Прикреплённый пост
Для всяких мелочей и потоков сознания.

Математические заметки:
https://mega.nz/folder/LyglUAAT#K4eIT3HGnARicCLOzbjHsQ
(постоянно обновляются и переписываются, каюсь, каюсь, каюсь)

Можно использовать свободно, можно задавать тут любые вопросы и писать любые замечания.

Тема для LJR в системе стилей S2
Короче, сделал тему (layer) для LJR в системе стилей S2. Модификация темы Classic.
Это планировалось в основном для использования с uncollapse, но так как, похоже, возможность uncollapse в S2 без включенного в настройках "Enable to use the old comment page instead of the newer style specific view" вообще отсутствует, то смысла в этом немного. Наверное, я сам эту тему использовать не буду.
Тем не менее, выложу, вдруг кому-то понадобится.
Никогда в жизни ничего не программировал (сложнее уровня "Hello World"), это эксперимент и там куча костылей.

Ссылка:
https://pastebin.com/UHjatkr6

upd 2024-11-30 17.10 MSK.
Короче, забираю слова

Это планировалось в основном для использования с uncollapse, но так как, похоже, возможность uncollapse в S2 без включенного в настройках "Enable to use the old comment page instead of the newer style specific view" вообще отсутствует, то смысла в этом немного. Наверное, я сам эту тему использовать не буду.

обратно. Благодаря комментарию
https://lj.rossia.org/users/yy/21409.html?thread=169377#t169377
выяснилось, что это не так.
Вот ссылка на подкорректированную версию темы с кнопкой uncollapse:
https://pastebin.com/TPnfuVn9

Tags: ljr

Лист бумаги A4
Так как число 7^2 = 49 близко к 50, то имеем следующие два приближения к корню из двух: 7/5 < \sqrt(2) < 10/7.
Теперь рассмотрим их арифметическое среднее: (7/5 + 10/7)/2 = 99/70.
Так как 70^2 = 4900, а 99^2 = (100 - 1)^2 = 10000 - 200 + 1 = 2*4900 + 1, то 99/70 --- это весьма хорошее приближение к квадратному корню из 2. Собственно, это известное приближение, о нём написано в Википедии:
``The fraction 99/70 (\approx 1.4142857) is sometimes used as a good rational approximation with a reasonably small denominator'' [1].
Более того, число 99/70 совпадает с отношением сторон листа A4: 297/210 = (99*3)/(70*3).
Вообще, 297 мм --- это чуть больше, чем \sqrt(2) * 210 мм, но разница меньше 2 сотых миллиметра!

Спрятанный текст

Кстати, лист A3 --- это просто дважды лист A4, лист A2 --- это дважды лист A3, а вот у листов A1 и A0 отношение сторон сильнее отличается от корня из 2, чем у листа A4! Зато у них площадь ближе к нужной:
297 мм * 210 мм * 2^4 = 997920 мм^2,
841 мм * 594 мм * 2^1 = 999108 мм^2 (841 = 2*2*210 + 1, 594 = 2*297),
1189 мм * 841 мм * 2^0 = 999949 мм^2 (1189 = 2*594 + 1).
Данные взяты отсюда: [2].
То есть к длинным сторонам листов A1 и A0 прибавлено по 1 миллиметру в качестве поправки для изменения площади, если смотреть от A4. Это отдаляет отношение большей стороны листа к меньшей от корня из 2, так как уже у листа A4 это отношение чуть больше корня из 2.
Между прочим, площадь листа A4, равная 210 * 297 = 210 * (300 - 3) = (63000 - 630) мм^2, отличается от 10^6 / 2^4 = 62500 мм^2 на 130 мм^2, то есть приблизительно на площадь квадратика со стороной в 1 см.
Для полноты картины, быть может, стоит отметить, что стороны листов A5, A6, A7, A8, A9 и A10 измеряются в целых миллиметрах, по крайней мере по приведённой ссылке на Википедию так, причём при делении пополам округление производится в меньшую сторону.
Лишним будет напомнить (см. [3]), но я это сделаю, что метр --- это примерно одна десятимиллионная расстояния между полюсом и экватором по поверхности сферического приближения к Земле. Десять --- это количество пальцев на обеих руках человека, а семь нулей нужны для того, чтобы метр был максимально близок к росту человека.
Таким образом способ запоминания размеров стандартных листов бумаги A0, A1, A2, A3, A4, A5 и так далее можно считать установленным.

