>Н-да... Говорил мне Нагорный, что у людей о конструктивизме бытуют самые дикие представления — а я, дурила, не верил :-((

>Конструктивное вещественное число — это генерирующая "рациональные приближения" программа, которая всего лишь может применяться к различным натуральным числам, если для такого применения имеются действительная необходимость и достаточное количество вычислительных ресурсов. Не совокупность всевозможных результатов работы программы, а сама программа. Т.е. некий конечный текст.

Не следует пытаться выставить своего собеседника
идиотом, если он им не является. Всё, что вы написали,
мне и так прекрасно известно. Ваши просветительские
усилия пропали зря. Или что, вы думаете, я бы стал
говорить что-то про конструктивные вещественные
числа, не зная их определения?
Я вообще не понимаю, как глупость вроде
совокупности всевозможных результатов работы программы
могла прийти вам в голову.

>Так а я что тут уже тридцать раз повторил? Разумеется, в физике можно прекрасно обходиться рациональными числами (на деле как раз и обходятся). Вещественные числа появляются только в чистой математике, и никакого отношения к "физической интуиции" не имеют и иметь не могут.

Вы путаете физику и физические измерения (эксперимент).
При эксперименте действительно получаются
только рациональные числа. Однако есть ещё
теоретическая физика, которая занимается теоретическим
обоснованием эксперимента. И вот она-то
как раз активно использует вещественные числа.
И обойтись без них не может, хотя бы по причине
теоремы Лефшеца, а также по множеству
других причин.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Или что, вы думаете, я бы стал
> говорить что-то про конструктивные вещественные
> числа, не зная их определения?

Подозреваю, что так оно и есть. В противном случае Вы едва ли стали бы утверждать, что текст


abbbbbbbbbbbbbbaabaabbbbbbbbaabbbbbbbbbbbbaabbbbbbbbaabaabbbbbbbbbaabbbbbbbbbbbbbbaabbbbbbbbbaabbbbbbbbaabbbbbbbbbbbbaabbbbbbbbaabbbbbbbbbaabbbbbbbbbbbbbbaabbbaabbbbbbbbaabbbbbbbbbbbbaabbbaabbbbbbbbbbbbbbaabaabbbbbbaabbbbbbbbbbbbaabbbbbbaabaabbbbbbbbbbbbbbaabbbbaabbbbbbaabbbbbbbbbbbbaabbbbbbbbaabbbbaabbbbbbbbbbbbbbaabaabbbbbbbaabbbbbbbbbbbbaabbbbbbbaabaabbbbbbbbbbbbbbaabbbbaabbbbbbbaabbbbbbbbbbbbaabbbbbbbaabbbbbbbbbbaabbbbaabbbbbbbbbbbbbbaabbbbbbbbbaabbbbbbbaabbbbbbbbbbbbaabbbbbbbaabaabbbbbbbbbbbbbbaabbbaabbbbbbbaabbbbbbbbbbbbaabbbaabbbbbbbbbbbbbbaabaabbbbbbbbbbbaabbbbbbbbbbbbaabbbbbbbbbbbaabaabbbbbbbbbbbbbbaabbbaabbbbbbbbbbbaabbbbbbbbbbbbaabaabbbaabbbbbbbbbbbbbbaabaabbbbbbbbbbaabbbbbbbbbbbbaabbbbbbbbbbbaabbbbbbbbbbaabaabbbbbbbbbbbbbbaabbbaabbbbbbbbbbaabbbbbbbbbbbbaabbbaabbbbbbbbbbbbbbaabbbbbaabaabbbbbbbbbbbbaabbbbbbaabaabbbbbaabbbbbbbbbbbbbbaabbbbbaabbbbbbbbbbbbaabbbbbbbaabbbbbbbbbbbbbbaabbbbaabaabbbbbbbbbbbbaabbbbaabbbbbaabbbbbbbbbbbbbbaabbbbaabbbbbbbbbbbbbaabbbbbbbbbbbbbbaabbbbbbbbbbbbaabaabbbaabaabbbbaabbbbbbbbbbbbbba


является всего лишь "описанием" числа \(e\), в то время как на самом деле (исходя из определений) этот текст и есть указанное число. Повторяю ещё раз: если я запишу вышеприведённый текст ручкой на листе бумаги, то полученный материальный объект, состоящий из бумаги и чернил, будет числом \(e\). Не "описанием", а именно самим числом, понимаете?

> И обойтись без них не может, хотя бы по причине
> теоремы Лефшеца, а также по множеству
> других причин.

И без суммирования расходящихся рядов не может. И что? Отменить весь анализ, восстановить точку зрения XVIII века?

Вся Ваша аргументация исходит из посылки, что у математики нет самостоятельного (от приложений не зависящего) предмета исследования. Так вот он, предмет этот — есть. И у этого предмета есть объективные, от чьего бы то ни было желания не зависящие, свойства. Которые надо изучать, а не выдумывать по соображениям чьего-то "удобства".

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Подозреваю, что так оно и есть. В противном случае Вы едва ли стали бы утверждать, что текст
>является всего лишь "описанием" числа \(e\), в то время как на самом деле (исходя из определений) этот текст и есть указанное число. Повторяю ещё раз: если я запишу вышеприведённый текст ручкой на листе бумаги, то полученный материальный объект, состоящий из бумаги и чернил, будет числом \(e\). Не "описанием", а именно самим числом, понимаете?

Я уже говорил вам, что прекрасно знаю, что такое
конструктивное вещественное число. Не следует
считать своего собеседника идиотом. Ваши просветительские
усилия опять пропали даром.

Теперь касательно сути дела.
Цитирую ваш изначальный вопрос:

>Где можно посмотреть на конкретный материальный объект, про который можно было бы сказать, что он является результатом пополнения множества рациональных чисел по архимедовому нормированию?

Вы утверждаете, что запись алгоритма является конкретным
материальным объектом, про который можно сказать,
что он является конструктивным вещественным числом.

Что ж, в таком случае я утверждаю, что запись \sum_k A(k,k)
является конкретным материальным объектом,
про который можно сказать, что он является
неконструктивным вещественным числом.

>И без суммирования расходящихся рядов не может. И что? Отменить весь анализ, восстановить точку зрения XVIII века?

Пока не может, но в будущем сможет.
Когда-то механика и квантовая механика
тоже не были строго обоснованы. Сейчас эта ситуация
исправлена. Тоже самое произойдёт и с расходящимися рядами КТП.

>Вся Ваша аргументация исходит из посылки, что у математики нет самостоятельного (от приложений не зависящего) предмета исследования. Так вот он, предмет этот — есть. И у этого предмета есть объективные, от чьего бы то ни было желания не зависящие, свойства. Которые надо изучать, а не выдумывать по соображениям чьего-то "удобства".

Пожалуйста, дайте ссылку на место, где я высказываю
эту посылку.

>Так вот он, предмет этот — есть. И у этого предмета есть объективные, от чьего бы то ни было желания не зависящие, свойства. Которые надо изучать, а не выдумывать по соображениям чьего-то "удобства".

Именно этим и занимается обычная математика.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Что ж, в таком случае я утверждаю, что запись \sum_k A(k,k)
> является конкретным материальным объектом,
> про который можно сказать, что он является
> неконструктивным вещественным числом.

Так я ни разу не против. Только давайте проверим, а? Применительно к моему примеру это не проблема: берётся определение КВЧ (запись алгорифма с такими-то свойствами), затем доказывается, что предъявленный мной алгорифм оными свойствами действительно обладает. Разумеется, это доказательство не абсолютное (реальной проверки правильности работы оного алгорифма для всех начальных данных мы провести действительно не в состоянии, указанием на что Вы тут пытались меня уесть), но такова уж судьба всех общих утверждений, в том числе и в физике (например, когда мы говорим, что масса кирпича равна двум килограммам, мы подразумеваем определённый характер реакции этого кирпича на любую приложенную к нему силу — а на практике мы все варианты приложения силы к этому кирпичу тоже никогда не переберём). А вот как она будет выглядеть в Вашем случае? Если ВЧ — это «элемент множества \(\mathbb R\), удовлетворяющего таким-то аксиомам», то Вам надо откуда-то раздобыть всё это множество "куском", а потом удостовериться, что Ваш объект в нём действительно содержится. Как это сделать? Не знаю; был бы рад, если бы Вы меня на этот счёт просветили. Или ВЧ — это фундаментальная последовательность рациональных чисел? Но где эта последовательность в Вашем случае — я у Вас тут только несколько буковок вижу. Аналогичный вопрос будет про дедекиндовы сечения.

Помогите моему неверию, а? Ну, пожалуйста? :-)

> Тоже самое произойдёт и с расходящимися рядами КТП.

Что это произойдёт, на то у меня нет ни малейших сомнений. Но:

1) Пока этого не произошло, физикам плевать на математическую некорректность своих выкладок. Т.е. действительное отношение физиков к математике таково: когда математики "разрешают" делать нечто желаемое физикам, то последние на соответствующие теоремы с удовольствием ссылаются; когда же математики желаемое, напротив, "запрещают", то физики попросту делают вид, что такого запрета не существует.

2) Точно так же можно сказать, что все осмысленные физические результаты, которые сегодня навешены на неверные математические теоремы (вроде тех же неподвижных точек), рано или поздно будут передоказаны конструктивно. И тогда Ваша аргументация обращается против Вас же.

> Пожалуйста, дайте ссылку на место, где я высказываю
> эту посылку.

Уже давал (про "единственный способ — приложение к физике").

> Именно этим и занимается обычная математика.

Тогда какая из конкурирующих аксиоматик теории множеств объективно верна? почему верна именно она? где можно посмотреть на её модель?

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Или ВЧ — это фундаментальная последовательность рациональных чисел? Но где эта последовательность в Вашем случае — я у Вас тут только несколько буковок вижу.

Пожалуйста, берёте частичную сумму ряда, вот вам фундаментальная последовательность.

>Пока этого не произошло, физикам плевать на математическую некорректность своих выкладок. Т.е. действительное отношение физиков к математике таково: когда математики "разрешают" делать нечто желаемое физикам, то последние на соответствующие теоремы с удовольствием ссылаются; когда же математики желаемое, напротив, "запрещают", то физики попросту делают вид, что такого запрета не существует.

А если математики предлагают способ устранить неформальные
выкладки, то физики его используют.
Физики пользуются нестрогими рассуждениями не потому,
что им так хочется, а потому, что у них нет другого выхода.
Здесь такая же ситуация, как с анализом в 17 и 18 века,
и как с вещественными числами до конца 19 века
(когда у них ещё не было определения).

>Точно так же можно сказать, что все осмысленные физические результаты, которые сегодня навешены на неверные математические теоремы (вроде тех же неподвижных точек), рано или поздно будут передоказаны конструктивно. И тогда Ваша аргументация обращается против Вас же.

(1) В настоящее время физики активно используют классическую
математику (теорема Лефшеца, К-теория, спектральная последовательность Атии-Хирцебруха).
Ваши указания на нестрогость физики здесь не помогают —
путём наблюдений за историей установлено, что
все нестрогие результаты рано или поздно превращаются
в строгие.
(2) Классическая математика работает в физике.
То есть физики предсказывают с её помощью физические
явления, после чего ставят эксперимент и обнаруживают,
что его результаты совпадают с теоретическим предсказаниями.
При этом в физике используются теоремы, конструктивные
аналоги которых попросту неверны (теорема Лефшеца).
(3) Что касается конструктивной математики, то пока
никто не продемонстрировал, каким образом конструктивная
математика позволяет предсказывать физические
явления лучше, чем классические. Это и не удивительно,
если учесть, что всё, что доказуемо в конструктивной
математике, доказуемо и в классической, а вот некоторые
результаты классической, вроде теоремы Лефшеца, неверны
в конструктивной.
(4) Наука о программировании и связанных с ним
закономерностях — это не математика, а computer science,
которая далеко не исчерпывает математику.
Это общепринятое определение и не надо
пытаться подгонять определение математики под свои взгляды.

>Уже давал (про "единственный способ — приложение к физике").
Это про другое.

>Тогда какая из конкурирующих аксиоматик теории множеств объективно верна? почему верна именно она? где можно посмотреть на её модель?

В математике нет абсолютных утверждений.
Как я уже указывал, хотя может показаться обратное,
по сути все утверждения в математике имеют вид:
Если T — вполне отделимый элементарный топос с объектом натуральных чисел, то тогда верно X. (Это ZF.)
Если T — вполне отделимый элементарный топос с объектом натуральных чисел, в котором выполнена аксиома выбора, то тогда верно X. (Это ZFC.)
Если T — эффективный топос, то тогда верно X. (Это конструктивная математика.)
Такие утверждения объективны верны в любом разумном
смысле этого слова.

Вопрос о существовании таких топосов в данном случае не
обсуждается. В силу теоремы Гёделя о неполноте,
доказать существование невозможно ни для одного из трёх
упомянутых вариантов.

