Вообще-то, в нормальных учебниках анализа, типа "Undergraduate Analysis" Сержа Ланга, дорогого, собственно взятие интегралов и не обсуждается почти, за исключением двух-трёх задач, приведённых исключительно из садистских соображений, а также доказательства формулы Стирлинга, написанного в едко-саркастическом тоне (мол, если кому-то нехуя делать, и т.д.).

Потому что делом надо заниматься, а не интегралы брать.

Так Ленг вообще зайка. Еще он диссидент спида!

В гарвардских qualifying exams
http://www.math.harvard.edu/graduate/index.html#qualifying
между прочим тоже никаких интегралов нет

Такие дела
Миша

Ленг замечательный, да. Ленг и Хомский -- вот вся надежда Америки. А все остальные молятся доллару, доллару, доллару, грязной, зелёной бумажке.

Off topic: где Вы покупали Elijah's Mantle? Через сайт WSD?

В основном я покупал их в Париже в Gibert-Joseph,
в 1997 году. Те, которые потом вышли, я покупал
у русских пиратов (!) которые это дело выпустили
тиражом 500 штук.

Подозреваю, что в Штатах это дело проще всего заказывать
через http://www.middlepillar.com

У них дофига и конкретно дешево (http://www.middlepillar.com/catalog/nph-search.pl?qFields=Artist&qFields=Title&qFields=Description&qFields=Label&Searchtype=or&qString=ELIJAH%27S+MANTLE)
(12-14 баксов кое-где)

Такие дела
Миша

Elijah's Mantle есть здесь!
http://gemm.com/q.cgi?rb=dcd&artist=elijah's%20mantle
А вообще, на этом сайта люди как правило перегибают с ценой.
Уверен, можно найти и дешевле у дистрибьютеров WSD и с доставкой по Америке (дешевле чем WSD, то есть).

что значит "Ленг - диссидент спида"?
Это тот Ленг, который учбеник "Алгебра" написал?

Да, он написал 100 учебников. Еще он диссидент спида,
http://www.virusmyth.net/aids/index/slang.htm

Привет

Спасибо, это именно то, о чем я сперва подумал :)
очень приятно.
разделяю :)

вообще-то в современных научных кругах отрицание идеи о том, что вич вызывает спид, считается жуткой и опасной ересью. стоит упомянуть хотя бы про durban declaration (http://en.wikipedia.org/wiki/Durban_declaration)...

в прелиме на Fall 2010

Здесь тоже этому учат. Причем программа должна быть согласована, так что никакой самодеятельности.

На самом деле, по крупному счету ты прав, но ведь и большинство университетских знаний не пригодится... считается, что взятие интегралов "развивает мышление". Оценить такой тезис трудно, особенно когда мышление уже "развито". Кто знает, что именно его развило, может, и это?!

Видимо, главное, что из этой теории надо извлечь - это когда интеграл от xⁿ сходится в окрестности 0 и ∞, а когда нет. :)))

Ну ты знаешь на этот счет мое мнение
http://imperium.lenin.ru/~verbit/MATH/programma.html
чтобы иметь представление о математике
(скажем, уметь разбирать треть хотя бы текстов с
arxiv.org), необходимо столько вещей выучить, что на
интегралы времени оставаться не должно
в принципе.

Очевидно, что интегралы набили в программу просто
потому, что профессора идиоты и ничего другого
не знают сами.

Такие дела
Миша

Программа идеальна. Осталось найти идеального студента, и дело будет в шляпе. ;)

(помнишь анекдот про сферического коня в вакууме?)

Я слышал про корову. Так вот, на какой-то сельскохозяйственной конференции действительно была приведена формула вычисления сферы с теплообменом, эквивалентной среднестатистической корове. Это они для построения коровников, естессно. Гаврики из SIGGRAPH их где-то цитировали (с гы-гы конечно) Формула оказалась полезной для рендеринга методом radiosity.

Интегралам учат половину курса Computer Science (в Канаде то бишь).
Семестра с 4-го - тоже самое, но уже преобразованое в каком-нибудь языке.

В Waterloo тоже? Чего-то с трудом верится.

Скорей всего, да.

Дайте-ка я позащищаю интегралы с практической стороны как физик.
Могу согласиться, что в интегралах от элементарных функций теор-математического интереса нет - решенная задача и вероятно не открывающая новых перспектив.

Тем не менее для физиков - математика, в том числе интегралы - это язык на котором мы делаем наши утверждения, который позволяет нам общаться быстро и эффективно, и делать более сложные утверждения.
(Конечно, есть физики которые математикой мало пользуются).
Я говорю: эээ - этот эффект должен быть интегралом от ....,
набираться от и до, упс, пожалуй что-то должно его обрезать, поскольку иначе получиться нефизический предел, что бы это было ?

