reply to this) (Parent)

вырабатывает инженерное мышление
Мы пришли к очевидному наблюдению, что околоматематические навыки коррелируют со способностями к "инженерному" мышлению. Олимпиады тут непричём. В программисты идут массово и слабые ученики мат. школ, которые на олимпиадах успехов не показывают.

(Reply to this) (Parent)

Канторовские множества были придуманы до того хитро, что никаких антиномий в них не могло быть в принципе.
Не были. Это письмо Гильберту 1899-го года является реакцией на парадокс Кантора, а не первоначальной задумкой. Теорию Кантор придумывал раньше. А здесь он уже её меняет.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Это письмо Гильберту 1899-го года

Дедекинду. Я же ясно указал фамилию в предыдущем посте — это даже не говоря о том, что переписка Кантора с Дедекиндом есть абсолютно хрестоматийный источник по обсуждаемому вопросу (человек, путающий тут Дедекинда с Гильбертом, попросту расписывается в незнакомстве с предметом!).

> является реакцией на парадокс Кантора,
> а не первоначальной задумкой. Теорию Кантор
> придумывал раньше. А здесь он уже её меняет.

Ссылки на первоисточники (т.е. работы самого Кантора), пожалуйста. А то, знаете, сведения из третьих рук не всегда точны.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Ссылки на первоисточники (т.е. работы самого Кантора)
Насколько я понимаю, теорию он в последний раз последовательно излагал в Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre (1. Artikel), Mathematische Annalen 46 (1895), S. 481-512 и Georg Cantor: Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre (2. Artikel), Mathematische Annalen 49 (1897), S. 207-246.

Эти тексты свободно доступны через интернет (например, в Göttinger Digitalisierungszentrums), но я немецкий знаю плохо.

По-русски важна, видимо, книга Кантор Георг, Труды по теории множеств (1985), Москва, "Наука". Переводятся там работы и прочее в основном со сборника под редакцией Цермело, вышедшего в 1932-м году, что написано в предисловии. Там и переписка с Дедекиндом есть, аж 49 писем. Эту книгу можно найти в интернете, не знаю, насколько нелегально.

Процитированное письмо Дедекинду я не понял (потому и опечатался), что неудивительно: это переписка, а не научный "первоисточник". Но обратил внимание на год письма (позже 1897-го). Очень мило, что в своей частной переписке Кантор рассуждает о том, что "представляется необходимым", а что нет, но это не первоисточник. Это интересно для истории, но не более того.

Естественно, предыдущие два абзаца умаляются отсутствием переводов статей 1895-го и 1897-го года, на которые я сослался. Почему их туда не включили, моему разумению недоступно.

На английский статьи перевёл Филип Журден, с которым Кантор вроде как переписывался. Книга на английском свободно доступна в интернете: Contributions to the Founding of the Theory of Transfinite Numbers by Georg Cantor, Philip E. Jourdain (Translator) (1915), Chicago and London, The Open Court Publishing Company.

Про "консистентные совокупности" я не заметил, чтобы Кантор писал в этих статьях, а вот начинается первая статья с определения множества: "By an "aggregate" {Menge) we are to understand any collection into a whole{Zusaimnenfassung zu einem Ganzen} M of definite and separate objects of our intuition or our thought. These objects are called the "elements" of M."

По-моему, это чистейшая наивная теория множеств, подверженная антиномиям. А также психологическим затруднениям: мало ли, какое "множество" кто-нибудь начнёт считать "неопределённым" из-за его бесконечности или ещё чего-нибудь?

Никакие добавления не изменяют ситуацию: они могут подсказать выход, завести в тупик и т.п., но определение-то уже написано…

Остаётся только тормозить, забить или отказаться от такого определения.

Это определение по-человечески понятно, оно не придумано как-то особо "хитро".

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> это переписка, а не научный "первоисточник".

Может, и современный препринт из arXiv'а первоисточником не является? А потому пресловутых статей Перельмана тоже "не существует" (как писем Кантора)?

> Естественно, предыдущие два абзаца умаляются
> отсутствием переводов статей 1895-го и 1897-го года

Иначе говоря, книгу 1985-го года Вам раздобыть не удалось (в противном случае Вы были бы в курсе, что эти две статьи занимают в ней стр. 173-245). Что ж, это не катастрофа, конечно.

> Про "консистентные совокупности" я не заметил,
> чтобы Кантор писал в этих статьях, а вот начинается
> первая статья с определения множества:
> "By an "aggregate" {Menge) we are to understand
> any collection into a whole{Zusaimnenfassung zu einem Ganzen} M
> of definite and separate objects of our intuition
> or our thought. These objects are called the "elements" of M."

А теперь обратите внимание на глубокомысленное "into a whole" (оно же "zu einem Ganzen" источника, оно же "в некое целое" русского перевода). Это и есть та самая лазейка, которой Кантор спустя четыре года с лёгкостью воспользовался: кто сказал, что любые объекты всегда могут быть объединены в некое завершённое "целое"? Кардиналы вот как раз и не могут, ловите доказательство.

Кстати, рекомендую до кучи: "Mitteilungen zur Lehre vom Transfiniten" [Zeitschr. f. philos. Kritik Bd. 91, S. 81-125 (1887)]. В сборнике 1985-го года начинается на стр. 268. Про различие трансфинитного и абсолютно бесконечного там небезынтересно.

> А также психологическим затруднениям: мало ли, какое "множество"
> кто-нибудь начнёт считать "неопределённым" из-за его бесконечности
> или ещё чего-нибудь?

Абсолютно верно! Вот только ровно те же психологические проблемы встают и перед любой "современной" теоретико-множественной аксиоматикой: добавить аксиому выбора или отбросить? считать все объекты множествами или добавить собственные классы? и т.д. Так что никакого реального шага вперед эти аксиоматики по сравнению с исходной канторовской концепцией не представляют: как были множества сепульками, так сепульками и остались.

> Остаётся только тормозить,
> забить или отказаться от такого определения.

Или просто не пытаться отбросить в сторону его существенную часть :-)

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

пресловутых статей Перельмана тоже "не существует" (как писем Кантора)
Это опубликованные научные статьи, а не переписка, опубликованная чёрт знает когда после смерти. И существование я не оспаривал.

Иначе говоря, книгу 1985-го года Вам раздобыть не удалось
Я, конечно, слажал, что не нашёл статей в ней, но Вы повысили мою самооценку дурацким домыслом. Книгу я раздобыл (о чём следовало догадаться по утверждению о её доступности в интернете!), про переписку с Дедекиндом там и прочитал. Статью пропустил потому, что определение множества из начала статьи не попало в предметный указатель.

Это и есть та самая лазейка, которой Кантор спустя четыре года с лёгкостью воспользовался
Это уже талмудистика какая-то, а не математика.
Тогда можно утверждать и что множество натуральных чисел не является "whole" и т.п., а прав тот, кто кричит громче или больше ссылок на классиков даёт.

>психологическим затруднениям
Абсолютно верно! … как были множества сепульками, так сепульками и остались
Да нет. Множества с аксиоматикой — нечто, снабжённое алгоритмами проверки утверждений. Это научные сепульки. А канторовские — сегодня сепульки, а завтра оказажется, что куздры.

