Войти в систему

Home
    - Создать дневник
    - Написать в дневник
       - Подробный режим

LJ.Rossia.org
    - Новости сайта
    - Общие настройки
    - Sitemap
    - Оплата
    - ljr-fif

Редактировать...
    - Настройки
    - Список друзей
    - Дневник
    - Картинки
    - Пароль
    - Вид дневника

Сообщества

Настроить S2

Помощь
    - Забыли пароль?
    - FAQ
    - Тех. поддержка



Пишет foobar ([info]akapinus) в [info]studium
@ 2014-07-14 14:14:00


Previous Entry  Add to memories!  Tell a Friend!  Next Entry
Вопросы по теории
В одном из тредов предложили умную мысль: прикрепить темы для обсуждения всяких мелких вопросов, которые возникают при изучении математики. По просьбам анонимусов.


(Добавить комментарий)


(Анонимно)
2011-07-18 04:09 (ссылка)
Задачка:

Счетно ли множество всех конечных подмножеств натуральных чисел?

Верно ли такое решение (ответ -- счетно):

Запишем каждое подмножество как последовательность из нулей и единиц так, что на месте чисел, лежащих в подмножестве, стоят 1, а на месте чисел, не лежащих в подмножестве, стоит 0.
Например, {1,2,5} -- 110010000...

Теперь занумеруем все подмножества. Рассмотрим запись целых чисел в двоичной системе счисления. Будем брать двоичное число, записывать его наоборот (младший разряд слева) и приписывать справа бесконечно много нулей.

0 -> 0000000...
1 -> 1000000...
10 -> 0100000...
11 -> 1100000...
100 -> 0010000...
101 -> 1010000...
110 -> 0110000...
111 -> 1110000...
...

Так рано или поздно мы доберемся до любой конечной последовательности из нулей и единиц. Именно, чтобы узнать номер данной последовательности, обрежем ее по последней единице, за которой начинается бесконечность нулей (мы знаем, когда начинаются нули, потому нам известно, что подмножество конечно, и значит, известен его последний элемент -- последняя единица в последовательности). Затем перевернем получившееся число -- это и будет номер последовательности в двоичной системе счисления.

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


[info]liberium
2011-07-18 14:54 (ссылка)
Подход правильный, но формально счетность не доказана. Закончи начатое.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2011-07-18 16:42 (ссылка)
Предъявлена биекция между множеством и натуральными числами в двоичной записи. Нужно что-то еще?

(Ответить) (Уровень выше)


(Анонимно)
2011-07-19 03:26 (ссылка)
Сопоставляем каждому числу подмн-во, содержащее только его - инъекция из чисел в подмножества.
Сопоставляем каждому подмн-ву его двоичный код (как вы это сделали, а спереди дописываем единичку, чтобы разное кол-во нулей впереди различалось), получаем натуральное число в двоичной записи - инъекция из подмн-в в числа.

По теореме Кантора-Бернштейна они равномощны.

Так получается короче ^_^

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2011-07-19 03:42 (ссылка)
Зачем единичку, не надо единичку: я ищу последнюю единицу в двоичной записи подмножества, обрезаю по ней, и переворачиваю число -- то есть у меня эта последняя единичка выходит первой слева в получившемся двоичном числе.

Кроме того, у меня одна биекция, а у вас две инъекции. Но все это, видимо, детали. Ответ на мой вопрос, как я понимаю, да (т. е. решение верное)?

(Ответить) (Уровень выше)


(Анонимно)
2011-07-21 23:34 (ссылка)
Было бы интересно узнать как те, у кого нет возможности посещать занятия в НМУ, сдают сессию и готовятся к экзаменам. Какие могут возникнуть трудности в такой ситуации и на что нужно обратить внимание в первую очередь? Особенно интересно как это делают люди живущие за пределами Москвы.

Хорошо бы вынести обсуждение в отдельную тему, но сам этого сделать не могу тк анонимус.

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


[info]agrin
2011-07-22 10:34 (ссылка)
Смотрят выложенные видеолекции, читают книжки с материалами, соответствующими курсу, решают листочки. Потом приезжают в Москву, сдают минимум задач, необходимых для зачета и экзамен. На старших курсах задач часто меньше, зачета нет, а экзамен - домашний, так что все можно сдать вообще не вставая с любимого кресла.

Мне кажется единственная существенная проблема в подобных случаях - это отсутствие людей, с которыми можно обсудить, быстро узнать то или иное определение, мотивацию, общую идею рассуждения - те вещи, которые трудно взять непосредственно из книг или интернета. Отсутствие "обратной связи на лекции", как мне кажется, менее важно, т. к. обычно достаточно хорошо для постановки осмысленных вопросов понимает происходящее не очень много людей, зато не совсем понятный момент можно посмотреть 2-3 раза.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2011-08-01 00:29 (ссылка)
А где можно ознакомиться с оными лекциями?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]agrin
2011-08-01 00:33 (ссылка)
erb-files.narod.ru

(Ответить) (Уровень выше)

Вот мне тоже очень интересно:
[info]icanus.livejournal.com
2011-08-03 14:19 (ссылка)
Хотелось бы подробнее про "сдают минимум задач" для зачёта. Это можно сделать в конце семестра единовременно? Из общения с одним почтенным сообщником и чтения сайта сложилось впечатление что сдавать задачи надо в течение семестра. Ну и вообще не ясно, как преподаватель будет проверять всё сразу в конце семестра - это немало работы всё же.

