Войти в систему

Home
    - Создать дневник
    - Написать в дневник
       - Подробный режим

LJ.Rossia.org
    - Новости сайта
    - Общие настройки
    - Sitemap
    - Оплата
    - ljr-fif

Редактировать...
    - Настройки
    - Список друзей
    - Дневник
    - Картинки
    - Пароль
    - Вид дневника

Сообщества

Настроить S2

Помощь
    - Забыли пароль?
    - FAQ
    - Тех. поддержка



Пишет Misha Verbitsky ([info]tiphareth)
@ 2021-04-13 17:27:00
Previous Entry  Add to memories!  Tell a Friend!  Next Entry
Настроение: sick
Музыка:Genesis Live Bataclan France 16mm January 10, 1973
Entry tags:math

Grothendieck-Teichmueller group, operads and graph complexes: a survey
Хорошее
https://arxiv.org/abs/1904.13097
Grothendieck-Teichmueller group, operads and graph complexes: a survey
Sergei Merkulov

душеполезный ликбез от Меркулова про Коно-Дринфельда,
мальцевские пополнения, Гротендика-Тейхмюллера
вот это все

в свое время я очень нуждался в человеческом
введении в мальцевские пополнения, для студентов,
вот это оно и есть


(Читать комментарии) - (Добавить комментарий)


[info]kaledin
2021-04-15 03:05 (ссылка)
>Например, тот же внешний дифференциал проще записать в координатах

Не уверен.

>связность, ассоциированная с метрикой - небось в координатах её тоже определить проще

Не только не проще, это вообще по-моему невозможно понять. Я по крайней мере не понимал, пока мне не обьяснили. А именно, берешь любую метрическую связность, потом поправляшь так, чтобы убрать кручение; это возможно потому, что пространство кручений и простанство поправок одинаковые -- \Lambda^2 T \otimes T -- а отображение это проекция из сечений T^{\otimes 3}, кососимметрических по первым двум аргументам, в сечения, кососимметрические по второму и третьему. И то, что это изоморфизм, теперь нетривиально, но понятно. А когда то же записано в коодинатах через символы Кристоффеля, как в книжке Милнора например, то выглядит как мутный бред.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2021-04-15 03:50 (ссылка)
внешний дифференциал определяется аксиоматически,
единственность следует из аксиом, то, что он действует
на пучке дифференциальных форм, из единственности.

Существование следует из того, что его можно записать
локально и из-за того, что любой эндоморфизм пучка
достаточно определить в малых окрестностях.

Локально он записывается, действительно, в координатах,
но формула занимает полстрочки (можно и без координат,
но тягостно и в общем незачем, оптимизировать полстрочки
это долбоебство уже)

http://verbit.ru/IMPA/TOP-2018/cohomology-02.pdf

Let $t_1, ..., t_n$ be coordinate functions
on $\R^n$, $\alpha_i$ coordinate monomials, and $\alpha:= \sum f_i \alpha_i$.
Define $d(\alpha):= \sum_i \sum_j\frac{df_i}{dt_j}dt_j \wedge \alpha_i$.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]sometimes
2021-04-15 04:32 (ссылка)
> Существование следует из того, что его можно записать локально

Угу, я как раз об этом. Если писать не в координатах, там появляется
второе слагаемое, которое не имеет никакого отношения к формуле Стокса,
т.е. тому, что d - кограница, а является поправкой второго порядка из-за
того, что поля не коммутируют (может быть, у нее есть какой-то "глубокий
геометрический смысл", но мне он неизвестен):



Наверняка студентам полезно понимать, что формула Стокса - это фактически
тавтология, по модулю взаимоуничтожения внутренних границ; и дифференциал -
локальная формула Стокса и есть.

Вред от координат, с моей точки зрения, ровно таков: у (многих) студентов
стирается геометрический смысл, и они воспринимают дифференциальные
формы и проч. как формальную манипуляцию со значками (то, что Дмитрий
ниже называет "начетничеством" - но как раз там я его не вижу).