А для того чтобы владеть языком - нужна практика, и элементарные функции предоставляют эту практику. Мама мыла раму.

А не владеющий основами - может бегать после каждого утверждения и закладывать асимптотическое разложение или интегрирование тригономнтрии в Maple or Mathematica. Разница как между могу говорить на языке и могу говорить со словарем.

>математика, в том числе интегралы - это язык

Ага. Гвозди это орудие труда плотника и столяра.
Но проводить два года в обучении гвоздильному делу
плотнику и столяру совершенно незачем; особенно
если учесть, что на фабрике это же самое
уже 30 лет как делает гвоздильный аппарат.

А знание математики необходимо, конечно,
и не только физику, но и любому приличному человеку;
но символьные манипуляции с df dx здесь не помогают,
а наоборот, вредны чрезвычайно.

"Калькулюс" (курс анализа, базирующийся
на символьных манипуляциях) ВРЕДЕН, и обучать
ему людей ПОДЛО и ГРЯЗНО.

(Кстати, это мнение разделяют практически
все действующие математики, которые так или
иначе сталкивались с преподаванием; Арнольд
не один десяток статей про это дело написал).

Такие дела
Миша

> Ага. Гвозди это орудие труда плотника и столяра.

Аналогия про гвозди неверна - языком физики являются не результаты точного интегрирования (зачастую ничего не проясняющие, и полезные только для численных расчетов), а понимание поведения интегралов
(тот слесарь кто взглянув на гвоздь может определить что он не выдержит нагрузки - тот мастер). Тем не менее выработка чувства интегралов включает практику с простыми элементарными (сложные с трюками - достаточно бессмысленны) функциями.

Вы просто уже опытны, и забыли откуда узнали что \int x^-2 dx сходится на нижней границе а \int x^2 dx - на верхней.
А студенты на первом курсе ведь этого не знают.

>и забыли откуда узнали

Я это узнал в 6-м классе, из книги
Я.Б.Зельдовича "Высшая математика для начинающих".

>А студенты на первом курсе ведь этого не знают.

И не узнают. "Калькулюс" это разновидность лоботомии

>включает практику с простыми элементарными

Вы ошибаетесь. "Практика с простыми элементарными"
в объеме программы мехмата МГУ нужна в той же степени,
в которой нужно говноедство; и в той же степени полезна.

Если вам нравится копрофагия, кушайте, но
не надо заставлять людей

Привет

> Ага. Гвозди это орудие труда плотника и столяра.

Аналогия про гвозди неверна - языком физики являются не результаты точного интегрирования (зачастую ничего не проясняющие, и полезные только для численных расчетов), а понимание поведения интегралов
(тот слесарь кто взглянув на гвоздь может определить что он не выдержит нагрузки - тот мастер). Тем не менее выработка чувства интегралов включает практику с простыми элементарными (сложные с трюками - достаточно бессмысленны) функциями.

Вы просто уже опытны, и забыли откуда узнали что \int x^-2 dx сходится на нижней границе а \int x^2 dx - на верхней.
А студенты на первом курсе ведь этого не знают.

>(Кстати, это мнение разделяют практически
все действующие математики, которые так или
иначе сталкивались с преподаванием; Арнольд
не один десяток статей про это дело написал).

Честно говоря, сильно не согласен с тем, что вы пишете. Возможно от какого-то недопонимания. Очень хотелось бы посмотреть что Арнольд по этому поводу пишет, может прояснится чего.

Не Арнольд, но Непейвода: http://www.ict.edu.ru/vconf/files/7563.pdf

A znaete, ved' v fizike -- v nastoyashchej, v toj, kotoraya pro real'nyj mir tipa -- nikakogo progressa i ne bylo poslednie 30 chto li let. Mozhet, ehto ottogo, chto u vas matematika pozaproshlogo veka?

Я почти понимаю что вы хотите сказать (за исключением v nastoyashchej, v toj, kotoraya pro real'nyj mir - физика вся про реальный мир :) но такая формулировка ставит телегу впереди лошади.

В истории физики, новые математические методы (практически) всегда
разрабатывались или отыскивались в закоулках математики, когда появлялись новые физически идеи или проблемы, требующие новых методов для своей разработки.

Если в физике и нет прогресса (*), так потому что нет новых идей,
а не потому что математика старая. Хотя конечно, язык - он сковывает мысль.

(*) работающие в теории струн не согласятся с этим утверждением.
Сколько из этого направления останется в фундаметальной физике покажет будущее - но новые математические методы для этого направления безусловно разрабатываются.

