Хорошо бы в самом начале сказать, что поле фиксировано, а то нехорошо рассматривать отображения разных векторных пространств и алгебр, не оговаривая, что они над одним полем.

В первой строчке надо исправить "\to V_2" на "\to V_3".
После этого идет в формуле "\mu(v_1,-)" -- я не помню, разве было раньше введено такое обозначение, с минусом на знакоместе? (под рукой сейчас нет старых листков).

Определение 5.1, последняя строчка: надо добавить слово "линейное" в "подалгебра есть подпространство...".

Задача 5.15. Надо добавить, что алгебра с единицей, иначе неверно.

Определение 5.5. В формуле, которая в две строчки записана, аж пять опечаток :-)

Задача 5.18. Вроде раньше не было определено пространство билинейных форм на паре (V,W), они были только с аргументами из одного пространства?

Определение 5.7. Коэффициенты там явно должны быть не вещественными, а из поля k.

Определение алгебры Клиффорда. Я не знакома с алгебрами Клиффорда, поэтому не знаю, что именно, но что-то с ним не то. С одной стороны, в правой части стоит 1, то есть в алгебре должна быть единица. С другой стороны, если подставить v_2=1, то получаем, что V одномерно.

Спасибо! Я внес все исправления, завтра появится.

> Хорошо бы в самом начале сказать, что
> поле фиксировано, а то нехорошо рассматривать отображения
> разных векторных пространств и алгебр,
> не оговаривая, что они над одним полем.

Это не очень правильно, поскольку может навести на мысль,
что в какой-то другой ситуации кому-то может прийти в
голову рассматривать отображения векторных пространств,
заданных над разными полями. А это, конечно, полный бред.
Я просто написал "зафиксируем поле $k$"

> Определение 5.5. В формуле, которая в две
> строчки записана, аж пять опечаток :-).

Шесть! Кошмар.

>Задача 5.18. Вроде раньше не было определено
>пространство билинейных форм на паре (V,W), они были
> только с аргументами из одного пространства?

Ага, в листке 3 были из разных.

> Определение алгебры Клиффорда. Я не знакома
>с алгебрами Клиффорда, поэтому не знаю, что именно,
>но что-то с ним не то. С одной стороны, в правой
>части стоит 1, то есть в алгебре должна быть единица.
>С другой стороны, если подставить v_2=1, то
>получаем, что V одномерно.

Мы алгебры с образующими и соотношениями
определяем так, что единица не принадлежит
$V$ (алгебра получается из тензорной алгебры факторизацией
по набору соотношений, но в тензорной алгебре единица
уже есть и не принадлежит $V$). Так что я не очень
понимаю, как можно подставить 1=v_2, 1 и v_2 - это
разные элементы тензорной алгебры.

По поводу ж алгебр Клиффорда, вот их сайт
http://www.clifford.org/
а вот история
http://www.nhn.ou.edu/~ski/papers/Clifford/history.ps

Такие дела
Миша

> Так что я не очень понимаю,
> как можно подставить 1=v_2, 1 и v_2 - это
> разные элементы тензорной алгебры.

Действительно, это я напутала: решила почему-то, что соотношения для всех элементов алгебры работают. Но я поняла, откуда у этой моей ошибки ноги растут.

Откуда вообще в правой части, т.е. в в исходной свободной алгебре, элементом которой должна по определению являться правая часть соотношения, единица? Тогда надо в определении свободной алгебры в область, которую пробегает индекс i, включать ноль и определять V^0 как поле k (кстати, плохо, что эта область индекса явно не описана, это и к Алгебре 6 относится, к определению градуированной алгебры). А мало того, что про индекс ничего не сказано, но и V^i определены только для натуральных i. Либо, если все же i начинается с 1, а не с 0, надо соотношения, определяющие алгебру Клиффорда, домножать слева и справа на всевозможные элементы алгебры, а исходную формулу убрать.

Другие замечания:

Не сказано в названии алгебры Клиффорда, над чем она: над V или над полем k. В то же время дальше в заданиях говорится об "алгебрах Клиффорда над R". Получается непонятно, в качестве чего здесь выступает R.

Не определено, что такое "размерность алгебры Клиффорда" -- размерность алгебры как векторного пространства или что-то другое.

Спасибо! Я все поправил

Такие дела
Миша

Насколько я поняла из последних задач про комплексные числа и кватернионы, константы (т.е. V^0) все же включаются в исходную свободную алгебру, да?

В задаче 5.31 V над каким полем -- R или произвольным? От этого ведь сильно зависит ответ.

Задача 5.34. Почему с двумя звездочками? Если матрицы над вект.пр-вом произвольной размерности, то там ведь размерности алгебры матриц с алгеброй Клиффорда не сойдутся. А если пропущено, что матрицы над R^2, то получается элементарное следствие 5.14 и 5.32.

Еще, насколько я понимаю, примеры из первых листков по алгебре (с числами вида a+b*sqrt(-3) и т.п.) являются частным случаем одномерных алгебр Клиффорда над Q. Может, здесь на это дать задачу, для разнообразия?

>Насколько я поняла из последних задач про
>комплексные числа и кватернионы, константы (т.е. V^0) все
>же включаются в исходную свободную алгебру, да?

Да, конечно. Я добавил это в листок, во избежание
разночтений.

>В задаче 5.31 V над каким полем -- R или
>произвольным? От этого ведь сильно зависит ответ.

Обязательно! Над $\R$, над произвольным полем
будет действительно слишком трудно.

>Задача 5.34. Почему с двумя звездочками? Если
>матрицы над вект.пр-вом произвольной размерности, то
>там ведь размерности алгебры матриц с алгеброй Клиффорда не сойдутся.

Очепятка! Там, конечно, $\Mat(\R^{2^n})$.
Спасибо.

>Еще, насколько я понимаю, примеры из первых
>листков по алгебре (с числами вида a+b*sqrt(-3) и т.п.)
>являются частным случаем одномерных алгебр Клиффорда над Q.

Надо бы, да. К сожалению, добавление новых задач собьет
нумерацию в ведомости. Но впоследствии так и сделаем
обязательно.

Такие дела
Миша

Не очень понятно, как правильно называть элемент алгебры. Везде идет название "вектор", но при этом же получается, что мы забываем про структуру алгебры? Как вообще принято называть?

Определение 6.1. Хорошо бы сказать, что A^I -- алгебры, и написать, какие значения i принимает.

Определение 6.4. Это же частный случай алгебры Клиффорда? А про это ничего не написано.

Задача 6.6. Надо добавить "для конечномерного V".

Задача 6.11. Надо "\Lambda^d". Из последние двух предложений одно лишнее :-)

Задача 6.18. Надо "x_i_1... -> Alt(x_i_1...)" заменить на "\eta -> Alt(\eta)".

Задача 6.21. Почему-то требуется доказать ассоциативность, хотя она очевидна, и не требуется доказать, что таким образом действительно получается алгебра.

Определение 6.9. После него, может, вставить пример с алгеброй многочленов нескольких переменных как тензорном произведении?

Задача 6.33. Тензорное произведение эндоморфизмов не было определено. Почему не написать простое произведение соответствующих элементов поля?

Спасибо! Я добавил исправления.

> Не очень понятно, как правильно
> называть элемент алгебры. Везде идет
> название "вектор", но при этом же
> получается, что мы забываем про
> структуру алгебры? Как вообще принято
> называть?

Мне самому интересно.
Вектор, наверное. Или элемент.
Элемент алгебры Клиффорда - мультивектор,
элемент алгебры Грассмана - форма или мультивектор,
элемент (пара-)кватернионов - (пара-)кватернион.

> Определение 6.1. Хорошо бы сказать, что A^I
> -- алгебры, и написать, какие значения i
> принимает.

Это как? Что $i$ пробегает $\Z$ - это действительно
нужно написать.

Все остальное исправил - спасибо

Такие дела
Миша

> Вектор, наверное. Или элемент.

Может, писать везде единообразно "элемент"? Чтобы путаницы не возникало?
Называть везде "мультивектор" плохо, потому что алгебры рассматриваются не только тензорные.

> Это как? Что $i$ пробегает $\Z$ - это действительно нужно написать.

Я имею в виду, что в предыдущем листке было важно, i пробегает N или N+{0}. Здесь тоже может быть не обязательно все Z, поэтому о том, что $i$ пробегает $\Z$, человек может и не догадаться.

Вообще я раньше сталкивалась с определением градуированной алгебры как функции из алгебры в Z. Там сразу понятно, что градуировка не обязательно все целые значения принимает. В вашем определении это не очевидно, так как про то, что некоторые алгебры в определении могут быть пустыми, не сказано. Поэтому сразу неочевидно, что, например, тензорная алгебра является частным случаем этого определения. Лучше, наверное, это особо отметить (или изменить определение).

Еще интересно, рассматриваются ли градуированные алгебры с градуировкой не в Z, а в какое-то другое кольцо? Например, в Z_p, Q или R?

> а в какое-то другое кольцо

Опечатка, конечно, имелась в виду группа.

>Может, писать везде единообразно "элемент"?
>Чтобы путаницы не возникало?

Пусть лучше привыкают. В научном тексте терминология
всегда неконсистентна, и понимать ее - одна из вещей,
которой надо учиться.

> Вообще я раньше сталкивалась с определением
>градуированной алгебры как функции из алгебры в Z. Там
>сразу понятно, что градуировка не обязательно все целые
>значения принимает. В вашем определении это не очевидно,
>так как про то, что некоторые алгебры в определении могут
>быть пустыми, не сказано. Поэтому сразу неочевидно, что,
>например, тензорная алгебра является частным случаем этого
>определения. Лучше, наверное, это особо отметить (или
>изменить определение).

Градуировка - конечно, не функция в Z (градуировку
имеют только элементы чистой градуировки, их суммы
уже не имеют). Можно определять градуировку
(и это часто делается) как
действие группы U(1) (весовые пространства веса i
задают разложение алгебры в прямую сумму).

>Лучше, наверное, это особо отметить

Ага! поправил.

>Еще интересно, рассматриваются ли градуированные
>алгебры с градуировкой не в Z, а
>в Z_p, Q или R?

В Z/2Z - постоянно. В Z_p, Q или R - достаточно редко,
зато биградуировка (градуировка, проиндексированная
группой Z\times Z) - постоянно рассмотривается,
это типа то место, с которого начинается
определение спектральной последовательности
(в одной из версий).

Такие дела
Миша

> Пусть лучше привыкают. В научном тексте терминология
> всегда неконсистентна, и понимать ее - одна из вещей,
> которой надо учиться.

Мне все же кажется, что в "основном учебнике" все должно быть написано по возможности четко и с единой терминологией (возможно, c упоминанием других встречающихся названий вводимых понятий). А с использованием различной терминологии они и так столкнутся (уже на первом курсе сталкиваются с терминологией, отличной от школьной). Но все-таки эта чехарда не в пределах одной книги должна быть. Вы же писали, что собираетесь в итоге составить учебник.
ИМХО :-)

> биградуировка (градуировка, проиндексированная группой Z\times Z)

Это же фактически получается просто две независимых градуировки, да?

Еще вот подумала, что можно дать задачу на то, когда алгебра Клиффорда является градуированной (получается, что только когда она Грассмана, а иначе градуировка только в Z_2, тут они сами до этой Z_2-градуировки и додуматься могут).

Определение 5.1. Надо не "M называется" а "пара (M,S) называется". Тем более что дальше потом такое обозначение используется.

Определение изоморфизма: надо "это такое отображение" заменить на "это такой морфизм".

Определение 5.5. Лучше, наверное, не "оно получено", а "его можно получить". А то с точки зрения русскоко языка не очень стыкуется со словом "метризуемо".

Задача 5.10. Наверное, стоит тут сказать, что при этом говорят, что вторая топология сильнее первой. Тем более, что дальше этого термина не хватает (например, в задаче 5.21).

Задачи 5.11 и 5.14. Опечатка с S_{\nu}.

Задача 5.13. Опять забыли написать, что V конечномерно :-)

Задача 5.14. Надо не "Топология на S_{\nu}", а "Топология S_{\nu}".

Определение 5.8. В Т0 надо добавить "несовпадающие" в "даны любые точки".

Задача 5.21. Надо бы добавить подзадачу доказать, что это действительно отношение эквивалентности.
Пункт (б) неверен. Надо определить топологию на М' как самую сильную из тех, при которых отображение непрерывно.

Определение 5.11. В последней строчке надо заменить М на В.

Задача 5.45. Она не на две звездочки тянет?