[1]: https://en.wikipedia.org/wiki/Square_root_of_2
[2]: https://en.wikipedia.org/wiki/ISO_216
[3]: https://lj.rossia.org/users/yy/12022.html

upd. 17.11.2024 17.40 MSK. Часть спрятал и чуть поменял.

Tags: applied_math

Теорема Гильберта о базисе

Текст, довольно ниочёмный

Разобрал на два куска стандартное доказательство теоремы Гильберта о базисе. Ни о чём и длинно, но хоть какой-то контекст для этого доказательства даёт. Осторожно: запросто может быть ошибка.

СОГЛАШЕНИЕ 1. В дальшейшем слова ``фильтрация'' и ``градуировка'' означают ``\N_0-фильтрация'' и ``\N_0-градуировка'' соответственно.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Будем называть градуированный модуль M над ассоциативным унитальным градуированным кольцом R градуированно-нётеровым/градуированно-артиновым, если частично упорядоченное множество градуированных подмодулей M удовлетворяет условию стабилизации возрастающих/убывающих соответственно цепочек.

ТЕОРЕМА 1. Пусть R --- градуированное ассоциативное унитальное кольцо, а M --- фильтрованный R-модуль, такой что присоединённый градуированный R-модуль gr(M) градуированно-нётеров/градуированно-артинов. Тогда R-модуль M нётеров/артинов соответственно.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть M_0 \subset M_1 \subset M_2 \subset ... --- заданная фильтрация на M, а N --- R-подмодуль в M. Тогда на N индуцирована фильтрация N_0 := N \cap M_0 \subset N_1 := N \cap M_1 \subset ... и индуцировано градуированное вложение gr(N) = \bigoplus_{i = 0}^{\infty} N_i / N_{i-1} \to gr(M) = \bigoplus_{i = 0}^{\infty} M_i / M_{i-1}.
Докажем, что для вложенных R-подмодулей N \subset N' модуля M, таких что каноническое вложение gr(N) \to gr(N') биективно, выполняется равенство N = N'. Пусть это не так. Пусть r --- минимальное i \in \N_0, такое что каноническое вложение N_i \to N'_i не биективно. Тогда канонические вложения N_{r-1} \to N'_{r-1} и N_r / N_{r-1} \to N'_r / N'_{r-1} биективны, откуда следует, что вложение N_r \to N'_r тоже биективно --- противоречие.
Мы получили, что если N \subset N' \subset N'' \subset ... --- строго возрастающая цепочка R-подмодулей в M, то gr(N) \to gr(N') \to gr(N'') \to ... --- строго возрастающая цепочка градуированных R-подмодулей в gr(M), и аналогично для убывающих цепочек.

ТЕОРЕМА 2. Пусть M --- градуированный модуль над градуированным ассоциативным унитальным кольцом R. Тогда R-модуль M нётеров/артинов тогда и только тогда, когда R-модуль M градуированно-нётеров/градуированно-артинов соответственно.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Часть ``только тогда'' очевидна, докажем часть ``тогда''. Градуировка на M индуцирует фильтрацию на M, такую что присоединённый градуированный модуль gr(M) изоморфен M. Осталось применить теорему 1.

НАБЛЮДЕНИЕ 1. Пусть S --- частично упорядоченное множество, удовлетворяющее условию стабилизации возрастающих цепочек. Тогда частично упорядоченное множество монотонных отображений \N_0 \to S тоже удовлетворяет условию стабилизации возрастающих цепочек.

ТЕОРЕМА 3 (Теорема Гильберта о базисе). Пусть R --- ассоциативное унитальное нётерово слева кольцо. Тогда кольцо R[X] тоже нётерово слева.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. На R[X] имеется стандартная градуировка, такая что градуированные левые идеалы в R[X] имеют вид \bigoplus_{i = 0}^{\infty} I_i X^i, где I_0 \subset I_1 \subset I_2 \subset ... --- цепочка левых идеалов в R. Осталось воспользоваться теоремой 2 и наблюдением 1.