>(*) работающие в теории струн не согласятся с
>этим утверждением.

Теория струн это очень хорошая экспериментальная математика; мы оттуда практические идеи черпаем уж лет двадцать как. Но ведь нет же экспериментально верифицируемых предсказаний? это я и говорю.

>В истории физики, новые математические методы
>(практически) всегда разрабатывались или
>отыскивались в закоулках математики,
>когда появлялись новые физически идеи или
>проблемы, требующие новых методов для своей
>разработки.

У меня четкое ощущение, что Фейнман придумал формализм интеграла по путям только потому, что его в свое время учили анализу так, как учили. В результате имеем вместо науки шаманство -- часто очень эффективное, да, но основанное в конечном счете ни на чем. И это не дельта-функция там, которая по делу, и когда пришло время, была
легко формализована. Это принципиальное, в самой глубине науки заложенное вранье.

Я понимаю, что есть физическая интуциция. Но есть также и математическая интуиция. Язык/формализм должен эту интуицию помогать прояснять; а когда язык червивый, как он может помогать что-либо
прояснять?

>А для того чтобы владеть языком - нужна практика, и элементарные функции предоставляют эту практику. Мама мыла раму.

>А не владеющий основами - может бегать после каждого утверждения и закладывать асимптотическое разложение или интегрирование тригономнтрии в Maple or Mathematica. Разница как между могу говорить на языке и могу говорить со словарем.

Браво. Именно то, что думал по этому поводу я. Но сказать так точно не смог бы.

Ну идите считайте интегралы, если Вам охота.
Еще можно в домино играть и смотреть футбол по телевизору

Привет

Но я знаю намного более качественные способы убивать время чем игра в домино и футбол по телевизору.

Очень хотелось бы, все-таки, посмотреть на упомянутые Вами сатьи Арнольда и уточнить, нужно ли по-вашему учить детей, как складывать числа столбиком.

>Очень хотелось бы, все-таки, посмотреть на упомянутые Вами сатьи Арнольда

Статьи Арнольда я не нашел, возможно, это было устное
выступление. Что преподавание калькулюса в Америке
является деятельностью по сути преступной - это
общее место. Учить детей складывать в столбик надо

>Но я знаю намного более качественные способы убивать время чем игра в домино

Взятие интегралов и умножение матриц порядка 100 это менее
качественные способы убивать время

Такие дела
Миша

> Учить детей складывать в столбик надо

Это хорошо! Значит, скорее всего, имеет место некий "misunderstanding". Возможно, программа, по которой учились Вы, действительно перекошена в сторону техники вычисления интегралов.

В программе, по которой учился я, я тоже с удовльствием некоторые вещи изменил бы. Но не в той части, которая касается интегрирования. На умножение матриц 100*100 это никак не было похоже.

Я никогда никаких интегралов не брал,
и не планирую.

А программа, по которой преподают
математику в (российских) вузах - вредоносна, лучше
вообще не учиться, чем учиться так

Привет

Но нельзя уподобляться дебилам, которые не могут сложить 1/2 и 1/3 и гундосят, что (а) для этого калькулятор есть и (б) академик Александров, Пуанкаре и Гротендик тоже не могли сложить 1/2 и 1/3.

А зачем им уподобляться?

Привет

Простите, Вы как-то пугающе написали "дебилы"...
5/6 ??

математику уже затем учить надо что вона ум в порядок приводит (с) лобачевский

на первом курсе мат-анализом медицинских дураков отсеивают. чтобы до спецухи доходили только более-менее вменяемые. больше никакого смысла в ентом всём нет и быть не может. а ты говоришь со своей прикладной колокольни. тебе результат нужен. а нам он не усрался.

такие дела,
Кришна.

Ну да. Потеряли год, а дальше что? Нас во втором семестре заставляли учить науизусть таблицу простейших интегралов. Двадцать с чем-то штук из Ефимова-Демидовича. А на втором курсе также тупо заставляли учить ряды и гамма-функции. И на это всё закончилось. Причём отсеяли именно что медицинских идиотов - обыкновенные идиоты остались, учатся до сих пор и даже уже начали вякать чего-то там о красном дипломе.

Впоследствии оказалось, что мы вообще журналисты и матанализ был нам не нужен. Такое высшее образование вообще следует запретить. Причём подобный идиотизм творится не только в математике, но и в остальных естественных и гуманитарных науках.

как человек чуть не вылетевший пропкой из института именно из-за матанализа, истинно говорю вам:

критиковать это каждый могит.

мы не можем к каждому приставить по репетитору, придумать каждому индивидуальную блядь программу.