Зато когда мы применяем всё это в реальном мире (в физике),
то обнаруживаем, что можем предсказывать
результаты физических экспериментов, что может
служить косвенным аргументом в пользу
непротиворечивости утверждения о существовании такого топоса.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Пожалуйста, берёте частичную сумму ряда, вот вам фундаментальная последовательность.

Простите великодушно, а это не в Вашей "классической" математике последовательность определялась как «всюду определённая функция натурального аргумента»? Давно ли частичная сумма у нас превратилась из числа в функцию?

> А если математики предлагают способ устранить неформальные
> выкладки, то физики его используют.
> Физики пользуются нестрогими рассуждениями не потому,
> что им так хочется, а потому, что у них нет другого выхода.

Из этого отнюдь не вытекает, что роль математиков должна состоять не в поиске строгих рассуждений, а в канонизации уже имеющихся нестрогих. А Вы (посредством объявления неверных теорем верными) предлагаете именно последнее.

> (1) В настоящее время физики активно используют классическую
> математику (теорема Лефшеца, К-теория, спектральная последовательность Атии-Хирцебруха).

Не потому, что им так хочется, а потому, что у них нет другого выхода — Ваши же слова. А Вы ещё и хотите им этот выход заколотить на веки вечные, хотя Ваша прямая обязанность как математика состоит прямо в обратном. Милое дело!

> При этом в физике используются теоремы, конструктивные
> аналоги которых попросту неверны (теорема Лефшеца).

Не потому, что физикам так хочется, а потому, что у них нет другого выхода.

> (3) Что касается конструктивной математики, то пока
> никто не продемонстрировал, каким образом конструктивная
> математика позволяет предсказывать физические
> явления лучше, чем классические.

А классическая математика не продемонстрировала, что она позволяет предсказывать физические явления лучше, чем математика XVIII века, в которой все ряды сходились (ибо КТП сейчас основана именно на такой математике, а "классическая" нервно курит в сторонке). Ну, что в свете этого факта делать будем?

> Это и не удивительно,
> если учесть, что всё, что доказуемо в конструктивной
> математике, доказуемо и в классической, а вот некоторые
> результаты классической, вроде теоремы Лефшеца, неверны
> в конструктивной.

А в "наивной" теории множеств Кантора доказуемо вообще всё (ввиду её противоречивости). Давайте уж сразу на неё перейдём, а?

> Вопрос о существовании таких топосов в данном случае не
> обсуждается. В силу теоремы Гёделя о неполноте,
> доказать существование невозможно ни для одного из трёх
> упомянутых вариантов.

Поток сознания. Вы хоть точную формулировку-то теоремы Гёделя знаете?

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Простите великодушно, а это не в Вашей "классической" математике последовательность определялась как «всюду определённая функция натурального аргумента»? Давно ли частичная сумма у нас превратилась из числа в функцию?

Частичная сумма первых k членов ряда образует
всюду определённую функцию натурального аргумента, которая
является фундаментальной последовательностью.

>Из этого отнюдь не вытекает, что роль математиков должна состоять не в поиске строгих рассуждений, а в канонизации уже имеющихся нестрогих. А Вы (посредством объявления неверных теорем верными) предлагаете именно последнее.

Не очень понимаю что вы имеете в виду под «канонизацией».
Что касается теоремы Лефшеца, то, как я уже говорил,
она верна в классическом случае, но неверна в конструктивном.
Если вы ведёте беседе в узком кругу конструктивистов,
вы можете подразумевать конструктивный случай,
однако в общематематической дискуссии извольте добавлять
словосочетание «в конструктивной математике».

Я, как видите, эти два случая различаю.

>Не потому, что им так хочется, а потому, что у них нет другого выхода — Ваши же слова.

Это не соответствует действительности.
Если бы физикам были доступны строгие средства,
они бы их использовали.
Если бы физикам были доступны конструктивные средства,
они бы их проигнорировали. Уже хотя бы потому,
что классическая математика (созданная при участии
физики) для нужд физики адекватнее.

>А классическая математика не продемонстрировала, что она позволяет предсказывать физические явления лучше, чем математика XVIII века, в которой все ряды сходились (ибо КТП сейчас основана именно на такой математике, а "классическая" нервно курит в сторонке). Ну, что в свете этого факта делать будем?

Как я уже говорил, все нестрогие рассуждения в физике со временем заменяются на (классические) строгие.
Тоже произойдёт и с КТП.

>А в "наивной" теории множеств Кантора доказуемо вообще всё (ввиду её противоречивости). Давайте уж сразу на неё перейдём, а?

Теория Кантора неформальна.
Противоречивы некоторые формализации теории Кантора,
которые предложили другие люди (не Кантор).
У вас есть что возразить по существу дела?

>Поток сознания. Вы хоть точную формулировку-то теоремы Гёделя знаете?

Как я уже говорил, считать своего собеседника идиотом —
не лучший способ ведения дискуссии. Вы почему-то
никак не можете этого усвоить. Давайте условимся:
если я использую в своей аргументации какой-то
объект, то я знаю его определение.
У вас есть что возразить по существу дела?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Частичная сумма первых k членов ряда образует
> всюду определённую функцию натурального аргумента, которая
> является фундаментальной последовательностью.

Садитесь, "два". Причём именно по "классической" математике (в которой функция — это множество упорядоченных пар, такое, что бла-бла-бла). Где здесь функция в том смысле, в котором этот термин определяется в ZF, а не в учебниках высшей математики для заборостроительных вузов?

> она верна в классическом случае, но неверна в конструктивном.
> Если вы ведёте беседе в узком кругу конструктивистов,
> вы можете подразумевать конструктивный случай,
> однако в общематематической дискуссии извольте добавлять
> словосочетание «в конструктивной математике».

Научная математика — это и есть конструктивная математика. Честные "классики" сие и сами прекрасно знают, а потому сразу говорят, что математика для них — не наука. К таким у меня вопросов нет, такие о "верности" своих теорем не рассуждают (как можно ставить вопрос о "верности" героической симфонии Бетховена? или «Адама» Микеланджело?). А вот которые рассуждают, к тем сразу вопрос: верными утверждениями о чём являются Ваши теоремы?

Теперь о неподвижных точках. Как уже говорилось, любое измерение проводится с отличной от нуля точностью. Поэтому для физика неподвижной будет и такая точка, которая на деле вполне себе подвижна, но уходит от изначального положения "не очень далеко". Задача математиков тут — изучить вопрос о наличии таких точек (в зависимости от свойств отображения, величины "точности неподвижности", и т.д.). А что они делают вместо этого? Гордо предъявляют заведомо неверную (но столь же заведомо могущую стать верной при внесении некоторых корректив в формулировку, искать каковые коррективы математики попросту не хотят, хотя это — их профессиональная обязанность) теорему и заваливаются на печку. Простите, но это (т.е. рассуждать на пальцах в надежде, что авось прокатит) физики и сами умеют!

> Если бы физикам были доступны строгие средства,
> они бы их использовали.
> Если бы физикам были доступны конструктивные средства,
> они бы их проигнорировали.

А Вы не решайте за физиков. Считать коллег идиотами, не способными разобраться, что им нужно — не лучший способ аргументации (Ваши слова, не так ли?). Вот тот же Ландау утверждал, что преподавать физикам "классическую" математику — это спасать их души вопреки их желанию; что им (физикам) "классическая" математика нужна не более, чем средневековая схоластика. Что, Ландау, по-Вашему, не физик был?

> Давайте условимся: если я использую в своей аргументации
> какой-то объект, то я знаю его определение.
> У вас есть что возразить по существу дела?

Давайте условимся: если я, по некоторым Вашим высказываниям, приобретаю подозрение, что упоминаемые Вами определения и теоремы Вы знаете не лучшим образом, то я имею полное право высказать это своё подозрение (разумеется, Вы при этом имеете ровно такое же право в отношении меня). А Ваш тезис, будто (вторая) теорема Гёделя утверждает невозможность доказать существование чего-то там (здесь пропущена ключевая для теоремы фраза "средствами такой-то формальной теории"), вызывает у меня именно такое подозрение, уж простите.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Садитесь, "два". Причём именно по "классической" математике (в которой функция — это множество упорядоченных пар, такое, что бла-бла-бла). Где здесь функция в том смысле, в котором этот термин определяется в ZF, а не в учебниках высшей математики для заборостроительных вузов?

Это множество пар вида (k, s_k), где s_k —
сумма первых k членов ряда.

>А вот которые рассуждают, к тем сразу вопрос: верными утверждениями о чём являются Ваши теоремы?

Ваши теоремы являются верными утверждениями об
объектах воображаемой вселенной, в которой
существуют машины с неограниченным объёмом памяти.
Мои теоремы являются верными утверждениями об
объектах воображаемой вселенной, в которой
существуют машины, действующие по правилам ZF.

>Теперь о неподвижных точках. Как уже говорилось, любое измерение проводится с отличной от нуля точностью. Поэтому для физика неподвижной будет и такая точка, которая на деле вполне себе подвижна, но уходит от изначального положения "не очень далеко". Задача математиков тут — изучить вопрос о наличии таких точек (в зависимости от свойств отображения, величины "точности неподвижности", и т.д.). А что они делают вместо этого? Гордо предъявляют заведомо неверную (но столь же заведомо могущую стать верной при внесении некоторых корректив в формулировку, искать каковые коррективы математики попросту не хотят, хотя это — их профессиональная обязанность) теорему и заваливаются на печку. Простите, но это (т.е. рассуждать на пальцах в надежде, что авось прокатит) физики и сами умеют!

Видите ли, всё уже давно изученно.
Неподвижная точка для случая отображения общего
положения является устойчивой — при малых
шевелениях отображения неподвижная точка тоже
меняется мало. Вот и всё. И никаких приближений не надо.

>А Вы не решайте за физиков. Считать коллег идиотами, не способными разобраться, что им нужно — не лучший способ аргументации (Ваши слова, не так ли?). Вот тот же Ландау утверждал, что преподавать физикам "классическую" математику — это спасать их души вопреки их желанию; что им (физикам) "классическая" математика нужна не более, чем средневековая схоластика. Что, Ландау, по-Вашему, не физик был?

А вы не перевирайте Ландау. Ландау говорил
про считательную математику и доказательства существования.
При этом считательная математика у него была вполне классическая — его совершенно не волновало,
можно ли это быстро посчитать на компьютере.

>А Ваш тезис, будто (вторая) теорема Гёделя утверждает невозможность доказать существование чего-то там (здесь пропущена ключевая для теоремы фраза "средствами такой-то формальной теории"), вызывает у меня именно такое подозрение, уж простите.

В сочетании с тезисом о формализуемости математических
доказательств в формальных системах мы как раз и получаем то, что хотели.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Это множество пар вида (k, s_k), где s_k —
> сумма первых k членов ряда.

Слова, слова, слова. Я Вам конструктивное вещественное число приводил? Приводил. Теперь Вы приведите неконструктивное. Не почёрпнутое из учебников для заборостроительного института описание этого числа (которое Вы пока пытаетесь мне всучить), а само число. До этого момента обсуждать нечего.

> Ваши теоремы являются верными утверждениями об
> объектах воображаемой вселенной, в которой
> существуют машины с неограниченным объёмом памяти.

Мои теоремы являются утверждениями о реальной вселенной.

> Мои теоремы являются верными утверждениями об
> объектах воображаемой вселенной, в которой
> существуют машины, действующие по правилам ZF.

Вот поэтому-то Ваши теоремы (в отличие от моих) и ненаучны.

> Видите ли, всё уже давно изученно.

С ошибками изучено. И Вы эти ошибки исправлять не хотите. Что ж, хозяин барин.

> А вы не перевирайте Ландау. Ландау говорил
> про считательную математику и доказательства существования.
> При этом считательная математика у него была вполне классическая — его совершенно не волновало,
> можно ли это быстро посчитать на компьютере.

Какая у Ландау была "считательная математика", я уже цитаты приводил. Она не "классическая", она XVIII века: с актуальными бесконечно малыми и очевидностью возможности перехода к пределу для всего подряд. Выкинуть же он предлагал именно Вашу "классическую".

> В сочетании с тезисом о формализуемости математических
> доказательств в формальных системах мы как раз и получаем то, что хотели.

Этот тезис является бредовым. Продолжайте.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Слова, слова, слова. Я Вам конструктивное вещественное число приводил? Приводил. Теперь Вы приведите неконструктивное. Не почёрпнутое из учебников для заборостроительного института описание этого числа (которое Вы пока пытаетесь мне всучить), а само число. До этого момента обсуждать нечего.

А что я, по-вашему, делаю? Я уже построил
в явном виде это неконструктивное число. Не его описание,
а само это число. Фундаментальную последовательность
рациональных чисел.