Или просто не пытаться отбросить в сторону его существенную часть
Именно потому, что я считаю, что существенную часть его не отбрасывали, я и считаю, что Коэн проблему Гильберта решил.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Это опубликованные научные статьи,
> а не переписка, опубликованная чёрт знает когда
> после смерти. И существование я не оспаривал.

Во-первых, не так уж "чёрт знает когда". В цермеловском талмуде 1932-го года это письмо заведомо есть (SS. 443-447). Во-вторых, когда мы говорим о "канторовских множествах", мы должны исходить из точки зрения самого Кантора — безотносительно к тому месту, где она выражена: в математическом ли журнале, философском ли трактате или же личной переписке. Любой другой подход будет искажением этой точки зрения (пусть даже и благонамеренным). Вам, помнится, не нравилось, когда РПЦ за Вас решала, являетесь Вы православным или нет — так почему Вы считаете себя вправе решать за Кантора, что ему думать о множествах?

> Вы повысили мою самооценку дурацким домыслом.

Рады стараться.

> Это уже талмудистика какая-то, а не математика.
> Тогда можно утверждать и что множество натуральных
> чисел не является "whole" и т.п., а прав тот,
> кто кричит громче или больше ссылок на классиков даёт.

О-о-о, а Вы, похоже, начинаете понимать действительное значение теории множеств для математики :-) Безусловно, это чистая талмудистика — что доказывается уже наличием для оной теории десятка конкурирующих и не всегда совместных друг с другом аксиоматик. Причём даже насчёт натурального ряда Вас опередили: см. опус П.Вопенки под заглавием «Математика в альтернативной теории множеств», М.:Мир, 1983.

> Множества с аксиоматикой — нечто, снабжённое
> алгоритмами проверки утверждений.

А не боитесь, что поймаю на слове и потребую соответствующую машину Тьюринга? :-) Притом такую, что давала бы один и тот же результат и в ZF с континуум-гипотезой, и в ZF с отрицанием континуум-гипотезы, и в NBG, и в NF, и в "альтернативной математике" Вопенки (коль скоро "научные" множества не могут быть с одной стороны сепульками, а с другой — куздрами)?

> Именно потому, что Я считаю

Психология, а не математика :-)

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Во-вторых, когда мы говорим о "канторовских множествах", мы должны исходить из точки зрения самого Кантора
Нет. Мы должны исходить из определения самого Кантора. Дал определение — всё, не вырубишь топором.

Статьи 1895-го и 1897-го годов — последние широко известные серьёзные математические публикации Кантора с определением множества, что я знаю. Потому на них и сослался.

А мнение Кантора мне несущественно.

когда РПЦ за Вас решала, являетесь Вы православным или нет
Мне не нравится и когда Кантор, дав нечёткое определение, хочет распоряжаться (не он сам, конечно, а в Вашем лице) им через годы после формулировки, причём не изменяя его формально, на интуитивном уровне.

Я за Кантора не решаю, каково его определение. А что он о множествах думает — это не о математике. "— Жанночка, что Вы думаете о множествах? — Ах, Альберт, когда Вы о них говорите, это меня так возбуждает,"— что-то такое, не математика.

Причём даже насчёт натурального ряда Вас опередили
Если бы я думал, что это очень оригинальная идея, я бы не в жиже писал. Но ссылки, конечно, не знал. Собственно, Кронекер, как я понимаю, эту идею вполне сознавал, ибо я так понимаю, что натуральные числа "от бога" — это как раз волевое усилие по преодолению этой идеи.

Теория важна целостностью и применимостью: ЦФ не требует для своего прояснения посмертных публикаций писем, хотя и довольно сложна в понимании. С ней проблем математика не имеет, это как наука: опыт говорит, что ЦФ работать не мешает, переносить в математику реальные проблемы так, чтобы они поддавались анализу и т.п. — тоже не мешает.

Несколько хороших применений других аксиоматик или другого рода систем — их оценят высоко. А на уровне формулировок и философии, без "опыта", который выдерживает критический анализ, грош им цена.

и потребую соответствующую машину Тьюринга?
Доказательства утверждений в ЦФ не отличаются что в ЦФ+КГ, что в ЦФ+неКГ, что в NBG. "Альтернативная математика" и NF — я не знаю их. Полагаю, что утверждения в ЦФ будет сложно сформулировать в "Альт. мат." или NF, потому что они не содержат ЦФ, как я понимаю. Если две теории используют слово "множество", а у интуиции читателя эти понятия вызывают ощущение соответствия определению Кантора, это не значит ничего существенного.

> Именно потому, что Я считаю
Психология, а не математика :-)
Типа того. "С поставленной задачей Коэн в основном справился,"— оценка не математическая, это оценка математики.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Дал определение — всё, не вырубишь топором.

Канторовское определение содержит "zu einem Ganzen". Любое определение без этого словосочетания (в том числе Ваше) — не канторовское. Точка.

> Кантор, дав нечёткое определение

Но любое другое — не канторовское, сколь бы чётким ни было. Так что мой тезис (что канторовское определение настолько хитро и расплывчато, что антиномий из него принципиально вывести нельзя) верен, а Ваш обратный основан на подлоге (на подсовывании Кантору "уточнений", в действительности им не сделанных). QED.

> Кронекер, как я понимаю, эту идею вполне сознавал

Понимаете, разумеется, с точностью до наоборот: Кронекер говорил об отдельных числах, а не о ряде как целом. Ибо был лютым, бешеным врагом Кантора, открыто объявлял теорию множеств галиматьёй и даже склонялся к мысли, что трансцендентных чисел не существует (отчего гнобил Линдемана на всякий случай). И в фразе своей знаменитой он просто выразил сущность своей собственной (антиканторовской) программы построения математики: любой математический объект есть закамуфлированное натуральное число, и любое математическое суждение должно быть сведено к арифметическому посредством чего-то вроде гёделевой нумерации.

> ЦФ не требует для своего прояснения посмертных публикаций писем,
> хотя и довольно сложна в понимании.

И не нужна никому, кроме узких специалистов по ней же самой.

> опыт говорит, что ЦФ работать не мешает

И религиозные убеждения не мешают. Подсчёт верующих научных работников — это вообще любимая развлекуха религионеров, так что Вы на правильном пути!

> Доказательства утверждений в ЦФ не отличаются что в ЦФ+КГ,
> что в ЦФ+неКГ, что в NBG.

Не-не-не-не-не, давайте машину Тьюринга, разрешающую (не перечисляющую, а разрешающую — Вы ровно это обещали!) верность утверждений в ZF. Иначе получится слив :-)

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Любое определение без этого словосочетания (в том числе Ваше) — не канторовское. Точка.
Я приводил определение на английский с переводом этого словосочетания и указанием его в скобках. Своего определения множества я не приводил.

