Dmitri Pavlov - Изложение математики
January 24th, 2009
05:00 pm

[Link]

Изложение математики

(212 comments | Leave a comment)

Comments
 
[User Picture]
From:[info]kaledin
Date:January 25th, 2009 - 01:21 pm
(Link)
>триангулированной категории - и модельной

Triangulirovannye luchshe. Ponyatno, chto ehto ne vsya pravda, no ponyatno, chto ehto chast' vsej pravdy. Pro model'nye zhe, u menya tverdoe ubezhdenie, chto mesto im na pomojke (v istoricheskoj perspektive, tipa). Kak i DG-kategoriyam, kak i vsyakogo roda simlicial'nym igrushkam, kak i prochim quick hacks.

Ya by tak ne rugalsya, vprochem, esli by na ehtot yazyk ne predpolagalos' perevesti *gomologicheskuyu* algebru (gde po opredeleniyu vse linejno).
From:[info]buddha239.livejournal.com
Date:January 25th, 2009 - 01:36 pm
(Link)
Да, модельные категории - явно не венец гомологической
алгебры.:) Хотя как обобщение резольвент - туда-сюда.:)
[User Picture]
From:[info]kaledin
Date:January 25th, 2009 - 01:43 pm
(Link)
Nu est' zhe formalizm Spaltenstein'a, staryj, no otlichno rabotayushchij: h-injective, h-projective, h-injectives/projectives are left/right orthogonal to acyclic complexes, i t.d. Imeya v rukakh tekhniku lokalizacii v triangulirovannykh kategoriyakh, ispol'zovat' model'nye -- ehto kakoe-to dikoe izvrashchenie.

Voobshche, ponyatiya triangulirovannoj i model'noj kategorii ne tol'ko ne svyazany -- oni v kakom-to smysle ortogonal'ny drug drugu; vplot' do togo, chto [expletive deleted] Hovey v svoej [expletive deleted] knige pozvolil sebe ponyatie triangulirovannoj kategorii vnagluyu pereopredelit'. Znaet koshka, ch'e myaso pytaetsya est'.
From:[info]buddha239.livejournal.com
Date:January 25th, 2009 - 02:05 pm
(Link)
Я бы все же сказал, что не ортогональные, а дополняют
друг друга. Без "усилений" бывает трудно. Например, такая вот
задачка. Есть триангулированная категория Т, порожденная (скажем, в
сильном смысле)
некоторой аддитивной А. При этом, Т-морфизмы между объектами А
бывают только нулевой степени. Верно ли, что $T\cong K^b(A)$? Если научите, как решать - буду очень благодарен! Проблема в том, что в триангулированной категории нет нормального понятия "хорошего" морфизма выделенных треугольников. Т.е. чтобы установить такой изоморфизм, придется. видимо, выделить какой-то неканонический класс "хороших морфизмов треугольников".
[User Picture]
From:[info]kaledin
Date:January 25th, 2009 - 02:42 pm
(Link)
>Т.е. чтобы установить такой изоморфизм, придется. видимо, выделить какой-то неканонический класс "хороших морфизмов треугольников".

Imenno. Durackij sposob ehto delat' ehto vernut'sya obratno na uroven' modelej (DG, ili kakikh pridetsya v closed model smysle). Umnyj -- aksiomatizirovat' situaciyu. Otchasti ehto sdelano v staroj stat'e Beilinsona "On the dervied category of perverse sheaves", lecture note 1289 (v appendiske pro "fil'trovannye proizvodnye kategorii"). U nego byla ochen' konkretnaya zadacha, emu nuzhen byl funktor sraveniya iz proizvodnoj ot yadra t-struktury, poehtomu on ogranichilsya kategoriyami fil'trovannykh ob'ektov (v chastnosti treugol'niki, takzhe i simpleksy bol'shej dliny). Obshchij formalizm ehto formalizm derivatorov, kotoryj v nastoyashchij moment v prigodnom vide ne propisan i ne sdelan. No budet sdelan rano ili pozdno.

T.e. ponyatie, kotoroe ne vyzyvaet ottorzheniya -- ehto triangulirovannaya kategoriya plyus chto-to eshche, no chto-to eshche kanonicheskoe, kotoroe v primerakh est' i odno -- a ne modeli, kotorye byvayut raznye. Esli my gotovy vozit'sya s modelyami, triangulirovannye kategorii kak by i ne nuzhny.

V principe, uzhe Beilinsonovskogo osnashcheniya hvataet na mnogoe -- naprimer, kak raz sejchas pro ehto dumal, vrode by K-teoriya vosstanavlivaetsya po nemu.
From:[info]buddha239.livejournal.com
Date:January 25th, 2009 - 04:13 pm
(Link)
Может, я чего-то не так понял - но мне казалось, что
Бейлинсон вкладывает Д в некоторую ДФ. Никто, при этом. не
обещает. что ДФ существует и/или единственна.

Что касается дериваторов: то, что есть сейчас, может решить эту
задачу?:) Или речь о том, что без дополнительных структур это неверно?
Тогда интересно было бы увидеть контрпример.:)
[User Picture]
From:[info]kaledin
Date:January 26th, 2009 - 03:43 pm
(Link)
>ДФ существует и/или единственна

A ehto skoree vsego ne tak.

Ya kak by s togo i nachal: triangulirovannaya kategoriya ehto chast' pravdy, no ne vsya pravda. Polnaya struktura soderzhit, v chastnosti, i DF.

Point v tom, chto DF na praktike vsegda est' i odna. A modeli byvayut raznye. T.e. nikto i ne predpolagaet, chto model'naya kategoriya ehto pravil'nyj odnoznachnyj ob'ekt: postroiv chto-to cherez modeli, potom dokazyvayut, chto ono ne zavisit ot ehkvivalentnosti. Tem samym, v gomologicheskom kontekste naprimer, neponyatno, nafig voobshche vvodit' triangulirovannye kategorii -- mozhno bylo prodolzhat' rabotat' s kompleksami.

Pri ehtom ya sovershenno ne vozrazhayu protiv ispol'zovaniya model'nogo formalizma na praktike, osobenno esli pryamo sejchas. Ya prosto dumayu, chto on otomret, i dovol'no skoro. Poehtomu vvodit ego v basic courses ne nuzhno.