Правильно. Поэтому матанализ следует оставить тем, кому он действительно нужен. И выкинуть из его курса всякий дебилизм.

что говорили, что не говорили.

Что, Лузин в самом деле был так плох? Он, ещё довольно молодым человеком незадолго до революции вроде бы открыл принцип "четырёх конечных производных", исчерпавший соответствующую тему навсегда, доказал что-то столь же революционное насчёт инвариантов конформных преобразований и т д. Может это всё в конечном счёте и формалистическая фигня в духе Вейерштрасса, но на счётчика интегралов он как-то явно не похож - скорее наоборот, его часто обвиняли, как в своё время Коши, в излишнем теоретизировании недоказанными предположениями.

Так процитированный Мишей фрагмент как раз и сообщает, как Лузин спас П.С. от провала на экзамене из-за неумения брать интегралы. То есть, Лузин относился к этому снисходительно, не считая, что это такое уж важное дело.

Но меня больше всего неприятно поразила вот такая история, участником которой был Лузин:
Такая ревность возникла у Лузина к молодому талантливому математику Суслину, который просто решил одну из выдвинутых им проблем, кажется даже не будучи его учеником. У Лузина возникла ревность к Суслину. Суслин после окончания университета начал искать себе работу, что в те времена было нелегко. При поисках работы он ездил по провинциальным университетам, но оказалось, что во всех этих университетах уже имеется письмо Лузина, в котором он резко отвергает кандидатуру Суслина как преподавателя. О наличии такого письма рассказывал мне А. А. Андронов. Оно было в университете в Горьком. Кончилось всё это трагически. Суслин в своих путешествиях заразился сыпным тифом и умер. Об этом случае с Суслиным Лузин рассказывал на его обсуждениях в Академии наук. Излагал он дело так.

— Суслин — талантливый математик. Но вдруг он перестал заниматься математикой и купил себе шубу и стал думать совсем о другом. Тогда я решил пресечь его стремление к материальным благам и старался не дать ему поступить на работу, с тем чтобы он занимался математикой. И вот тогда произошёл этот ужас — смерть Суслина...
http://ega-math.narod.ru/LSP/ch2.htm#e

Как Вы относитесь к Рамануджану?

Писал про него
http://imperium.lenin.ru/LENIN/19lmdg/19lmdg.html#penrose

Положительно отношусь

Такие дела
Миша

Я определенно за. (что творится-то :)

Мне точно кто-то когда-то где-то рассказывал, что мол некоторые хитрые интегралы берутся только вручную.

Сначала в русской школе меня дрессировали, а я все тут-же нахуй забыл, потом в американском калкулюсе и тоже все побоку. Кстати, мой год был последним, когда в Беркли калькулюс был чисто бумажным. Теперь для всех классов по калькулюсу есть вариант, где все так и так можно делать на Матлабе.

>Теперь для всех классов по калькулюсу
>есть вариант, где все так и так можно делать на
>Матлабе.

Что, в принципе, не лучше ничем - вместо реального
понимания что и как люди заучивают пяток рецептов.

Что интересно, учебник калькулюса, который на Матлабе
("Harvard Calculus Project"), готовил к печати я лично,
и заработал на нем тучу денег. Гадость страшная, до
сих пор стыдно, но деньги были конкретно нужны
(я его в TeXе помогал верстать, получалось
долларов по 20-30 в час).

Такие дела
Миша

Этого учебника я не знаю. И компьютерные, и некомпьютерные классы по калкулюсу в Беркли обычно используют Stewart Calculus в качестве учебника. Хороший учебник, кстати.

Все два года, которые меня в своё время учили, типа, программировать, практически, всё, чем мы занимались, это интегралы. Т.е., мы писали программки на фортране для всяких методов Эйлера и т.п. Я не математик, конечно, но большинство моих одноклассников (маткласс, хули) пошли потом на физмат и подобное. Т.е., Вы хотите сказать, что мы там все два года занимались полной хуйнёй? Так выходит?

Если это было в 6-м классе - то не полной. Но вот нафига этим занимацца 2 года - я что-то не еду. 2 года решать задачи, которые уже решены - это идиотизм, за такое учителю информатики надо ноги вырвать по самые руки, однозначно. Да, можно пописАть программки, численных методов,просто чтобы "прочувствовать изнутри" механику. Но смысл обучения информатике - восходящий подход, на элементарных задах останавливаться больше 2-3 уроков не стоит. Затем надо переходить к применению уже написанных программ в качестве модулей для построения более сложных систем, а не два года дрочить на метод Эйлера :)

9-10-й, математический. Предмета "Информатика" у нас вообще не было. Был предмет "Вычислительная математика", в рамках которого этим и занимались. Не только методом Эйлера, конечно, но большей частью всё-таки определёнными интегралами. 2 года. На "Искрах" и "Мерах". Вела преподавательница местного политеха. А когда я потом пришёл к ней же, поступив в политех, она сказала: "Вы уже всё знаете, не ходите на мои занятия: вам скучно будет".