Так что мой тезис (что канторовское определение настолько хитро и расплывчато, что антиномий из него принципиально вывести нельзя) верен, а Ваш обратный основан на подлоге (на подсовывании Кантору "уточнений", в действительности им не сделанных).
Нет, Ваш тезис не является верным. Расплывчатость и бесхитростность канторовского определения способствуют возможности наличия различных выводов из него и антиномиям. Я волен написанное трактовать в соответствии с правилами языка. Вы тоже. У нас разные выводы, это проявление противоречивого характера определения. Уточнений я от Кантора не требую, уточнение приводили Вы.

… с точностью до наоборот: Кронекер говорил…
С точностью до различных способов ясновидения, мы понимаем о чём речь примерно одинаково.

> ЦФ не требует для своего прояснения посмертных публикаций писем, хотя и довольно сложна в понимании.
И не нужна никому, кроме узких специалистов по ней же самой.
Ага. И phantom-а. А определение Кантора в 1985-м выпустили вообще не в математической книжке, а исторической.

И религиозные убеждения не мешают. Подсчёт верующих научных работников — это вообще любимая развлекуха религионеров, так что Вы на правильном пути!
А это уже не логика. С учётом неидеального состояния науки и т.п., можно винить в нём этих верующих, а про великих сокрушаться: "Ах, сколько бы они ещё наворотили, если бы не давление этих церковных догматов!"

Не-не-не-не-не, давайте машину Тьюринга, разрешающую (не перечисляющую, а разрешающую — Вы ровно это обещали!) верность утверждений в ZF. Иначе получится слив :-)
Я не обещал машину Тьюринга. Я не люблю машины Тьюринга и никому их не обещал. Для Ваших религиозных обрядов они или их отсутствие, наверное, необходимы, раз с 26-го декабря Вы о них пишете, но я не писал о своей приверженности к ним. Я не считаю их более "реальными", чем многое другое.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Своего определения множества я не приводил.

Вы опустили требование возможности совместного существования элементов множества (то самое "zu einem Ganzen"). Безусловно, это требование является крайне расплывчатым, открывающим широченный простор для субъективизма (да и вообще едва ли математическим по своей природе) — но канторовское определение именно таково. И оно таки даёт возможность отвергнуть любую антиномию, сказав, что на деле она есть теорема о невозможности множества с требуемыми свойствами. Соответственно, если Вы утверждаете, что из некоторого определения множества следуют антиномии — значит, это определение неканторовское (а какое конкретно, мне не интересно). Вот и всё.

> С точностью до различных способов ясновидения,
> мы понимаем о чём речь примерно одинаково.

Я, наверное, совсем уже утратил способность понимать русскоязычный текст. Вот начало рассуждения: "тогда можно утверждать, что и множество натуральных чисел не является whole". Вот продолжение: Кронекер, как я понимаю, эту идею вполне сознавал, ибо я так понимаю, что натуральные числа "от бога" — это как раз волевое усилие по преодолению этой идеи — по смыслу текста выходит, что Кронекер боролся де против мысли о неконсистентности натурального ряда и специально привлекал бога, чтобы обосновать его якобы консистентность (хотя на деле для Кронекера ряд в целом был именно неконсистентен, и ничего "преодолевать" тут он не собирался).

> Ага. И phantom-а.

Очередной подлог.

> Я не обещал машину Тьюринга.

То есть Вы не понимаете, какие обязательства налагает на Вас фраза снабжённое алгоритмами проверки утверждений в свете современной трактовки понятия "алгорифм"? Жаль. Швыряться терминами нехорошо :-(

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

если Вы утверждаете, что из некоторого определения множества следуют антиномии — значит, это определение неканторовское
И оно таки даёт возможность
Вот именно. Даёт возможность считать как существующими, так и отрицать существование. Это и есть антиномия.

(хотя на деле для Кронекера ряд в целом был именно неконсистентен, и ничего "преодолевать" тут он не собирался).
А бога зачем поминал? Или у него всё время на бога ссылки? Привлёк бога, значит пытался что-то преодолевать, что считал естественным. Бог по сути же сверхъестественен.

Очередной подлог.
Ну-ну. Читайте внимательнее: "Т.е. я пробовал брать эту книжку и так делать, но у меня не получилось особо продвинуться." Его заставляли, что ли, брать? И потом он её (в декабре) ещё читал, решая упражнения. Если не обладаете информацией, то ссылки выглядят глупо.

То есть Вы не понимаете, какие обязательства налагает на Вас фраза…
Ага, а когда Вы пишете "теория множеств", это накладывает на Вас обязательство присягать ЦФ. Оспариваете общепринятое, не надо совать своё под видением общепринятого, даже если оно действительно общепринятое (если, конечно, не будете отсутствие антиномий тем же методом, что и про определение Кантора обосновывать). И что-то обосновать можно без явного предоставления машины Тьюринга: всё-таки эквиваленты какие-то известны, например. В эту тему я не собираюсь углубляться далее потому, что Вы мне опять какие-то приписываете обещания, обязательства.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Даёт возможность считать как существующими,
> так и отрицать существование. Это и есть антиномия.

Как же скучно разжёвывать азы :-( Открываю БСЭ: «АНТИНОМИЯ — противоречие между двумя взаимоисключающими предположениями, признаваемыми одинаково истинными». Где в канторовском определении признание "одинаковой истинности" (т.е. истинности, логически, необходимым образом, вытекающей из определения) существования и несуществования чего-либо? Нет такого признания! Есть лишь Ваш личный вывод, что ни существование, ни несуществование чего-то не противоречат этому определению, т.е. могут быть добавлены (sic!) к нему в качестве "принудительного ассортимента" — а это, простите, нечто совсем-совсем другое.

Демагогия, так что угодно можно доказать. Яблонь не существует, так как понятие яблони даёт возможность считать яблони на Марсе как существующими, так и нет — всё, антиномия.

> Привлёк бога, значит пытался что-то преодолевать,
> что считал естественным. Бог по сути же сверхъестественен.

Пять баллов. Слов нет, только цитаты:

«Правдин. Нет, сударыня, тиранствовать никто не волен.
Простакова. Не волен! Дворянин, когда захочет, и слуги высечь не волен; да на что ж дан нам указ-от о вольности дворянства?
Стародум. Мастерица толковать указы!»

> Если не обладаете информацией, то ссылки выглядят глупо.

Вы положительно держите меня за идиота. Я ж могу пройти по ветке, и прочитать там ответ phantom'а Вам (Вами, кстати, проигнорированный), что формализм — это болезнь, которую надо лечить; что лучше всего найти что-то на стыке математики и CS (а это как раз всякие содержательно понимаемые иерархии Клини-Мостовского, а никак не АТМ), и т.д.

> Оспариваете общепринятое, не надо совать своё
> под видением общепринятого

Да, общепринятое среди Вас я оспариваю :-) В математике же вообще единой общепринятой АТМ не наблюдается (даже среди секты аксиоматизаторов, ибо есть подсекты).

> обосновать можно без явного предоставления машины Тьюринга:
> всё-таки эквиваленты какие-то известны, например.