Кстати, есть ли какой-нибудь отзыв о преподавателях, собирающихся читать первый семестр первого курса в этом году? Понятность лекций/сложность задач/соответствия между лекциями и листочками?

Спасибо.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

Re: Вот мне тоже очень интересно:
[info]agrin
2011-08-03 19:01 (ссылка)
Как правило, задачи в НМУ сдаются устно в течении семестра. Письменно задачи сдаются в относительно исключительных случаях - кому-то очень неудобно общаться, или, например, уже последнее занятие, зачет хочется, а времени сдавать устно нет. В частности, если кто-то весь семестр был не в Москве, то он может приехать только на экзамен, а зачет сдать в виде тетрадочки с оформленными задачами. Это дело договоренности, но обычно проблем быть не должно.

Вообще по этому поводу надо писать факу, ибо вопросы подобного рода появляются регулярно.

Теперь по поводу преподавателей:

Смирнов - Алгебра: http://www.hse.ru/org/persons/10023270 - Ни разу в жизни не был ни на одном его лекционном курсе; на семинарах задачи принимает адекватно. Вообще вроде вменяемый, я думаю, что уровень сложности и выбор материала будет вполне разумным.

Сосинский - Геометрия: Сосинский хороший, но уже старенький, к тому же недавно перенес болезнь и это сказывается. Этот курс наверняка почти не будет отличаться от прошлогоднего, простой, но, по моему мнению, не самый полезный. Впрочем вопрос полезности этого курса дискуссионный и где-то уже обсуждался, то ли в сообществе, то ли в моем жж.

Гусейн-Заде - Анализ. Тоже ни разу не был на его лекциях. По мнению одной моей знакомой, ходившей на него анализ несколько лет назад, Гусейн унылый. Судя по тому курсу http://ium.mccme.ru/f07/calc1y.html материала для одного семестра много, экзамен сложный. Насколько я знаю, большинство сдавших курс сделали это на повторном экзамене, который проводил другой человек.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

Re: Вот мне тоже очень интересно:
[info]icanus.livejournal.com
2011-08-04 09:27 (ссылка)
Большое спасибо!
Кстати, а топология начинается не с первого семестра? Не разглядел её в списке курсов на осень.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

Re: Вот мне тоже очень интересно:
[info]agrin
2011-08-04 14:42 (ссылка)
Обычно топология начинается со второго семестра, а в первом - геометрия.

(Ответить) (Уровень выше)


(Анонимно)
2011-07-28 22:22 (ссылка)
кто где книжки берет? либоло нету же =(

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


[info]liberium
2011-07-29 17:18 (ссылка)
Всё, что мне надо, я нахожу на:
library.nu
poiskknig.ru
bookfi.ru

(Ответить) (Уровень выше)


(Анонимно)
2011-08-03 18:51 (ссылка)
Привет!

Никто не знает, какие задачи из восьмого листка по нмушной алгебре-2 обязательны к сдаче? А то там никаких не отмечено, а говорят, что они есть.

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


[info]liberium
2011-08-04 04:08 (ссылка)
До 8го не дошёл ещё, а когда экзамены осенью сдают обычно?

(Ответить) (Уровень выше)


(Анонимно)
2011-08-04 16:31 (ссылка)
Расскажите, как кто в НМУ дистанционно учится. Понятно, что нужно смотреть лекции и решать задачи семинаров, но интересно следующее:
1) как сдавать задачи в течение семестра? (я так понимаю, их сдача необходима для того, чтобы сдать курс)
2) что делать, если видео нужной лекции не выложили?
3) как сдавать экзамены? (требуется ли приезжать более одного раза, или можно сдать экзамены в один день)

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2011-08-05 19:07 (ссылка)
ну, похоже, Грин тут один отвечает обстоятельно. так что наверное вопрос ему.
могу ли я сдавать курсы не по порядку, например, в первую сессию сдавать курсы первого семестра (обязательные)и некоторые курсы третьего семестра или же вообще спецкурсы? преподаватели к этому нормально относятся? не дурной ли это тон со стороны студента. спасибо.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]liberium
2011-08-05 20:02 (ссылка)
1) Сдавать звдвчи в течение семестра можно по электропочте. Для этого надо договориться с преподавателями (тоже наверное можно по э\п)

2) Ты про комплан? Уникального материала на лекциях не дают. В книжках есть всё.

3) В один день экзамены не ставят. Можно попытаться договриться с преподами, чтобы поставили, но я не пробовал.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2011-08-06 01:05 (ссылка)
Спасибо за ответы.
Про лекции -- нет, не про комплан, я вообще планирую только с осеннего семестра начать учится. А вообще, экзамены проходят близко друг к другу по датам? Например, для меня возможно приехать в Москву не более, чем на четыре-пять дней.