>Мои теоремы являются утверждениями о реальной вселенной.
Видите ли, наблюдается лёгкая проблема:
в реальной вселенной мы наблюдаем лишь конечное
количество материи. Как следствие —
конечное число конструктивных объектов.
Вы же утверждаете, что все натуральные числа являются
конструктивными объектами, а их бесконечное число.

>Вот поэтому-то Ваши теоремы (в отличие от моих) и ненаучны.
Их научность совпадает с научностью ваших
теорем, и я уже продемонстрировал вам почему:
вы предполагаете существование некой
вселенной с бесконечным количеством материи,
я предполагаю существование некой вселенной,
в которой выполняются аксиомы ZF.
Никакой принципиальной разницы здесь нет.
У вас есть что возразить по существу?

>С ошибками изучено. И Вы эти ошибки исправлять не хотите. Что ж, хозяин барин.

Никаких ошибок там нет. Всё, что вы хотите сказать —
это то, что конструктивные аналоги этих теорем неверны.
И это так.
Использование оруэлловского новояза вроде вашего —
не самый лучший способ ведения дискуссии.

>Какая у Ландау была "считательная математика", я уже цитаты приводил. Она не "классическая", она XVIII века: с актуальными бесконечно малыми и очевидностью возможности перехода к пределу для всего подряд. Выкинуть же он предлагал именно Вашу "классическую".

Пожалуйста, дайте точную ссылку на Ландау, где
он предлагает выкинуть классическую математику
и оставить 18 век.
До тех пор все эти слова являются спекуляцией.
Могу добавить, что вычисление какой-либо
физической величины с помощью теоремы Лефшеца
— это считательная математика по Ландау.

>Этот тезис является бредовым. Продолжайте.

Что ж, не потрудитесь ли привести пример
доказательства, неформализуемого в формальной системе?
За слова надо отвечать.

Я полагаю, что вы знаете, что вся конструктивная
математика держится на тезисе Чёрча.
Что если я объявлю этот тезис бредовым?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> А что я, по-вашему, делаю? Я уже построил
> в явном виде это неконструктивное число. Не его описание,
> а само это число. Фундаментальную последовательность
> рациональных чисел.

Ничего Вы не построили, только руками намахали. Соответственно, обсуждать нечего.

> Вы же утверждаете, что все натуральные числа являются
> конструктивными объектами, а их бесконечное число.

Ссылочку дайте, где я употреблял слово "все" применительно к натуральным числам. Самим-то постоянно передёргивать не надоело?

> Их научность совпадает с научностью ваших
> теорем

Не "наших теорем", а "Вашей безграмотной интерпретации наших теорем". Эта интерпретация действительно ненаучна, но сие суть проблемы не теорем, а Ваши. Уж простите.

> вы предполагаете существование некой
> вселенной с бесконечным количеством материи,

Этот бред Вы можете ещё хоть тысячу раз повторить; более верным он от этого не станет.

> У вас есть что возразить по существу?

По данному пункту я давно всё сказал, причём не по одному разу. Если же у Вас трудности с чтением — тут я, увы, бессилен :-(

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent)

Я понял!!! dmitri_pavlov@lj — бот! То-то я удивлялся, с чего это он по сто раз повторяет одни и те же вопросы (и полностью игнорирует ответы) — ну, а как же ему иначе-то: что в базу запузырили, то он и штампует. Слава роботам! Крутая машинка получилась!

Ну вот, к примеру:

> Пожалуйста, дайте точную ссылку на Ландау, где
> он предлагает выкинуть классическую математику
> и оставить 18 век.

Не так давно пробегала цитата из «Квантовой электродинамики», где упоминались "бесконечно малые интервалы" (взятые непосредственно у Лейбница) и много чего ещё в том же роде. Человек бы эту цитату прочитал и оценил. Но бот, понятное дело, этого провернуть не в состоянии, вот и бегает по кругу.

> Могу добавить, что вычисление какой-либо
> физической величины с помощью теоремы Лефшеца
> — это считательная математика по Ландау

У человека я бы попросил привести ссылки на использование Ландау этой теоремы или других теорем чистого существования (которые сам же он и костерил последними словами), но с бота какой же спрос :-)

> Что ж, не потрудитесь ли привести пример
> доказательства, неформализуемого в формальной системе?
> За слова надо отвечать.

Доказательство непротиворечивости самой этой формальной системы (в случае, если она действительно непротиворечива). Нет, я же понимаю: если у бота в базе есть фраза "теорема Гёделя", из этого никак не следует, что он чувствует смысл этой теоремы :-)

> Я полагаю, что вы знаете, что вся конструктивная
> математика держится на тезисе Чёрча.
> Что если я объявлю этот тезис бредовым?

Объявляйте сколько угодно, конструктивная математика от этого не пострадает. Потому что на самом деле она не держится на тезисе Чёрча. Просто тот, кто Вас программировал, был на этот счёт не в курсе :-)

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Я просил бы Вас более уважительно отзываться о собеседнике.


> Пожалуйста, дайте точную ссылку на Ландау, где
> он предлагает выкинуть классическую математику
> и оставить 18 век.

Вас просили дать _точную ссылку_. Точной ссылки, кажется, не было...

> Что ж, не потрудитесь ли привести пример
> доказательства, неформализуемого в формальной системе?
> За слова надо отвечать.

Доказательство непротиворечивости самой этой формальной системы (в случае, если она действительно непротиворечива).

действительно, любопытное замечание.


Объявляйте сколько угодно, конструктивная математика от этого не пострадает. Потому что на самом деле она не держится на тезисе Чёрча.

однако, он рутинно используется,---многие вопросы связаны с существованием алгоритмов, но эти алгоритмы никто не выписывает.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Я просил бы Вас более уважительно отзываться о собеседнике.

Я бы с удовольствием. Но после получения сотни постов в стиле "а ты всё-таки купи слона"...

> Вас просили дать _точную ссылку_. Точной ссылки, кажется, не было...

Было упоминание известного (в том числе и моему оппоненту, судя по его замечаниям) письма Ландау со словами «я категорически считаю, что из математики, изучаемой физиками, должны быть полностью изгнаны всякие теоремы существования, слишком строгие доказательства и т.д.», «необходимость в курсе теории вероятностей довольно сомнительна, физики и без того излагают то, что им нужно, в курсах квантовой механики и статистической физики» (курсив мой). И были приведены конкретные (там даже номер параграфа из ссылок легко вытаскивается) указания на то, что же именно физики "и без того излагают". Sapienti sat.

> однако, он рутинно используется,---многие вопросы связаны с существованием алгоритмов,
> но эти алгоритмы никто не выписывает.

Способы построения этих алгорифмов очень даже выписывают. В той же «Теории алгорифмов» Маркова (или более позднем варианте Маркова-Нагорного) явные доказательства теорем о сочетании занимают чуть не полкниги. Ссылка на тезис Чёрча в качестве элемента доказательства в конструктивной математике не допускается.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Было упоминание известного (в том числе и моему оппоненту, судя по его замечаниям) письма Ландау со словами «я категорически считаю, что из математики, изучаемой физиками, должны быть полностью изгнаны всякие теоремы существования, слишком строгие доказательства и т.д.», «необходимость в курсе теории вероятностей довольно сомнительна, физики и без того излагают то, что им нужно, в курсах квантовой механики и статистической физики» (курсив мой). И были приведены конкретные (там даже номер параграфа из ссылок легко вытаскивается) указания на то, что же именно физики "и без того излагают". Sapienti sat.

Как раз эта цитата мне хорошо известна, и того, что вы приписываете Ландау (вернуться в 18 век) в ней нет.

>должны быть полностью изгнаны всякие теоремы существования
Теорема Лефшеца не является теоремой существования,
это — вычислительный инструмент. Которым
физики с удовольствием пользуются.

(Reply to this) (Parent)

>Я понял!!! dmitri_pavlov — бот! То-то я удивлялся, с чего это он по сто раз повторяет одни и те же вопросы (и полностью игнорирует ответы) — ну, а как же ему иначе-то: что в базу запузырили, то он и штампует. Слава роботам! Крутая машинка получилась!

Я вижу, у вас закончились аргументы по существу, и вы решили перейти к прямым оскорблениям.

>Не так давно пробегала цитата из «Квантовой электродинамики», где упоминались "бесконечно малые интервалы" (взятые непосредственно у Лейбница) и много чего ещё в том же роде. Человек бы эту цитату прочитал и оценил. Но бот, понятное дело, этого провернуть не в состоянии, вот и бегает по кругу.

Эта цитата никакого отношения к делу не имеет.
То, что человек использует бесконечно малые, не означает,
что он предлагает вернуться к математики 18 века.

>У человека я бы попросил привести ссылки на использование Ландау этой теоремы или других теорем чистого существования (которые сам же он и костерил последними словами), но с бота какой же спрос :-)

Во времена Ландау теорема Лефшеца ещё не была особо известна.
Теорема Лефшеца относится к числу считательных теорем просто
по той причине, что она позволяет что-то посчитать.
Чистая теорема существования утверждает только существование
этого чего-либо.

>Доказательство непротиворечивости самой этой формальной системы (в случае, если она действительно непротиворечива). Нет, я же понимаю: если у бота в базе есть фраза "теорема Гёделя", из этого никак не следует, что он чувствует смысл этой теоремы :-)

Вы умеете доказывать непротиворечивость формальных систем с арифметикой?
Уже подали заявку на филдсовскую медаль?

>Объявляйте сколько угодно, конструктивная математика от этого не пострадает.

В таком случае, вы, видимо, не знаете, что такое тезис Чёрча.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

За Вашей дискуссией мне не уследить, но это место мог бы прокомментировать.

Вы умеете доказывать непротиворечивость формальных систем с арифметикой? Уже подали заявку на филдсовскую медаль?

Непротиворечивость арифметики Пеано можно в арифметике Пеано же вывести из вполнеупорядоченности некоторого кардинала, закодированной формулой (каждому формальному выводу присваивается его "номер", меньший этого кардинала, и по этим номерам организуется индукция).

Но, вообще говоря, здесь вероятно
имеется в виду тривиальное доказательство --- формальная система непротиворечива если имеет модель. Арифметика Пеано модель имеет, как легко видеть. Также легко видеть, что и теория множеств имеет модель--ну может несколько сложнее.)

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Непротиворечивость арифметики Пеано можно в арифметике Пеано же вывести из вполнеупорядоченности некоторого кардинала, закодированной формулой (каждому формальному выводу присваивается его "номер", меньший этого кардинала, и по этим номерам организуется индукция).

Это доказательство Генцена, если я всё правильно
понимаю. Сама теорема, конечно, замечательная.
Правда есть лёгкая проблема: доказательство
непротиворечивости проводится в более сильной системе.
Возникает вопрос: а как насчёт непротиворечивости
этой более сильной системы? И так далее.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Я не совсем понимаю, что мы обсуждаем. Из доказательство Генцена
действительно следует, что в арифметике Пеано не вывести вполнеупорядоченность этого кардинала.

Но мне показалось, что Вы сказали, что непротиворечивость арифметики Пеано нельзя доказать неформально--видимо, я неправильно Вас понял---и привел такое доказательство (она имеет модель).


Т.е., я и не говорю, что мое доказательство соотвествует некой формальной системе. Я лишь говорю, что мое доказательство непротиворечивости арифметики Пеано соотвествует общепринятым стандартам строгости в математике, и, тем самым, является математическим доказательством (неформальным).

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Но мне показалось, что Вы сказали, что непротиворечивость арифметики Пеано нельзя доказать неформально--видимо, я неправильно Вас понял---и привел такое доказательство (она имеет модель).
>Т.е., я и не говорю, что мое доказательство соотвествует некой формальной системе. Я лишь говорю, что мое доказательство непротиворечивости арифметики Пеано соотвествует общепринятым стандартам строгости в математике, и, тем самым, является математическим доказательством (неформальным).

Теорема Генцена — это обычная теорема классической
математики. Она прекрасно формализуется (в примитивно
рекурсивной арифметике с индукцией до эпсилон-нуль
для формул без кванторов)
и доказывает непротиворечивость арифметики с логикой
первого порядка. Естественно, что это доказательство
соответствует любым стандартам строгости математики,
более того, оно вполне формально.

Единственное, что я неправильно сказал, что эта
формальная система сильнее обычной арифметики —
они просто не сравнимы.

Я сейчас посмотрел Википедию по этому вопросу и обнаружил,
что ничего не напутал:

In 1936 Gerhard Gentzen proved the consistency of first-order arithmetic using combinatorial methods. In itself, the result is rather trivial, since the consistency of first-order arithmetic has a very easy proof: the axioms are true—in a mathematically defined sense—the rules of predicate calculus preserve truth and no contradiction is true, hence no contradiction follows from the axioms of first-order arithmetic. What makes Gentzen's proof interesting is that it shows much more than merely that first-order arithmetic is consistent. Gentzen showed that the consistency of first-order arithmetic is provable, over the weaker base theory of primitive recursive arithmetic with the additional principle of quantifier free transfinite induction up to the ordinal ε0 (epsilon nought).