Есть знаменитая история, кстати, как Эйнштейн с Розеном отменили
гравитационные волны, потому что дифференциал выбранной проекции
у обращался в ноль (карты не хватило), а они решили, что у решения
особая точка и оно нефизично:

https://elementy.ru/nauchno-populyarnaya_biblioteka/433234/Razgnevannyy_Eynshteyn_i_temnyy_retsenzent

При этом Эйнштейн, судя по всему, хорошо понимал, что такое связность и кривизна, в терминах
"локальных систем отсчета"; но, кажется, тогда у физиков это было редкость, поговорить ему было
не с кем, и из-за этого возник такой сбой.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2021-04-15 05:15 (ссылка)
>и дифференциал - локальная формула Стокса и есть

Глупая точка зрения по-моему. Формула Стокса это факт про интегрирование; дифференциальное исчисление это что-то существенно более тривиальное и общее, и никакого отношения к интегрированию не имеет. А дифференциал пишется так: d(f)=df (где последнее есть универсальный элемент в модуле кэлеровых дифференциалов). Дальше по правилу Лейбница. И нефига переусложнять.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]sometimes
2021-04-15 06:12 (ссылка)
Интеграл - это понятие из линейной алгебры, называется "след". Цепи - это V, коцепи - это V^*. Дифференциал на коцепи - это значение коцепи на дифференциале цепи (что написано в первом слагаемом). Дифференциал формы - локальная формулировка топологического определения (вытащенная из электродинамических теорем Гаусса про "циркуляцию" и "поток", давших в качестве byproduct формулу для коэффициента зацепления).

Как артикулировал Михаил (а я, видимо, невнятно написал про правило Лейбница, говоря, что можно дифференциал определить по индукции), проблема в определении дифференциала формы - не как его посчитать ("единственность"), а почему если считать разными способами (форма n-й степени не одним способом раскладывается в произведение 1-формы и (n-1)-формы), получится одно и то же ("существование"). Доказать это не так чтоб сложно (это б.м. определение тензорного произведения), но получается определение, взятое с потолка, и волшебным образом согласованное.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2021-04-15 06:48 (ссылка)
>Интеграл - это понятие из линейной алгебры, называется "след".

Офигенно; а теперь попробуй придать этой фразе математический смысл. У тебя не получится.

>получится одно и то же

Единственное, что там нужно доказывать, это что d^2=0. Это вычисление действительно локальное, но единственный способ его понять это проделать его на формальном пополнении (разумеется не говоря таких слов, просто градуировка по порядку). И увидеть, что там получается симметрическая алгебра от ацикличного комплекса. Иными словами, локально линеаризовать иногда полезно, но вот вводить в касательном и/или кокасательном пространстве базис не нужно строго ни для чего.

Хотя философски говоря, единственный способ на самом деле понять, откуда берутся дифференциальные формы, это теорема Хохшильда-Костанта-Розенберга (которую они ровно для того и доказали).

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]sometimes
2021-04-15 16:47 (ссылка)
> попробуй придать этой фразе математический смысл.

Называется distributions & currents. Собственно, теорема де Рама изначально так и доказывалась: https://www.springer.com/gp/book/9783642617546

> Единственное, что там нужно доказывать, это что d^2=0

Не понял. Вот есть правило Лейбница d (w_1 /\ w_2) = d w_1 /\ w_2 + (-1)^(deg w_1) w_1 /\ d w_2
Ты предлагаешь (а сначала я так предложил, но мне так не нравится) определить d так:

dw := Σ d f_i /\ d v_i | w = Σ f_i d v_i

Теперь у тебя есть другое разложение, w = Σ f'_i d v'_i.

Почему получится то же самое?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2021-04-15 18:11 (ссылка)


>Почему получится то же самое?

в силу того, что дифференциал удовлетворяет правилу
Лейбница, значит, определяется своими значениями
на любом наборе образующих алгебры

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2021-04-15 23:29 (ссылка)
Строго говоря, тебе надо выбрать образующие в алгебре функций, т.е. локальную линеаризацию. Но выбирать еще и координаты совершенно не за чем.

