Пес Ебленский [entries|archive|friends|userinfo] rex_weblen [ website | Наши рисуночки ] [ userinfo | ljr userinfo ] [ archive | journal archive ]

Links [ Links: | update journal edit friends fif tiphareth recent comments ]

Логика первого порядка [Jan. 21st, 2023|08:11 pm] [Tags | logic, math, memuar ] [ Current Mood | sleepy ] [ Current Music | Swans - The Seer ] Начал изучать по Беллу. Базовая теория Ок. Но не понравилось, что много внимания уделяется теории доказательств и алгоритмам. Начал читать Милети. Очень им доволен. Понравилось, что много интересных примеров из алгебры. Единственный минус Милети, что избегаются углубления в Булевы алгебры, Топологию. Но для этого есть Хинман. В логике первого порядка в центре внимания взаимодействие между формальным языком и математическими структурами. Что появляется вначале язык или структура, это как вопрос про цыпленка и яйцо. Кажется, что в чистой математике структуры важнее языка. Но в логике первого порядка все наоборот. То есть на первом месте находится язык, который задает класс структур. В отличие от логики высказываний тут появляются кванторы, а вместе с ними переменные, функции и предикаты. Поэтому логику первого порядка еще называют логикой предикатов. Из-за необходимости формально работать с переменными могут возникать некоторые технические трудности. Поэтому я все же рекомендовал бы начинать знакомство с математической логикой все таки с логики высказывание, чтобы быстро познакомиться с основными идеями. Роль истинностных валюаций в логике первого порядка играют пары состоящие из структуры и отображения переменных языка в универсум этой структуры. Эту конструкцию можно называть моделью. Интересно, что структуры в каждом языке образуют категорию. Там есть естественное понятие морфизма, то есть отображения, которые коммутируют с функциями, сохраняют и отражают предикаты кроме '='. Но тут никакие аксиомы еще не кодируются, поэтому, например, категория структур языка групп (одна нуль-арная операция-константа, одна унарная операция и одна бинарная операция) это еще не то же самое, что и категория групп. Так как никто не гарантирует, что, например, константа будет нейтральным элементом, а унитарная операция инверсией. При этом такие морфизмы не обязательно сохраняют произвольные высказывания. Но если они это делают, то такие морфизмы называются почему-то элементарными. То есть можно еще определить "элементарную категорию" где все морфизмы такие. Если в языке есть знак "=" и в структуре ему действительно соответствует равенство (по дефолту так считается), то элементарные морфизмы будут инъекции. Хинман рассматривает два вида пределов в этой категории, которые устроены более-менее одинаково для всех языков. Это пределы и объединения цепей (прямые пределы). Универсум произведения всегда устроен как декартово произведение. Интересно, что даже если какая-то формула верна при фиксированном назначение переменных для каждого множителя, то она не обязательно верна для произведения. Например, произведения полей будет кольцом, но не будет полем. Оказывается, что можно выделить важный класс формул, который сохраняется при произведении. Это формулы Хорна. Но описать все формулы, которые сохраняются при произведении довольно сложно. Похожая ситуация и с прямыми произведениями. Тут роль формул Хорна играют универсально-экзистенциальные формулы (формулы унисекс). То есть те у которых вначале идут кванторы всеобщность, а потом кванторы существования. Пример, когда формула нарушается при взятие логического предела, это например прямой предел упорядоченных конечных множеств, у которых не будет минимума и максимума. Другая это интересная тема это определимые множества. То есть множества, которые можно задать внутри структуры одной формулой на языке 1-го порядка. Множество определимых множеств для структуры будет алгеброй. Милети ловко доказывает, что все определимые множества комплексных чисел в языке колец это конечные или коконечные множества. Интересное свойство определимых множеств это их инвариантность под действием группы автоморфизмов структуры. Идея определимых множеств развивается в теории алгебраических замыканий. Алгебраическим элементом над множеством X в структуре S называются элементы, которые содержатся в конечных множествах, которые определимы с параметрами в множествe X. Алгебраическое замыкание X это множество всех алгебраических над ним элементов. Если в качестве структуры S взять алгебраически замкнутое поле, а в качестве X какое-то меньшие поле, то его алгебраическое замыкание это алгебраическое замыкание в смысле теории полей. Отсюда и названия. Если S это бесконечное векторное пространство, а X его подмножество, то алгебраическое замыкание X это линейная оболочка span(X). Я заметил, что вся эта теория определения с параметрами связана с подгруппами фиксирующими параметры. Поэтому тут может быть какое-то обобщение теории Галуа. Но я никаких интересных примеров не придумал. Как и в случае с логикой высказываний множество утверждений, которая содержит все свои следствия называется теорией. Любое множество утверждений можно расширить до теории. Для любой модели S множество всех истинных утверждений про нее тоже будет теорией Th(S). Причем, эта теория будет полна, то есть любое утверждение будет либо ложным, либо истинным. Для любой множества утверждений Phi можно построить класс моделей Mod(Phi), для которых ее утверждения истины. Если класс моделей можно построить как Mod(Phi), то оно называется элементарным классом. Если множество моделей можно взять конечным, то мы получим сильный элементарный класс. Например, класс всех групп будет сильным элементарным классом теории групп (конечное множество аксиом на языке групп). Для класса моделей K тоже можно построить теорию Th(K) всех истинных про них утверждений, но скорее всего не полную. Эти операторы Th и Mod задают связность Галуа между упорядоченными классами множеств утверждений и классов структур. Причем, замкнутыми элементами тут будут именно теории и элементарные классы. Милете определяет "характеристическую функцию" I(phi,n) утверждения phi как число неизоморфных структур кардинальности n для которых верно phi. Тогда спектром высказывания phi называется множество натуральных чисел n, таких что I(phi,n) не равно 0, то есть имеются модели кардинальности n. Вопрос о том замкнуто ли множество всех спектров под операцией дополнения является открытым. Оказывается этот вопрос эквивалентен вопросу теории сложности вычислений NE = сo-NE, где NE это класс задач с суб-экспоненциальной сложностью. В более сложной теории моделей рассматриваются и спектры теорий. Удивительное результаты связаны со свойством убирания кванторов теории. Это свойство, что у любого утверждения есть эквивалентная формула без кванторов. Кажется, что это очень сильное свойство. Тут много удобных результатов. Например, любое определимое множество для модели такой теории можно задать формулой без кванторов. И если есть структура которая вкладывается во все модели этой теории, то эта теория полна. Например алгебраически замкнутые поля обладают свойством убирания кванторов. И если добавить дополнительное утверждение про характеристику поля, то мы получим полную теорию. Отсюда, в частности следует, что определимые подмножества комплексных чисел в языке колец просто устроены: так как можно использовать формулы без кванторов, то это алгебра порождённая множествами корней полиномов с целыми коэффициентами. Обычно во всех вопросах тут мы сталкиваемся с одним языком и разными структурами. Но можно рассмотреть и взаимодействие разных языков в рамках логики первого порядка. Например, можно расширить старый язык добавляя туда определения и псевдо-определения на старом языке и не получить ничего нового кроме синтаксиса. Можно говорить еще об интерпретации одних теорий в рамках теорий на другом языке. Интерпретируемость позволяет построить что-то вроде иерархии сложности теорий. Некоторые более продвинутые источники про связь между логикой первого порядка, теорией моделей и теорией Галуа: https://press.uchicago.edu/ucp/books/book/distributed/G/bo6166783.html (развитие темы со связностью Галуа) https://home.mathematik.uni-freiburg.de/ziegler/preprints/CaLaPiZi-Gal-1.6.pdf https://arxiv.org/abs/1511.05541 Link 22 comments|Leave a comment

Классическая логика высказываний [Dec. 26th, 2022|12:48 am] [Tags | logic, math, memuar ] [ Current Mood | awake ] [ Current Music | Felt - Ignite the Seven Cannons ] Теперь апдейт про матлогику. Замечательный юзер phantom напомнил мне про ресурс https://www.logicmatters.net/tyl/. Кроме всего прочего там есть много рекомендаций по литературе. Я их уже видел, но теперь решил взглянуть на них новым взглядом. Главное, что я для себя вынес оттуда. Это книги Хинмана и Кай. Обе книги я бы отнес к категории пост-модернистской. Отличие между ними в том, что Хинман это талмуд на 800 с лишним страниц где затронуто очень много всего. Кай это довольно короткая книга. Я не думаю, что весь материал из Хинмана можно покрыть за один или даже два семестра и что он будет понятен людям, знакомящимся с логий первый раз. Кай, напротив весьма компактен. Если бы мне надо было прочитать курс студентом по матлогики, то я взял бы его за основу. Другая литература, которую я не упоминал в прошлом посте, это "простые учебники для философов". Куда можно отнести и Питера Смита с Logic Matters, Chiswell and Hodges и тому подобное. Думаю их главная ценность как раз в разных отступлениях, интерлюдиях, где объясняются всякие базовые вещи, на которые в более серьезных математически-насыщенных книгах не остается места. Я начал свое путешествие с логики высказываний. Это очень простой раздел матлогики. Почему, надеюсь будет понятно дальше. Это решение было обусловлено тем, что у Белла это первая глава. Некоторая странность в его изложение заключается в том, что пропозиционная логика рассматривается как часть логики первого порядка, поэтому это довольно сложная структура, а не просто набор высказываний. А для этой структуры можно уже определить пропозиционный язык, который даже будет тем же множеством строк, что и язык первого порядка. Отличая будут в правилах вывода. Белл пользуется конструкцией логики высказывания Лукашевича. Там всего две логические связки, отрицание и следование. Еще есть квантор всеобщности, но он ничего не делает. Поэтому все легко доказывается по индукции. Для логического вывода Белл предлагает использовать метод аналитических деревьев. Он отрицательный в том смысле, что строит опровержения, а не доказательства утверждений. Поэтому чтобы доказать утверждения, нужно построить аналитические деревья для его отрицания. На мой взгляд этот метод хорошо соответствует тому как работает человеческое мышление. Другой метод это вывод из аксиом. Белл пользуется аксиомами Лукашевича и правило вывода Modus Ponenens. Это всего три аксиомы, выраженные через следование и отрицание. То что аксиом всего три, это удобно для доказательств, но их смысл может быть не очень интуитивно понятен. В целом у Белла достаточно идей, чтобы написать программу типа пруф-ассистент или прувер с помощью аналитических деревьев. Но мы этого делать не будем. Когда я первый раз изучал логику, я большое внимание уделял ловкому формальному ручному выводу (исчислению). Но сейчас, я понимаю, что это было не правильно. Логика высказывания намного важнее как полигон для испытаний концептуальных вещей, которые становятся более сложными для других логик. Тут, наверное, начать можно с семантика. Семантика в логике заключается в построение булево-значных, истинностных означений или валюаций. Если валюация всегда истина на каком-то множестве предложений, то такую валюацию называют моделью этого множества. А множество всех предложений, для которых валюация принимает значение "истина" называют теорией этой валюации. Через валюации определяется отношение тавтологического следования: Говорят, что $\Phi \models_0 \Psi$ если множество моделей $\Psi$ включает в себя множество моделей $\Phi$. Есть родственное понятие $\Phi \vdash_0 \Psi$, которое означает возможность формального вывода любого высказывания из $\Psi$ из аксиом и высказываний из $\Phi$. Это второе отношение называется доказуемостью. Рыбаков из вышки говорил, что их можно понимать как модальности типа "должно быть истинно" и "можно доказать". Главный результат логики высказываний в том, что эти отношения эквивалентны. Это и называется теоремой о полноте и непротиворечивости логики высказываний. Только это результат неконструктивный, и он эквивалентен лемме об ультрафильтрах. Хинман тут копает особенно глубоко. Он переносит упор на компактность пропозиционной логики: любое утверждение, которое тавтологически следует из какого-то множества высказываний, тавтологически следует и из какого-то конечного подмножества. Хинман приводит много способов доказать компактность логики высказываний. Первый из них это ультра-произведения. Я уже писал, что ултрафильтры это выбор в отсутствии выбора. И ультра-произведения позволяют с помощью ультрафильтра выбрать значения семейства истинностных валюаций и получить общую валюацию. Другой путь это собственно топологическая компактность множества истинностных валюаций как подмножества пространства типа $\{0,1\}^I$. Еще, если факторизовать множество высказываний по отношению "тавтологически следует эквиваленция из $\Phi$", то мы получим булеву алгебру Линденбаума. Тогда, как я понял, множество моделей $\Phi$ эквивалентно пространству Стоуна этой алгебры. И тогда компактность логики высказываний эквивалентна компактности пространств Стоуна этой алгебры. Еще Хинман движется в сторону большей абстракции. Он даже вводит отдельную теорию понятий непротиворечивости. Она нужна ему для того, чтобы доказать интерполяционную теорему Робинсона. Эта теорема утверждает, что если есть два непротиворечивых множества высказываний, вместе которые становятся непротиворечивыми, то можно построить формулу в терминах общих для этих теорий такую, что из первой теории тавтологически следует эта формула, а из второй ее отрицание. Это я тоже хотел отметить. В целом мы видим, что логика высказываний очень проста. Нет смысла сравнивать между собой разные пропозиционные языки. Имеет смысл только сравнивать разные формулы и их множества. Поэтому можно представить, что есть один универсальный язык высказываний (хотя это и не очень правильно). Поэтому теорию категорий тут пока применять особо негде. Link 7 comments|Leave a comment