нет, могу успокоить, не зря.

основа обучения, это даже не то чтобы вы знали что и как делать, а где и на какую тему посмотеть, когда надо будет %)

Я, извините, не помню уже, зачем я про это рассказывал и о чём вообще речь шла. А перечитывать лень: давно очень было.

а Вы не правы.

боюсь Вы делаете обычную ошибку -- эгоцентризм -- почему то вы предполагаете класс из подобных Вам, равных по уровню образования и способностям
Поймите, в классе 20-30 человек, с разным уровнем восприятия и разным скаладом ума. 2-3 урока %) это абсолютно недостаточно. 2 семестра (т.е. 1 год) на обучение элементарным вещам -- это реальные цифры. И численная математика вполне подходящая основа для примеров.

Это первое. Второе, Вы ведь в курсе, что методов довольно много. Да тех же методов интегрирования. Вы считаете, надо все выкинуть и оставить только метод прямоугольников? Или просто дать набор узлов/весов Гасса не объясняя откуда они взялись?

А ведь есть еще методы решения диф. уравнений, методы решения интегральных уравнений, да что там, просто методы решения СЛАУ. Считаете Гаусовского достаточно ? -- остальные только сотрясания воздуха?

Думаю, нет, не считаете, тогда ,позвольте спросить, как Вы предполагаете всунуть это все в 2-3и урока?

Извините, но я позволь напомнить, что курс назвался "Вычислительная математика"

Я уж не говорю об программных алгоритмах в объемах Кнута. Что Вы. -- Это тема другого курса и тоже семестра на 2а -3и



>решать задачи, которые уже решены

Мне казалось, мы говорим об обучении ( а не заучивании). Кроме того, Вы уверены что все задачи уже решены и лучшие численные алгоритмы написаны? ;-) ну это так, к слову.

Численное интегрирование это замечательно.
Символическое интегрирование = в общем, нет

Такие дела
Миша

А у нас почему-то ваще модно учить так, что даже у фанатоф хуи отмерзают к 3 курсу. По принципу "больной должен чувствовать, что его лечат - студент должен чувствовать, что его учат". Никогда не понимал нахуя мне нужно целый год решать сотни одинаковых задач из учебника тыщадевятсотзатёртого года. Вообще вся система совкового образования рассчитана на дебилов. То есть это не система собственно образования, а система насильственного вбивания знаний в бошки косящих от армии тупиц. В итоге получаются недоинженеры, которые умеют пиздато брать интегрлы...

Если вы про Демидовича, то назвать задачи в нем "одинаковыми" может разве что какой-нибудь гений Анализа средней паршивости...

И причем тут совковость: я сейчас учу студентов в Буржуинии. Так вот, там как раз основной метод - это давать десятки и сотни действительно одинаковых задач. И знаете, что самое интересное - они и с этим заданием справляются плохо - подставить в готовую формулу - темный лес для половины из них.

Потому что монотонную и иссушающе идиотскую
работу делать ГОРАЗДО ТРУДНЕЕ, чем требующую ума.
Это как у конвейера стоять

Такие дела
Миша

Очень хорошая ссылка. Вчера весь вечер читал статью, много думал. Очень любопытно.

А скажите, а когда вы лично узнали о том, что задача интегрирования уже решена, причем уже давно? И от кого(откуда)?

Была такая книжка
Дэвенпорт Дж.
Интегрирование алгебраических функций.
Перев. с англ.-М.: Мир, 1985.-190 с.-библ.: с.с. 174-184
Мне ее подарил Аркаша Вайнтроб (http://www.uoregon.edu/~vaintrob/), когда
я был в 9-м классе. Это было в 1985 году.

Такие дела
Миша

Книга чудная. Eye opener. Но насчет символьного интегрирования - да, его много, слишком много. Нужно меньше. Но это все же гимнастика мозговая. Может быть, его так много еще из-за ложного чувства симметрии. Мол, производные брать научились и легко. Попробуем брать интегралы. Ах, сложно! Месяц берем, два, год - но надо же их всех взять, не отступать же.

Наткнулся на Вашу математическую программу (http://imperium.lenin.ru/~verbit/MATH/programma.html) по ссылке из коммента выше, долго читал, много думал. Есть вопросы.