>то, что есть сейчас, может решить эту задачу?:)

Vopros otchasti religioznyj. S moej tochki zreniya, to, chto est' sejchas pod nazvaniem derivatorov -- Maltsiniotis, Cisinski i dr. -- voobshche ne mozhet byt' ispol'zovano, potomu chto izpol'zuet v opredelenii ravenstvo funktorov (ne izomorfizm). No ehto v principe preodolimo, kazhetsya; prosto ehti konkretnye lyudi ne mogut ili ne khotyat preodolet'.

Tak chto po faktu, sejchas est' DF-formalizm Beilinsona, i vse.

Pro konkretnuyu zadachu, ehto nado smotret', chto v tochnosti nuzhno. DF mozhet hvatit'.
From:[info]buddha239.livejournal.com
Date:January 26th, 2009 - 06:29 pm
(Link)
А проследил ли кто-нибудь связь между моделями и ДФ?

Вашу идею я понял - и даже согласен.:) Но, пока светлое будущее еще не наступило, хотелось бы понять - решается ли моя задача для триангулированных категорий без дополнительных структур?:)
[User Picture]
From:[info]kaledin
Date:January 27th, 2009 - 03:59 am
(Link)
>решается ли моя задача для триангулированных категорий без дополнительных структур?

Ne, nu vrode ponyatno, chto net. Khotya vsyakoe byvaet.
From:[info]siyuv.livejournal.com
Date:January 25th, 2009 - 03:13 pm
(Link)
Техника локализации в триангулированной категории разработана только в присутствии Брауновской представимости. Если ее нет, то приходиться обращаться к моделям.

Еще пример где модельной категории, кажется, не избежать это вопрос о том как построить триангуляцию для категории морфизмов данной модельной категории.
[User Picture]
From:[info]kaledin
Date:January 25th, 2009 - 03:49 pm
(Link)
>триангуляцию для категории морфизмов данной модельной категории

Ehto chast' dannykh dolzhna byt', konechno.
From:[info]buddha239.livejournal.com
Date:January 25th, 2009 - 04:16 pm
(Link)
Ну да; без гомотопических пределов сложно.:)
From:[info]siyuv.livejournal.com
Date:January 25th, 2009 - 04:55 pm
(Link)
Дело не в них. Для локализации не нужны произвольные гомотопические пределы. Pushout-ов и трансфинитных композиций вполне хватает, а они как правило есть (по-крайней мере счетные композиции). Сделать с ними все равно ничего нельзя. Концептуальная сложность заключяется в том, что объекты компактные в модели не обязаны быть компактными в триангулированной категории.
From:[info]buddha239.livejournal.com
Date:January 25th, 2009 - 04:59 pm
(Link)
Не буду спорить - не шибко в этом разбираюсь. А вот гомотопические пределы мне нужны.:)
From:[info]siyuv.livejournal.com
Date:January 25th, 2009 - 03:37 pm
(Link)
pozvolil sebe ponyatie triangulirovannoj kategorii vnagluyu pereopredelit' -- немного сузил, отбросив лишь потенциальные контр-примеры триангулированных категорий, заведомо не имеющих моделей. изложение от этого сильно выиграло. Книжка Хови хорошая, правда не про гомологическую алгебру.
[User Picture]
From:[info]kaledin
Date:January 25th, 2009 - 03:47 pm
(Link)
>отбросив лишь потенциальные контр-примеры триангулированных категорий, заведомо не имеющих моделей. изложение от этого сильно выиграло

Chelovek beret ponyatie s 30letnej istoriej i millionom standartnykh primenenij v raznykh oblastyakh, i pereopredelyaet ego pod sebya. Nu, kazhdomu svoe. Dlya menya, ehto dostatochnaya prichina dlya togo, chtoby knizhku vybrosit' na pomojku. I ne ispol'zovat' nikakikh utverzhdenij ottuda voobshche. Po soobrazheniyam ehlementarnoj gigieny.

Ne dolzhno menya volnovat', imeet li triangulirovannaya kategoriya modeli v smysle Hovey, ili eshche v kakom smysle, ponimaete?

A esli ego ehto volnuet, pust' vvodit svoj termin. A ne zanimaetsya otkrovennym zhul'nichestvom "zaradi gladkosti izlozheniya".
From:[info]siyuv.livejournal.com
Date:January 25th, 2009 - 04:33 pm
(Link)
...i pereopredelyaet ego pod sebya -- это не первая модификация понятия триангулированной категории.

I ne ispol'zovat' nikakikh utverzhdenij ottuda voobshche. Po soobrazheniyam ehlementarnoj gigieny. -- Он приводит классическое определение и доказывает, что его понятие является частным случаем. Контр-примеров в обратную сторону он на тот момент не знал, поэтому модификация терминологии была делом не срочным и формально не была необходима, т.к. его триангулированные категории действительно триангулированы. Так что с точки зрения гигиены, мне кажется, что все чисто. Для обвинения в жульничестве не вижу вовсе никаких оснований.

Ne dolzhno menya volnovat', imeet li triangulirovannaya kategoriya modeli v smysle Hovey, ili eshche v kakom smysle, ponimaete? -- Книжка про модельные категории содержит главу про стабильные модельные категории. Понятие триангулированной категории объясняется по ходу дела и никак не претендует на полноту изложения. Я не понимаю зачем Вы взялись читать книжку Хови, если Вас не интересуют эти вопросы.

From:(Anonymous)
Date:January 25th, 2009 - 10:26 pm
(Link)
я не понимаю. формально, он совершенно безосновательно модифицировал стандартную терминологию и создал никому не нужную путаницу (и в книге, и в статьях, на нее ссылающихся). это противоречит "элементарной гигиене". говорил бы о симплициальных триангулированных категориях, и все были бы рады. а жульничество -- ну так кроме (мелкого) жульничества, другой мотивации для изменения термилогии не видно. на гладкость изложения он не упоминает даже.
From:[info]siyuv.livejournal.com
Date:January 26th, 2009 - 04:45 am
(Link)
Никакой путаницы в книге Хови нет. Он ввел понятие триангулированной категории через пре-триангулированную, четко указав отличие от стандартного определения. Причины такого подхода очевидны -- он хотел указать что существенная часть структуры сохраняется в нестабильном случае. Разумеется человеку занимающемуся гомологической алгеброй это не интересно, но топологу эта информация может пригодиться.