Ладно, давайте рекурсивный терм, нормальный алгорифм, исчисление Поста — я всё приму :-)

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

АНТИНОМИЯ
Истинность, естественно, вытекает не только из философско-психологического определения Кантора, но и из используемой логики.

Вот ?простые люди? без ссылок в английской Википедии пишут: http://en.wikipedia.org/wiki/Russel's_paradox#The_paradox_holds_in_intuitionistic_logic

Это и есть пример антиномии (я о содержании по ссылке).

Про теорию множеств опять. Собственно теорию множеств изучать люди по специальности 010101 не обязаны. Есть курс мат. логики. http://www.math.spbu.ru/ru/mmeh/Gost/010100.html ОПД.Ф.06 — мат. логика. Хрен поймёшь, что написано, но без аксиом не строится теория множеств и там: невпопад "аксиомы" в первом абзаце упомянуты аж два раза (без пояснений), второй раз — перед "торжественной истинностью". У остальных ВУЗ-ов документы не такие весёлые, но слово "аксиомы" также написано. На матмехе СПбГУ теорию множеств на общем курсе специальности 010101 изучают аксиоматически. На остальных общих курсах теорию множеств не изучают, а леммой Цорна при случае пользуются.

что-то на стыке математики и CS (а это как раз всякие содержательно понимаемые иерархии Клини-Мостовского, а никак не АТМ)
О, да! Да! Да! Срочно надо уточнить у phantom, что это как раз то!

Ладно, давайте рекурсивный терм, нормальный алгорифм, исчисление Поста — я всё приму :-)
Я уже написал, что не собираюсь приводить. Кроме того, что Вы догматически толкуете понятие алгоритма, я не сомневаюсь, что Вы собираетесь меня подкалывать на тему своего идеалистического, а не формального (как теорем, "встречающихся в каких-нибудь доказательствах", где доказательство также формально определено), понимания "истинности утверждений".

ни предшествующих результатов Дэвиса и Ко. Вы меня за идиота держите, или одно из двух?
Да, конечно, на месте Матиясевича любой бы доказал. Куда уж ему до интуиционистов: на месте Матиясевича любой интуиционист и проблему Гольдбаха для кучи решил бы.

Его достижение объективно. Все математики пользуются публикуемыми работами и общением с современниками, а также наследием предшественником.

Такой же лох как Ньютон Матиясевич, тоже, блин, "на плечах гигантов".

Русскую Википедию…
Ожидал чего-нибудь такого:) Неидеалистично, неидеалистично:)

Но возможность массового производства таких станков (при других, чем у Эхнатона, условиях) этим не отменяется.
Путаете тёплое и вонючее с тонким и язвительным. Я писал об уникальности, а не о теоретической возможности воспроизводства.

на тамошние учебники ТФДП или функционального анализа
На анализе теорию множеств не изучают. Используют, повторяют основы, но не изучают. Как Бондарко какую-то хрень использовал, не изучив.

А на "Мат. логике" Цермело-Френкель в обязательном минимуме не упоминаются, но слово "аксиомы" есть недалеко от множеств (да, документ не очень ясный).

Если курс собственно теории множеств отсутствует, то без расширительного толкования Ваших претензий я корректен, кстати.

Что там пишут аналитики не по-специальности, мне неинтересно.

Получается, что прав таки тот, кто собрал бОльшую толпу?
Если дело касается количества "удовлетворённых", то безусловно.

Аксиоматические теории дают хоть какое-то приближение к справедливости в этой ситуации, по-моему.

Интуиционистские идеи — отвергнуты напрочь.
Да. Формальные системы трудно не принять. А идеи — надо собирать толпы. Есть разница между формальными системами, которые можно "принять", согласившись с тем, что это математика, и с тем, чтобы принять идеи. Это как политика: если устав какой-то партии зарегистрировали в соответствии с законом, это не значит, что должны были принять её идеи.

Галуа много чего "официально опубликовал"?
Пишут, что "Да". То, что ему приписывается, он именно публиковал. (Я, кстати, работ Галуа не читал, сужу по http://en.wikipedia.org/wiki/Galois#Budding_mathematician .)

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Вот ?простые люди? без ссылок в английской Википедии пишут

Спасибо за предоставленную информацию. Возвращаю Вам Вашу любезность: непростой Нагорный в 47-ом параграфе "Теории алгорифмов" пишет то же самое. А теперь сюрприз: попробуйте вывести (средствами классической, интуиционистской, или хоть модальной логики) парадокс Рассела без предположения, что совокупность множеств, не являющихся своими элементами, сама является множеством (т.е. допускает "объединение в единое целое"). У Кантора такого предположения нет.

> Собственно теорию множеств изучать люди по специальности 010101 не обязаны.

Т.е. Ваши предыдущие утверждения, будто все "специалисты по математике" изучают АТМ, не соответствуют действительности. Спасибо за признание, наконец-то.

> невпопад "аксиомы" в первом абзаце упомянуты
> аж два раза (без пояснений)

Разумеется, без пояснений: любому мало-мальски знакомому с матлогикой индивиду ясно (из контекста), что в первом случае речь идёт об аксиомах КИВ, а во втором — аксиомах КИП. При чём тут АТМ?

> документ не очень ясный

Для тех, кто не в теме — наверно.

> "торжественной истинностью".

Кстати, да — это пять :-) И ведь ни одна собака, похоже, не заметила.

> леммой Цорна при случае пользуются.

Неформально понимаемой. Не спорю, фсио так и есть.

> не собираюсь приводить.

Да я это с самого начала знал :-)

> Вы догматически толкуете понятие алгоритма

...а равно таблицу умножения, определение предела последовательности и условия Даламбера-Эйлера. Да, я тупой! :-)

> на месте Матиясевича любой бы доказал.

Не любой, разумеется (тот же Дэвис, кажется, вообще изначально считал возможным недиофантово перечислимое множество). Но без Гильберта и Клини Матиясевич не сделал бы вообще ничего — «когда нет глины, не из чего лепить кирпичи» (c).

> Такой же лох как Ньютон Матиясевич, тоже, блин, "на плечах гигантов".

Прекрасное сравнение — просто напрочь Вас уничтожающее! Ньютон, к Вашему сведению, как раз построил новую теорию (математический анализ в форме метода флюксий), в ходе чего ввёл энное количество новых понятий и представлений. Какое новое понятие в ходе решения десятой проблемы ввёл Матиясевич? Какую новую теорию развернул?

Кстати, а Вы читали сам доклад Гильберта с его проблемами? Что-то сомневаюсь. Ибо там сказано: «разрешите мне назвать несколько проблем, исследование которых может значительно стимулировать дальнейшее развитие науки». Так вот по сути (в смысле "дальнейшего стимулирования", т.е. введения новых понятий и установления новых связей) основную работу по десятой проблеме выполнили Чёрч, Тьюринг и Клини — Матиясевич же просто забил последний гвоздь, когда основная (теоретическая) работа была уже проделана.

> Неидеалистично, неидеалистично:)

«Зато дёшево, надёжно и практично» (c) По существу-то Вам возразить нечего.

> сужу по http://en.wikipedia.org/wiki/Galois#Budding_mathematician.