Планы по матлогике [Dec. 16th, 2022|10:12 pm] [Tags | logic, math, planning ] [ Current Mood | sleepy ] [ Current Music | H̤a̤w̤k̤wind-- Dor̤e̤m̤i̤ Fasol Latido 1972 ] Матлогика это довольно стандартный предмет. Поэтому учебников по этому предмету очень много. Пространство-время учебников матлогики можно разделить на три эпохи по их отношению к теореме Гёделя о неполноте. Первая категория, архаичная ее игнорирует. Сюда, можно отнести, например учебник О. В. В. Квайна. Обычно книги этой категории сосредотачиваются на конструировании логического языка. Кинги этой категории изучать не надо. Книги второй категории я бы назвал модернистскими. Там в центр всего ставится теорема Геделя о неполноте. Эта категория, кажется началась с "метаматематики" Клини и "Математической Логики" А. Черча. А потом много современных учебников это просто попытка обрастить новым мясом эти старые скелеты, где-то что-то подкрутить и нарастить. Эти книги уже вполне можно и нужно читать. Но в теории можно сосредоточиться на чтением Клини и Черча. Язык Черча, мне кажется, устарел, но я слышал там хорошее общефилософское введение в проблематику. Потом, конечно еще читать всякое дополнительное по современной теории множеств или моделей, но это уже зависит от конкретных интересов. Третьей категория тогда становится математическая логика-постмодернистская. Ей теорема Геделя о неполноте вполне известна, но она заметается куда-то под ковер. Дело в том, что теорема Гёделя о неполноте была органом геноцида бесконечно плодящихся логических языков, претендующих на полноту и непротиворечивость. Но пост-модернистской матлогике похуй на эту проблему, ведь для нее она уже давно решена. Обычно тут в центре ставится задача сведения матлогики к каким-то другим разделам математики. Вот, например, труд поляков Сикорского и Расёвы "Математика Метаматематика", где все выводится из топологии, булевой алгебры и теории решёток. Читать такое может быть интересно, но, возможно, не очень нужно. Самым полным, и возможно лучшим, учебником матлогики является книга Манина "Математическая логика для математиков". Эту книгу я отношу к категории модернистских, хотя из них она, наверное, самая мускулистая. Думаю эта мутация была вызвана недостаточной доступности информации в совке. Недостатком Манина считается слабая глава про теорию моделей, написанная другим автором, которая есть в некоторых изданиях, а в других ее просто нет. Познакомиться с теорией моделей конечно стоит. Но я не уверен, стоит ли ее специально изучать. Вроде бы про нее есть отдельный стандартный большой учебник Чанг-Кейслер. Однако, я пока склоняюсь к тому, чтобы заниматься по книге Джона Белла И Моше Маховера. Дело в том, что я хотел бы освоить другую книгу Джона Белла "Булево-значные модели теории множеств", потому что там есть глава про алгебры меры и интересный переход к топосам. Но она считается сложной, и я решил прочитать более вводную книгу Белла в качестве подготовки. Эта ближе к пост-модернизму и делает больший упор на связь логики с булевой алгеброй и использует некоторые топологические идеи в духе Сикорского и Расёвы. Поэтому после работы с булевыми алгебрами в контексте анализа я поработаю с ними в контексте логики и укреплю ассоциативные связи у себя в черепушке. Параллельно можно читать Клейна, Манина, Сикорского, Черча и Квайна. Наверное в таком приоритете в зависимости от времени и сил. Но это все в рамках знакомства с классикой. Но я предпочитаю держать свой взгляд обращенным не в прошлое, а в прошлое. Из новейших изданий мне запомнился "Математическое Введение в математическую логику" Джозефа Милети. А запомнилось оно тем, что там есть целая глава про случайные графы в контексте логики. Такого от книги по матлогике я не ожидал! Поэтому туда тоже постараюсь поглядывать. Link 10 comments|Leave a comment

Поднятия мер [Dec. 15th, 2022|10:01 pm] [Tags | algebraic measure theory, analysis, boolean algebra, math, measure theory, memuar, probability, probability theory ] [ Current Mood | tired ] [ Current Music | Vágtázó Halottkémek - A Halál móresre tanítása ] Продолжаю изучать Фремлина. Из определений понятно, что если для измеримого пространства построить алгебру меры, то существует фактор-cотображение из алгебры измеримых множеств в эту алгебру. Поднятие или лифтинг в этом случае, это одностороний обратный к этому фактор-отображению морфизм булевых алгебр. Можно представить себе, что это такой селектор элемента в классе эквивалентности, который ведет себя согласовано. С этим определением есть свои нюансы, потому что можно строить поднятия сразу из алгебры измеримых множеств в алгебру измеримых множеств явно не упоминая алгебру меры. Это делает определения более нагруженным, но часто в приложениях. Нужны именно такие отображения. Еще есть понятие нижней плотности. Тот ослабляются алгебраические свойства и требуется сохранять только операцию умножения. Нижней плотностью для меры Лебега можно взять например оператор существенную внутренность множества, например. Основным результатом этой теории является теорема Махарам-фон Неймана. Она утверждает, что у любой полной локально-детерминированной меры существует поднятие. У этой теории есть некоторая интересная связь с L^p пространствами. Если построено поднятие для меры, то можно построить положительный линейный оператор, который выбирает представителя для класса в L^p. Это достигается через "поднятие" индикаторов измеримых множеств с конечной мерой. Для случая L^\infty это оператор будет еще и изометрией, и сохранять умножение. Интересной темой является взаимодействие групп и мер. Можно говорить о инвариантном (правильнее, наверное, говорить ковариантном, но так не говорят) к сдвигу поднятиях, если при умножение на сохраняющий меру элемент группы как-бы проходит под поднятием. Пока я видел доказательство, что такие поднятие есть у меры Лебега и у любого процесса Бернулли, если использовать сдвиги по модулю 2. Но должен быть более общий результат для топологических групп с некоторыми хорошими свойствами. Об этом я вам расскажу как-нибудь в другой раз. У топологических групп с инвариантными мерами (мера Хаара) и инвариантными поднятиями есть еще интересное свойство, что любые открытых множеств зажимаются между этими открытыми множествами и их замыканиями. Через двойственность видно, что поднятия замкнутых множеств зажимаются между их внутренностями и самими этими множествами. Интересно, что если взять меру Лебега с борелевской сигма-алгеброй, то инвариантных поднятий у нее уже не будет. Другой важной темой является то как поднятия связаны с произведениями пространств. Подмножество произведения множеств с индексами из I называется определенным координатами J \subset I, если принадлежность к нему можно определить проверив только координаты из J. Такие множества еще обычно называют цилиндрами. Говорят, что поднятие сохраняет координаты, если для любого J, множества определенные координатами J оно снова переводит в множества определенные координатами J. Можно доказать, что любое произведение вероятностей однородных по типу Махарам будет иметь поднятие, сохраняющее координаты. Верно ли это для любых вероятностей (не обязательно однородных)? — Открытый вопрос в теории меры (вроде бы). Другое схожее понятие это консистентность. Поднятие называется консистентным, если оно естественным образом продолжается на степени исходного пространства с мерой. То есть для каждой степени существует такое поднятие, которое переводит произведения измеримых множеств в произведения исходных поднятий. Талагранд в 80-х годах доказал, что что у любых полных мер есть такое поднятие. С другой стороны это свойство отнюдь не тривиально. С помощью Теоремы Стоуна можно построить стандартное поднятие для пространства Стоуна алгебры Лебега. Такое поднятие, например, консистентным не будет. Смежной теорией, владение которой полезно для доказательства фактов про поднятия, является теория реализации морфизмов алгебр мер с помощью измеримых функций. Для того, что иметь возможность формулировать результаты этой теории полезно определить некоторые свойства мер. Мера называется внутренней регулярной для класса подмножеств K, если меру любого измеримого множества E можно вычеслить как супремум мер измеримых элементов множества K лежащих в E. Мера называется компактной если она внутренняя регулярная для компактного класса подмножеств (Это когда у любого подкласса, у которого любой конечный подкласс имеет непустое пересечение, самого непустое пересечение). И мера называется локально компактной, если ее ограничение на любое множество с конечной мерой компактно. Интересно, что для любой компактной класса существует компактная топология такая, что все элемента этого класса замкнуты. Это очень сильно развязывает руки при работе с компактными мерами. И заметьте, что тут нет привязке к какой-то изначальной топологии на базовом пространстве. Примеры: мера Лебега на Евклидовом пространстве компактна, процесс Бернулли на любом множестве компактен, и пространство Стоуна с мерой, полученное из алгебры меры, тоже всегда компактно. Есть еще родственное понятие совершенной меры. Мера называется совершенной, если для любой измеримой по ней действительной функции, образ любого множества положительной меры будет содержать компакт, прообраз меры которого тоже положительный. Любая полуконечная и локально компактная мера будет совершенной. Можно доказать, что если у морфизма алгебр меры домен, которого является алгеброй совершенной меры, а кодомен алгеброй строго локализуемой меры, всегда есть реализация в виде измеримой функции (стрелочка поварачевается). Измеримое простротранство называется счетно сепарируемым если можно выбрать счетный класс измеримых множеств, такой что для любой пары различных точек можно выбрать множеством из этого класса так, чтобы только одна точка из двух принадлежала это множеству. Оказывается, что если кодомен искомого изображения еще и счётной сепарируемы, то все реализации морфизма совпадают почти всюду. В общем случае это не так. Можно, например, построить процесс Бернулли на множестве мощности континуум. Для него можно построить измеримый эндоморфизм у которого не будет неподвижных точек, но он будет эквивалентен тождественному отображению в смысле алгебр меры! Еще интересный пример, это пространство "расщепленного интервала", cостоящее из несвязного объединения двух копий единичного интервала. Его алгебра измеримых подмножеств состоит из множеств разница сечений которых имеет меру Лебега ноль. Поэтому в качестве меры мы можем взять меру Лебега любого из двух сечений. Если взять отображение, которое меняет местами половинки, то снова получим эквивалентное тождественному отображение без неподвижных точек. Если рассмотреть несвязное объединение "расщепленного" интервала с обычным интервалом то можно построить не биективное отображение в себя, отображая первые два интервала в третий, а третий только в первый, которое тем не менее будет реализацией тождественного автоморфизма алгебры. При наличие счетной сепарируемости реализация любого изоморфизма может быть сделана биекцией. Возвращаясь к поднятием. Тут вполне понятна, например аналогия с поднятиями, например, многообразий. Только вместо тут как-бы одна сигма-алгебра накрывает другую сигма-алгебру неким естественным образом и в хорошем случае получаются поднятия на накрытие. Интересно, есть ли тут какие-то далеко идущие параллели? Я пока не придумало. Я немного устал от теории меры. Поэтому на ближайшее время переключусь на логику. Link 4 comments|Leave a comment

Erratum [Nov. 21st, 2022|07:39 pm] [Tags | algebraic measure theory, analysis, boolean algebra, dream, math, measure theory, probability, probability theory, review ] [ Current Mood | geeky ] В посте https://lj.rossia.org/users/rex_weblen/175181.html Я писал, что теория Махарам, по моим сведениям, нигде кроме Фремлина вся вместе не изложена. Ночью я понял, что оно есть у Владимирова. В советском издании 1969 года "Булевы Алгебры" это глава 7, а в англоязычном издании 2004 года "Boolean algebras in analysis" это глава 9. Причем в англоязычном издании намного больше материала. Возможно, есть новое русскоязное издание, которое ему соответствует, но я его в открытом доступе не видел. Я конечно все сразу не прочитал и не разобрал. Но скажу, что изложение у Владимирова более наглядное и менее педантичное. Есть даже картинки. Поэтому для расширения кругозора эту вещь читать стоит. Однако, параллельно с Фремлином его читать очень сложно из-за определённой терминологической путанице. Те же "нормированные алгебры", просто однородность вместо однородности по типу Махарам, хотя просто однородность уже вводилась ранее с другим определением и тому подобные сложности. Все это не помогает смешивать информацию из эти двух источников в моей голове. Поэтому углубляться в "Булевы Алгебры" Владимирова сейчас я не буду. "Boolean algebras in analysis": красивая иллюстрация, например P.S Снилась сегодня компьютерная игра. Агент в костюме-болтушке как у Филипа Дика борется с заговором тайного общества, которое хочет устроить ядерную войну. Из-за костюма-болтушки его лицо выглядит мультяшным. Он проникает в офис злой организации в Нью-Йорке. Он похож просто на офис, кроме того, что там ходят роботы убийцы в которых нужно стрелять. Но на третьем этаже находится огромное искусственное болото с островками под названием Эдем. В Эдеме выводят новые виды животных, чтобы заселить землю после ядерной войны. Но сейчас это мутанты мелкие кусачие во сновном. В них тоже нужно стрелять. И еще в этом болоте есть огромная креветка размером с кита, которая то всплывает, то уплывает. Ее убивать необязательно, но очень крутая ачивка если ее убить. Поэтому я пытался ее ловить. Link 8 comments|Leave a comment