Если бы он использовал свою модификацию, чтобы "причесать" формулировки теорем, то я бы понял обвинение в (мелком) жульничестве, но этого в книжке нет. Причины модификации носят чисто педагогический характер, хотя это и не упоминается в явном виде. Если бы он ввел новую терминологию, то путаницы было бы несравненно больше.
From:(Anonymous)
Date:January 26th, 2009 - 07:13 pm
(Link)
Если бы он ввел новую терминологию, то путаницы было бы несравненно больше.

откуда бы взялась путаница, если бы он ввел новый, ясный и понятный термин, который сам же и предложил, для своего понятия ? и не могли бы пояснить, в чем состоят педагогические причины ?


Если бы он использовал свою модификацию, чтобы "причесать" формулировки теорем, то я бы понял обвинение в (мелком) жульничестве, но этого в книжке нет

там же есть (не столь важные?) теоремы вида пусть - триангулированная категория . они мне кажутся "причесанными". это не столь важно, важнее, что в новых топологических статьях теперь приходится разбираться, какое понятие триангулированный категории имеет автор в виду. неспециалисту это неприятно.


From:[info]siyuv.livejournal.com
Date:January 27th, 2009 - 01:55 pm
(Link)
если бы он ввел новый, ясный и понятный термин ... для своего понятия -- то это называлось бы умножением сущностей без необходимости. Окам предупреждает, что ни к чему хорошему это не приводит. Не стоит давать громкие названия проходным понятиям. Объяснений в книжке достаточно, чтобы исключить возможную путаницу.

в чем состоят педагогические причины ? -- в том, что этот нехитрый прием позволил автору попутно изложить результаты Квиллена о том, что любая пунктированная модельная категория индуцирует функторы надстройки и петель на гомотопической категории.

там же есть (не столь важные?) теоремы вида пусть - триангулированная категория -- оригинальных результатов начинающихся такой фразой я не припомню. Может быть есть какие-то леммы необходимые для доказательства того, что гомотопическая категория стабильной модельной категории является триангулированной. Если Вас волнует что-то конкретное, то можно обсудить. Вообще, когда предъявляется обвинение в жульничестве, то хорошо бы конкретизировать, иначе это пустой треп, к тому же весьма обидный.

важнее, что в новых топологических статьях теперь приходится разбираться, какое понятие триангулированный категории имеет автор в виду -- ни разу не встречал такой статьи, как, впрочем, и тополога, выучившего триангулированные категории по Хови. Приведите пожалуйста пример, чтобы было о чем говорить.
From:(Anonymous)
Date:January 29th, 2009 - 09:55 am
(Link)
"если бы он ввел новый, ясный и понятный термин ... для своего понятия" -- то это называлось бы умножением сущностей без необходимости. Окам предупреждает, что ни к чему хорошему это не приводит. Не стоит давать громкие названия проходным понятиям.

Весьма неожиданная точка зрения (для меня).


"в чем состоят педагогические причины ?" -- в том, что этот нехитрый прием позволил автору попутно изложить результаты Квиллена о том, что любая пунктированная модельная категория индуцирует функторы надстройки и петель на гомотопической категории.

Т.е., если бы называл триангулированную категорию симплициально триангулированной, ему бы не удалось изложить эти результаты?



"там же есть (не столь важные?) теоремы вида пусть - триангулированная категория" -- оригинальных результатов начинающихся такой фразой я не припомню. Может быть есть какие-то леммы необходимые для доказательства того, что гомотопическая категория стабильной модельной категории является триангулированной

видимо, эти леммы я и имел в виду.



"важнее, что в новых топологических статьях теперь приходится разбираться, какое понятие триангулированный категории имеет автор в виду" -- ни разу не встречал такой статьи, как, впрочем, и тополога, выучившего триангулированные категории по Хови. Приведите пожалуйста пример, чтобы было о чем говорить.


Извините, я плохо выразился. Я всего лишь имел в виду, что мне, неспециалисту, априорно не понятно, какая терминология используется.
В этом, и каждом конкретном, случае это лишь небольшое раздражение и неудобство, не более того. Но когда такой разнобой накапливается, это может стать существенным (собственно, поэтому речь и шла о гигиене -- нет ничего плохого в том, что Вася не моет руки. плохо, если многие не моют руки..)


From:[info]siyuv.livejournal.com
Date:January 29th, 2009 - 05:20 pm
(Link)
Т.е., если бы называл триангулированную категорию симплициально триангулированной, ему бы не удалось изложить эти результаты? -- неудачный термин, почему симплициально? Его триангулированные категории получаются из полу-триангулированных, а не из модельных. То подмножество, которое Хови называет триангулированными категориями неинтересно, видимо, ни с какой точки зрения, кроме педагогической, и вообще неясно отличается ли оно от общего понятия. Если Вам так уж нужно название, то зовите эти категории триангулированными в смысле Хови. Это по крайней мере продолжит славную традицию бардака в этой области (в смысле Пуппе, в смысле Вердье, в смысле Хеллера,...). Если уж выделять какие либо триангулированные категории релевантные для книжки Хови, так это имеющие модели.

априорно не понятно, какая терминология используется -- априорно считается что Вердье.
[User Picture]
From:[info]kaledin
Date:January 26th, 2009 - 03:33 pm
(Link)
>Я не понимаю зачем Вы взялись читать книжку Хови, если Вас не интересуют эти вопросы.

Potomu chto ehto standard reference, i ee ispol'zuyut v takovom kachestve raznye khoroshie lyudi (naprimer Toen).

Prichem u menya nikakogo predubezhdeniya ne bylo, vernee, bylo v obratnuyu storonu.

Dlya sebya, ya by konechno teper' predpochel Kana i Bousfielda. Esli dejstvitel'no ponadobitsya. A tak, starayus' izbegat'.

>не первая модификация понятия триангулированной категории

Pervaya. Imeetsya kanonicheskij tekst Verdier, s tekh por ni odnomu normal'nomu matematiku kazhetsya ne prikhodilo v golovu pereopredelyat'. Ehto voobshche ne praktikuetsya, pereopredelyat' standartnye ponyatiya. Krome kak v topologii, gde v osnovaniyakh tradicionno polnyj bardak.
From:[info]siyuv.livejournal.com
Date:January 26th, 2009 - 07:26 pm
(Link)
raznye khoroshie lyudi (naprimer Toen) -- отрадно слышать, что хоть кто-то из тех кто "подхватил и канонизировал" модельные категории не является уродом. Или я ошибаюсь, и "урод" и "хороший человек" не являются взаимно исключающими понятиями в Вашем лексиконе?

ya by konechno teper' predpochel Kana i Bousfielda -- и напрасно, там про модельные категории почти ничего нет (если Вы имеете ввиду их совместную книжку).