«Galois' mathematical contributions were published in full in 1843 when Liouville reviewed his manuscript and declared it sound». Ай, молодца! Лично опубликовал, будучи 11 лет в могиле! Я бы так не смог.

Вы вертитесь. Есть такое понятие — «ввести в научный оборот». И письма Кантора, как бы Вам это ни было неприятно, в этот оборот давно введены — посредством их (посмертного) опубликования, как и работы Галуа.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Вот здесь: http://lj.rossia.org/users/phantom/59872.html?thread=815584#t815584 я несколько конкретизировал то, что я имел в виду.

(Reply to this) (Parent)

У Кантора такого предположения нет.
Раз множества определены, то множество всех множеств есть множество по определению. Это нормальное понимание определения, даже если судить по отношению к парадоксу Рассела. Оно не исключает других пониманий. Но забраковывает определение.

Собственно, на этом можно остановиться: либо это Ваш "символ веры", либо мы так и не подошли к сути вопроса.

Спасибо за признание, наконец-то.
Нет, это не признание. Лет через тридцать в моей переписке с Дедекиндом я всё объясню!
1. "Не обязаны" и "изучают" — совместимые утверждения.
2. Вопрос я признаю спорным: толкование документа неочевидно в силу его путаности, а "изучать собственно теорию" — это не математически определённое понятие. В данном случае я имел в виду под словом "собственно" курс под таким названием.
3. Ну да, строго говоря, скорее всего я был неправ и преувеличивал, судя в основном по своим знакомым.

… любому мало-мальски знакомому с матлогикой индивиду ясно (из контекста), что в первом случае речь идёт об…
Наверное. Я прочитал то, что хотел прочитать. Текст дурацкий, писался не как ГОСТ, а хуже чем учебный план в школе задним числом для отчётности.

На матмехе СПбГУ аксиоматическую теорию множеств на 010101 фактически проходят в обозримые мной годы.

т.е. введения новых понятий и установления новых связей) основную работу по десятой проблеме выполнили
Для неспециалистов в данной области важен конечный результат. Если неизвестно, приводят ли построения к результату, от них толку для математики нет. Без "гвоздя" Матиясевича высоко оценить достижения "гигантов" затруднительно. Без "гвоздя" Матиясевича эти "новые понятия и новые связи" не стимулируют развитие науки, а отпугивают от сложной области, перспективность которой неочевидна.

«Зато дёшево, надёжно и практично» (c) По существу-то Вам возразить нечего.
В том-то и дело, что Вы по существу не возразили. Вы придрались не к очевидному утверждению, а к тому, что даже в русской Википедии оно написано.

Лично опубликовал, будучи 11 лет в могиле! Я бы так не смог.
Читаем: "Despite the lost memoir, Galois published three papers that year which laid the foundations for Galois theory."

А публикация "вклада в математику", как и переписка Кантора,— это дань памяти, ближе к выставке фотографий или коллекции бабочек покойного.

И письма Кантора, как бы Вам это ни было неприятно, в этот оборот давно введены
Дайте мне последнее канторовское определение множества, пожалуйста. И укажите, где оно дано. Я полез в последнюю публикацию с определением потому, что Вы источника не указали.

> леммой Цорна при случае пользуются.
Неформально понимаемой. Не спорю, фсио так и есть.
Формально. Пользуются готовой формулировкой. Не все, конечно, разбирались, так что если ЦФ плоха, то окажутся в положении Бондарки.

> не собираюсь приводить.
Да я это с самого начала знал :-)
Вы на меня довольно бесцеремонно наехали со своей допотопной машиной Тьюринга, так что действительно могли знать с самого начала, что углубляться в эту бесперспективную тему я не стану. В смысле Бурбаков, тома "Теория множеств", доказательства очевидно так и определяются, что проверять их можно алгоритмически. См. книжку, там где определение доказательства и ранее. (Про доказательства от противного там тоже есть. Вы их, наверное, не засчитываете?)

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Раз множества определены, то множество всех множеств
> есть множество по определению.

Множество всех множеств (я, кстати, говорил в предыдущем комменте про совокупность — почувствуйте разницу, в данном случае она существенна) безусловно "есть множество по определению". Но такого множества не существует — теорема Рассела. Как не существует, скажем, непрямоугольного треугольника, одна из сторон коего является диаметром описанной окружности. Чему это противоречит, кроме Вашей субъективной уверенности, будто такое множество "должно" существовать?

> Но забраковывает определение. Собственно, на этом можно остановиться:
> либо это Ваш "символ веры", либо мы так и не подошли к сути вопроса.

А суть вопроса проста: забраковывать было изначально нечего. Практически все современные Кантору математики прекрасно понимали, что его множества — зверская чепуха ("психология, а не математика", если пользоваться Вашей терминологией). И вовсе не по причине мифических "антиномий" (эту отговорку потом придумали сами же теоретико-множественники с целью перевалить проблему с больной головы на здоровую), а потому, что множеств этих самых не существует: они суть "объекты" вымышленные, а потому писанина про них проходит не по разряду науки, а по разряду художественной литературы в жанре фэнтези. Исключением являются множества, задаваемые однопараметрическими предикатами логико-математических языков — но их именно "счётное число" (как у Бореля) и каждое из них задано конечным словом (как у Бэра). Вопрос про такие множества у нас в дискуссии, кстати, возникал — и от требования объяснить, почему они обязаны удовлетворять аксиомам ZF, Вы героически увернулись. Так у кого тут "символ веры" (в непогрешимость ZF)?

Кстати: вот как раз логики, исследующие эти самые "реальные" множества, на любимые Вами аксиоматики кладут с наибольшим удовольствием. И не потому, что их не знают — как раз потому, что знают их очень хорошо, далеко не на уровне восторженного неофита.

> Без "гвоздя" Матиясевича высоко оценить
> достижения "гигантов" затруднительно.

Лично Вам? Извините за прямоту, конечно — но я не думаю, что Ваше мнение было бы интересно тому же Гильберту.

> не стимулируют развитие науки,
> а отпугивают от сложной области,
> перспективность которой неочевидна.

«Стимулирование развития науки» и «привлечение в научное сообщество оравы хомячков» — это далеко не синонимы. Что Гильберт имел в виду в своём докладе именно последнее — мягко говоря, неочевидно.

> Вы придрались не к очевидному утверждению,
> а к тому, что даже в русской Википедии

Я всего лишь указал на то, что очевидная нелепость тиснута не менее очевидным неспециалистом в вопросе. ЧЯДНТ?

> Дайте мне последнее канторовское определение множества,
> пожалуйста. И укажите, где оно дано.

В Вами же цитированной статье 1895 года: это то самое определение, из которого Вы упорно пытаетесь выкинуть наиболее существенную часть ("zu einem Ganzen"), смысл включения которой разъяснён "не замечаемым" Вами письмом 1899 года (и состоит в том, что не всякая совокупность представляет собой это самое "Ganze").

> Не все, конечно, разбирались

Ой, не все! Я Вам уже приводил пример лектора с Коши-Гейне. Аналогичный случай описан в учебнике функана Хелемского, на стр. 20.