ТЕОРЕМА 4. Пусть M --- модуль над ассоциативным унитальным кольцом R, а N --- подмодуль в M. Тогда если модули N и M/N артиновы/нётеровы, то модуль M артинов/нётеров соответственно.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим R как градуированное кольцо, полностью сидящее в градуировке ноль, а M --- как модуль с фильтрацией N \subset M, после чего применим теорему 1.

upd. 03.11.2024 16.16 MSK. Мелкие правки.
upd. 20.11.2024 19.38 MSK. Мелкие правки.

upd. 17.11.2024 17.25 MSK. Спрятал.

Tags: math

Характеризация компактности (closed-projection characterization of compactness)
На ncatlab есть страничка [1] (и ещё страничка [2] на ту же тему), которая называется ``closed-projection characterization of compactness'', там доказывается следующая теорема:

Proposition 1.3. If X is a topological space with the property that the projection \pi : Y \times X \to Y out of the product topological space is a closed map for every space Y, then X is compact.

Меня немножко раздражало тамошнее доказательство (сейчас 12 октября 2024 года) --- странно, что там как бы замкнутые множества объявляются открытыми --- и сегодня, кажется, обнаружил чуть-чуть более приятную лично для меня переформулировку. Правда, использующую понятие фильтра.

upd. 2024-10-13 11.17 MSK. Ещё раз перечитал ссылку, которую сам же поставил, и обнаружил, что просто переписал тамошнее рассуждение с пространством фильтров вместо пространства ультрафильтров. Раз уж написал, оставлю, но скрою полный текст.

Детали

Определение 1 (Фильтр на множестве). Пусть X --- множество. Непустое собственное подмножество множества всех подмножеств в X, замкнутое относительно конечных пересечений и перехода к надмножествам, называется фильтром на множестве X.

Определение 2 (Пространство фильтров). Пусть X --- множество. Множество всех фильтров на X, которое мы будем обозначать через \Fil(X), снабжено топологией, заданной базой открытых множеств вида \{F \in \Fil(X) | S \in F\}, где S \subset X.

Наблюдение 1. Пусть X --- множество. Тогда образ канонического вложения \iota : X \to \Fil(X), переводящего точку x \in X в множество всех подмножеств в X, содержащих x, плотен.

Определение 3 (Предельные точки фильтра). Пусть X --- топологическое пространство, а F --- фильтр на X. Тогда элементы пересечения замыканий всех элементов F называются предельными точками F.

Наблюдение 2. Топологическое пространство X компактно тогда и только тогда, когда у любого фильтра на X есть предельные точки.

Теорема 1. Пусть X --- топологическое пространство. Если для любого топологического пространства Z проекция \pi: Z \times X \to Z замкнута, то X компактно.

Доказательство.
Пусть Z := \Fil(X), а \Gamma \subset Z \times X --- график канонического вложения \iota : X \to Z.
Пусть \Gamma' --- это замыкание \Gamma в Z \times X.
С одной стороны, \Gamma' состоит из пар (F,x) \in Z \times X, таких что x --- предельная точка F.
С другой стороны, \pi(\Gamma') содержит \pi(\Gamma) = \iota(X), а потому, по условию, \pi(\Gamma') = Z.

upd. 2024-10-12 22.04 MSK. Исправил мелкие опечатки.

[1]: https://ncatlab.org/nlab/show/closed-projection+characterization+of+compactness
[2]: https://ncatlab.org/toddtrimble/published/Characterizations+of+compactness

Tags: math

Лемма о трубке
Когда-то сделал такое наблюдение из простой теоретико-множественной комбинаторики, которое можно назвать ``леммой о трубке''.

Пусть (X_i | i \in I) --- семейство множеств, \prod_{i \in I} Y_i --- подпроизведение в \prod_{i \in I} X_i, а (\prod_{i \in I} U_{i,a} | a \in A) --- семейство подпроизведений в \prod_{i \in I} X_i, покрывающее \prod_{i \in I} Y_i.

Для каждой точки y_i в Y_i определим множество V_{y_i} как пересечение всех U_{i,a}, которые содержат y_i.

Для каждого i в I определим V_i как объединение V_{y_i} по всем y_i в Y_i.

Тогда \prod_{i \in I} V_i содержит \prod_{i \in I} Y_i и покрывается семейством (\prod_{i \in I} U_{i,a} | a \in A).