Задача 5.55.
1) Пункт (i) лишний, т.к. следует из (ii). Если все же выделять его отдельно, то после запятой надо изменить на "x \in lim любой подпоследовательности".
2) Надо добавить как минимум одну аксиому о том, что предел стационарной последовательности {x}^N содержит x (в частности, это необходимо, чтобы само М было открытым).
3) Пункт (б) неверен, и это разрушает Вашу стройную картину :-) Контрпример: кофинитная топология (т.е. замкнутые множества -- это все конечные + М). При переходе от топологии к последовательностям и затем снова к топологии мы получим снова кофинитную топологию, а она не удовлетворяет первой аксиоме счетности.
4) Пункт (г) неверен: S=S'.

Вообще эта теория ведь наверное есть в книжках, может, ее взять оттуда уже готовую (в смысле, аксиоматику для предела), а не изобретать заново? Вот операция замыкания как основа для определения топологии точно рассматривалась кем-то из основоположников топологии, я помню, только там аксиом больно много было.

Задача 6.4. "Отрезков" надо заменить на "интервалов".

Задача 6.5. Надо добавить условие UB=M.

Определение 6.3. "пространство"->"пространства", "виде"->"вида",
"M_1xM_2"->"(M_1xM_2, S)".

Задача 6.17. "\alfa_1(i)"->"\alfa_k(i)".

Указание к задаче 6.22 неверно.

Задачи 6.29-6.30. Везде опечатки с индексами второго уровня.

Задача 6.30. Надо добавить условие f|_A=0.

Замечание к задаче 6.33. Как-то не по-русски написано, лучше "Всякое польское топ.простр-во метризуемо".

Еще в Геометрию 5, мне кажется, хорошо бы добавить (со звездочками) несколько примеров каких-нибудь интересных экзотических пространств. Помнится, у нас на семинарах по топологии они были в довольно большом ассортименте.

Вообще, если у Вас получится такой учебник по всем "основам" -- это здорово. Я с удовольствием помогу чем смогу.

Получается типа "Теоремы Абеля в задачах и решениях" по структуре. У меня об этой книжке очень хорошие воспоминания, она была моей первой серьезной книгой по математике (после Перельмана, Гарднера и т.п.), у меня на нее в шестом классе полгода ушло (но я старательно прорешивала все задания). Тут большой плюс, что заниматься по такой книге можно где угодно, хоть в деревне. А сейчас умный студент в провинции практически предоставлен сам себе. Кстати, хорошо бы в конце каждого раздела приводить список рекомендуемой литературы для тех, кому эта тема понравилась и хочется двигаться дальше в этом направлении.

Спасибо за исправления! Просто замечательно!
Я все поправил.

> Задача 5.45. Она не на две звездочки тянет?

Пожалуй, да! Спасибо.

У меня была весьма простая конструкция, когда я эту задачу
придумал, но задним числом ясно, что ее так просто
не изобрести.

Насчет сходимостей:

3) Пункт (б) неверен, и это
> разрушает Вашу стройную картину :-)
> Контрпример: кофинитная топология (т.е.
> замкнутые множества -- это все конечные +
> М). При переходе от топологии к
> последовательностям и затем снова к
> топологии мы получим снова кофинитную
> топологию, а она не удовлетворяет
> первой аксиоме счетности.

Спасибо!
Да, там нужна другая аксиома счетности:
любой набор $S$ вложенных друг в друга
открытых окрестностей точки имеет счетную
подпоследовательность $R$, такую, что любой
элемент $S$ содержится в каком-то из $R$.
Она, впрочем, равносильна стандартной,
если верно условие отделимости Т3, а в
общей ситуации - слабее, конечно.

> 4) Пункт (г)
> неверен: S=S'.

Конечно! Спасибо.

Сейчас там следующее

\item Определим замкнутые подмножества в $M$ как подмножества
$Z\subset M$, содержащие все пределы всех последовательностей
$\{x_i\}\in Z$. Определим открытые подмножества как дополнения к
замкнутым. Докажите, что это задает топологию на $M$.

\item Пусть дана топология $S$ на $M$ со счетной базой окрестностей
любой точки. Определим пределы последовательностей, исходя из этой
топологии, как делалось выше. Докажите, что выполняются условия
(i)-(iv). Пусть $S'$ -- топология, полученная из пределов, как в
части (а). Докажите, что топологии $S'$ и $S$ совпадают.

\item Пусть в $M$ задан класс сходящихся
последовательностей, удовлетворяющий условиям
(i) - (iv), а $S'$ -- топология, построенная, исходя из пределов, как в
части (а). Предположим, что в $(M, S')$ выполнено условие отделимости Т3.
Будет ли в этом пространстве выполняться первая аксиома
счетности?

\item Возьмем несчетное множество со следующей
топологией: открытые множества есть дополнения к конечным
(такая топология называется кофинитной). Пусть $S'$ -
топология, построенная, исходя из пределов, как выше.
Найдите $S'$. Докажите, что в $S'$ не выполнена
первая аксиома счетности.

> Вообще эта теория ведь наверное есть в
> книжках, может, ее взять оттуда уже
> готовую (в смысле, аксиоматику для
> предела), а не изобретать заново? Вот
> операция замыкания как основа для
> определения топологии точно
> рассматривалась кем-то из
> основоположников топологии, я помню,
> только там аксиом больно много было.

Конечно, у Кэли например. Но там он дает
построение совершенно общее, с направленными
множествами и чуть ли не ультрафильтрами.
Идеологически здорово, а в реализации - кошмар.
Я пытался убрать оттуда всю теорию множеств,
видимо, это все-таки не получается (то есть нужна
аксиома отделимости Т3, или, как минимум,
хаусдорфовость).

> Указание к задаче 6.22 неверно.

Спасибо! Да, абсолютно. Кошмар.
А вообще, как это доказывать? Я никак не
могу сообразить.

Я сделал так

\begin{zadacha}[**]
Докажите, что если множество $I$ имеет мощность континуума
или больше, то тихоновский куб
$[0,1]^I$ несепарабелен.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
Пусть задано счетное подмножество $W$ хаусдорфова
пространства. Докажите, что мощность замыкания $W$
не больше континуума.
\end{ukazanie}

Две звездочки исключительно потому, что
теорему Кантора мы не доказывали (у студентов
была об этом лекция, но листка про это нет),
а понятие "мощность не больше" требует теоремы
Кантора-Бернштейна и аксиомы выбора (об этом
тоже была лекция, но никто ее не понял, кажется).

Уверен, что можно проще.

(prodolzhenie sejchas - ne umestilsya kommentarij)

> > Задача 5.45. Она не на две звездочки тянет?
> У меня была весьма простая конструкция, когда я эту задачу
> придумал, но задним числом ясно, что ее так просто
> не изобрести.

Я взяла в качестве точек конечные двоичные последовательности, а база топологии индексируется бесконечными двоичными последовательностями x, каждая такая окрестность состоит из всех конечных начальных кусков x. Но до этого додуматься не очень просто.

> Да, там нужна другая аксиома счетности:
> любой набор $S$ вложенных друг в друга
> открытых окрестностей точки имеет счетную
> подпоследовательность $R$, такую, что любой
> элемент $S$ содержится в каком-то из $R$.
> Она, впрочем, равносильна стандартной,
> если верно условие отделимости Т3, а в
> общей ситуации - слабее, конечно.

Я (до того, как это Ваше письмо увидела) проконсультировалась сегодня по этому поводу у Е.Г.Пыткеева (он тополог). Он говорит, что ему неизвестна простая аксиоматика предела, из которой для индуцированной топологии вытекала бы первая аксиома счетности при каких-то естественных доп. предположениях типа отделимости. По его словам, при вводе доп.условий получаются все более сильные условия типа счетности, но слабее первой аксиомы, она таким образом не получается вроде бы, по крайней мере он о таком не слышал.

А оно Вам вообще надо? В смысле, чтобы таким образом получались только пространства с 1 аксиомой? Пусть получаются всякие, главное, что все с 1 аксиомой мы можем получить таким образом, а лишние вроде и не мешают. На самом деле у Вас в условии пункта (б) так и было написано: "Будет ли выполняться?", но это я только сегодня обнаружила, до того было понятно, что на самом деле Вы имели в виду :-)

> \item Пусть в $M$ задан класс сходящихся
> последовательностей, удовлетворяющий условиям
> (i) - (iv), а $S'$ -- топология, построенная, исходя из пределов, как в
> части (а). Предположим, что в $(M, S')$ выполнено условие отделимости Т3.
> Будет ли в этом пространстве выполняться первая аксиома счетности?

Не думала еще над ответом, но мне не нравится, что сформулировано на языке топологии. Вот если бы это было как еще одна аксиома для предела...

> \item Возьмем несчетное множество со следующей
> топологией: открытые множества есть дополнения к конечным
> (такая топология называется кофинитной).

А действительно так называется? Я-то не в курсе, написала, чтобы как-то назвать :-)

> > Указание к задаче 6.22 неверно.
>
> Спасибо! Да, абсолютно. Кошмар.
> А вообще, как это доказывать? Я никак не
> могу сообразить.

Сама не знаю :-) Так что как минимум на две звездочки она тянет :-)

> \begin{ukazanie}
> Пусть задано счетное подмножество $W$ хаусдорфова
> пространства. Докажите, что мощность замыкания $W$
> не больше континуума.
> \end{ukazanie}

До такой идеи я не додумалась...

> а понятие "мощность не больше" требует теоремы
> Кантора-Бернштейна и аксиомы выбора (об этом
> тоже была лекция, но никто ее не понял, кажется).

Сын на экзамене в 10 классе сдавал как раз теорему Кантора-Бернштейна :-) Получил 2, так как начал рассказывать "свое" доказательство, отличное от того, которое приводилось в книжке. А их преподаватель такое сильно не любил.

> Уверен, что можно проще.

Так это вообще-то самое простое, наверное. Другое дело, что мощности использует, но сама по себе идея очень простая.

>Не думала еще над ответом, но мне не нравится,
>что сформулировано на языке топологии. Вот если бы это
>было как еще одна аксиома для предела...

Я думал об этом, но ничего понятного не придумалось.

>> (такая топология называется кофинитной).

>А действительно так называется? Я-то не в курсе,
>написала, чтобы как-то назвать :-)

Да вроде да, по крайней мере по-английски
http://planetmath.org/encyclopedia/Cocountable.html

Еще есть косчетная топология.

>> Уверен, что можно проще.

>Так это вообще-то самое простое, наверное.
>Другое дело, что мощности использует, но сама по себе идея
>очень простая.

Но оно, увы, не работает, если мощность меньше континуума,
но больше счетной.

Такие дела
Миша

> Но оно, увы, не работает, если мощность меньше
> континуума, но больше счетной.

Почему не работает?
Мощность замыкания не больше 2^{\omega}. А мощность куба равна 2^{\card I}. Получаем, что куб несепарабелен при \card I > \omega. И нужно тут знать только строгую монотонность степени.

Ага! Да, все так

Там у меня надо изменить, конечно, на "мощность куба больше либо равна 2^{\card I}".

> требует теоремы Кантора-Бернштейна и аксиомы выбора

Да, кстати, забыла написать. Вы пытаетесь обойтись без аксиомы выбора, а сами рассматриваете без оговорок гильбертов куб как ни в чем не бывало :-) Это Пыткеев заметил, которому я листочки с топологией показала.

А где там аксиома выбора? Я не в курсе, возможно.

Счетная аксиома выбора предполагается очевидной,
без нее нельзя.

Я не то чтобы пытаюсь обойтись без аксиомы выбора,
просто теорию множеств в разумном объеме мы им не давали,
так что использовать утверждения типа леммы Цорна
не очень хочется (хотя без них никак довольно часто).

Но в принципе, разумная математика должна строиться
на другой аксиоматике, типа аксиомы детерминированности
или (равносильного более-менее) утверждения, что
для любого разумного задания сигма-алгебры на
множестве, любое его подмножество будет измеримо.
Сейчас это нереально, конечно (даже не доказано,
что аксиома детерминированности не приводит к
противоречию, если обычная ZF-теория множеств
не приводит к противоречию).

Счетная аксиома выбора верна в такой ситуации все равно.

Такие дела
Миша

Ну как же, когда мы конструируем Тихоновский куб, иы же должны брать множество всех отображений из I в [0,1]. Если I несчетно, то счетной аксиомы выбора не хватит. Или я что-то не так понимаю?

> Да, там нужна другая аксиома счетности:
> любой набор $S$ вложенных друг в друга
> открытых окрестностей точки имеет счетную
> подпоследовательность $R$, такую, что любой
> элемент $S$ содержится в каком-то из $R$.