Теория Махарам [Nov. 20th, 2022|06:13 pm] [Tags | algebraic measure theory, analysis, boolean algebra, math, measure theory, memuar, probability, probability theory ] [ Current Mood | sleepy ] [ Current Music | Leftover Crack - Fuck World Trade ] Обещал вам в прошлый раз уникальных результатов про алгебры меры. Поэтому давайте расскажу вам, что понял из следующей главы Фремлина. Еще про это можно почитать в главе 9 "Boolean algebras in analysis" Д. А. Владимирова. Для начала, почему этот пост я назвал "Теория Махарам". Дело в том, что в основе всего, о чем здесь говориться, лежит статья американской мать-и-мачехи Дороти Махарам. Она вышла замуж за математика Стоуна, и стала Махарам-Стоун. Но что, удивительно, это был не Маршал Стоун, а некий английский математик Артур Стоун. Дороти Махарам-Стоун 1917 - 2014 ( читать дальше... ) Link 15 comments|Leave a comment

Алгебры Меры [Oct. 28th, 2022|09:00 pm] [Tags | algebraic measure theory, analysis, boolean algebra, math, measure theory, memuar, probability, probability theory ] [ Current Mood | sleepy ] [ Current Music | David Bowie - Hanky Dory ] Продолжаю чудовищно медленно изучать Фремлина. Алгебры меры это такой безточечный, в смысле point-free и point-less, аналог пространств с мерой. То есть это структура, которая просто состоит из некоторой сигма-полной по Дедекинду булевой алгебры (для краткости далее просто сигма-алгебра) и сигма-аддитивная неотрицательная функция на этой алгебре, которая может принимать и бесконечные значения, то есть мера. Их особенность заключается в том, что все элементы меры ноль это только ноль. В отечественной литературе их обычно называют нормированными алгебрами. Но на мой взгляд, такое обозначение может вносить путаницу, ведь как раз нормы в общепринятом понимании там нет. Если мера достигает на единице значения единица, то такую алгебру называют вероятностной Алгеброй. Интересно, что Джейнс в своей книге по Байесовской теории как раз и работают с вероятностными алгебрами. Напоминаю, что Джеймс утверждал, что его подход эквивалентен аксиоматики Колмогорова. В этом случае элементы алгебры это события, но никаких элементарных событий, как обычно у нас учат, нет. Еще пропадает концептуальная сложность с различение событий меры ноль, пустого события и невозможного события. Теперь, благодаря Фремлину, я могу видеть как эта эквивалентность устроена во всех деталях. Чтобы получить алгебру меры, проще всего взять какое-нибудь пространство с мерой и факторизовать его сигма-алгебру по сигма-идеалу множеств меры ноль. Такая операция задает контравариантный функтор. В качестве морфизмов можно брать измеримые отображения, уважающие меру ноль, или измеримые отображения, сохраняющие меру вообще. Есть и контравариантный функтор в другую сторону. Он сопоставляет алгебре меры ее пространство Стоуна с соответствующей мерой. И теперь становится понятно, что предложенным выше способом можно получить любую алгебры меры вообще. Достаточно взять ее пространство Стоуна. Но обратное не верно, потому что пространства Стоуна имеют строго определённую структуру. Удивительно, но мера задает топологию алгебры! Если мера конечная, то ее действие на суммы (в булевых алгебрах тоже самое что разницы) задает метрику на алгебре. Отсюда, наверное, и ассоциация меры с нормой. А в случае бесконечной меры топологию задает семейство полуметрик, получаемых из "сужения" меры на конечные элементы. То есть тут у нас на одном множестве есть и структура кольца, и решетки по порядку, и мера, и топология (а в случае вероятностных алгебр еще и метрическая геометрия)! И все это взаимосвязано и еще друг-с-другом все время взаимодействует! Вот, например, соответствие между свойствами меры и топологическими свойствам: мера полуконечна ~ топология Хаусдорффова, мера сигма-конечна ~ топология метризуема, мера локализуема ~ топология хаусдорффова и полна (в смысле равномерности). То, что Фремлин активно пользуется понятием равномерности (uniformity), что шире применять понятия метрической топологии Бурбакам. И действительно я бы описал его стиль как вполне бурбакистский, а его труд как достойную замену книги Бурбаков про интеграл. Кстати, топология, алгебры меры тут становятся топологическими алгебрами. И вся машинерия для топологических групп и алгебр тут работает! Поэтому, например естественными подобъектами алгебр мер становятся замкнутые подалгебры. В контексте вероятностных алгебр они один-к-одному соотносятся с условными распределениями. Из контравариантности описанных выше функторов можно понять, что произведение алгебр меры соответствует несвязному объединению. С произведением вероятностным пространств все сложнее. Там получается, что-то вроде пополнения тензорного произведения. Но я буду его все равно обозначать просто как тензорное произведение, потому что мне неохота использовать более сложную символику. Эта конструкция соответствует копроизведению, но универсальным свойством обладает только для достаточно хороших мер, хотя бы полуконечных. Но все таки давайте называть ее лучше копроизведением, а не свободным произведением как в литературе. Так вот бесконечное копроизведение возможно только для вероятностных алгебр. И в этом случае оно соответствует ансамблю независимых случайных величин. Отсюда идея, что алгебры случайных процессов можно тоже реализовывать на таких бесконечных тензорных произведения. Тут намечаются какие-то фантазмы для взаимодействия с квантовой механикой, где для обозначения взаимодействия случайных величин тоже используются тензорные произведения но уже в совсем других пространствах. Еще отсюда становится видна сущность Теоремы Колмогоровы об условиях существования случайного процесса как теоремы про пополнение тензорного произведения. Кстати, в абстрактной теории категорий есть похожее произведение Колмогорова. Может отсюда это наименование и пошло. Как и с измеримыми пространствами на булевых алгебрах можно строить векторное пространство аддитивных функциональнов. Тут отражаются почти все результаты для измеримых пространств. Тут снова есть ограниченные и счетно-аддитивные функционалы и разложения Жордана и Ханна. Но тут появляются еще так называемые полностью аддитивные функционалы. Их можно суммировать по неограниченно большому множеству и получать значение функционал его супремума. Причем, в контексте алгебр меры любой непрерывной в нуле аддитивный функционал будет полностью аддитивным! Он же будет равномерно непрерывным. Также полностью аддитивным будут и все абсолютно непрерывные функционалы по мере. Круто, что в случае вероятностной алгебры все эти понятия вообще эквиваленты! В этом контексте теорема Радона-Никодима превращается в утверждение про эквивалентность между функторами L^1 (а его надо воспринимать именно как функтор) и функтором абсолютно аддитивных функционалов на соответствующей алгебре меры. Тут есть некоторые технические детали, которые надо уточнять. Если на множестве индексов некоторого набора вероятностных алгебр задан ультрафильтр, то можно построить так называемое усеченное произведение. Мне кажется, что интуитивно его можно представлять себе так. Есть куча разных датчиков случайных чисел без какого-то общего распределения, и мы каждый раз выбираем каким будем пользоваться в соответствии с принципом, который задает ультрафильтр. То есть про ультрафильтр тут можно думать как про принцип выбора из бесконечного множества без определенного выбора или с ним. То есть ультрафильтр это персик в отсутствии персика или в присутствии персика. И в контексте теории вероятности, если мое виденье верно, есть какая-то загадочная связь между ультрафильтрами на множестве индексов семейства вероятностных алгебр и вероятностными распределениями на них. Потому что можно когда мы выбираем датчик случайных чисел запоминать только его индекс, а само случайное число выбрасывать. Но это не так правильно, так как мы строим вероятностную алгебру и перейти обратно к вероятностному пространству не так просто. Но кажется, что при подходе Джейнса таких сложностей не возникает. Но он физик, а не математик, и может позволить себе упускать формальности. А вообще усеченные произведения нужны для того, чтобы строить индуктивные пределы в категории вероятностных алгебр и еще всякие абстрактные конструкции. Для простых алгебр мер понятно, что никаких пределов часто нет. Для чего нужны алгебры меры? Вообще в контексте многих сложных вопросов теории меры и вероятностей работать с алгебрами просто проще чем с пространствами. Сразу убирается вся лишняя информация. Тут тебе и метрика, и непрерывные отображения, и все функционалы сразу полностью аддитивны и конструкции типа индуктивных пределов. Но особо интересно использование алгебр мер в абстрактной негладкой эргодической теории. И я надеюсь когда-нибудь про это тут рассказать. Еще много используется во всякой современной теории множеств про разные основания математики. Но про это уж точно совсем не скоро. Сам Фремлин пишет, что в этой главе все результаты элементарные. Вообще многие из них являются просто переводом на язык алгебр результатов классической теории меры. Но в следующих главах будут уже интересные уникальные результаты. И я надеюсь рассказать вам о них уже скоро. Link 10 comments|Leave a comment

Абстрактная теория меры [Sep. 4th, 2022|03:25 pm] [Tags | analysis, math, measure theory, memuar ] [ Current Mood | calm ] [ Current Music | Чемоданы Тульса Люпера ] Решил также повторить теорию меры. Люблю теорию меры. Если исключить ряд классических текстов, то основные ресурсы по этой теме это 2-х томник Богачева и 5-ти томник Фремлина. Фремлин подкупает тем, что весь контент выложен на сайте автора. Первые два тома Фремлина посвящены т.н. базовому или стандартному материалу, который часто включается в курс анализа. Однако чтения этих текстов привело меня к идеи разделения их содержания на абстрактную теорию меры и теорию меры в контексте действительного анализа. Этот пост основан на главах 11,12,13,21,23,25. Абстрактная теория меры отличается тем, что сигма-алгебры измеримых множеств и собственно меры задаются на произвольных множествах, лишённых какой-либо структуры. Поэтому никаких Борелевских сигма-алгебр и тому подобного. Еще можно полностью проигнорировать конструирование меры Лебега на прямой и в Евклидовым Пространстве. Потому что все эти построения это как-раз и есть действительный анализ. Абстрактная теория меры нужна для того чтобы иметь хоть где-то определение того, что такое мера. Так-то мера это понятие обобщающее длину, площадь, объем, массу, вероятность и так далее. Раньше люди пытались придумать универсальную функцию обобщающую функционал длинноты отрезков на произвольные множества и подчиняющиеся ряду аксиом. Так появилась большая и малая проблема меры. И если малая проблема меры имеет довольно простое решение. Но большая проблема меры оказалась нерешаемой. Поэтому пришлось меры ограничивать на сигма-алгебры. Кстати, проблемами меры еще в школе занимался Гротендик. Множества называются пренебрежимо малым, если оно содержится в измеримом множестве меры ноль. Пренебрежимо малые множества образуют борнологию и сигма-идеал. Отсюда можно получить особую логику "почти наверное" или "почти всюду". Мера у которой все пренебрежимо малые множества измеримы. Чтобы абстрагироваться от сигма-алгебр математики придумали внешние и внутренние меры. Есть операция построения внешней или внутренней меры из просто меры и наоборот, есть операция пополнения. Можно тут нафантазировать функториальность и естественные преобразования. Меры важны потому что они позволяют определить интеграл. Интегралы это очень важно. С интегралом Лебега все стандартно. Новым для себя отсюда я вынес нижней и верхний интеграл Лебега. Они позволяют интегрировать вообще любые функции, но многие соотношения для интегралов превращаются в неравенства. Второй том предлагает более пристальный взгляд на проблему. Там содержится их классификация по конечности, меры вероятностные, конечные, сигма-конечные, строго локализуемые и полуконечные, по локализуемости, локализуемые и локально детерминированные, и по наличию атомов. Обычно сейчас студенты знакомятся с теорией меры через теорию вероятность и там всех этих свойств нет. Тут же их рассматривают с большой тщательностью. Есть тут и отличая между измеримыми и виртуально-измеримыми функциями которые устраняются для полных мер. Вообще у этой теории есть интересное развитие с категориями https://arxiv.org/abs/2105.11331. Важнейшая теорема абстрактной теории меры это теорема Радона-Никодима. Она позволяет представлять конечный счетно-аддитивный функционал в виде интеграла некой "функции плотности" по мере, относительно которой он абсолютно непрерывен. Есть рассуждения вокруг этой теоремы. Вроде теоремы общего вида для замены переменной в интеграле. Есть и обобщения, которые идут дальше конечных функционалов. Вообще есть отдельный подход к абстрактной теории меры через функционалы или так называемые заряды. Ими занимался известный индийский математик Б. Рао. С ними связан еще и такая интересная вещь как векторно-значные меры и интегралы. Но это уже другая история. Заряды бывают еще конечно-аддитивные. Счетная аддитивность позволяет с продуктами мер (типа вероятностей). Разные физики, инженеры, экономисты и компьютерные ученные этим пользует. Просто, физикам кажется, что матан в природе везде должен работать по дефолту, а статистическая физика без этих свойств вообще не работает. Только философы и психологи, которые иногда все же пользуются вероятностью, не знают матан. Но для приличия говорят, что в этих науках у исследователей просто нет никаких оснований предполагать непрерывность мер. Один из классиков Байесовской вероятности Де Финети работал именно с конечно-аддитивными вероятностями. Он предпочитал рассматривать вероятность как психический феномен и так любил приводить примеры про игроков в азартные игры, что Джейнс обвинял его в пропаганде лудомании. В общем случае есть и сложности с определением произведений мер. Поэтому тут возникают два вида произведений, примитивные и локально детерминированные. С вероятностными мерами такие сложности не возникают. Фремлин пишет обо всем этом с большой тщательностью. Некоторые моменты и задачи я пропускал. В нюансах связанных с виртуальными и невиртуальными функциями легко запутаться и для приложений это не очень важно, кажется. Тем не менее это прекрасный опыт чистой математики. Link 42 comments|Leave a comment