(Ответить) (Уровень выше)


(Анонимно)
2011-08-06 01:13 (ссылка)
Да, и ещё один вопрос вдогонку -- все ли курсы планируют выкладывать на erb-files? Основные курсы первого семестра интересуют по большей части.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]agrin
2011-08-06 04:42 (ссылка)
Все, явно настало время писать FAQ по НМУ. Существенная часть задававшихся вопросов в этой теме уже обсуждалась в сообществе.

(ушел писать FAQ)

(Ответить) (Уровень выше)


[info]liberium
2011-08-06 22:03 (ссылка)
Насколько помню, промежуток между пересдачами этой весной был от 3-х до 7-ми дней, между экзаменами - неделя. Все курсы будут на erb-files, да.

Щас грин накатает faq, будет точнее.

(Ответить) (Уровень выше)


(Анонимно)
2011-09-08 22:12 (ссылка)
Может кто-нибудь выложить email-адреса преподавателей курсов первого семестра? Хотел бы написать им насчёт сдачи задач дистанционной, но на сайте НМих не нашёл.

(Ответить)


(Анонимно)
2011-09-12 02:35 (ссылка)
Особенность преподавания математики заключается в том, что материал рассказывают, предполагая, что полезность его станет очевидна потом, т.к. для объяснения этой полезности нужны ещё не изученные термины.

Вопрос в том, кто где берёт мотивацию?

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


[info]agrin
2011-09-13 21:00 (ссылка)
Я думаю честным будет сказать, что современная абстрактная математика не стремится быть сколько-нибудь полезной обществу, а люди, которой ей занимаются ищут не полезность, а красоту конструкций. Или испытывают свой разум в решении тех или иных конкретных задач.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

А было ли иначе когда-нибудь?
[info]icanus.livejournal.com
2011-09-14 08:10 (ссылка)
У меня есть серьёзные сомнения в том, что люди, занимавщиеся математикой когда-то стремились быть полезными обществу. Это, мне кажется, плохая мотивация для такого поведения, которое требуется для занятия математикой (нужно от многого отказаться, много быть в одиночестве и так далее). Полезность, по-моему, всегда была продуктом побочным, стимулирующим общество математиков терпеть, слушать, а потом ещё и кормить. Но сами математики, как мне кажется, движимы какими-то другими внутренними потребностями. Тот факт, что большой кусок современной математики стал обществу не доступен и (пока) не нужен - не следствие изменения мотивации и большего чем раньше отрыва учёных от реальности.
Я тут, разумеется, обощаю и, следовательно, какие-то случаи из виду упущены, но общая картина, думаю, такая.
Кроме того бывают экстремальные ситуации (вроде войн и других кризисов), когда математики должны мобилизовываться вместе со всеми остальными и заниматься тем, что нужно, а не тем, чем хочется (разгадывать вражеские коды или строить ядерную бомбу, к примеру). Но, опять же, мобилизуют их в таких случаях другие, гораздо более резкие и решительные люди, и не всегда на добровольной основе.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]term
2011-09-14 11:53 (ссылка)
особенность преподавателей математики в том, что они делают это исключительно для себя и в своих интересах. Редкий математик не пробовал рассказывать что-нибудь кому-нибудь и не получал при этом удовольствие. Преподавание это фетиш.

(Ответить) (Уровень выше)

Запутался:
[info]icanus.livejournal.com
2011-09-21 17:10 (ссылка)
Если А - коммутативное ассоциативное кольцо с единицей, u из A, A/(u) - факторкольцо по главному идеалу (u) и u = vw, где v,w из А - необратимы. Почему v и w не могут лежать в (u)?

(Ответить) (Ветвь дискуссии)

Re: Запутался:
[info]icanus.livejournal.com
2011-09-21 17:19 (ссылка)
Прошу прощения, здесь A - кольцо главных идеалов, а потому вопрос снимается.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

Re: Запутался:
[info]mao
2011-09-24 22:40 (ссылка)
Хм, странно. А если А не кольцо гл. идеалов?
Допустим v \in (u), тогда v = u*k. k не может равняться w^{-1}, т.к. этот элемент не обратим. Т.е. нужно иметь только пространство (где разложение единственно), я правильно понимаю?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

Re: Запутался:
[info]icanus.livejournal.com
2011-09-25 08:25 (ссылка)
Мне не очевидно, как из равенства v = vwk следует равенство wk = 1 в кольце, где могут быть делители нуля. И потом, разложение на необратимые множители не единственно даже там, где есть основная теорема арифметики.
Я не утверждаю, что только в кольцах главных идеалов утверждение верно, вероятно, есть и другие. Но в общих коммутативных ассоциативных кольцах с единицей - вроде нет.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

Re: Запутался:
[info]mao
2011-09-25 10:49 (ссылка)
Да, пардон, ты прав.
А какое тогда доказательство для кольца гл. идеалов?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