Наоборот, любой элемент $S$ содержит какое-то из $R$.

Но это тоже неверно. Возьмем топологию, в которой замкнуты, кроме М, все множества мощности

Это я неправильно, конечно, написала. Пример неподходящий: там рефлексивности не будет, топология S' получится не S, а дискретная, и 1-я аксиома счетности будет выполняться.

Но все равно, мне кажется, это Ваше утверждение неверно, не получится такого в общем случае. Я догадываюсь, как Вы хотите строить такую счетную подпоследовательность, но это построение зависит от выбора последовательности точек, а их ведь очень много, и в разных направлениях сходящихся, и для каждой будет свое R. Не получится там того, что Вам надо, по-моему.

Опять ошиблась... Действительно все получается, как у Вас написано, только Вам надо заменить "счетную подпоследовательность" на просто последовательность окрестностей (там может не получиться выбрать именно из этого набора).

Только я вот не пойму, каким образом из этого условия счетности и Т3 Вы первую аксиому счетности получаете?
Ну и в любом случае, наверное, тут без леммы Цорна не обойтись?

Аргумент примерно такой.

1. Пусть задана система $B$ вложенных и несовпадающих
окрестностей точки x, а пересечение всех этих
окрестностей равно x. Тогда у ней есть счетная
подпоследовательность окрестностей с таким свойством.

Если это не так, возьмем по точке в каждой из окрестностей,
не принадлежащей какой-то из следующих окрестностей, чтобы получилось несчетно
(тут нужна аксиома выбора). Получим множество $S$.
Предельной точкой этого множества будет $x$. Значит, в $S$ есть
счетная последовательность, сходящаяся к $x$. Соответствующие
открытые множества образуют счетную подпоследовательность в $B$.

2. Рассмотрим базу окрестностей в $x$. Пусть у нее есть несчетная
система окрестностей $B$, такая, что нет счетной последовательности
окрестностей $S_i$, которые (с какого-то номера) содержатся
в любом из $B$. Введем на $B$ полный порядок, и для
каждой окрестности $U$ заменим все последующие $U'$
на те, которые содержатся в $U$ и $U'$. Мы окажемся
в ситуации, описанной в шаге 1.

Две звездочки там, действительно,
обязательно должны быть - спасибо.

Такие дела
Миша

Ну да, я как раз о таком пути и думала. Но это же (пункт 2) -- трансфинитная индукция. Пока ординалы непредельные, все хорошо. А что Вы будете делать с предельным ординалом? Соответствующую окрестность придется заменять на окрестность, содержащуюся в ее пересечении со всеми окрестностями с меньшими номерами, пересечение это уже не будет открытым множеством. А откуда мы получим, что у него непустая внутренность, и наша точка в этой внутренности содержится?

Спасибо!
Я даже придумал контрпример (совсем простой):
берется континуальное количество прямых, и все
склеиваются в нуле. Такое топологическое пространство
не имеет счетной базы, между тем, все его подмножества, которые
содержат предельные точки (счетных) последовательностей,
замкнуты. То есть нужна как минимум локальная компактность.

Выкинул эту задачу.

Такие дела
Миша

(prodolzhenie)

> Еще в Геометрию 5, мне кажется, хорошо бы
> добавить (со звездочками) несколько
> примеров каких-нибудь интересных
> экзотических пространств. Помнится, у
> нас на семинарах по топологии они были в
> довольно большом ассортименте.

Обязательно, но коллега kaledin@lj
и так ругается из-за того, что общей топологии
чересчур много. Там самые интересные экзотические
пространства получаются из теории гиперболических
групп Громова - берется бесконечный граф (например,
граф Кэли для группы), на нем выбирается метрика такая,
что все ребра имеют длину $c$, затем устремяют $c$
к нулю и смотрят предел этой последовательности
по Громову-Хаусдорфу. Получаются совершенно монструозные
штуки (метризуемые, но по внутреннему устройству
очень странные). В этом направлении наука
будет активно развиваться, я думаю.

> Тут большой плюс, что заниматься по
> такой книге можно где угодно, хоть в
> деревне. А сейчас умный студент в
> провинции практически предоставлен сам
> себе.

> Вообще, если у Вас получится такой
> учебник по всем "основам" -- это здорово.
> Я с удовольствием помогу чем смогу.

Спасибо! В этом как раз идея. Концентрация
математики в Москве себя категорически
не оправдывает, особенно сейчас, когда
в Москве зарплата впятеро-вдесятеро больше,
чем по России в целом, и де-факто Москва
превращается в отдельное от России государство.

>хорошо бы в конце каждого раздела
>приводить список рекомендуемой литературы
>для тех, кому эта тема понравилась и хочется двигаться
>дальше в этом направлении.

Да, это обязательно нужно! Надо не забыть добавить.
"Теорема Абеля" совершенно блестящая. Еще были
Кириллов-Гвишиани "Задачи и теоремы функционального
анализа", тоже замечательные.

Такие дела
Миша

> коллега kaledin
> и так ругается из-за того, что общей топологии
> чересчур много.

А на этом топология кончается, или дальше еще будет? А то не хватает связности, например, это же очень общее понятие.
Ну и теорему Тихонова (о компактности произведения компактов) в принципе можно. Хотя может и не нужно...

У нас на матмехе лет 5-10 назад из программы убрали топологию. Вообще полностью (хотя вроде бы семестровый курс, как у нас был, когда я училась, много часов не отнимает, а базу дает хорошую). Так теперь, оказывается, ввели такой спецкурс (по общей топологии) для продвинутых магистрантов-шестикурсников. Ну и зачем им это на 6 курсе, если весь матан, функан и т.п. давно уже проехали...

> (например, граф Кэли для группы),
> предел этой последовательности по Громову-Хаусдорфу.

Ни того, ни другого не знаю :-)

Я под "экзотическими" имела в виду простые конструкции типа кофинитной (но Вы ее добавили), всякие хитро несвязные пространства (что-то там было с прямыми на плоскости с рациональными абсциссами, которые с чем-то соединялись... не помню уже подробностей) и т.п. То есть когда конструкция очень простая, никаких особых знаний не требующая, но свойства совершенно неожиданные.

Интересно, как у вас студенты продвинулись за полтора месяца? Какая статистика примерно? И решает ли кто-нибудь полностью все задачи со звездочкой вместо простых?

Теперь вся геометрия (осталось где-то 4 листка) будет
исключительно топология.

План такой примерно - листок 7 - компакты, листок 8 - связность,
линейная связность, листки 9-10 - фундаментальная группа,
начала топологии римановых поберхностей.

Теоремы Тихонова и Арцела-Асколи желательны, не знаю,
удастся ли их туда запихнуть (все-таки компактность
тихоновского куба эквивалентна аксиоме выбора).

>У нас на матмехе лет 5-10 назад из программы
>убрали топологию. Вообще полностью (хотя вроде бы
>семестровый курс, как у нас был, когда я училась,
>много часов не отнимает, а базу дает хорошую).

На мех-мате МГУ топологии тоже, кажется, нет. Люди
изучают когомологии де Рама для двумерной сферы в
курсе анализа (там же, где теорема Стокса), но уже
для многомерной схемы ничего не формулируется.

> (например, граф Кэли для группы),
> предел этой последовательности по Громову-Хаусдорфу.

Это очень просто - граф Кэли для группы с образующими
$t_1, ... t_n$ рисуется так - вершины это ее элементы,
а ребрами соединяются такие элементы $g$, $g'$, что
$g' g^{-1}= t_i$ либо $g' g^{-1}= t_i^{-1}$.

Для $\Z^n$ получается кубическая решетка, а
для свободной группы с двумя образующими - бесконечное
бинарное дерево.

А предел последовательности метрических пространств
по Громову-Хаусдорфу определяется как предел в метрике
Громова-Хаусдорфа на множестве всех метрических пространств.
Последняя же определяется так: $d(X,Y)$ есть инфимум
$\epsilon$ таких, что $X$ и $Y$ можно изометрично
вложить в третье метрическое пространство $Z$, причем
$X$ будет в $\epsilon$-окрестности $Y$, а $Y$ будет
в $\epsilon$-окрестности $X$. Громов доказал, что
множество всех (кажется, полных, локально компактных
и с диаметром, ограниченным $C$) метрических пространств
компактно в топологии Громова-Хаусдорфа.

Я думал, что это у нас в листочках есть, а сейчас посмотрел -
нету. Выпало по дороге, видимо. Но теорема фантастически
важная - один из самых важных результатов математики
за последние 50-100 лет.

>Интересно, как у вас студенты продвинулись
>за полтора месяца? Какая статистика примерно? И решает
>ли кто-нибудь полностью все задачи со звездочкой вместо простых?

Ходят очень мало (большинство переметнулось в конкурирующую
лавочку (http://ium.mccme.ru/current.semester/alg1s.html)). Примерно половина решают только задачи со звездочкой,
остальные и те и те (хотя многие из тех, студентов кто решают простые,
не могут решить большую часть из тех, которые со звездочкой).
Продвинулись же они неплохо - листков 6-7 сдали человек
5, это почти половина из тех, кто регулярно ходит.

Но в принципе, конечно, ужас - принимающих вчера
пришло трое, студентов тоже трое, один все сдал и
ушел сразу, а ближе к концу первой пары подошел еще
студент и все время, пока сидел, решал задачи,
сдал же их в последние 20 минут.

Конечно, в Независимом Университете
человек 5 и остаются к третьему курсу, но все равно
оно чрезвычайно безрадостно.

Такие дела
Миша

> На мех-мате МГУ топологии тоже, кажется, нет. Люди
> изучают когомологии де Рама для двумерной сферы в

А у нас и такого не было. Топология у нас была только общая. Слова "гомология" и "когомология" у нас вообще не звучало, равно как и "фундаментальная группа".

> Последняя же определяется так: $d(X,Y)$ есть инфимум

А, ну я такое читала где-то когда-то, только не помнила, как называется.

> компактно в топологии Громова-Хаусдорфа.

Что-то я не пойму. А вот этот предел для "бесконечного бинарного дерева" при длине ребра -> 0 -- это что за пространство будет? Ну или проще: возьмем квадратную решетку на плоскости, и тоже устремим длину ребра к нулю. Это в пределе будет обычный квадрат с метрикой по норме |x|+|y|, что ли?

> Я думал, что это у нас в листочках есть, а сейчас
> посмотрел - нету. Выпало по дороге, видимо.

Она у вас будет с доказательством?

>Что-то я не пойму. А вот этот предел для
>"бесконечного бинарного дерева" при длине ребра -> 0 -- это что
>за пространство будет?

Будет окружность.
Но чтобы аккуратно говорить, надо брать не граф целиком,
а его область, отстоящую от заданной точки на расстояние
d, иначе у нас получится неограниченное метрическое
пространство и компактности не будет.

>Ну или проще: возьмем
>квадратную решетку на плоскости, и тоже устремим длину
>ребра к нулю. Это в пределе будет обычный
>квадрат с метрикой по норме |x|+|y|, что ли?

Ага!

> Она у вас будет с доказательством?

Ну там практически доказательство есть
(задача 4.22). Чтобы довести его до утверждения
про метрику Громова-Хаусдорфа на множестве
метрических пространств, надо построить
"пространство Урысона" $U_r$, то есть такое метрическое
пространство, куда любое другое сепарабельное метрическое
пространство (диаметра меньше $r$) изометрически
вложится. Это нетрудно в принципе (надо просто все
возможные точки добавлять одна за другой, а потом
брать пополнение).

Такие дела
Миша

> Будет окружность.

Как это??? Ничего не понимаю... Это пространство же должно обладать каким-то совйством типа того, что для любого a (меньшего половины диаметра) существует достаточно много точек с попарными расстояниями между ними, равными a. А окружность такому не удовлетворяет.

> Но чтобы аккуратно говорить, надо брать не граф целиком,

Да, это я поняла.

А когда следующие листки появятся?
Во втором семестре система занятий останется прежней, по листкам, или это только первый семестр так?

>Это пространство же должно обладать каким-то совйством типа того, что
>для любого a (меньшего половины диаметра) существует достаточно
>много точек с попарными
>расстояниями между ними, равными a.
>А окружность такому не удовлетворяет.

Прошу прощения - я уже сам стал сомневаться -
может и не окружность (что край
его переходит в окружность, довольно ясно, а что
делается с серединой - я перестал понимать). Но вообще-то,
в пределе может быть меньше точек - это дело не обязано
туда вкладываться.

> А когда следующие листки появятся?