> В смысле Бурбаков, тома "Теория множеств", доказательства очевидно
> так и определяются, что проверять их можно алгоритмически.

А вот теперь пройдите к своему старому тексту и посмотрите на красующуюся там фразу «Множества с аксиоматикой — нечто, снабжённое алгоритмами проверки утверждений». Вы действительно не понимаете огромной разницы между написанным Вами сейчас и тогда? Тогда Вы просто не разбираетесь даже в азах матлогики (Ваш предыдущий коммент про "аксиомы" также заставляет это заподозрить). Это само по себе не порок — но только на каком же основании Вы тогда берётесь уверенно заявлять, будто что-то там в этой самой матлогике как-то там не строится?

> См., кстати, ответ от phantom

Я его даже прокомментировал, если заметили :-)

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

теорема Рассела
Признаёте доказательства от противного?

Как не существует, скажем, непрямоугольного треугольника, одна из сторон коего является диаметром описанной окружности.
Неверный пример. Такого треугольника не существует, ибо любой треугольник (любой объект, удовлетворяющий определению треугольника, которое уже известно нам) этим условиям не удовлетворяет. Определение же Кантора не основано на других определениях, но основано на субъективных понятиях.
Вот "доказательство" существования: проверяем "∃ M (M — множество) ⋀ (∀ G (G — множество) => (G∈M))". Так при подстановке на место M "множество всех множеств" всё сходится (то есть: может сходиться при распространённом понимании определения)! Таковы издержки интуитивных определений.

кого тут "символ веры" (в непогрешимость ZF)?
Ау! Я не утверждаю непогрешимость ЦФ, я поношу канторовскую теорию множеств! То, что я утверждаю отсутствие некоторых недостатков кантовской теории множеств в ЦФ — вовсе не утверждение "непогрешимости" ЦФ! Приписываете опять мне утверждение:)

Лично Вам? Извините за прямоту, конечно — но я не думаю, что Ваше мнение было бы интересно тому же Гильберту.
«привлечение в научное сообщество оравы хомячков»
Какие эмоции!
Матиясевич чем-то занимается сейчас. Если какой-нибудь пятикурсник докажет с помощью современных трудов Матиясевича (это фантастическое предположение, но не сильно отличается от чтения мыслей мёртвых немецких математиков), как-нибудь применив теорверский эквивалент теоремы о четырёх красках одной остроумной конструкцией решит проблему Гольдбаха, то Матиясевич станет Великим?

Я всего лишь указал на то, что очевидная нелепость тиснута не менее очевидным неспециалистом в вопросе. ЧЯДНТ?
То есть моделирование математическое и специфически компьютерное в технических науках не является одним из основных методов, что ли?

"не замечаемым" Вами письмом
Оно совсем вольно написано, мне трудно считать его математическим определением. Труднее, чем из статьи даже. Я не понимаю, почему все кардиналы "нельзя рассматривать как единство". То есть, я не понимаю, почему "как единство" можно рассматривать те же натуральные числа (противоречат ли они логике, не противоречат ли — неважно). Читая мысли мёртвого математика, предположу, что он бы опубликовал более внятное определение, додумай он его.

Кстати, есть же (не очень) популярный глюк с индукцией, когда утверждение про любые конечные подмножества счётного множества распространяют на всё множество: меня профессор Судаков всерьёз преследовал за то, что я поставил пару его внуку в том числе и за это (история забавная была: он неформально сдавал зачёт, который от него не требовали, но так как его готовил дедушка, то наехал на меня он "всеми силами", включая бумагу за подписью академика Ибрагимова [о том, что внук что-то соображает по темам], письменную жалобу моему научному руководителю и администрации учебного заведения). Полагаю, что это свидетельствует о том, что можно "нельзя рассматривать как единство" натуральные числа:)

Ой, не все!
Ну, некоторые, наверное, всё же разбирались.

А вот теперь пройдите к своему старому тексту…
Да, налажал, должно было быть "проверки доказательств утверждений". Это я круто налажал. Я имел в виду именно доказательства, ужас, ужас, ужас.

На самом деле я имел в виду под утверждениями то, что в книжках и статьях обычно идёт под этим заголовком: не только формулировку, но и доказательство:(

Я его даже прокомментировал, если заметили :-)
Да. Но это не по нашей теме (хотя пример из жизни я, вероятно, привёл под влиянием откровений про студентов).

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Признаёте доказательства от противного?

А что с ними не так (в данном случае, по крайней мере)?

> Вот "доказательство" существования:

числа 2, квадрат которого равен 5. Проверяем: "(E N) (N=2)&(N*N=5)". Так при подстановке вместо N "число 2, квадрат которого равен 5" всё сходится (то есть: может сходиться при распространённом понимании определения)!

> Я не утверждаю непогрешимость ЦФ

То есть под "аксиоматикой", без которой теория множеств "не строится", Вы подразумевали NBG? Да мне без разницы, в общем-то. Меня, как уже неоднократно повторено, другое интересует: почему аксиоматическая теория (на Ваш выбор) адекватна реальным свойствам реальных множеств, фигурирующих в первопорядковой арифметике. Ответа пока не видать — не иначе, градус посвящения у меня маловат :-(

> Если какой-нибудь пятикурсник
> докажет с помощью современных трудов
> Матиясевича [...] проблему Гольдбаха,
> то Матиясевич станет Великим?

В мире фантазий возможно всё. А реальность пока такова, какова она есть.

> То есть моделирование математическое и специфически компьютерное
> в технических науках не является одним из
> основных методов, что ли?

Жирным шрифтом выделено место передёржки.

> Я не понимаю,

Но выводы делать почему-то берётесь. А разгадка одна — безблагодатность Кантор был (главным образом) не математиком, а пророком. В догматической же религии критерий истины один — magister dixit. Сказано, что совокупность натуральных чисел консистентна — значит, консистентна. Сказано, что совокупность кардинальных чисел неконсистентна — значит, неконсистентна. Любой другой взгляд уже не будет аутентичным взглядом самого Кантора — это будет взгляд Цермело, Гильберта, Лузина по мотивам канторовского вероучения. Реально-то "объект" исследования (актуально бесконечные множества) не существует, экспериментально проверить ничего нельзя.

> Полагаю, что это свидетельствует о том,
> что можно "нельзя рассматривать как единство"
> натуральные числа:)

Аргументация Кронекера, Бэра, Брауэра и Маркова лично мне в этом вопросе всё равно ближе :-)

> На самом деле я имел в виду под утверждениями то,
> что в книжках и статьях обычно идёт под этим заголовком:
> не только формулировку, но и доказательство:(

Проехали.

> Но это не по нашей теме

Вопрос о том, почему "индуктивные" множества конструктивных объектов (вроде "множества всех выводов в ZF") допускают адекватное описание средствами традиционных аксиоматик — вот что вполне по нашей теме.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

А что с ними не так (в данном случае, по крайней мере)?
В общем, люди со склонностью к интуиционизму обычно их не используют. Но тонкостей я просто не знаю.