Re: Запутался:
[info]icanus.livejournal.com
2011-09-25 21:19 (ссылка)
Кольцо главных идеалов предполагается целостным по определению (по определению Винберга, по-крайней мере), так что там как раз из первого равенства второе следует.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

Re: Запутался:
[info]mao
2011-09-25 21:22 (ссылка)
А как это следует из того, что нет делителей нуля?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

Re: Запутался:
[info]icanus.livejournal.com
2011-09-25 21:25 (ссылка)
Ну уж это совсем просто: v = vwk => v(1 - wk) = 0. Делителей нуля нет, v - не ноль по предположению => 1 - wk = 1 - kw = 0 (кольцо коммутативное) ну и отсюда обратимость w.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

Re: Запутался:
[info]mao
2011-09-25 21:36 (ссылка)
А, ну логично.
Извиняюсь, я сегодня туплю сильно.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

Re: Запутался:
[info]icanus.livejournal.com
2011-09-25 22:20 (ссылка)
На здоровье. Не за что извиняться, конечно.

(Ответить) (Уровень выше)

Лекция 3. Смирнов.
[info]baffec.livejournal.com
2011-09-25 19:28 (ссылка)
Товарищи, есть ли у кого-либо видеозапись 3-й лекции по алгебре-1? Либо можно ли ждать в ближайшем будущем на erb-files?
Была бы очень признательна за ответ.

(Ответить) (Ветвь дискуссии)

Re: Лекция 3. Смирнов.
(Анонимно)
2011-09-26 00:11 (ссылка)
А почему у вас в жежешечке нельзя оставлять анонимные комментарии?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

Re: Лекция 3. Смирнов.
[info]baffec.livejournal.com
2011-09-26 00:20 (ссылка)
Видимо, так стояло по дефолту, а я не сильно "заморачивалась".
Если это важно, сию настройку комментариев изменила.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]mao
2011-10-06 19:20 (ссылка)
Вопрос по 5ому листочку по алгебре.
В 5.2 "многочлены ... обращающиеся в нуль в точках t = 0, t = 1 и t = 5"

Это значит что для любого P, P(0) = P(1) = P(5) = 0 или
что для любого P, P(0) = 0 OR P(1) = 0 OR P(5) = 0?

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


[info]icanus.livejournal.com
2011-10-07 07:54 (ссылка)
Первое. У Вас первые четыре листочка уже решены? А то я бы поспрашивал кое-чего кое-где у умных людей...

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]mao
2011-10-07 09:02 (ссылка)
Первые три решены на ~60-80 %, а четвертый не решал вообще :(

(Ответить) (Уровень выше)


(Анонимно)
2011-10-21 19:06 (ссылка)
По поводу последнего листочка по алгебре, там в 7.3 в задачке дано условие

Покажите, что всякий ненулевой элемент Image, удволетворяющий соотношению Image, получается из некоторое двумерной плоскости описанным образоm

1) Image выполняется всегда же вроде?

2) Что значит "описанным образом"? Через базисы подпространства? Алсо, не понял, при чем тут двумерная плоскость, с геометрией у меня совсем провал.


Спасибо.

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


[info]ende_neu
2011-10-23 16:25 (ссылка)
1) это выполняется вовсе не всегда. Ведь \omega - степени 2, тогда, по косокоммутативности, при перемене местами двух \omega возникает сомножитель (-1)^{ 2 * 2} = 1, а не -1, и вывод о равенстве нулю сделать нельзя.

2) Да, именно так. То есть вам дан \omega, ваша задача --- найти подпространство F размерности 2 (ту самую двуменрную плоскость), такую, что [F] = \omega

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2011-10-24 14:34 (ссылка)
Спасибо, ступил.

(Ответить) (Уровень выше)

алгебра-1, листок 2
[info]ende_neu
2011-10-23 16:17 (ссылка)
по второму листочку по алгебре - по задаче 2.6.

Или я адски туплю и не вижу легкого обходного пути, или надо
самостоятельно додуматься до чего-то из этого:
http://en.wikipedia.org/wiki/Proofs_of_Fermat%27s_theorem_on_sums_of_two_squares
или например, доказательств из книжек Эдвардса или Айерлэнда, Роузена.
Я сам точно такое не придумаю (за мало-мальски разумный срок), только знаю,
где подсмотреть можно.
И все эти доказательства --- не такие уж вроде бы простые одноходовки, как другие
задачи без звездочки. Скачал и посмотрел первые 2 лекции --- тоже особых намеков не обнаружил.

Это так задумано? Или эти задачи решаются все же не сложнее остальных?

(Ответить) (Ветвь дискуссии)

Re: алгебра-1, листок 2
[info]icanus.livejournal.com
2011-10-25 12:22 (ссылка)
Да, в задачах 2.6, 2.7 имеется в виду именно вот эта теорема Ферма и её стандартное доказательство (видно же, что задачи разбиты именно на его стандартные шаги). По крайней мере я другого не видел ни в книжках (смотрел Винберга и Алуффи) ни в сети. Кстати, что это за книги, на которые Вы ссылаетесь?
Смысл, по-видимому, в предположении что студент лекциями не ограничивается а активно роется где только можно и/или читает параллельно какой-то учебник (в этом смысле книжка Винберга великолепна - там и для этой задачи почти всё рассказано в девятой главе (последнего издания) очень прозрачно). Я боюсь даже думать, что в аудитории сидит непренебрежимое количество людей, способных на это самостоятельно только по лекциям без подсказок. Если экзамен расчитан на таких, то я зимой поеду в Москву зря.
У меня 2.6 и 2.7 решены, можно что-то спрашивать.