На следующей неделе, скорее всего, я уже
доделываю.

Насчет же следующего семестра я ничего не знаю,
думаю, что в НМУ наш "эксперимент" никакого
сочувствия не нашел.

>Во втором семестре система занятий останется прежней, по листкам

Я бы и в первом семестре не стал делать по листкам
(в плане было где-то 25 часов листков и 60 часов лекций,
но под давлением администрации пришлось его поменять).
Система "только листки" порочная, в принципе говоря,
ее имеет смысл применять только если студентов очень много
и они все совершенно разного уровня - в этом случае
любые лекции будут кому-то скучны либо непонятны,
и они начнут отсеиваться один за другим, пока
все не разбегутся.

Такие дела
Миша

> может и не окружность

Точно не окружность :-)

> (что край его переходит в окружность, довольно ясно,
> а что делается с серединой - я перестал понимать).

Откуда у Вас вообще окружность появилась?
Если Вы под краем понимаете терминальные точки, то их совокупность, мне кажется, переходит во что-то типа P{[0,1]}, P -- множество подмножеств, с расстоянием
d(X,Y)=1-inf{X+Y-XY}. Вот не соображу, компактно ли оно.

> Но вообще-то, в пределе может быть меньше точек -
> это дело не обязано туда вкладываться.

Но свойства типа "существует N точек с попарными расстояниями 1" все равно должны сохраняться, насколько я понимаю.

Здравствуйте, Марина,
сильно предварительная версия двух новых листочков вот
http://imperium.lenin.ru/~verbit/MATH/MCCME/listki/geom7.ps
http://imperium.lenin.ru/~verbit/MATH/MCCME/listki/geom8.ps

В восьмом листочке пропущено несколько картинок.

Очень буду признателен, как всегда, за комментарии.
Скоро будет еще несколько листочков.

>Если Вы под краем понимаете терминальные точки

Под краем здесь я понимаю точки на расстоянии 1
от нуля. Это будет пополнение множества двоично рациональных
точек окружности, с естественным расстоянием между ними.

Весь же предел - это следующая удивительная штука.
Возьмем окружность и точку $(0,0)$, и доклеим к ней
континуально много букв Т (то есть графов, склеенных
из трех отрезков), следующим образом.

Для любой пары точек $x, y$ на окружности, на расстоянии
$a$ друг от друга, приклеим к ней букву Т, с верхней перекладиной
длины $a$, а ножкой длины $1-a$. Два верхних конца
приклеиваем к этой паре точек, а нижний конец
к нулю.

Теперь, если заданы три точки $x, y, z$ на окружности, склеим
куски букв T, соответствующих $x, y$ и $x,z$, таким
образом: более короткая ножка целиком приклеивается
к более длинной, а продолжение более длинной ножки
клеится к тому плечу буквы Т, которое уходит в $x$.
Мы получаем что-то вроде буквы Ш (или еврейской
шин) на ножке. Склеим все буквы Т таким образом.

После этих склеек мы получим нечто вроде
бинарного дерева, которое разветвляется
в каждой точке континуума, а концы его
приклеены к окружности.

Такие дела
Миша

Добрый вечер, Миша.

Листки я смогу посмотреть не раньше среды...

>>Если Вы под краем понимаете терминальные точки
> Под краем здесь я понимаю точки на расстоянии 1 от нуля.

Ну да, я их и имела в виду -- терминальные точки графа, обрезанного по сфере радиуса 1.

> Это будет пополнение множества двоично рациональных
> точек окружности, с естественным расстоянием между ними.

Не понимаю.
Во-первых, откуда берется замыкание в окружность?
Во-вторых, "естественное расстояние" -- это что имеется в виду? Обычное расстояние в R не годится. По идее, здесь надо брать бесконечные двоичные дроби, а расстояние определять как 1 минус доля начальной части, в которой цифры двух дробей совпадают, среди всех цифр. Но это будет либо 0 для совпадающих дробей, либо 1 для несовпадающих, и нужного расстояния не получится. Я поэтому и взяла в прошлом письме в качестве точек подмножества [0,1], чтобы расстояние можно было определить нормально.

>Листки я смогу посмотреть не раньше среды...

Все равно спасибо! В среду будет даже
предварительно-окончательная версия.
Сейчас нас останавливает в основном необходимость
нарисовать картинки.

>Во-вторых, "естественное расстояние" -- это что имеется в виду?

На окружности, как на многообразии, то есть $R/Z$. Надо так
отнормировать, чтобы расстояние от точки до противоположной было 1.

Будем устремлять длину ребра графа к нулю
как 1/2, 1/4, 1/16 ... На шаге k у нас будет
двоичное дерево длины k.

Тогда терминальные точки естественно
отождествляются с двоично рациональными
точками вида a/2^k , причем расстояние между
точками вида a/2^k, b/2^k измеряется как
2|a-b|/2^{k}. Это потому, что расстояние
между терминальными точками измеряется как
удвоенная длина плеча минимальной буквы Т,
соединяющей эти точки и ноль.

Предел этого дела - очевидно окружность.

Вообще есть теорема, что для каждой "гиперболической
группы" край громовского предела ее графов Кэли
будет всегда гладким многообразием. Про такие
вещи есть чудесная книжка: М. Громов,
"Гиперболические группы".

http://uchebn.shopbrowser.ru/sbproduct-574864.html
http://www.ozon.ru/?context=detail&id=984188&partner=metas

Такие дела
Миша

> причем расстояние между
> точками вида a/2^k, b/2^k измеряется как
> 2|a-b|/2^{k}.

Так это неправильное расстояние! Не измеряет оно "удвоенную длину плеча минимальной буквы Т". Например, точки 100..0 и 011..1 у Вас по этой метрике лежат очень близко, а на самом деле они на максимально возможное расстояние удалены друг от друга. Расстояние разностью не определяется никак (одна и та же разность может быть у чисел, находящихся на самых разных расстояниях друг от друга по графу), оно задается поцифровым сравнением с остановкой на первой несовпавшей цифре.

Предел того, что Вы пишете, -- действительно окружность, и это еще раз показывает ошибку, так как в окружность склеивается интервал [0,1), и при этом максимально удаленные (в графе) друг от друга крайние терминальные точки склеиваются в одну, а при изометрическом вложении так получиться не может (т.е. точка, очень близкая к правому концу, находится на расстоянии 1 от левого конца, а при склеивании становится очень близка к этому левому).

Ага! прошу прощения, предел терминальных
точек это, конечно, не то (а теорема
о гладкости края гиперболической группы
имеет другую формулировку и тут неприменима,
очевидно).

Запишем конец бинарного дерева длины $n$
последовательностью 1010110...
("право" соответствует 1, "лево" 0).
Расстояние между этими концами равно
$2^{k-n}$, где $k$ - первый индекс,
где эти числа различаются.

Это 2-адическая метрика, значит
предел есть 2-адическое пополнение
двоично-рациональных чисел,
то есть 2-адический шар Z_2.

В той конструкции громовского предела,
которую я привел выше, надо заменить
везде слова "окружность" на
"Z_2" и оно, кажется, будет
правильно.

Такие дела
Миша

> Расстояние между этими концами равно
> $2^{k-n}$, где $k$ - первый индекс,
> где эти числа различаются.

Вы не забыли, как Вы определяли метрику?
Она определялась так:

> берется бесконечный граф (например,
> граф Кэли для группы), на нем выбирается метрика такая,
> что все ребра имеют длину $c$

:-)))

Угу, c = 1/n, значит расстояние - k/n.

Надо думать

Такие дела
Миша

То пространство, про которое я писала выше (с подмножествами отрезка, только там написано [0,1], а надо брать [0,1)), подходит как пространство, куда вкладывается вся эта последовательность (я имею в виду границу; остальное легко строится как прямая сумма по a таких пространств, соответствующих [0,а), метрика доопределяется очевидным образом). Но оно не будет пределом, так как есть точки, к которым не сходятся точки из этой последовательности, например, множество рациональных точек из [0,1}.

Я кажется поняла, что получится в пределе.

Ограничимся графами G_n, высота которых -- 2^n.
Рассмотрим пространство М, точками которого являются объединение интервалов из [0,1] с концами в двоично-рациональных точках. Введем на М метрику, как я писала раньше: d(X,Y)=1-inf{X+Y-XY} (в скобках - симм.разность).
G_n следующим образом изометрически вкладывается в М: для точки x \in G_n первая цифра x определяет, включается ли первый интервал длины 2^{-n}, т.е. [0,2^{-n}], в F(x), вторая цифра -- второй интервал, и т.п.
Тогда искомым пределом будет, видимо, замыкание объединения образов G_n в М. А этим замыканием будет, наверное, множество таких элементов Х пространства М, для которых для любого c<1 пересечение X с [0,c] состоит из интервалов, длины которых ограничены снизу положительной константой.

Это примерная конструкция, тщательно я ее не обдумывала, может там еще что-нибудь поменять надо.

Да, не написала, что замыкание -- это потому, что тут проективный предел этих образов F(G_n) получается, т.е. получается цепочка вложенных подмножеств М (заодно мы определили согласованные вложения G_n->G_m при n<m).

Вся вышеописанная (мной) конструкция не проходит по той причине, что получившееся пространство некомпактно. Более того, сама приведенная конструкция вложения не годится для получения компакта, поскольку в объединении образов имеется бесконечное количество точек, отстоящих друг от друга на попарные расстояния >1/2. Видимо, ошибка была в том, что искалось одно общее для всех графов и предела объемлющее пространство.

Но при всем при том я не понимаю, каким образом получается, что построенное (некомпактное) пространство все-таки является пределом G_n по метрике Громова-Хаусдорфа? (Расстояния-то от замыкания объединения до G_n стремятся к 0.) Получается, что есть предел среди компактных пространств, и есть другой предел среди некомпактных? А метрика Громова-Хаусдорфа, получается, должна определяться только на компактных пространствах, чтобы этого противоречия не возникло?

>Но при всем при том я не понимаю, каким
>образом получается, что построенное (некомпактное)
>пространство все-таки является пределом G_n по
>метрике Громова-Хаусдорфа?

Насколько я понимаю, громовский предел
компактных пространств всегда компактен.

>Видимо, ошибка была в том, что искалось одно общее для всех графов и
>предела объемлющее пространство.

Так оно и строится - есть такое пространство Урысона,
в которое изометрически вкладывается любое метрическое
пространство (разумной мощности), и громовский предел
нужно искать именно там. Насколько я понимаю.

>А метрика Громова-Хаусдорфа, получается,
>должна определяться только на компактных пространствах

На некомпактных ее нельзя определить (получится вырожденная).

Такие дела
Миша

Нет, я потом посмотрела Ваше письмо про теорему Громова: там написано про локально компактные пространства. Локально компактное пространство может и получиться.

> Насколько я понимаю, громовский предел
> компактных пространств всегда компактен

Так точно не получится, если верна теорема Громова в Вашей формулировке. Поскольку вот те границы деревьев G_n (высоты 2n и диаметра 2) -- они все компактны и т.д. А предельная точка этой последовательности таки некомпактна, поскольку содержит сколь угодно большие конечные множества точек, попарные расстояния между которыми больше 1-\epsilon, для любого \epsilon>0, что противоречит ее компактности.

Мне тут другое непонятно.
G_n обладает следующим свойством: для любого n в G_n существует 2^n точек, попарные расстояния между которыми не меньше 1. Отсюда получаем, что для фиксированного m для всех достаточно больших n имеем расстояние Г-Х между G_n и G_m больше 1/2. Насколько я понимаю, тогда у этой последовательности нет предельной точки, а это противоречит сформулированному Вами утверждению о том, что пространство всех (ограниченных и т.п.) пространств с метрикой Г-Х компактно.
Возможно, там в формулировке теоремы Громова все же полнота, а не компактность?

В общем, то, что я написала выше -- это, конечно, никакой не предел, т.е. поточечно вроде бы предел, но не по метрике Г-Х.

Я вообще не понимаю, оказывается: а какое расстояние в метрике Г-Х между деревьями высоты n и 2n (и диаметра 1, конечно)? Ну или между какими-то другими, пусть высоты n и m, но чтобы формула работала при некуоторых больших n, m?

> Я вообще не понимаю, оказывается: а
> какое расстояние в метрике Г-Х между
> деревьями высоты n и 2n (и диаметра 1,
> конечно)?