Попробуйте при случае Хиршхона, там про триангулированные категории вроде бы ничего нет, так что отвращения вызывать не должен.

Imeetsya kanonicheskij tekst Verdier -- вообще-то Пуппе на год раньше опубликовался и определил тоже понятие без лишней аксиомы. В каком смысле текст Вердье канонический? Имеются еще триангулированные категории Хеллера -- не помню эквивалентны ли они стандартным. Так что Хови отнюдь не оригинален в модификации этого понятия.

Ehto voobshche ne praktikuetsya, pereopredelyat' standartnye ponyatiya -- я Вас должен разочаровать (или порадовать?), но Хови умудрился модифицировать даже понятие модельной категории (у Квиллена не было произвольных пределов, а только конечные и он не требовал функториальности факторизаций), причем совершенно безосновательно, только ради упрощения изложения. Но это не повод обвинять его в жульничестве. Как Вы верно заметили, в топологии переопределять (уточнять, улучшать) стандартные понятия старая традиция: говорим топ. пространства, подразумеваем compactly generated weakly Hausdorff... Никто из-за этого особо не переживает. Может Хови отчасти извиняет то, что он тополог?
[User Picture]
From:[info]kaledin
Date:January 27th, 2009 - 04:07 am
(Link)
>отрадно слышать

nu chto, mne chto li sebya citirovat'? tam vse napisano, v pervom kommentarii

>В каком смысле текст Вердье канонический?

V pryamom.

Ponimaete, est' real'naya matematika, i est' osnovaniya. Osnovaniya veshch' vazhnaya, no, --- I vot v real'noj matematike nikakoj kontroversii v ehtom meste net. Triangulirovannye kategorii ehto bazovyj rabochij ob'ekt v polovine primerno disciplin (alg.geometriya, teoriya predstavlenij i t.d.) A Puppe oshibsya. Ehto i ponyatno: u topologov v golove est' rovno odin primer -- po krajnej mere na tot moment byl rovno odin primer -- i ochen' trudno pojmat' godnuyu aksiomatiku na odnom primere.

>но Хови умудрился модифицировать даже понятие модельной категории

Ya v kurse. Ya uzhe ne stal pisat', chtoby ne navodit' ten' na pleten'. No tozhe bezobrazie konechno -- naprimer, on tem samym za prosto tak, za zdorovo zhivesh', vykinul nafig veshchi tipa proizvodnoj kategorii kogerentnykh puchkov na algebraicheskom mnogoobrazii.

>если Вы имеете ввиду их совместную книжку

Net, ya imeyu v vidu original'nye stat'i. Esli mne vdrug ponadobitsya teorema o simplicial'noj lokalizacii, budu chitat' Bousfield'a.
From:[info]siyuv.livejournal.com
Date:January 27th, 2009 - 07:09 am
(Link)
nu chto, mne chto li sebya citirovat'? -- зачем? Ваш комментарий висит на самом видном месте. Там написано, что уроды подхватили и канонизировали (кстати, что Вы имеете в виду?) модельные категории. Так Тоен "урод" или "хороший человек"? Если не трудно, то поясните пожалуйста кого еще Вы причисляете к "уродам": Кана, Боусфилда, Двайера, Смита, Мореля, Воеводского,...? Из Вашего комментария это не очень ясно.

>В каком смысле текст Вердье канонический?

V pryamom.


В прямом смысле каноническим бывает только святое писание. Уж не творите ли Вы себе кумира?

Osnovaniya veshch' vazhnaya, no... -- модельные категории не относятся ни к основаниям математики, ни к основаниям гомологической алгебры. То что автор поста считает иначе, не повод предполагать что кто-то другой так думает.

...v real'noj matematike nikakoj kontroversii v ehtom meste net -- конечно нет, уже лет 20 как доказали эквивалентность определений.

A Puppe oshibsya -- в чем? Даже странно через столько лет возвращаться к этому вопросу. Уж если кто из двоих и ошибся, так это Вердье, сделав аксиомы зависимыми, но задним числом понятно, что ошибки как-таковой не было.

...on tem samym za prosto tak, za zdorovo zhivesh', vykinul nafig veshchi tipa proizvodnoj kategorii kogerentnykh puchkov na algebraicheskom mnogoobrazii -- кто-нибудь из алгебраических геометров закрыл этот досадный пробел?
[User Picture]
From:[info]kaledin
Date:January 27th, 2009 - 03:01 pm
(Link)
>кто-нибудь из алгебраических геометров закрыл этот досадный пробел?

Ugu -- ignorirovaniem bessmyslennoj i bespoleznoj knigi.

Kstati, my ne odni takie. Vot Bousfield, arXiv:math/0312531, razdel 2.1:

"By a model category we mean a closed model category in Quillen's original sense."

>уже лет 20 как доказали эквивалентность определений

As'? vy schitaete, chto aksioma oktaedra vyvoditsya iz ostal'nykh? ssylku, pozhalujsta?

>nu chto, mne chto li sebya citirovat'?

Citiruyu, raz u vas problemy s vospriyatiem pis'emnnogo teksta:

--------------------------------------------------------------

U Quillena ehto byla *zatychka*, tekhnicheskij sposob sformulirovat' soderzhatel'nuyu teoremu. A potom urody kanonizirovali i podkhvatili. Sporu net, zatychka udobnaya, narod do sikh por pol'zuetsya, v tom chisle i dlya soderhzatel'nykh teorem

--------------------------------------------------------------
From:[info]siyuv.livejournal.com
Date:January 27th, 2009 - 03:27 pm
(Link)
ssylku, pozhalujsta? -- Пожалуйста: Margolis H.R. Spectra and the Steenrod Algebra (North-Holland, 1983), Appendix 2.

Citiruyu, raz u vas problemy s vospriyatiem pis'emnnogo teksta -- этот текст я воспринял, хоть и не без труда, но попросил уточнений кого именно Вы относите к уродам и в каком смысле были канонизированы модельные категории. Вы упорно отказываетесь требуемые уточнения выдать. Непоследовательно это.
[User Picture]
From:[info]kaledin
Date:January 27th, 2009 - 03:34 pm
(Link)
>Вы упорно отказываетесь требуемые уточнения выдать.