Топологические Векторные Пространства [Sep. 1st, 2022|08:51 pm] [Tags | analysis, coarse geometry, convex geometry, functional analysis, history, linear analysis, math, memuar, nyu ] [ Current Mood | sleepy ] [ Current Music | Death in June - The Guilty Have No Pride ] Напоминаем, вам что мы тут читаем не только всякое говно тупое, но и хорошие книжки по математике. Вот например книга по абстрактному функциональному анализу L. Narici and E. Beckenstein: Topological Vector Space. Под абстрактностью я понимаю то, что тут в центре внимания не Банаховы и Гильбертовы пространства, хотя их знание и предполагается. Вместо этого концепты развиваются снизу вверх, начиная с топологических групп, к которым добавляется еще одна непрерывная операция умножение на скаляр. Обычно такой подход подразумевает определенную сухость изложения. Но только не в этой книге! Вот например фрагмент введения (перевод мой) Посреди жестокого истребления многих своих близких друзей, включая своего научного руководителя, Банах пережил войну, но еле-еле. Университет был закрыт, как и все университеты в Польше вовремя нацистской оккупации. Официально перешедший в статус "Недочеловека", он проводил голодные годы, кормя вшей своей кровью в виварии бактериологического института, при это живя в постоянном ужасе, включая и срок в тюрьме. Лишения взяли свое и Банах умер в августе 1945 года. (И да тут есть такие исторические отступления. Что-то похожее я встречал в книге Паши Этингофа по теории представлений.) Потом, меньше чем через пол странички настроение меняется:Мы посвящаем этот вам, наши товарищи-математики, и немного больше многим, очень многим хорошим друзьям, которых мы нашли на конференциях за эти годы! Мы поднимает наши бокалы (не H2O [наверное, нацеженная из вшей кровь Банаха]) за вас. А использование свертки с дельта-функцией для обозначения функционала вычисления в точке и вовсе называется тут возмутительным. Кстати, отдельной главы или раздела про обобщенные функции тут нет! И если изучать сейчас обобщенные функции, то я бы сделал бы упор не конкретно на изучение пространства Шварца, а на изучение ядерных пространств вообще. Потому что разных видов обобщенных функций сейчас на придумывали, кажется очень много, не только пространства этого Шварца, который Лоран. А ядерные пространства придумал, кстати, сам Александр Гротендик, когда учился в аспирантуре. Он, кстати, решив еще несколько задачек, считал что полностью закрыл этот предмет и называл этот предмет пустыней. Но вот некоторые люди заходили потом еще в эту пустыню и бродили там 40 лет как Евреи у Моисея. И вот такими "евреями" и являются авторы этой книги и они могут сводить вас на экскурсию в эту пустыню Гротендика. Но только в определенную ее часть. Куда тут пойти нельзя кроме обобщенных функций и ядерных пространств? Не увидите вы богатств современной операторной теории и операторных алгебр. Дифференцирование и интегрирование векторнозначных функций тоже останется сокрыто от пылких глаз туриста. Это пожалуйста к Богачеву. Что же тут все таки есть? После подготовительного материала по топологическим группам идет классическая теория локально-выпуклых пространств. Я так понял, что тут собака как и в выпуклом анализе в том, что существует естественное соответствие между определёнными функциями и геометрическими объектами. Вообще эту аналогию можно расширить шире, например в дифференциальной геометрии гладкие функции задают гладкие поверхности, в алгебраической геометрии многочлены задаю алгебраические кривые. А тут сублинейные функционалы задают базу окрестностей из "тел Минковского" и соответственно задают векторную топологию для векторного пространства. А дальше почти все факты выводятся из универсального свойства для топологии, заданной семейством функций. Вообще, почти все элементарные факты функционального анализа выводятся из этого свойства, кроме может быть билинейных манипуляций с гильбертовыми пространствами. Мне это стало понятно после моего опыта с топологическими группам. А раньше я это не понимал. Например, отсюда сразу очевидно почему в Банаховых пространствах непрерывный оператор равно ограниченный (тут сублинейные функционалы это норма). Потом идет крайне подробное обсуждения теоремы Хана-Банаха. Это вполне оправдано, так это один из немногих результатов, который имеет широкое применение. Есть там и другие результаты вроде теоремы Крайна-Милманна, теоремы Шоки, теоремы Банаха-Стоуна и других, которые очень уважаемы и любимы в самом функциональном анализе, но за его пределами вроде не особо применяются. Я предпочёл бы думать о них не как о чем-то бесполезном, а как о такой бесконечно-мерной геометрии красивой самой по себе. Очень мне еще понравилось утверждение, что множество замкнутых выпуклых множеств одинаково в любой топологии, задаваемой спариванием. Раньше я подозревал о чем-то таком, так как кажется, что все конструктивные результаты выпуклой геометрии вообще не должны завесить от векторной топологии даже там, где в формулировки упоминается топологические понятия (выпуклость понятие не топологическое). Еще тут есть отдельная глав про векторно-значную теорему Хана-Банаха, то есть про ограниченное продолжение целых линейных операторов! Кажется это довольно продвинутый материал. Других Мест, где про это было бы написано так доступно я не знаю. Кстати, тут утверждают еще, что теорему доказал не Банах, а Хелли, и ее нужно называть не теорией Хелли-Ханна-Баннаха. Оказывается у Хелли была интересная биография. Как положено, теорему эту он доказал в плену у русских. А потом еще успел повоевать в гражданской войне за бело-чехов. Но воевать ему не очень нравилось, поэтому в конце-концов он вернулся домой в Австрию через Японию. А его ученик, Тибор Радо с которым, они в лагере занимались математикой, вернулся к себе в Венгрию через северный полюс! Такая невероятная география! Но потом Хелли пришлось спасаться в Америку при Гитлере. Там ему пршлось работать таксистом, репетитором, потому что рынок труда для математиков был настолько переполнен. Его сын тоже выучился на математика и стал преподавать исследование операций в NYU. Один из авторов книги пересекался с ним, когда был там студентом. Говорят, что когда Хелли младшего спрашивали про его профессию, он отвечал, что он не математик, а его папа, вот настоящий математик. Еще тут есть про бочечные пространства. Но я эту часть книги не читал. Но в этом нет ничего страшного, так как сами авторы советуют читать книгу кусками, выбирая интересные места, ведь она кажется им очень длинной. Потом идут пространства биореологические. Вообще, борнология это как топология, но множества там не открытые, а ограниченные. Вообще можно считать, что борнология это идеал в булевой алгебре подмножеств. Интересно, но кажется эти идеалы можно строить очень по разному. Кроме функционального анализа борнологии активно применяются в грубой геометрии. Этой темой активно занимались украинские математики И. В. Протасов И Тарас Банах (слава Украине!). Еще тут есть глубокий разбор тем вроде приближения непрерывных функций полиномами. Это все делает книгу похожей на труд чешских математиков Fabian et al. Infinite dimensional analysis and geometry. Но подход Наричи и Бекенштейна мне больше нравится так как они не развивают теорию Банаховых и Гильбертовых пространств предварительно, по моим ощущениям теряя импульс движения. Еще мне очень понравилось, что в этой книге параллельно в виде задач, дается теория для неархимедовых полей. Я так понял у этой теории есть два не очень похожих направления. С одной стороны это неархемедовы Банаховы пространства. Тут главной новацией является использование так называемых О-модулей над О-кольцом (просто возьмите элементы с нормой не больше единицы) и можно довольно быстро перейти к идеям родственным коммутатвной алгебре с гомологиями и абелевой категорией. А с другой есть локально-выпуклые пространства, где нужно работать с фильтрами. Есть тут и свои чудеса, вроде того, что все треугольники в неархимедовом пространстве равнобедренны. Например, все неархимедовы Гильбертовы пространства конечномерны. А любое локально-выпукло-компактное пространство выпукло-компактно. Оказывается, есть и современные статьи по неархимедовой выпуклой геометрии. В общем могу сказать, что я до конца не дочитал, но буду обращаться если захочется углубиться в эту тему. Кстати почему Гротендик назвал ядерные пространства ядерными? Не намек ли это на то, что их можно использовать для разработки ядерного оружия? Если их используют для этого, то понятно почему Гротендик оставил эту тему. и большой жирный всем намек, что заниматься этой темой неэтично. А потом Гротендик совсем математику оставил, потому что неэтично, и ядерное оружие! Тут интересно найти параллели между Гротендиком и Тедом Качински. Один математик что-то понял и ушел жить в лес, а другой что-то понял, ушел жить в лес, и начал взрывать своих врагов бомбами. Link 49 comments|Leave a comment

Равномерные пространства и топологические группы [Feb. 11th, 2022|09:50 pm] [Tags | algebra, algebraic analysis, analysis, analytic algebra, math, review, topology ] [ Current Mood | working ] [ Current Music | Hidious of Strength ] В своем изучении дескриптивной теории множеств я временно отступил на территорию топологических групп. Дело в том, что я уже изучал эту тему, но когда дошел до польских групп, то понял, что мои конспекты совсем в неудовлетворительном состоянии. И решил совершить регресс. Равномерные пространства это такая штука, которую придумал Бурбаки, чтобы все ахуели прост. Потому что все раньше думали, что многие фундаментальные конструкции нуждается в метрики, а метрика нуждается в действительных числах. Поэтому казалось, что у действительных чисел особый универсальный статус. А Бурбаки предложил, такую структуру, обобщающую понятие метрики, но выраженная чисто в теоретико-множественном языке без каких-либо отсылок к действительным числам, но со всеми конструкциями. Основная польза от изучения этого это доступ более простом или интересному, кому как, подходу для работы с теми же самыми топологическими группами, векторными пространствами, алгебрами и так далее. Но в действительности от этого подхода всегда можно отойти по желанию. Те кому Бурбаки нравятся его юзает, а те кому не нравятся не юзают. Например Гротендик в своей книги про топологические векторные пространства — его юзает, а Понтрягин в книге Непрерывные Группы — не юзает. Если не изучать всю эту топологическую алгебру то особого смысла в нем и нет. А зачем изучать всю это топологическую алгебру? Конечно, хорошее знание этой теории упрощает изучение групп и алгебр Ли, унтарных групп Гильбертовых пространств и баннаховых алгебр и других тем, где сами топологические группы появляются естественно, хотя и не являются объектами центрального интереса. Однако какие темы требуют углубленного изучения топологических групп? Изначально эта тема развивалась в контексте решения пятой проблемы Гильберта. Смотри работы того же Понтрягина. При решении этой проблемы развилась теория представления локально-компактных групп с помощью меры Хаара. Решать это проблему по еще одному кругу, наверное, не нужно, но из ее решения вышел абстрактный гармонический анализ. Пятая проблема утверждает, что любую конечномерную непрерывную топологическою группу можно исследовать как группу Ли. Поэтому более абстрактная теория может быть полезна в гармоническом анализе если использовать бесконечномерные или неархимедова группы, например. Не знаю, насколько эта тема сейчас актуальна для исследований. Еще люди изучают кардинальные функции и бесконечномерную динамику. Но, Меня лично в большей степени интересует инвариантная дескриптивная теория множеств, где активно используются польские группы, и грубая геометрия этих самых топологических групп. Как базовую книжку, как и а прошлый раз, я использовал A. Willansky "Topology for Analysis". Она совсем простая и понятная и там много простых упражнений. Но многих более сложных и серьезных тем там нет. Поэтому я обратил внимание на книгу малоизвестного американского математика W. Page "Topological Uniform Structures". Написана она как раз с прицелом на абстрактный гармонический анализ, поэтому там много относительно интересных тем, включая теория представлений групп и свободные топологические группы. Однако написано она c большим количеством странных авторских обозначений, делающих изложение очень компактным, но требующего больших усилий для понимания. Противопоставить этой книге можно другую книгу с похожим названием Roelcke W. ; Dierolf S. "Uniform Structures on Topological Groups and their quuotients". Тут немцы постарались изложить все максимально понятно, но конечная цель этой книги, изучение почти метризуемых и полных по Чеху групп. А для меня это экзотика, экзотика. Однако на эту книгу стоит обратить внимание еще и вот почему. Судя по всему у Рёлке понимание смысла равномерности топологической группы значительно опережало современников, так как на его конструкции ссылаются и в современной книжке по грубой геометрии. Можно обратиться и к классике, к Бурбакам, топология 1 у них, кажется, но я этого не делал. Если же вы ненавидите Бурбаков или читаете только по-русски, то можно взять русскоязычную книгу Понтрягина, там никаких равномерных пространств не будет. У Понтрягина книга написана довольно устаревшим языком, но при этом довольно понятная и хорошо читается. Крутится она вокруг пятой проблемы Гильберта, поэтому большое внимание там уделяется проблемам теории представлений и группам Ли. Есть еще энциклопедический труд Архангелского и Ткаченко, но он доступен только на английском и равномерности там все же есть. Поэтому полной победы НАШИХ над клятыми бурбакистами не получилось. Там много топологической экзотики, поэтому я его не читал. А топологические группы это именно раздел не алгебры или топологии, а именно анализа. Особо подробно рассказывать про результаты не буду. Но вот, например один, который меня заинтересовал. Это теорема Успенского про то, что любая польская группа изоморфна какой-то подгруппе группы гомеоморфизмов куба Гильберта. Эта теорема доказывается с ссылкой на теорему Келлера о том, что все компактные выпуклые тела в слабой топологии со звездочкой изоморфны кубу гильберта. Интересно, что в 1993 году Агеев опубликовал "топологическое" доказательство теоремы Келлера основанное на теории представлений унитарной группы гильбертова пространства или топологической группы похожей на нее. Отсюда идея придумать некий миникурс, который начинался бы с общей теории представлений топологических групп, потом переходил к представлению унитарной группы, оттуда шло доказательство Агеева теоремы Келлера (понадобиться еще выпуклая геометрия в бесконечномерье), и оттуда уже шла бы теорема Успенского, с возможными крутыми приложениями. Тут главный вопрос не возникнет ли при этом закольцованность аргументов? Link 17 comments|Leave a comment