Их можно "почти изометрично"
нарисовать на плоскости Лобачевского,
для очень сильно искривленной плоскости
Лобачевского. Причем единичный круг
в плоскости Лобачевского будет довольно
хорошо приближать дерево, в том смысле,
что громовское расстояние между ними
будет довольно небольшое. Это связано
с тем, что треугольник на плоскости
Лобачевского отличается от треугольника на
дереве на число, которое оценивается сверху
через \delta = 1/кривизну - с точностью до
\delta, геодезический треугольник на плоскости
Лобачевского эквивалентен геодезическому
треугольнику на дереве.

То есть громовский предел деревьев есть
громовский предел единичных кругов в плоскости
Лобачевского, когда гауссова кривизна стремится
к -\infty. Что это за штука, мне весьма интересно.

Такие дела
Миша

Что-то я ничего не поняла здесь...
И что такое единичный круг на плоскости Лобачевского с очень большой кривизной -- тоже не поняла. Куда этот круг поместится-то?

Рассмотрим треугольник на плоскости Лобачевского.
Его площадь это его сумма углов. Если площадь
маленькая, стороны практически не отстоят
друг от друга (сторона идет вплотную
с одной стороной, а потом расходится
с ней, и идет вплотную с другой), и
треугольник напоминает нарисованный
на дереве.

Сумма углов равностороннего
треугольника со сторонами 1 это
инвариант плоскости Лобачевского,
который обратно пропорционален кривизне
ее (с минусом). Если мы устремляем кривизну
к бесконечности, этот треугольник
превращается в треугольник на дереве.

> Локально компактное пространство может
> и получиться.

Да, возможно. Хотя в природе обыкновенно
получаются компактные штуки.

>сформулированному Вами утверждению о
> том, что пространство всех
> (ограниченных и т.п.) пространств с
> метрикой Г-Х компактно.

Предкомпактно, строго говоря - то есть
каждое ограниченное замкнутое подмножество
компактно.

Насчет противоречия - надо подумать.

Такие дела
Миша

Предкомпактность тоже не получается: все эти G_n находятся в шаре радиуса 1 с центром в одноточечном пространстве. Берем замыкание, оно тоже будет в этом шаре, и... никакой предельной точки.

Определение 7.1. ЕМНИП компактом называется только хаусдорфово компактное пространство, нет?

Задача 7.2. Почему со звездочкой?

Извините, дальше топологию что-то сейчас смотреть тоскливо, потом посмотрю :-)
Кстати, где-то в начале топологии (в старых листках) бы дать определения внутренности и границы, с ними удобнее.

Основная теорема алгебры.
Как-то странно включать ее в тему компактности :-)

Задача 7.41. x->|x|, a_i->|a_i|.

Задача 7.42. x->|x|. Нужно еще ограничение на R.

Указание к 7.43. |z|->|x|. При чем тут граница? Внешность, наверное?

Следующий абзац: два куска переставлены местами.
Надо бы назвать тот многочлен, который получился, другой буквой, например Q(z), а то нехорошо, и дальше уже ее писать.

Дальше, ИМХО, идет какое-то корявое доказательство того, что миним.значение 0, я его не разбирала. Ненаглядно совершенно. Я бы просто взяла маленькую окружность с центром в нуле и посмотрела на то, что происходит с Q(z), когда z эту окружность пробегает. Понятно, что это будет кривая, обходящая вокруг 1 и не проходящая через 1 (последнее получается оценкой разности (Q-1)/z^k -- что она не обращается в 0). Значит, пересекает интервал (0,1) на вещ.оси, значит, есть значения у Q с меньшим модулем.

Задача 7.44. Что-то все напутано. Если неравенство для х как написано, то в "докажите" надо, что <1, а не того сложного, что у вас в правой части.

Привет!
листочки уже раздали студентам (в более разумном виде)
http://www.livejournal.com/users/tiphareth/511929.html

>компактом называется только хаусдорфово компактное пространство, нет?

Сейчас уже не только хаусдорфово (реэкспорт англоязычной
терминологии). В более старых русских книжках это
дело называлось бикомпакт, сейчас уже компакт
(начиная, видимо, с Рохлина и Фукса)

>Задача 7.2. Почему со звездочкой?

Чтобы не перегружать основного курса.
Это пространство довольно безумное, незачем
требовать такие вещи со всех.

>Основная теорема алгебры.
>Как-то странно включать ее в тему компактности

Доказательство аналитическое! Есть еще топологическое
доказательство (через односвязность) и алгебраическое
(через симметрические полиномы).

>Понятно, что это будет кривая, обходящая вокруг
>1 и не проходящая через 1 (последнее получается оценкой
>разности (Q-1)/z^k -- что она не обращается в 0).
>Значит, пересекает интервал (0,1) на вещ.оси, значит,
>есть значения у Q с меньшим модулем.

Этот аргумент тоже будет, но он требует по сути
чего-то типа фундаментальной группы, соответственно
он будет именно тогда.

>Извините, дальше топологию что-то сейчас смотреть тоскливо

А чего так? Что-то не так я делаю?

Такие дела
Миша

> А чего так? Что-то не так я делаю?

Нет, это мои личные заморочки :-)
Просто лично для меня в алгебре по ходу дела было много нового, а тут все давно знакомое (хотя и подзабытое конечно, но все-таки). Поэтому проверка выливается в довольно нудное прорешивание всех задач подряд, что не очень интересно :-) Наверное, для тех, для кого этот материал новый, это занятие интересно. Постараюсь все-таки в ближайшие дни просмотреть, но прорешивание всего подряд не обещаю :-)

Еще такое пожелание, не знаю, правда, насколько это для Вас сложно сделать... Мне очень нравятся учебники Арнольда еще и потому, что у него минимум формул и максимум наглядных объяснений на словах. У Вас, мне кажется, этого не хватает. Как-то бы объяснять словами перед очередной серией задач, какая у нас сейчас цель и каким образом мы ее собираемся достигнуть. Тогда задачи, идущие после объяснения, не будут восприниматься как "вещь в себе".

Пока парочка замечаний по началу Геометрии 9.

Указание к задаче 9.14. Мне кажется, такие указания давать неприлично :-) Дети могут обидиться (что их совсем уж за дураков держат). А вот к задачам 9.2, 9.5 можно бы и дать указания.

Задача 9.15. Не очень понятно зачем, это ж просто определение переформулированное.

> Этот аргумент тоже будет, но он требует по сути
> чего-то типа фундаментальной группы, соответственно
> он будет именно тогда.

Понятно. Посмотрела оставшуюся часть доказательства.
Начиная с задачи 7.44 там какая-то путаница, мне проще не перечислять ошибки, а переделать. Я бы написала примерно так этот кусок:

(тьфу, уже в который раз оттправляю, и после этого опечатку замечаю. Извините.)
------------------------------
Для упрощения обозначений, мы будем в дальнейшем
предполагать, что минимум $|P|$ достигается в нуле.
Мы хотим доказать, что минимум $|P|$ равен нулю.
Пусть это не так. Пусть $k$ -- самое маленькое число
среди $1, 2, 3, \dots, n$, для которого
$a_k\neq 0$.
Домножив $P$ на $a_0^{-1}$, и сделав замену
$x=z\sqrt[k]{a_k^{-1}}$, мы получим многочлен вида
\[
Q(z) = 1 + z^k + b_{k+1} z^{k+1} + b_{k+2} z^{k+2} + ...
\]

\begin{zadacha}[!]
Докажите, что для любого
комплексного $z$ с $|z|< (1/2)\max \left(1, \sum |b_i|\right)^{-1}$,
\[
\frac{|Q(z)-1 - z^k| }{|z^{k}|}<1/2.
\]
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
Выведите из этого, что для любого положительного
вещественного $\epsilon< (1/2)\max \left(1, \sum |b_i|\right)^{-1}$
и любого комплексного $z$ с $|z|<\epsilon$ выполняется
\begin{equation}\label{_sqrt_main_TA_Equation_}
\left|Q\(z)\right|< 1-\epsilon^k/2.
\end{equation}
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
Выведите из \eqref{_sqrt_main_TA_Equation_}, что
в окрестности нуля $Q$ принимает значения, меньшие по модулю, чем $1=Q(0)$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
Докажите Основную Теорему Алгебры:
каждый многочлен $P$ положительной степени имеет
корень в $\C$.
\end{zadacha}
------------------------------

По поводу идей, связанных с фунд.группой. Несколько дней назад на Турнире Колмогорова (он у нас впервые проходил) была забавная задачка, решающаяся с помощью похожих идей:

Дан многочлен P(x)=(x-i-1)(x-i-2)...(x-i-n). Доказать, что его вещественная часть имеет n вещественных корней.

Там можно еще числа 1,2,....n заменить на любые вещественные. Может, ее включить в ту будущую тему (под двумя звездочками), для разнообразия? Только я автора задачи не знаю, надо будет спросить, а то без указания нехорошо. Ну или в крайнем случае сослаться на Турнир Колмогорова - 2004.

> Еще такое пожелание, не знаю, правда, насколько это для
>Вас сложно сделать... Мне очень нравятся учебники
>Арнольда еще и потому, что у него минимум формул и
>максимум наглядных объяснений на словах. У Вас, мне
>кажется, этого не хватает. Как-то бы объяснять словами
>перед очередной серией задач, какая у нас сейчас цель и
>каким образом мы ее собираемся достигнуть.

Это обязательно надо сделать, при издании этого
дела в виде книжки. Но когда их раздают людям
на руки, тут чем короче, тем лучше, чтобы
не погрести студентов под бумажным ворохом.

> Указание к задаче 9.14. Мне кажется, такие
> указания давать неприлично :-) Дети
> могут обидиться (что их совсем уж за
> дураков держат).

Я убрал. Но вообще, не все подряд решают,
и полезно указать людям, чтобы посмотрели
предыдущее.

Все остальное выполнено, за исправления прямо в ТеХе -
отдельное спасибо.

По поводу добавления задачи с Колмогорова - обязательно,
если будет место (слишком большие листочки могут напугать
студента, и я стараюсь дозировать).

Такие дела
Миша

Про задачу с турнира Колмогорова: я посмотрела в исходниках, откуда отбирались задачи для турнира, там написано: Selection Test for the IMO, Shabac, 18.04.2004.

Ой, посмотрела и увидела, что ошибочка вышла. Надо так (стало еще короче :)
------------------------------------------------
Для упрощения обозначений, мы будем в дальнейшем
предполагать, что минимум $|P|$ достигается в нуле.
Мы хотим доказать, что минимум $|P|$ равен нулю.
Пусть это не так. Пусть $k$ -- самое маленькое число
среди $1, 2, 3, \dots, n$, для которого
$a_k\neq 0$.
Домножив $P$ на $a_0^{-1}$, и сделав замену
$x=z\sqrt[k]{a_k^{-1}}$, мы получим многочлен вида
\[
Q(z) = 1 + z^k + b_{k+1} z^{k+1} + b_{k+2} z^{k+2} + ...
\]

\begin{zadacha}[!]
Докажите, что для любого
комплексного $z$ с $|z|< \max \left(1, \sum |b_i|\right)^{-1}$,
\[
\frac{|Q(z)-1 - z^k| }{|z^{k}|}<1.
\]
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
Выведите из этого, что для любого положительного
вещественного $\epsilon< \max \left(1, \sum |b_i|\right)^{-1}$
и любого комплексного $z$, для которого $z^k=-\epsilon$ выполняется
\[
\left|Q\(z)\right|< 1.
\]
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
Докажите Основную Теорему Алгебры:
каждый многочлен $P$ положительной степени имеет
корень в $\C$.
\end{zadacha}

Миша, а Вы в ближайший месяц этими листками заниматься будете?

Задачу 9.10, мне кажется, логичнее дать сразу после задачи 9.1. Тогда будут сначала свойства R и связные подмножества, потом R^n и связные подмножества.

Я уже писала, что к задачам 9.4, 9.5 хорошо бы указания дать. Я их умею просто решать через линейную связность, но детям-то еще про это не рассказывали. 9.4 еще можно догадаться, заглядывая вперед, через накрытие, которое связно, как непрерывный образ связного, но в 9.5 связность плоскости со многими выколотыми точками я не соображу, как без линейной связности доказывать, а накрытие у нее сложное.
А вообще про линейную связность вы будете рассказывать?

В задаче 9.21 надо еще какое-то условие отделимости, иначе неверно.

Указание к задачам 9.14 и 9.22 ИМХО излишни.

Задача 9.23. Как доказывать, что М_1 вполне несвязно, я не поняла... Может, указание тут дать?

