tiphareth: двойственно по Пуанкаре пересечению многообразий

(Читать комментарии) - (Добавить комментарий)

	tiphareth 2018-06-08 14:21 (ссылка)
	лучше скажи, а почему не определяют сингулярные коцепи через кубы вместо симплексов? я слышал, что там где-то засада, но не могу вспомнить где (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	(Анонимно) 2018-06-08 16:06 (ссылка)
	https://mancunian.livejournal.com/2100630.html (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

tiphareth
2018-06-08 17:59 (ссылка)

странно, что он про фальшивый диплом не написал
http://lj.rossia.org/users/tiphareth/1475596.html
тоже ведь популярная тема, в свое время какие-то его друзья
по жежешечке прыгали и везде в комментах оставляли про еврейскую
мафию и фальшивого профессора Наждака

(Ответить) (Уровень выше)

kaledin
2018-06-08 20:46 (ссылка)

Потому что это не помогает ровно ничему, но сильно усложняет комбинаторику. Коммутативного произведения над Z в когомологиях просто нет (в смысле, на DG уровне).

А так, вообще, одна из формальных причин, почему симплексы, это теорема Милнора: геометрическая реализация некоторым чудом коммутирует с произведениями, и вообще с конечными пределами. То, что в когомологиях есть хотя бы ассоциативное произведение на DG уровне, из этого следует (потому что из этого следует существование shuffle map).

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

tiphareth
2018-06-08 21:35 (ссылка)

это существенно упростит (а) определение произведения в сингулярных
когомологиях и (б) доказательство формулы Кюннета для сингулярных когомологий
в Хатчере и там и там дикий пиздец и ужас

я сингулярные когомологии в этот раз почти не рассказывал,
но по-моему это существенно упрощает

>в смысле, на DG уровне

есличо, я даже слова "функтор" не могу использовать,
потому что студенты его не знают

так что до DG уровня тут как до луны пешком

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

kaledin
2018-06-08 21:53 (ссылка)

>это существенно упростит (а) определение произведения в сингулярных когомологиях

Нет. Попробуй, увидишь. Если бы была разумная формула, она действовала бы и над Z, поэтому видно, что ее нету.

Внятное определение shuffle map я знаю и человечество знает, я его даже один раз в статье записал, но тебе это не поможет, потому что оно хоть и без единого индекса, но весьма категорное.

>так что до DG уровня тут как до луны пешком

Я не имел в виду им этого рассказывать. Но по факту, ты делаешь именно это, и полезно понимать, чего здесь сделать просто нельзя.

>в Хатчере и там и там дикий пиздец и ужас

В Хатчере вообще везде дикий ужас. Но на самом деле, ты не можешь внятно рассказать когомологии, не обьясняя ничего про топологию вообще (надстройки там, вот это все). В частности, использовать де Рама в качестве определения когомологий это жуткие костыли, и концептуально криво (когомологии не имеют никакого отношения к гладкости). Бразильцам, которые вообще занимаются динамикой, так лучше, чем никак, но красоты на этом пути не обретешь.

В книжках Постникова в предисловии довольно разумно описано, какие тут проблемы и почему они нетривиальные (грубо говоря, клеточные когомологии легко считать, про сингулярные легко доказывать свойства, с умножением отдельная засада). Возможно, разумный эксперимент это начать с пучков (типа там, у пучка фунций нет когомологий потому что разбиение единицы, и т.д.) Пучок это штука абстрактная, зато его когомологии имеют внятный смысл как препятствия к тому и сему.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

tiphareth
2018-06-08 22:07 (ссылка)

>это существенно упростит (а) определение
>произведения в сингулярных когомологиях

Определение есть. Еслионо некоммутативно и неассоциативно
в ДГ-смысле, это никого ебать не должно, потому что все равно потом
ограничивается на когомологии. Мне нужно от него только то, что
оно равно произведению в когомологиях де Рама, а это как раз
просто доказать

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

kaledin
2018-06-08 22:20 (ссылка)

>Определение есть.

Оно и в сингулярных есть.

Для начала, произведение на чем?

>Если оно некоммутативно и неассоциативно в ДГ-смысле

то оно не коммутативно и не ассоциативно. Т.е. надо отдельно выписывать формулы, почему оно ассоциативно и коммутативно "с точностью до гомотопии". Это охрененно просветляющее занятие, ага.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

tiphareth
2018-06-08 23:32 (ссылка)

>Для начала, произведение на чем?

на кольце когомологий же

>Т.е. надо отдельно выписывать формулы, почему оно ассоциативно и коммутативно "с точностью до >гомотопии".

а нафиг? переопределить их через формулу Кюннета и пуллбак с диагонали и привет
все получается тривиально сразу же (но Кюннета надо доказывать, конечно)

>>Определение есть.
>Оно и в сингулярных есть.

Оно непонятное и я не в состоянии даже себе объяснить, что там (в Хатчере)
написано

индексы какие-то злоебучие

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

kaledin
2018-06-08 23:43 (ссылка)

>а нафиг? переопределить их через формулу Кюннета и пуллбак с диагонали и привет все получается тривиально сразу же (но Кюннета надо доказывать, конечно)

Кого переопределить? куда переопределить?

Тебе нужно умножение на комплексе (как без этого выписывать умножение в когомологиях, мне неведомо). Что за комплекс? -- какие члены, какой дифференциал?

Если есть симплициальное множество, то комплекс получается стандартным образом, причем в двух вариантах, можно обычный, можно нормализованный. Нормализаованный чуть лучше, т.к. дает эквивалентность категорий между симплициаьными абелевыми группами и комплексами, но это дело десятое, можно брать любой из двух. Если есть бисимиплициальное множество, то ему можно сопоставить либо произведение комплексов по каждому аргументу, либо ограничить его на диагональное \Delta и взять комплекс там. Отображение из одного в другое это как раз и есть shuffle map, а что оно квазиизоморфизм это теорема. Теорема нетривиальная, и хуже того, сильно завязанная на свойства \Delta -- если взять что-нибудь вместо \Delta, скорее всего нифига не выйдет.

>индексы какие-то злоебучие

Ну ты напиши формулу с кубами -- только правильную -- посмотри на нее, и убедись, что симплексы это только цветочки.

Для начала -- так какой все-таки комплекс?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

tiphareth
2018-06-08 23:52 (ссылка)

>Тебе нужно умножение на комплексе
>(как без этого выписывать умножение в когомологиях, мне неведомо).

А мне ведомо. Формула Кюннета утверждает, что
H^*(X\times X) = H^*(X)\otimes H^*(X).
Берем два класса когомологий \alpha, \beta,
получаем класс \alpha\otimes \beta \in H^*(X\times X)
ограничиваем его на диагональ и привет.

То, что это равно умножению в когомологиях де Рама,
даже совсем плохому студенту должно быть ясно.

>Для начала -- так какой все-таки комплекс?

А никаких комплексов, однако. Без комплексов!

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

kaledin
2018-06-08 23:58 (ссылка)

>А мне ведомо. Формула Кюннета утверждает, что H^*(X\times X) = H^*(X)\otimes H^*(X).

Формула Кюннета и умножение в когомологиях это одно и то же.

>А никаких комплексов, однако. Без комплексов!

Какая тебе тогда разница куб или симплекс?

Но я с удовольствием посмотрю на определение когомологий без комплексов (и потом на доказательство формулы Кюннета). Я положим знаю, как это делать, но тебе не понравится совсем.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)