Желтая Книга Витгенштейна, фрагменты [Jan. 30th, 2022|10:12 pm] [Tags | book, linguistic, math, philosophy, review, wittgenstein ] [ Current Mood | sleepy ] [ Current Music | Kim Petras ] Прочитал Желтую Книгу. Утверждается, что это записки лекций сделанные студентами между диктовкой Голубой Книги. То есть этот материал является предварительным к написанию Философских Исследований. При этом само изложение лекций более понятно, чем текст Исследований. Основная идея тут в том, что слова "значение слов" надо понимать как "использование cлов". Но тут языковые игры не упоминаются. Но приводится много примеров. Мне очень понравился пример про Христа и четвертое измерение. Еще тут приводятся интересные утверждения о физики и математики. Например тут говориться, что геометрия изучает не кубы, а грамматику (логику) кубов. Отсюда делается вывод, что чертежи в геометрии могут быть сколько угодно неточными. Также, касательно теории множеств, он говорил, что прочая математика не может быть редуцирована к такой базовой математики. Можно только создать новую теоретико-множественную математику. Тут взгляды Витгенштейна сходятся с моими взглядами на математику как литературную традицию. Link 2 comments|Leave a comment

Дескриптивная теория множеств 1: введение [Jan. 1st, 2022|03:50 am] [Tags | math, review, topology ] [ Current Mood | distressed ] [ Current Music | Frank Tovey - Civilian ] Как я уже писал, я собирался заняться дескриптивной теорией множеств. Для того, чтобы не заставлять ждать возлюбленных читателей cлишком долго и не увеличивать размер поста сверх меры, я решил разбить все на три части. Да еще и с возможными интерлюдиями. Так вот, дескриптивная теория множеств занимается иерархиями множеств, где место определяется сложностью определений. Все началось с молодых и красивых французских аналитиков, которые пытались поставить анализ на рельсы теории множеств. Одной из задач у них было определить максимальное множеств функции значимое для анализа, то есть содержащее все непрерывные и замкнутое под операцией поточечного предела. Лебег считал, что он решил эту задачу, но он ошибся приняв за очевидное, что проекция измеримого множества будет измеримой. Эту ошибку обнаружил в 1917 вундеркинд Суслин, воспитанник Лузитании. Он же и начал изучать иерархию множеств, получаемую из открытых путем последовательного применения операций счетного пересечения, отображения, и применения непрерывных функций, где число нетривиальных применений этих операций определяло место в иерархии. Потом Суслин умер, но изучение иерархии продолжилось в той же Лузитании, силами уже новых молодых-красивых французских аналитиков и во вскоре возникшей львовской математической школе. Если следовать инертности мышления, то можно предположить, что дескриптивная теория множеств относится к теории множеств. НО по моим ощущениям, и по той причине, что все основные ее понятия имеют обще-топологическую природу я бы отнес ее именно к общей топологии. Из пререквизитов тут как раз требуется хорошее знание общей топологии и ординалов. Еще хорошо знать, но не обязательно булевы алгебры, о которых я писал в прошлый раз. А также для более продвинут современных разделов все таки полезно хорошее знакомство с мат. логикой, но я туда глубоко заходить не буду. Из учебников я для себя выбрал Kechris "Classical Descritive Set Theorty". На Русском языке есть книга "Современная Теория Множеств" Кановей,Любецкий. Она покрывает примерно те же темы, что и Кехрис, но я предпочел Кехрис, потому что он намного раньше вводит в повествование игры и группы, а именно эти темы мне особенно интересны. Есть еще совсем короткая книга Окстоби "Мера и Категория", и возможно это сам оптимальный путь освоения базовых тем, но кажется чего-то интересного там все же нет. Еще есть Мошевакис, просто "Decreptive set theory". Эта книга мне как-раз показалась более сложной, где требуется хорошее знание матлогики. Кехрис, которого я и читаю, отличается довольно легким стилем изложения, где многие занудные топологические или теоретико-множественные выкладки заменяются ссылкой на очевидность. Есть там и упражнения, но их не очень много и он не сложные, но подходят для закрепления материала. Так вот начинается все с определения бесконечных деревьев. Причем, они определяются не как в теории графов как подмножеств конечных списков замкнутые по включению. Интересно, что если дерево не имеет висячих вершин, то его однозначно можно проассоциировать c каким-то замкнутым множеством. Но польза от этих деревьев еще и в том, чт это естественный язык описания бесконечных игр, о которых речь пойдет ниже. Еще читал о деревьях, узнал о таком интересном концепте как концы графов. Но это уже другая история. Потом идут базовые факты из топологии польских пространств. Польскими пространствами называются полностью метризуемые сепарабельные метрические пространство. Их так назвали потому что они такие же ка Польша. Например, Польшу сепарировали один раз Россия, Пруссия и Австро-Венигрия, а потом сепарировали Сталин и Гитлер. Это тема очень важная. Есть мнение, что дескриптивная теория множеств по существу это и есть изучение категории польских пространств. Интуитивно можно себе представлять, что польские это те пространства, где работает логика 'нормального анализа'. Важнейшие нетривиальные примеры тут это пространство Кантора, бесконечные счетные произведения множества $\{0,1\}$, и пространство Бэра, бесконечные счетные произведение натуральных чисел. Это все ноль-мерные пространства, одно компактное, а другое нет. Таким ноль-мерным пространствам Кехрис уделяет большое внимание. Тут есть однозначные признаки гомеоморфности этим двум множествам. Например, любое совершенное ноль-мерное комактно-метризуемое множество изоморфно пространству Кантора. Интересно, что очень похожая теорема есть и у Фремлина для булевых Алгебра: нетривиальная счетная алгебра без атомов изоморфна алгебре открыто-компактных подмножеств пространства Кантора. Доказательства этих утверждений очень похожи и могут быть легко получены друг-из друга. Это создает впечатление о двойственности булевых алгебр и дескриптивной теории множеств ноль-мерных пространств. Потом идет теория множеств со свойством Бэра или почти открытых множеств. Эти множества составляют минимальную сигма-алгебру порожденную всеми открытыми и тощими множествами. При этом если факторизовать их по сигма-идеалу тощих множеств, то получится так называемая алгебра категории, которая во многом эквивалента алгебре регулярных открытых множеств или алгебре открытых областей, которая уже обсуждалась у Фремлина, и если исходное пространство Бэрово, то получается настоящая тау-алгебра. Тут же начинаются обещенные топологические игры, которые представляют из себя бесконечные итеративные игры двух игроков с полной информацией. Вот например игра Шоки заключаются в том, что игроки поочередно выбирают непустые открытые множества так, чтобы они были вложены друг-в-друга, и первый игрок выигрывает если получается пустое пересечение. Теорема Окстоби-Шоки утверждает, что если у первого игрока нет выигрышной стратегии, то тогда пространство Бэрово. Если же у второго игрока всегда есть выигрышная стратегия, то такое пространство называется пространством Шоки, и это более сильное свойство чем Бэровость. Еще есть сильная игра Шоки, где игроки ходят открытыми множествами с отмеченными точками. И в следующей ход обязательно нужно играть множество, включающее точку предыдущего игрока. Модно доказать, что любое полное пространство является сильным пространством Шоки. Другая игра, про которую я узнал, это игра Банаха-Мазура. Эта игра играется для кого-то выбраного множества, и первый игрок выигрывает если пересечение не заключено в этом множестве, а ы остальном она аналогична игре Шоки. Есть про эту игру и ее сильный вариант и свои интересные теоремы. В конце концов все приходи к тому, что для почти тощих и тучных множеств можно ввести нотацию очень похожую на логику кванторов: для всех значит тучное, существует значит не точное. В этой нотации теорема Улама-Куратовского в одной из своих форм просто говорит о перестановки порядка универсальных кванторов перед предикатом. А еще тут появляется форсинг: говорят что открытое множество форсит какое-то другое множество если в открытом это второе тучно. И все это выражается языком модальной логики. Вообще модальная логика это ключ к пониманию форсинга и в более широком ключе. В итоге создается впечатление, что основное достижение дескриптивной теории множеств это использования языка логики для упрощения не самых простых утверждений и выкладок в общей топологии. Однако рано делать какие-то существенные выводы. Ведь до изучения самих иерархий мы еще не добрались, а тоько изучали необходимый инструментарий. В следующий раз хотел бы рассказать про польские группы. Но наверное, тут стоит сделать небольшую интермедию о топологических группах вообще, так как я сам хотел бы повторить этот материал. Link 2 comments|Leave a comment