Задача 9.25. Не хватает понятия наследственного свойства (оно и в старых листках было бы кстати), мне кажется, надо бы его дать где-то. Поскольку хаусдорфовость наследственна, то P хаусдорфово, компактно (как замкнутое подпр-во компакта) и вполне несвязно. Дальше про М можно забыть и ограничиться рассмотрением Р как основного пространства. Все становится гораздо нагляднее, и предыдущая задача не нужна.

Задача 9.26. Не соображу, как доказывать :-)

Задача 9.28. Пропущено М в "отображений в {0,1}".
Не помню, термин "вложение" подразумевает непрерывность?

Замечание к задаче 9.29. Надо "в пространство Х" вместо "в пространство Y".

Кстати, Вы список рекомендованной литературы еще не добавляете в листки? А то кое-кто из студентов уже сейчас бы книжки читал, если б знал, какие. Читать параллельно с задачами было бы полезно.

>Миша, а Вы в ближайший месяц этими
> листками заниматься будете?

Обязательно! Там еще где-то 6 листков осталось сделать.

> Я уже писала, что к задачам 9.4, 9.5 хорошо бы
> указания дать. Я их умею просто решать через
> линейную связность, но детям-то еще про это
> не рассказывали.

Абсолютно! Я планировал сделать еще секцию про
линейную связность, но не получилось.
Теперь добавлено.

> А вообще про линейную связность вы будете
> рассказывать?

Конечно! Там же, где фундаментальная группа.

> В задаче 9.21 надо еще какое-то условие
> отделимости, иначе неверно.

Спасибо! Да, это недосмотр.

> Задача 9.23. Как доказывать, что М_1 вполне
> несвязно, я не поняла... Может, указание тут
> дать?

Ага.
Там было что-то, но коллега убрал за банальностью.
Я написал

\begin{ukazanie}
Если $S\subset M_1$ связно, то прообраз
$\pi^{-1}(S)$ тоже связен. Действительно, если
$W\subset \pi^{-1}(S)$ открытозамкнуто,
$W= \pi^{-1}(W_1)$ (если $W$ пересекается
со связной компонентой $M$, $W$ ее содержит).
Но тогда $W_1$ открытозамкнуто.
\end{ukazanie}

> Задача 9.25. Не хватает понятия
> наследственного свойства (оно и в старых
> листках было бы кстати), мне кажется, надо бы
> его дать где-то. Поскольку хаусдорфовость
> наследственна, то P хаусдорфово, компактно
> (как замкнутое подпр-во компакта) и вполне
> несвязно. Дальше про М можно забыть и
> ограничиться рассмотрением Р как основного
> пространства. Все становится гораздо
> нагляднее, и предыдущая задача не нужна.

В типичной ситуации, $P$ состоит из двух точек.
Я не очень понимаю, как этому помогает наследственность.

> Задача 9.26. Не соображу, как доказывать :-)

\begin{ukazanie}
Пусть дано открытое подмножество $U\subset M$ и в нем
точка $x$. Возьмем у каждой точки $M\backslash U$
открытозамкную окрестность, не содержащую $x$
(докажите, что это можно сделать).
Мы получим покрытие $\{U_\alpha\}$
множества $M\backslash U$.
Поскольку $M\backslash U$ компактно,
из $\{U_\alpha\}$ можно выбрать конечное
подпокрытие $U_1, ... U_n$. Докажите, что
дополнение к $\cup U_i$ открытозамкнуто,
содержит $x$ и содержится в $U$.
\end{ukazanie}

> Задача 9.28. Пропущено М в "отображений в
> {0,1}".
> Не помню, термин "вложение" подразумевает
> непрерывность?

Вообще-то нет. Правильно было бы пользоваться
категорным языком и вместо "отображения"
везде писать "морфизм".

Все остальное тоже поправил, спасибо!

> Кстати, Вы список рекомендованной
> литературы еще не добавляете в листки? А то
> кое-кто из студентов уже сейчас бы книжки
> читал, если б знал, какие. Читать параллельно
> с задачами было бы полезно.

По топологии - Фукс-Фоменко, а также Рохлин-Фукс
("Топология", кажется). По алгебре - Постников,
Кострикин-Манин, Гельфанд (линейная алгебра),
Ван дер Варден (алгебра). Еще были полезные
книжки "P-адические числа, p-адический анализ
и дзета-функции" (Н. Коблиц) и "Курс арифметики"
Серра.

Но вообще по алгебре более осмысленно изучить
сразу группы Ли (Серра "Группы и алгебры Ли"
например) и потом вернуться к линейной
алгебре и повторить.

Такие дела
Миша

> Там было что-то, но коллега убрал за банальностью.
> \begin{ukazanie}

Теперь поняла. Мне кажется, это не очень банально, лучше указание оставить.

> В типичной ситуации, $P$ состоит из двух точек.
> Я не очень понимаю, как этому помогает наследственность.

Я имела в виду, что безотносительно к данной задаче само это понятие полезно, мне кажется (но я тут не специалист, разумеется), и полезно иметь навык перехода от рассмотрения пространства к рассмотрению подпространства, забывая о том, что было в надпространстве (и в предыдущих листках некоторое количество задач проще было решать таким образом).

В данной же задаче мы получили вполне несвязное пространство P, причем любое открытозамкнутое его подмножество, содержащее х, совпадает со всем P. Поскольку P к тому же компактное и хаусдорфово, то неодноточечность P противоречит предыдущей задаче. При этом становится излишней вторая половина вашего указания. Или я опять что-то путаю?

За список книг спасибо, но я имела в виду, что надо вставить в листки, чтобы все студенты знали, что читать. А сын приезжал на праздники домой и увез в Москву "Общую топологию" Келли (старое издание), в Вашем списке ее нет -- она меньше подходит, чем те книги по топологии, которые Вы перечислили?

Я посмотрел про Громова!

Вот правильное утверждение

>A space C of compact metric spaces is Gromov-Hausdorff precompact
>if and only if for every \epsilon > 0, any X \in C can be covered
>by the same number of \epsilon-balls.

http://www.ams.org/bull/2001-38-03/S0273-0979-01-00904-1/S0273-0979-01-00904-1.pdf

Условие об \epsilon-шарах как раз для того,
чтобы не брать предела N-симплексов при N\arrow \infty
(поскольку такого предела очевидно нет). Для многообразий
ограниченной кривизны Риччи и объема это условие
тривиально соблюдается, ибо объем \epsilon-шара
ограничивается его кривизной Риччи.

При применении к графам Кэли группы,
получается, что предел определен,
если потребовать дополнительных условий
от группы (полиномиального роста).
А поскольку свободная группа такого
ограничения не имеет, предела там и нет.

> причем любое открытозамкнутое его
>подмножество, содержащее х, совпадает со всем P

Но открытозамкнутые подмножества P могут не
иметь никакого отношения к открытозамкнутым
подмножествам M. Можно построить метрическое
пространство, у которого пересечение
открытозамкнутых подмножеств, содержащих
данную точку, это две точки.

>А сын приезжал на праздники домой и увез в Москву
>"Общую топологию" Келли (старое издание),
>в Вашем списке ее нет -- она меньше
>подходит, чем те книги по топологии,
>которые Вы перечислили?

Думаю, что меньше подходит, хотя
книжка хорошая. Вообще в моих листочках
больше общей топологии, чем знают почти
все математики и большинство топологов.
Общая топология - наука ныне практически
забытая.

Такие дела
Миша

>if and only if for every \epsilon > 0, any X \in C can be covered
>by the same number of \epsilon-balls.

Ну так это совсем другое дело! Получается что-то типа равномерной ограниченности. В такой формулировке внутреннего чувства противоречия не возникает :-)

> Но открытозамкнутые подмножества P могут не
> иметь никакого отношения к открытозамкнутым
> подмножествам M.

А, поняла. Я тогда почему-то подумала, что все открытозамкнутые подмножества P получаются пересечением P c открытозамкнутыми подмножествами М, а это, конечно, неверно.
Тогда к указанию к этой задаче следующие замечания:

В "Выведите из предыдущей задачи, что $U_1 \cup U_2$ содержит открытозамкнутое подмножество $W\subset M$" надо добавить условие, что W содержит P (или x, без разницы).

В "$W\cup U_i$" надо объединение заменить на пересечение.

> Вообще в моих листочках
> больше общей топологии, чем знают почти
> все математики и большинство топологов.

Хм. Те листочки, которые у вас пока выложены, -- ЕМНИП мы все это проходили на курсе топологии (на первом или втором курсе, не помню, один семестр был или два). Ну может какие-то отдельных узких задач не было, а вместо них было что-то другое. То, что в Геометрии 8, у нас на функане, кажется, было. Так что это Ваше утверждение не совсем истинно. И уж конечно наши топологи знают гораздо больше :-) Тем более что они активно в области общей топологии работают (хотя в основном там вроде бы пространствами отображений занимаются). Вот посмотрела на институтском сайте про этот отдел: "В области топологии основные темы - непрерывные отображения и пространства непрерывных отображений, бэровские функции и бэровские изоморфизмы".

>Ну так это совсем другое дело! Получается
>что-то типа равномерной ограниченности. В такой
>формулировке внутреннего чувства противоречия не
>возникает

Прошу прощения. Дело в том, что это применяется
в основном для многообразий с ограниченной кривизной
Риччи (как, например, в доказательстве Перельмана
гипотезы Пуанкаре, и в недавних работах Концевича),
а там эта оценка автоматически возникает. У Громова
ж в книжке все чудовищно мутно написано.

>Те листочки, которые у вас пока выложены, --
>ЕМНИП мы все это проходили на курсе
>топологии (на первом или втором курсе,
>не помню, один семестр был или два).
>И уж конечно наши топологи знают
>гораздо больше

Вообще-то в России общую топологию и выдумали
(в 1920-е), так что естественно, что у нас должны
больше знать, чем в Англии и Америке. Но даже
в Москве эта наука по преимуществу вымерла,
то есть людей, знающих (например), что есть
компактификация Стоуна-Чеха, я в жизни
своей не видел (ни в Москве, ни заграницей).
Или видел, но они про это крепко
молчали. Ни в одном аспирантском
экзамене в западных университетах
ничего подобного не требуется
(я это знаю, поскольку изучал
подробно экзаменационные темы
в десятке крупных университетов,
когда готовил программу по
математике).

Конечно, на кафедре общей топологии
мехмата знают, меня просто туда не
заносило.

Каледин очень ругается, что в листочках
больше общей топологии, чем даже топологи
за свою жизнь узнают. И он в каком-то
смысле прав, просто наука уж очень
красивая.

У вас наверное школа общей топологии
пока не умерла. Но это скорее исключение,
по крайней мере вне бывшего СССР.

Такие дела
Миша

У нас топология была обязательной у всех математиков матмеха, у механиков возможно и не было. Но это был 1985 год. Тогда у нас в обязательных курсах даже теория чисел была, хотя я не очень понимаю смысл (там никаких связей с ТФКП и прочей аналитикой не было, типично школьные вещи типа квадратичных вычетов и т.п.). Сейчас у нас на матмехе математическая программа ужалась, насколько я знаю. Топологию конечно жалко.
А неужели на мехмате МГУ нет обязательного курса общей топологии?

С мнением Каледина о переизбытке топологии в вашем курсе я отчасти согласна в том плане, что сейчас ситуация, когда алгебры мало, а геометрия вся -- топология. Мне кажется, было бы лучше чередовать (т.е. либо в геометрии чередовать разные темы, либо параллельно раздавать и соответствующий листки по алгебре). Если человек алгебру уже прорешал, то делать подряд 5 листков топологии может быть довольно тоскливо некоторым. Топология все-таки достаточно специфический предмет, чтобы им заниматься в режиме полного погружения, надо дать время на то, чтобы впечатления утряслись. Ну это так, ощущение, не претендующее на истинность :-)

Школа общей топологии у нас жива, но перспективы неясные в свете предстоящего закрытия академических институтов...

Именно компактификацию Стоуна-Чеха я не уверена, что знаю (хотя название знакомое), книжку сын увез -- не проверить, но какую-то компактификацию когда-то знала :-) По крайней мере Келли и еще несколько книжек по топологии я полностью читала, кое-что даже в школе. Но это было давно.

>А неужели на мехмате МГУ нет
>обязательного курса общей топологии?

Да вроде нет. И не общей тоже нет.

http://shade.msu.ru/~admin/kurs/alf.htm

>геометрия вся -- топология

Ну не вся, все-таки метрических пространств было много.
Просто ничего осмысленного в геометрии нельзя сказать,
если не известно топологии, кроме теории метрических
пространств, а она очень специальная.

>Если человек алгебру уже прорешал

Таких у нас нет - они почему-то топологию в три
раза резвее решают, чем алгебру.