> Вот "доказательство" существования: числа 2, квадрат которого равен 5.
"Квадрат числа" — неинтуитивное, а формальное понятие, у него есть формальное определение, которому не удовлетворяет "ч. 2, кв. к. р. 5". Определение же Кантора — интуитивно, так что для проверки достаточно ссылки на что-то субъективное.

без которой теория множеств "не строится"
1. Я уже разъяснял, что имел в виду известные мне курсы посвящённые во многом чисто теоретико-множественным вопросам (у меня лично, например, такой курс назывался "Дискретной математикой и мат. логикой" и был на первом курсе; в Москве популярна не совсем формальная книга Шеня и Верещагина, как я понимаю, которая не строит теорию, но ссылается на тех же Бурбаков). Я имел в виду некоторую "общепринятость" ЦФ при постановке вопроса об основаниях теории множеств перед известными мне математиками. Такое суждение является достаточно субъективным, конечно, так как "строится" — так себе словечко.
2. Любая теория не обязана (а достаточно сложная — не может) быть достоверно известной, как непогрешимая. Математик должен бороться за внутреннюю целостность (те же теоремы Гёделя и вообще формализации, многое другое — к этому, по сути). Всё равно применять в науке её будут по научным критериям, а не математическим.
3. Реальных множеств нет. Все "множества" — какие-то условные абстракции. Реальных свойств у них тоже нет. Реальной "арифметики первого порядка" тоже нет. Мы должны беспокоиться об отсутствии внутренних противоречий, когда пытаемся формулировать основания логики языком теории множеств, да, но не потому, что эти основания логики "реальны". Они тоже могут быть психологической лажей, так что если это выяснится, придётся менять основания логики.

А реальность пока такова, какова она есть.
То есть: решившим проблему Гильберта считают Матиясевича. И неважно, что об этом подумал бы Гильберт.

Жирным шрифтом выделено место передёржки.
Физическая модель может быть построена существенно нематематически (наплевательское отношение к корректности, расширение действий на объекты, на которые в математике модели нет подходящей [какую-нибудь хрень с диффурами — запросто], покуда для имеющихся параметров "работает", так что уже спорно, является ли моделирование "математическим"), а компьютеры могут не использоваться (таблицы и всё такое).
И "проблема" в том, что "творческое" использование математики — примитивно научная деятельность.

Любой другой взгляд уже не будет аутентичным взглядом самого Кантора — это будет взгляд Цермело, Гильберта, Лузина по мотивам канторовского вероучения. Реально-то "объект" исследования (актуально бесконечные множества) не существует, экспериментально проверить ничего нельзя.
Ну да. Я так же это воспринимаю.

Вопрос о том, почему "индуктивные" множества конструктивных объектов (вроде "множества всех выводов в ZF") допускают адекватное описание средствами традиционных аксиоматик — вот что вполне по нашей теме.
Проясните, пожалуйста (доступной ссылкой, если можно).

Углубляя тезис из "пронумерованных" выше, хочу отметить техническую аналогию: в программировании любят для новых языков писать компилятор сначала на популярном, а потом уже на самом новом языке, и далее этого держаться. И там есть загадочный подземный мир аппаратного обеспечения, которое не на языках написано, а реально (ну и аппаратное обеспечение разрабатывают с помощью того же программного на том же аппаратном).

Я нынешнюю ситуацию с основаниями математики технически также воспринимаю (а "подземный мир" — человеческие субъективные штуки, которыми он корёжит придуманные сепульки, пока ещё толком не начав разрабатывать себя).

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> В общем, люди со склонностью к интуиционизму
> обычно их не используют.

Открываем книгу... да, именно того самого Гейтинга ("Интуиционизм", М.:Мир, 1965) на стр. 127, и наблюдаем там аксиому XI вида $((p\to q)\land (p\to\neg q))\to\neg p$. Так что в применении "метода от противного" для доказательства негативных суждений ничего "противоинтуиционистского" нет. В триста тридцать третий китайский повторяю: ориентируйтесь на источники, а не на расхожие штампы.

> Определение же Кантора — интуитивно,
> так что для проверки достаточно
> ссылки на что-то субъективное.

Демагогия.

> Я имел в виду некоторую "общепринятость" ЦФ
> при постановке вопроса об основаниях теории множеств
> перед известными мне математиками.

Из них профессионалов именно в области логики и оснований? Напомнить Вам, кто был годы так в 1970-е основным писателем энциклопедических заметок по аксиоматической теории множеств? Напоминаю: Драгалин. А теперь почитайте его математические статьи (про правило Карнапа и т.д., скажем), поудивляйтесь. Это, кстати, и к вопросу о "доступных ссылках" про "множества конструктивных объектов".

> Реальных множеств нет. Все "множества" — какие-то условные абстракции.
> Реальных свойств у них тоже нет. Реальной "арифметики первого порядка" тоже нет.

Что же это у вас, чего ни хватишься, ничего нет! Буддизм в его махаянистской версии не исповедую — а потому пустоты всего сущего не признаю и в реальности слова $(\exists (xx)) ((x)=((xx)\times 0''))$ (представляющего собой множество чётных натуральных чисел) не сомневаюсь. Уж простите.

> То есть: решившим проблему Гильберта считают Матиясевича.

"Считают" много чего.

> Физическая модель может быть построена существенно нематематически
> (наплевательское отношение к корректности, расширение действий
> на объекты, на которые в математике модели нет подходящей

Обнаружена тяжёлая болезнь — математизация головного мозга. Вы про стендовые испытания слышали? Они математические или компьютерные?

> Ну да. Я так же это воспринимаю.

Ну так и говорили бы про противоречивость расселовской (а не канторовской!) теории множеств. Вопросов бы и не было.

> Я нынешнюю ситуацию с основаниями математики технически также воспринимаю
> (а "подземный мир" — человеческие субъективные штуки, которыми
> он корёжит придуманные сепульки, пока ещё толком не начав разрабатывать себя).

А, ну да. Я ж забыл, что самолёты не рабочие молотками клепают, а просветлённые махатмы силой дао. Так что всегда можно придумать новую субъективную математику, и она будет так же применима к технике, как и обычная.

Кстати, управлять ЭВМ непосредственно телепатически не пробовали? У Вас, полагаю, должно получиться. А то связанность синтаксисом языков, забивание диска всякими компиляторами, отлов багов, отбивание пальцев о клавиатуру — это так нудно и несубъективно... Никакой возвышенности, в общем.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

повторяю: ориентируйтесь на источники, а не на расхожие штампы.
Я спросил источник. Но если бы не "расхожий штамп" про интуиционизм и "правило исключённого третьего", я бы не узнал. Читать же Гейтинга целиком не готов в ближайшее время без особой необходимости.

Демагогия.
Оно не ссылается на другие определения, так что я просто не имею права их привлекать.

"Считают" много чего.
И это объективная реальность, данная нам в изложении "Интерфакса". То, что "Группа лиц считает то-то", а не суть их заявлений.

(представляющего собой множество чётных натуральных чисел) не сомневаюсь. Уж простите.
Ну, в реальности слов о теории множеств я тоже не сомневаюсь.