Булевы алгебры [Dec. 25th, 2021|01:35 pm] [Tags | algebra, algebraic analysis, analysis, analytic algebra, boolean algebra, logic, math, review ] [ Current Mood | refreshed ] [ Current Music | Soft Cell - This Last Night...In Sodom ] Изрядное количество сил и времени было потрачено на изучение булевых алгебр. Меня это тема заинтересовала так как казалась совершенно элементарной. Тем не менее я видел, что по ней есть какие-то толстые книги, пишутся статьи. И меня это давно интриговало. Оказалось, что эту тему нельзя путать с алгеброй-логикой как теорией для анализа всяких интегральных схем, которую я бы отнес скорее к дискретной математики. Тут речь идет об изучении колец с отношением $x^2 = x$. Если кольцо, как положено, с единицей, то такая структура называется булевой алгеброй. А если единицы может не быть, то булевым кольцом. Такая вот путаница. Тривиальные примеры булевых алгебр: кольцо с одним элементом, поле с двумя элементами, подмножества фиксированного множества. Булево кольцо, которое не является булевой алгеброй, это, например, конечные множества целых чисел. Легко доказать, что любая булева алгебра будет коммутативной и иметь характеристику 2. Но обратное не верно, например нетривиальное расширение Галуа поля из двух элементов булевой алгеброй уже не будет. Смысл тут в том, что задавая отношение $x^2 = x$ мы получаем как-бы бесточечную (pointfree или pointless) модель наивной теории множеств, или не только наивной если рассматривать булевы кольца, при этом саму являющееся множеством. Отсюда переносятся все теоретико-множественные операции и понятие порядка. Например, порядок определятся чисто алгебраическими средствами как $x \le y \iff xy = x$, а операция объединения как $x \cup y = x + y + xy$. При этом у нас получается дистрибутивная решетка. А самым полезным из базовой теории оказалось понятие о разбиении единицы в булевой алгебре. Однако, у нас до сих пор остается не закрыт вопрос, к какому разделу математики относить булевы алгебры? Как я уже сказал выше к дискретной математики они не относятся, и к логике их можно отнести только в силу инертности мышления. На первый взгляд это чисто алгебраическая теория, Однако как мы увидим в дальнейшем общая топология там используется довольно интенсивно. Потому просто к алгебре или тем более к топологии относить эту теорию нельзя. Один мой учитель однажды сказал, что анализ это алгебра с топологией, а тут мы имеем дело именно с эти. Поэтому буду относить алгебры к анализу. А именно к анализу алгебраическому или, если на меня обидятся любители микро и макро-локальных функций, то к аналитической алгебре. Пререквизиты к изучению этой темы это общая топология и один семестр абстрактной алгебры. Еще полезно быть знакомым с ординальными числами. Поэтому изучить все можно на втором курсе или еще раньше. Изучал я эту теорию по учебнику Фремлина, а именно главам 31 и 38. Он особенно хорош тем, все выложен в виде теховских исходников и pdf на сайте автора, а значит учебник не скован обычными ограничениями книгоиздания. Причем, можно скачать ro (result only) версию, где будут только определения и формулировки теорем. И таким образом сразу получится подобие листочка. Недостаток такой версии в том, что там не будет и задачек и концептуальных комментариев из основной версии. А задачек там довольно много, они разделены на две категории, но скорее не по сложности, а по необходимости наличия внешних знаний. Что-то из этих задачек я решал, что-то решал из RO версий, а когда RO становились слишком сложными, то читал обычную версию. Из альтернативной литературы можно отметить Халмоша, у которого есть две книги разной сложности. Та которая посложнее вроде содержит все необходимые темы, и может подойти тем, кто не хочет слишком сильно разбрасываться камни. На Русском языке по этой теме есть Владимиров и переведенная классика Сикорский. И если Сикорский довольно сильно устарел, то Владимиров, хотя читать старую книгу может быть довольно сложновато, выделяется приложениями булевых алгебр к функциональному анализу, и в особенности к спектральным мерам операторов. Есть еще брошюра Подзорова из НГУ, но там большой упор сделан на приложения к матлогики и основаниям математики. А еще если хочется обдрочиться, то можно взять трехтомник под редакцией Монка "handbook of Boolean algebras". Теперь перейдем собственно к содержанию. Связь с топологией обеспечивается тем, для изучения булевых алгебр активно используются пространства Стоуна или просто функтор Стоуна. Этот функтор сопоставляет каждому булевому кольцу локально-компактное ноль-мерное Хаусдорффово пространство ненулевых морфизмов из самого кольца в поле из двух элементов. Каждому элементу булевой алгебры в таком пространстве соответствует открытый компакт. И порядок тут переносится как порядок вложений. Поэтому, если булевой была алгебра, то её пространство Стоуна будет компактно. Однако существований этой конструкции в общем случае неконструктивно и требует работы с ультрафильтрами. Но, так как многие факты про булевы алгебры доказываются именно через пространства Стоуна, то можно представить, что мы имеем дело с алгебраической топологией шиворот-навыворот! То есть исследуем регулярные алгебраические структуры с помощью функтора в топологические пространства. функтор это, между прочим контравариантный. Стрелочки поворачиваются! И произведения становятся копроизведениями и наоборот. То есть, декартовым произведениям булевых алгебр соответствует несвязные объединения пространств Стоуна, а их тензорным произведениям уже декартовы произведения пространств Стоуна. Все это очень просто и логично если подумать про конечные аналоги и их комбинаторику. Еще есть очень важные понятия о (секвенциональной) полноте, замкнутости и непрерывности в смысле порядка или по Дедекинду. Владимиров для этих целей вводит специальные топологии, а Фремлин вводит все эти понятия Ad Hoc, и, на мой взгляд, второй путь проще и понятней. Ведь речь тут идет просто про существование и сохранение инфов и супов в булевом порядке. Когда в курсе теории вероятностей говорят про сигма-алгебры, то это сокращение для "секвенционально замкнутые по Дедекинду булевы алгебры подмножеств". Поэтому дальше все секвенционально замкнутые по Дедекинду булевы алгебры буду называть просто сигма-алгебрами. А просто замкнутые по Дедекинду булевы алгебры я буду называть тау-алгебрам, потому что Т в алфавите идет после С. В целом это лютый абьюз оф нотэйшен, но сам Фремлин использует буквы сигма и тау для обозначения соответствующих замыканий. Пример булевой алгебры, не являющейся сигма-алгеброй, это алгебра конечных-коконечных подмножеств целых чисел. А пример сигма-алгебры не являющейся тау-алгеброй, это например известная Борелева алгебра на действительных числах. Интересные результаты тут это теорема Лумиса-Сикорского про то, что любая сигма-алгебра представляется как фактор сигма-алгебры подмножеств по какому-то сигма-идеалу. Еще есть интересная конструкция замыкания через построения алгебры открытых областей или регулярных открытых множеств в пространстве Стоуна со всеми универсальными свойствами замыкания. Другая возможная конструкция замыкания это алгебра идеалов, но она сильнее выносит мозг, так как операции с идеалами отличаются от обычной алгебры множеств. Самый полезный тут факт такой, что любой автоморфизм булевой алгебры тау-непрерывен. В начале главы 38 Фремлин подробно разбирается с группой автоморфизмов булевой алгебры. Все по программе Клейна. Тут напрашивается удивительная аналогия с эргодической теорией. Тут у нас элементы булевой алгебры это регионы пространства, автоморфизмы это динамические процессы, а их степени это дискретное время. Отсюда берется представление об эргодических, смешивающих, рекуррентных и апериодических автоморфизмах. Все это создает ощущение не просто бесточечной (pointfree и pointless) эргодической теории, а эргодической теории совершено абстрактной и пустой, лишенной каких-либо конкретных измерений. Сам Фремлин пишет, что ничего полезного в нормальной эргодической теории доказать нельзя, а воспринимать эту теорию нужно скорее как модель для углубления понимания и вдохновения. В конце как вишенку на торте я разбирал теоремы про факторизацию автоморфизмов на т. н. обменивающие инволюции. Это все из далека очень напоминало теоремы из аффинной геометрии про представление поворотов в произведений отражений. Но на практике там оказалось длинное, техническое, "комбинаторно" доказательство. Такое доказательство может занять ни одну лекцию (интересно, что Фремлин противник лекций как метода обучения). Но в итоге результат звучит так, что в тау-алгебре любой автоморфизм представляется как произведение не более чем трех инволюций. Отсюда следует определенный подход к подсчету нормальных подгрупп и критерии простоты. В частности можно доказать, что у группы автоморфизмов Борелевской сигма-алгебры действительной прямой только три нетривиальные нормальные подгруппы. На мой взгляд, удивительное утверждение на стыке элементарной алгебры и элементарного анализа. Из тем, к которым можно было бы вернуться я бы отметил теорию простых функций, но там в качестве пререквизита требуется знание упорядоченных топологических пространств, которые я не доучил в прошлый раз. Еще можно почитать про спектральные меры у Владимирова. Или про приложения к матлогике у Подзорова и Монка. Но я в ближайшее время этого делать не буду. Намного интереснее было бы изучать булевы алгебры с мерой, или нормированные алгебры как их называет Владимиров. Но перед этим я хотел бы вернуться к дескриптивной теории множеств. В целом я очень расстроен тем, что взялся за изучение булевых алгебр. Теперь они у меня в мозгу булят другие алгебры, например, квадратичные. А я никакие формы булинга не одобряю, особенно квадратичные! Link 9 comments|Leave a comment

Математика сажают за педофилию [Nov. 11th, 2021|07:30 pm] [Tags | logic, math, news, pedo ] [ Current Music | The Birthday Party - Junkyard ] Телеграм-канал Mash утверждает, что, по версии следствия, в январе мужчина «засунул руку в штаны 11-летней девочки и трогал ее за половые органы», а в июле одной рукой обнял шестилетнюю девочку, а вторую руку засунул ей в штаны. На мой, взгляд это хуйня какая-то. Есть же еще где-то педофилы вроде Чикатило, которые расчленяют и прячат труппы детишек, которых выебли. И их никто не может поймать при этом. А это хуйня просто. Я бы за такое не сажал, а сделал выговор максимум. Золин читал лекции по матлогике на мехмате и занимался научной работой в вышке. Смотрел некоторые его лекции пару месяцев назад н ютабе, кста. Мне он каким-то странным показался. Тем не менее надеюсь, что все лекции останутся на месте. Дело, конечно, очевидно заказное. Просто кто-то хочет, чтобы у Русских не было ни логиков, ни логики . Link 36 comments|Leave a comment

Итоги и планы [Oct. 12th, 2021|12:11 am] [Tags | geometry, math, my life ] [ Current Mood | hungry ] [ Current Music | Skeleton Hands - Gone ] Вот и прошел еще один год моей жизни. Хочу подвести итоги и поделиться планами, но только в области изучения математики. Целью я год назад ставил придумать и законспектировать на основе существующих учебников некий аналог курса элементарной геометрии. Главной идеей было строить его как естественное продолжение курса элементарной абстрактной и линейной алгебры с привлечение знаний из курса общей топологии по мере необходимости. Но при этом без кого-нибудь математического анализа! План должен был быть такой: 1) Аффинная и Евклидова Геометрия 2) Геометрия Комплексной Плоскости 3) Проективная геометрия 4) Модели Гиперболической геометрии 5) Выпуклая геометрия 6) Выпуклые Конусы и упорядоченные векторные пространства (эту тему я назвал конической геометрией) По первой теме я выбрал книгу Снаппера и его соавтора, о которой уже писал. Это прост 5 звезд. Книга написана в эпоху New Math, и она Бурбакистская в самом хорошем смысле. Все выводится через пару простых алгебраических теорем, по возможности над произвольным полем, тем не менее материала в книге на два семестра, поэтому, признаюсь, что я так и не доказал все результаты про квадратичные форму, и только повехностно тронул собственно метрическую аффинную геометрию и взгляд на группы движений соответствующих пространств именно как на группы Ли, так как я планировал уложиться только в один семестр. Потом я взялся за изучение геометрии комплексной плоскости. Про это я тоже уже писал. Читал я книгу 'Geometry of complex numbers' Ганса Швердтфегера. Первая часть очень понравилась, там обобщенные прямые в комплексной плоскости отождествлялись с проективизацией векторного пространства Эрмитовых матриц с естественной квадратичной формой, определителем. Почему это проективное пространство легко понять, если вспомнить , что все эти обобщенные прямые возникают при сечении сферы Римана соответствующими плоскостями. Только, если плоскости "промахиваются", то получаются "воображаемая" прямая без точек. Но вот при изучении дробно-линейного преобразования, я столкнулся, наверное первый раз в жизни с выкладками в учебники, которое я не осилил. То есть просто приводится алгебраическое тождество про матрицы 2x2 по сути, и написано, очевидно тип. Но я просто ахуел это все расписывать. В таких ебанутых выкладках, видимо и заключается аналитическая геометрия. А потом еще альтернативное доказательство, типа геометрическое и без алгебры. как будто издеваются! Потому что оно простое, но там тоже нехуя не понятно, почему касательные пространства должны именно так пересекаться. Думаю потом теорему, если будет можно нормально доказать через дифференциальную геометрию. Но по моим правилам, никакого анализа использовать было нельзя! Вскоре после этой темы я эту книгу забросил, там дальше очень много разных формул для того, чтобы считать дробно-линейное преобразование в таких эрмитовых координатах через алгебру матриц. С частью про проективную геометрии все не заладилось. Поэтому я побольшей частью и перестал сюда писать про математику. Так ничего интересного писать сюда было нечего. Долго искала учебник по этой темке. Очень хотел учебник в духе "Metric Affine Geometry". на даже там авторы жалуются, что у них не хватило времени написать главу или отдельную книгу при про проективную геометрию, которая должна была быть логическим продолжением того, что уже было написано. Вот я понадеялась, что кто-то за 40 лет такое и написал. Спойлер: хуй мне! Искал я именно книгу, которая выстраивала все на алгебре в максимально Бурбакистском. При это должна была быть не книга по аксиоматической проективной геометрии (тут много классики) и не по проективной алгебраической геометрии (тут есть современные на любой вкус, кажется). В итоге выбрала книгу Эдуардо Казаса-Альваро "Analytic Projective Geometry". Вроде там все есть, но как-то без огонька. В отличии от моей любимой книги по Аффиной геометрии тут очень неохотно рассматриваются нестандартные (произвольные) поля и бесконечномерный случай. Как будто студенты такого могут испугаться. А для меня это самое интересное. В итоге так и не дочитал, слишком скучно. Отсюда и нулевы результаты в области элементарной гипеболической геометрии. Этот материал я планировал строить на последних главах из книг Казаса-Альваро и Ганса Швердтфегера. Особенно была интересен подход Швердтфегера, который начинался с изучения подгрупп группы Мебиуса. Но большой мотивации добивать Шврдфегера у меня тогда не было, и я пропустил. Кстати, кто нибудь может посоветовать адекватное и интересное изложение геоиетрии гиперболической плоскости и (или) геометрии проективного пространства? Поэтому я сразу перешел к изучению выпуклой геометрии. Для этого я выбрал книгу малоизвестного амерканского математика Ф. Валентайна Convex Geometry. Книга это довольно хорошая, все что можно рассматривается в бескоечномерном контексте с применение простого функана. Это функан, конечно никакой не матанализ, а просто логичное соединение общей топологии и линейной алгебры. Однако это книга все таки совершенно одноэтажная, как и Лос-Анджелес 50-х годов, где она писалась. Поэтому доказывал и разбирал те темы которые были интересны: теорема о азделяющей гиперплоскости, обобщение теоремы Хана-Банаха для выпуклых функций, двойственные конусы, вокруг теоремы Хелли, теорема Красносельского, полярные точки, теорема Крейна-Миллмана и теорема Шоке про крайнии точки. А так там еще много всякой экзотике на которую у мне времени и желания не хватает. По теме коническойй геометрии я взял книгу Cones and Duality. В целом эти погружением я остался не доволен. Так как эта книга оказалась Бурбакисткой в плохом смысле. По сути, это как-раз такое Бурбакистское изложение теории упорядоченных в векторных пространств, что эквивалентно изучению выпуклых конусов. Это заключается в том, что вначале разбираются все виды этой структуры а вкусные результаты вроде оставлены на конец. Тут, например, в первой главе идут все определения без отсылок к топологии, потом во второй главе все стандартные определения про топологические векторные пространства, а потом идет какая-то экзотика от авторов. Хотя, возможно свою роль сыграла моя слабовольность и мне такое изложение показалось утомительным. В всяком случае я прорешал только половину первой главы и пошл дальше, так как мотивации углубляться в эту тему не было. А дальше было вот что. Зачем эту всю элементарную геометрию изучать? Наверное, для того чтобы упрастить и сделать более визуальным изучение алгебраической топологии и дифференциальной геометрии. Поэтому я начал повторять материал лежащий между общей топологией, элементаной геометрией и нормальной алгебраической топологией. Эту тему я бы назвал топологическими многообразиями. Поэтому для дальнейшего чтения я выбрал книгу Topological Manifolds by J. Lee. В целом очень рекоменду. Это книга, на мой взгляд, хорошо дополняет Мишину книшу по Топологии. У Ли очень подробно разжевываются те же топологические многобразия и СW-комплексы. Вся обще-топологическая часть это подробная проработка техники для этих тем. А метрической топологии тут нету почти совсем. Однако, тут есть топологическая теория Галуа, и даже геометрическое знакомство с гомологиями. Отдельно хочется отметить подробное разжевывание темы про полигональные комплексы, знания которой мне очень не хватало. Хотя на мой взгляд эту тему стоит рассматривать уже после групповых вопросов, так как вся нотация там имеет теоретико-групповую мотивацию. Вообще все содержание жтой книге это очень подробное докозательство теоремы про классификацию компактных поверхностей с разными ответлениями. Сам я дочитал до момента где появляются гиперболические комплексы, как вариант полигональных комплексов на клетках (2D), на которых задана гиперболическая метрика. Тут у меня появилась мотивация вернуться к изучению гиперболической геометрии, которую я пропустил. И появилась идея следующего витка гоматрической спирали: 1) Метрическая Афинная геометри по Снапперу 2) Модели гиперболической плоскости по Швердтфегеру 3) Элементы Агебраической Топологии (гомологии) 4) Геометрическая топология Но когда этот виток будет, я не знаю. Так как большой практической нужды в такой топологии у меня нет. А изучаю я ее только для того, чтобы чувствовать себя человеком. Потому что те кто не знают совсем алгебраической топологии те не люди, и скоты. Но для начала я решил пойти по пути аналитической спирали. И стал изучать дескриптивную теорию множеств как подготовку к глубокому нырку в теорию меры. Выбрал себе в качестве учебника Сlassical Descriptive Set Theory Кехриса. В целом от этой книги я в восторге. В целом, пок по моим ощущениям эта наука относится скорее к продвинутой общей топологии, а не теории множеств. Стоит сказать, только про то, что книга начинается с изучения определенных бесконечных топологических деревьев. А потом эти результаты используются для того, чтобы доказывать определенные вещи про "регулярные" топологические пространства через бесконечные пошаговые игры, например, игры Банаха-Мазура и игру Шоке. Также тут много результатов про ноль-мерные пространства (типа множество Кантора) и всяких штук с категорией Бэра. Отсюда я дошел до понятия регулярной открытой алгебры или алгебры открытых областей. Тут потреболось углубить мои знания по булевым алгебрам и я стал читать третий том Фремлина по этой теме. Оказалось, что Фремлин очень хороший. Совершенно бурбакистское изложение теории меры, плюс так книгу, существуют в виде теховских исходников в интернете, есть функция скачать Results Only версию, то есть фактически можно автоматически создать подобие листочка. Пока дошла до теоремы Лумиса-Сикорского и снова до регулярных открытых алгебр. Она говорит, что любую сигма-полную булеву алгебру можно представить как фактор некоторой сигма-алгебры по некоторому сигма-идеалу. Через эту теорему можно, наверное доказать, эквивалентность аксиоматики Колмогорова и логицистской теории вероятности Джейнса. А регулярная открытая влгебра пространства Стоуна булевой алгебры выступает ее пополнение в смысле универсального свойства. Короче, очень интересно. После булевых алгебр, дочитаем дескриптивную теорию множеств. Потом дочитаем алгебраическю теорию меры (третий том Фремлина). Потом буду читать четвертый том Фремлина или второй том Богачева (топологические пространства с мерой). Хочется полностью вылезать все результаты про энтропию, и про условные распределения тоже. У меня уже слюнки текут. Link 31 comments|Leave a comment