То есть речь в данном случае идёт скорее не о неформальном
доказательстве (доказательство теоремы Генцена
вполне формально), а о какой-то неформальной интерпретации этого
доказательства.

Именно эта неформальная интерпретации нас и интересует.
Не могли бы вы дать какие-то ссылки на описание
этой неформальной интерпретации?
Просто что вижу я — это что теорема Генцена
сводит вопрос о непротиворечивости формальной
системы с арифметикой и логикой первого порядка
к непротиворечивости другой (несравнимой с ней)
формальной системы.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Именно эта неформальная интерпретации нас и интересует.
Не могли бы вы дать какие-то ссылки на описание
этой неформальной интерпретации?

Я не совсем понимаю вопрос, стандартная ссылка -- Такеути,
Takeuti, Proof theory (2nd edition is better), Введение.

Философский смысл доказательства Генцена
примерно такой; нас интересует, насколько и в какой форме
понятие "актуальной бесконечности" требуется для обоснования арифметики.
Поэтому мы хотим доказательство непротиворечивости арифметики, скажем Пеано,
использующее "актуальной бесконечности" в наимболее слабой и наиболее явной
форме.

Доказательство Генцена является именно таким: Тheory of primitive recursive arithmetic имеет весьма ограниченный принцип индукции: для формул -- только по бескванторным формулам, для построения функций -- примитивная рекурсия

the function h defined by
h(0,x1,...,xk) = f(x1,...,xk) and
h(n+1,x1,...,xk) = g(h(n,x1,...,xk),n,x1,...,xk) is primitive recursive
if g,h are.

(В арифметике, кажется, единственное использование "актуальной бесконечности"---в принципе индукции.)

При этом, вполнеупорядоченность каждого кардинала меньше епсилон_0 можно
доказать в арифметике Пеано, если не ошибаюсь.


Кстати, мне кажется, в существенной части обсуждения конструктивной математики Вы как раз и обсуждаете, в какой форме используется бесконечность в конетрукнивной математике. Без сомнения, в какой-то форме используется (при абсрагировании от конструктивных особенностей), но значительно более слабой, чем в теории множеств.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Философский смысл доказательства Генцена
> примерно такой; нас интересует, насколько и в какой форме
> понятие "актуальной бесконечности" требуется для обоснования арифметики.

?! И где же в генценовских ординалах (кои суть конструктивные объекты, с вполне "конечными" операциями над ними) содержится актуальная бесконечность?

> (В арифметике, кажется, единственное использование "актуальной бесконечности"---в принципе индукции.)

?! И где же содержится актуальная бесконечность в индуктивном доказательстве тотальности примитивно рекурсивных функций, например? Я здесь вижу только обычное "сведение задачи к предыдущей".

> Без сомнения, в какой-то форме используется (при абсрагировании от конструктивных особенностей)

Там используется не бесконечность, а отвлечение от конкретики высоты (конечного) "потолка". Это вещи близкие, но всё же не тождественные.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

?! И где же в генценовских ординалах (кои суть конструктивные объекты, с вполне "конечными" операциями над ними) содержится актуальная бесконечность?

Она нужна для обоснования трансфинитной индукции и, вообще говоря, даже индукции по формулам с кванторами.

! И где же содержится актуальная бесконечность в индуктивном доказательстве тотальности примитивно рекурсивных функций, например? Я здесь вижу только обычное "сведение задачи к предыдущей".

там ее как роаз и нет

> Без сомнения, в какой-то форме используется (при абсрагировании от конструктивных особенностей)

Там используется не бесконечность, а отвлечение от конкретики высоты (конечного) "потолка". Это вещи близкие, но всё же не тождественные.


может быть. проблема в том, что Вы говорите на наобщепринятом сленге: если бы Вы писали "любое уже построенное конструктивное число", было бы гораздо понятнее "неконструктивным" математикам.

(Reply to this) (Parent)

Уважаемый bbixob прислал мне сообщение и попросил высказаться на тему моего предмета, который тут обсуждается. СознАюсь, глубоко не вчитывался, уж очень много всего написано!

1) Про длинные ветки с обсуждением ZF и конструктивной математики - получилось интересно, но спорящие не слышали друг друга, т.к. оба порой говорили разумные вещи, но оставались неуслышанными.

2) Дискуссия была "в стиле ретро" (~1956-1963), т.к. современные аргументы (например обратная математика) не использовались.

3) Про то, есть ли "актуальная бесконечность" в утверждении про трансфинитную индукцию до эпсилон_0 - я согласен с __gastrit, и тоже не вижу здесь актуальную бесконечность.

Обычно актуальную бесконечность подразумевают в уже непредикативных системах, выше ATR_0, или в других системах где явным образом выписано (forall X) (exists Y), где кванторы бегают "по множествам". Т.е. в системах, где явно постулируется существование законченной "актуальной" бесконечности.

Однако я и раньше слышал слова, что трансфинитная индукция до какого-нибудь ординала - это слабое использование бесконечности, в том смысле, что ординалы продолжают натуральные числа и вот оно, первое место alpha, когда данная формула (ТR(alpha)) оказывется недоказуемой. В этом смысле я согласен с bbixob, просто слово "актуальная" было не к месту.

Если идти по разным веткам в дереве логической силы наверх, то оказывается, что ветки - разные: в некоторых ветках арифметические утверждения добавляются с помощью сильных аксиом существования про идеальные придуманные объекты: про труляляшек, про ZFC-множества, про NF-множества, а в некоторых снизу, находя новые и новые недоказуемые арифметические утверждения и добавляя их в мешок.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Cпасибо за приход.


3) А как *доказать* трансфинитную индукцию без использования актуальной бесконечности?
сформулировать мы можем, да, без.. И правильно ли я понимаю, что индукция по формулам с кванторами -- не"актуальная" бесконечность? А какая?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Да, там много всего бывает... В довоенной древности различали "актуальную" и "становящуюся" бесконечности, а теперь идет градация на много видов, в зависимости от силы аксиом существования использующихся для определения этих разных видов бесконечных множеств.

Например примитивно рекурсивные бесконечные множества - это просто пустышки набитые точками. Их "существование" или "несуществование" - это вопрос удобства записи. Философия, признающая такие множества называется финитизм.

АCА_0, арифметика пеано определяет все арифметические множества. Здесь из любого множества можно выделять подможества с помощю формул первого порядка с кванторами и использовать индукцию. Математика с ТАКИМИ бесконечными множествами называется конечной математикой.

Дальше идут АCA^'_0, АТR_0, Pi_1^2 CA_0 и Z_2.
До АТR_0 бесконечность еще не называют актуальной, потому что нет сильных формул выделения.

На твой вопрос как обоснуется ТR(эпсилон_0) - ответ такой: доказывается в АCA^'_0, например следует из бесконечной теоремы Рамсея или из трансфинитной индукции до ординала эпсилон_{эпсилон_0}.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

я спрашивал, можно ли математически доказать трансфинитную индукцию до эпсилон_0,
не привлекая актуальной бесконечности---и не говоря о множествах---, исходя из
общепризнанных математиками аксиом? теорема Рамсея аксиомой не является.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

ACA^'_0 nu ili 1-neprotivorechivost' PA ne
soderzhat ssylok na aktualnuju beskonechnost' i
dokazyvajut TR(epsilon_0).

(Reply to this) (Parent)

> Дискуссия была "в стиле ретро" (~1956-1963), т.к. современные аргументы (например обратная математика) не использовались.

Понятия, честно говоря, не имею, что такое "обратная математика", и какие новые аргументы она добавляет к старому спору о том, идеальны или же материальны математические объекты. Если же речь идёт о намешивании окрошки из разных логических систем с последующим сравнением оных (вроде того, что делается у Драгалина в "Матинтуиционизме"), то это, на мой взгляд, представляет собой не борьбу разных парадигм, а ковыряние внутри одной (теоретико-множественной). Поэтому сия деятельность, честно говоря, не представляется мне особо интересной (если я неправ, то с интересом выслушал бы, почему).

> Если идти по разным веткам в дереве логической силы наверх, то оказывается, что ветки - разные: в некоторых ветках
> арифметические утверждения добавляются с помощью сильных аксиом существования про идеальные придуманные объекты: про
> труляляшек, про ZFC-множества, про NF-множества, а в некоторых снизу, находя новые и новые недоказуемые арифметические
> утверждения и добавляя их в мешок.

Основной вопрос, который тут волнует лично меня — наличие семантики. Для первопорядковой арифметики она определена (башня Маркова), и потому тут добавлять новые утверждения мы можем хоть прямо наугад: в крайнем случае, ошибку потом можно будет найти и исправить. А где семантика у формул с множественными переменными?

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Понятия, честно говоря, не имею, что такое "обратная математика", и какие
> новые аргументы она добавляет к старому спору о том, идеальны или же материальны математические объекты.

--- Спор за последние два-три поколения изменился и трансформировался. Его костяк может и похож на старый, но сейчас новое понимание.
Прогресс у человечества идет вперед. И история конструктивной математики и неконскруктивной тоже (но связанной) тоже идет вперед.
Когда-то был только Кронекер, а потом Пуанкаре, потом Брауэр, Хейтинг, Марков, Шанин. Неужели с 1960х годов мы не стали понимать больше?
Стали и очень много! Несколько революций в математической логике с 1960х годов совершенно всё изменили.
(Разница между 2000-ми годами и 1960-ми примерно такая же как между 1960-му и серединой ХиХ века.)

Я примерно на эту тему недавно даже книжку заказал в магазине, под названием "Крейзелиана".

> Если же речь идёт о намешивании окрошки из разных логических систем с последующим сравнением оных (вроде того, что
> делается у Драгалина в "Матинтуиционизме"), то это, на мой взгляд,
> представляет собой не борьбу разных парадигм, а ковыряние внутри одной (теоретико-множественной).

--- Нет в наше время одной "теоретико-множественной" парадигмы, да и нескольких нет. Всё сложнее. Z_2 - это теория множеств или нет? Или АТR_0 или АCА_0?
как насчет интуиционистской теории множеств Микаэла Ратьена?
Да и конструктивизмов разных дюжина. Который чьему сердцу ближе?

> Поэтому сия деятельность, честно говоря, не
> представляется мне особо интересной (если я неправ, то с интересом выслушал бы, почему).

--- В логике творятся чудеса, по всему спектру филосовских фонов. Поинтересуйтесь! Очень интересно!

> Основной вопрос, который тут волнует лично меня — наличие семантики. Для первопорядковой арифметики она определена (башня Маркова), и потому
> тут добавлять новые утверждения мы можем хоть прямо наугад: в крайнем случае, ошибку потом можно будет найти и исправить.

--- Я имел в виду классическую логику. Кстати, про конструктивную арифметику: как насчет семантики Шанина?

> А где семантика у формул с множественными переменными?

--- В этом смысле и для формул первого порядка нет фиксированной семантики, поэтому недоказуемые утверждения расщепляют математику. Очень интересно.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Я примерно на эту тему недавно даже книжку заказал в магазине, под названием "Крейзелиана".

Дай пожалуйста ссылку на какой-нибудь обзор. А слово топос
в этой науке произносится ?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Дай пожалуйста ссылку на какой-нибудь обзор.

---- Миша, на обзор чего? Логики?

> А слово топос в этой науке произносится ?

---- В которой науке??? В логике???

.

.

.

Помню, Миша, у нас с тобой был разговор зимой 1995/1996 года на лестнице в Ломи.
Я тогда, начитавшийся про конструктивную математику, интуиционизм и топосы (гольдблаттову книжку) тебе про это рассказывал страстно.
Ты послушал-послушал, покачал головой и сказал: "Это всё не интересно. Меня интересует только Сложность [вычислений]".

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> --- Спор за последние два-три поколения изменился и трансформировался.
> Его костяк может и похож на старый, но сейчас новое понимание.

Что "спор трансформировался", это понятно. Вопрос в том, шагом куда является эта трансформация: вперёд или в сторону. Когда, допустим, происходил переход от интуиционизма к метаинтуиционизму, то это, конечно, было "трансформацией" спора. Вот только Гейтинг, вместо того, чтобы этому радоваться, начал жалеть, что вообще написал свою работу 1930-го года: с его точки зрения метаинтуиционизм был извращением, а не прогрессом (помните слова Инта, что «логика — не та почва, на которой мы стоим», что «формализовать можно только завершённую часть теории, но не развивающуюся»?).

> Неужели с 1960х годов мы не стали понимать больше? Стали и очень много!
> Несколько революций в математической логике с 1960х годов совершенно всё изменили.