1. Крайне интересно то, что Вы пишите про ценность современной математики исключительно в связи со струнной геометрией, и о том, что все мат. идеи за последние 20 лет возникли из струн. Если последнее правда (а Вам виднее, безусловно), то нельзя ли это объяснить просто тем, что последние 20 лет больше ни о чем не думали? Далее, если считать, что теория струн зашла в тупик и не состоятельна (многие, скажем, полагают, что петлевая гравитация более перспективна), то как быть с Вашим тезисом? Вся математическая программа изменится от смены в представлении физиков о фундаментальной теории? Наконец, существуют же очевидно не связанные со струнами и с физикой исследования в современной математике -- вон теорему Ферма доказали; таким теориям не место в математической программе что ли?

2. Насчет того, что "математического образования в России нет" (тезис, с которым я не спорю). А есть ли оно на Западе? Неужели в США существуют университеты, где пятилетняя программа более или менее соответствует Вашей?

3. Что касается школьной программы. Ваш вариант, очевидно, если вообще и осуществим, то только в рамках матшкол, или вообще факультативов в этих матшколах. А Вы не размышляли над программой математики в гуманитарных школах, не обычных дворовых, а хороших и с умными детьми, но не специально математических? Я просто недавно задумался над этим вопросом, интересно Ваше мнение.

> 1. Крайне интересно то, что Вы пишите про ценность
>современной математики исключительно в связи со струнной
>геометрией, и о том, что все мат. идеи за последние 20 лет
>возникли из струн. Если последнее правда (а Вам виднее,
>безусловно), то нельзя ли это объяснить просто тем, что
>последние 20 лет больше ни о чем не думали?

Да нет, думали, процент математиков,
которые хоть немного в курсе
науки о струнах - мизерный (буквально доли
процента, я думаю). Как и физиков.

>Далее, если считать, что теория струн зашла
>в тупик и не состоятельна (многие, скажем,
>полагают, что петлевая гравитация более
>перспективна), то как быть с Вашим тезисом?

Среди моих знакомых таких людей нет.
Имело бы смысл расспросить ashuutanor@lj,
он единственный, кажется, компетентный теорфизик
в русском участке LJ.

Вообще, единственным известным мне
критерием правильности в теорфизике является
количество интересных математических результатов,
которые возникают в связи с этой работой. Покамест
loop quantum gravity никакой математики не породила,
да и вообще никаких результатов, кроме
http://www.arXiv.org/abs/gr-qc/0005126

>А есть ли
>оно на Западе? Неужели в США существуют университеты,
>где пятилетняя программа более или менее
>соответствует Вашей?

Кэмбриджские tripos более-менее адекватны,
равно как и гарвардские qualifying exams.
Вообще огромному количеству людей ясно, что
делать, и как только такие люди добираются
до составления куррикулума, они делают правильно.
Из России почти все более-менее адекватные персонажи
к сожалению уехали.

>А Вы не размышляли над программой
>математики в гуманитарных школах, не
>обычных дворовых, а хороших и с умными детьми, но не
>специально математических?

Вообще школьную программу заменить матшкольной
ничего не стоит, все эти бессмысленные задачи
по стереометрии и на построение циркулем и линейкой
выкинуть и вместо них добавить линейные пространства
и теорию Галуа. Будет понятнее, проще и полезнее.

Вопрос - нужно ли это? Я думаю, что имеет смысл
учить людей программированию в объеме решения
дифференциальных уравнений методом Эйлера и
линейного программирования, потому что это
реально нужно; а математике учить лишь
постольку, поскольку без нее нельзя
вообще ничего - например, программировать
нельзя и нельзя посчитать как работает
конденсатор. Но это если кто-то хочет
иметь образование для практических целей.

А если люди хотят заниматься чем-то помимо
прикладных вопросов, тогда матшкольную программу
нужно им обязательно давать; в объеме метрических
пространств, линейной алгебры и теории Галуа.
А чтобы не перегружать, нужно выкинуть 3/4
обычной школьной программы, которая абсолютно
идиотская.

Такие дела
Миша

Вообще, единственным известным мне
критерием правильности в теорфизике является
количество интересных математических результатов,
которые возникают в связи с этой работой.

Ну вообще в физике существуют и другие критерии. Хорошо бы, чтобы теория хоть что-нибудь предсказывала и была фальсифицируемой. Струны -- увы. Но я, собственно, не об этом.

Вообще школьную программу заменить матшкольной
ничего не стоит, все эти бессмысленные задачи
по стереометрии и на построение циркулем и линейкой
выкинуть и вместо них добавить линейные пространства
и теорию Галуа. Будет понятнее, проще и полезнее.