Шопенгауэр, Мир Как Воля и Представление, Книга 1: Объект Опыта и Науки [Oct. 2nd, 2021|09:41 pm] [Tags | book, epistemology, logic, math, philosophy, review, schopenhauer ] [ Current Mood | sleepy ] [ Current Music | Autumn - the Hating Tree ] После Гессе я начал(о/а) читать Мир как Воля и Представления Шопенгауэра. Зачем это читать? В первую и последнюю очередь из-за влияния оказанного не только на Ницще, но и на Витгенштейна. А как нечто цельное философская система Шопенгауэра весьма сомнительна. Чтобы не растягивать этот обзор слишком сильно как обычно всегда и получается, я решил(о/а) писать отдельно о каждой книге сего труда. Начинается, все с ведения, в котором читателя старательно убеждает, что сего гениального труда ему никогда не осилить. Поэтому, чтобы не терять времени, лучше не читать, а использовать как украшение рабочего стола или пресс-папье, или еще лучше написать рецензию (как мы и поступим). Также из пререквизитов называется глубокое знание Кантовской философии и знакомство с диссертацией самого Шопенгауэра «О четверояком корне закона достаточного основания». Из-за этого введения много лет назад я взял(ась/ось/ся) читать эту диссертацию. Прочитал(о/а) ее введение. Бросил(о/а). Не Осилил(о/а). Тогда так и не почитал(о/а) Мир. Но ничего, теперь я еще больше укоренил(ась/ось/ся) в знание Кантовской философии, знаю про все ловушки, и приш(ла/ло/ел) мстить. Для начало разберемся с тем, зачем же Шопенгауэру потребовался его четвероякий корень. Если покороче, то он подводит общие основания под следование в Логике, под причинность в смысле Аристотеля, под действие одних физических объектов на другие, и тому подобное. И так как все эти так непохожие друг-на-друга отношения подчиняются единым законам, то эти законы имеют фундаментальнейшую для всей вселенной природу. Но на мой взгляд, тут Шопенгауэр просто недо-открыл теорию категорий, так хорошо известную всякому мало-мальски образованному современному человек. Понятно, что если изучать композиции стрелочек между объектами совершенно разной природы, то будут всплывать одни те же законы. Сам же Шопенгауэр начинает с отношений линейного порядка на примере времени, и логического вывода на примере пространства, которое он отождествляет с Евклидовой геометрией. Таким образом мы видим, что все сказанное Шопенгауэром про закон достаточного основания имеет не метафизическую и логику-математическую природу. И как мы увидим к концу первого трактата Шопенгауэр сам же и уничтожит свою философию. Используя такой недо-категорный подход Шопенгауэр характеризует мир через категорию дейтвия, поэтому верней говорить действительность, а не реальность. Морфизму тут это "физические действия" домейн, которых называется объектом, а кодомейн субъектом. В вопросах познания представление для Шопенгауэра это тоже действие, субъектом, которого выступает маслящие существо а объектом выступает мир. На мир также действует на мыслящее существо и отсюда получается цикл морфизмов. И так примитивная недоделанная теория категорий Арчи не может выдержать существования циклов, отсюда и делается нелепое заключение, что Мир тождественен представлению. Также там используется софистическая позиция, что объект действительности тождественен всем своим действием. Но на самом деле это просто проюлема языка, также как можно сказать, что категория это класс стрелок, каждой из которых сопоставляется домейн и кодомейн, или же сказать, что это класс объектов, которой паре которых сопоставляется класс морфизмов. И это все вопрос использования языка, а не естествознания. Отдельно, стоит отметить то, как тут решается проблема сноведений и всяких галюнов под наркотиками, так остро стоящая перед эмпирической философией. Тут Шопенгауэр говорит, что все одна хуйня, и никакой разницы нет. Просто в одном случае закон основания работает непрерывно, а в другом разрывно. А так вообще можно только похвалить уровень психологии Шоаенгауэра. Он верно замечает, что восприятие это не просто прием сигнала, а сложная интеллектуальная деятельность. Для более подробного знакомства с психологией Шопенгауэра рекомендую "Рассуждение, излагающее физиологическую, наиболее важную, теорию цветов". Таким образом он высоко оценивает интуитивное познание. Этому познанию он противопоставляет познание логическое. Саму логику Шопенгауэр объясняет с помощью кругов Эйлера, что может свидетельствовать о приближении эпохи теории множеств. Самой главной логической наукой Шопенгауэр называет Евклидову геометрии. Ее доказательства он называет "ходульными" и противопоставляет им интуитивное пространственное мышление. Отсюда идет и критика рационалистической философии, претендующей на познания истины путем доказательства. Однако любое доказательство требует неких аксиом и оснований, поэтому рационалисты сами по себе ничего не могут. Однако, тут мы опять сделали полный круг. И понятно, что могучий четвероякий сам по себе является такой аксиомой. Поэтому никакого прорыва в философии не случилось. Вообще, кажется, что никакие метафизические результаты нельзя доказать логически. Логика содержится в человеческом языке, а язык этот обуславливается человеческой природой. Так как природу можно понимать двояко, как природу животную или божественную, отсюда проистекает неразрешимое противоречие между материалистами и идеалистами. А вся Метафизика как бы находится на более высоком уровне, выше всех фактов, утверждений, определений. Поэтому в метафизике возможно только формирование аксиом и предположений, и опровержение плохих наборов с помощью аксиом. Потому возможна негативная метафизика, то бишь критика в понимание Канта, позитивной метафизики никакой быть не может. Link 14 comments|Leave a comment

Критика чистого разума: часть 2 [Jun. 23rd, 2021|03:36 am] [Tags | book, epistemology, kant, math, philosophy, physics, review ] [ Current Mood | sleepy ] Одной из опор философии Канта выступает теория эмпирического опыта, называемая трансцендентальной эстетикой. Мне кажется, что значительную часть этой науки составляет теория времени и пространства как априорных созерцание. Однако, как мои читали уже знают этим вопросом заведует общая топология. И опять же, как мне кажется, многие проблемы философии Канта следует из его незнания современной математики и физики. Вот, например у Канта предполагается, что трехмерное Евклидово пространство возникает априорно как трансцендентальное созерцание. Однако, если бы это действительно было так, то непонятно, почему чистый разум не может представить пространство, например, с неархимедовой метрикой или пятимерное. Единственная причина, почему пространство кажется нам именно таким, это полученный с младенчества опыт трехмерного зрения. Однако, давайте вернемся к тому что трансцендентальная эстетика занимается эмпирическим опытом как таковым и немного пофилософствуем. И действительно, однозначно можно утверждать, что опыт есть. Но можно ли было делать такое утверждение в отсутствие всякого опыта? Является ли тогда какие-либо основания трансцендентальной эстетики априорными? Наибольший интерес в философии Канта для меня представляли понятия феноменов и ноуменов, хорошо известные из школьного курса философии. Кажется, что такой подход разделяет реальность на две части. Но на самом деле существует три уровня. Уровень вещей как таковых, уровень феноменов как воспринимаемых вещей. И в результате следующего витка рефлексии, из представление о вещах как-таковых и опыте вещей, рождается мысленное представление о вещах как-таковых являющихся причинной феномена. Из этого витка рефлексии Гегель, видимо, и взял свою триаду тезис-антитезис-синтез, но как мы видим, никаких оснований для этого нет. Однако наше представление о вещах как-таковых происходит из сочетаний двух утверждений "эмпирический опыт существует" и "у каждого опыта есть причина". Однако, второе утверждение требует отдельного доказательства. Как мне сейчас кажется, оно возникает из непосредственного опыта бытья мыслящей машины в смысле Джейнса. Поэтому оно оправдано прагматически, но не с точки зрения чистого разума. Как мне кажется, Кант полагает первоначальное представление о вещи-самой-по-себе совершено бесполезным, так как если эти понятия подвергаются какому-то либо анализу, то они уже суть ноумены. Однако как не парадоксально, получается, что чистый разум в принципе должен избегать понятия о ноумене, а чистый разум оперирует только априорными знаниями, напомню. То есть получается, что чистый разум должен быть абсолютно свободен от рефлексии? Настоящей жемчужиной Критики Чистого разума считаются пролегомены Канта. То есть доказательства противоречивых утверждений, как-бы исходящих только из априорных предпосылок. Но не буду тут подробно останавливаться. Лучше в оригинале все прочитайте, и насладитесь стилем определение-теорема-доказательство-комментарий. Сюда же можно отнести и знаменитую Кантовскую критику трех доказательств существование Бога. Однако, как можно понять, сам Кант совсем не отрицает бытья Бога. Как следует из лекций Васильева самого Бога Кант считал силой, а именно причиной гравитации. И наверняка после знакомства с современной картиной естествознания, считал бы Богом все фундаментальные взаимодейстия. Физическая теология Канта в этом отношении является отдельной интересной темой, видимо, предназначенной для книги Феноменология Природы. В конце книги приводится "методология Чистого Разума", где приводятся некоторые правила философствования. Интересно, что начинается этот раздел со сравнения математики и догматической философии. Это отличие заключается в умении использовать созерцания для синтеза нового знания. Удивительно, но приводимые Кантом примеры мне напомнили критику "Бурбаков" Арнольдом. Если последовать по этому пути, то получается, что современная формальная математика по Канту это не столько математика, сколько особая форма догматической философии. Однако как пример использования созерцаний Кант приводит и символьные манипуляции в алгебре, что дает шанс теории категорий с ее коммутативными диаграммами. Однако если продолжать эти аналогии, то и введение символьного языка в философии должно помочь перейти ей от аналитического познания к синтетическому. Интересно, как бы Кант воспринял революционный переход от классической логики к символической? В конце "Методологии" чистого разума Кант пишет, что все ограничения наложенные им на чистый разум, можно преодолеть решая прагматические проблемы. Отсюда он выводит и законы этики, и существование Бога. Но тут наши пути снова расходятся. Так как я отношу этику к сфере суждения, а не прагматики. Однако, несмотря на все мои придирки, я почти во всем согласен с Кантом на самом деле. И намного ближе к его позиции, которую можно было бы назвать не столько гносеологическим пессимизмом, сколько гносеологическим не-оптимизмом. И в этом мое я определенно на стороне канта в отличие от гносеологического оптимизма Гегеля. Однако, в отличие от Канта, я совершено не стремлюсь преодолевать скептицизм Юма. Link 6 comments|Leave a comment