У меня всё же такое ощущение, что ситуация напоминает интуиционистскую: проблемы не решили, а попросту ушли от них (потопив попутно вопрос в словах). Ведь и в интуиционизме, и в конструктивизме главным был вопрос о природе математического объекта (вопрос же об адекватных этой природе логических средствах рассматривался как совершенно подчинённый!).

> --- Нет в наше время одной "теоретико-множественной" парадигмы, да и нескольких нет.
> Всё сложнее. Z_2 - это теория множеств или нет? Или АТR_0 или АCА_0?

Я опять же не в курсе, что скрывается за этими аббревиатурами. Под теоретико-множественной парадигмой я понимаю уверенность в идеальности математических объектов (и связанное с этой уверенностью принятие абстракции актуальной бесконечности). Соответственно, если мы уверены в том, что натуральный ряд действительно существует как большая авоська со "всеми" натуральными числами — это теоретико-множественная парадигма в чистом виде. Какой набор добавочных аксиом мы привесим к этой уверенности, это совершенно несущественные детали (спор между человеком, верящим в зелёного чёрта, и человеком, верящим в рыжего чёрта, если воспользоваться одной известной аналогией).

> Да и конструктивизмов разных дюжина. Который чьему сердцу ближе?

Дюжина не конструктивизмов; дюжина направлений, называющих себя конструктивными. Из них некоторые конструктивизмами не являются вообще (ну, какой конструктивист из того же Бишопа, у которого «нет позиции»? или из Мартин-Лёфа с его расплывчатыми ординалами?), а некоторые представляют собой механическое ковыряние в примитивно-рекурсивной арифметике (тот же Гудстейн). Чтобы где-либо формулировалась материалистическая конструктивная установка, принципиально отличная от марковской, мне неизвестно.

> --- В логике творятся чудеса, по всему спектру филосовских фонов. Поинтересуйтесь! Очень интересно!

Дайте ссылки, поинтересуюсь. Если там действительно не будет идеальных тоже-"объектов".

> --- Я имел в виду классическую логику.

Если ограничиться нормальными формулами (или механически навешивать на всё два отрицания, что то же самое), то классическая и будет.

> Кстати, про конструктивную арифметику: как насчет семантики Шанина?

Это пресловутые мажоранты, что ли? Пробовал как-то я сквозь них продраться, и мне это не особо удалось :-( Остаётся ощущение какой-то искусственности, намерения "придумать" семантику из головы, а не вывести её из давно выработанных способов рассуждений (как это делает Марков).

> --- В этом смысле и для формул первого порядка нет фиксированной семантики

С моей точки зрения, нефиксированной является всё же не сама семантика, а ответы на вопросы о верности той или иной конкретной формулы в рамках этой семантики. Хотя что это интересно, не спорю.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> С моей точки зрения, нефиксированной является всё же не сама семантика, а ответы на вопросы о верности

> той или иной конкретной формулы в рамках этой семантики. Хотя что это интересно, не спорю.

---- Разные "семантики" возникают на разных ветках (добавлять и добавлять непротиворечивые утверждения)...Ну и много всяких других способов строить разные математики... Есть более минималистские, есть менее минималистские. Есть основания математики, не использующие придуманные абстрактные понятия. Есть использующие (некоторые - как RCA_0 - невинно, некоторые (как теории труляляшек или ZFC) - очень существенно). Есть основания математики, где математики "ищут правду", некоторые - где "ищут красоту", некоторые - стремятся примирить постгёделево Понимание с господствующими среди математиков предрассудками. Некоторые не интересуются логикой и до сих пор думают, что "всё решено" и "базу под математеку уже подвели и вопрос закрыт".

Из-за того, что логика открыла в 20 веке сложные явления и из-за того, что так много разных людей и разных причин заниматься математикой получилось так много разных философий. И многие из них непротиворечивы. Плюрализм такой.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Поскольку не желающий слушать (а Вы слушать именно не желаете) хуже всякого глухого, то с этой веткой я завязываю. Но прежде отмечу следующее: и доказательство Генцена, и доказательство Нельсона (которое, строго говоря, относится к интуиционистской арифметике, но классическая в неё погружается), и моделирование формальной арифметики средствами ступенчатой семантики Маркова — всё это не формальные, а содержательные доказательства непротиворечивости. Если Вы не понимаете этих азов математической логики, то с Вами по обсуждаемому вопросу разговаривать просто не о чем.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

От утверждения о том, что у теории множеств есть
модель, вы благополучно уклонились.

(Reply to this) (Parent)

Зафиксирую ещё напоследок один фактик:

> В таком случае, вы, видимо, не знаете, что такое тезис Чёрча.

Всё ровно наоборот: это Вы не знаете, что такое тезис Чёрча. А состоит он в утверждении, что любой алгорифм в "интуитивном" смысле слова может быть сведён к \(\lambda\)-конверсиям. Так вот, о многомудрый, всеподданнейше доношу до Вашего высочайшего сведения, что никаких "интуитивных" алгорифмов в конструктивной математике не изучается вообще: изучаются машины Тьюринга, нормальные алгорифмы, ЧРФ и т.д. Ни одна теорема об этих объектах от выкидывания тезиса Чёрча не пострадает. Всех благ.

(Reply to this) (Parent)

Теперь касательно дискуссии о материальных объектах.

Я уже приводил пример натурального числа,
которое невозможно никаким образом записать на бумаге
в виде конструктивного объекта (потому что
его минимальная запись в виде программы требует
больше материи, чем есть во всей вселенной).
Однако это число легко записать на бумаге в виде
формулы ZFC.

Вернёмся к конструктивным и неконструктивным вещественным
числам. В качестве достоинства первых приводилась
возможность вычислять последние с неограниченной
точностью. Однако когда дело доходит до практической
реализации этой возможности, обнаруживается, что
точность эта ограничена количеством материи во вселенной.
Поэтому возможность, о которой вы говорите, лишь потенциальная.
Я легко приведу вам явный пример неконструктивного
вещественного числа, которое тоже можно будет
вычислить с любой точностью, которая доступна
для конструктивных вещественных чисел.
Да, не существует алгоритма, вычисляющего это
число с любой точностью. Однако чтобы это проверить
на практике, потребуется материи больше, чем во вселенной.
В то же время это число легко записать в виде формулы
ZFC на бумаге.

Поэтому материальность сводится к возможности записи
на бумаге. Что ж, вы пишете на бумаге программы
(которые для некоторых значений параметров невозможно
запустить по причине недостаточного количества материи),
я пишу на бумаге формулы ZFC. Какая разница?

>где можно посмотреть на её модель?
В свете вышесказанного, поясните пожалуйста, что
вы имеете в виду под моделью.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Я уже приводил пример натурального числа,
> которое невозможно никаким образом записать на бумаге
> в виде конструктивного объекта

Блин, да Вы же сами его в виде конструктивного объекта и записали. Что такое предъявленное Вами слово в алфавите 01^(), если не конструктивный объект?!

> Однако это число легко записать на бумаге в виде формулы ZFC.

Формулы ZFC — это тоже конструктивные объекты. Любое утверждение о выводимости той или иной формулы языка ZFC средствами оной ZFC — это утверждение о конструктивных объектах, т.е. теорема конструктивной математики (другой аналогичной теоремой конструктивной математики является утверждение о выводимости любой формулы в противоречивой формализованной теории Кантора). Речь-то не об этом — речь о том, имеется ли у ZFC семантика, т.е. можно ли замкнутые формулы её языка (сами эти формулы, а не утверждения об их выводимости в ZFC!) интерпретировать как формализованные варианты содержательных высказываний о чём-либо (причём таких, что любые выводимые формулы отвечают содержательно верным суждениям)? Если семантики у ZFC не имеется, то она бессодержательна и не может претендовать на статус науки, независимо от наличия/отсутствия в ней противоречий: наука не может рассуждать ни о чём, у неё всегда должен быть объект. Вот как вопрос-то стоит!

> В качестве достоинства первых приводилась возможность
> вычислять последние с неограниченной точностью.

Никоим образом. В качестве их достоинства приводилось реальное существование.

> Однако когда дело доходит до практической
> реализации этой возможности, обнаруживается, что
> точность эта ограничена количеством материи во вселенной.

Угу. И никто не любил вспоминать об этом космологическом нюансе чаще, чем законченный конструктивист Марков.

> Поэтому возможность, о которой вы говорите, лишь потенциальная.

Угу. Термин того же Маркова: "потенциальная осуществимость".

> Я легко приведу вам явный пример неконструктивного
> вещественного числа, которое тоже можно будет
> вычислить с любой точностью, которая доступна
> для конструктивных вещественных чисел.

Не "которое", а "рациональные приближения к которому". Но дело даже не в этом, а в том, что предъявленный Вами объект всё равно будет конструктивным объектом (формулой ZFC, например). И любой класс объектов, годных, с Вашей точки зрения, на роль "неконструктивных вещественных чисел", будет неким классом конструктивных объектов. И класс этот, хоть в лепёшку расшибитесь, не будет в полной мере удовлетворять "обычным" аксиомам вещественной прямой.

Так вот меня интересует: зачем подменять действительное исследование этих классов конструктивных объектов упорным обмусоливанием идеологической конструкции, заведомо характеризующей эти классы в лучшем случае весьма приблизительно?

> я пишу на бумаге формулы ZFC. Какая разница?

Разница в том, что я рассматриваю конструктивные объекты как самодовлеющие сущности, а Вы — как тени каких-то эйдосов (в существовании которых я, мягко говоря, сомневаюсь). И там, где Вы видите "верное суждение" (об эйдосах), я не вижу ничего, кроме "корректного вывода в формальной теории". Сам этот вывод есть конструктивный процесс, и утверждение о его корректности есть теорема конструктивной математики, тут никаких проблем нет — но вот где связь этой теоремы о корректности со свойствами вещественных чисел (т.е. конструктивных объектов совершенно другой природы)? Для Вас — в представлении об эйдосах; а я (за отсутствием веры в оные) её попросту не вижу.

> В свете вышесказанного, поясните пожалуйста, что
> вы имеете в виду под моделью.

Систему материальных объектов (и способов оперирования с ними), свойства которой, в пределах практически требуемой точности, совпадают с рассматриваемыми в теории. Только, пожалуйста, не спешите цепляться за оговорку про "пределы точности": само собой, для тех же вещественных чисел эти пределы заведомо можно выбрать таким образом, чтобы "классические" числа оказались неотличимы от заведомо реальных конструктивных — но такой аргумент в пользу "классики" явно несерьёзен. Интерес, главным образом, представляет именно моделирование принципиальных отличий "классической" теории от конструктивной (той же аксиомы непрерывности в полном объёме ея).

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Блин, да Вы же сами его в виде конструктивного объекта и записали. Что такое предъявленное Вами слово в алфавите 01^(), если не конструктивный объект?!

Имеется ввиду не то число.
Повторяю свой пример ещё один раз:
возьмём минимальное натуральное число, которые нельзя записать
с помощью программы не длиннее 10^10^100.
Это натуральное число невозможно предъявить в виде конструктивного
объекта, однако его легко записать на бумаге в виде
формулы ZF.

>формализованные варианты содержательных высказываний о чём-либо

О чём? Что имеется ввиду под «что-либо»?
(Вопрос дурацкий, но я по другому не могу сформулировать.)

>В качестве их достоинства приводилось реальное существование.

Реальное существование в какой форме? В форме
формулы или программы, записанной на бумаге?
Так объекты ZFC тоже существуют в виде формул,
записанных на бумаге.
Что есть у конструктивных объектов, чего нет у обычных?

>Угу. Термин того же Маркова: "потенциальная осуществимость".
Потенциально осуществимая при наличии неограниченного
количества материи во вселенной. Но ведь мы не располагаем
неограниченным количеством материи!
То есть потенциальность понимается в нереалистичной
модели вселенной. Почему бы не вообразить себе,
что в нашей вселенной можно выполнять действия из ZF?
Какая принципиальная разница между вашей вселенной с неограниченным
количеством материи и моей с возможностью выполнения
действий из ZF?

>Но дело даже не в этом, а в том, что предъявленный Вами объект всё равно будет конструктивным объектом (формулой ZFC, например). И любой класс объектов, годных, с Вашей точки зрения, на роль "неконструктивных вещественных чисел", будет неким классом конструктивных объектов. И класс этот, хоть в лепёшку расшибитесь, не будет в полной мере удовлетворять "обычным" аксиомам вещественной прямой.

А, то есть вы допускаете изучение всех вещественных
чисел, которые можно задать формулой из ZFC как
самостоятельного математического объекта,
пусть даже этот класс содержит неконструктивные
вещественные числа (вроде обсуждавшегося
числа Шпекера, как вы его назвали)?