Как у Вас со второй половиной листочка 3 и производящими функциями (у меня не решена 4.5)? И не знаете ли Вы в каком смысле в первой задаче шестого листочка пересечение подпространств U и W является подпространством их внешней прямой суммы?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

Re: алгебра-1, листок 2
[info]agrin
2011-10-25 15:27 (ссылка)
Печально, если и в самом деле листочек рассчитал не на самостоятельное решение, а на вычитывание в книжке и объяснение принимающему задачи. Впрочем остальные задачи из второго листика вроде решаемые.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

Re: алгебра-1, листок 2
[info]icanus.livejournal.com
2011-10-25 15:28 (ссылка)
Это Вы их придумывали?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

Re: алгебра-1, листок 2
[info]agrin
2011-10-25 15:30 (ссылка)
Нет. Я их даже не принимаю, ибо со Смирновым не особенно общаюсь.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

Re: алгебра-1, листок 2
[info]icanus.livejournal.com
2011-10-25 15:36 (ссылка)
Просто там написано "рассчитал". Стало быть, опечатка.
Я не думаю, что это очень страшно. Такие задачи богаче идеями, нежели более простые упражнения и их полезно увидеть и осознать. Тут, к примеру, видно, что переход к другому факториальному кольцу позволяет получить нетривиальную информацию по Z и много другого-прочего. На лекциях времени нет на это, что происходит на семинарах - я не знаю. Но так или иначе умение рыться, находить и встраивать найденное в свою систему знаний - полезный навык.
Вот когда подобная задача появляется на письменном экзамене - это да, печально. Посмотрим, как с этим обстоят дела в НМУ. В моём ВУЗе экзамен почти всегда сдавался на ура любым, кто нормально работал в семестре, но там не писали на сайте про талантливую молодёжь.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

Re: алгебра-1, листок 2
[info]agrin
2011-10-25 15:51 (ссылка)
Для того, чтобы содержательно работать, надо в первую очередь думать своей головой, а не перерывать горы информации. Я считаю, что обилие "искательных" задач - шаг к общеобразовательнм университетам, в которых думать вообще почти не надо, а надо заучивать готовые формулировки и доказательства. Это совершенно не радует. У Вербицкого например и экзамены рассчитаны на бытрый поиск информации, я считаю что это никуда не годится.

Глубинная причина происходящего по моему мнению - в банальном шапкозакидательстве - "вот я прочитал за семестр стоооолько всякого интересного, посмотрите как я крут". Или в желании лектора показать, как он крут, а остальные тупят.

А хадачи предыдущих экзаменов можно посмотреть на страницах аналогичных курсов, читавшихся в прошлом, позапрошлом и т. д. годах. Часто задачи там сложные, но критерии оценки не очень строгие - отличную оценку, бывает, можно получить и за половину решенных задач, а иногда и за меньшее их количество.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

Re: алгебра-1, листок 2
[info]icanus.livejournal.com
2011-10-25 15:58 (ссылка)
Я тоже люблю задачи, которые могу решить сам гораздо больше тех, над которыми кучу времени думаешь, потом находишь где-то идею решения и понимаешь, что не придумал бы никогда. Опять же, мне в своё время давали именно такие, но они в основном бывали очень элементарны, а представить непростую задачу в таком виде, чтобы она всё-таки решалась - требует серьёзного мастерства и времени. Кроме того, уровень слушателей всё-таки разный и не всегда точно представляется лектором.
Смирнов в этом смысле вполне адекватен, по-моему. По крайней мере пока.

(Ответить) (Уровень выше)

Re: алгебра-1, листок 2
[info]icanus.livejournal.com
2011-10-25 16:15 (ссылка)
За совет с задачами большое спасибо.

(Ответить) (Уровень выше)

Re: алгебра-1, листок 2
[info]agrin
2011-10-25 15:31 (ссылка)
Там опечатка =) Слово "рассчитал" надо заменить на "рассчитан" или вставить слово "Смирнов".

(Ответить) (Уровень выше)

Re: алгебра-1, листок 2
[info]ende_neu
2011-10-25 20:07 (ссылка)
Я имею в виду книги
1) Г. Эдвардс, "Последняя теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел"
2) Айерлэнд, Роузен. "Классическое введение в современную теорию чисел.

4.5 решил, она, в общем, простая совсем, если на частных случаях глянуть.

По 6.1 - да, я тоже вначале немного не въехал. Полагаю, что надо взять внешнюю прямую сумму U и V, то есть пространство пар
[Error: Irreparable invalid markup ('<u,>') in entry. Owner must fix manually. Raw contents below.]