Чего надо реально избегать, это частных производных -- страшно мутное понятие, дебильное обозначение, и еще более мутная теорема о том, что "частные производные коммунитруют" -- при нормальном определении всего такого вопроса даже возникнуть не может.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]deevrod
2021-04-16 01:20 (ссылка)
почему мутное, ровно в ту же цену что локальные координаты
(росток плоской связности без кручения)

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2021-04-16 01:41 (ссылка)
Потому, что зависит от векторного поля, а в обозначении стоит только одна координата. Т.е. сами обозначения предполагают, что выбрана система координат, а иначе и думать не смей. 21 век на дворе, убивать надо за такое. Каждого, кто без нужды выбирает в векторном пространстве базис, надо ссылать на галеры.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]deevrod
2021-04-16 01:57 (ссылка)
в смысле писать d/d_i? ну это дикость, я даже у китайцев
вижу только d/dx_i

но теорема о том, что плоская связность без кручения
не имеет кручения, действительно весьма сомнительна
онтологически

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]sometimes
2021-04-16 02:04 (ссылка)
В смысле, что d/dx_i зависит от остальных x_i.

(Ответить) (Уровень выше)


(Анонимно)
2021-04-16 20:08 (ссылка)
"даже у китайцев". откуда у ваты такой ЧСВ и пренебрежение к остальному миру? пендосы тупые, китайцы вообще косоглазые недоумки.
если руские неебаца вумные, то почему рашка такое говно?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]deevrod
2021-04-16 20:23 (ссылка)
В двенадцатом году было на Россию великое нашествие императора Наполеона французского первого, отца нынешнему, и хорошо, кабы нас тогда покорили эти самые французы: умная нация покорила бы весьма глупую-с и присоединила к себе. Совсем даже были бы другие порядки-с.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2021-04-16 20:36 (ссылка)
кстати, поглощение рф китаем много бы сделало к ее украшению
в китае гораздо лучше более-менее все
единственно, что там плохого - разгул феминизма
https://archiveofsins.com/h/thread/6043140
но и в сраной же разгул феминизма, страна стукачей

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]deevrod
2021-04-16 20:57 (ссылка)
так оно уже имело место, через посредство монголов

ходя-ходя, Епифанские шлюзы, ах я видеть не могу берега серо-зелёные

https://en.wikipedia.org/wiki/Hydraulic_empire

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]mr_utnubu
2021-04-16 22:06 (ссылка)
Подозреваю, что не через монголов, а через Лейбница. Он начитался книжек про Китай и науськивать Петра Антихриста, чтобы в Европе появилось нечто похожее.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]sometimes
2021-04-17 06:18 (ссылка)
Тогда Китай был самым отсталым государством, а сейчас - самое передовое, практически.
С РФ он сильно поменялся местами.

То есть все-таки какой-то элемент национализма имеется, кмк, в сознании комментатора deevrod
(не хочу обидеть).

То, что разгул феминизма уже и в Китае, конечно, пиздец. Но пиздец закономерный,
куда деваться, если они небось до сих пор будущих девочек отправляют из пизды
сразу в мусоропровод.

Близнецы, еще внутри у фрау,
в темноте смеются и боятся:
«Мы уже не рыбка и не птичка,
времени немного. Что потом?
Вдруг Китай за стенками брюшины?
Вдруг мы девочки? А им нельзя в Китай».

(Ответить) (Уровень выше)


[info]kaledin
2021-04-17 06:17 (ссылка)
>в китае гораздо лучше более-менее все

Ну, кому и кобыла.

Но в принципе, Китай это адский гидравлический ад, из которого единственный приличный человек в его ебучей истории сбежал на Запад. Там плохо вообще все, и все говно в мире ползет оттуда. И в рашке в том числе (через монголов, ясно дело).

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]sometimes
2021-04-17 06:27 (ссылка)
> единственный приличный человек

陳省身 ?