Надеюсь, что не ошибся. Единственное, что если какой-то из декартовых сомножителей пустой, то произведения могут вести себя странно и могут возникнуть проблемы. А могут и не возникнуть, не проверял.

По какому поводу это.

Пусть множества X_i --- это топологические пространства, Y_i --- их подмножества, а (\prod_{i \in I} U_{i,a} | a \in A) --- конечное покрытие \prod_{i \in I} Y_i базовыми открытыми множествами. Тогда, даже если множества Y_i бесконечны, то все V_i являются конечными объединениями конечных пересечений открытых множеств и потому открыты. То есть \prod_{i \in I} V_i --- базовая открытая окрестность \prod_{i \in I} Y_i, которая покрывается семейством (\prod_{i \in I} U_{i,a} | a \in A).

Это позволяет рассматривать теорему 3.5.6 из книги Topology and Groupoids by Ronald Brown ([1], [2], Version corrected January 20, 2020 by Taras Kolomatski, дата обр. 05.10.2024), формулировка которой звучит так:

``Let B, C be compact subsets of X, Y respectively, and let W be a cover of B \times C by sets open in X \times Y. Then B, C have open neighbourhoods U, V respectively such that U \times V is covered by a finite number of sets of W''

как следствие теоремы о компактности произведения компактных множеств B и C, которая намного стандартнее и благозвучнее. Делается это так: представляем каждый из элементов W как объединение базовых открытых множеств в X \times Y, выбираем из получившегося открытого покрытия множества B \times C конечное подпокрытие и применяем лемму о трубке.

Таким образом, например, утверждение, что у двух дизъюнктных компактных подмножеств хаусдорфова топологического пространства есть дизъюнктные открытые окрестности (3.5.6 (Corollary 3) в [1]) можно рассматривать как следствие теоремы о компактности произведения двух компактных топологических пространств.

[1]: http://www.groupoids.org.uk/pdffiles/topgrpds-e.pdf
[2]: http://www.groupoids.org.uk/topgpds.html

Tags: math

Определение категории
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть C --- мультипликативная полугруппа* с нулём. Определим её множество нейтральных элементов \Neu(C) как множество e \in C, таких что e \neq 0 и ex, xe \in \{0,x\} для любого x \in C. (upd. 26.09.2024 02.33 MSK. Совокупность \Neu(C) в общем случае множества не образует.)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Мультипликативная полугруппа* с нулём C называется категорией, если для всех x, y, z \in C из того, что xy, yz \neq 0 следует, что xyz \neq 0, и для любого ненулевого x \in C существуют e', e'' \in \Neu(C), такие что e'xe'' \neq 0.

Полугруппа* --- это "полугруппа", совокупность элементов которой не подразумевается малой, то есть не подразумевается множеством.

Тут ведь нет ошибки? Это стандартное определение категории через морфизмы, но сформулированное так, что не надо писать занудство типа "(xy)z определено тогда и только тогда..." Эквивалентность этого определения и определения через объекты и морфизмы доказывается легко.

Tags: math

Избегание простых (prime avoidance)
Есть такая "лемма" в коммутативной алгебре, называется "prime avoidance". У неё есть разные формы, возьмём стандартную из Википедии [1]:

STATEMENT. Let E be a subset of R that is an additive subgroup of R and is multiplicatively closed. Let I_1, I_2, \dots , I_n, n \geq 1 be ideals such that I_i are prime ideals for i \geq 3. If E is not contained in any of I_i's, then E is not contained in the union \cup I_i.

Эта формулировка лично меня сильно раздражала своей несимметричностью. Да, можно убрать условие, что два из I_i могут не быть простыми, и есть симметричное доказательство, но это, строго говоря, ослабление утверждения. Некоторое время назад обнаружил, что если разделить утверждение этой леммы на два утверждения, то будет поприятнее. Не писал, так как слишком мелкая тема, но сейчас захотелось.

СОГЛАШЕНИЕ. В дальнейшем кольца не подразумеваются унитальными. Простой идеал --- это собственный двусторонний идеал, дополнение которого замкнуто относительно умножения.

УТВЕРЖДЕНИЕ 1. Пусть G --- группа, а H, K \subset M --- её собственные подгруппы. Тогда G \neq H \cup K.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Мы можем предположить, что H и K не являются подмножествами друг друга, то есть существуют h \in H \setminus K и k \in K \setminus H. Тогда hk \notin H \cup K.