>Именно компактификацию Стоуна-Чеха я не уверена, что знаю

Это такая компактификация, которая отображается
в любую другую компактификацию. Ее легко построить,
исходя из "максимальных покрытий" (задача 7.37).
Точки на бесконечности взаимно однозначно
отождествляются с максимальными покрытиями,
а их окрестности - с такими открытыми
множествами, которые не содержатся в
соответствующем покрытии. Фантастически
красивая штука, и используется в теории
булевых алгебр. Я хотел это добавить,
но решил не пергружать.

Такие дела
Миша

> они почему-то топологию в три раза резвее решают, чем алгебру.

А, ну тогда все в порядке, беспокоиться не о чем. Я-то думала, что у них топология с трудом идет. Тогда и компактификацию Стоуна-Чеха можно добавить (как необязательную), тем более что для нее действительно уже вся база есть, жалко эту базу оставлять почти неиспользованную :-) (Я, кстати, Стоуна-Чеха не помню. Была кажется компактификация добавлением одной точки, но это видимо только для локально компактных пространств работает.)

А почему тогда Каледин ругается? Считает, что это все ненужный груз? Мне такая база в жизни полезна оказалась, даже не собственно результаты (ну кроме основных вещей, конечно), а сама идеология.

А кстати, когда они должны самое позднее сдать все листки, для того чтобы во второй семестр перейти? После зимних каникул? Или это только к традиционным экзаменам относится, а листки надо до Нового Года сдать?

>А почему тогда Каледин ругается? Считает, что это все ненужный груз?

Ну он же этого не знает, и прекрасно жил до сего дня.
Как и любой другой знакомый нам математик. Общая топология
наука практически забытая, консенсус состоит в том, что
лучше давать им вместо этого нечто реально нужное.

> Была кажется
> компактификация добавлением одной
> точки, но это видимо только для локально
> компактных пространств работает.

Одноточечная компактификация. Работает для всех,
но хаусдорфово будет, конечно, только для локально
компактных. (определяется так: открытые множества,
содержащие добавленную точку, соответствуют
дополнениям к компактным подмножествам).
Про нее должна была быть задача, но
пропала куда-то.

> А кстати, когда они должны самое позднее
> сдать все листки, для того чтобы во
> второй семестр перейти?

15 декабря экзамен. Несдавшие все листки
могут пытаться вместо этого сдать экзамены
(это будет труднее). Если люди каждый
раз ходят и делают явственное усилие,
для них процесс можно продлить, насколько
позволит учебная часть.

Такие дела
Миша

Эх, надо сначала думать, а потом писать...
Посмотрела еще раз последнее свое письмо про Осн.теорему алгебры. Все не так, как надо.
Вот окончательный вариант:
------------------------------------------------
Для упрощения обозначений, мы будем в дальнейшем
предполагать, что минимум $|P|$ достигается в нуле.
Мы хотим доказать, что минимум $|P|$ равен нулю.
Пусть это не так. Пусть $k$ -- самое маленькое число
среди $1, 2, 3, \dots, n$, для которого
$a_k\neq 0$.
Домножив $P$ на $a_0^{-1}$, и сделав замену
$x=z\sqrt[k]{a_k^{-1}}$, мы получим многочлен вида
\[
Q(z) = 1 + z^k + b_{k+1} z^{k+1} + b_{k+2} z^{k+2} + ...
\]

\begin{zadacha}[!]
Докажите, что для любого
комплексного $z$ с $|z|< (1/2)\max \left(1, \sum |b_i|\right)^{-1}$,
\[
\frac{|Q(z)-1 - z^k| }{|z^{k}|}<1/2.
\]
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
Выведите из этого, что для любого положительного
вещественного $\epsilon< (1/2)\max \left(1, \sum |b_i|\right)^{-1}$
и любого комплексного $z$, для которого $z^k=-\epsilon$, выполняется
\[
|Q(z)-1 +\epsilon| < \epsilon/2.
\]
Вывести из этого, что $|Q(z)|<1=Q(0)$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
Докажите Основную Теорему Алгебры:
каждый многочлен $P$ положительной степени имеет
корень в $\C$.
\end{zadacha}
------------------------------------------------

В итоге получилось почти то, что у вас и было :-) Только у вас там путаница с \epsilon и \epsilon^k и ограничениями.

Привет,
я внес эти исправления, на днях появится

>Я бы просто взяла маленькую
> окружность с центром в нуле и
> посмотрела на то, что происходит с Q(z),
> когда z эту окружность пробегает.
> Понятно, что это будет кривая, обходящая
> вокруг 1 и не проходящая через 1
> (последнее получается оценкой разности
> (Q-1)/z^k -- что она не обращается в 0)

Это аргумент использует (явно или неявно)
фундаментальную группу и он будет приведен
в следующем листке, где будте фундаментальная
группа. "Понятно, что это будет кривая, обходящая
вокруг 1 и не проходящая через 1" - это
нетривиальный топологический аргумент и
требует обоснования.

Такие дела
Миша

Задача 7.3. Последний вопрос, мне кажется, стоит вынести в отдельную задачу со звездочкой, исходя из Вашего принципа невключения "безумных" пространств в основной курс.

Задача 7.8. Наверное, надо хаусдорфовость добавить в условие?

Определение после задачи 7.12. Либо надо называть не убывающей, а монотонной, либо написать:
"для любых $Z_i$, $Z_j$ из нашего набора $Z_i \subset Z_j$ при $i>j$". И отметить, что множество индексов пробегает любой ординал (это важно для дальнейшего).

В задачах 7.13 и 7.14 "замкнутых подможеств" надо заменить на "непустых замкнутых подмножеств".

Задача 7.14. Там довольно тонкие рассуждения нужны, дети вообще с трансфинитной индукцией знакомы, или с тем, что в любом множестве ординалов всегда есть наименьший (а это требуется для решения)? Последовательность-то ведь несчетная в общем случае.

Задача 7.15. В одну сторону очевидно, а вот в другую сторону не очень понятно как доказывать, учитывая, что убывающая последовательность замкнутых подмножеств с пустым пересечением в общем случае несчетная.

Задача 7.17. Не очень понятно, зачем она здесь, поскольку доказывается элементарно и без условий компактности и хаусдорфовости. Да и первой аксиомы счетности достаточно, а не счетной базы, как у Вас.

Задача 7.18. Зачем локальная компактность и счетная база? Достаточно первой аксиомы счетности.

Задача 7.19. Может, я чего-то не поняла, но ведь уже на пункт (а) ответ "нет", зачем тогда пункт (б)?
Пункты (в-г) -- не соображу, как делать.

Задача 7.20. Требование компактности М лишнее.

Задача 7.21. Я бы сделала часть "докажите" из двух пунктов, второй -- то, что сейчас, а первым -- "тогда и только тогда, когда Z замкнуто и ограничено". Мне кажется, так будет более наглядно, ну и потом это классика все-таки.

Задача 7.23. Во-первых, остается вопрос, существует ли беск.дискр.мн-во. Во-вторых, я не понимаю, как Вы подберете коэффициенты, чтобы ряд гарантированно сходился во всех точках М, и при этом не достигал максимума...

Задача 7.26. Неудачно сформулировано, можно подумать, что такое отображение требуется построить для каждого нехаусдорфова N, в то время как имелось в виду, наверное, просто построить какой-нибудь один пример. Такая двусмысленность, кстати, и еще в каких-то задачах была.

> Задача 7.3. Последний вопрос, мне кажется,
> стоит вынести в отдельную задачу со
> звездочкой, исходя из Вашего принципа
> невключения "безумных" пространств в
> основной курс.

Это как раз все с легкостью решают - исходя из того,
что любое подмножество кодискретного пространства
компактно (задача 7.1).

> Задача 7.8. Наверное, надо хаусдорфовость
> добавить в условие?

Спасибо! Конечно же.

> Определение после задачи 7.12. Либо надо
> называть не убывающей, а монотонной,
> либо написать: "для любых $Z_i$, $Z_j$ из
> нашего набора $Z_i \subset Z_j$ при $i>j$". И
> отметить, что множество индексов
> пробегает любой ординал (это важно для
> дальнейшего).

И вообще сказать про набор, а не последовательность
(последовательности у нас везде счетные)

> Там довольно тонкие
> рассуждения нужны, дети вообще с
> трансфинитной индукцией знакомы, или с
> тем, что в любом множестве ординалов
> всегда есть наименьший (а это требуется
> для решения)? Последовательность-то
> ведь несчетная в общем случае.

Мне тоже так кажется, но Каледин считает,
что им все объяснил Шень на лекции. У меня там
была лемма Цорна и другое указание.

Что есть наименьший ординал - это как раз
определение "полного порядка".

Просто "полный порядок" есть штука интуитивистски
гораздо более сомнительная, чем лемма Цорна.

> Задача 7.15. В одну сторону очевидно, а вот
> в другую сторону не очень понятно как
> доказывать, учитывая, что убывающая
> последовательность замкнутых
> подмножеств с пустым пересечением в
> общем случае несчетная.

Это вообще неверно! Ужас.
Именно, возьмем большой (первый несчетный, например)
ординал, и введем на нем топологию с базой,
порожденной отрезками вида [ординал, ординал]
(т.е., с концами). Оно, очевидно, некомпактно.
Любой (предельный) ординал является точкой
концентрации для любой последовательности
ординалов, для которой он является
верхней гранью. Поэтому любая счетная
последовательность ординалов
имеет предельные точки, а бесконечных
дискретных подмножеств у него нет вовсе.
Надо потребовать первой аксиомы счетности.

Я переписал указание (точнее,
вернулся к тому варианту, который у меня
изначально был). В условии надо потребовать
счетной базы.

\begin{ukazanie}
Если $M$ содержит бесконечное
дискретное подмножество, из \ref{cap.1}
следует, что $M$ некомпактно. Если, наоборот,
$M$ некомпактно, то у $M$ есть счетное покрытие
$S $, такое, что никакое конечное подмножество
$S$ не покрывает $M$. Выкидывая какие-то элементы
из $S$, можно добиться, чтобы объединение $W_\alpha$
всех $U\in S$, кроме одного элемента $U_\alpha$, не
покрывало $M$ (докажите это). Возьмем по точке $m_\alpha$
в $M\backslash W_\alpha$. По определению,
$m_\alpha$ лежит в $U_\alpha$ и не лежит
в объединении всех остальных $U\in S$. Рассмотрим
множество $\{m_\alpha\}$. Пусть у него
есть предельная точка $m$. Возьмем
$U\in S$, содержащее $m$. Тогда $U$
содержит и бесконечное количество
точем из $\{m_\alpha\}$ - противоречие.
\end{ukazanie}

> Задача 7.17. Не очень понятно, зачем она
> здесь, поскольку доказывается
> элементарно и без условий компактности
> и хаусдорфовости. Да и первой аксиомы
> счетности достаточно, а не счетной базы,
> как у Вас.

Да, непонятно, что это такое. Проблемы редактирования.

> Задача 7.19. Может, я чего-то не поняла, но
> ведь уже на пункт (а) ответ "нет", зачем
> тогда пункт (б)?

То же самое. Там было изначально другое определение
дискретного множества.

>Пункты (в-г) -- не
> соображу, как делать.

Я (выше) привел даже хаусдорфово некомпактное
множество без дискретных подмножеств. С нехаусдорфовыми
все проще, конечно же. Например, возьмем натуральные
числа, с базой открытых множеств, порожденных
отрезками вида [0, N] - это будет очевидно
некомпактно, но без дискретных подмножеств.
Такое топологическое пространство кто-то
из студентов даже приводил (решая другую
задачу). Это Т0-пространство.

> Во-вторых, я не понимаю, как Вы подберете
> коэффициенты, чтобы ряд гарантированно
> сходился во всех точках М, и при этом не
> достигал максимума...

Этот ряд финитный (потому что в каждой точке
зануляется каждая из функций Урысона, кроме
одной). Значит, в качестве коэффициентов можно
брать степени двойки например.

Со всем остальным согласен, добавил - спасибо!

Такие дела
Миша

> Это как раз все с легкостью решают - исходя из того,
> что любое подмножество кодискретного пространства
> компактно (задача 7.1).

А, понятно. Излишнее знание вредит: я брала кофинитную топологию :-)

> Именно, возьмем большой (первый несчетный, например)
> ординал, и введем на нем топологию с базой,
> порожденной отрезками вида [ординал, ординал]
> (т.е., с концами). Оно, очевидно, некомпактно.