Ya skazal, chto skazal. Chego ne govoril, togo govorit' ne khochu. Chto neponyatno?

>Margolis H.R. Spectra and the Steenrod Algebra (North-Holland, 1983), Appendix 2

Spasibo bol'shoe!! no vse zhe -- vy menya zaintrigovali po samoe nemogu, a sejchas biblioteka zakryta -- tam dejstvitel'no dokazyvaetsya, chto esli est' additivnaya kategoriya so sdvigom i klassom vydelennykh treugol'nikov, kotoraya udovletvoryaet pervym trem aksiomam Verdier, to ona zhe udovletvoryaet i poslednej, t.e. aksiome oktaedra? vot pryamo tak?

Nu v smysle, ya ne to chtoby skhodu znayu kontrprimer, no kak ego stroit', primerno ponimayu.
From:[info]siyuv.livejournal.com
Date:January 27th, 2009 - 04:12 pm
(Link)
Ya skazal, chto skazal -- Вы сакзали довольно обидную вещь. Для многих людей, в том числе и для меня. Причем совершенно безосновательно. Не подумайте, что я пытаюсь учить Вас хорошим манерам, но юношеский максимализм понятен, простителен и где-то даже симпатичен для автора исходного поста. Когда же подобные вещи слышишь от человека с Вашим авторитетом, то вполне логично попросить объяснение и обоснование. Впрочем изначально я не собирался этого делать, ответил вам по существу для чего нужны модельные категории, но бессмысленные обвинения Хови в жульничестве все же привели к этому неприятному объяснению.

vot pryamo tak? -- вроде бы. Я не поручусь за конкретно такую формулировку, но там доказывается, что определения Пуппе и Вердье эквивалентны. У меня уже достаточно поздно, чтобы смотреть детали, но я послал Вам ссылку на DJVU файл с книжкой Марголиса на Ваш адрес в Независимом, так что Вам не придется ждать до завтра.
[User Picture]
From:[info]kaledin
Date:January 27th, 2009 - 04:28 pm
(Link)
>бессмысленные обвинения Хови в жульничестве

Izvinite pozhalujsta -- ya chetko skazal, chto imenno ya schitayu zhul'nichestvom. For the record, just in case: nikakikh drugikh zhil'nicheskikh dejstvij ya za nim ne znayu, i ne dumayu, chto oni est'. Esli vy ehto ukazannoe rascenivaete po-drugomu, -- nu otlichno; v chem vopros-to?

Za knigu spasibo!! -- sejchas po ehtomu povodu stavlyu na laptop djview. Voobshche, ofiget' konechno -- kolhoz vylozhili na lib.rus.ec. Ne zrya ya vsegda voskhishchalsya librusec'om.
From:[info]siyuv.livejournal.com
Date:January 28th, 2009 - 05:09 am
(Link)
librusec рулит. В этом мы сходимся. Вообще у нас не слишком много расхождений по фактам, в основном по оценкам.
[User Picture]
From:[info]kaledin
Date:January 27th, 2009 - 07:43 pm
(Link)
Koroche, knizhku ya posmotrel. Tam snachala ob'yasnyayutsya aksiomy Puppe, oni zhe aksiomy Verdier bez aksiomy oktaedra (i skazano, chto pro oktaedr pogovorim potom). Zatem dokazyvayutsya kakie-to lemmy. Stranic cherez 5-10 govoritsya: a vot ehtogo, naprimer, my dokazat' ne mozhem, i ehto skoree vsego neverno "v proizvol'noj triangulirovannoj kategorii". Poehtomu nado dobavit' eshche odnu aksiomu "aksiomu oktaedra". Dalee dokazano neskol'ko lemm dlya "triangulirovannykh kategorij s aksiomoj oktaedra". Vse ponyatno v obshchem, obychnoe izlozhenie, kak v lyubom drugom uchebnike ili appendikse.

Chego ya ne ponyal, ehto kakogo cherta vy morochili mne golovu i tratili moe vremya.

Mozhet sozdat'sya vpechatlenie, chto ya plokho dumayu o topologakh. Ehto neverno; dazhe i naoborot, pered nekotorymi topologami ya pryamo-taki preklonyayus' -- nu tam, iz starshikh Madsen, Goodwillie, mnogo kto na samom dele. A vot pro nekotorykh da, dumayu plokho -- kak pro pustozvonov i brekhunov. Pozdravlyayu, vy teper' v ikh chisle.

Nothing personal. Prosto zhizn' ochen' korotka, zhalko minut.
From:[info]siyuv.livejournal.com
Date:January 28th, 2009 - 05:41 am
(Link)
...kakogo cherta vy morochili mne golovu i tratili moe vremya -- извините пожалуйста, это было неосмотрительно с моей стороны заставлять вас тратить драгоценные минуты на то чтобы вывести на чистую воду Марголиса, который на стр. 469 в качестве заключительного результата обещает представить доказательство эквивалентности своего определения определениям Вердье или Пуппе. Формально он не врет, конечно, но чтобы уяснить, что он это делает отбрасывая аксиому октаэдра нужно вчитываться в детали. Спасибо, что Вы это сделали. Надеюсь, однако, что Вы не будете считать это время потраченным совсем впустую, поскольку теперь Вы знаете, что Хови далеко не первый кто модифицировал понятие триангулированной категории.

Я не являюсь специалистом по триангулированным категориям и вопрос о том какая из канонизированных Вами аксиом Вердье является избыточной представляется мне мало интересным. Не октаэдральная, так другая. Все что я хотел сделать в этом треде, это указать на то, что Вы слишком строго судите Хови. Насколько мне это удалось я не знаю, но попытаться стоило, поскольку выше по ветке некий анонимный молодой человек вслед за Вами стал обвинять Хови в нечистоплотности, а тенденции распространения столь поверхностных оценок стоит противостоять.

...kak pro pustozvonov i brekhunov. Pozdravlyayu, vy teper' v ikh chisle -- не лукавьте, Вы наверняка отнесли меня к этим и другим еще менее почетным категориям граждан просто заглянув в мой журнал и выяснив, что я интересуюсь модельными категориями. На основании того, что я ошибочно предположил, что октаэдральная аксиома следует из остальных такой вывод сделать нельзя, поскольку я Вас честно предупредил, что деталей не проверял, и изучать Марголиса Вы отправились на свой страх и риск. Если Вы все же настаиваете на такой нелицеприятной оценке моей скромной персоны, то похожий вывод Вам придется сделать и про себя, поскольку ранее Вы утверждали, что Хови единственный, кто осмелился прикоснуться к святому для Вас определению Вердье. Это не так. На всякий случай, во избежание: я вовсе не считаю Вас брехуном, просто делаю выводы на основании предложенных Вами оценок.