Там на самом деле очень много приличных людей (в частности, сбежавших на Запад), как и из СССР;
при том, что "там плохо вообще все", сейчас там (почти все, за исключением свободы слова) лучше,
чем в сраной на порядок. То есть Китай, вероятно, большой, и сраная тоже, но, скажем, в
深圳 лучше, чем в Москве (не туристом, а жить или приезжать надолго).

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2021-04-17 06:37 (ссылка)
老子

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]sometimes
2021-04-20 17:44 (ссылка)
А что там с d e^x ≠ e^x dx, можешь популярно объяснить?

Btw, у меня закрадывается сильное подозрение, что в твоем изложении analysis done right алгебраическое замыкание шло бы сильно перед конструкцией ℝ (которое бы строилось наряду с ℚ_p и теоремой Островского).

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2021-04-20 19:24 (ссылка)
а что пучок кэлеровых дифференциалов на C^\infty
не является гладким расслоением и вообще бесконечно порожден

(Ответить) (Уровень выше)


[info]kaledin
2021-04-20 21:51 (ссылка)
А какое отношение алгебраическое замыкание имеет к анализу? Или к дифференциальной геометрии, которая здесь обсуждается? -- и которая сама к анализу особого отношения не имеет? Анализ это когда оценки. В дифф. геометрии от анализа поначалу нужен только ряд Тэйлора.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]deevrod
2021-04-17 07:18 (ссылка)
> плохо вообще все
ты просто чай не любишь

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2021-04-17 07:33 (ссылка)
Люблю как раз, но чай придумали англичане. И порох тоже в Европе изобрели, если что.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]deevrod
2021-04-17 07:38 (ссылка)
в смысле 'чёрный', индийский?
я тоже люблю; но это не чай

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2021-04-17 07:58 (ссылка)
В смысле любой, который представляет интерес. Лапсанг Сучонг там, вот это все. А ты про что, про хуету с запахом пыльных тряпок и вкусом земли?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]deevrod
2021-04-17 08:35 (ссылка)
в любом случае вне Китая оно не растёт
ну или Тайваня ещё

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2021-04-20 13:13 (ссылка)
ну, если говорить про "хуету со вкусом пыльных тряпок", то по факту это скорее Лаос и Мьянмар

но вообще да, главный вклад англичан это изобретение говночая, который невозможно пить без молока. даже тот же самый лапсанг испоганили

(Ответить) (Уровень выше)


[info]mr_utnubu
2021-04-17 09:19 (ссылка)
Не, я серьезно не понимаю что в Россию попало из Китая через монголов? (сколько и когда они вообще присутствовали, лет 700 назад, лет на 50?) Вроде никаких заимствований из Китая или сношений до конца 17 века не замечено, тогда как с Европой полно.

А Лейбниц интересовался конфуцианством, в частности хотел решить религиозные конфликты в Европе через смесь христианства и конфуцианства. Россия, у которой экспансия только-только дошла до китайских границ, идеально подходила на место для таких экспериментов. Ну и правитель был из любителей почудить.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]mr_utnubu
2021-04-17 09:24 (ссылка)
Типа даже эпидемия чумы в северо-русские (финно-угорские, на самом деле) княжества пришла с Балтики, а не из степей.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]kaledin
2021-04-17 18:55 (ссылка)
Китайщина же!

Ебанутое "московское государство", структурно построенное на взятках, мздоимстве, откатах и лицемерии. Которое началось с налоговой системы, слепленной по китайскому образцу.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2021-04-18 16:27 (ссылка)
Где про это можно почитать?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2021-04-20 21:49 (ссылка)
В интернете, ясно дело.

According to Baumer[3] Öz Beg Khan took a fateful decision when he abandoned the former policy of divide and rule by making the new grand prince responsible for collecting and passing on all the tribute and taxes from all the Russian cities. Ivan delivered these exactions punctually, so further strengthening his position of privilege. In this way he laid the foundations for Moscow's future as a regional great power.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2021-04-21 02:40 (ссылка)
>Öz Beg Khan
>из Китая

???