УТВЕРЖДЕНИЕ 1'. Пусть G --- группа, а G', H, K \subset G --- её подгруппы. Если G' \subset H \cup K, то G' \subset H или G' \subset K.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Применим утверждение 1 к покрытию G' группами G' \cap H и G' \cap K.

УТВЕРЖДЕНИЕ 2. Пусть I_1, ..., I_n --- конечное семейство двусторонних идеалов ассоциативного кольца R, объединение которых равно R, причём никакой из I_i нельзя убрать из объединения. Тогда все идеалы I_i не простые.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для каждого i от 1 до n выберем элемент a_i \in I_i, который не лежит ни в одном из I_j, где j \neq i. Пусть идеал I_1 простой. Тогда элемент a_1 + a_2 a_3 ... a_n не лежит ни в одном из I_i --- противоречие.

ЗАМЕЧАНИЕ. Утверждение 2 эквивалентно утверждению, что если ассоциативное кольцо представлено в виде объединения конечного семейства двусторонних идеалов, то из этого семейства можно выкинуть все простые идеалы.

УТВЕРЖДЕНИЕ 2'. Пусть S --- подкольцо ассоциативного кольца R, а I_1, ..., I_n --- конечное семейство двусторонних идеалов кольца R, объединение которых содержит S. Тогда S содержится в объединении тех из I_i, которые не являются простыми идеалами, не содержащими S.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Применим утверждение 2 к семейству I_1 \cap S, ..., I_n \cap S двусторонних идеалов кольца S.

[1]: https://en.wikipedia.org/wiki/Prime_avoidance_lemma

upd. 2024-09-24 22.19 MSK. Подкорректировал текст.

Tags: math

Центр общей линейной группы над ассоциативным унитальным кольцом
Пусть R --- ассоциативное унитальное кольцо. Тогда центр GL_1(R) --- это центр группы обратимых элементов кольца R. Пусть n строго больше 1. Тогда центр GL_n(R) --- это группа обратимых элементов центра кольца R.

Я уже сошёл с ума, или в общем случае центр группы обратимых элементов кольца не совпадает с группой обратимых элементов центра кольца?

Current Mood: crazy
Tags: math, question

Вопрос про бесконечные прямые степени артинового модуля
Можно ли найти пример артинового модуля M и двух не равномощных бесконечных множеств I и J, таких что модуль M^{\oplus I} изоморфен модулю M^{\oplus J}?

UPD 20.09.2024 16.20 MSK
Конечно же, подразумевается, что модуль M ненулевой.

Tags: math, question

Вопрос про тензорные произведения тел
Праздный вопрос в копилку праздных вопросов.

Пусть k --- поле, а D и D' --- две k-алгебры, являющиеся телами. Пусть не существует полей K \subset Z(D) и K' \subset Z(D'), где Z обозначает центр, содержащих k и изоморфных над k, кроме самого k. Верно ли тогда, что k-алгебра D \otimes_k D' простая?

Если такие K и K' существуют, то имеется очевидный сюръективный гомоморфизм D \otimes_k D' \to D \otimes_K D' с нетривиальным ядром.

Вопрос в том, бывают ли контрпримеры другого типа к утверждению, что тензорное произведение двух простых алгебр над полем является простой алгеброй.

Current Mood: contemplative
Tags: math, question

Модуль над конечным произведением колец
Есть стандартный факт, что модуль над конечным произведением колец является прямой суммой образов действий координатных единиц. Раньше доказывал это просто, но руками. А теперь увидел, что это можно и вообще из ничего получить, если ничего не напутал. Тема слишком уж мелкая для поста, даже для комментария, но всё равно напишу.

Пусть \(R \cong \bigoplus_{i \in I} R_i\), где \(\lvert I \rvert < \infty\), --- ассоциативное унитальное кольцо, разложенное в конечное произведение колец, а \(M\) --- \(R\)-модуль. Тогда \(M \cong R \otimes_R M \cong (\bigoplus_{i \in I} R_i) \otimes_R M \cong \bigoplus_{i \in I} (R_i \otimes_R M) \cong \bigoplus_{i \in I} R_i M\).