...Madsen, Goodwillie -- безусловно очень достойные люди, но модельными категориями не занимаются. Так что оскорбление, походя брошенное Вами в адрес целой области топологии и ее представителей (неполный список прилагается), остается подвешенным в воздухе и нуждается в обосновании и объяснении. Иначе придется счесть Вас пустозвоном.
[User Picture]
From:[info]kaledin
Date:January 28th, 2009 - 04:49 pm
(Link)
>Все что я хотел сделать в этом треде, это указать на то, что Вы слишком строго судите Хови.

Da ya voobsbche v ehtom trede slishkom rezok, tipa spat' nado men'she, i dumat' bol'she prezhde chem pisat'.

Hovey na samom dele khoroshij i poleznyj. Naprimer, u nego mnogo vnyatnykh tekstov pro sobstvenno topologiyu, i formal'nykh, i neformal'nykh zametok na seti. A knizhka -- durackaya i skoree vrednaya. Zrya on polez v ehto delo voobshche; ne nado propisyvat' osnovaniya, esli ne imeesh' v golove dostatochnogo kolichestva primerov.

Ehto global'naya problema s topologami: v srednem, oni ne schitayut nuzhnym ser'ezno uchit' chto-libo krome topologii. T.e. zhivut v nekotorom ghetto. Nenormal'nost' situacii mnogie osoznayut, Hopkins naprimer celyj traktat pisal. No popytki vybrat'sya iz nee sovershenno durackie tozhe. Tipa, prezhde chem vvodit' hrabruyu novuyu algebraicheskuyu geometriyu, nedurno bylo by vyuchit' imeyushchuyusya; i t.d. i t.p. Vykhodit kak-to neopryatno i nechisto.

Isklyuchenij polno, no oni, chto zabavno, pochte vse ne amerikanskie (a topologiya nauka v osnovnom amerikanskaya, statisticheski govorya).

Apropos: vsego by ehtogo ne bylo, esli by S.P. Novikov volevym usiliem ne ubil topologiyu v Moskve v nachale 70kh, pryamo pered bumom gomologicheskoj algebry v Moskve 80kh. No ehto drugaya istoriya konechno.

>а тенденции распространения столь поверхностных оценок стоит противостоять.

Slushajte, nu kuda uzh dal'she -- von dazhe Bousfield podderzhivaet (i pytaetsya ispravit' situaciyu, vvodya terminy, kotorye dolzhen byl vvesti sam Hovey -- po chasti model'nykh kategorij, triangulirovannye Bousfield'a ne volnuyut).

>я интересуюсь модельными категориями

Ya videl, da. Delo khoroshee.

Davajte ya bajku rasskazhu; raz uzh vy menya obozvali raznymi pochetnymi slovami, vospol'zuyus' sluzhebnym polozheniem i rasskazhu bajku. Kogda ya byl studentom, odin moj znakomyj prishel k Bernsteinu i skazal chto tipa, Osya, khochu u vas uchit'sya. Nu, Bernstein sprosil, chem vy zanimaetes' i khotite zanimat'sya. Tot govorit, "gomologicheskoj algebroj". Bernstein ochen' udivilsya i skazal: "Gomologicheskoj algebroj zanimat'sya nel'zya. Ehto tekhnika."

Tak chto tipa sovet -- pouchite raznuyu matematiku soderzhatel'nuyu tozhe, s konkretnymi primerami i myasom; ne zanimajtes' tol'ko tekhnikoj. Togda, naprimer, stanet kak-to ochevidno, chto opredelenie Verdier ne bolee sakral'naya veshch', chem opredelenie gruppy ili kol'ca. No chto i menyat' ego nado tol'ko esli dejstvitel'no ochen' nuzhno -- tak zhe, kak opredelenie gruppy ili kol'ca.

Kommentarii v strannom tone po povodu "anonimnogo molodogo cheloveka" -- s chego vy kstati vzyali, chto ehto on, i chto on molodoj? -- ostavlyayu na vashej sovesti.
[User Picture]
From:[info]kaledin
Date:January 28th, 2009 - 04:50 pm
(Link)
>spat' nado men'she

Bol'she!! bol'she, ne men'she. Fuck.
From:[info]siyuv.livejournal.com
Date:January 28th, 2009 - 05:43 pm
(Link)
Ох, Дима, у меня у младшего ребенка сейчас как раз зубки режутся, так что реализовать этот Ваш совет я смогу не скоро. По существу отвечу завтра.
From:[info]marina_p
Date:January 29th, 2009 - 04:12 am
(Link)
А что такое "храбрая новая алгебраическая геометрия"?
[User Picture]
From:[info]kaledin
Date:January 29th, 2009 - 04:59 am
(Link)
A vot [info]siyuv@lj kak raz pisal. Grubo govorya, "nado rassmatrivat' kommutativnye kol'ca ne nad Z, a nad spektrom sfer". Voobshche govorya, ehto ideya sovershenno pravil'naya po mnogim prichinam (skazhem tak, mnogie gomologicheskogo svojstva konstrukcii pri ehtom uproshchayutsya i vyglyadyat estestvennee). No prakticheskaya realizaciya, pri imeyushchejsya tekhnike, vyglyadit ne osobo ubeditel'no.
From:[info]marina_p
Date:January 29th, 2009 - 07:11 am
(Link)
Это про "массовый перенос результатов из теории колец на кольцевые спектры"?
[User Picture]
From:[info]kaledin
Date:January 29th, 2009 - 02:32 pm
(Link)
Ugu.