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2021-04-21 03:09 (ссылка)
Читать умеешь, дебил? Написано: "по китайскому образцу". Вот этот чувак слепил.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2021-04-21 05:39 (ссылка)
Как он блядь слепил, если он в Московии не был никогда, дебил ебаный?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2021-04-21 21:20 (ссылка)
он так московским великим князем рулил и за лояльность насыпал тому привилегий. А московиты уже у себя рулили по тем же принципам -- трансфер технологий

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2021-04-22 06:27 (ссылка)
Какому московскому князю Yelü Chucai из Монгольской империи насыпал привилегий (и каких)?

(Ответить) (Уровень выше)


[info]tiphareth
2021-04-17 13:18 (ссылка)
>Там плохо вообще все,

подозреваю, что ты там просто не был

а так, куча знакомых математиков переехали в Китай и довольны
другие постоянно туда ездят и восхищаются

примерно половина того, что я читаю последние года 3 (худлит) - переводы
с китайского

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]oort
2021-04-17 17:17 (ссылка)
China is profoundly uncharismatic

(Ответить) (Уровень выше)


[info]kaledin
2021-04-17 18:51 (ссылка)
Нет, почему, был пару раз. Мне хватило.

>а так, куча знакомых математиков переехали в Китай и довольны

Ну исполать им. Делать веревку, на которой тебя повесят, никто пока не запрещал.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]sasha_a
2021-04-17 20:15 (ссылка)
переводы с китайского
Сравнимы по интересности с чем-нибудь общеизвестным?

(Ответить) (Уровень выше)


(Анонимно)
2021-04-18 15:02 (ссылка)
Про культиваторов что ли? Меня уже заебало. Там у всех "произведений" одинаковый главный герой, и писанина следует одним и тем же схемам. Или какую-то другую категорию нашли? Посоветуйте.

(Ответить) (Уровень выше)


(Анонимно)
2021-04-19 15:01 (ссылка)
>в китае гораздо лучше более-менее все

Ну там пропажи / похищения инакомыслящих активистов / писателей, тотальная цензура и слежка, social credit, концепт лица в культуре, итд итп. Я так понимаю вы это для китайского ГБ пишете, на всякий случай, потому что по-другому никак не объяснить.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2021-04-19 17:01 (ссылка)
в сраной по-любому хуже

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2021-04-19 18:27 (ссылка)
>бристольская шкала

окей

(Ответить) (Уровень выше)


(Анонимно)
2021-04-16 21:23 (ссылка)
у тупых китайцев даже генсек в индексной нотации: X_i
в этом есть смысл: ковариантные граждане колеблются с линией партии, а контравариантных ждет неминуемая свертка

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]sometimes
2021-04-17 06:29 (ссылка)
охуенно

(Ответить) (Уровень выше)


[info]sometimes
2021-04-16 02:03 (ссылка)
А чем отличается набор образующих в алгебре функций от координат? Это просто слово такое красивое, "координаты", а означает набор образующих в алгебре функций (а если в модуле сечений расслоения, то "проективные координаты")

(Ответить) (Уровень выше)


[info]sometimes
2021-04-16 02:47 (ссылка)
А, я кажется понял, что ты имеешь в виду - что не надо дифференциал функции "расписывать в координатах"
(где и возникают "частные производные").
Тут да, пожалуй что так.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2021-04-16 03:06 (ссылка)
Базис в векторном пространстве не надо выбирать.

Так что там про след-то? Мне правда интересно.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]sometimes
2021-04-16 03:58 (ссылка)
Ты можешь последовательно с начала до конца написать, как не выбирая базис построить дифференциал? Что такое дифференциал функции, понятно (тут не надо и векторное пространство выбирать); вот у тебя есть 1-форма, сечение кокасательного расслоения, и есть n-мерное векторное пространство функций V (в котором не выбирается базис); как построить 2-форму, сечение /\^2 T*M?