Current Mood: indifferent
Tags: math

Armenian Highland and Caucasus in World War I and Interwar period | 1914-1923 - Every Day |
Интересное видео с картами (не моё, конечно):
https://www.youtube.com/watch?v=Ge_DmUhWiCE

Current Mood: impressed
Tags: armenia, history

Сшивание тетрадей в книжный блок
Открыл для себя, что блокнот или небольшую книгу можно сшить самому из тетрадок. Обычно блок ещё и проклеивают, так что задался вопросом ``а можно не клеить?'' Придумал некую схему сшивания, при которой тетрадки в блоке и без клея мало болтаются. Сейчас набросаю. А вопрос такой: как называется такая схема? Может быть, у кого-то есть знакомые, занимающиеся этим делом профессионально, и они знают название. Ну и хотелось бы комментариев, насколько такая схема адекватна вообще.

Картинки загружены на Catbox. Если у вас не открывается, попробуйте зайти с какой-то онлайн прокси.

Схема сшивания на рисунке [1]. Делаем так. Краткое описание, в котором несколько шагов объединены в один. Берем нитку с привязанными иголками на двух концах, пропускаем через дырки как на картинке [2] слева, оставляя при этом петельки. После этого пропускаем иголки как на картинке [2] посередине, проводя нитку через петли, после чего аккуратно затягиваем. Затягивать обе нитки надо более-менее одновременно. После этого, оставляя петельки, аккуратно проводим нитку как на картинке [2] справа, ну и продолжаем аналогично до конца. Единственное, в конце надо привязать оба конца друг к другу прочным узелком.

Для теста сделал таким образом блок для блокнотика формата A7, смотрите картинку [3]. Нитка тонкая, самая обычная, но какая конкретно --- не знаю (upd. 2024-05-27 00.48 MSK: скорее всего это 100% полиэстеровые швейные нитки 40/2 цвета номер 298 от "Gamma"). Бумага обычная офисная белая, 80 г/м^2. Волокна бумаги ориентированы неправильно, так как когда делал вообще не знал об этом, не обращайте внимания, вряд ли для теста схемы сшивания это имеет большое значение. Перед сшиванием сделаны пропилы канцелярским ножом. Тут четыре ``скрепляющих столбика'' (как это называется?), но достаточно было и двух. Связаны 16 тетрадок, каждая из которых сделана из 3 согнутых пополам листов формата A6, то есть каждая тетрадка шестилистовая. Да, крайние тетрадки при таком методе немного выдаются из ряда, ну и что.

Смысл в том, что раскрываемость высокая, можно раскрыть листы одновременно и спереди, и сзади, и добиться того, что толщина двух раскрытых сторон книжки более-менее одинаковая, пример на рисунке [4]. Наверное, это удобно и имеет какое-то значение для блокнота.

Про долговечность, прочность и тому подобное не знаю ничего.

[1]: https://files.catbox.moe/4azo8a.JPG (JPG картинка, 0.2 MB)
[2]: https://files.catbox.moe/w4eza6.JPG (JPG картинка, 0.1 MB)
[3]: https://files.catbox.moe/8p8mv7.jpg (JPG картинка, 1 MB)
[4]: https://files.catbox.moe/uuj7s5.jpg (JPG картинка, 1.3 MB)

Current Mood: tired
Tags: bookbinding

Сопряжённость между \otimes и \Hom
Из жанра приколов.

Пусть A, B, C --- абелевы группы. Тогда имеем следующий изоморфизм: \Hom(A \otimes B, C) \cong \Hom(B, \Hom(A, C)).

Пусть теперь A --- S-R-бимодуль, B --- R-модуль, C --- S-модуль. Мы хотим вывести изоморфизм \Hom_S(A \otimes_R B, C) \cong \Hom_R(B, \Hom_S(A, C)) из предыдущего изоморфизма.

Пусть M --- бимодуль над кольцом R. Определим его нулевые гомологии и когомологии Хохшильда следующим образом:
HH_0(R, M) := M / {rm=mr | r \in R, m \in M},
HH^0(R, M) := {m \in M | rm=mr для всех r \in R},
где факторизация в определении HH_0(R, M) --- это факторизация абелевой группы по абелевой подгруппе.

[Очень надеюсь, что не напутал, и это реально HH_0 и HH^0.]