Что-то я не поняла. Если у Вас ординалы в базе любые, так оно не только некомпактно, но и дискретно :-)

>> Задача 7.15.
> В условии надо потребовать счетной базы.

Так тогда эта часть превращается в задачу 7.16 ведь.

Кстати, по поводу задачи 7.16, в которой достаточно жесткое ограничение (счетная база). Я посмотрела книжку ("Анализ" Лорана Шварца, с.76), там есть так называемое "Свойство Больцано-Вейерштрасса":
- для того, чтобы метризуемое хаусдорфово пр-во было компактным, необходимо и достаточно, чтобы любая последовательность его элементов имела предельную точку.
Может, добавить его как задачу с двумя звездочками, после 7.16? Мне кажется, это будет логичным завершением данной темы (хотя бы просто знать о существовании такой теоремы), а то остается какая-то неопределенность для пространств без счетной базы. И для Геометрии 8 эта теорема нужна будет.
Если делать обязательным, то надо еще парочку промежуточных задач вставить, там довольно сложное доказательство (хотя ничего страшного нет), без промежуточных пунктов не решат. Если у Вас книжки соответствующей под рукой нет, я могу эти две задачи написать.

> Я (выше) привел даже хаусдорфово некомпактное
> множество без дискретных подмножеств.

Ну там видимо какая-то опечатка была в описании базы, так что я не поняла, какая там топология.

> Этот ряд финитный (потому что в каждой точке
> зануляется каждая из функций Урысона, кроме одной).

Ну, не такой уж он и финитный. Пространство-то у нас состоит не только из точек выбранного дискретного множества :-) И в тех точках, которые между замыканиями окрестностей находятся, т.е. в которых функции Урысона принимают значения из (0,1), будет твориться черт знает что. То есть чтобы ряд гарантированно сходился поточечно, надо, чтобы сходился ряд из коэффициентов.

====================================================
Посмотрела вторую часть Геометрии 7. Замечаний мало:

Определение 7.4. "собственное отображение" -- это общепринятый термин? А то звучит как-то странно.

Задача 7.34. "последовательность покрытий" надо заменить на "набор покрытий".

Задача 7.36. Лучше написать как-то так:
"Пусть дано максимальное покрытие $\{ V_{\alpha}\}$ некомпактного топологического пространства $M$. Докажите, что если открытые множества $U_1$, $U_2$ не лежат в $\{ V_{\alpha}\}$, и их пересечение непусто, то оно тоже не лежит в $\{ V_{\alpha}\}$. Докажите, что любое непустое конечное пересечение
открытых множеств, не лежащих в $\{ V_{\alpha}\}$, тоже не принадлежит $\{ V_{\alpha}\}$."

А понятия фильтра у них еще не было?

Замечание к задаче 7.38. Часть после "иначе говоря" эквивалентна исходному утверждению только если I счетно. "Иначе говоря" надо заменить на "в частности".

Еще меня сомнения гложут: разве в теореме Тихонова не требуется хаусдорфовости М?

>Что-то я не поняла. Если у Вас ординалы в базе любые,
>так оно не только некомпактно, но и дискретно :-)

Не дискретно - предельный ординал не открыт, а не предельный
открыт. В качестве открытых множеств рассматриваются
отрезки вида [ординал, не равный ему ординал]

>чтобы метризуемое хаусдорфово пр-во было
>компактным, необходимо и достаточно, чтобы
>любая последовательность его элементов имела предельную точку

А это у нас есть, в листке про метрические пространства

>Пространство-то у нас состоит не только из точек выбранного
>дискретного множества :-)

Да, но функции Урысона выбраны равными нулю
вне непересекающихся окрестностей точек
дискретного множества.

>Определение 7.4. "собственное отображение" -- это
>общепринятый термин? А то звучит как-то странно.

Да, абсолютно. И довольно часто используемый в
науке о когомологиях пучков (см. кстати великолепный
учебник Гельфанда-Манина "Гомологическая алгебра").

>Еще меня сомнения гложут: разве в теореме
>Тихонова не требуется хаусдорфовости М?

Нет, совершенно. Напротив, для хаусдорфовых
пространств теорема Тихонова слабее, чем в общей
форме (для общих она равносильна аксиоме выбора,
для хаусдорфовых - теореме Стоуна о представимости
булевых алгебр, которая слабее).

>А понятия фильтра у них еще не было?

Не было, и не будет, увы.

За остальные исправления спасибо - я
все добавил!

Такие дела
Миша

> Не дискретно - предельный ординал не открыт, а не предельный
> открыт. В качестве открытых множеств рассматриваются
> отрезки вида [ординал, не равный ему ординал]

Так все равно не получится. Любое одноточечное множество будет открытым, поскольку для любого ординала {a}=[0,a] пересечь с [a,a+1] :-)
Чтобы с предельными ординалами было, как Вы говорите, надо брать открытые интервалы. Вот тогда действительно получится.

> >чтобы метризуемое хаусдорфово пр-во было
> >компактным, необходимо и достаточно, чтобы
> >любая последовательность его элементов имела предельную точку
>
> А это у нас есть, в листке про метрические пространства

Я в старых листках такого не нашла. Не подскажете номер соответствующей задачи?

> Да, но функции Урысона выбраны равными нулю
> вне непересекающихся окрестностей точек
> дискретного множества.

Вот смотрите, возьмем какую-то одну функцию. Она равна 1 в окрестности соотв.точки, и равна 1 в объединении окрестностей остальных точек нашего дискретноuj множества. Но кроме этих окрестностей есть еще кое-какие точки (а именно некоторое непустое открытое множество X), где эта функция принимает значания в интервале (0,1). Более того, в любой точке из X _все_ наши функции принимают ненулевые значения (так как замыкание объединения двух множеств равно объединению замыканий). И что получится с суммой ряда в таких точках?

>Чтобы с предельными
> ординалами было, как Вы говорите, надо
> брать открытые интервалы. Вот тогда
> действительно получится.

Да, конечно. Пардон.

>Она равна 1 в окрестности
> соотв.точки, и равна 1 в объединении
> окрестностей остальных точек нашего
> дискретноuj множества.

А надо наоборот: чтобы была равна нулю вне
окрестности некоторой точки (дополнение замкнутое)
и единице в этой точке. Потом такие функции просуммировать.

> Я в старых листках такого не нашла. Не
> подскажете номер соответствующей
> задачи?

Задача 4.7

Такие дела
Миша

> А надо наоборот: чтобы была равна нулю вне
> окрестности некоторой точки (дополнение замкнутое)

Ага, поняла. Дело в том, что в Указании написано как раз то, что я в предыдущих письмах писала. Чтобы получилось, как Вы говорите, надо написать так:

"Теперь примените лемму Урысона к замкнутым множествам $\{x_i\}$, $M\U_i$, и просуммируйте полученные функции Урысона $f_i$ с правильно подобранными коэффициентами."

Спасибо! Я поправил

Такие дела
Миша

Определение 8.1. В одном месте \epsilon и \delta надо поменять местами :-)))
Еще дополнительно бы сказать, что набор может состоять из одного отображения, и тогда само это отображение называется равномерно непрерывным.

Указание к задаче 8.3. Вроде из равномерной непрерывности и так сразу следует непрерывность, по определению, зачем отсылка к предыдущей задаче? И почему в условии задачи сразу не потребовать доказать не непрерывность, а равномерную непрерывность, она же сильнее?

Задача 8.6. Поскольку в предыдущей части из существования предельной точки у любой последовательности компактность вытекала только для пространств со счетной базой, то теорема Арцела-Асколи у Вас получается без доказательства. То есть надо либо свойство Больцано-Вейерштрасса (см.выше) добавлять в листок, либо придумывать, как обойтись без него. В нынешнем состоянии эта задача провисает.

Задачу 8.7, я подозреваю, тоже предполагалось доказывать через последовательности?

Задача 8.9. Логично добавить в конец: "а обратное отображение непрерывным не является (если Х бесконечно)".

Задачи 8.24, 8.25. Надо определить \ro.

Задача 8.25. В последнем неравенстве с i и m что-то не то :-)

Задача 8.26. Лучше написать: "Докажите, что множество {f_i} равномерно непрерывно".

Вообще в целом листки хорошие.

> Указание к задаче 8.3. Вроде из
> равномерной непрерывности и так сразу
> следует непрерывность, по определению,
> зачем отсылка к предыдущей задаче? И
> почему в условии задачи сразу не
> потребовать доказать не непрерывность,
> а равномерную непрерывность, она же
> сильнее?

Так надо же доказать, что предел (равномерно)
непрерывен. Предел может быть разрывен.
То, что из равномерной непрерывности следует
непрерывность, именно и требуется доказать.

> Задача 8.6. Поскольку в предыдущей части
> из существования предельной точки у
> любой последовательности компактность
> вытекала только для пространств со
> счетной базой,

Для метрических пространств доказано, что эти
вещи равносильные (в листке про метрические
пространства).

> Задачу 8.7, я подозреваю, тоже
> предполагалось доказывать через
> последовательности?

Вот тут есть доказательство ее
http://www.stanford.edu/~lukeb/arzela.pdf

Чего я не сказал (но это довольно ясно из конструкции) -
кривая Пеано индуцирует изоморфизм пространств с мерой.
То есть образ отрезка длины k измерим и имеет площадь k.
Это довольно забавно - получается, что как пространства
с мерой, все конечномерные многообразия изоморфны.

Такие дела
Миша

Про задачу 8.3. У Вас сказано в Указании: "Докажите, что $f$ равномерно непрерывна, с теми же самыми числами $\epsilon$, $\delta$, что и $\{f_i\}$, и воспользуйтесь предыдущей задачей.". Вопрос заключается в том, зачем нужно "воспользуйтесь предыдущей задачей", если мы уже доказали равномерную непрерывность самой функции $f$? Ведь без всяких фундаментальных последовательностей очевидно из определения, что равн.непр.функция заведомо непрерывна.

> Для метрических пространств доказано, что эти
> вещи равносильные (в листке про метрические
> пространства).

Да, действительно, увидела.
Опс, а доказательство-то не проходит :-) И как же студенты эту задачу дружно сдавали? :-)
Метризуемость там никак у Вас не используется, и идея та же, что была в Геометрии 7 -- то есть работающая лишь для счетных покрытий.
В общем, мне кажется, надо это свойство перенести в Геометрию 7 и добавить промежуточные задачи (доказательство не очень тривиально).

Я все-таки написала :-)

Задача 1. Пусть $M$ -- метрическое пространство, $V$ -- открытое покрытие $M$. Пусть каждая последовательность элементов $M$ имеет предельную точку. Докажите, что тогда существует такое $\epsilon>0$, что любой шар радиуса $<\epsilon$ полностью содержится в одном из множеств покрытия $V$.

Задача 2. Пусть $M$ -- метрическое пространство, каждая последовательность элементов которого имеет предельную точку. Докажите, что для любого $\epsilon>0$ $M$ может быть покрыто конечным числом шаров радиуса $\epsilon$.

Задача 3. (Свойство Больцано-Вейерштрасса). Докажите, что для того, чтобы метрическое пространство было компактным, необходимо и достаточно, чтобы любая последовательность его элементов имела предельную точку.

Спасибо!
Добавил это, да, так и надо.

А вот еще новая алгебра (седьмая):
http://www.livejournal.com/users/tiphareth/514403.html

Такие дела
Миша

Миша, я обязательно посмотрю новые листки, но сейчас не хватает времени. В выходные точно посмотрю и напишу.

> http://www.stanford.edu/~lukeb/arzela.pdf

Да, кстати, тогда я посмотрела эту ссылку, но забыла написать. Там построения существенно используют то, что и X, и Y -- отрезки. Не очень понятно, как это обобщить на случай произвольных компактов, как в условии задачи требуется. Через суммирование функций Урысона, что ли? Но у них же с равномерной непрерывностью, наверное, плохо совсем.

>Не очень понятно, как это обобщить на случай произвольных компактов, как в
>условии задачи требуется.

Так задача специально с двумя звездочками.
Я думаю, что обобщить надо путем вложения метрического
пространства в гильбертов куб (а для не имеющих
счетной базы оно и неверно, скорее всего).

Такие дела
Миша

Я тут залез случайно. Времени уже много прошло, но все же...

В этой задаче ошибка:

\begin{zadacha}[**]
Докажите, что если множество $I$ имеет мощность континуума
или больше, то тихоновский куб
$[0,1]^I$ несепарабелен.
\end{zadacha}

Если мощность больше континуума, то куб несепарабелен, а если мпеньше или равна континууму, то счетное всюду плотное множество найти можно