Второй вопрос:
Если я правильно понял, что "триангуляции" это просто симплициальные комплексы, а многообразия - компактны, то, я думаю, ответ -- да. Например, взять все комплексы, у которых все линки -- подразбиения границы стандартного симплекса. а), б) очеивдно выполняются, в) кажется, тоже.

Вообще, если хочется задавать конечным образм многообразия, то делать это надо атласами. Можно даже для гладких многообразий, это еще Нэш придумал. Отсюда и вера, что пример (класса триангуляций) выше работает, и в) у него выполняется. А если и не выполняется, то можно это как-то починить.

Попробую еще раз, может, Миша расскринит в этот раз.

Есть древний способ задавать многообразия "в файле". Это атлас с функциями перехода - многочлены с рациональными коэффициентами. Из них можно алгоритмически получить триангуляцию.

Если очень хочется начать с триангуляции, то, мне кажется, предложенный мной способ сработает. Уточняю: я имел в виду линки только вершин. Является ли комплекс подразбиением стандартной сферы можно алгоритмически проверить. (Слово "является" здесь - симплициально изоморфно, и не PL-изоморфно.)

Чтобы задавать многообразия ручками, или недавно появившимися в 4-мерном случае trisections, надо немного попотеть, чтобы уместить их в файл. Хотя для trisections есть "group trisections", кторые в файл элементарно влазят (или я ошибаюсь? надо проверить).

По поводу перечислить только односвязные. Посмотрите "group trisections", мне кажется, должно помочь.

По поводу узнаваемости 4-мерной сферы. Я верую, что можно. Именно по групповым причинам. Но, конечно, люди еще далеки от понимания.

Какие ваши доказательства?
Вот мои:
Теорема 4.5 тут https://arxiv.org/pdf/math/9911256v1.pdf вполне конструктивно доказывается. Т.е. подразбиение можно найти вполне контролируемым количеством stellar subdivisions/welds. Другой способ: использовать теорему Тарского-Сайденберга о неравенствах в действительных числах для многочленов.

Это не распознавание сферы. Я всего лишь хочу распознать является ли комплекс подразбиением другого комплекса без дополнительных подразбиений, т.е. по симплициальному изоморфизму а не по PL изоморфизму. Это никак не поможет распознать сферу, потому что в общем подразбиений может быть сколько угодно симплексов.

По поводу гладких многообразий. Да, деталей много, но они все разбираются в Boone, Haken, Poenaru "On Recursively Unsolvable Problems in Topology"

Если нужны только PL, то по аналогии можно запросить больше информации, чем просто триангуляция. Т.е. считать конечным копредставлением многообразия 1) симплициальный комплекс 2) и, например, еще комплекс для каждой вершины, который должен быть общим измельчением линка этой вершины и границы стандартного симплекса. Тут, в отличие от гладкого сучая, особых деталей нет, вроде все понятно.

Если нужно сделать именно триангуляцией, без дополнительной информации. То легче чуть видоизменить, то, что я предлагал раньше. Считать копредставлением PL-многообразия те комплексы, у которых все звезды вершин линейно (без дополнительных подразбиений) вкладываются в R^n (проверяется тем же Тарским-Сайденбергом). Если взять многообразие, подразбить звезды вершин чтобы они вкалдывались линейно (пересичения звед измельчать несколько раз), тогда у новых, появившихся от измельчения, вершин звезды уже тоже вкладываются. Вроде работает для компактных, не?

Но вообщето, если конечная цель это случайное 4-мерное многообразие, то эти методы плохо работают, потому что они слишком геометричны (ну как генерировать такие представления?), а в размерности 4 в отличие от 3 это плохо. Если цель - это случайная топология, а не случайная геометрия, то в размерности 4 я бы смотрел в сторону kirby calculus или trisections.

Я немного подумал о Kirby diagrams и trisections, они не дадут вам того, что вы хотите. Я поспрашивал людей: ничего из известного человечеству вам не поможет. Такие дела.

Я это прекрасно понимаю, но я не хочу проверять, являются ли линки PL гомеоморфны сфере.