Можно и без векторного пространства функций, вообще, потому что скобка Ли векторных полей определяется бескоординатно, это просто коммутатор дифференциальных операторов, который по магической причине оказывается первого порядка; и можно в координатах; а как сделать посередине, я не знаю.

Про след: мне надо подумать и посмотреть в книжке де Рама (если правда интересно).

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2021-04-16 04:32 (ссылка)
Пусть V кокасательное пространство. Алгебра форм это тензорное произведение алгебры функций и внешней алгебры от V, причем на внешней алгебре дифференциал равен нулю. По правилу Лейбница, дифференциал есть d \otimes \id. Conversely, что это дифференцирование вполне очевидно (это общий факт про произведение двух алгебр); d^2 это коммутатор d с собой, т.е. тоже дифференцирование (потому что они градуированно-коммутативны), и надо только проверить, что d^2 равно нулю на функциях. Вот это надо проверять, да.

Единственный выбор в конструкции это выбор разложения в произведение, т.е. выбор изоморфизма между 1-формами и свободным модулем над функциями, порожденным V.

>если правда интересно

Ну как: я уверен примерно на 146%, что это невозможно. Т.е. ты меня очень удивишь.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]sometimes
2021-04-16 05:35 (ссылка)
Фуф, кажется, я понял, где здесь жульничество. Как ты df отобразишь в это тензорное произведение без координат?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2021-04-16 15:17 (ссылка)
Единственный выбор в конструкции это выбор разложения в произведение, т.е. выбор изоморфизма между 1-формами и свободным модулем над функциями, порожденным V.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]sometimes
2021-04-16 05:39 (ссылка)
В смысле, (d)f - функционал на пространстве 1-дифференцирований, без сомнения, но тебе же нужно не значение в точке, а весь росток.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]sasha_a
2021-04-16 06:09 (ссылка)
Некоторое время тому назад обдумывал, каково должно быть "правильное" определение гладкого многообразия, с целью правильно определить потом и негладкие в C^\infty-категории (чтобы их было примерно так же мало, как в аналитической).
Сильно огорчало (даже бесило), что в классических определениях так или иначе присутствовал локальный выбор линейных функций.
Кажется, остановился на том, что для правильного определения гладкого (или сингулярного в упомянутом контексте) многообразия, т.е. без произвольного выбора, следует рассматривать (аксиоматически) многообразие вместе с внешними степенями кокасательного (плюс дифференциал де Рама).
[Наверное, это очередной велосипед или просто глупость.]

(Ответить) (Уровень выше)


[info]kaledin
2021-04-15 23:21 (ссылка)
>Называется distributions & currents.

Ты ничего не сказал, извини.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]milinda
2021-04-17 15:48 (ссылка)
Скажите подробнее, пожалуйста. Почему "отправной точкой" должны быть гомологии Хохшильда? Непрерывные, кстати! Я не знаю, что представляют собой алгебраические для C^\infty M, но подозреваю, что ничего хорошего.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2021-04-18 03:40 (ссылка)
Это не то, чтобы отправная точка, но это место, где формы возникают более-менее сами, без насилия (в частности, именно как внешняя степень \Omega^1, а не там тензорная или симметрическая). А гомологии Хохшильда вещь как бы более естественная (в смысле, требующая меньше ад-хок предположений).

Насколько я понимаю, их на самом деле интересовало, что брать вместо форм в особом случае; более того, через год, в 63 году, ученик Хохшильда обнаружил, как писать дифференциал де Рама (тем самым открыв циклические гомологии, но этого никто не заметил).

Другой способ получить комплекс де Рама более-менее из первых принципов это начать думать про кристаллы (типа, слоган "когомологии это то, что не меняется при инфинитеземальных утолщениях"). Но во-первых, в 62 так еще не умели, а во-вторых, не факт, что это более по делу. Потому что как мы теперь знаем, самая-самая правильная и настоящая теория это все равно К-теория, а характер Черна естественным образом бьет именно в гомологии Хохшильда и иже с ними.

>Непрерывные, кстати!

Само собой.