Тогда A \otimes_R B := HH_0(R, A \otimes B) и \Hom_S(A, C) := HH^0(S, \Hom(A, C)).

Введём обозначения F(A, B) := A \otimes B и G(A, C) := \Hom(A, C).

Тогда
HH^0(S, \Hom(HH_0(R, F(A, B)), C)) \cong
HH^0(S, HH^0(R, \Hom(F(A, B), C)))
и
HH^0(R, \Hom(B, HH^0(S, G(A, C)))) \cong
HH^0(R, HH^0(S, \Hom(B, G(A, C)))),
практически по определению.

Конец вывода.

Current Mood: excited
Tags: math

Гештальт(?)
Когда то давно (2023-10-30) задал вопрос "Нельзя ли уменьшить горизонтальные отступы между последовательными сообщениями в ветке, скажем, раза в два?" (см. [1]). Отвечаю сам себе. Тут есть кастомизация и в системе стилей S2 можно для своего дневника так сделать.

[1]: https://lj.rossia.org/users/tiphareth/2548194.html?thread=194061538#t194061538

Полные метрические пространства
Пусть X --- метрическое пространство. Тогда можно рассмотреть следующие два свойства.

1) Любая последовательность Коши в X сходится.
2) Для любой пары (Y,Y') из метрического пространства Y и его плотного подпространства Y' любое равномерно непрерывное отображение Y' \to X продолжается до непрерывного отображения Y \to X.

Общеизвестно, что (1) \implies (2). Похоже, обратное тоже верно.

Доказательство.
Рассмотрим множество точек отрезка [0,1] вида 2^{-n}, где n \in \N_0, которое обозначим через N'. Пусть N --- это N' \cup \{0\}.
Тогда последовательность --- это отображение N' \to X, а предел последовательности соответствует непрерывному продолжению этого отображения на N. Последовательность является последовательностью Коши тогда и только тогда, когда соответствующее отображение N' \to X равномерно непрерывно. Конец доказательства.

Должно быть, просто суперстандартный факт. Но как-то, мне кажется, он менее популярен, чем должен был быть.

Tags: math

Солнечные водонагреватели
Почему солнечные водонагреватели используются в мастштабе отедельных домов, но, кажется, не в большем масштабе? Что мешает, скажем, сначала нагревать воду на солнышке, а потом отправлять в ТЭС(/АЭС?)? Или в центральном отоплении, я не знаю.

Покрытия локализациями
UPD 2024-03-18 21.34 MSK. Похоже, вопрос закрыт (см. комментарии).

Вопрос

В лекции 7 Д. Каледина из курса, доступного по ссылке [1], в лемме 7.13 есть некое рассуждение.

Чуть обобщённое (быть может, неправильно), мне кажется, оно доказывает следующее.

Утверждение.
Пусть M --- модуль над ассоциативным коммутативным унитальным кольцом A, а (S_i)_{i \in I} --- семейство мультипликативных подмножеств A, такое что множества \Spec(A_{S_i}) покрывают множество \Spec(A).
Тогда последовательность как в определении пучка
0 \to M \to
\bigoplus_{i \in I} M_{S_i}
\to
\bigoplus_{(i,j) \in I \times I}
M_{S_i S_j}
точна.

Рассуждение такое. Для произвольного e \in I мы применяем к нашей последовательности функтор локализации по S_e и замечаем, что получившаяся последовательность точна по тривиальным причинам. Отсюда, в свою очередь, следует, что исходная последовательность точна.

...

Но в это как-то трудно поверить. Обычно когда схемы определяют, такое (похожее) утверждение доказывают в предположении конечности I. Неужели это утверждение реально верно в такой общности и рассуждение работает? Ощущение, что я что-то напутал.

[1]: https://homepage.mi-ras.ru/~kaledin/noc/index.html

Tags: math

http://verbit.ru/MATH/GALOIS-2013/
Для личного пользования собрал все листочки и слайды курса по теории Галуа со страницы [1] в один PDF файл.

Сам PDF (0.7 MB): [2].
ZIP архив с исходниками (0.9 MB): [3].

[1]: http://verbit.ru/MATH/GALOIS-2013/
[2]: https://files.catbox.moe/ntzne3.pdf
[3]: https://files.catbox.moe/2q5koa.zip

Tags: math