Критика чистого разума: часть 1 [Jun. 23rd, 2021|03:29 am] [Tags | book, epistemology, kant, math, philosophy, physics, review ] [ Current Mood | sleepy ] Говорят, что Канта из догматического сна вывел Юм. А меня из базарного сна вывел Вениамин. И мне пришлось изучать философию Канта и я прочел его Критику Чистого разума. В чем смысл таких моих постов про философию? Я пытаюсь обозначить с чем я не согласен с автором, а также выделить самые интересные, сочные моменты. И если зачем выбирать самое лучшее все понятно, то первое нужно делать, чтобы объяснить, почему бы просто не остановиться прямо здесь, на одной книги одного философа, и не свести все дальнейшее изучение философии к начетничеству. Если говорить укрупнено, то философию Канта я отношу к философии Модерна. Основной вызовом для этой эпохи представляло объяснение успехов физики, которые противоречили схоластике, основанной на Аристотелианской доктрине Фомы Аквинского. И если Декарт создал основания для математической физики в самом архаичном ее виде, то английские эмпирики искали основания для физики экспериментальной. Но эти два пути никак не сходились вместе. Поэтому после пробуждения от Догматического сна (под догматической Кант понимал именно рационалистическую философию идущую от Декарта) Кант решил разъебать обе эти философские школы в труде Критика Чистого Разума, а потом создать свою философию физики с блэкджеком и шлюхами в труде Феноменология Природы. Феноменологию природы Кант так и не дописал, а Критика Чистого Разума, на мой взгляд, удалась. Поэтому критиковать критику я буду с большим скрежетом сердца. И почти везде буду придираться и передергивать, иначе никаких аргументов мне в моем базарном ничтожестве вымучить так бы и не получилось, и никакого поста не было бы. На словах создания философии физики у Канта нет, а целью декларируется определения границ синтетического априорного познания. Под априорным понимается познание не зависящее от опыта. Это уже слабое место для меня, так как я уже аргументировал, почему априорного познания не существует. Однако допустим, что априорными суждениям апеллирует чистая математика. А также другие чистые науки по Канту: чистая физика, чистая астрономия, чистая психология и т. п.; Но понятие синтетического тоже вызывает затруднение. Вообще синтетические знания противопоставляются аналитическим, которые, кажется, вытекают из определения понятий. А синтетические, вроде как что-то добавляют к уже имеющимся определениям. На примере эмпирических понятий, утверждение 'кал соленный' является синтетическим, и с уверенностью его может сделать, только человек, который ел кал, так как соленость не следует из определения кала. А утверждение "кал кем-то высран" следует, поэтому оно аналитическое. Однако проблемы начинаются в том случае, что если вдруг окажется, что некоторые люди верят в небесный кал, "который никем не высран", или кто-то начал создавать синтетический кал. Вопрос, значит ли, что "кал высран" это синтетическое суждение, если в нашей системе понятий, вооруженных современной биохимией, кал определяется, например не своим происхождением, а своим химическим составом. Это, конечно, дурацкий пример, но можно, подобным образом спорить об определениях любых вещей. И таким образом, вопрос о разделение на синтетические и аналитические понятия сводиться к выбранной системе определений. Поэтому, вопрос о границах синтетического априорного познания сводится, опять же, к выбору системы определений. Поэтому декларируемая цель Канта становиться весьма эфемерным. На это можно возразить, что даже если сам набор понятий меняется от системы определений, то можно выделить положения, скажем так, инвариантные при замене координат. Возможно именно это ставил целью феноменологии Гуссерль, когда собирался сделать с логикой тоже самое, 'что Картан сделал с геометрией'. Подобную проблему я вижу и в теории схем категорий, которые и составляют настоящее ядро Кантовской метафизики. А до этого мы колупали лишь скорлупки. Грубо говоря, тут речь идет о сопоставлении логическим понятиям эмпирических, через определенные формальные ходы. В целом эта теория вызывает большие сложности для понимания, и всем интересующимся я рекомендую обратиться к книге Васильева "Подвалы Кантовской Метафизики: дедукция категорий". Link 6 comments|Leave a comment

Метафизика Аристотеля альфа большая 9: Критика Платона [Jan. 8th, 2021|04:39 am] [Tags | aristotle, marginalia, math, metaphysics, philosophy ] [ Current Mood | angry ] [ Current Music | David Bowie - Low ] Теперь приводятся аргументы против Платона и платонизма: Необходимо добавить, что тут идет спор в первую очередь с продвинутым видом платонизма Спевсипа, который утверждал числовую природу эйдосов. То есть, можно сказать, ставил во главе всего теорию множеств! 1) Общие контр-аргументы. Не одно из доказательств существования эйдосов не убедительно: 1.1) Если использовать аргумент от знания, то получаются эйдосы несуществующих вещей. Например люди знают кто такой вампир, значит есть эйдос вампиров, хотя вампиров нет в природе. Более того должны были бы быть эйдосы не-красного и не-синего. 1.2) Проблема положения идей в иерархии родов и видов. Если эйдосы и соответствующие им вещи имеют один род, и тогда непонятна какая между ними разница. В ином случае получается, что вещь и идею объединяет только имя, и нет основания говорить о связи. Можно было бы считать, что они наследуют к одному общему виду постепенно, но это приводит нас к первой ситуации при повышения уровня абстракции. То есть с точки зрения Платонизма должен существовать уровень абстракции на котором вещи и идеи едины. 2)Кинетический аргумент. Эйдосы неизменны, а значит не могут являться причиной движения. 3)Рекурсивный аргумент. Опять апелляция к иерархии Аристотеля. Если эйдосы сами действуют как виды и роды, то тогда получиться, что эйдосы сами должны иметь эйдосы. 4) Негативный аргумент. Существование вещей без эйдосов в соответствии с классическим платонизмом. Если у каких-то вещей может не быть эйдосов, то непонятно откуда они вообще берутся. 5) Структурный аргумент. Эйдосы имеют структуру как конечные множества. А значит имеют структурные элементы и не могут быть материальной каузой. 6)Далее идут математические или арифметические аргументы: Эти аргументы строятся на том , что в платонизме считается, что за всеми единицами стоит некий единый эйдос единицы. В то же время в математическом платонизме, с которым спорит аристотель, эйдоса сами числа, то есть конечные множества составленные из других чисел. Но тут замечается, что если единица едина, то новых множеств из единицы составить не получится. Сейчас в классической теории множеств эта проблема обходиться введением пуcтого множества, но древним эллинам пустое множество как и ноль не было известно. Также непонятно возникновение некоего "другого в математики по отношении к числам". Возможно здесь имеются в виду положительные действительные числа или бесконечные множества. Опять эе все эти проблемы решены в современной теории множеств. Однако находятся и другие арифметические аргументы: 6.1) Если нахождение элемента в множестве является неотъемлемым атрибутом этого элемента, то это означает, что они были элементами того же множества до того как оно было образовано. Эта проблема первичности элемента и множества в рамках казуальности Аристотеля. Видимо, если не пытаться спаривать эту теорию с математическим платонизмом Спевсипа, то такой проблемы не возникает. 6.2) "Почему составное числ едино?". Получается, что и у отдельных множеств есть единный Эйдос, несмотря на сложную структуру. 6.3) Состоят ли числа из единых или различных частей? Если числа или множества состоят из однородных элементов, то их не существует (этот вывод требует уточнения). В противном случае мы называем одним словом "число" разные вещи, и основания математического платонизма не верны. 7) Далее идут геометрические аргументы. 7.1) Из платонизма каким-то образом следует не-существование подпространств меньшей размерности в пространствах большей размерности. Утверждается, что Платон считал точку на прямой геометрическим вымыслом. Тем не менее начало линий он видел в так называемых "неделимых линиях". Это делает его взгляды схожими с нашей синтетической геометрией, где и прямая и точка существуют как объекты, но при этом прямая не является множеством, а точка его элементом. 7.2) Материя понимается по всей видимости у платоников как трехмерное пространство, но Аристотель утверждает что трехмерность это не природа реальности, а лишь одно из ее свойств. 7.3)Не обоснования происхождения геометрии из чисел. Сейчас эта проблема решена аналитической геометрией. 8) Проблема абстракции. Вместо доказательства единства мира получается бессмысленный универсальный предикат. 9) Невозможность науки о началах. Если бы она была, то ее нужно было бы изучить раньше всего. А если это знание априорно и доступно с рождения, то очень странно, что никто сознательно им не владеет. 10) Аргумент о субъективности элементов. По аналогии как субъективно восприятие отдельных звуков и слогов. 11)Из платонизма следует возможность познания чувственного мира без чувств. Также делается два замечания: *)"Мудрость ищет причину видимого". Тут уже видимо содержится корень идеи о позитивной науки. То есть взгляд на то, что наука, то есть философия, должна заниматься проблемами эмпирического, видимого мира. В рамках таких исследований, однако, можно предполагать наличие неких идеальных сущностей объясняющих нечто. В то же время науки только об идеальных сущностях, например эйдосах, быть не может. **) В контексте Категорий Аристотеля говориться, что нет смысла искать материальную каузу чего-то кроме эссенции. В самом деле нет смысла искать материю из которой состоит понятия "бежать" или "быть побитым". Поэтому не может быть материальной каузы и у чисел. Link 18 comments|Leave a comment

Русский радикальный позитивизм [Jan. 5th, 2021|09:18 pm] [Tags | anarchism, bakunin, god, infinity, logic, math, philosophy, positivism, theology ] [ Current Mood | relaxed ] [ Current Music | Nature and Organization ] Не так давно я увлекся серией лекций по истории анархизма Петра Рябова. Потому неудивительно, что я обратил на сборник работ Бакунина конца 80-х, который нашелся у меня в личной библиотеки. Вот каким мыслям меня привело это чтение. При чтении работ "Федерализм,Демократизм и Антитеологизм" и "Наука и народ" поражает то, какое влияние Бакунин уделяет философии науки. Можно было бы говорить, об открытие забытого классика этой дисциплины, но по всей очевидности это просто пересказ позитивизма Конта. Ожидаемо, что на Бакунина оказал влияние Гегель. Однако, на место передовой философии он ставит именно Конта, и хвалит позитивизм за уничтожение метафизики, которую называет одним из источников государственного угнетения. Однако а конце концов приверженцы позитивизма обзываются "попами науки". В чем причина такого недовольства? Вовсе не в оппозиции Бакунина сциентизму и прямому желанию Конту создать церковь науки, как это заявляет Рябов. Дело в том, что позитивисты, апеллируя к кантианской "феноменологии", постулирует невозможность научного доказательства небытия бога. Но Гегель сидит в подкорке у Бакунина, и шепчет "Если что-то истинно, то это можно доказать, например, крутой диалектикой". И вот этот принцип "Если что-то истинно, то это можно доказать" я попрошу запомнить. И применяться это принцип должен к Богу, великому угнетателю. А тотальная гибель и уничтожение всяческой народной веры, является по Бакунину необходимым условия от гнета 'насильников бога' как они их называет, церкви и священников. Таким образом получается, что позитивизм критикуется не за избыток сциентизма, а за его недостатком. Вместо позитивизма Бакунин видит будущее философии в развитие наук о мозге. Это делает его взгляд крайне прогрессивным, и ставит в один ряд с такими современными мыслителями как Чалмерс. Никакой вам метафизики, пока не изобретете МРТ! — таковы истинные философские взгляды Бакунина. Возможно, если бы Бакунин остался бы в России, где были бы либеральные университеты, то с такой философией Россия все таки стала бы великой философской нацией. И вот что интересно, с такой философией не может быть места ни актуальной бесконечности, ни теореме Геделя о неполноте. И что вам это напоминает? Недавнюю серию постов Лекса Кравецкого, в которой утверждается ультра-конструктивистская математика, где не может быть места, ни вредной актуальной бесконечности, ни зависающей машине Тьюринга, ни контр-революционной теореме Геделя о неполноте. Для начала стоит отметить, что существование бесконечности или действительных чисел вообще не вопрос математики. Ни один математический журнал статей про это не опубликует. Может опубликовать статью про кардинальность множества, определенного конкретным образом, про то, что какое-то подмножество не пустое, но про онтологический статус математических объектов статей там может быть ровно столько же, сколько и про еблю в жопу. Это все вопросы именно что философии математики. А что такое философия? Это элитарная нормативная наука про правильное значение определенных ключевых слов. Правильное в смысле, приводящее к правильным выводам. Правильным с точки зрения некоторой заведомо известной идеологии. Поэтому философия это вещь совершенно подчиненная идеологии. А что общего у Мишеля Бакунина и Лекса Кравецкого? Наверное это стремление к свободе, хоть в форме анархии, хоть в форме прямой демократии. А какое может быть спасение от тиранов на земле, когда есть тиран на небе. Вот отсюда и идет эта борьба с бесконечностью. Ведь во многих теологических традициях бесконечность считают одним из атрибутов Бога. И кажется, что теорема Геделя о неполноте помешает казнить этого Бога-мучителя. Вот так из идеологии освобождения рождается финитизм и борьба с общепризнанной наукой и математикой. Link 81 comments|Leave a comment

navigation [ viewing | 40 entries back ] [ go | earlier/later ]