Я имею в виду книги
1) Г. Эдвардс, "Последняя теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел"
2) Айерлэнд, Роузен. "Классическое введение в современную теорию чисел.

4.5 решил, она, в общем, простая совсем, если на частных случаях глянуть.

По 6.1 - да, я тоже вначале немного не въехал. Полагаю, что надо взять внешнюю прямую сумму U и V, то есть пространство пар <u, v>, u \in U, v \in V и отождествить пересечение U и V с ее (внешней прямой суммы) подпространством вида <w, w>, w \in U и w \in V

Для контактов, кстати, у Вас есть скайп или icq?
Мой ник в скайпе allu_zef.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

Re: алгебра-1, листок 2
[info]icanus.livejournal.com
2011-10-25 20:19 (ссылка)
Запрос в скайпе послал. Я тоже так подумал, но решил сначала глянуть в лекции, прежде чем решать. Завтра уже досмотрю шестую, будет понятно, надеюсь.
Кстати, по-моему, в задаче опечатка. Там слева написано U+V, при том, что V - объемлющее пространство, то есть U+V это просто V. Должно быть, мне кажется, U + W.

4.5 Вы решали через производящие функции? Листочек вроде называется так, а обязательных задач на них - одна. Либо я туплю и с их использованием задачи решаются красивее и проще...

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

Re: алгебра-1, листок 2
[info]ende_neu
2011-10-25 20:23 (ссылка)
А, да, это, естественно, опечатка.
4.5 --- ну, каждую из дробей разложил в геометрическую прогрессию и прикинул, что там при перемножении этого бесконечного количества рядов происходит.
В скайпе не вижу запроса, может, мой линуксовый клиент подгоняет? Можете свой ник сказать (удаленным комментом, если не хотите в открытый доступ выкладывать)?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

Re: алгебра-1, листок 2
[info]icanus.livejournal.com
2011-10-25 20:31 (ссылка)
Послал запрос на второй ник.

(Ответить) (Уровень выше)

Re: алгебра-1, листок 2
[info]icanus.livejournal.com
2011-11-04 17:04 (ссылка)
Вы построили самый первый изоморфизм в шестом листке? Я что-то запутался. Кстати, я там ниже про тригонометрические многочлены глупости написал. Самое простое - действительно к ним переходить. Там нужно только знать, что никакой многочлен от sin, cos степени меньше 2 не обращается в нуль как функция, а мы это, вроде, знаем из первой части задачи.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

Re: алгебра-1, листок 2
[info]ende_neu
2011-11-04 17:35 (ссылка)
Елки. Я сейчас понял, что тоже ошибся с этой задачей, когда в комментах выше писал. Все будет замечательно, если мы пересечение отождествим с подмножеством внешней прямой суммы вида (вектор из пересечения, -тот же вектор), а не (вектор из пересечения, тот же вектор).

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

Re: алгебра-1, листок 2
[info]icanus.livejournal.com
2011-11-04 19:23 (ссылка)
Я пробовал (x,x), (x,0) и вот Ваш (x,-x) - никак не могу корректно определить отображение...

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

Re: алгебра-1, листок 2
[info]ende_neu
2011-11-04 19:27 (ссылка)
u + w \in U + W \mapsto (u,w) + U \cup W
Корректность определения и его инъективность как раз и следуют из такого понимания пересечения.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

Re: алгебра-1, листок 2
[info]icanus.livejournal.com
2011-11-06 18:19 (ссылка)
Спасибо! Кстати, для пар (x,x) тоже работает, только отображать надо u+w\mapsto (u, -w) + U\cap W.

(Ответить) (Уровень выше)

Re: алгебра-1, листок 2
[info]ende_neu
2011-10-25 20:20 (ссылка)
Так, наврал. В скайпе я grey_narn, кажется.
А про 2.6 я не понял - какое именно из доказательств по ссылке вы считаете стандартным? Эйлеровское (кстати, именно оно у Эдвардса)?

С 3-м листочком у меня опять же страшный затык на последней задаче. Предпоследнюю --- не могу дать строгое доказательство, что фактор --- это тригонометрические многочлены, чтобы про поле частных доказать, неизоморфность без этого доказал. В принципе, первые страницы "Основ алгебраической геометрии" Шафаревича дают, конечно, исчерпывающий аргумент, но наверняка тут все проще.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

Re: алгебра-1, листок 2
[info]icanus.livejournal.com
2011-10-25 20:29 (ссылка)
Упс. То-то удивится кто-то, получив мой запрос.
Я имею в виду доказательство через Гауссовы числа (Дедекинда, кажется). К нему подводит весь листок (что видно, когда уже знаешь решение). Его же излагают в учебниках по алгебре (какие я смотрел). Видимо другие ближе теории чисел и там пишут их (хотя кажется в Niven, Zuckermann, Montgomery тоже Гауссовы числа, но не уверен).