>Разница в том, что я рассматриваю конструктивные объекты как самодовлеющие сущности, а Вы — как тени каких-то эйдосов (в существовании которых я, мягко говоря, сомневаюсь). И там, где Вы видите "верное суждение" (об эйдосах), я не вижу ничего, кроме "корректного вывода в формальной теории". Сам этот вывод есть конструктивный процесс, и утверждение о его корректности есть теорема конструктивной математики, тут никаких проблем нет — но вот где связь этой теоремы о корректности со свойствами вещественных чисел (т.е. конструктивных объектов совершенно другой природы)? Для Вас — в представлении об эйдосах; а я (за отсутствием веры в оные) её попросту не вижу.

Из математики дискуссия ушла в философию, и я перестал
что-либо понимать. Наводящий вопрос: как звучит
ответ на вопрос о связи, заданный в предпоследнем предложении,
для конструктивной математики?

>Систему материальных объектов (и способов оперирования с ними), свойства которой, в пределах практически требуемой точности, совпадают с рассматриваемыми в теории. Только, пожалуйста, не спешите цепляться за оговорку про "пределы точности": само собой, для тех же вещественных чисел эти пределы заведомо можно выбрать таким образом, чтобы "классические" числа оказались неотличимы от заведомо реальных конструктивных — но такой аргумент в пользу "классики" явно несерьёзен. Интерес, главным образом, представляет именно моделирование принципиальных отличий "классической" теории от конструктивной (той же аксиомы непрерывности в полном объёме ея).

Это для вас он несерьёзен, а вот
для меня очень серьёзен. Я бы сказал, фатален.
Фактически, вы моделируете ваши конструктивные
объекты в одной воображаемой вселенной (в которой
бесконечное количество материи), а я в другой
(в которой выполнимы операции ZF).
В чём принципиальная разница между двумя этими
воображаемыми вселенными?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Имеется ввиду не то число.
> Повторяю свой пример ещё один раз:
> возьмём минимальное натуральное число, которые нельзя записать
> с помощью программы не длиннее 10^10^100.

Про парадокс Ришара слышали?

> О чём? Что имеется ввиду под «что-либо»?

Любая система материальных объектов. Для классической механики объектом может выступать падающий кому-то с крыши на голову кирпич — вполне материальная штуковина. Для квантовой это может быть пучок электронов с раскалённой нити — т.е. тоже нечто вполне осязаемое. А что это будет для "классической" математики?

> Так объекты ZFC тоже существуют в виде формул,
> записанных на бумаге.

В виде формул ZFC существуют высказывания о таких "объектах", а не сами эти "объекты". И реальные свойства этих высказываний весьма отличны от аксиом ZFC. Совпадали бы — вопросов бы не было.

> Потенциально осуществимая при наличии неограниченного
> количества материи во вселенной. Но ведь мы не располагаем
> неограниченным количеством материи!

Вы опять же демонстрируете "математическое" мышление (а в конструктивной математике нужно использовать физическое). Чтобы сложить 2 и 2, мне не нужно привлекать "всю материю во вселенной". И для подавляющего большинства реально интересных расчётов дело обстоит точно так же.

> То есть потенциальность понимается в нереалистичной
> модели вселенной. Почему бы не вообразить себе,
> что в нашей вселенной можно выполнять действия из ZF?

Я не собираюсь ничего воображать. Передо мной стоит ЭВМ, и её действия (поскольку они не выходят за пределы возможностей оной) согласуются с представлениями конструктивной математики. Абстракция потенциальной осуществимости отвлекается от наличия границ конструктивных возможностей этой ЭВМ, и в этом смысле идеализирует ситуацию — однако, повторяю, в большинстве интересных мне случаев я на эти границы всё равно не натыкаюсь.

А теперь поставьте передо мной ЭВМ, которая будет работать по правилам ZF. Объектами в которой будут множества, а основными операциями — построение степени, пары, функция выбора, эффективная проверка предиката «\(A\) является подмножеством \(B\)», и т.д.

> А, то есть вы допускаете изучение всех вещественных
> чисел, которые можно задать формулой из ZFC как
> самостоятельного математического объекта,
> пусть даже этот класс содержит неконструктивные
> вещественные числа (вроде обсуждавшегося
> числа Шпекера, как вы его назвали)?

Я ничего не имею против, если Вы определите свойство формулы ZFC быть "неконструктивным вещественным числом" и начнёте изучать свойства конструктивных объектов (т.е. формул ZFC) с таким свойством. Я только утверждаю, что классического анализа Вы при этом всё равно не получите (какая-то из аксиом "вещественной прямой" для Ваших чисел обязательно нарушится).

> Наводящий вопрос: как звучит ответ на вопрос о связи,
> заданный в предпоследнем предложении,
> для конструктивной математики?

Ответ звучит так: связи нет. Потому что утверждение «какова бы ни была формула \(A\) "классической" теории вещественных чисел, из её выводимости средствами ZFC следует, что выражаемое ею свойство является содержательно верным» ложно при любом известном мне способе содержательного истолкования вышеупомянутых формул (y compris постоянно поминаемое Вами "задание чисел формулами языка ZFC").

> Фактически, вы моделируете ваши конструктивные объекты
> в одной воображаемой вселенной

Простите, но я живу не в воображаемой вселенной, а в самой что ни на есть реальной. Мои конструктивные объекты — это счётные палочки, ручка с бумагой и кристаллы полупроводника. Проблемы мира призраков (каковы бы они ни были) меня не волнуют.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Про парадокс Ришара слышали?
Да. Собственно, из него я это и взял.
У вас есть что сказать по существу?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Есть: Ваше описание внутренне противоречиво (в констатации чего и состоит парадокс Ришара), а потому никакого числа не задает. Так что этот Ваш аргумент целиком отправляется в помойное ведро. Дальнейшие предложения?

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Не могли бы Вы дать ссылку на статью или заметку, описывающую
парадокс Ришара с близкой Вам точки зрения ?

Вы, если не я правильно понял, придерживаетесь одной из довольно распространенных форм конструктивизма, как философии математики. Какой именно, и не могли бы Вы опять-таки назвать какие-нибудь имена и дать ссылки?

В предыдущей дискуссии Вам несколько раз задавали вопрос, связанный с конечностью того, что "можно положить на стол". Правильно ли я понимаю, что предположении что Вселенная конечна (имеет конечное число частиц, объем, может быть, даже время существования, и тд), *не влияет* на Вашу философию математики? Ведь в такой вселенной существует лишь конечное число машин Тьюринга, (записей) натуральных чисел и тд.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Не могли бы Вы дать ссылку на статью или заметку, описывающую
> парадокс Ришара с близкой Вам точки зрения ?

Боюсь, что нет. Сам по себе ведь он, пожалуй, самый неинтересный из рефлексивных парадоксов: в отличие от чётких теорем Рассела или Гёделя, Ришар просто играет на семантической расплывчатости представления об "описании" объекта.

> Какой именно, и не могли бы Вы опять-таки назвать какие-нибудь имена и дать ссылки?

Марковский конструктивизм. Основные программные опусы — «О конструктивной математике» и «О логике конструктивной математики» самого Маркова. В сети, боюсь, отсутствуют. Есть, конечно, вот это, хотя позиция "позднего" Шанина не вполне совпадает с марковской.

> Правильно ли я понимаю, что предположении что Вселенная конечна
> (имеет конечное число частиц, объем, может быть, даже время существования,
> и тд), *не влияет* на Вашу философию математики? Ведь в такой вселенной
> существует лишь конечное число машин Тьюринга, (записей) натуральных чисел и тд.

Абсолютно не влияет. Ибо абстракция потенциальной осуществимости (которую тут давеча зачислили в заклинания) на деле состоит не в предположении о возможности провести любое вычисление, а в вещи прямо противоположной: в исключении из рассмотрения тех ситуаций, когда мы наталкиваемся на границы наших конструктивных возможностей. Это обычный физический подход: при изучении уравнений Максвелла мы ведь тоже сразу исключаем из рассмотрения электроны в атоме (для коих классическая электродинамика заведомо не работает). Главное, что у нас остаётся огромное число практически важных случаев, для которых сделанные нами в теории предположения реально выполняются (если конкретный расчёт требует всего 100Mb оперативной памяти и часа машинного времени, то этому конкретному расчёту никакая космология не помеха).

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent)

>Ваше описание внутренне противоречиво

Не потрудитесь ли указать на противеричие? Помимо
всего прочего, желательно указать номер пункта в списке ниже.

Дабы прояснить свою позицию, повторяю аргумент ещё один раз:
(0) Фиксируем натуральное число n.
(1) Рассмотрим все программы длины не больше n.
Таких программ конечное число.
(2) Из этих программ оставим только те, которые завершают
свою работу и выводят натуральное число.
Таких программ конечное число, и, следовательно,
чисел которые они выводят, тоже конечное число.
(3) В силу конечности последнего множества его
дополнение в натуральных числах не пусто,
стало быть в нём есть минимальное число, которое
и будет искомым.

(4) Теперь n берётся таким, чтобы запись программы
из n символов требовала материи больше, чем есть во вселенной.
Получаем натуральное число, которое не имеет
материального представления, и, следовательно,
не является конструктивным объектом (если последние
определять как имеющие такое представление).

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> (1) Рассмотрим все программы длины не больше n.
> Таких программ конечное число.

Длина программы от выбранного языка, разумеется, ну никак не зависит. Дальше можно вообще не читать.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Длина программы от выбранного языка, разумеется, ну никак не зависит. Дальше можно вообще не читать.

Язык программирования фиксирован.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

А это уже прямой подлог. Вы же намеревались доказать принципиальную невозможность описать некий объект — а что принципиального в невозможности описать нечто средствами фиксированного языка? Да язык поменять, и всё. Делов-то.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>А это уже прямой подлог. Вы же намеревались доказать принципиальную невозможность описать некий объект — а что принципиального в невозможности описать нечто средствами фиксированного языка? Да язык поменять, и всё. Делов-то.

Все языки, обладающие мощностью машины Тьюринга,
могут эмулировать друг друга. Поэтому от фиксации
языка мы ничего не теряем. Да, придётся включить
интерпретатор фиксированного размера, но его размер
ничтожен по сравнению с количеством материи во вселенной.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Все языки, обладающие мощностью машины Тьюринга,
> могут эмулировать друг друга. Поэтому от фиксации
> языка мы ничего не теряем.

ROFL. Для любого числа можно придумать язык, в котором описание конкретно этого числа будет занимать ровно один байт. И тьюринговская полнота тут совершенно ни при чём.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Для любого числа можно придумать язык, в котором описание конкретно этого числа будет занимать ровно один байт.

Правильно, вы запихаете всю информацию об этом числе
в интерпретатор. А при использовании фиксированной
машины длина этого интерпретатора как раз и вылезет
наружу. Если бы вы были знакомы с понятием колмогоровской
сложности, то уже давно бы поняли, о чём я говорю,
и не приводили бы пустых возражений.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Слушайте, ну где вообще была речь про разрешимость/полуразрешимость языка, посредством которого даётся пресловутое "описание" числа? При чём тут колмогоровская сложность?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Слушайте, ну где вообще была речь про разрешимость/полуразрешимость языка, посредством которого даётся пресловутое "описание" числа?

Какие языки вы допускаете для конструктивной математики?
Впрочем, для рассуждения ниже это не важно.

>При чём тут колмогоровская сложность?

При том, что колмогоровская сложность последовательности
натуральных чисел неограниченно возрастает,
и, начиная с некоторого момента, для любого языка
превосходит заданное число n.
В силу конечности количества материи во вселенной
существует лишь конечное количество языков.
Как следствие, имеем, что существует
некоторое n, такое, что ни одно число большее n
невозможно материально представить (в силу конечности
количества материи) ни в одном из языков,
которые могут существовать в нашей вселенной.

Поэтому, как только вы упоминаете материальное
представление, вы автоматически ограничиваете
область рассмотрения конечной математикой.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Как следствие, имеем, что существует
> некоторое n, такое, что ни одно число большее n
> невозможно материально представить (в силу конечности
> количества материи) ни в одном из языков,
> которые могут существовать в нашей вселенной.

В том числе и в столь превозносимом Вами языке ZFC. Так за что тогда боролись?

> Поэтому, как только вы упоминаете материальное
> представление, вы автоматически ограничиваете
> область рассмотрения конечной математикой.

Что такое "конечная математика" и почему это так страшно?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>В том числе и в столь превозносимом Вами языке ZFC. Так за что тогда боролись?

Совершенно верно.

А я всего лишь утверждаю, что в этом отношении ZF ничем
не отличается от конструктивной математики.
Мы не можем утверждать, что
все объекты конструктивной математики (например,
все натуральные числа) имеют материальное представление
в нашем мире.
Но точно так же мы не можем утверждать этого и для ZF.
Однако некоторые объекты ZF имеют материальное
представление в нашем мире — например,
натуральные числа, ограниченные сверху какой-то
границей. Именно этот факт позволяет обычным
классическим математикам, не подозревающим о
существовании конструктивной математики,
проводить компьютерные вычисления и утверждать,
что они имеют отношение к математике.