(Ответить) (Уровень выше)


(Анонимно)
2021-04-16 20:04 (ссылка)
интеграл это площадь фигуры под кривой же. или это интеграл лебезгуя?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]sometimes
2021-04-16 20:52 (ссылка)
Я имел в виду следующее: есть векторное пространство k-цепей, то есть линейных комбинаций k-мерных гладких симплексов (или кубов); это стандартный первый шаг теории гомологий (потом выбирают линейные комбинации, у которых граница равна 0, и факторизуют по линейным комбинациям границ (k+1)-мерных симплексов; то, что получилось, называется k-мерным пространством гомологий).

И есть дифференциальные формы, субстрат интегрирования, тоже образующие векторное пространство; k-мерные формы можно интегрировать по гладким k-цепям, получается спаривание этих двух пространств.

Кроме этого, есть "обычные симплициальные (ко)гомологии", когда симплексы не гладкие, а любые непрерывные, и на пространстве их цепей берутся любые линейные функции, называемые "коцепи". Эта пара пространств строго двойственная, и спаривание V⨂V^* -> R в линейной алгебре называется "след" (пространство Hom(V, V) изоморфно пространству V⨂V^* в конечномерном случае, и это спаривание соответствует следу матрицы оператора из Hom(V, V) в любом базисе).

Конечно, гладкие симплексы - не то же самое, что любые; по произвольному непрерывному симплексу не проинтегрируешь, непрерывное отображение разрушает касательное пространство; но пространства (ко)гомологий для достаточно приличных многообразий получаются одинаковые, это называется "теорема де Рама", и причина этого в том, что любой симплекс и любую цепь можно сколь угодно хорошо приблизить гладкой.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2021-04-16 21:43 (ссылка)
this, basically
https://www.youtube.com/watch?v=2ptFnIj71SM

(Ответить) (Уровень выше)


[info]milinda
2021-04-17 15:46 (ссылка)
Кстати, в \Omega^1_{C^\infty\R / \R} неверно de^x=e^xdx, это не алгебраическое соотношение потому что.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2021-04-17 18:48 (ссылка)
Да, там надо пополнять, к сожалению. Технически проще сначала определять векторные поля (есть лекции Арапуры, где оно все сделано плюс-минус оптимально).

(Ответить) (Уровень выше)


[info]bors
2021-04-19 00:18 (ссылка)
А как получить любую метрическую связность?

То что пространство поправок кососимметичное это вычисление, то что это изоморфизм - это тоже вычсиление. Формула из википедии доказывается в один шаг, если что.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2021-04-20 21:40 (ссылка)
>А как получить любую метрическую связность?

Взять любую и усреднить по ортогональной группе, ясное дело.

>То что пространство поправок кососимметичное это вычисление

Это еще почему? Алгебра Ли группы O это кососимметрические матрицы; факт хорошо известный, довольно очевидный, не требующий никаких координат, и уж точно без него в дифф. геометрии нечего делать.

Там нетривиальное маблюдение дальше, вот про то, что изоморфизм. Это факт про представления симметрической группы из трех букв, несложный, но нетривиальный. Из формул с индексами нормальный человек его увидеть не в состоянии, по-моему; я по крайней мере точно не могу.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]bors
2021-04-30 02:49 (ссылка)
Съелся коммент. Ваш любимый "геометрический смысл" у нулевого кручения должен быть, просто я его не знаю. Подозреваю что это какое-то двумерное обобщение постоянных векторов вдоль геодезики. Т.е. если связность без курчения, то есть семейства геодезик с постоянными в направлении геодезик векторными полями, какая-нибудь такая херня. Тогда не удивительно, что как вы написали выше, однородные пространства сопротивляются нулевому кручению - такая двумерность не должна быть симметрична.

> Взять любую и усреднить по ортогональной группе
не понял по какому действию усреднять. Впрочем можно взять тривиальную связность локально и склеить.

>факт хорошо известный, довольно очевидный
согласен

(Ответить) (Уровень выше)

(Читать комментарии) -