С третьим листочком у меня те же проблемы. Я вообще не уверен, что фактор - тригонометрические многочлены. Идеал, по которому факторизуем - да, поскольку в нём выполнено тождество как для синуса с косинусом. Но те, что в нём не лежат - почему будут тригонометрическими?
В Шафаревича лезть не охота, хоть и стоит на полке. Во первых, он сильно выше уровнем, во вторых, меня отталкивает его Основные понятия алгебры, так многими любимая. Если и алгем у него такой - обидно. Хотя отзыв читал хороший где-то. Ну и, опять же, должно же само решаться - обидно в книжку лезть пока что...

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

Re: алгебра-1, листок 2
[info]ende_neu
2011-10-25 23:51 (ссылка)
Кстати, подумалось сейчас. Это не вполне строго, как мне кажется, но очень убедительно. Итак, фактор, очевидно, -- это полиномиальные функции на окружности. Но ведь именно через окружность и определяются косинус и синус в школе. Это просто абсцисса и ордината точки на единичной окружности. Так что абсолютно очевидно, что это триг. многочлены.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

Re: алгебра-1, листок 2
[info]icanus.livejournal.com
2011-10-26 08:35 (ссылка)
Это, по-моему, совсем не строго, потому что тригонометрические функции - это некоторые степенные ряды. А через окружность в школе они определяются тавтологически, по-моему. Вроде бы нестрого угол определён или что-то в этом роде. Мне кажется, что надо просто отобразить x на косинус, а y - на синус и посмотреть свойства отображения.

(Ответить) (Уровень выше)

Re: алгебра-1, листок 2
[info]icanus.livejournal.com
2011-10-27 14:49 (ссылка)
Я вдруг осознал очевидный факт - нам вообще не нужно переходить к тригонометрическим многочленам. Для мотивации это хорошо, но уже зная формулы урниверсальной подстановки мы же можем попросту перевести x и y в две соответствующие дроби от какой-то переменной z и дальше просто проверять, что это даёт эпиморфизм на C(z), у которого ядро - идеал (x^2 + y^2 - 1). Тогда всё можно сделать ни разу не сославшись на тригонометрические функции (тем более, что доказывать изоморфность тригонометрических многочленов чему-нибудь, на мой взгляд, не проще).

(Ответить) (Уровень выше)

Очень тупой вопрос
[info]bananeen
2011-12-07 21:25 (ссылка)
Объясните неучу, в чем разница между векторным пространством и ассоциированным с ним аффинным пространством?

Несколько раз перечитывал определения, и ничего кроме терминологической разницы "векторы-точки" не понял.

(Ответить) (Ветвь дискуссии)

Re: Очень тупой вопрос
[info]agrin
2011-12-08 00:32 (ссылка)
На точках в аффинном пространстве нет операции сложения.

По сути все пляски с бубном в определениях типа винбергского сводятся к тому, как бы поинвариантнее забыть это самое сложение, добавив в качестве компенсации операцию прибавления к точке вектора из соответствующего векторного пространства.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

Re: Очень тупой вопрос
[info]bananeen
2011-12-08 21:42 (ссылка)
А что мы получаем дополнительно из-за такого забывания?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

Re: Очень тупой вопрос
[info]agrin
2011-12-09 02:55 (ссылка)
Ну, блин, не знаю что и сказать.

В общем и целом когда мы говорим о векторных пространствах, мы хотим, чтобы у нас были какие-то штуки ("векторы"), которые мы умеем складывать и умножать на скаляр. Ну и чтобы они были похожи на стрелочки выходящие из фиксированной точки на листке бумаги.

А вот если мы говорим о аффинных пространствах, мы хотим, чтобы у нас были штуки существенно другой природы ("точки"), такие, чтобы их нелюзя было складывать, но можно было любую точку сдвинуть на вектор из "ассоциированного векторного пространства" и получить другую точку. С выполнением всех естественных свойств, разумеется.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

Re: Очень тупой вопрос
[info]bananeen
2011-12-09 20:38 (ссылка)
Мне такое различие "векторы-точки" почему-то не представляется существенным. Траектория движения точки например описывается движением радиус вектора, и чего? Какая физическая задача требует перехода к аффинному пространству взамен векторного?

Грин, я прошу прощения, наверно я не понимаю чего-то очевидного, ну уж как есть.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

Re: Очень тупой вопрос
[info]agrin
2011-12-09 22:42 (ссылка)
Не, все в порядке.

Это такая типа математическая философия, что все должно быть максимально инвариантным, т. е. независмым от выбора системы координат. Я не думаю, что это прям очень полезно для физики, но иногда бывает, что инвариантный взгляд упрощает понимание сути и упрощает доказательства. Например формулы для решения систем линейных уравнений (те, что с определителями) это такой впролне себе геометрический факт.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]euch
2011-12-10 05:06 (ссылка)
Иногда об аффинных пространствах говорят, когда хотят подчеркнуть, что векторная структура вообще никак не будет использоваться и нам не нужна.