Кардинальный момент находится здесь. Вопрос в том, зачем вообще нужна математика в школе.

Причем я не имею в виду те несколько школ, где учат тот небольшой процент детей, которые с 6-го класса понимают, что станут профессиональными математиками. Обучение в таких школах в общих чертах совпадает с Вашей программой, на выходе все дети идут на матмехи, и тут всё ясно -- хотя всё равно можно спорить, насколько это правильный подход.
Так вот, я имею в виду неспециализированные (но "хорошие" -- чтобы не разговаривать про прикладной подход и обучение исключительно арифметике) школы, условно говоря гимназии. Установка такая: математика в них (как и все предметы вообще) нужна, чтобы развивать мозг и обучать мат. методу. "Идиотские задачи по стереометрии" придуманы именно для этого. Не уверен, что теория Галуа справится с этим лучше. Просто знание теории Галуа per se явно не является полезным для будущего филолога. Вопрос в том, что лучше научит будущего филолога математически думать.

К этому:

Я сейчас составляю довольно подробный учебник-задачник
по матшкольной программе (спросите меня через недели две,
если интересно, я покажу первые 7-8 глав). Вот план

Матшкольные курсы

Матшкольник - алгебра

0. Группы, кольца, поля. Действительные и комплексные
числа.

1. Базис, ранг, определители. Билинейные, полилинейные
формы, двойственные пространства. Определение тензорного
произведения векторных пространств.

2. Линейные операторы. Полупростота, нильпотентность.
Симплектические и квадратичные формы. Классические
группы Ли.

3. Группы преобразований плоскости и пространства. Вывод
тригонометрических тождеств через комплексные числа.
Геометрия на верхней полуплоскости (Лобачевского).
Свойства инверсии. Действие дробно-линейных
преобразований.

Матшкольник - топология и анализ

1. Метрические пространства. Теоретико-множественная
топология (определение непрерывных отображений,
компактность, собственные отображения). .

2. Счетная база. Определение компактности в терминах
сходящихся последовательностей для пространств со счетной
базой. Полные метрические пространства, критерий Коши
полноты пространства. Существование и единственность
пополнения. .

3. Гомотопии, фундаментальная группа, гомотопическая
эквивалентность.

4. Дифференцирование, интегрирование, формула
Ньютона-Лейбница. Дельта-эпсилон формализм, лемма о
милиционере, пределы, правило Лопиталя.

Матшкольник - теория чисел

1. Конечные поля и конечные геометрии. Малая теорема
Ферма. Цикличность группы обратимых элементов в Z/pZ.

2. Основы теории Галуа. .

3. p-адические числа, теорема Островского, умножение и
деление p-адических чисел в столбик. .

4. Иррациональное и трансцендентное. Теорема Лиувилля.
Иррациональность числа е. .

%%%%%%%%

Это довольно реально знать к последнему классу школы, если
школьники хорошо мотивированы и не решают идиотские задачи
вроде "постройте треугольник по медиане, гипотенузе и высоте".

Такие дела
Миша

Зря вы так. "Алгоритмически разрешимы" еще не означает "тривиально разрешимы". Там приходится решать ряд математически тривиальных, а практически очень сложных задач, вроде разложения полиномов. И что делать, если оказалось, что интеграл в элементарных функциях выразить невозможно? Кстати, что означает "взятие интеграла в квадратурах"?

Но это даже не важно. Важно то, о чем писал dmpogo. И про Арнольда неправда, посмотрите хотя бы "Математический тривиум".

...ля

а вот не было у меня 10 лет назад, когда я писал кандидатскую (уж не говоря, когда в институте учился), достаточно мощного компьютера, для Maple

кстати, то что Word умеет все знаки пунктуации рассставлять, из этого следует, что правила учить не надо? Как считате?

%)

p.s.
вобщем-то, никакая это не сенсация, естественно (хотя автор и не претендует) ;), cимвольное интегрирование, конечно, все давно пользуют...

я, конечно, могу говорит только за себя, но во время моего обучения в питерском политехе (начало 90х), на данную область было потрачено минимальное время. Скажем так, это как арифметика. Не считаю, время потраченное на обучение ей бесполезно потраченным. Как сказал мой друг, нынешний преподаватель математики в США, с которым вместе учился "а деток которые 1+1 на калькуляторе складывают я здесь насмотрелся, они тоже считают, что складывать в уме глупо"
Сводить весь курс матанализа (ну или хотя бы всего "демидовича") только к взятию инегралов некорректно. Кстати, нам помимо курса анализа читались и лнейная алгебра и матфизика и теорфизика и численные методы. Многие теоремы при доказательстве использовали обсуждамый аппарат.