No tol'ko tam skoree ne kol'ca, a mnogoobraziya: v obychnom mire, mnogoobraziya nado skleivat' iz affinnykh, no raz my vse ravno perekhodim k kol'cevym spektram, mozhno promezhutochno perejti k DG algebram, a togda lyuboe mnogoobrazie stanovitsya affinnym (tochnoe utverzhdenie -- proizvodnaya kategoriya kogerentnykh puchkov ehkvivalentna proizvodnoj kategorii DG modulej nad DG algebroj). Sklejka vshivaetsya v ehto samoe "DG".
From:[info]siyuv.livejournal.com
Date:January 30th, 2009 - 07:52 am
(Link)
Я вообще-то про "новую храбрую алгебру писал", даже поначалу решил, что Вы DAG так называете.

proizvodnaya kategoriya kogerentnykh puchkov ehkvivalentna proizvodnoj kategorii DG modulej nad DG algebroj -- а где это можно поподробней посмотреть? Я не знал, что там вся геометри
From:[info]siyuv.livejournal.com
Date:January 30th, 2009 - 07:56 am

слетел коммент

(Link)
Я не знал, что там вся геометрия по-пути погибает. Как думаете, если кольцевые спектры научиться склеивать, то можно получить нормальную версию DAG, чтобы тысячи страниц Лури и сотни Тоена можно было бы забыть как страшный сон?
[User Picture]
From:[info]kaledin
Date:February 1st, 2009 - 02:48 pm

Re: слетел коммент

(Link)
>сотни Тоена

Lurie mozhno zabyt' uzhe sejchas, ya dumayu, po krajnej mere mne tam soderzhaniya ne izvestno; a Toena, ya podozrevayu, nel'zya -- tam vse po delu. Khotya i izlozheno dovol'no uzhasno. No klyuchevaya teorema -- chto stehk modulej ob'ektov v DG kategorii "geometrichen" -- ehto po-vidimomu rezul'tat ves'ma soderzhatel'nyj. Ya ego ne ponimayu; skoro budem ehto delo na seminare razbirat'.

>а где это можно поподробней посмотреть

Ne, nu ehto dovol'no khorosho izvestno. Samaya obshchaya teorema dokazana, po-vidimomu, Rouqier. Tochnykh ssylok ya ne znayu (esli nado, mogu sprosit'). V principe, ono dolzhno by byt' v doklade Kellera na ICM06, ehto khoroshij spravochnik po state-of-the-art v ehtoj nauke.
From:[info]siyuv.livejournal.com
Date:January 29th, 2009 - 06:12 pm
(Link)
Ну что же, все правильно Вы пишете. Возразить мне по существу нечего. А где Хопкинс высказывался о необходимости повышать образованность топологов?

Вот только это
>я интересуюсь модельными категориями

Ya videl, da. Delo khoroshee.

входит, кажется, в противоречие с изначальным комментом.

И байка про Бернштейна хорошая, вполне подходит для модельных категорий.

Не соглашусь, пожалуй только с Вашей интерпретацией слов Боусфилда. Делить ему с Хови особо нечего. Все что он хотел сказать, это что его результат применим в максимально возможной общности.

Давайте я Вам лучше расскажу чем мне нравится эта книга. Это не standard reference (Хиршхорн все же гораздо полнее), а учебник, упрощенный до предела. Поверьте, я не меньше Вашего страдаю от этих упрощений, мне то как раз приходится работать с модельными категориями без функториальных факторизаций, рефери часто беспокоятся о применимости результатов Хови/Хиршхорна. Но если сравнить эту книжку с имеющимися на сегодняшний день альтернативами, то ее преимущества по части педагогики становятся очевидными.

Из оригинальных результатов имеющихся в книжке мне особенно нравится последний, который говорит, что если стабильная категория конечно порождена, то объекты компактные в модели компактны и в триангулированном смысле. Гомотопическая категория оказывается компатно-порожденной триангулированной категорией. Обобщение этой теоремы появилось только недавно и пока не очень ясно верно ли оно.
[User Picture]
From:[info]kaledin
Date:January 29th, 2009 - 06:32 pm
(Link)
Interesovat'sya chem by to ni bylo delo khoroshee.

>Все что он хотел сказать, это что его результат применим в максимально возможной общности.

Tam dal'she v tom zhe abzace po ssylke, mne uzh bylo len' nabirat'. On vvodit terminy "factorable" i "bicomplete", a potom zamechaet, chto "nekotorye avtory vklyuchayut ehto v opredelenie". Ton v obshchem-to yasen. Vezhlivyj, no nikak ne odobritel'nyj.

>а учебник, упрощенный до предела.

Nu da. Ehto i besit. Prezhde chem pisat' uchebnik, neplokho bylo nauku sdelat' i dat' ej otstoyat'sya (da i kto znaet, mozhet ona ostoitsya do polnogo ustarevaniya, togda i pisat' ne pridetsya). Pervyj uchebnik po sovremennoj gomologicheskoj algebre, s proizvodnymi kategoriyami tipa, poyavilsya v 88m godu.

Nu t.e. ne polozheno v takoj situacii pisat' uchebnik. Tak zhe, kak ne polozheno pereopredelyat' standartnye terminy, ostavlyat' vazhnye rezul'taty v vide "privately circulated preprints" po 30 let, dovodit' svoyu nauku do togo, chto v New York Times poyavlyayutsya stat'i o protivorechii v matematike -- bylo takoe v nachale 70kh -- i t.d i t.p. No topologam amerikanskoj vyuchki ehtogo ne ob'yasnit'.

>А где Хопкинс высказывался о необходимости повышать образованность топологов?

Ne povyshat' obrazovannost', a tipa nalazhivat' svyazi s drugimi naukami. Ubej bog ne pomnyu. Valyalsya tekst pod rukoj v MIT 15 let nazad. Tam eshche byl obzor "padeniya amerikanskoj topologii" v parallel' s sovetskoj matematikoj, tipa Princeton i shkola Steenrod'a konchilis' kak SSSR i shkola Gel'fanda. Ya dazhe ne na 100% uveren, chto to byl Hopkins, mog byt' Miller.
From:[info]siyuv.livejournal.com
Date:January 30th, 2009 - 07:46 am
(Link)
Interesovat'sya chem by to ni bylo delo khoroshee.


Языковой софистикой можно ввести или устранить противоречие в любом тексте. Вы же себе противоречите, скорее, на эмоциональном уровне оценивая тот или иной текст.

da i kto znaet, mozhet ona ostoitsya do polnogo ustarevaniya, togda i pisat' ne pridetsya -- ну и хорошо, если она сама помрет, или будет заменена на бесконечные категории или дериваторы, то туда ей и дорога. Но это ведь все процессы естественные. А модельные категории чуть не загнулись под гнетом общественного мнения в 70х-80х. Из учеников Кана, увлекшихся модельными категориями в этот период, в математике остался один Двайер, и на сегодняшний день он очень уважаемая фигура в топологии. Вы говорили о том, что кто-то там канонизировал модельные категории. Я этого совершенно не вижу, даже не догадываюсь о чем Вы говорите. Возможно у Вас есть для этого основания, которые Вы не хотите выкладывать, но ведь вы не можете не понимать, что на основании таких заявлений у людей складывается мнение о науке, пусть и обоснованное с вашей точки зрения, но возникшее не путем естественного хода вещей, а под Вашим давлением. Может быть убить модельные категории волевым усилием это не совсем то, что Вы хотите? Может дадите шанс, глядишь, и настоящая, по Вашим меркам, наука появится?