Обнаружена тяжёлая болезнь — математизация головного мозга. Вы про стендовые испытания слышали? Они математические или компьютерные?
Вы намёками часто слишком пишете, провоцируя на додумывание, а потом "удивляетесь", что я пишу отсебятину не в ту степь. Стендовые испытания делаются на основе экспериментов, которым предшествует моделирование околоматематическим языком. Так что "основной" характер обсуждаемого моделирования наблюдается. Естественно, на основе одного только такого моделирования не получится результат, но работа "Бондарке" найдётся, о чём и речь (и в продолжении работы он будет перепроверять результаты стендовых испытаний, значит?). Мы обсуждаем тезис о научно-технических проектах, а не исчерпывающее определение (с которым, кстати, в словарях не очень хорошо).

Ну так и говорили бы про…
Нет, я говорил о противоречивости канторовской теории множеств, когда примеряю её я.

и она будет так же применима к технике, как и обычная.
Ну да. Новую субъективную математику теории относительности, да квантовой физики придумали же!

Кстати, управлять ЭВМ непосредственно телепатически не пробовали? У Вас, полагаю, должно получиться. А то связанность синтаксисом языков, забивание диска всякими компиляторами, отлов багов, отбивание пальцев о клавиатуру — это так нудно и несубъективно... Никакой возвышенности, в общем.
Возвышенности и нет, кто ж спорит. В преподавании математики тоже возвышенности немного, хотя она может и более полезна для общества (это я про себя).
А какой смысл в телепатическом управлении? Будь у меня, например, "беспроводные" руки, что принципиально изменилось бы?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

См., кстати, ответ от phantom о более тонком толковании его личных взглядов.

(Reply to this) (Parent)

нечто, снабжённое алгоритмами проверки утверждений
Пропустил слово "доказательств", так что фигня получилась.

На самом деле, не всё так плохо: под "утверждениями" я имел в виду не "высказывания", не формулировки утверждений, а полностью, как в учебниках и статьях должно быть — с доказательством.

Вследствие этой невнятности, боюсь, половина обмена сообщений с gastrit и произошла.

(Reply to this) (Parent)

> Я лично считаю результат закрытием
> первоначальной проблемы потому,
> что он как минимум требует уточнения формулировки.

Вы никогда не читали ферматистов? Иногда бывает любопытно. Что характерно, многие из них "решают" проблему Ферма именно путём "доказывания" того, что она де некорректно поставлена.

> с помощью арифметики мы сможем,
> не нарушая её правил,
> получать любые результаты.

Вы действительно не понимаете, что угодили в порочный круг? Вывод в формальной арифметике сам прекрасно арифметизируется (гёделева нумерация), а потому в противоречивой арифметике мы сможем доказать, что любой объект есть вывод чего угодно. Так что если помножить (гипотетическую) противоречивость арифметики на Вашу уверенность, что в математике нет ничего, кроме формальных систем, то доказательством равенства 5+7=-3 вполне может считаться и фраза «потому что гладиолус».

Вот Гильберт этот нюансик ещё понимал. Поэтому Генцена на всякий случай и гнобил.

> аксиому выбора (в виде леммы Цорна)
> алгебраисты используют постоянно
> (ну, не очень редко).

Ну, да. А богословы используют Credo, постановления Вселенских Соборов и папские буллы. Мне-то что?

> Кантор умер. Традиционная теория — то, что лекторы в ВУЗах читают.

Спасибо, что просветили. Но вот сказал я как-то одному лектору (не сферическому в вакууме, который "без аксиоматик не бывает", а реальному) по матану, что доказательство эквивалентности определений предела функции по Коши и по Гейне опирается на аксиому выбора — так он сперва даже не поверил. Хотя не один десяток лет это доказательство читает.

> Конечно. Вот если бы с помощью фундаментальных идей
> была доказана, наприме, гипотеза Римана,
> какие-нибудь другие гипотезы Гильберта,
> великая теорема Ферма или независимость
> континуум-гипотезы (но пришлось бы доказать
> и выполнение привычных теорем), отношение было бы другим.

Как же Вы уверенно за Гейтинга-то говорите! :-) Я уж почти обрадовался, что общаюсь с его реинкарнацией (собрался парочку вопросов по интуиционизму задать) — но тут вспомнил, что помер Гейтинг всё же в 1980-м, сравнил даты... :-)

> на вещественные числа я сослался
> как на контрпример к «всякое несчётное множество —
> вне математики». Различие мощностей множеств
> (континуум против счётного) в каких-то вопросах
> какого-то анализа значение имеет.

Именно, что "какого-то анализа". С чего Вы взяли, что Борель и Бэр держали в голове именно этот вариант? В обезьяннике их времён он вовсе ещё не был "принятым"!

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

(Reply to this) (Parent)

Некоторые комментарии дал Андрей Бовыкин, внизу постинга.

(Reply to this) (Parent)

Я-то не логик и не математик по сути, а если Вы в Ленинграде вдруг, то у нас, наверное, должны быть общие знакомые логики (на худой конец: наверняка через интернет переписывались)? Как они, соглашаются?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Некоторые комментарии дал Андрей Бовыкин, внизу постинга.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Это мой, так сказать, приятель, я к нему недавно явно обратился за этим в личной переписке:) Сейчас почитаю. Он профессиональный логик.

Кстати, ты знаешь передачу "Галилео" с канала СТС? Попсово, ведущий лоховат, много материалов немецких, но есть и совершенно российские (можно скачать на любимом ketmar-ом tfile.ru). Это я в ключе "Разрушителей мифов"-"Как это сделано", ты же, вроде бы, смотрел.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Передачу пока не знаю, и по твоим комментариям не уверен, что стоит смотреть (меня смущает "попсово"). Хотя гм. Не знаю. Я ведь и "Как это сделано" всего пару серий смотрел - не хватает времени (телевизора я не смотрю совсем, кстати). Изредка скачиваю и смотрю блокбастеры, но сериалы... на них так много времени уходит. Сериал, который я таким смотрю (уже несколько месяцев) - это "Unknown war" - рекомендую, кстати.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Дай ссылку, что ли?

(В английской Википедии "Unknown War" я не нашёл.)

(Reply to this) (Parent) (Thread)

http://torrents.ru/forum/viewtopic.php?t=533500

У нас, наверное, шла как "Великая отечественная война".

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Вряд ли мне это интересно, но спасибо за ссылку.

(Reply to this) (Parent)

Это он мне письмом уже посылал, какое-то общение после этого уже было.

Книжек он мне несколько предлагал, все легко скачались, могу дать ссылки (но я их ещё не читал).

Если интересно, что же за утверждения про натуральные числа, зависящие от аксиом о больших кардиналах, то он дал ссылку на книгу http://www.math.ohio-state.edu/~friedman/pdf/Whole103007.pdf (ну, эту ссылку я сам нашёл, он, как и gastrit, без гиперссылок обходится). (Наличие таких утверждений вообще не удивительно, вопрос в том, насколько они забавные и просто сформулированные.)

(Reply to this) (Parent)