Опыт показывает, что знаний, полезных для математика,
у хорошего выпускника матшколы больше, чем у
у выпускников большинства вузов. Потому что вузы
заполнены некомпетентными придурками, которые
за неимением чего-либо еще передают студентам
свою некомпетентность и идиотизм.

Такие дела
Миша

Большинство моих знакомых математиков в жизни
своей профессиональной не брали ни один интеграл. Причем
чем лучше математик, тем меньше шанс, что ему приходилось
брать интеграл.

Такие дела
Миша

Михаил, одна поправка к обоим Вашим ответам. Я не математик. Кандидатская из области физ.кинетики. Точнее -- взаимодействие газа с поверхностью.

Физикам это полезно наверное, я не спорю.
Но тогда Ваше замечание совершенно не по делу

речь, как я понимаю, была о преподавании анализа в институтах...

Только математики (см. предыдущие записи)

Такие дела
Миша

понял.
сорри.

Мужики, читать вас интересно, но долго. Есть конкретный вопрос: надо интегрировать полиномы от нескольких переменных. Скажем, тройной интеграл. Для начала по дэ-икс с границами, зависящими от дельта, игрек и зэт. Потом получившуюся линейну функцию по дэ-игрек с границами от дельта и зэт. Наконец, по дэ-зет. В результате имеем полином только от дельта - он интересен в символьном виде.
Конечно, можно считать и руками. Но очень ЛОМАЕТ даже на пятикратных интегралах (пока не сошлось: это вероятности и сумма 20-ти многочленов пятой степени не дает ноль. Ошибка в четвертой-пятой степенях). На шестикратных интегралах точно нормальный человек повесицо )))
Если кто знает что про это, не сочтите за труд, черкните на pi_31415926@land.ru? Про Маскад и Маппле, конечно, слышал, возможно, они все это и умеют. Хорошо, если так.

проверка OpenID

вроде работает

Да, у меня тоже заработало, видимо, были какие-то временные трудности, спасибо.

Добрый день!

Обратите внимание - в ответе фигурируют функции EllipticPi и EllipticF. Это - неэлементарные функции, через которые можно выразить любой интеграл вида x/sqrt(a*x^4+b*x^3+c*x^2+d). Конкретный случай интеграла от x/sqrt(x^4 + 10*x^2 - 96*x - 71) существенно отличается от общего - именно этот интеграл можно выразить с использованием только элементарных функций. А если поменять, скажем, 71 на 72 - нельзя будет выразить через элементарные (только через EllipticPi и EllipticF). Причина этого в том, что группа Галуа многочлена x^4 + 10*x^2 - 96*x - 71 суть D(4), т.е. генерируется подстановками (1 2 3 4) и (1 3) и состоит из 8 элементов. А если поменять 71 на 72, группа Галуа будет общая, S(4), т.е. генерируется подстановками (1 2), (1 3) и (1 4) и состоит из 24 элементов. Для вопроса интегрирования в элементарных функциях разница принципиальная. Алгоритм Риша ее чувствует. Maple (и любая другая программа, кроме Axiom) - нет. Но и в Axiom алгоритм Риша реализован не полностью. Пример функции, которую ни одна программа (включая и Axiom) не может проинтегрировать, я написал в Википедию (ссылка (http://en.wikipedia.org/wiki/Risch_algorithm)).

У меня МатКад14 все чудесно проинтегрировал, юзайте МатКад

В связи со всеми этими разговорами вспоминается рассказ Азимова "Чувство силы". Помните...

***
Ауб, сколько будет, если
девять умножить на семь?
Ауб поколебался; в его бледных глазах появилась тревога.
- Шестьдесят три, - сказал он.
Конгрессмен Брант поднял брови.
- Это верно?
- Проверьте сами, сэр.
Конгрессмен достал из кармана счетную машинку, дважды передвинул ее
рычажки, поглядел на циферблат у себя на ладони, потом сунул машинку
обратно.
- Черт возьми, верно! Как он угадал!
- Он не угадывает, джентльмены, - возразил Шуман. - Он рассчитал
результат. Он сделал это на листке бумаги.

"7, умноженное на 9, дает 63, - подумал Шуман с глубоким
удовлетворением, - и чтобы сказать это мне, вычислительной машины не
нужно. Вычислительная машина - у меня в голове". От этой мысли он
преисполнился чувства гордости и ощущения собственной силы.
***

Что точно нужно - это запись O(), хотя бы для ответа на воррос "Какой алгоритм работает быстрей?". Если один - O(n^2), а второй - O(n \log n), то второй решает задачу лучше.