>Что такое "конечная математика" и почему это так страшно?

В данном контексте это математика, оперирующая
с теми объектами, которые можно материально
представить в нашем мире. Например, ограниченные
какой-то границей натуральные числа.
Это не страшно, кроме того, что это страшно неудобно.
Например, не любые два натуральных числа
можно сложить, а только такие, у которых сумма
не слишком велика.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> А я всего лишь утверждаю, что в этом отношении ZF ничем
> не отличается от конструктивной математики.
> Мы не можем утверждать, что
> все объекты конструктивной математики (например,
> все натуральные числа) имеют материальное представление
> в нашем мире.

Как я уже говорил, ZF отличается от конструктивной математики тем, что в последней за употребление слова "все" бьют подсвечниками. Нет такого слова в конструктивной математике, понимаете? Слова "любой", "каждый", "всякий" — есть. А слова "все" — нету. Ясна суть дела, или нужны дальнейшие пояснения?

> Однако некоторые объекты ZF имеют материальное
> представление в нашем мире — например,
> натуральные числа, ограниченные сверху какой-то
> границей.

Поправка: это не объекты ZF, а формулы ZF, выражающие суждения о существовании и единственности некоторых "объектов". Я против этих формул ничего не имею, однако давайте всё же называть вещи своими именами.

> Именно этот факт позволяет обычным
> классическим математикам, не подозревающим о
> существовании конструктивной математики,
> проводить компьютерные вычисления и утверждать,
> что они имеют отношение к математике.

Не это позволяет. Позволяет то, что "в первом приближении" известные теоремы ZF (потому что среди неизвестных, напоминаю, могут быть попросту отрицания известных) не противоречат конструктивной математике. Оттого, что эта подлинная причина подавляющему большинству "обычных классических математиков" неизвестна, она не перестаёт существовать.

Кстати, а ведь, помнится, уравнение теплопроводности и цикл Карно были выведены из представления о теплороде. В итоге цикл остался — а вот собственно теплород, увы, тю-тю. Будете настаивать на реабилитации столь полезного физического понятия?

> В данном контексте это математика, оперирующая
> с теми объектами, которые можно материально
> представить в нашем мире. Например, ограниченные
> какой-то границей натуральные числа.

Границу в студию. Такую, которая бы с гарантией (независимо от поправок на добавочные вселенные, расщепление электронов и прочие квантовые вычисления) была абсолютной. А?

> Это не страшно, кроме того, что это страшно неудобно.

Страшно неудобно то, что граница эта будет своя для каждой конкретной машины. Вот ровно поэтому в конструктивной математике (точнее, в её "общей части", не касающейся специально вопросов о требуемых вычислениями ресурсов) и откладывают в сторонку те процессы, для которых наличие этой границы существенно, а затем изучают свойства тех, для которых это наличие ни на чём не сказывается (а потому можно совершенно спокойно считать, что соответствующей границы вообще нет).

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Как я уже говорил, ZF отличается от конструктивной математики тем, что в последней за употребление слова "все" бьют подсвечниками. Нет такого слова в конструктивной математике, понимаете? Слова "любой", "каждый", "всякий" — есть. А слова "все" — нету. Ясна суть дела, или нужны дальнейшие пояснения?

Пожалуйста.
А я всего лишь утверждаю, что в этом отношении ZF ничем
не отличается от конструктивной математики.
Мы не можем утверждать, что
любой объект конструктивной математики (например,
любое натуральное число) имеет материальное представление
в нашем мире.

>Не это позволяет. Позволяет то, что "в первом приближении" известные теоремы ZF (потому что среди неизвестных, напоминаю, могут быть попросту отрицания известных) не противоречат конструктивной математике. Оттого, что эта подлинная причина подавляющему большинству "обычных классических математиков" неизвестна, она не перестаёт существовать.

Это неверно хотя бы по той причине, что обычные математики
могут проводить такие вычисления, которые
конструктивным математикам недоступны.
Например, с помощью той же теоремы Лефшеца
можно посчитать количество неподвижных
точек симпилициального отображения конечного
симпилициального комплекса в себя.

>Кстати, а ведь, помнится, уравнение теплопроводности и цикл Карно были выведены из представления о теплороде. В итоге цикл остался — а вот собственно теплород, увы, тю-тю. Будете настаивать на реабилитации столь полезного физического понятия?

Из вышесказанного следует, что это ложная аналогия.

>Границу в студию. Такую, которая бы с гарантией (независимо от поправок на добавочные вселенные, расщепление электронов и прочие квантовые вычисления) была абсолютной. А?

Очевидный ответ — я не знаю.
Но вы не можете утверждать, что такой границы нет.
(По той же причине вы не можете утверждать,
что в нашей вселенной могут существовать
машины с бесконечным объёмом памяти.)

>Страшно неудобно то, что граница эта будет своя для каждой конкретной машины. Вот ровно поэтому в конструктивной математике (точнее, в её "общей части", не касающейся специально вопросов о требуемых вычислениями ресурсов) и откладывают в сторонку те процессы, для которых наличие этой границы существенно, а затем изучают свойства тех, для которых это наличие ни на чём не сказывается (а потому можно совершенно спокойно считать, что соответствующей границы вообще нет).

Я говорю про общую границу для всех вычислительных
машин. Отдельные компьютеры меня не интересуют.
Да, я не могу доказать её существование,
но и вы не можете доказать, что такой границы нет.
Кстати, можете ли вы гарантировать,
что физики не откроют завтра что-нибудь такое,
что позволяет создавать компьютеры с полным
набором операций ZF?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Плохо выразил мысль. В Вашем посте "с пунктами", конечно, речь о "программах" была. Однако в качестве противовеса "не могущим описать" число "программам" Вы предлагали описание оного числа средствами ZFC. Вопрос первый и основной: а почему именно ZFC (языка, модели не имеющего, и у которого даже просто с формальной непротиворечивостью ничего не ясно)? Почему не средствами языка формальной арифметики (у которого модель есть), например?

И маленькие технические замечания про Ваши пункты, раз уж они составляют для Вас такой пунктик (хотя на самом деле к вопросу и не относящийся). Где гарантия, что метагалактика не связана с другими (неизвестными сегодня) частями материального мира, и лет эдак через тысячу окажется вполне возможным тягать доп.частицы оттуда? А может, эти электроны миры, где пять материков тоже можно дробить на октиллионы частей (посредством столь вожделенного Вами ЦЕРНовского коллайдера, например), из которых затем составлять внутри этого самого отдельно взятого электрона по суперкомпьютеру? А?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>И маленькие технические замечания про Ваши пункты, раз уж они составляют для Вас такой пунктик (хотя на самом деле к вопросу и не относящийся). Где гарантия, что метагалактика не связана с другими (неизвестными сегодня) частями материального мира, и лет эдак через тысячу окажется вполне возможным тягать доп.частицы оттуда? А может, эти электроны миры, где пять материков тоже можно дробить на октиллионы частей (посредством столь вожделенного Вами ЦЕРНовского коллайдера, например), из которых затем составлять внутри этого самого отдельно взятого электрона по суперкомпьютеру? А?

Вы правильно указали, что такой гарантии нет.
Но и обратного утверждать мы тоже не можем.
Мы должны исходить из того, что не знаем этого.
Следовательно, допустимы любые варианты, в том
числе тот, который я указал.

>Вопрос первый и основной: а почему именно ZFC (языка, модели не имеющего,
bbixob@lj говорит, что у ZF есть модель (в том
же смысле, что и у арифметики).

>и у которого даже просто с формальной непротиворечивостью ничего не ясно)?
Непротиворечивость следует из существования модели.

>Почему не средствами языка формальной арифметики (у которого модель есть), например?
Ответ дан выше.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Мы должны исходить из того, что не знаем этого.

А когда мы чего-то не знаем, тогда лучше жевать, чем говорить. Факт в том, что когда мы на границы наших конструктивных возможностей не натыкаемся, то теоретическое допущение о том, что таких границ вообще нет, нисколько не расходится с реальностью. Потому что существенных (с точки зрения данного конкретного расчёта) границ действительно нет вообще.

А ситуация в космологии меня не волнует. Мне не нужна вечная игла для примуса, я не собираюсь жить вечно.

> bbixob@lj говорит, что у ZF есть модель (в том же смысле, что и у арифметики).

1) Где говорит? Я не заметил.

2) Натуральные числа суть конструктивные объекты (т.е. на некоторые из них можно просто ткнуть пальцем, и все основные арифметические операции над этими "некоторыми" реально можно выполнить). Для суждений о натуральных числах, относящихся к первопорядковой арифметике, имеется вполне конкретная семантика (ступенчатая семантика Маркова). Каким образом можно ткнуть пальцем в множества (т.е. основные "объекты" ZF), сразу же не запутавшись в "операциях" с ними, постулированных в ZF (аксиомы бесконечности+аксиомы степени+закона исключённого третьего, полагаю, хватит с головой)? Какова семантика достаточно сложных суждений об этих множествах? Тайна сия велика есть (для меня, по крайней мере). Просветите, если не сложно?

> Непротиворечивость следует из существования модели.

Разумеется, следовала бы. Однако см. выше.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>А когда мы чего-то не знаем, тогда лучше жевать, чем говорить. Факт в том, что когда мы на границы наших конструктивных возможностей не натыкаемся, то теоретическое допущение о том, что таких границ вообще нет, нисколько не расходится с реальностью. Потому что существенных (с точки зрения данного конкретного расчёта) границ действительно нет вообще.

Извините, но это просто неверно. Математики уже давно
хотят посчитать много чего конструктивного, но им это
просто не удаётся. Приведу лишь один пример:
Виноградов доказал гипотезу Гольдбаха начиная с некоторого
(3^14348907) числа. Хочется сказать, что остальное
можно досчитать конструктивно, но нет, граница
столь велика, что мы даже не знаем, будет ли
существовать вселенная, когда компьютеры завершат
свою работу. В принципе, если поискать, то можно
найти такой же пример, но уже не со временем, а с памятью.

>1) Где говорит? Я не заметил.

http://bbixob.livejournal.com/75286.html?thread=644118#t644118

>2) Натуральные числа суть конструктивные объекты (т.е. на некоторые из них можно просто ткнуть пальцем, и все основные арифметические операции над этими "некоторыми" реально можно выполнить). Для суждений о натуральных числах, относящихся к первопорядковой арифметике, имеется вполне конкретная семантика (ступенчатая семантика Маркова). Каким образом можно ткнуть пальцем в множества (т.е. основные "объекты" ZF), сразу же не запутавшись в "операциях" с ними, постулированных в ZF (аксиомы бесконечности+аксиомы степени+закона исключённого третьего, полагаю, хватит с головой)? Какова семантика достаточно сложных суждений об этих множествах? Тайна сия велика есть (для меня, по крайней мере). Просветите, если не сложно?

Пожалуйста. Выделим класс множеств следующим
образом: возьмём пустое множество и будем
применять к нему конечное число раз операции
взятия множества всех подмножеств и операцию выделения.
Такие множества называются, если я не ошибаюсь,
артиналами. Все натуральные числа в конструкции фон Неймана
являются артиналами. Теперь оставим из всех артиналов не слишком
большие. На каждое из получившихся множеств
мы можем ткнуть пальцем и все основные теоретико-множественные
операции (объединение, пересечение, множество
всех подмножеств, выделение) над этими некоторыми можно реально выполнить.

Я уверен, что и семантика здесь тоже есть,
надо только уточнить, что вы имеете ввиду под семантикой.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Извините, но это просто неверно.

Что неверно? Каким образом приведённый Вами пример ситуации, когда мы наталкиваемся на границы наших конструктивных возможностей, может доказывать что-либо применительно к ситуациям, когда мы на такие границы не наталкиваемся?

> http://bbixob.livejournal.com/75286.html?thread=644118#t644118

Угу, спасибо (опять же пропустил соответствующую фразу). Ну, так ведь давно известно, что все ошибки в математических статьях находятся там, где написано «очевидно, что...» :-)

> все основные теоретико-множественные
> операции (объединение, пересечение, множество
> всех подмножеств, выделение) над этими некоторыми
> можно реально выполнить.

Не-е-е, так дёшево Вы не отделаетесь. Речь ведь шла не о множествах вообще (в конструктивной математике множества тоже ведь рассматриваются: как однопараметрические формулы), а именно о ZF. А там у нас, по списочку:

1) Аксиома бесконечности. Гоните-гоните его, родимое.

2) Аксиома степени. Угу, и для бесконечного множества из предыдущего пункта множество всех подмножеств тоже придётся строить.

3) Аксиома объёмности. Соответственно, операцию сравнения множеств в студию.