Вот, например:
http://en.wikipedia.org/wiki/Affine_varieties#Affine_varieties

>Какая физическая задача требует перехода к аффинному пространству взамен векторного?
Классическая механика, например. В её представлениях вселенная — 4-мерное вещественное аффинное пространство: любые две точки соединяются вектором, но у точек пространства нету никаких естественных координат. Координаты появляются, если наблюдатель выбирает систему отсчёта.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]bananeen
2011-12-12 20:20 (ссылка)
Спасибо вам Agrin & Euch. Вроде прояснилось

(Ответить) (Уровень выше)


[info]agrin
2012-01-27 03:09 (ссылка)
Может кто-то знает, почему кольцо подмножеств называется кольцом? Мне всегда казалось, что немного помахав руками можно провести ясную аналогию с обычными алгебраическими кольцами, но что-то в 3 часа ночи у меня ничего не срастается на эту тему, увы :(

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


[info]icanus.livejournal.com
2012-01-29 17:13 (ссылка)
А не получится сопоставить умножение с пересечением, сумму с объединением, единица - объемлющее множество (соответственно нейтральность по отношению к пересечению), ноль - пустое множество? Мне всегда казалось, что именно по этой причине так называется...

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]agrin
2012-01-29 21:20 (ссылка)
Да мне тоже раньше так казалось. С обратным элементов по сложению проблемы. Вроде все будет ничего если как сложение взять симметрическую разность (она у нас есть т. к. есть объединение и разность).

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]icanus.livejournal.com
2012-01-29 22:02 (ссылка)
Точно!

(Ответить) (Уровень выше)


[info]jackn1991.livejournal.com
2012-01-30 19:22 (ссылка)
Решил почитать книгу Городенцева по алгебре. Сразу возник вопрос по поводу упражнения 1.2. Давно интересовало, как решать такие задачи с множествами. Объясните, если не сложно.
Задача: Можно ли выразить разность множеств через пересечение и объединение множеств?
Я сделал пару попыток, и мне кажется, что нельзя. Но как это доказать строго? Если бы было можно, то мне было бы достаточно предъявить такое равенство, взять произвольный элемент из множества справа, доказать одно включение, затем взять элемент из множества слева, доказать другое включение, тем самым доказать равенство. И все. Но, так как этого сделать нельзя, то надо доказать, что это принципиально невозможно.

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


[info]agrin
2012-01-31 04:55 (ссылка)
Я бы сказал, что достаточно понять, какие множества мы вообще можем получить с помощью операций объединения и пересечения из двух данных множеств А и В. Сразу видно, что можно получить $A \cup B$ и $A \cap B$. А дальше происходит эпик фейл, т. к. из полученных четырех множеств с помощью объединения и пересечения можно получить только одно из этих множеств, то есть ответ - нет, нельзя. А вообще задача идиотская помоему.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]jackn1991.livejournal.com
2012-01-31 11:29 (ссылка)
Вообще, я тоже диаграммами это представлял. Мне кажется, я нащупал решение. Но тут чисто формальный подход. Если есть дав множества А и В и операции пересечения и объединения, то мы можем получить какое-то множество типа { x | (x e A) или ((x e B) и (x e А)) }. Ну или что-то в этом роде. В любом случае, логическими союзами и/или будут разделятся высказывания, что x принадлежит чему-то там. По определению разности, A\B := { x | (x e A) и (x (не e) B) }. В определении объединения и дополнения нет высказывания (x (не e) множество), получить его из комбинаций высказываний (x e A), (x e B) и союзов и/или нельзя.

(Ответить) (Уровень выше)


(Анонимно)
2012-05-01 03:09 (ссылка)

А куда делся Капинус?

Был активен, создал сообщество
А потом пропал

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2012-06-29 00:41 (ссылка)
Капинус относится к длинному списку героев, активно увлекавшихся математикой, доросших по уровню примерно до начала второго курса НМУ, а затем по тем или иным причинам махнувших рукой.



(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2013-09-02 12:47 (ссылка)
Death lies before us as we sail through the Ocean of Youth.

(Ответить) (Уровень выше)


(Анонимно)
2013-08-20 16:24 (ссылка)
Сообщество умерло

(Ответить)


[info]vvvvvvvv
2014-06-18 20:49 (ссылка)
Задачка из Давидовича:
Докажите, что отображение обратимо тогда и только
тогда, когда оно взаимно однозначно

Если $f: X \to Y$ обратимо, то $\exists y: Y \to X$ такое, что $f \circ g = g \circ f = Id$. Из этого следует, что $f$ и $g$ инъективны (в противном случае композиции не тождественны). Это значит, что $\forall y \in Y$ $f^{-1}(y)$ состоит не более чем из 1 элемента. Если $f$ инъективно и предположить, что есть $y$ такой, что $f^{-1}(y) = \emptyset$, то $g$ будет уже неинъективно, что противоречит обратимости $f$, значит у каждого $y \in Y$ только один прообраз, что есть определение взаимной однозначности.
Не очень понятно, как строго доказать обратное. Если $f$ -- взаимно однозначно, то $\exists g: Y \to X$, которое будет каждый $y$ отображать в тот $x$, который $f(x) = y$ и это вроде как очевидно.

(Ответить)