Pervyj uchebnik po sovremennoj gomologicheskoj algebre ... poyavilsya v 88m godu -- о, хорошо, что напомнили. Как бы Вам понравилось, если бы я оценивал текст Гельфанда-Манина на основании качества изложения ими модельных категорий? Нелестная бы вышла оценка, уверяю Вас. Примерно это Вы проделали с Хови.

No topologam amerikanskoj vyuchki ehtogo ne ob'yasnit' -- а что они считают, что подобные статьи повышают publicity математики? Это то противоречие, о котором Адамс где-то писал?

ostavlyat' vazhnye rezul'taty v vide "privately circulated preprints" po 30 let -- ну это не только в топологии бывает, вон Жиле-Суле тоже долго не могли опубликоваться. Не хватало самой малости: эквивариантных гомологических локализаций, а Вы так спешите выбрасывать модельные категории на свалку.

Tam eshche byl obzor "padeniya amerikanskoj topologii" v parallel' s sovetskoj matematikoj -- о! мы как раз это недавно с Совой обсуждали (кстати, как здесь ставить ссылку на lj user?), он кажется не слишком убедился, если вспомните, то обязательно скажите где про это рассказано.
[User Picture]
From:[info]kaledin
Date:February 1st, 2009 - 02:58 pm
(Link)
>на основании качества изложения ими модельных категорий

A chego, normal'noe izlozhenie. Tam srazu skazano, chto na mnogoe ehta glava ne pretenduet, tak tipa, pokazat' chto eshche byvaet. Nu, ehto oni i delayut. Tam kstati oshibka v odnom meste, pri dokazatel'stve sushchestvovaniya minimal'nykh modelej.

>Возможно у Вас есть для этого основания, которые Вы не хотите выкладывать,

Nu vot ya ezzhu na konferencii vsyakie; naprimer, v sentyabre byla khorshaya konferenciya v Pise imeni Simpsona. Po kategoriyam. I tam model'nye kategorii byl kak by obshcheprinyatyj yazyk.

>Это то противоречие, о котором Адамс где-то писал?

Nebos'. Grazhdane schitali kakoj-to differencial v spektralke Adamsa-Novikova, u odnikh poluchilsya nol', u drugikh ne nol'. No oba dokazatel'stva byli nastl'ko nevnyatnye, chto nachalas' bujnaya kontroverziya. V principe, v alg. geometrii ili teoriii predstavlenij situaciya neslykhannaya: tam esli net vnyatnogo dokazatel'stva, to i teoremy net, ne o chem sporit'.

>а под Вашим давлением

Da ladno, kto ya takoj v samom dele. Obshchestvennoe mnenie sejchas kachnulos' v druguyu storonu; sootvestvenno, schitayu neobkhodimym zafiskrirovat' dissenting opinion.
From:[info]siyuv.livejournal.com
Date:February 4th, 2009 - 04:21 pm
(Link)
v sentyabre byla khorshaya konferenciya v Pise -- я кажется начинаю понимать что Вас раздражает. Видимо это то, как используют модельные категории люди вокруг Тоена. Должен сказать, что я тоже не в восторге от того как это делается. Вот уж кто действительно любит переопределять стандартные понятия, часто не задумываясь о связи с классическими предшественниками. Конкретный пример: категорное понятие малого объекта, повсеместно используемое в модельных категориях, заменено на понятие гомотопически малого объекта. Понять это мне удалось только к концу цикла лекций, прочитанных им в прошлом году в Барселоне, когда он сказал нечто, входящее в противоречие с классической теорией, и мне пришлось уточнять. Начал это делать не Тоен, а его научный руководитель Симпсон, но последний, кажется, не довел до публикуемого состояния ни одну из работ написанных им в этой области. Тоен же вполне открыт для дискуссии и не считает свои методы истиной в последней инстанции. Проблема как раз в том, что модельные категории пока недостаточно развиты, чтобы удовлетворить запросы людей занимающихся DAG.

sootvestvenno, schitayu neobkhodimym zafiskrirovat' dissenting opinion -- ну что ж, вы существенно изменили риторику, что не может не радовать. "Уродов" оставляю на Вашей совести. То что Вас больше всего раздражает у Хови именно простота изложения, наверное послужит ему хорошей рекламой. Какой потенциальный вред таит в себе эта книжка Вы так и не объяснили.

В целом получился довольно содержательный тред, жаль что не обошлось без переходов на личности.
[User Picture]
From:[info]kaledin
Date:February 4th, 2009 - 07:22 pm
(Link)
>как используют модельные категории люди вокруг Тоена

Ya tak skazhu -- esli by ne lyudi vokrug Toena i Simpsona, mne na vsyu ehtu problematiku prosto bylo by gluboko naplevat'. Malo li v mire izolirovannykh oblastej.
[User Picture]
From:[info]monroth
Date:June 4th, 2015 - 11:22 pm
(Link)
ты, наверное, видел, но кстати вот :)
http://xxx.tau.ac.il/pdf/1506.00887.pdf
[User Picture]
From:[info]kaledin
Date:June 8th, 2015 - 01:30 am
(Link)
Очень лень разбираться, честно говоря, но я не сомневаюсь, что там ошибка. Надеюсь, кто-нибудь ее быстро найдет. Иначе придется читать.
[User Picture]
From:[info]monroth
Date:June 8th, 2015 - 04:41 pm
(Link)
сам вчитался и нашел
лемма 3.5
более-менее утверждает, что если обьект абелевой категории можно двумя способами разбить в прямую сумму, и у этих сумм изоморфны первые слагаемые, то изоморфны и вторые
[User Picture]
From:[info]monroth
Date:June 8th, 2015 - 06:44 pm
(Link)
используется оно (вроде) только для построения автоморфизма некоторых экстов, которые над полем все равно нулевые
так что если все обогащено над векторными пространствами а не абелевыми группами, то пока что косяков нет
My Website Powered by LJ.Rossia.org