И так далее. И чтобы во всём этом запутаться, Вам, боюсь, даже не надо будет придумывать экзотические примеры вроде проблемы Гольдбаха.

Под семантикой же я понимаю семантику :-) Т.е. содержательное понимание замкнутых формул (элементарные формулы выражают то-то и то-то; конъюнкции выражают верность обеих связываемых формул; дизъюнкции — возможность указать среди связываемых формул верную; и т.д.).

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Угу, спасибо (опять же пропустил соответствующую фразу). Ну, так ведь давно известно, что все ошибки в математических статьях находятся там, где написано «очевидно, что...» :-)
А мой комментарий
http://bbixob.livejournal.com/75286.html?thread=645142#t645142
вы тоже не увидели?

>Что неверно? Каким образом приведённый Вами пример ситуации, когда мы наталкиваемся на границы наших конструктивных возможностей, может доказывать что-либо применительно к ситуациям, когда мы на такие границы не наталкиваемся?

Честно говоря, я ничего не понял.
Вы можете явно сформулировать ваше утверждение
про границы, на которые мы не наталкиваемся?

>Не-е-е, так дёшево Вы не отделаетесь. Речь ведь шла не о множествах вообще (в конструктивной математике множества тоже ведь рассматриваются: как однопараметрические формулы), а именно о ZF. А там у нас, по списочку:

>1) Аксиома бесконечности. Гоните-гоните его, родимое.

А это — объект, который, согласно современным
представлениям науки, в нашей вселенной
не имеет материального представления.
Помните, я привёл вам пример натурального
числа, которое (и все числа большие его)
не имеет материального представления
(во всяком случае, не может его иметь согласно
современным представлениям науки,
без гарантий на будущее)?
Да, возможно, в будущем физики изобретут
что-то такое, что позволит нам представлять
любые натуральные числа. Но почему бы тогда им не сделать
что-то такое, что позволит нам представлять
любые объекты ZF?

>2) Аксиома степени. Угу, и для бесконечного множества из предыдущего пункта множество всех подмножеств тоже придётся строить.

>3) Аксиома объёмности. Соответственно, операцию сравнения множеств в студию.

Для указанного мною класса множеств всё это верно.
Про бесконечное множество я написал выше.

>Под семантикой же я понимаю семантику :-) Т.е. содержательное понимание замкнутых формул (элементарные формулы выражают то-то и то-то; конъюнкции выражают верность обеих связываемых формул; дизъюнкции — возможность указать среди связываемых формул верную; и т.д.).

Я думаю, содержательное понимание
указанного мною класса множеств вам должно
быть очевидно.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Про парадокс Ришара слышали?
Да. Собственно, из него я это и взял.
У вас есть что сказать по существу?

>Любая система материальных объектов. Для классической механики объектом может выступать падающий кому-то с крыши на голову кирпич — вполне материальная штуковина. Для квантовой это может быть пучок электронов с раскалённой нити — т.е. тоже нечто вполне осязаемое. А что это будет для "классической" математики?

То же самое, что и для конструктивной. Пояснения — ниже.

>В виде формул ZFC существуют высказывания о таких "объектах", а не сами эти "объекты". И реальные свойства этих высказываний весьма отличны от аксиом ZFC. Совпадали бы — вопросов бы не было.

Это уже вопрос лингвистики, впрочем, пояснения можно найти ниже.

>Вы опять же демонстрируете "математическое" мышление (а в конструктивной математике нужно использовать физическое). Чтобы сложить 2 и 2, мне не нужно привлекать "всю материю во вселенной". И для подавляющего большинства реально интересных расчётов дело обстоит точно так же.

Проблема, однако, заключается в том, что в ZFC 2 и 2
тоже прекрасно складываются. Пояснения — в следующем
параграфе.

>Я не собираюсь ничего воображать. Передо мной стоит ЭВМ, и её действия (поскольку они не выходят за пределы возможностей оной) согласуются с представлениями конструктивной математики. Абстракция потенциальной осуществимости отвлекается от наличия границ конструктивных возможностей этой ЭВМ, и в этом смысле идеализирует ситуацию — однако, повторяю, в большинстве интересных мне случаев я на эти границы всё равно не натыкаюсь.

А вот здесь и начинается настоящее жульничество.
Конкретно, в этой фразе:
>и в этом смысле идеализирует ситуацию — однако, повторяю, в большинстве интересных мне случаев я на эти границы всё равно не натыкаюсь.

Именно, что идеализирует. В конструктивной математике
можно сложить два любых натуральных числа — для
этого есть алгоритм. Вы можете предъявить машину,
которая складывает два любых натуральных числа?
(Такая машина должна иметь бесконечный объём памяти.)

То есть жульничество заключается в том, что сначала
мы рассматриваем некий конечный фрагмент математики.
В этом конечном фрагменте присутствуют не очень
большие натуральные числа и другие не очень
большие, материально представимые, объекты.
Эти объекты обладают специфическими свойствами,
например, не любую пару материально представимых
натуральных чисел можно перемножить, а только
такую, у которой произведение не слишком велико.
Ну и множество других особенностей.
Заметим, что этот фрагмент математики также входит в ZF
(ибо последняя включает в себя конструктивную математику).

После введения этого конечного фрагмента вы произносите
заклинание «абстракция потенциальной осуществимости», взмахиваете волшебной палочкой
и пожалуйста, получите конструктивную математику.

Потенциальная осуществимость где?
В нашей вселенной потенциально осуществимо
лишь конечное количество объектов. Все остальные объекты
конструктивной математики в ней неосуществимы, даже потенциально.

Я тоже могу так делать. Беру тот же самый фрагмент
математики. Произношу заклинание «абстракция
потенциально осуществимости» и взмахиваю
волшебной палочкой. Пожалуйста, получите
классическую математику.

Разница лишь в том, что у вас потенциальная осуществимость
понимается в воображаемой вселенной, в которой существуют
машины с неограниченным объёмом памяти, а у меня —
в воображаемой вселенной в которой существуют машины,
действующие согласно ZF.

Чем машина с неограниченным объёмом
памяти более реальна, чем машина, действующая
по правилам ZF?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Именно, что идеализирует. В конструктивной математике
> можно сложить два любых натуральных числа — для
> этого есть алгоритм. Вы можете предъявить машину,
> которая складывает два любых натуральных числа?
> (Такая машина должна иметь бесконечный объём памяти.)

Вы передёргивате. Могу даже точно сказать, где: между второй и третьей фразами. Потому что на самом деле один и тот же алгорифм может исполняться разными машинами. С разным объёмом памяти. Или Вы серьёзно полагаете, что программу, написанную для i486 с 1MB ОЗУ для Pentium-IV с гигабайтом надо переписывать с нуля?

> После введения этого конечного фрагмента вы произносите
> заклинание «абстракция потенциальной осуществимости», взмахиваете волшебной палочкой
> и пожалуйста, получите конструктивную математику.

Словосочетание «абстракция материальной точки» для Вас тоже заклинание? Тогда Вы просто не понимаете той самой физики, интересы которой (на словах) бурно защищаете. Неплохо, неплохо.

> Чем машина с неограниченным объёмом
> памяти более реальна, чем машина, действующая
> по правилам ZF?

Ничем не более реальна. Потому что первая из этих машин — такая же "классическая" чепуха, как и вторая. Конструктивная же математика оперирует с реальными машинами, у которых объём памяти конечен. Но вот как именно она ими оперирует — этого-то Вы и не понимаете (что блестяще доказали, назвав абстракцию потенциальной осуществимости "заклинанием"). А ещё утверждали, что разбираетесь в вопросе :-)

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Вы передёргивате. Могу даже точно сказать, где: между второй и третьей фразами. Потому что на самом деле один и тот же алгорифм может исполняться разными машинами. С разным объёмом памяти. Или Вы серьёзно полагаете, что программу, написанную для i486 с 1MB ОЗУ для Pentium-IV с гигабайтом надо переписывать с нуля?

Наконец-то что-то содеражательное.
Уточняющие вопросы:
(1) Пусть у нас есть конкретная программа (без входных параметров),
которая выводит какое-то натуральное число.
Является ли возможность существования машины, реализующей
эту программу необходимым критерием для того, чтобы
эта программа рассматривалась как конструктивный объект?
(2) Если ответ на первый вопрос отрицательный,
то в каком смысле понимать утверждение о том,
что данная программа является конструктивным объектом?
Как возможность записать её на бумаге или в каком-то
другом смысле?

>А ещё утверждали, что разбираетесь в вопросе :-)
Я пока что утверждал, что знаю, что такое конструктивное
вещественное число. К специалистам по конструктивной
математике я себя не причислял.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> (2) Если ответ на первый вопрос отрицательный,
> то в каком смысле понимать утверждение о том,
> что данная программа является конструктивным объектом?
> Как возможность записать её на бумаге или в каком-то
> другом смысле?

Разумеется, ответ на первый вопрос отрицательный. Чтобы программа была конструктивным объектом, нужна машина, которая способна этот объект построить и проводить с ним некоторые элементарные операции (дописать/вычеркнуть букву, и т.д.). Грубо говоря, чтобы была именно возможность записать эту программу на бумаге (отличие бумаги от магнитного диска тут непринципиально). Обычные ЭВМ всё это прекрасно умеют.

> К специалистам по конструктивной математике я себя не причислял.

Однако безапелляционные экспертные оценки ("у вас воображаемый мир!"; "у ваших теорий нет никаких отличий от ZF!") почему-то выносите.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Чтобы программа была конструктивным объектом, нужна машина, которая способна этот объект построить и проводить с ним некоторые элементарные операции (дописать/вычеркнуть букву, и т.д.).

Я правильно понимаю, что имеется ввиду возможность
проводить элементарные операции (дописать/вычеркнуть букву)
с текстом программы?

>Однако безапелляционные экспертные оценки ("у вас воображаемый мир!"; "у ваших теорий нет никаких отличий от ZF!") почему-то выносите.

Исключительно на основании ваших высказываний.
У вас оценки ещё более безапелляционные.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Я правильно понимаю, что имеется ввиду возможность
> проводить элементарные операции (дописать/вычеркнуть букву)
> с текстом программы?

На сей раз (в виде исключения) Вы правильно понимаете.

> Исключительно на основании ваших высказываний.

Правда, предварительно перевранных Вами до неузнаваемости.

> У вас оценки ещё более безапелляционные.

Когда владею предметом. Когда не владею — тогда вопросы задаю, а не вердикты выношу.

(Reply to this) (Parent)

>А теперь поставьте передо мной ЭВМ, которая будет работать по правилам ZF. Объектами в которой будут множества, а основными операциями — построение степени, пары, функция выбора, эффективная проверка предиката «\(A\) является подмножеством \(B\)», и т.д.

А теперь поставьте передо мной компьютер, который работает
по правилам конструктивной математики (всей
конструктивной математики, а не только её конечного
фрагмента). Объектами в котором будут натуральные числа
(все натуральные числа, а не их конечное подмножество),
а основными операциями — сложение и умножение.

>Простите, но я живу не в воображаемой вселенной, а в самой что ни на есть реальной. Мои конструктивные объекты — это счётные палочки, ручка с бумагой и кристаллы полупроводника. Проблемы мира призраков (каковы бы они ни были) меня не волнуют.

Вы живёте в воображаемой вселенной, в которой
существуют машины с неограниченным объёмом памяти.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Объектами в котором будут натуральные числа
> (все натуральные числа, а не их конечное подмножество),
> а основными операциями — сложение и умножение.

То что Вы предлагаете сделать, называется классической математикой, а никак не конструктивной. Что такое конструктивная, Вы, похоже, не понимаете в приниципе. Что ж, будем считать создавшуюся ситуацию добавочной иллюстрацией к тезису, что теоретико-множественное мышление лечится только гильотиной :-)

> Вы живёте в воображаемой вселенной, в которой
> существуют машины с неограниченным объёмом памяти.

Я живу в реальной вселенной. Просто Вы этого не понимаете и понять, похоже, не можете (в силу особенностей Вашего стиля мышления).

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>То что Вы предлагаете сделать, называется классической математикой, а никак не конструктивной. Что такое конструктивная, Вы, похоже, не понимаете в приниципе. Что ж, будем считать создавшуюся ситуацию добавочной иллюстрацией к тезису, что теоретико-множественное мышление лечится только гильотиной :-)
>Я живу в реальной вселенной. Просто Вы этого не понимаете и понять, похоже, не можете (в силу особенностей Вашего стиля мышления).

Я вижу, мои аргументы попали в цель. Вам больше
нечего возразить по существу и вы решили подвергать
сомнению мою способность мыслить. Не самый
достойных выход.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Да победили, победили по всем пунктам. Просто с землёй меня сравняли. Не было нашей уважаемой англиканской церкви до Лютера и Эколампадия, и не принадлежу я к фамилии :-)

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent)